现代控制理论第1章(改)

x1 0 x 1 2 LC 1 x 0 R 1 1 u x2 L LC
x2 x1 uC
输出方程为：
x1 y 1 0 x2
（3）系统状态变量的数目是唯一的
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为：
y ( n ) an1 y ( n 1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
┆ xn 1 xn y ( n 1)
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
xn y ( n ) a0 x1 a1 x2 an 1 xn b0u
1.1
状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量 在任意初始时刻 t 0 的值以及 t ≥ t 0 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同） 状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
系统的状态图如下：
x1 y 1 0 0 xn
1.2.2
微分方程中含有输入信号导数项
（一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
a2 a1 y a0 y b3 b2u b1u b0u y y u 选择状态变量：
( M m) g Ml
0 x1 1 1 0 x2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
例：如下图所示电路， u(t ) 为输入量， uC (t ) 为输出量。
建立方程： L di(t ) Ri(t ) uC (t ) u (t ) dt 初始条件： i (t ) i (t0 ) t t
0 0
duC (t ) iC dt
uC (t ) t t uC (t0 )
a11 a1n A an1 ann nn c11 c1n C cm1 cmn mn
b11 b1r B bn1 anr nr d11 d1r D d m1 d mr mr
可选择电枢电流 i D 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 u D为输入量，角速度 为输出量。
状态空间表达式
diD RD dt LD d K m dt J D
Ke 1 LD iD LD u D f 0 JD
于是
x1 x2 1u x2 x3 2u x3 a0 x1 a1 x2 a2 x3 3u
写成矩阵形式
x1 0 x x2 0 x3 a0 1 0 a1
状态图如下：
iD y 0 1
例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。
单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。
d2 y d2 在水平方向，应用牛顿第二定律： M 2 m 2 ( y l sin ) u dt dt 在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：2 d m 2 ( y l sin ) mg sin dt
x1 y 0u x2 y 0u 1u x1 1u
x3 0u 1u 2u x2 2u y
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a2 0 2 b1 a1 0 a2 1 2 b0 a0 0 a11 a2 2
duC (t ) 1 i(t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
i (t ) uC (t ) 0 1 uC (t )
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
而有：
d (sin ) (cos ) dt
d2 (sin ) ( sin ) 2 cos 2 dt
d (cos ) ( sin ) dt
d2 (cos ) ( cos ) 2 ( sin ) dt2
写成矩阵形式：
0 x1 x 0 2 0 xn a 0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 x1 0 0 x2 u 1 0 xn b an 1 0
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样 的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变 系统。
严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程 和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。
x1 y 1 0 x2
该系统的状态图如下
例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为 diD LD RDiD K e uD dt d 系统运动方程式为
K m i D f J D
dt
（式中， K e 为电动势常数； K m 为转矩常数； J D 为折合到电动 机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称 为系统动态方程，或称系统方程。
设： x1 i (t )
C 0 1
x2 uC (t )
x1 x x2
R - L A 1 C
1 - L 0
1 b L 0
1.2
由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。 这里分两种情况：
1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）
2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）
1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式 （注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相 抵消）
dy d2y 根据牛顿第二定律 F F ky f m 2 dt dt 2 d y dy 即： m 2 f ky F dt dt
选择状态变量 则：
x1 y
x2 y x1
x1 x2
k f dy 1 k f 1 x2 y F x1 x2 F m m dt m m m m
机械系统的系统方程为 1 x 0 x1 0 f 1 1 F k x 2 m m 的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统 设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此， 本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为：
1、状态空间表达式
2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换 6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
i(t ) 和 uC (t ) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态 变量
1.1.2 状态空间表达式 前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
uC (t ) u (t ) di(t ) R i(t ) dt L L L
di(t ) R dt L du (t ) 1 C dt C 1 i (t ) 1 L L u (t ) 0 uC (t ) 0
x3 a0 x1 a1 x2 a2 x3 b0u
1 0 a1 0 x1 0 1 x2 0 u a2 x3 b0
写成矩阵形式
x1 y 1 0 0 x2 x3
x Ax bu 则可以写成状态空间表达式： y Cx
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
u1 u u 2 u r y1 y y 2 ym
x1 x x 2 xn
线性化：当 和 较小时 ，有 sin 化简后，得
cos 1
2 0
( M m) ml u y m ml mg y
mg 1 u M M ( M m) g 1 u Ml Ml
求解得：
y
x x 选择状态变量 x1 y ， 2 x1 y ， 3 ，x4 x3
x1 0 x 0 2 x3 0 x 4 0
状态图为
u
为系统输入， y 为系统输出
1 0 0 0
0 mg M 0
x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
x f ( x, u) y g ( x, u)
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定 （2）状态变量选取的非唯一性 在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC 则其状态方程为