实验三人造卫星轨道11

2
= a 2 − c 2 cos 2 t = a − (a − b ) cos t
2 2 2 2
c2 2 2 = a 2 [1 − e 2 cos 2 t ] = a [1 − 2 cos t ] a
所以
L = 4a ∫
π /2
0
1 − e cos t dt
2 2
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椭圆轨道周长
L = 4∫
π /2
0
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
L = 4a ∫
级数展开
2 2
π /2
0
1 − e cos t dt
2 2
1 2 1 4 2 1 − e cos t ≈ 1 − e cos t − e cos 4 t 2 8
∫
近似计算
π /2
0
=
1 2 1 4 2 4 [1 − e cos t − e cos t ]dt 2 8 π 1 2 3 4
实验三:探月卫星的飞行速度计算 实验三 探月卫星的飞行速度计算 问题背景与数据处理 椭圆周长的近似计算 实验任务与操作 思考题与练习题
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实验准备： 实验准备：Matlab函数 函数
符号积分(精确 函数 符号积分 精确)函数：int 精确 函数：
Examples:
int(fun,var,a,b)
Vmax = 10.3023
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开普勒——天上的立法者 天上的立法者 开普勒 行星运动第一定律: 行星运动第一定律: 行星在通过太阳的平 面内沿椭圆轨道运行， 面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一 个焦点上。又叫“轨道定律” 个焦点上。又叫“轨道定律”。 行星运动第二定律: 行星运动第二定律:行星在椭圆轨道上运行的行星速 度不是常数，而是在相等时间内， 度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联 线所扫过的面积相等。又叫“面积定律” 线所扫过的面积相等。又叫“面积定律”。 行星运动第三定律: 行星运动第三定律:太阳系内所有行星公转周期的平 方同行星轨道半长径的立方之比为一常数， 方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律 也叫“调和定律” 也叫“调和定律”。
椭圆短半轴:
c=( H – h )/2
椭圆偏心率:
b= a −c
2
2
c e= = a
a −b a
2
2
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椭圆周长 由于
in t + b cos t dt
2 2 2 2
2 2 2 2
a sin t + b cos t = a (1 − cos t ) + b cos t
数值积分(近似 函数：quad 数值积分 近似)函数 近似 函数：
int(4*x*t,x,2,sin(t)) 2*sin(t)^2*t-8*t
q = quad(fun,a,b)
F = inline('1./(x.^3-2*x-5)'); Q = quad(F,0,2);
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中国探月
2007年10月24日18时05分，中国第 年 月 日 时 分 一颗探月卫星嫦娥一号在西昌卫星 发射中心发射升空。 发射中心发射升空。卫星进入的初 始轨道是周期为16 16小时的地球同步 始轨道是周期为16小时的地球同步 轨道。 轨道。 长征三号甲运载火箭提供给卫星在近地点的速度大 长征三号甲运载火箭提供给卫星在近地点的速度大 约为10.3（km/s）。这一速度比较低，不足以将卫 约为 （ ） 这一速度比较低， 星送往月球轨道,需要将速度提高到约10.9（km/s） 星送往月球轨道,需要将速度提高到约 （ ） 才能使卫星奔向月球。为了达到奔月速度， 才能使卫星奔向月球。为了达到奔月速度，中国航 天工程师使用了卫星变轨调速技术············ 天工程师使用了卫星变轨调速技术
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卫星轨道长度计算
我国探月卫星的初始轨道 近地点距离 h=200 km,远地点距离 H=51000 km, 地球半径 R=6378 km.卫星绕地球一周16小时
x =a cos t 0≤ t ≤2π 椭圆: y =b sin t
周长: 周长
L = 4∫
π /2
0
a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
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function mlab31() R=6378; h=200;H=51000; a=(h+H+2*R)/2; c=(H-h)/2; b=sqrt(a*a-c*c); t=(0:.05:2)*pi; x=a*cos(t);y=b*sin(t); plot(x,y,'k',-c,0,'ob'),hold on Mdistance=[51000,71000,128000,370000]; h=600;c0=c;
问题1: 问题 椭圆长半轴 a = ?椭圆短半轴 b = ? 椭圆短半轴 问题2: 问题 椭圆周长的积分计算 L = ？
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原始数据处理 近地点距离 h = 200 km, 远地点距离 H = 51000 km, 地球半径 R =6378 km 椭圆长半轴: 椭圆半焦距:
a=(h+H+2R)/2
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for k=1:4 H=Mdistance(k); a=(h+H+2*R)/2; c=(H-h)/2; b=sqrt(a*a-c*c); s=c-c0; if k==1,s=-s;end x=s+a*cos(t);y=b*sin(t); plot(x,y,'r','LineWidth',1) end x 10 1
[1 − e − e ] 2 4 128
1 2 3 4 L ≈ 2aπ [1 − e − e ] 4 128
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运载火箭提供给卫星的速度到底是多少？ 运载火箭提供给卫星的速度到底是多少？ h=200;H=51000;R=6378; a=(h+H+2*R)/2;c=(H-h)/2; e1=c/a; b=sqrt(a*a-c*c); T=16*3600;S1=a*b*pi/T; syms e2 t f=sqrt(1-e2*cos(t)^2); ft=subs(f,e2,e1*e1); S=int(ft,0,pi/2); L=4*a*double(S) V=L/T Vmax=2*S1/(R+h) %输入重要数据 输入重要数据 %计算长半轴和半焦距 计算长半轴和半焦距 %计算离心率和短半轴 计算离心率和短半轴 %定义两个符号变量 定义两个符号变量 %定义符号表达式 定义符号表达式 %替换离心率数据 替换离心率数据 %计算积分 计算积分 %符号数据转换为数值 符号数据转换为数值 %计算平均速度 计算平均速度
0.5 0 -0.5 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
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s1 = abπ / T
Vmax:=2*s1/(R + h) Vmin:=2*s1/(R + H)
s1 ≈ 0.5( R + h)l h s1 ≈ 0.5( R + H )l H
远地点
地球
近地点
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实验任务: 实验任务 计算各轨道周长和卫星平均速度 轨道名称 初始轨道 16小时轨道 小时轨道 24小时轨道 小时轨道 48小时轨道 小时轨道 地月转移轨道 近地点距离h 近地点距离 200km 600km 600km 600km 600km 远地点距离H 远地点距离 51000km 51000km 71400km 128000km 370000km
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根据Kepler第二定律 从地球到人造卫星的向径在相 第二定律,从地球到人造卫星的向径在相 根据 第二定律 等的时间内扫过相等的面积,由此可知 由此可知,人造卫星在 等的时间内扫过相等的面积 由此可知 人造卫星在 近地点的速度达到最大,而在远地点的速度达到最小 而在远地点的速度达到最小. 近地点的速度达到最大 而在远地点的速度达到最小 向径在每秒钟扫过的面积
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练习题与思考题
1.简述开普列第一定律和第二定律的内容 简述开普列第一定律和第二定律的内容; 简述开普列第一定律和第二定律的内容 2.卫星运行平均速度与第一宇宙速度相比如何？ 卫星运行平均速度与第一宇宙速度相比如何？ 卫星运行平均速度与第一宇宙速度相比如何 3.卫星运行最大速度在变轨过程中的变化规律？ 卫星运行最大速度在变轨过程中的变化规律？ 卫星运行最大速度在变轨过程中的变化规律 4.地月转移轨道的周期是否是 小时？ 地月转移轨道的周期是否是116小时 地月转移轨道的周期是否是 小时？
1 5. 说明面积计算公式 S = ∫ − ydx + xdy 2 Γ 的根据， 的根据，并证明椭圆面积公式 S = abπ
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%实验参考程序 实验参考程序 R=6378; %近地距离 h=[200,600,600,600,600]; H=[51000,51000,71000,128000,370000]; %远地距离 a=(h+H+2*R)/2; %长半轴 c=(H-h)/2;E2=(c./a).^2; %椭圆周长 L=2*pi*a.*(1-E2/4-3*E2.^2/64) Time=[16,15.63,23.3,50.5,225]*3600; %运行周期 Times=[16,16,24,48,232]*3600; %平均速度 V0=L./Times b=sqrt(a.*a-c.*c); S=a.*b.*pi./Times; Vmax=2*S./(R+h) %最大速度