【红对勾】人教A版高中数学必修4课时作业14三角函数模型的简单应用 Word版含答案[ 高考]

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人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明

人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明教案说明：本教案是针对人教A版高中数学必修4中，三角函数模型的简单应用进行的教学设计。

本教案旨在通过教师引导学生运用三角函数模型解决实际问题，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。

教案目标：1.了解三角函数模型在实际问题中的应用；2.掌握三角函数模型的基本概念和方法；3.能够运用三角函数模型解决实际问题。

教案过程：Step 1 引入新课题（5分钟）1.通过给出一个具体的实际问题，引起学生的兴趣和思考，例如：现在有一根高塔，你站在塔的正前方，塔的高度是10米，你向上看到塔顶的角度是30°，请问你离塔多远？2.让学生思考该问题的解决思路和相关知识点，引导学生发现角度与距离之间的关系。

Step 2 探究三角函数模型的定义（20分钟）1.引导学生思考角度与距离之间的关系，引出正弦、余弦和正切的概念。

2.通过展示三角函数的定义和计算方法，让学生理解三角函数与角度之间的关系。

3.提供一些简单角度和距离的实例，让学生运用三角函数模型进行计算。

Step 3 运用三角函数模型解决实际问题（35分钟）1.提供一些与角度和距离有关的实际问题，如测算树木的高度、建筑物的高度等，让学生用三角函数模型解决。

2.引导学生分析问题的关键点，确定适当的假设和变量，并解决实际问题。

Step 4 知识总结（10分钟）1.总结三角函数模型的基本概念和用法。

2.让学生回答一些相关的问题，巩固所学内容。

3.布置相关作业，让学生继续练习和巩固知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生对三角函数模型的定义和应用有了初步的了解，可以初步运用三角函数模型解决实际问题。

但是由于课时有限，限制了学生对于三角函数模型的深入理解和运用，需要在后续的教学中进一步加强。

此外，在教学过程中，教师应引导学生思考和探究，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。

人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课稿

人教版高中数学必修4《三角函数模型简单应用》说课稿三角函数模型的简单应用(一)说课稿今天我说课的题目是《三角函数模型的简单应用(一)》，内容选自《人民教育出版社数学必修4》第一章第六节。

下面我从五个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教材分析（一）设计思想引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力。

（二）教材的地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。

并且课标对这节的要求是让学生了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

（三）教学重点和难点1．教学重点。

精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。

2．教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解的确定。

决问题；b、由图象求解析式时二、教学目标分析根据三角数函数模型应用及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：（一）基础知识目标。

a、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b、根据解析式作出图象并研究性质；c、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（二）能力训练目标。

让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（三）个性情感目标。

人教A版高中数学必修四+16+三角函数模型的简单应用+测试(教师版)+Word版含答案.docx

1.6三角函数模型的简单应用（检测教师版）答案：C为80.故选C.2. 单摆从某点开始来冋摆动，离开平衡位置的距离S cm 和时间十s 的函数关系为S= 8sin （2n t+yj,那么单摆来回摆动一次所需的时|'可为（答案：D 解析：因为G =2 Ji,所以7=—= 1.（I.）时间：40分钟总分：60分班级:姓名:-、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 某人血压满足函数式Az ）=24sin （160 Ji Z ）+110,其中为血压,（为时间，则此人每分钟心跳的次数为（A. 60B. 70C. 80D. 90解析：由于。

=160开，故函数的周期/=了,=80, 即每分钟心跳的次数B. nsC. 0.5 sD. 1 s3. 水平地面上发射的炮弹，初速度大小为ro,发射角为纥重力加速度为刃则炮弹上升的高度y 与飞行时间tZ 间的关系式为（）A. y= vol 1B. y= n )sin 0 t —~gtC. y= %sin 0 tD. y=旳cos 0 t答案:B解析：竖直方向的分速度K ）sin ",由竖直上抛运动的位移公式y= r o sin 0 t —^gt\故选B.4.单位圆上有两个动点从A ；同时从户（1,0）点出发, 沿圆周转动，弭点按逆时针方向转，速度 ^j-^-rad/s, N 点按顺时针方向转，速度为寸~rad/s,则它们出发后第三次相遇时各口走过的弧度数分别为（）B. D.答案：C解析：设IV 两点走过的弧长分别为Z 和厶，自出发至第三次相遇，经过七秒，则JI，2=亍・JI JI・・・百汁亍=6”，・・・Q12, ・・・22n,厶=4「5. 如图为2017年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线,其近似满足函数y=«inS+O ）+胡>0, 3>0, y<0<n 的半个周期的图彖，则该天8 h 的温度大约为（答案:D解析：由题意得 J=|x (30-10)=10,方=£x (30+10)=20. 72X(14-6)=16, A —=16,+20,将 x=6,尸 10 代入得 10sinlyX6+ 0 1+20、 JT “ 3 兀 An 3 nA 卜 0丿=一1,由于勺-〈0<兀，可得 ^=—, .•.y=10sin^—jr+—I的温度大约为13 °C,故选D ・6. 一根长/厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s （厘兀7. 电流/（mA ）随时间t （s ）变化的函数关系是/=3sinlOO7T f+y,则电流/变化的最小正周期、B. 15 °CC. 14 °CD. 13 °CJT(\・••尸 10sin (瓦卄 4>\= 10,即 sin]*20,[6, 14].当 ^=8 时，y=10sin|仔 X8+扌 n) + 20 = 20 —5电~13,即该天8 h米）和时间方（秒）的函数关系是：s=3cos jr+yj.已知尸980厘米/秒，耍使小球摆动的周期是1秒, 980 A. ------- c答案：C 245 C. _cm兀D.980 —cm 兀乡=980, 7=b 得 7=9801 — 245 "cm.二.填空题（共2小题，每题5分,共10分）A. 16 °C245解析：由周期线的长度应当是（），所以小球的摆动周期T=2 乂由1=\代入兀=3. 14, 2兀频率和振幅分别为 _____ , _______ , ______ . 答案:寺50 3解析：最小正周期7'=佥〜击；频率f#=50；振幅 43.8. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4. 8 m,圆上最低点与地而距离为0. 8 m, 60秒转动一圈，图中滋与地而垂直，以滋为始边，逆时针转动0角到处，设〃点与地面距离是力，则力与（）间的函数关系式为 _____________________________ .解析:以0为原点建立坐标系，如右图，则以&为始边，处为终边的角为0 故点〃的坐标为（4.8cos （ “一*）, 4.8sin （ 0 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9. 交流电的电压/单位：V ）随时间H 单位：s ）变化的关系式是上-220^sin （100 兀 H ■制，［0, +<^）.⑴求开始时（1=0）的电压；⑵求电压的最大值和首次达到最大值的时间:（3）求电压的最大值重复出现一次的时间间隔.解:（1）当十=0时，F=22甘Xsirr 才=11曾，即开始时的电压为11甘 V.（2）电压的最大值为220羽V.答案:：.h =5.6+4. 8sin 0当100Z+时，片血，即电压首次达到最大值的时间为肖S.（3）C 金'=帶，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为帶s.10. 电流强度/（A ）随时间Ms ）变化的关系式是/=〃sin （讥+ 0）/>0, 6>>0, Rl<y.⑴若/=〃sin （讥+ 0）在一个周期内的图彖如图所示，试根据图彖写出/=Ssin （少汁0）的解析式；JI JI (IT A2 ,・•・ ^―, /= 300sini IOO TI t+—\（2）由题意，知幻岛，・・・G 2200H ,・•・正整数Q 的最小值为629.G 1UU⑵为了使I=Asin^t+ 0）中的£在任意一个血的时间段内电流强度/能取得最大值与最小值，那么正整数G 的最小值是多少? 解：（1）由图，可知月=300.设心=一计了乙=吉，1 1 f2=60* - T=tl ~U=^300・•・4=耳=100兀，・・・7=300sin(100兀z+O).将為0）代入解析式,, JI得—e=Ji .. Ji A (/>=—+2kTi , kEZ V R | <—,。

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理：(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例1.已知电流I 与时间t 的关系为I=Asin(ωt＋φ).(1)如图所示的是I=Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I=Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1.一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S=6sin(2πt＋π6).(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t=0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？类型二三角函数模型在生活中的应用例2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59＋4923)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解； (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2.如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l=________ cm.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α=Asin(ωt＋π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时，α=π3，且每经过π s 小球回到初始位置，那么A=________；α关于t 的函数解析式是____________________.4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，t∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)=Asin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )A.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12，x∈N *)B.f(x)=9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x≤12，x∈N *)C.f(x)=22sin π4x ＋7(1≤x≤12，x∈N *)D.f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N *)3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数：F(t)=50＋4sin t2(t≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )A.ω=2π15，A=3 B .ω=152π，A=3 C.ω=2π15，A=5 D .ω=152π，A=55.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.106.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM=BP=2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h(t) m ，则h(t)等于( )A.30sin(π12t －π2)＋30B.30sin(π6t －π2)＋30C.30sin(π6t －π2)＋32D.30sin(π6t －π2)7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s=6sin(100πt＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 s B.1100s C.50 s D.100 s二、填空题8.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt＋π6)(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t=150秒时，电流强度是________安.9.设某人的血压满足函数式p(t)=115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________.10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60].12.设偶函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f(16)的值为________.三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y=－sin πx2的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.815.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式.答案解析例1.根据图中数据求I=Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)解：(1)由图可知A=300，设t 1=－1900，t 2=1180，则周期T=2(t 2－t 1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900=175.∴ω=2πT =150π.又当t=1180时，I=0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ=0，而|φ|<π2，∴φ=π6. 故所求的解析式为I=300sin ⎝⎛⎭⎪⎫150πt＋π6. (2)依题意知，周期T≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω=943.跟踪训练1.解：(1)周期T=2π2π=1(s).t 0 16 512 23 11121 2πt＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 2π＋π66sin(2πt＋π6)36－63描点画图：(2)①小球开始摆动(即t=0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 例2.解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米，则α=2π18t=π9t.由y=108－982－982cos π9t=－49cos π9t ＋59(t≥0).令－49cos π9t ＋59=692，得cos π9t=12，∴π9t=2kπ±π3，故t=18k±3，k∈Z ，故t=3，15，21，33.故当此人第四次距离地面692米时用了33分钟.(2)由题意得－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t≤－32.故不妨在第一个周期内求即可，所以5π6≤π9t≤7π6，解得152≤t≤212，故212－152=3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.跟踪训练2.解：(1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t=π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h=10sin π15t ＋12(t≥0).(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.答案：g 4π2解析：∵T=2πgl=1，∴ g l =2π，∴l=g4π2.2.答案：20.5解析：由题意可知A=28－182=5，a=28＋182=23，从而y=5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)＋23. 故10月份的平均气温值为y=5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23=20.5.3.答案：π3，α=π3sin(2t ＋π2)，t∈[0，＋∞)；解析：∵当t=0时，α=π3，∴π3=Asin π2，∴A=π3.又∵周期T=π，∴2πω=π，解得ω=2.故所求的函数解析式是α=π3sin(2t ＋π2)，t∈[0，＋∞).4.解：(1)因为f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t<24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t=2时，sin(π12t ＋π3)=1；当t=14时，sin(π12t ＋π3)=－1.于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t<24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.1.答案：D解析：该质点的振动周期为T=2×(0.7－0.3)=0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.答案：A解析：令x=3可排除D ，令x=7可排除B ，由A=9－52=2可排除C.或由题意，可得A=9－52=2，b=7，周期T=2πω=2×(7－3)=8，∴ω=π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x=3时，y=9，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7=9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ=1. ∵|φ|＜π2，∴φ=－π4.∴f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12，x∈N *).3.答案：C解析：由2kπ－π2≤t 2≤2kπ＋π2，k∈Z 知，函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z .当k=1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.答案:A解析:由题目可知最大值为5，所以5=A×1＋2⇒A=3.T=15 s ，则ω=2π15.故选A.5.答案:C解析:由题干图易得y min =k －3=2，则k=5.∴y max =k ＋3=8. 6.答案:B解析:过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12=π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t.设θ=π6t ，当θ>π2时，∠BON=θ－π2，h=OA ＋BN=30＋30sin(θ－π2)，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h=30＋30sin(θ－π2)=30sin(π6t －π2)＋30.7.答案：A8.答案：5解析：由图象可知A=10，周期T=2×(4300－1300)=150， ∴ω=2πT =100π，∴I=10sin(100πt＋π6)，当t=150秒时，I=10sin(2π＋π6)=5(安). 9.答案：80；解析：T=2π160π=180(分)，f=1T=80(次/分). 10.答案：h=－6sin π6t ，t∈[0，24] 解析：根据题图设h=Asin(ωt＋φ)，则A=6，T=12，2πω=12，∴ω=π6. 点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ=0，∴φ=－π， ∴h=6sin(π6t －π)=－6sin π6t ，t∈[0，24]. 11.答案：10sin πt 60解析：将解析式可写为d=Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A=10，当t=0时，d=0，得φ=0；当t=30时，d=10，可得ω=π60，所以d=10sin πt 60. 12.答案：34解析：取K ，L 的中点N ，则MN=12，因此A=12.由T=2得ω=π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ=π2，∴f(x)=12cos πx，∴f(16)=12cos π6=34. 13.解：(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6，则OP 在时间t(s)内所转过的角为π6t. 由题意可知水轮逆时针转动，得z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t=0时，z=0，得sin φ=－12，即φ=－π6.故所求的函数关系式为z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2=6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6=1，令π6t －π6=π2，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.14.答案：C ；15.解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y=Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A=12×(50－30)=10，b=12×(50＋30)=40. ∵12×2πω=14－8，∴ω=π6.∴y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x=8，y=30代入上式，又∵0<φ<π2，∴φ=π6. ∴所求解析式为y=10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x∈[8，14].。

《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-6三角函数模型的简单应用

∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sin6πt＋10.
海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5 (m)．
故当y≥11.5时就可以进港．令y＝3sin6πt＋10≥11.5，得sin6πt≥12， ∴π6＋2kπ≤6πt≤56π＋2kπ(k∈Z)， ∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；
解：(1)∵ω＝
gl ，∴T＝2ωπ＝2π
gl ，f＝21π
g l.
(2)若T＝1 s，则l＝4gπ2≈24.8 (cm)．
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【解析】由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈ [－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表示的函数为奇函数，B中图象表示的函数为偶函数，C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
【答案】 C
通法提炼已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
通法提炼在生活中，呈周期变化的现象，常用三角函数y＝ Asinωx＋φ＋b来描述，通过讨论其图象和性质来解决实际问题.
某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(ω>0，φ<0)．
(1)根据图中数据求函数解析式； (2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？
函数y＝ln(cosx)(－π2<x<2π)的大致图象是( )

人教版高中数学必修四课时提升作业(十四) 1.6 三角函数模型的简单应用 Word版含解析

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课时提升作业(十四)
三角函数模型的简单应用
(分钟分)
一、选择题(每小题分，共分)
.函数()的部分图象如图所示，则()的解析式可以是( )
()
()
()
()··
【解析】选.观察图象知函数为奇函数，排除，又在时函数有意义，
排除，取，由图象知，排除.
【补偿训练】现有四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是( )
.①④②③.①④③②
.④①②③.③④②①
【解析】选.①为偶函数，对应左数第图；
②为奇函数，但当>时，不恒大于等于，对应左数第图；
③为奇函数，当>时恒大于等于，对应左数第图.
④·对应左数第图，综上知，正确.
.(·陕西高考)如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函
数，据此函数可知，这段时间水深(单位：)的最大值为( )
【解析】选.不妨设水深的最大值为，由题意结合函数图象可得①②
解之得.
【补偿训练】(·武汉高一检测)夏季来临，人们注意避暑，如图是成都市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数。

人教版高中数学必修四教材用书第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用 Word版含答案

．三角函数模型的简单应用[导入新知]．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．[化解疑难]三角函数模型应用流程()审题：确定选用什么样的函数模型解题．()建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型．()解模：运用三角函数的相关公式进行化简．()还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．[例] [答案] [类题通法]解决函数图象与解析式对应问题的策略()解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．()利用图象确定函数＝(ω＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数，ω，φ.其中由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求φ中最小的φ.[活学活用]函数()＝· 在区间上的大致图象为( )答案：[例] (单位：)的函数关系式为＝.()作出函数的图象．()当单摆开始摆动(＝)时，离开平衡位置的距离是多少？()当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？()单摆来回摆动一次需多长时间？[解] ()利用“五点法”可作出其图象．()因为当＝时，＝＝，所以此时离开平衡位置 .()离开平衡位置 .()因为＝＝，。

2020年高中数学人教A版必修4 同步作业本《三角函数模型的简单应用》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修4 同步作业本《三角函数模型的简单应用》一、选择题1.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时运动速度为零2.与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y=|sin x|B ．y=sin |x|C ．y=-sin |x|D ．y=-|sin x|3.一种波的波形为函数y=-sin π2x 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．84.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50＋4sin t2(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t 的单位是分，则车流量增加的时间段是( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]5.如图，某地一天中6时至14时的温度变化的曲线近似满足函数y=Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω＞0，π2＜φ＜π)，则估计中午12时的温度近似为( )A ．30 ℃B ．27 ℃C ．25 ℃D ．24 ℃6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图象大致是( )7.曲线y=Asin ωx＋a(A>0，ω>0)在区间[0，2πω]上截直线y=2及y=-1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a=12，A>32B ．a=12，A≤32 C ．a=1，A≥1 D ．a=1，A≤1二、填空题8.用作调频无线电信号的载波以y=asin(1.83×108πt)为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．9.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx＋φ)＋2，则有A=________，ω=________.10.如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t=0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d=________，其中t ∈[0,60]．12.已知函数y=Asin(ωx＋φ)＋n(A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，且直线x=-π3为其图象的一条对称轴，如果|φ|＜π2，那么此函数的解析式为________．三、解答题13.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)=115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．14.当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型；(2)当自然气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜于旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．15.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式．(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．答案解析1.答案为：B.解析：由题图可知，该质点的振幅为5 cm.2.答案为：C.解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x|＞0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.3.答案为：C.解析：函数y=-sin π2x 的周期T=4且x=3时y=1取得最大值，因此t≥7.故选C.4.答案为：C.解析：由2kπ-π2≤t 2≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得4kπ-π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．5.答案为：B.解析：由题中函数的图象可得b=20，A=30-20=10，根据14·2πω=10-6，可得ω=π8.再根据五点法作图可得，π8×6＋φ=3π2，求得φ=3π4，∴y=10sin(π8x ＋3π4)＋20.令x=12，可得y=10sin(3π2＋3π4)＋20=10sin π4＋20=10×22＋20≈27(℃)，故选B.6.答案为：C.解析：由l=αR，可知α=l R ，结合圆的几何性质可知d 2=Rsin α2，所以d=2Rsin α2=2Rsin l2R ，又R=1，所以d=2sin l2，故结合正弦图象可知C 项正确．7.答案为：A.解析：图象的上、下部分的分界线为y=2＋－12=12，得a=12，且(A ＋a)-(-A ＋a)＞2-(-1)，即2A>3，A>32.8.答案为：1.09×10-8 s 9.17×107Hz ；解析：T=2πω=2π1.83×108π≈1.09×10-8(s)，f=1T=9.17×107(Hz)．9.答案为：3，215π；解析：水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转215π rad，所以ω=215π.所以水轮上最高点离水面的距离为r ＋2=5(米)．即y max =A ＋2=5，所以A=3.10.答案为：y=rsin(ωt＋φ)；解析：当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt，则∠POx=ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y=rsin(ωt＋φ)．11.答案为：10sin πt60；解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sin πt 60=d25，所以d=10sinπt 60.12.答案为：y=2sin(4x-π6)＋2；解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝A ＋n ＝4，y min ＝－A ＋n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，n ＝2.又T=π2=2πω，所以ω=4.所以y=2sin(4x ＋φ)＋2.因为x=-π3为其图象的一条对称轴，所以4×(-π3)＋φ=π2＋kπ(k∈Z)，所以φ=kπ＋116π(k∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ=-π6.所以y=2sin(4x-π6)＋2.13.解：(1)T=2π|ω|=2π160π=180(min)．(2)f=1T=80.(3)p(t)max =115＋25=140(mmHg)，p(t)min =115-25=90(mmHg)．即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg ，在正常值范围内． 14.解：(1)以月份x 为横轴，气温t 为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t=Acos(ωx＋φ)＋k 来描述．由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，则A=17.9－9.52=4.2；k=17.9＋9.52=13.7.显然2πω=12，故ω=π6.又x=2时y 取最大值，依ωx＋φ=0，得φ=-ωx =-π6×2=-π3.所以t=4.2cos(πx 6-π3)＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式．(2)如图所示，作直线t=13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)．这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． 15.解：(1)以O 为坐标原点，OP 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，设摩天轮上某人在Q 处，则在t 秒内OQ 转过的角为2π20t ，所以t 秒时，Q 点的纵坐标为10·sin 2π20t ，故在t 秒时此人相对于地面的高度为y=10sin π10t ＋12(米)．(2)令y=10sin π10t ＋12≤10，则sin π10t≤-15.因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．。

高中数学人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》教案

1.6 三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。

能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。

体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。

情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。

三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。

学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。

教学手段：运用多媒体辅助教学。

四、教学基本流程步骤师生活动作图观察得：函数y=|x-1|的图象是将y=x-1的图象_______________________________而得到。

２）画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。

作图观察得：函数y=|sinx|的图象是将y=sinx的图象______________而得到。

培养学生用类比学习的方法来解决问题。

让学生到黑板上画图并解答这两个问题，老师适当引导，适时给予鼓励与肯定，激发学生学习和探索新知的兴趣和热情。

三、释疑：问题（1）属于根据________模型求解_________模型问题。

问题（2）属于根据_________模型求解______模型，并根据______认识性质。

提高概括能力,体会数学中式和形两种不同数学模型互相转化解决问题的思想方法，提升对三角函数模型应用问题的认识和解决能力。

高中数学人教A版必修四课时训练：1.6 三角函数模型的简单应用 1.6 Word版含答案

§1.6 三角函数模型的简单应用课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________________________. (3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝______，ωx 4＋φ＝____________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24] 题号 1 2 3 4 5 答案 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 7．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 8．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题9. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()12．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期作业设计 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴．所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3.因此选D.] 4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中，我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.] 6．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 7．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分)．8.g 4π2 解析 T ＝2πgl ＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．11．C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]12．10sin πt60解析将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。

数学人教A版必修4教学设计：1.6三角函数模型的简单应用 Word版含解析

教学设计1．6 三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力；培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．3．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力．并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题．课时安排2课时教学过程第1课时作者：雷泽刚1．内容和内容解析(1)内容：人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修(4)第一章第六节《三角函数模型的简单应用》第一课时(2)内容分析：本节内容是在前面学习了三角函数的概念、性质与图象之后，专门设置了三角函数模型的应用，其目的是为了加强用三角函数模型来刻画周期变化规律的实际问题，以提高学生解决实际问题的能力．根据教材的安排，本节内容的4个例题共分两个课时，本节课是第一课时，考虑到例1是围绕根据图象建立三角函数解析式，例3是将实际问题抽象出三角函数的模型问题，为系统展示三角函数的应用广泛性和真实性，选择了例1、例3作为示例．2．目标和目标解析(1)目标：了解数学建模的思想及其内涵，理解将实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，掌握三角函数性质及其图象的简单应用，使学生学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；培养学生的建模、探究问题、解决问题的能力．(2)目标解析：①通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；②体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的一种重要函数模型；③切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其他学科的联系，从而激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勤于思考的精神；④体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3．教学问题诊断分析本节课是三角函数的应用，数学问题的载体都是具有实际意义与生活背景的，本节课的两个问题是具有一定的广泛性和真实性的，如何引导学生从生活中的实际来抽出三角函数的模型，以及对应的数量关系是本节课成败的关键所在．在问题1的探究中，学生已掌握了三角函数的概念与性质，理解y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换，因此在求解析式中对A、ω的求解应该不是问题，但是对φ，b的求解就容易出错，因为φ的值不唯一，b的变化是针对整体图象的移动，有别于前面的图象平移，所以在处理此问题时一定要重点引导，加以区别强调；为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我拓展了第三小题“求出11时的近似温度”．在问题2的探究中，其实际问题的背景比较复杂，需要学生具备一定的综合性知识以及理解水平，对“太阳高度角”的理解可能比较费劲，我借助《几何画板》来展示形成过程，问题就可以迎刃而解了．4．教学支持条件分析为了有效实现教学目标，达到理想的教学效果，学生必须有一定的知识储备，尤其在地理方面的知识，如“太阳高度角”、南北回归线的纬度等；另外因为是解决实际问题，所以在处理数据时，需要借助计算机或计算器；最后就是为了体现问题的真实性与广泛性，有条件的学校可以提供网络链接，让学生真实感受到数学问题的背景的存在．5.教学过程设计盖一新楼，你知道这两楼之间的间距应不小于多少米吗？：两楼之间的距离由什么的长短来决定？根据你所掌握的地理知识，结合今天所学，写一篇关于当地某小区的住户正午能否享受太阳照射数学源于生活，应用于生活．本课的设计思路是：以“情景—探究—建构”的教学模式为指导，通过“宜居”这一生活话题搭建平台，并从中提炼数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践．在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“青岛”这一背景，围绕“自然环境”与“人文环境”引出两个数学问题，让学生在探究问题的过程中既学习了数学知识，又培养了人文素养，提高了综合素质；在思维拓展中，围绕当地房屋建设以及拆楼事件提出相关问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；在课后反馈中，设计一道开放性的研究性课题，旨在引导学生全方位，多角度的思考问题，启发学生创造性的想象和推理，以上种种正好体现出新课程的新理念．第2课时作者：高洪武教学目标巩固已知三角函数，求给定自变量对应的函数值；已知三角函数值，求相应自变量的值；利用图象解三角不等式；利用二分法求相应方程的近似解；培养学生数学应用意识，提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力．教学重点用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题．教学难点对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型．教学媒体几何画板教学流程给出出港口水深数据，提出问题↓根据散点图形特征，选择适当的函数拟合↓求解函数模型↓利用函数模型解决实际问题↓反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想教学过程1．情景展示，新课导入【师】经过前面的学习，大家知道，在现实世界中存在着大量的周期性变化的现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要的数学模型．这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用．(教师板书课题：§1.6 三角函数模型的简单应用)【师】请看这样一副画面：这是我们所熟悉的温州市区著名景点——江心屿(图1)，江心屿上面有座峙庙——江心峙(图2)，旁边这位人物是(稍微停顿)温州南宋时期著名状元诗人——王十朋(图3)．(学生不是很熟悉，已经淡忘了)他在江心峙中题了一副非常知名的对联．(学生又想起来了)(呈现对联)上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：朝长长长长长长长长消．(师生齐朗诵，课堂气氛活跃)．【师】在这里，诗人王十朋巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面，当然他对瓯江潮水的描述也是感性的．今天我们将从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题．2．问题提出，探究解决【师】老师想问大家一个问题：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？【生】水深情况．【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表．那么这张表格是如何产生的呢？请同学们看下面这个问题．问题探究1：下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：【生】(思考中)发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．【师】水的深度变化有什么特点吗？【生】水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5米，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少．【师】大家发现，水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，我们需要做什么工作呢？【生】需要画图．【师】非常好，下面大家拿出一张白纸，以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中．(学生活动：作图)【师】(电脑呈现作图结果)大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的图象？【生】跟三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 很像．(师板书) 【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗？ (学生活动，求解析式)【生】由图得A ＝7.5－2.52＝2.5，b ＝5，T ＝2πω＝12，ω＝π6，φ＝0，∴y ＝2.5sin πx6＋5.【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程(因为时间关系，老师事先已经帮大家检验过了，这里就不检验，同学们可以下去检验)有了这个模型，我们要制定一个整点时水深的近似值，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少？(学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表)在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究2：一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？(师生一起分析)【师】只有当“实际水深≥吃水深度＋安全间隙”时，船只才可以进去或离开港口．怎样用数学语言将这一条件描述出来呢？【生】2.5sin πx 6＋5≥4＋1.5，即sin πx6≥0.2，(师生齐分析)解三角不等式，通常我们是算去边界值，然后再确定解的范围．【师】令sin πx6＝0.2.(学生活动：操作计算器计算)πx6≈0.201 4，x ≈0.384 6，【师】我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0,24]范围内，其他一些解该怎么求呢？我们来看图象情况．(电脑呈现图象)发现：在[0,24]范围内，方程sin πx6＝0.2的解一共有4个，从小到大依次记为：x A ，x B ，x C ，x D 那么其他三个值如何求得呢？(学生思考)x B ≈6－0.384 6＝5.615 4，x C ≈12＋0.384 6＝12.384 6，x D ≈12＋5.615 4＝17.615 4. 【师】得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？(学生讨论，交流)【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港．【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港．【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全．(学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可陷入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮)【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：问题探究3：一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？ (学生讨论)【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必须停止卸货．【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深≥安全水深即：2.5sin πx6＋5≥5.5－0.3(x －2)，【师】这样的不等式大家会解吗？【生】不会．【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题．(电脑作图并呈现)通过图象可以看出，当快要到P 时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区．那么P 点的坐标如何求得呢？ (学生思考，讨论，交流)【师】P 点横坐标即为方程2.5sin πx6＋5＝5.5－0.3(x －2)的解，很显然，精确解我们是无法求得，我们只能求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？【生】二分法．【师】如何用二分法求得近似解呢？ (师生共同分析)由图得点P 在[6,7]，故我们只需要算出6,6.5,7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题.【师】从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来．这样对老板来说就会造成才力、物力上的巨大浪费．这显然不是老板愿意看到的．那该怎么来做呢？(学生讨论)【生】可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度．【师】看下面这个问题：问题探究4：若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少米速度减少？(学生课后探究)3．课时小结，认识深化(师生一起归纳)(1)回顾我们整个探究过程，经历了这么几个阶段：第一阶段：收集数据——画散点图(为了更加直观形象揭示变化规律)；第二阶段：根据图象特征——选择适当函数类型，并求得函数类型；第三阶段：函数模型在实际问题中的应用．(2)在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：①对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；②在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；③在用代数方法解决一些问题困难时，用到了数形结合的思想；④在方程的求解过程中，用到了算法中的“二分法”思想．【师】这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中货船进出港问题，这只是三角函数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程中做个有心人，学会用数学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时努力去尝试用学过的数学知识处理一些实际问题．4．作业布置，延时探究(1)电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次．请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期．(2)一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论．。

人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案

三角函数模型的简单应用（第一课时）教材：人教A版·一般高中课程标准实验教科书·数学必修4教学目标：知识目标—学生能够从实际问题中发觉周期性转变的规律，把发觉的规律抽象为适当的三角模型，并解决相关的实际问题．能力目标—让学生体验一些具有周期性转变规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培育学生的创新精神和实践能力。

情感目标—让学生切身感受数学建模的进程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.教学重点、难点：教学重点—用三角函数模型解决一些具有周期性转变规律的实际问题.教学难点—从实际问题中抽取大体的数学关系来成立数学模型，并调动相关学科知识来解决问题.教学方式:教学方式—启发式、讲练相结合式学习方式—小组自主探讨、合作交流式教学手腕—为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学，提高课堂效率。

教学进程:教学评判：1．关注学生在探讨学习进程中的表现：包括学生的投入程度和思维水平的进展. 2．通过练习检测学生对知识的把握情形可能显现问题：可不能构造适当的三角函数模型，依照已知条件可不能求解解析式等.3．依照学生在课堂小结中的表现和课后作业情形，查缺补漏.三角函数模型的简单应用（第1课时）教案说明一、教学内容的分析《一般高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识和技术、重视学生的学习进程和方式，培育学生的情感、态度、价值观的三维目标。

为此，结合本节课的教学内容和本校学生的实际情形，教学进程中注重进程、方式，引导学生不断提出问题、研究问题，并解决问题。

重视互动交流，在教学活动中渗透情感态度与价值观。

“数学来源于生活，并运用于生活。

”三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，能够用来研究生活中的很多实际问题，本课通过2个例题和2个探讨题循序渐进地介绍三角函数模型在实际生活中的应用，目的在于增强三角函数图像与性质的学习，要求学生在例题中体会三角函数模型刻画周期现象的基础上，把握三角函数模型实际应用，并在教学进程中渗透数学化归和数形结合的思想。

高中数学必修四[人教A版]1.6《三角函数模型的简单应用》ppt课件

三角函数模型的简单应用
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际问题和物理问题中有着广泛的应用.
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
D. y 1 sin(2x ) o 7
x
5
5
10 20
2.已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0
3
时有最小值-2，那么函数的解析式为（ C ）
A． y 2sin 3 x
2
C． y 2sin(3x )
2
B． y 2sin(3x )
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深 (米)
时刻水深(米) 时刻
水深 (米)
0.00 5.00
9.00
2.50
18.0 0
5.00
（13）.0选0 用7一.5个0 函1数2.0来0近似5.描00述这2个10.0港口2的.50水深与时间的函解数6:.关0以0系时，间5.给为00出横整坐15点标.0时,0水的深7水为.5深0纵的坐近2标40似.,0画数出值5散.0（0点精图确(如0.0图0)1.）根.
解:建立直角坐标
H A
系如图所示
O
T
M
由题意知:所求函数的模型为
h Asin(t ) B.
则A=2, B=2.5, ∵ T=12, ∴ω=

人教a版高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明.docx

《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教人版•普通高中课程标准实验教科书•数学•必修4|【教学目标】|知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。

过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。

情感、态度、价值观：理性描述生活屮的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。

【教学重点、难苗教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

【教学方法】教法：创设情景法、引导发现法。

学法：自主探索、尝试总结。

教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。

【教学过程】特点一：问题生活化创设情景,呈现问题教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图创设情景（播放长隆水上乐园冲浪的景象）利用多媒体播放视频。

观看视频，获得感性认识。

从学生喜闻乐见的牛活情景中抽象出简单的三角函数模型周期，激发学生的学习兴趣，使学生获得成功喜悦，增强学习自信心，营造轻松的课堂气氛。

提出问题问题一:像哪类目问题二:并近似神y = A sir式。

sv>in冲浪池中橡皮圈移动的路径勺数？某一橡皮圈的路径如图所示，靑足满足函数1（处+ °）+ b,请找出其解析/^\ ,提出问题，板书课题，引导学生发现最值与A、b之间的关系和提醒学生注意自变量范围。

观察图象，找出41（1吨、0=0、b= 20 解决问题。

4 »2 /卜 0变式训练如图，2从6吋至温度变彳似满\ y =A sir（1）求（2）写某地一天提出问题，提问学生。

观察图象，求出解析式（运用待定系数法）。

学牛体会题目多样性的同时,渗透了数学的化归思想。

IJ 14吋的 #・.•/「匕曲线近4::胡口6 9 >01214录电函数 f1（处+ 0） + /?。

必修四三角函数模型的简单应用(附答案)

必修四三角函数模型的简单应用(附答案)三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型．知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．思考1三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝π|ω|.思考2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝答案 20℃ 10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14] 知识点二三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．题型一三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6. 故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是：S ＝6sin(2πt ＋π6)． (1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？少？③小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T＝2π2π＝1(s)．列表：t 01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin(2πt＋π6)360－60 3描点画图：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 cm.③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．题型二三角函数模型在生活中的应用例2某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.13.9.97.10.13.10.17.10.据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝A sin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3， B ＝12(y max ＋y min )＝10. ∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)． (2)由题意，得水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．跟踪训练2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin(π30t －π2)＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．利用三角函数线证明三角不等式例3心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P(t)的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数．解(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝2πω，可得T＝2π160π＝180(min)，所以函数P(t)的周期为180min.(2)函数P(t)的频率f＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0132011603320180P(t)/mmHg 11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．1．函数y ＝|sin 12x ＋13|的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4π D.π22．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm.3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6) (x＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C ．50 s D ．100 s2．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是． 7.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝，其中t ∈[0,60]．9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ . 三、解答题10.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．11.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.0.51.1.51.0.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1．答案 A 2．答案 g4π2 解析 T ＝2πg l ＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 3．答案 20.5解析由题意得⎩⎨⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝20.5.4．解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15 t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题 1.答案 A 2．答案 B解析当t＝1200时，I＝5sin(π2＋π3)＝5cosπ3＝2.5.3.答案 C解析d＝f(l)＝2sin l 2.4．答案 A解析由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I＝10sin(100πt＋π6)，当t＝1100秒时，I＝－5安．5．答案 C解析∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4，按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4，此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∴d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.二、填空题6．答案26,27,28解析∵T＝6πm，又∵23<6πm<34，∴8π<m<9π，且m∈Z，∴m＝26,27,28.7.答案3 4解析取K，L中点N，则MN＝1 2，因此A＝12.由T＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f(x)＝12cos πx，∴f(16)＝12cosπ6＝34.8．答案10sin πt 60解析将解析式可写为d＝A sin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sin πt 60.9．答案14 3解析依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z)，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．11.解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.12．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。