解排列组合问题的几种常用策略

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高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

解排列组合应用题的26种策略

解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。

要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

数学精华课件：解排列组合问题的十六种常用策略ppt

一.特殊元素和特殊位置优先策略二.相邻元素捆绑策略
九.元素相同问题隔板策略十.正难则反总体淘汰策略
三.不相邻问题插空策略
十一.平均分组问题除法策略
四.定序问题空位插入策略
十二. 合理分类与分步策略
五.重排问题求幂策略六.多排问题直排策略七.排列组合混合问题先选后排策略八.小集团问题先整体后局部策略W
唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌为标准进行分类. 只会唱歌
的5人中没有人选上唱歌共有__C_32_C
2 3
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌
_C__15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌有_C_52_C_52种，由分类计数原理
共有__C_32_C_32 _+__C_15_C_13_C_24_+_C__52C__52 ___种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果
邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，要求同某时几对个相元邻素元必素须内排部在进一行起自的排问。题,可以用
甲乙丙丁
捆为绑一由种法个分不来元步同解素计的决,再数排问与原法题其理.即它可将元得需素共要一有相起A 5邻作5 A 22的排A 22元列=素,4同8合0时并
要注意合并元素内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个

14种策略7大模型绝杀排列组合

14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。

第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。

【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。

按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。

综合题通常是整体分类再局部分步。

【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有个。

（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种（答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。

（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有个； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有个。

5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）（答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。

解排列组合问题的十七种常用策略

解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。

同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。

根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

解决排列组合问题常见策略

解决排列组合问题常见策略一、合理选择主元素（确定谁选谁、选过的能否再选，用分步乘法计数原理）1、公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？2、公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？3、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法有多少种？4、某公车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有多少种？5、三个比赛项目，六人报名参加，下列条件下各有多少种不同方法？(1)每人参加一项; (2)每项一人且每人至多参加一项；（3）每项一人且每人参加项目数不限6、在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排1次考试，则有多少种不同的安排方案？二、特殊元素优先法（合理分类，准确分步）1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？2、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？3、0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？4、上午要上语文、数学、体育和外语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案有多少种？5、5人站成一排，A不能站两端，B不能站中间，有多少种不同的站法？6、五列火车停在五条轨道上，若甲车不停在第一轨道上，丙车不停在第三轨道上，则不同的停车方法有多少种？8、7、从6名短跑运动员种选4人参加4×100米接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？三、相邻问题——捆绑法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？3、10个人站成一排，规定甲乙两人之间必须有4个人，不同的排法有_______种.4、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有五个连续空位的坐法种数为______种.四、不相邻问题——插空法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？3、6个停车位置，有3辆车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有_________种。

解排列组合问题的十六种常用策略

解排列组合问题的十六种常用策略
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目录
• 排列问题 • 组合问题 • 排列与组合的关联 • 解题策略 • 实际应用
01 排列问题
定义与公式
定义
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
合问题常常涉及到如何合理地分组、分类和整理数据。
统计模型
在建立统计模型时，例如回归分析和生存分析，排列组合问题涉及到如何选择合适的模型和变量。
金融数学
投资组合优化
在金融数学中，排列组合问题常用于投资组合优化，例如如何合理地分配资产以最小化风险并最大化收益。
风险管理
在风险管理方面，排列组合问题涉及到如何评估和管理金融风险，例如市场风险和信用风险。
排除法需要准确判断哪些情况需要排除，并正确计算剩余情况。
分步法
分步法适用于多步骤、多阶段的问题，将问题分解为多个小步骤或小阶段进行计算。
分步法需要明确每一步骤或阶段的计算方法和相互之间的关系。
分类法
分类法适用于多种不同类型的问题，将问题按照不同的类型进行分类，然后分别进行计算。
分类法需要准确判断问题的类型，并正确计算每种类型的情况。
04 解题策略
直接法
直接法适用于简单问题，可以通过直接计算得出结果。
直接法需要熟练掌握排列组合的基本公式和原理。
间接法
间接法适用于不易直接计算的问题，通过排除或减去不满足条件的情况来得出结果。
VS
间接法需要准确判断哪些情况需要排除，并正确计算剩余情况。
排除法
排除法适用于存在多种限制条件的问题，通过排除不满足条件的情况来得出结果。

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种）解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

解决排列组合问题的常用方法

解决摆列组合问题的常用方法1.特别元素，优先办理；特别地点，优先考虑例 1：六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的摆列数（）.520 C答案： A剖析：法 1:先考虑排头，排尾，但这两个要求互相有影响，因此考虑分类。

第一类：乙在排头，有 A 种站法。

第二类：乙不在排头，自然他也不可以在排尾，这时候有 4 种选择即 C，还剩 5 个地点，甲不可以再排头因此只有4 种选择 C，剩下的全摆列，即有CCA种站法。

2.反面考虑法法 2: 全摆列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾）A-A*2+A =504例 2：某单位邀请 10 名教师中的 6 位参加一个会议，此中甲乙两位不可以同时参加，则邀请的不一样方法有多少种（）.98 C答案： D分析：法 1:①甲参加，乙不参加，有C=56种②乙参加，甲不参加，有C=56种③甲，乙都不参加，有C=28种则邀请的不一样方法有56+56+28=140种法 2:从反面考虑，甲乙都参加，有C=70种C-C=1403.捆绑法例 3：A、 B、 C、D、E 五人排成一排，此中 A、B 两人一定站在一同，共有（）种排法。

.72 C D24答案： C分析 :将 A、B 捆绑一同，与 C、D、E一同排，共有A44 24 种排法，A、B又有A22 2种排法，共有24 2 48种排法。

例 4：从单词“ equation ”选 5 个不一样的字母排成一排，且含有qu（此中 qu 相连且次序不变），共有（）种排法。

.480C D840答案： B分析：①从剩下的 6 个字母里选 3 个，有 C(6， 3)=20，②再将这 3 个字母和 qu 全摆列 A=24因此共有 20×24=480 种排法4.错位摆列错位摆列问题：有n 封信和 n 个信封，每封信都不装在自己的信封里，比方： 2 封信就有 1 种装法；3 封信的详细装法1→2,2→3,3→1 和 1→ 3,2→ 1,3→ 2 就有 2 种装法；跟着信封数量的增加，这类问题也随之复杂多了。

排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

排列组合的十二种策略复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：2.完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A种新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有47A 种方法。

解排列组合问题的十六种常用策略-人教版[原创]

=480
练习题某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ 20 ）
三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4舞蹈插入第一步排有 A5 种，好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法由分步计数原理,节目的 4 5 不同顺序共有A5 A6 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进相独独独相行排队再把不相邻元素插入中间和两端
一班二班
三班
四班
五班
六班
七班
练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？ 4
C
9
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数 m 1 为 C n 1
十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 3 C5 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 1 2 3 1 2 C5C5 C5C5+ C5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 再淘汰和小于10的偶数共___________ 9 3 1 2 C5C5+ C5 - 9 符合条件的取法共有___________
九.小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５这两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队 2 A2 共有____种排法，再排小集团内部共有 A22 A22 _______种排法，由分步计数原理共有 2 2 2 _______种排法. A2 A2 A2

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有A 22*A 66种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，先把剩下的5人排列，5人之间有6个空，把甲乙在6个空中选2个插入，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2655A A ⋅ 种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有13A 种，而其余学生的排法有44A 种，所以共有1344A A ⋅＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有33A 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有27A 种排法，所以不同的出场安排共有 2733A A ＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

高中数学解决排列组合问题常见策略

高中数学解决排列组合问题常见策略排列、组合问题是高中数学的重要知识之一，由于解这类问题时方法灵活，切入点多，且抽象性强，在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学习的难点之一。

如果在解决排列、组合问题时，注意常见的解题策略，则会降低学习这部分知识的难度。

1. 合理选择主元例1.公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2.公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2. 相邻问题捆绑法若元素（或位置）相邻，则将它们“捆绑”在一起，看作一个元素进行计算，然后再交换相邻元素（或位置）内部顺序算出总数。

例3. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生站在一起，共有多少种不同的站法？解：先把3名男生“捆绑”在一起当作一个元素，连同其余5名女生共6个元素，进行排列，再交换3名男生的位置3. 不相邻用插空法对于一些元素（或位置）不相邻的排列、组合问题，应先将其他元素（或位置）排好，再把不相邻的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）间插空。

例4. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生互不相邻共有多少种站法？解：先将5名女生排好，将3名男生插在5名女生之间的6个空位中4. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n 个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙5. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。

解排列组合问题的十七种常用策略

解排列组合问题的十七种常用策略一、特殊元素和特殊位置优先策略1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二、相邻元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________三、不相邻问题插空策略1. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为________四、定序问题倍缩空位插入策略1. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五、重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_______3.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法为_______六、环排问题线排策略一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈______七、多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______八、排列组合混合问题先选后排策略1. 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？2. 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种九、小集团问题先整体局部策略1. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种十、元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插C--入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n1.有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？3.求方程组 x+y+z+w=104的正整数解的组数。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一。

特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^1种方法，最后排其它位置共有A4^3种方法，根据分步计数原理得到答案为C4^1 × C3^1 × A4^3 = 288.入问题或空位法来解决。