《数学分析》第十四章幂级数 1

数学分析2课件：14-1 幂级数

n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当时,R 0 .
证明对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0

幂级数的知识点总结

幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。

我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。

当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。

当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。

收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。

3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。

我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。

具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。

三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。

幂级数习题课

第十四章幂级数习题课一疑难解析与注意事项1．如何求缺项幂级数的收敛半径答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式1lim n n n n aa ρρ+→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．例如幂级数2112n n n x ∞=∑，可令2y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112n n n y ∞=∑的收敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当22x >时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为R =2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．例如求幂级数2202nn n x ∞=∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数2202nnn x ∞=∑，因为22222222lim42n n n n nx xx ++→∞=，当214x<时，即2x <，2202nn n x ∞=∑收敛，则原来级数绝对收敛；当214x >时，即2x >，2202nnn x ∞=∑发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域答：1）首先求幂级数的收敛半径R ；2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论nn n a R∞=∑，()nn n a R ∞=-∑的收敛性，如果两个都收敛，则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（()nn n a R ∞=-∑收敛），(],R R -（nn n a R∞=∑收敛）．3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．例如幂级数n x n ∑的收敛区间是()1,1-，在端点1处，级数1n∑发散，在端点1-处级数()1nn-∑收敛，收敛域是[)1,1-．2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．n x n ∑在端点1-处是条件收敛，2nx n ∑收敛域是[]1,1-，在端点1与1-处都是绝对收敛的．4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗答：不一定，例如nx ∑收敛域为()1,1-，但逐项积分和幂级数为11n x n ++∑收敛域为[)1,1-．设幂级数0nn n a x ∞=∑，11n n n na x∞-=∑，11n n n x a n +∞=+∑收敛域分别是12,,D D D ，则有12D D D ⊂⊂ 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由n a 变为n na ，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由n a 变为1na n +，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．5．如何求幂级数的和函数答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求幂级数的和函数：（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数．（2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有!n ，向xe 的幂级数展开形式转化，系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化．注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．6．如何利用幂级数求数项级数的和答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点0x 处的值．然后求出幂级数的和函数()S x ，则()0S x 便是原数项级数的和．7．如何求函数f 在0x 处的幂级数展开式答：主要有以下两种方法：（1）直接法．计算函数f 在0x 处的各阶导数()()0n f x ，写出它的泰勒级数，然后证明()0lim =∞→x R n n ．（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围．三典型例题1．求幂级数的收敛域：1）∑n x n n )!2()!(2； 2）∑---)!12()2(12n x n ； 3）∑+-+n n n x n )1()2(3； 4）∑+++n x n)1211(Λ； 5）∑∞=1221n nnx ．解：1）由于2212[(1)!](2)!(1)1lim lim lim [2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n na n n n a n n n n ρ+→∞→∞→∞++==⋅==+++，因此收敛半径14R ρ==，当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2，通项记为n u ，则有 n u =)!2(4)!(2n n n =)!2(2)!(22n n n =)12(5312642-⋅⋅⋅⋅n nΛΛ12+>n ，于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑nx n n )!2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛域为)4,4(-．2）令2t x =-，则级数∑---)!12()2(12n x n 转化为21(21)!n t n --∑（缺陷幂级数），下面先求21(21)!n tn --∑的收敛域，因为21221(21)!lim lim 01(21)2(21)!n n n n t t n t n nn +-→∞→∞+==<+-，即对任意(),t ∈-∞+∞，21(21)!n t n --∑都收敛，因此21(21)!n t n --∑的收敛域为(),-∞+∞，因此的收敛域为(),-∞+∞．3）令1t x =+，则级数∑+-+nn n x n)1()2(3转化为3(2)n n n t n +-∑，下面先求3(2)n n n tn +-∑的收敛域，由于n ρ==3n ，所以收敛半径31=R ，因而级数3(2)n n nt n +-∑的收敛区间为11(,)33-，当13x =-时，级数为∑⎪⎭⎫⎝⎛--+nn n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n nn n 3211)1(收敛，当13x =时，级数为3(2)13n n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=1123n n n ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，123nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛（123n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，因为213n =<），∑n 1发散，故3(2)13nn n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，因此3(2)n n nt n +-∑的收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，级数∑+-+nn n x n )1()2(3的收敛域为11133x -≤+<的解集，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,34． 4）因为nn n 1⋅n n1211+++≤Λn n 1⋅≤，又∞→n lim11=⋅nn ，所以∞→n lim11211=+++nnΛ，从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时，n n n)1)(1211(lim ±+++∞→Λ0≠，可见级数∑+++nx n)1211(Λ在1±=x 时发散，故这个级数的收敛域为)1,1(-． 5）法1: (将其看成不缺项的幂级数 Λ++⋅++⋅4232210210x x x x )设 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==k n k n a kn 2,2112,0∑∑∞=∞==11221n n nn n nx a x ， 2121lim lim 2==∞→∞→nnn n n n a 2=∴R ．法2: 令t x =2，∑∞=121n nnt 收敛半径为2，故R = 法3: (将其视为以x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)22lim )()(lim 221x x x u x u n nn n ==∞→+∞→，当122<x 即 2<x 时幂级数收敛，当2>x 时发散，故R =．即收敛半径为R =，收敛区间是(，当x =时，∑∞=1221n nnx 为111212n n n n ∞∞===∑∑发散，因此收敛域为(． 2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）：（1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数；（2）求幂级数11nn x n ∞=+∑的和函数；（3）求幂级数11n n nx ∞-=∑的和函数；（4）求幂级数1n n nx ∞=∑的和函数；（5）求幂级数ΛΛ+++++++12531253n x x x x n 的和函数；（6）求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x 的和函数；（7）求幂级数1!nn x n ∞=∑的和函数．注：应用：求幂级数的和函数．思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)．必须的知识点：1）等比级数011nn ∞==-∑W W ，11nn ∞==-∑W W W---------； 2）牛顿莱布尼兹公式()()()xaf t dt f x f a '=-⎰；3）()()()xaf t dt f x '=⎰．注意点：1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求()0f 时必须要看级数展开式中第一项；例设()0n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是0a ，因此()00f a =．常见错误，有些人把0直接代通项，()0000n f ∞===∑．设()1n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是1a x ，因此()00f =．3）涉及到除以x 时，要讨论x 为0不为0．幂级数求和函数步骤:求其收敛半径R 和收敛域D ．在收敛区间内求和函数．(利用变量替换，逐项求积，逐项求导等方法) ，(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)；收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．写出和函数，注明定义域D ．解（1）1）求收敛域；1lim lim lim 1n nn n n n n a n n ρ→∞→∞→∞====（或111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===）；收敛半径11R ρ==；收敛区间()1,1-；当1x =-时，()11nn n∞=-∑收敛；当1x =时，11n n∞=∑发散．因此收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：因为等比级数系数为1或()1n-，而1n n x n∞=∑的系数为1n ，要向等比级数转化必须要把n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．令()1nn x f x n∞==∑，在收敛区间()1,1-上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）． ()1111n n f x x x∞-='==-∑， ()()()()0010ln 11xxf x f t dt f dt x t'=+==---⎰⎰，()1,1x ∈-．当1x =-时，（若幂级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续．）()()()111lim lim ln 1ln 2x x f f x x ++→-→--==--=-⎡⎤⎣⎦．（2）1）求收敛域；收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的1n +抵消，但是只有1n x +的求导才能出现1n +，必须要乘一个x ，除以一个x ，111111n n n n x x n x n +∞∞===++∑∑，而要除以x ，就必须讨论x 为0不为0．当0x =时，()00f =当0x ≠时，()111111n n n n x x f x n x n +∞∞====++∑∑，（只需要求出111n n x n +∞=+∑就会求出()f x ，下面求111n n x n +∞=+∑）令()111n n x g x n +∞==+∑，收敛域[)1,1-在收敛区间()1,1-上逐项求导．()11n n xg x x x∞='==-∑， ()()()()000ln 11xxtg x g t dt g dt x x t'=+==----⎰⎰，()1,1x ∈-．当1x =-时，()()()111lim lim ln 11ln 2x x g g x x x ++→-→--==---=-⎡⎤⎣⎦．于是()()()() 0 0ln 11 1,00,1 ln2 1 1x x f x x x x =⎧⎪-⎪=--∈-⎨⎪-=-⎪⎩U（3）收敛域为()1,1- 令()11n n f x nx ∞-==∑，对()11n n f x nx ∞-==∑在()1,1-上逐项积分；()1111xx n n n n xf t dt ntdt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， ()()2111x f x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-．（4）解1：收敛域为()1,1-()()-1211=1nn n n xf x nx x nx x ∞∞====-∑∑．解2 由于∞→n limnn a =∞→n lim11=⋅nn ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设111()nn n n f x nx x nx∞∞-====⋅∑∑，令∑∞=-=11)(n n nxx g在)1,1(-上对()g x 逐项积分得，dt t g x ⎰)(dt ntx n n ⎰∑∞=-=011=xx x n n -=∑∞=11所以=)(x g ()1xx '-=2)1(1x -，从而)(x f 2)1(x x -= （1<x ）．（5）讨论级数2121n n x n +∞=+∑，因为2322123lim21n n n x n x x n ++→∞+=+，当21x <，即1x <，21021n n x n +∞=+∑收敛，2121n n x n +∞=+∑收敛；当21x >，即1x >，21021n n x n +∞=+∑发散，2121n n x n +∞=+∑发散，因此收敛半径1R =，收敛区间为()1,1-，且1±=x 时，∑∞=+0121n n 与2100(1)12121n n n n n +∞∞==-=-++∑∑都是发散级数，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设210()21n n x f x n +∞==+∑，在)1,1(-逐项求导可得221()1n n f x x x ∞='==-∑，所以)(x f dt t x⎰-=0211x x-+=11ln 21 （1<x ），（6）由1)1(1lim =+∞→nn n n 知幂级数的收敛半径为1=R ．又1±=x 时，级数均收敛，故幂级数的收敛域为]1,1[-．令]1,1[,)1()(1-∈+=∑∞=x n n x x S n n则 ]1,1[,)1()(11-∈+=∑∞=+x n n x x xS n n 由于)1,1(-∈∀x ，有,))1(())((111∑∑∞=∞=+='+='n nn n nx n n x x xS,11)())((111∑∑∞=-∞=-=='=''n n n n x xn x x xS从而)1,1(-∈∀x ，有),1ln(1d d ))(())((00x ttt t tS x xS xx--=-=''='⎰⎰),1ln()1(d )1ln(d ))(()(0x x x t t t t tS x xS xx--+=--='=⎰⎰于是}.0{\)1,1(),1ln(11)(-∈∀--+=x x xxx S 而由)(x S 的定义， 0)0(=S ．此外，当1±=x 时， )(x S 在1-=x 处右连续，在1=x 处左连续．故,2ln 21)]1ln(11[lim )(lim )1(11-=--+==-++-→-→x xxx S S x x.1)]1ln(11[lim )(lim )1(11=--+==---→→x xxx S S x x综上知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈--+==.1,1};0{\)1,1[),1ln(11;0,0)(x x x x x x x S（7）易求收敛域为(),-∞∞，()1011,,!!n nx n n x x e x n n ∞∞===-=-∈-∞+∞∑∑． 3．利用幂级数求数项级数的和． 1）求级数∑∞=122n nnx的和函数，并求数项级数∑∞=19n n n的和； 2) 求级数∑∞=-1212n nn 的和；方法：先选择适当的幂级数，使该数项级数是所选幂级数在某收敛点0x 处的值，然后求出和函数)(x S ，则)(0x S 便为所求之和．解（1）法1：级数∑∞=122n nnx的收敛域为()11-，，∑∑∞=-∞==1121222n n n nnx x nx，令∑∞=-=1122)(n n nx x s ，逐项积分⎰∑∑⎰∞=∞=--===x n n nxn x x xdx nxdx x s 01122201212)(，两边求导，得22221)1(2)'1()(x xx x x s -=-=，所以222112)1(2)(2x x x xs nxn n-==∑∞=，()11x ∈-，，从而649)911(91221)31(22192121=-⋅==∑∑∞=∞=n nn nn n ．通过如下代数运算，使其求和过程非常简便．法2 令ΛΛ+++++=nnxx x x x s 26422642)( ，ΛΛ------=-+)1(286422642)(n nxx x x x s x ，222642212)(2)()1(xx xx x x x s x n-=+++++=-ΛΛ ，所以222)1(2)(x x x s -= ，()11x ∈-，．（2）作幂级数221212-∞=∑-n n n x n ，并设和函数为()S x ，则⎰∑⎰∑∞=∞=--=-=xn xn n n n nx dx x n dx x s 0101122221212)(2121)2(12212xx x x x n n -⋅==∑∞=)0(≠x ，两边求导，得2222)2(2)'2()(x x x x x S -+=-= )2(<x ，因为1x =在收敛区间内，故用1x =带入上式得∑∞==-=13212)1(n nn S ． 4．求函数的幂级数展开式1）将函数()2x e x f =，x a ，2sin x 展开成x 的幂级数；2）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数；3）将函数()2sin f x x =展开成x 的幂级数； 4）21)(2--=x x x f 在1=x 处的泰勒级数展开式； 5）求0x =处的泰勒级数展开式； 6）求()ln(f x x =在0x =处的泰勒级数展开式．注意：看清要在哪点展开；确保得到的是幂级数；注出定义域．解：1）将2x 视为一个整体，由xe 的展开式可知n n n n x x n x n e 2020!1)(!12∑∑∞=∞=== ，)(+∞<<-∞x ．类似地n n n nn ax x x n a a x n ea ∑∑∞=∞====00ln !)(ln )ln (!1 ，)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x ．∑∞=++-=01222)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞=++-=024)!12()1(n n n x n )(+∞<<-∞x ．2）∑∞==-011n nx x (11<<-x )⇒()011n n x x ∞==-+∑，()11x -<<． ⇒()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑，()11x -<≤． 10(1)ln ln[1(1)](1)1nn n x x x n ∞+=-=+-=-+∑ )20111(≤<≤-<-x x ，即．3）222221011cos 21212sin (1(1))(1),()22(2)!2(2)!n n n n n n n n x x x x x n n ∞∞+==-==--=--∞<<+∞∑∑． 4）]1121[31212+--=--x x x x11(1),0221(1)n n x x x x ∞=-==--<<---∑∑∞=<<---=-+=-+=+031,)21()1(21211121)1(2111n nn x x x x x100101(1)()[(1)(1)]321(1)[1](1),0 2.32n nn n n n nn n n f x x x x x ∞∞+==∞+=-∴=--+--=--<<∑∑∑5）[]1lnln(1)ln(1)2x x =+-- 11111(1)(1)()2n n n n n n x x n n ++∞∞==⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑1111(1)2n n n n n x x n n +∞∞==⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑∑211,(1,1)21n n x x n -∞==∈--∑． 6）()ln(f x x =，()f x '==，12221111()(1)(1)222(1)1!n n n x x n ∞-=-----+=+=+∑L211321()()()2221!n n n x n ∞=----=+∑L 21(1)(21)!!1,(1,1)!2n nnn n x x n ∞=--=+∈-∑．而(0)0f =，于是[]211(1)(21)!!(),1,1!2(21)n xn n n n f x x x x n n ∞+=--==+∈-+∑⎰．。

《数学分析》第十四章幂级数

第十四章幂级数（ 1 0 时）§1幂级数（ 4 时）幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel定理）若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛, {}有界.设||, 有|,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径 R的求法.Th 2 对于幂级数, 若, 则ⅰ>时,; ⅱ>时; ⅲ>时.证, (强调开方次数与的次数是一致的).……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1 求幂级数的收敛域 . ()例2 求幂级数的收敛域 . ()例3 求下列幂级数的收敛域:⑴; ⑵.例4 求级数的收敛域 .Ex [1]P50—51 1.二．幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证, 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)收敛,则幂级数在区间( 或)上一致收敛 .证.收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*) 和 **)仍为幂级数. 我们有Th 5 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 ) 注: *) 和 **)与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数.2. 幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.Th 6.Th 7 设幂级数和的收敛半径分别为和,, 则ⅰ>,—常数，.ⅱ>+,.ⅲ> ()(),,.3. 和函数的性质:Th 8 设在(内. 则ⅰ>在内连续;ⅱ> 若级数或收敛, 则在点( 或)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对,在点可微且有;ⅳ> 对,在区间上可积,且.注:当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有.推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有, …….注: 由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2 若, 则有例5 验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为.., 代入,.例6 由于,.所以,..,Ex [1]P50—51 4 , 5， 6 .§2 函数的幂级数展开（ 4 时）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项:,（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项:在与之间.或.积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有.Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得,称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导, 就可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin级数, 即级数.自然会有以下问题: 对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在点的某邻域内, 函数和其Taylor级数是否相等呢 ?2．函数与其Taylor级数的关系：例1 函数在点无限次可微. 求得,. 其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点的某邻域内倘有, 则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散, 即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛, 和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.⑵ 若幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂级数就是函数在点的Taylor级数.于是, 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.3．函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数在点可展为幂级数.当= 0 时, 称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.4. 可展条件:Th 1 (必要条件) 函数在点可展在点有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数在点有任意阶导数.则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对, 有.其中是Taylor公式中的余项.证把函数展开为阶Taylor公式, 有.Th 3 (充分条件) 设函数在点有任意阶导数, 且导函数所成函数列一致有界, 则函数可展.证利用Lagrange型余项, 设, 则有.例3 展开函数ⅰ> 按幂; ⅱ> 按幂.解,,.所以,ⅰ>.可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身.ⅱ>.Ex [1]P58 1，3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.1.. ( 验证对R ，在区间( 或)上有界, 得一致有界. 因此可展 )..2.,.,.可展是因为在内一致有界.3. 二项式的展开式:为正整数时,为多项式, 展开式为其自身;为不是正整数时, 可在区间内展开为对余项的讨论可利用Cauchy余项. 具体讨论参阅[1]P56.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第二分册.):当时, 收敛域为;当时, 收敛域为;当时, 收敛域为.利用二项式的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如取, 得，.取时, 得,.间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4...事实上, 利用上述的展开式, 两端积分, 就有,.验证知展开式在点收敛, 因此, 在区间上该展开式成立.5..由. 两端积分,有验证知上述展开式在点收敛, 因此该展开式在区间上成立.例4 展开函数.解.例5 展开函数.解.Ex [1]P58 2 ⑴―⑼,3⑵(提示) .。

第十四章幂级数

n =0 n=0
∞
∞
（14.2）
∫
x
0
f (t )dt = ∫
x ∞
0
∑ ant n dt = ∑
n =0
an n +1 x 。 n=0 n + 1
∞
（14.3）
证明： ∀x ∈ (− R, R ) ，取实数 r ，使 x < r < R ，由于式（14.1），（14.2），（14.3）右边的幂级数都以 ( − R, R ) 为收敛区间，故都在 [ − r , r ] 一致收敛，据函数级数逐项求导和逐项积分定理立证式（14.2），（14.3）成立。推论设幂级数
∑ax
1
收敛，当 ρ x > 1 时，
∑ax
n
n
发散，
∑ax
n
n
的收敛半径是
ρ
，从而幂级数
∑a x
n
n
的收敛半径是
1
ρ
。
注 3.若幂级数的奇项或偶项系数全为 0，即形如
∑ a2 n x 2 n ，或 ∑ a2n−1 x 2 n−1 ，
n=0 n =1
∞
∞
那么收敛半径 R 的确定，应该象定理 14.2 那样用正项级数的根式判别法和比式判别法来判定；也可用下面的方法求 ρ ：
评注：由于和函数在收敛域连续.故 S ( ±1) 的值可利用 lim S ( x ) 求出。
x →±1
补例 2（P24 题 5（1））求乘积级数
(∑ nx n −1 )[∑ ( −1) n −1 ⋅ nx n −1 ] 。
n =1 n =1
∞
∞
解：
∑ nx n−1 = (∑ ∫ nt n−1dt ) '

数学分析14.1幂级数

第十四章幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)，对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ，即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1，且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1，且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1，又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散，收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +；又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)

第14章幂级数§1幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，级数收敛，故收敛域为[－2，2]．（3）记所以，则收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．（4）因故收敛半径为收敛域为（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级数的收敛半径为收敛域为（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为当时，原级数可化为对于级数，因为故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．当时，原级数可化为因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为（7）设故收敛半径，故时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．（8）设，则因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．设内逐项求导，得故和函数（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．因为所以（3）记则收敛区域为（－1，1）．因为所以所以，因此3．证明：设在内收敛，若也收敛，则（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：证明：因在内收敛，所以有又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而又因为内收敛，且级数收敛，所以4．证明：（1）满足方程（2）满足方程证明：（1）设故，从而幂级数的收敛区间为，且y可在内任意阶可导，所以（2）设，故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数，由，可得所以又由5．证明：设f为幂级数（2）在（－R，R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项．证明：由可得当f（x）为奇函数时，故此时有当f（x）为偶函数时，，故此时有6．求下列幂级数的收敛域：解：（1）设故收敛半径，又当故原幂级数在|x|＝R时发散，收敛域为（－R，R）．（2）设，则，故收敛半径为时，所以原级数在时发散，故收敛域为7．证明定理14．3并求下列幂级数的收敛半径：证明：对任意的x，据定理12．8推论2可得：。

幂级数知识点总结高数大一

幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。

其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。

在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。

一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。

一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，$x$ 是变量，$\{a_n\}$ 是一组常数系数。

在幂级数的展开形式中，$a_n$ 表示第 $n$ 项的系数，$x^n$ 表示变量 $x$ 的指数幂。

二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。

收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 $R$；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。

三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 $|x| < 1$ 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 $x_0$ 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。

《数学分析》课件 (完整版)

第十一章广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性被积函数的有界性实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数在有定义，在任意有限区间上可积。若存在，则称之为在上的广义积分，记为此时亦称积分收敛；若不存在，则称积分发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当，均收敛时，定义显然，的值与的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时收敛，时发散，时,只能于时推得收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数，结果又如何呢？无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数绝对收敛，其和为，设为的任意重排，则亦绝对收敛，且和仍为
第十章数项级数
§5 无穷级数与代数运算有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。

第四讲幂级数的运算

数学分析第十四章幂级数
幂级数的运算
第四讲
数学分析第十四章幂级数
定理14. 9
n
n n a x ∞=∑0
n
n n b x ∞
=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相
同的和函数,(1,2,).
n n
a b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.
幂级数的运算
则它们同次幂项的系数相等, 即
数学分析第十四章幂级数
定理14. 10
n
n n a x 与
∞
=∑0n
n n b x
∞
=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00
,
||,
n n
n n a n n a x a x x R λλ∞∞
===<∑∑0
(),||,
n
n
n
n
n n n n n n a
x b x a b x x R ∞
∞
∞
===±=±<∑∑∑000
,||,n n n
n n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0
,min{,},.
n
a b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.
则
1
n
x+有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?
一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项幂级。

(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题

有界，由Dirichlet判别法，知二、解答题
收敛.
1．设，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
，的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列在有限闭区间上连续，在上等度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由在上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由时，有
，
；对于任意的
目录
第一部分名校考研真题第12章数项级数第13章函数列与函数项级数第14章幂级数第15章傅里叶级数第16章多元函数的极限与连续第17章多元函数微分学第18章隐函数定理及其应用第19章含参量积分
第20章曲线积分第21章重积分第22章曲面积分第23章向量函数微分学第二部分课后习题第12章数项级数第13章函数列与函数项级数第14章幂级数第15章傅里叶级数第16章多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即这里
，由比值判别法知
绝对收敛．

§14.1 幂级数数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

*点击以上标题可直接前往对应内容幂级数的一般形式为2010200()()()nnn a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-∑为方便起见, 下面将重点讨论 00x =的情形. ∞==+++++∑20120.(2)nnnn n ax a a x a x a x 0,x x -因为只要把(2)中的 x 换成就得到(1). 幂级数的收敛区间后退前进目录退出++-+0()(1)nn a x x 即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛, 0x x =≠则对满足不等式 ||||x x >的任何x , 幂级数(2)发散.20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑的任何x , ||||x x <则对满足不等式 x x =时发散, 若幂级数(2)在幂级数(2)收敛而且绝对收敛;即存在某正数 M , 使得||(0,1,2,).nn a x Mn <=||||,x x x <对任意一个满足不等式的设1,x r x=<则有 ||n n a x 由于级数 0nn Mr ∞=∑收敛,证 0,nn n a x 设级数收敛∞=∑(2)当 ||||x x <时绝对收敛.且有界, {}nn a x 从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数 ||n nn n n n n x x a x a x x x =⋅=.n Mr <设幂级数(2)在 x x =时 0x 0||||x x >如果存在一个, 满足不等式 , 且使级数 0nn n a x ∞=∑收敛, (2)应该在 x x =时绝对收敛, 与假设矛盾. 切满足不等式 ||||,x x x 的>幂级数(2)都发散. 注由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！间的长度, 发散, 则由定理得第一部分知, 所以对一下面证明定理的第二部分. 幂级数这是非常好的性质. 若以2R 表示区则称R 为幂级数的收敛半径.事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的上确界. 0R =0x =(i) 当时, 幂级数(2)仅在处收敛; (ii) ,(2)(,);R 当时幂级数在上收敛=+∞-∞+∞(iii) 0,(2)(,);R R R 当时幂级数在内收敛<<+∞-x R >x 对一切满足不等式的 , 幂级数(2)都发散; x R =±至于 , (2)可能收敛也可能发散. 为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑所以有因此称(,)R R -定理14.2对于幂级数(2), 若lim ,(3)nn n a ρ→∞=则当1(i)0,(2);R ρρ<<+∞=时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R ρ==+∞时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R ρ=+∞=时幂级数的收敛半径0ρ<<+∞(i) 当时, 幂级数(2)收敛半径 1;R ρ=0,||1,x x ρρ=<当时对任何都有(ii) ||1x ρ>当时, 级数发散. ,0||1,x x x ρρ当时除外的任何都有=+∞=>(iii) 证∞=∑0||,nn n a x 对于幂级数lim ||lim ||||||,nnn n n n n a x a x x ρ→∞→∞==于是由于根据级数的根式判别法, ||1x ρ<当时，收敛；级数 0||nn n a x ∞=∑所以 R= 0.;R =+∞所以注由定理14.2可知, 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.在第十二章§2第二段曾经指出: 1||lim,||n n na a ρ若+→∞=则有 lim ||.nn n a ρ→∞= 因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径. 一个幂级数的收敛域等于它的2,nx n∑级数由于2121(),(1)n n a n n a n +=→→∞+例1 1R =(1,1)-所以其收敛半径 , 即收敛区间为; ∑21,n 由于级数收敛所 21nxx n在时也收敛.=±∑以级数的收敛域为 [1,1].-而当于是级数 2nx n ∑±=±=22(1)11,,nx n n 时有因此幂级数(4)的收敛区间是 (1,1)-.1x =时发散, 1x =-时收敛, 敛域是半开区间 [1,1)-. !!n n x n xn ∑∑与R =+∞0R =的收敛半径分别为与 .例2 设有级数2,(4)2nx x x n ++++11lim lim 1,n n n n a n R a n →∞→∞++===由于但级数 (4) 当照此方法, 容易验证级数从而得到级数(4)的收*定理14. 3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2), 设lim ||,(5)nn n a ρ→∞=则有1(i)0,;R ρρ<<+∞=当时收敛半径(ii)0,;R ρ==+∞当时(iii),0.R ρ=+∞=当时注由于上极限(5)总是存在, (5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由*例3 设有级数2342122242121,323232n nn n x x x x x x--+++++++1lim ||,2n n n a →∞=2R =由于所以收敛半径 . 时, 级数都发散, 因 2x =±(2,2).-故此级数的收敛域为例4 求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.解 (i)先求收敛半径.2z x =方法1 设 , 21lim |3|nnn R n ρ→∞==-29x z =<29x z =>从而时原级数收敛, 原级数发 2213nn n xn ∞=-∑ 3.R =散, 所以的收敛半径为幂级数 213nn n zn ∞=-∑的收敛半径为2=9lim 19,3nn n n→∞-=方法2 应用柯西-阿达玛定理 (,0),n n a 奇数时==由于 221lim ||lim 3n n n n n n a n ρ→∞→∞==-22111lim ,3313nn n n →∞==-所以, 收敛半径为3.R =3x =±(ii) 再求收敛域. 当时, 相应的级数都是所以原级数的收敛域为 (3,3)-.求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.223lim 13nn n n →∞=-, 因此该级数发散, 由于 , 22133nn n n ∞=-∑定理14. 4若幂级数(2)的收敛半径为 0R >, (,)R R -[,](,)a b R R ⊂-区间内任一闭区间上, 级数(2)都一致收敛.证=∈-max{||,||}(,),x a b R R 设任一点 x , ||||.n nn n a x a x ≤由于级数(2)在点 x 绝对收敛, 数(2)在 [,]a b 上一致收敛.则在它的收敛 [,]a b 那么对于上由优级数判别法得级都有定理14. 5[0,]R 则级数(2)在 ([,0])R -或上一致收敛.x R =证设级数(2)在时收敛, (){}[0,]n x nn Ra R R 已知级数收敛,函数列在上∑ 若幂级数 (2) 的收敛半径为R > 0, )x R =-时收敛, ().nx n n n n R a x a R =∑∑对于 [0,]x R ∈有递减且一致有界,()21x xRR≥≥≥≥即且在x R =(或 ()n x R≥≥故由函数项级数的阿贝尔判别法, [0,]R 级数(2)在上一致收敛.例5 级数22(1)1(1)(1),(6)22222n nn nx x x x n n----=++++⋅∑由于1112(1)(),12(1)22n n n n n n n++=→→∞+所以级数(6)的收敛半径2R =, |1|2x -<(1,3).-从而级数(6)的收敛区间为即(2)1111(1).223nnn n n-=-+-++-+∑当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数211111.223nn n n n==+++++∑∑于是级数(6)的收敛域为[1,3).-1x =- 当时, 级数(6)为收敛级数定理14. 6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的 (i) 幂级数(2)的和函数是 (,)R R 内的连续函数; (ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得2112323(7)n n a a x a x na x -+++++231120(8)231n n a a a a x x x x n +++++++的收敛区间.定理14. 7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间. 证只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可，先来确定幂级数(2) 逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)R R -内逐项求导与因为对(8)逐项求导就得到(2).由阿贝耳定理(定理14.1)的证明知道, 都有||.n nn a x Mr <于是100||||n nn n n na xa x x -=0.nn nr 根据比式判别法可知级数收敛∞=∑较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 0x 绝对 0x (,)R R -由于为中任一点, 这就证明了幂级数(7) 在(,)R R -上收敛. 由级数的比收敛(当然也是收敛的!). 设 00(,),0x R R x ∈-≠, 存在正数 M 与 r (r <1), 对一切正整数 n , 0,||n M nr x <>>0,||||.x x x R 使得=x x 时绝对收敛.1||||||,||n n nn n n n na x a x a x x -=≥根据比较原则得幂级数(2)在 x x =处绝对收敛.与所设幂级数(2)的收敛区间为 (,)R R -相矛盾. 幂级数(7)的收敛区间也是(,).R R -其次证明幂级数(7)对一切满足||x R >的x 都不收敛. 如若不然, 幂级数(7)在点 00(||)x x R >收敛, 幂级数(7)在,由阿贝尔定理≥||,n x 但是,取时就有这于是则存在2112323(7)n n a a x a x na x-+++++定理14. 8(i) f 在 x 可导, 且11();n n n f x na x ∞-='=∑(ii) f 在区间 [0,]x 上可积, 证由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半径 R .(,)x R R ∈-，设幂级数(2)在收敛区间(,)R R -上的和函数为 f , 若 x 为(,)R R -内任意一点, 因此,对任意一个则 10()d .1xn n n a f t t x n ∞+==+∑⎰且总存在正数 r , 使得 |x | < r < R , 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r , r ]上一致收敛. 再由逐项求导与逐项求积定理, 就得到所要的结论.推论1nn n a x ∞=∑(,)R R -设 f 为幂级数在收敛区间上的和则在(,)R R -上 f 具有任意阶导数, 意次逐项求导, 21123()23,n n f x a a x a x na x-'=+++++223()232(1),n n f x a a x n n a x-''=+⋅++-+()1()!(1)(1)2,n n n fx n a n n n a x +=++-+.函数, 即且可任由本定理立可得幂级数在其收敛区间上可以逐项求导和逐项求积.推论2(0,1,2,)n a n =0f x =与在处的则级数(2)的系数各阶导数有如下关系:()0(0)(0),(1,2,).!n n fa f a n n ===注推论2表明, 若幂级数(2)在 (,)R R -上有和函数 f , 则级数(2)由 f 在0x =处的各阶导数所惟一确定. 这是一个重要的结论, 在讨论幂级数展开时要用到.设 f 为幂级数某邻域内的和函数,0nn a x x =∑在定理14. 9nn n a x ∞=∑0nn n b x ∞=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相同的和函数, (1,2,).n na b n ==这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到. 根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇 (偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.幂级数的运算则它们同次幂项的系数相等, 即定理14. 10nn n a x 与∞=∑0n n n b x∞=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00,||,n nn n a n n a x a x x R λλ∞∞===<∑∑0(),||,nnnnn n n n n n ax b x a b x x R ∞∞∞===±=±<∑∑∑000,||,n n nn n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0,min{,},.na b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.则例6 几何级数在收敛域 (1,1)-内有 21()1.(10)1nf x x x x x==+++++-对级数(10)在 (1,1)-内逐项求导得 2121()123,(11)(1)n f x x x nx x -'==+++++--''==+⋅++-+-232!()232(1),(12)(1)n f x x n n x x 将级数(10)在[0,](1)x x <上逐项求积得到 00d d ,1-xx nn t t t t ∞==∑⎰⎰所以2311ln (||1).(13)1231n x x x x x x n +=++++<-+上式对也成立(参见本节习题3). 1x =-111(1)ln 1,223nn-=-+-++111(1)ln21.23n n--=-+++从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 于是有逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12)或通过 (13)的和函数.例7 求幂级数 121(1)n nn n x ∞-=-∑的和函数.2lim 1nx n →∞=，21n n ∞=∑因为且级数 121(1)n n n ∞-=-∑与都发散, 121()(1)n nn S x n x ∞-==-∑()(1,1).x g x x =⋅∈-解首先求出收敛域. (1,1).-所以收敛域为设 1211(1)n n n x n x∞--==-∑1211()d (1)d xx n n n g t t ntt ∞--==-∑⎰⎰11(1)n nn nx ∞-==-∑因为 111=(1)n n n x nx∞--=-∑().xh x =所以()1()x x h x +'=2()(())(1)x g x xh x x '⎡⎤'==⎢⎥+⎣⎦23()()(1,1).(1)x xS x xg x x x -==∈-+本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请自行练习.对 ()h x 逐项积分, 111()d (1)d x xn n n h t t n tt ∞--==-∑⎰⎰=∈-+,(1,1).1x x x 得11(1)n nn x∞-==-∑111()=(1)n n n h t nx∞--=-∑21(1);x +=3;(1)xx 1-=+于是复习思考题,nn n a x ∞=∑1,n n n na x∞-=∑101n n n a x n ∞+=+∑1. 幂级数有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零,3.为什么在幂级数逐项求导中没有要求在收敛区间上4. 逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数的一个有效半径, 例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法, 称为缺项幂级数. 还有其他方法吗? 除此以外请读者总结.一致收敛？请总结出求和函数的常规方法.的方法,。

数学分析14.2函数的幂级数展开

第十四章幂级数 2 函数的幂级数展开一、泰勒级数概念：若函数f 在点x 0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则去除泰勒公式的拉格朗日型余项R n (x)=1n 01)(n )x x (1)!(n )ξ(f ++-+后所得级数： n00n 0(n))x -(x n!)(x f ∑∞==f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!)(x f 0''(x-x 0)2+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +… 称为函数f 在x 0处的泰勒级数.例1：证明：函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ，00x ，e 2x1- 在x=0处的泰勒级数收敛，但不收敛于函数本身.证：∵在x=0处，f (n)(0)=0, n=1,2,…，∴f 在x=0处的泰勒级数为 0+0·x+2!0·x+…+n!0·x+…，它在(-∞,+∞)上收敛，且其和函数S(x)=0，显见，对于一切x ≠0，f(x)≠S(x)，得证！定理14.11：设f 在点x 0具有任意阶导数，那么f 在区间(x 0-r,x 0+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式|x-x 0|<r 的x ，有∞n lim →R n (x)=0，其中R n (x)是f 在x 0处的泰勒公式余项.注：若f 在点x 0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f 在点x 0的这一邻域上可以展开成泰勒级数，并称等式：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!)(x f 0''(x-x 0)2+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +…右边为f 在x 0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式，其具有唯一性. 当x 0=0时，n 0n (n)x n!(0)f ∑∞==f(0)+f ’(0)x+2!(0)f ''x 2+…+ n!(0)f (n)x n +…称为f 的麦克劳林级数.积分型余项：R n (x)=nx 01)(n )t x ((t)f n!1-⎰+dt ；拉格朗日型余项：R n (x)=1n 01)(n )x x (1)!(n )ξ(f ++-+, ξ在0和x 之间；柯西余项：R n (x)=1n n 1)(n x )θ1)(θx (f n!1++-, 0≤θ≤1.二、初等函数的幂级数展开式例2：证明k 次多项式函数f(x)=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k 的展开式是它本身. 证：∵f (n)(0)=⎩⎨⎧>≤k n ，0kn ，c !n n ，总有∞n lim →R n (x)=0，∴f(x)=f(0)+f ’(0)x+2!(0)f ''x 2+…+ k!(0)f (k)x k =c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k ，即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3：求函数f(x)=e x 的展开式.解：∵f (n)(x)=e x，f (n)(0)=1 (n=1,2,…). ∴R n (x)=1n θxx 1)!(n e ++, 0≤θ≤1. 又对任意实数x ，|R n (x)|≤1n θx x 1)!(n e ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0. ∴e x=1+x+2!1x 2+…+n!1x n+…=∑∞=0n n n!x ，|x|<+∞.例4：求sinx 和cosx 的展开式. 解：∵(sinx)(n)=sin(x+2n π), (n=1,2,…)；又(sin0) (2k)=0, (sin0)(2k-1)=(-1)k+1. ∴|R n (x)|=1)!(n x 2π1)(n ξsin 1n +⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤1)!(n x 1n ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0.∴sinx=x-3!1x 3 +5!1x 5+…+1)!(2n x (-1)12n n +++…=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n x (-1)，|x|<+∞.逐项求导得：cosx=1-2!1x 2+4!1x 4+…+(2n)!x (-1)2n n +…=∑∞=0n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞.例5：求下列函数的展开式：(1)f(x)=ln(1+x)；(2)f(x)=lnx 在x=1处. 解：(1)∵f (n)(x)=n1-n x )1(1)!-(n )1(+-，f (n)(0)=(-1)n-1(n-1)!, (n=1,2,…). 对f 的麦克劳林级数x-21x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n1x n +…求收敛半径R=n(-1)1)(n (-1)lim n 1-n ∞n +→=1，又当x=1时，收敛；当x=-1时，发散， ∴该级数的收敛域是(-1,1]. 当0≤x ≤1时，|R n (x)|=1n 1n n x ξ)(11)!(n n!)1(++++- =1n n ξ1x 1n )1(+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≤1n 1+→0 (n →∞)，当-1<x<0时，|R n (x)|=1n n 1n n x θ)(1θx)(1n!n!)1(++++-=n1n θx 1θ1θx 1x ⎪⎭⎫⎝⎛+-++, 0≤θ≤1.∵0≤θx 1θ1+-≤1, ∴|R n (x)|≤θx1x 1n ++≤x 1x 1n -+→0 (n →∞). ∴∞n lim →R n (x)=0.从而ln(1+x)=x-21x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n 1x n+…=∑∞=1n n 1-n n x (-1), x ∈(-1,1].(2)设1+t=x ，则lnx=ln(1+t), t ∈(-1,1]. ∵ln(1+t) =∑∞=1n n1-n n t (-1), t ∈(-1,1].∴lnx 在x=1处的展开式为：lnx =∑∞=1n n1-n n )1-(x (-1), x ∈(0,2].例6：讨论二项式函数f(x)=(1+x)a 的展开式.解：当a 为正整数时，二项式展开式为f(x)=0a C +1a C x+2a C x 2+…+a a C x a；当a 不等于正整数时，f (n)(x)=a(a-1)…(a-n+1)(1+x)a-n , n=1,2,… f (n)(0)=a(a-1)…(a-n+1), n=1,2,…对f(x)的麦克劳林级数 1+ax+2!1)-a(a x 2+…+n!1)+n -(a …1)-a(a x n+…求收敛半径 R=n)-(a …1)-a(a n!1)+n -(a …1)-a(a 1)!(n lim∞n +→=1，又当x=±1时，若a ≤-1, 发散；若-1<a<0, x=1收敛, x=-1发散；若a>0, 收敛. ∴收敛域不确定.又当|x|<1时，R n (x)=1-a n1n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋯+, 0≤θ≤1.由级数∑∞=+⋯0n 1n x n!n)-(a 1)-a(a 在(-1,1)收敛，知1n ∞n x n!n)-(a 1)-a(a lim+→⋯=0. 又0≤θx 1θ1+-≤1, ∴0<1-a n)θx 1(θx 1θ1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤(1+θx)a-1<(1+|x|)a-1≤2a-1.∴∞n lim →R n (x) =1-a n1n ∞n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a lim +⎪⎭⎫⎝⎛+-⋯+→=0. 从而有 (1+x)a=1+ax+2!1)x -a(a 2+…+n!1)x +n -(a …1)-a(a n +…=1+∑∞=1n nn!1)x +n -(a …1)-a(a , |x|<1.注：当a=-1时，x 11+=1-x+x 2+…+(-1)n x n+…=∑∞=-0n n n x )1(, |x|<1.当a=-21时，x11+=1-21x+4231⋅⋅x 2+…+(-1)n !)!n 2(!!1)-(2n x n +…=1+∑∞=1n n nx !)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞=++0n n n x 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), x ∈(-1,1].例7：求下列函数的展开式： (1)2x 11+；(2)2x11-；(3)arctanx ；(4)arcsinx. 解：(1)记t=x 2, ∵t 11+=∑∞=-0n n n t )1(, |t|<1. ∴2x 11+=∑∞=-0n 2nn x )1(, |x|<1. (2)记t=-x 2, ∵t11+=∑∞=++0n n nt 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].∴2x 11-=∑∞=++0n 2n x 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n , |x|<1.(3)对(1)逐项求积：arctanx=∑∞=++-0n 12n n12n x )1(, |x|<1.(4)对(2)逐项求积：arcsinx=∑∞=+++0n 212n )1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n , |x|≤1.例8：求下列函数在x=0处的幂级数展开式： (1)f(x)=(1-x)ln(1-x)；(2)f(x)=lnx1x1-+. 解：(1)记t=1-x ∈(0,2), ∵lnt 在t=1处的幂级数展开式为：lnt=∑∞=1n n1-n n )1-(t (-1), t ∈(0,2]. ∴ln(1-x) 在x=0处的幂级数展开式为：ln(1-x)=∑∞=-1n nnx , x ∈[-1,1).∴(1-x)ln(1-x)=∑∞=+1n 1n n x -∑∞=1n n n x =∑∞=2n n 1-n x -∑∞=2n n n x -x =-x+∑∞=2n n1)-n(n x , x ∈[-1,1).(2)∵ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1), x ∈(-1,1]；ln(1-x)=∑∞=-1n nnx , x ∈[-1,1). ∴lnx1x1-+在x=0处的幂级数展开式为： ln x 1x 1-+=ln(1+x)-ln(1-x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=1n n n x =2∑∞=1n 1-2n 1-2n x , x ∈(-1,1).例9：计算ln2的近似值，精确到0.0001.解：由ln x 1x 1-+=2∑∞=1n 1-2n 1-2n x , x ∈(-1,1). 当x=31时，ln2=21-2n 1n 311-2n 1⋅∑∞=.又 0<R n =2⎪⎭⎫⎝⎛⋯+⋅++⋅+++32n 12n 3132n 13112n 1<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯+++++4212n 313111)(2n 32=212n 31111)(2n 32-⋅++=1)(2n 3411-2n +⋅. 当n=4时，0<R n <73941⋅⋅<0.0001. ∴ln2≈21-2n 41n 311-2n 1⋅∑==2⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+75331713151313131≈0.6931.例10：用间接方法求非初等函数F(x)=⎰x0t -2e dt 的幂级数展开式.解：记x=-t 2, 由e x=∑∞=0n n n!x ，|x|<+∞，得2-t e =∑∞=-0n n 2n n!t )1(，|t|<+∞. 又R=1n n ∞n a a lim +→=n!)1(1)!(n )1(lim 1n n ∞n +→-+-=+∞，∴∑∞=-0n n2n n!t )1(在(-∞,+∞)内闭一致收敛. ∴⎰x0t -2e dt=∑⎰∞=-0n xn 2n n!t )1(dt=∑∞=++-0n 1n 2n 1)(2n n!x )1(, |x|<+∞.习题1、设函数f 在区间(a,b)上的各阶导数一致有界，即存在M>0，对一切x ∈(a,b)，有|f (n)(x)|≤M, n=1,2,…. 证明：对任意x,x 0∈(a,b)有f(x)=∑∞=-0n n 00)n ()x x (!n )x (f , (f(0)(x)=f(x), 0!=1). 证：对任意x,x 0∈(a,b)，∵|R n (x)|=1n 01)(n )x -(x 1)!(n ) (ξf +++≤1n a)-(b 1)!(n M++→0 (n →∞)，由定理14.11可知：f(x)=∑∞=-0n n 00)n ()x x (!n )x (f .2、利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间：(1)2x e ；(2)x 1x 10-；(3)x21x -；(4)sin 2x ；(5)x -1e x ；(6)22x -x 1x +；(7)⎰x 0t sint dt ；(8)(1+x)e -x；(9)ln(x+2x 1+). 解：(1)记t=x 2, 由e t=∑∞=0n n n!t ，|t|<+∞，得2x e =∑∞=0n n 2n!x ，|x|<+∞.(2)∵x 11-=∑∞=0n nx , |x|<1. ∴x 1x 10-=∑∞=+0n 10n x , |x|<1.(3)记t=-2x ，由t11+=∑∞=++0n n nt 1)(2n !)!n 2(!!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].得x 211-=∑∞=+⋅+0n n n x 1)(2n !)!n 2(2!!1)(2n =∑∞=++0n n x 1)(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21). ∴x21x -=∑∞=+++0n 1n x 1)(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21).(4)sin 2x=2cos2x-1；由cost=∑∞=0n 2n n (2n)!t (-1), |t|<+∞，得cos2x=∑∞=-0n n2n)!(2n (2x ))1(, |x|<+∞.∴sin 2x=21-∑∞=-0n n 2n )!(2n (2x ))1(21=∑∞=+-1n n 21-n 21n x )!(2n 2)1(, |x|<+∞. (5)∵e x=∑∞=0n n !n x , |x|<+∞；x 11-=∑∞=0n n x , |x|<1.∴x -1e x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n !n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n x =∑∑∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n n 0k x !k 1, |x|<1. (6)22x -x 1x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x 211x 1131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑∞=∞=0n n n 0n n (2x)(-1)x 31 =n n 0n ]x (-2)[131-∑∞=, |x|<21. (7)由sint=∑∞=++-0n 1n 2n )!1(2n t )1(，|t|<+∞，得t sint =∑∞=+-0n n 2n )!1(2n t )1(，|t|<+∞.∴⎰xt sintdt=⎰∑∞=+-x 00n n 2n )!1(2n t )1(dt=∑⎰∞=+-0n x 0n 2n )!1(2n t )1(dt=∑∞=+++-0n 1n 2n )!11)(2n (2n x )1(，|x|<+∞.(8)由e t=∑∞=0n n !n t ，|t|<+∞，得e -x=∑∞=0n n n !n x (-1)，|x|<+∞，∴(1+x)e -x=∑∞=0n n n !n x (-1)+∑∞=+0n 1n n !n x (-1)=1+∑∞=++1n 1n n !1)(n nx (-1)，|x|<+∞.(9)[ln(x+2x 1+)]’=2x 11+，由t11+=1+∑∞=1n nnx !)!n 2(!!1)-(2n (-1), t ∈(-1,1]，得 2x 11+=1+∑∞=1n 2nnx !)!n 2(!!1)-(2n (-1), |x|≤1. ∴ln(x+2x 1+)=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=x1n 2n n t !)!n 2(!!1)-(2n (-1)1dt =x+∑⎰∞=1n x 02n n x !)!n 2(!!1)-(2n (-1)=x+∑∞=++1n 12n nx )1n 2(!)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞=+++0n 12n 2nx )1n 2(!)!n 2(!!1)(2n (-1),|x|≤1.3、求下列函数在x=1处的泰勒展开式. (1)f(x)=3+2x-4x 2+7x 3；(2)f(x)=x1.解：(1)f(1)=8；f ’(1)=15；f ”(1)=34；f ”’(1)=42；f (n)(1)=0 (n ≥4). ∴在x=1处，f(x)=8+15(x-1)+17(x-1)2+7(x-1)3, |x|<+∞.(2)f(x)=x 1=1)-x (11+=∑∞=0n n n 1)-(x (-1) , |x-1|<1.4、求下列函数的麦克劳林级数展开式： (1))x 1)(x 1(x 2--；(2)xarctanx-ln 2x 1+. 解：(1)令)x 1)(x 1(x 2--=x )1()x 1(x 2+-=x 1A -+2x )1(B -+x1C+，可得A=-41，B=21，C=-41. ∴)x 1)(x 1(x 2--=-x 1141-⋅+2x )1(121-⋅-x1141+⋅ =-∑∞=0n n x 41-∑∞=0n nn x (-1)41+∑∞=+0n n 1)x (n 21=∑∞=+0n n n ]x 2(-1)-1[n 21, |x|<1. (2)arctanx=∑∞=++-0n 12n n12n x )1(=∑∞=--1n 12n 1-n 1n 2x (-1), |x|<1.ln 2x 1+=21ln(1+x 2)=∑∞=1n 2n1-n n x (-1)21, |x|≤1. ∴xarctanx-ln 2x 1+=∑∞=-1n 2n 1-n 1n 2x (-1)-∑∞=1n 2n 1-n 2n x (-1)=∑∞=-1n 2n 1-n 1)n 2n(2x (-1), |x|<1.5、试将f(x)=lnx 按1x 1x +-的幂展开成幂级数.证：∵ln x 1x1-+=2∑∞=++0n 12n 12n x , |x|<1.∴lnx=x1x 11x 1x11+--+-+=212n 0n x 1x 112n 1+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+∑, |x|<1.。

《数学分析》第十四章幂级数3共20页

当 xR与 xR时 ,幂级数可能收敛也可能发散 .
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
n0
设lim an1 n an
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
克劳.林级数
解 ln 1 (x)xx2x3, 23
l1 n x 2 ( ) x 2 x 4 x 6 ( 1 ) n 1x 2 n ,
23
n
又arcxtaxn1 dx
01x2
(1x1)
x
[ 1 x 2 x 4 x 6 ( 1 ) n x 2 n ] dx 0
x x 3 x 5 x 7 ( 1 )nx 2 n 1
2
(3) 唯一性
定理如果函数f (x)在U (x0)内能展开成(xx0)
的幂级数, 即 f (x) an(xx0)n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)(x0)
(n0,1,2,)
且展开式是唯一的.
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1)求anf(nn)(!x0); (2 )讨 l n iR 论 n m 0 或 f(n )(x ) M , 则级数在收敛区敛间于内f(收 x).
n0
n0
n0
x R ,R
(其中 c n a 0 b n a 1 b n 1 a n b 0 )
除法
(收敛域 bnx内 n0)
n0
anxn
n0
cn xn.
b n x n n0
n0

数学分析14.1幂级数

第十四章幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)，对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ，即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1，且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1，且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1，又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散，收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +；又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。

幂级数-PPT

n0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 且有 1 1 z z2 zn .
1 z
26
例2 求下列幂级数的收敛半径:
zn
(1) n1 n3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论 z 0 , 2 时的情形)
zn 收敛,
n1
和函数 S(z) zn 1 zn 1 1 ,
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
36
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数得概念和阿贝尔定理等内容,应掌握幂级数收敛半径得求法和幂级数得运算性质、
37
思考题
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
n1
23
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分,
即 f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数得和函数解析;
18
课堂练习试求幂级数
zn
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
cn
1， np
lim cn1
n cn
lim( n ) p n n 1
lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以 R 1 1.

幂级数解法

幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。

因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。

一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。

幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。

二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。

2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。

微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。

3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。

4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。

幂级数课件

5
二、幂级数及其收敛性
一般形式为
a0 a1 x a2 x 2 an x n . ② (其中a0 , a1 , a2 ,an ,是任意实常数)的级数
称为幂级数，其中的a0 , a1 , a2 , an 称为幂级数对应项的系数 .
幂级数更一般的形式为 a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n .
解因为所给级数的部分和函数
Sn ( x)
1
x
x2
(1)n1 xn1
1 (x)n 1 x
.
当
x
1时
lim
n
S
n
(x)ຫໍສະໝຸດ 1 (x)n lim n 1 x
1 1 x
.
当 x ≥ 1时 , 发散,所以，它在区间 (1,1) 内收敛，
即收敛域为 (1,1). 且所给级数的和函数为
S(x) 1 . 1 x
2
n1 n
此为调和级数，它是发散的.
11
当
x1时,
幂级数为收敛的交错级数
（ 1）n .
2
n1 n
所以 , 幂级数 2n xn 的收敛区间为 1 , 1）.
n1 n
22
12
例 3
求幂级数
(1)n
n0
x2n 2n
的收敛区间 .
解所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，是一个
缺项幂级数，因此不能直接利用公式求收敛半径 R.
Sn(x) u1( x) u2 ( x) un ( x) ,
那么在函数项级数的收敛域内有
lim
n
Sn (
x)
S(
x)
.
若以rn( x) 记余项,

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