2014届高三数学寒假作业5(数列2)

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2014年高考数学(文)难题专项训练(2)数列(含答案)

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：数列1.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列满足，则当取最小值时的值为()A. 或B.C.D. 或2.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()A. 6B. 7C. 8D. 103.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知¥数列满足，则下列结论中错误的是（）A. 若，则可以取3个不同的值B. 若，则数列是周期为的数列C. 且，存在，是周期为的数列D. 且，数列是周期数列4.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，9,5分）等差数列前项和为，已知则(）A. B.C. D.5. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,7，3分)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且，，若有穷数列（）的前n项和等于，则n等于()A．4B．5C．6D．76. (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为()7.(2012河南省毕业班模拟，11,5分)已知F 1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．58.(2009江西, 8, 5分) 数列{a n}的通项a n=n2·, 其前n项和为S n, 则S30为()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n项和分别为，. 若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），则＝____________.10.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；.11. (2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．（Ⅰ）若，则的峰值为；（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是．12. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，13.(2012河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限四川分记为不超过实数的最大整数例如设为正整数数列n满足x1=a,x n+1=(n∈N*). 现有下列命题:①当a=5时,数列{x n}的前3项依次为5,3,2;②对数列{x n}都存在正整数k,当n≥k时总有x n=x k;③当n≥1时,x n>-1;④对某个正整数k,若x k+1≥x k,则x k=[].其中的真命题有. (写出所有真命题的编号)15.(2008江苏, 10, 5分) 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 345 6789101112131415………………根据以上排列规律, 数阵中第n(n≥3) 行的从左至右的第3个数是.16.(2009湖南, 15, 5分) 将正△ABC分割成n2(n≥2, n∈N*) 个全等的小正三角形(图1, 图2分别给出了n=2, 3的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为f(n) , 则有f(2) =2, f(3) =, …, f(n) =.图1图217.(2011湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+a k-1×21+a k×20, 当i=0时, a i=1, 当1≤i≤k时, a i为0或1. 记I(n) 为上述表示中a i为0的个数(例如:1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I(1) =0, I(4) =2) ,则(1) I(12) =;(2) 2I(n) =.18.(2011江苏, 13, 5分) 设1=a1≤a2≤…≤a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是.19.(2009上海, 12, 4分) 已知函数f(x) =sin x+tan x. 项数为27的等差数列{a n}满足a n∈, 且公差d≠0. 若f(a1) +f(a2) +…+f(a27) =0, 则当k=时, f(a k) =0.20.(2007湖南, 15, 5分) 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0-1三角数表. 从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行, …, 第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.第1行1 1第2行10 1第3行111 1第4行1000 1第5行11001 1………………………………………21.(2008北京, 14, 5分) 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点P k(x k, y k) 处, 其中x1=1, y1=1, 当k≥2时,T(a) 表示非负实数a的整数部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为;第2 008棵树种植点的坐标应为.22.(2009湖北, 15, 5分) 已知数列{a n}满足:a1=m(m为正整数) , a n+1=若a6=1, 则m所有可能的取值为.23.(2010湖南, 15, 5分) 若数列{a n}满足:对任意的n∈N*, 只有有限个正整数m使得a m<n成立, 记这样的m 的个数为(a n) *, 则得到一个新数列{(a n) *}. 例如, 若数列{a n}是1, 2, 3, …, n, …, 则数列{(a n) *}是0, 1, 2, …, n-1, …. 已知对任意的n∈N*, a n=n2, 则(a5) *=, ((a n) *) *=.24.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a，=ka n+1且常数k满足0< |k|< 1.Sn(I) 求数列{a n}的通项公式；(II) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项a m+1，a m+2，a m+3按从小到大的顺序调整后，均可构成等差数列，且记公差为d m，试求k的值及相应d m的表达式(用含m的式子表示) ；(III) 记数列{d m} (这里d m是(2) 中的d m的前m项和为T m=d1+d2+…+d m. 问是否存在a, 使得T m< 90对恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，请说明理由.25.（2013年安徽省皖南八校高三第三次联考，20,13分）已知椭圆为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且构成等差数列，点到直线的距离为3。

【名师原创全国通用】2014-2015学年高三寒假作业数学(二)Word版含答案

【原创】高三数学寒假作业（二）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.设集合{}{}212,log 2A x x B x x =-≤=<，则A B ⋃=A. []1,3-B. [)1,4-C. (]0,3D. (),4-∞ 2.已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)32(f 的值为 A. 21- B. 23- C. 21 D. 23 3.已知函数f (x)＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝（） (A) 9 (B)7110 (C) 3 (D) 1110 4.已知函数()22x f x =-，则函数|()|y f x =的图像可能是………………………………..（）5.若互不相等的实数c b a ,,成等差数列，b a c ,,成等比数列，且103=++c b a ，则=a （）A. 4B. 2C. -2D. -46.下列各式中值为的是（）A ． sin45°cos15°+cos45°sin15°B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C ． cos75°cos30°+sin75°sin30°D ．7.设实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为()8.已知函数()f x 满足1()()f x f x =, 当[]1,3x ∈时,()ln f x x =,若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( ) A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.ln 31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为() A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2二、填空题10.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是__________ .11.理：已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M .12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1533a a a +=，1014a =，则12S =13.抛物线241x y -=上的动点M 到两定点（0，-1）、（1，-3）的距离之和的最小值为三、计算题14.（本小题满分13分）已知函数)12(log )(21--=x ax x f (a 为常数).(1)若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;(2)若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.15.（本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求证：F B 1⊥平面AEF ；（3）求二面角F AE B --1的余弦值．16.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，短轴端点到焦点的距离为2。

安徽省舒城中学2014届高三数学寒假作业专题(二)递推数列的通项问题

安徽省舒城中学高三年级2013─2014学年寒假作业数学部分专题（二）递推数列的通项问题一、由递推公式求通项有七种类型（一）．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例8] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)1111111=1)()()()223341n n -+-+-++--（，所以a n －a 1＝1－1n . 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n. 变式训练20 已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求. 数列{}n a 通项公式.变式训练21.已知数列{}n a 满足()()*1111,1N n a n na a n n ∈++==+，求数列{}n a 的通项公式.变式训练22.已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式（二）．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例9] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n. 即a n ＝23n. 变式训练23．已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，求数列{}n a 的通项公式。

2014届高考数学总复习 5.5数列的综合应用提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 5.5数列的综合应用（含2013年模拟题）【考点排查表】考查考点及角度难度及题号错题记录基础中档稍难等差、等比数列综合 1,3 7,9 10 数列的实际应用 2 8 11 数列与其它知识的综合 45,612,13一、选择题1．(2013·某某模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D. 2【解析】依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或－1.【答案】 C2．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天【解析】设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋n 5＋n ＋49102n＝3.2×104n＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.【答案】 B3．(2013·某某模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.【答案】 D 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n，f (x )在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，则切线方程：y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切线与x 轴交点横坐标x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×…×nn ＋1＝1n ＋1. 【答案】 B5．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值X 围是( )A ．－72，＋∞ B．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 【解析】∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ， ∴λ>－2n －1对于n ∈N *恒成立．而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3， ∴λ>－3，故选D. 【答案】 D6．(2012·某某高考)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100【解析】结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点． ∵a n ＝1n sin n π25，∴1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sin n －25π25<0，且|a n |<1n －25sin n －25π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0.∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0，同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0.∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100. 【答案】 D 二、填空题7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．【解析】由题意知a 25＝a 1·a 17，即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )， ∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ， ∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d＝3.【答案】 38．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．【解析】设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.【答案】 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝ 23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．【解析】∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n ＞1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a na n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，S k ＝a 11－q k 1－q ＝－2k －1，3，∵1＜S k ＜9，∴1＜－2k －13＜9，即4＜(－2)k＜28，当且仅当k ＝4时不等式成立．【答案】 4 三、解答题10．(2012·某某市高三调研)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若＝a n ·b n ，求数列{}的前n 项和T n .【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1.又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝13，当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)． ∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，∴b n ＝b 1qn －1＝13n . (2)由(1)知＝a n b n ＝2n －13n ，∴T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1，整理得T n ＝1－n ＋13n.11．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14.(1)设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ； (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈．【解】 (1)由题意，得a n ＝80＋80×45＋80×452＋…＋80×45n －1＝80×1－45n 1－45＝4001－45n.b n ＝40＋40×54＋40×542＋ (40)54n －1＝40×1－54n 1－54＝16054n－1.(2)由题意，令a n <b n ， ∴4001－45n <16054n－1.设t ＝54n ，则51－1t <2(t －1)，即2t 2－7t ＋5>0.∵t >1，∴解得t >52，即54n >52.取n ＝4，则544＝52×125128<52；取n ＝5，则545＝52×625512>52.∴第5月开始扭亏为盈．12．(文)已知函数f (x )＝a x 的图象过点1，12，且点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝ax的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.【解】 (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点1，12，∴a ＝12，f (x )＝12x.又点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝a x 的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝n ＋122n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12S n ＝32＋2122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n (n ∈N *)，∴S n <5(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 【解】∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，∴数列1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列．∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n .∴S n ＝12n .∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝141n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋141－12＋…＋141n －1－1n ＝12－14n ；当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1.综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .四、选做题13．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N )． (1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，某某数λ的取值X 围．【解】 (1)∵a 1≠0，∴a n ≠0， ∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，∴S n ＝n 1＋3n －22＝n 3n －12.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1， ∴λ≤3n ＋13n －23n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设＝3n ＋13n －23n －3，则＋1－＝3n ＋13n －43n n －1＞0，故＋1＞，∴的最小值为C 2＝283，∴λ的取值X 围是(－∞，283]． (理)(2013·四中模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2x ，x ≠12－1，x ＝12的图象上的任意两点(可以重合)，点M 在直线x ＝12上，且AM →＝MB →.(1)求x 1＋x 2的值及y 1＋y 2的值；(2)已知S 1＝0，当n ≥2时，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，求S n；(3)在(2)的条件下，设a n ＝2S n ，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m －c T m ＋1－c <12成立，求c 和m 的值．【解】 (1)∵点M 在直线x ＝12上，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y M ，又AM →＝MB →，即AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 1，y M －y 1，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12，y 2－y M ，∴x 1＋x 2＝1，①当x 1＝12时，x 2＝12，y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝－1－1＝－2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1＋y 2＝2x 11－2x 1＋2x 21－2x 2＝2x 11－2x 2＋2x 21－2x 11－2x 11－2x 2＝2x 1＋x 2－8x 1x 21－2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝21－4x 1x 24x 1x 2－1＝－2.由①②得y 1＋y 2＝－2.(2)由(1)知，当x 1＋x 2＝1时，y 1＋y 2＝－2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －k n ＝－2，k ＝1,2,3，…n －1. n ≥2时S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，①S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，② ①＋②得，2S n ＝－2(n －1)，则S n ＝1－n .n ＝1时S 1＝0也满足S n ＝1－n ，∴S n ＝1－n .(3)a n ＝2S n ＝21－n，T n ＝1＋12＋…＋12n －1＝2－22n ，T m －c T m ＋1－c <12得2T m －c －T m ＋1－c2T m ＋1－c<0，故c －2T m －T m ＋1c －T m ＋1<0，T m ＋1＝2－12m ，2T m －T m ＋1＝4－42m －2＋12m ＝2－32m ，∴12≤2－32m <c <2－12m <c ，c 、m 为正整数， ∴c ＝1，当c ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－32m <1，2－12m>1.∴1<2m<3， ∴m ＝1.。

上海市2014届高三寒假作业数学5Word版含答案

高三数学寒假作业满分150分，考试时间120分钟姓名____________ 班级_________学号__________一、填空题(每题4分，共56分)： 1、若复数12429,69z i z i =+=+，其中i是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 .2、已知定义在R 上的函数()f x ，满足()22f =x 都有()()13f x f x +=-，则()2009f =_________．3、已知等差数列1885015na a a S ﹛﹜中，＝，＝，则 = . 4、在ABC ∆中，若1,BA BCAB AC AB AC BC BC⋅==+==，则_________5、已知全集{}2,1,0,1,2--=U ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n x n x x A ,,12，则A C U = . 6的化简结果是 __________7、在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 .8、已知向量a (23,5)＝，－与向量15b=3,,2λ⎛⎫⎪⎝⎭ 平行，则λ＝_______9、已知点M，直线(y k x =与椭圆1422=+yx 相交于A,B 两点，则∆ABM的周长为__________. 10、函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为_________________。

11、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 12、若2sinsin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是_______________13、设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()913a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为_______．14、设a ，b ，c 是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；②若a ，b 异面，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则//αβ； ③若a αβ= ，b βγ= ，c γα= ，且//a b ，则//c β； ④若a ，b 为异面直线，//a α，//b α，c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．其中正确的命题是二、选择题（每题5分，共20分）：15、若a b 、是任意实数，a b >且，则下列不等式成立．．的是( ) A ．22b a > B ．1<a b C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(< 16、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为（）（A ）3 （B ） 2 （C ）3（D ） 3 17、在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（12,,7;12,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（） (A)18(B)28 (C)48(D)6318、设21F F 、分别为双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使021=⋅PF PF ,且21PF F ∆的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A.2B. 3C. 2D.5 三、解答题（本大题满分74分）：19、（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosB 。

安徽省2014届高三数学寒假作业5

高三数学寒假作业5一、选择题1．设集合3{|0}A x x x =-=，则集合A 的子集有（）个．A ．7B ．8C ．9D ．102．x ab =是,,a x b 成等比数列的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 3．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移6π个单位后，得到()g x 的图象解析式为（）A ．()sin 2g x x =B ．()cos 2g x x =C ．2()sin(2)3g x x π=+D ．()sin(2)6g x x π=-4．定义在R 上的不恒为零的函数()f x 满足(4)41log 3log () (0)3()1 (0)(3)x x x f x x f x -⎧+-≤⎪⎪=⎨⎪->+⎪⎩，则(30)f 的值为（）.A. 0B. 1C. 2D. 3 5.设1021001210(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则123102310a a a a +++⋅⋅⋅+=（）.A ．992⨯ B ．10102⨯ C ．9102⨯ D ． 1092⨯6．在ABC ∆中，点G 为中线AD 上一点，且1,2AG AD =过点G 的直线分别交,AB AC 于点,E F ，若AC n AF AB m AE ==,，则11m n+的值为（）A ．１ B ．２ C ．３ D ．４ 7．设O 在ABC ∆的内部，且02=++OC OB OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知α、β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是（）A ．若n m //，α⊥m ，则α⊥nB ．若α||m ，n =βα ，则n m ||C ．若α⊥m ，β⊥m ，则βα//D ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥第3题图B CAGF ED第6题图9. 方程x a x +=-2)2(log 21有解，则a 的最小值为（）A 、2B 、1C 、23 D 、21 二、填空题10. 某班甲乙两名学生进入高三以来5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，甲乙两人5次数学考试成绩的中位数分别为；平均数分别为． 11. 设,A B 分别是曲线cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=-+⎩为参数）和2sin()42πρθ+=上的动点，则,A B 两点的最小距离为． 12. 下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

安徽省2014届高三数学寒假作业3

高三数学寒假作业3一、选择题：1．设全集=U R ，集合}0|{≥=x x A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A C U )(( ) A. }03|{<<-x x B. }01|{<<-x x C. }10|{<<x x D. }30|{<<x x 2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为( ) A. 1 B. 1- C. 4 D. 4- 3．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A. ?5>k B. ?5<k C. ?10>k D. ?10<k4．在52)1(x x +的展开式中x 的系数为 ( )A. 5B. 10C. 20D. 405．数列}{n a 前n 项和为n S ，则“02>a ”是“数列}{n S 为递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．下列命题中错误．．的是 ( ) A. 如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥l B. 如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 7．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若21MF F ∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A. )2,1(B. ),2(∞+C. )2,1(D. ),2(∞+8．在ABC ∆中，已知4=AB ，87cos =B ，AC 边上的中线234=BD ，则=A sin ( )A.863 B. 66 C. 810 D. 6109．已知不等式)1)((yx a y x ++≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8（第3题）二、填空题10．)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈总有)()23(x f x f -=+，则)23(-f 的值为．11．已知)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，则=-)4(f ． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．) 13．在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 满足:=+C b B c cos cos A a cos 4.（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若c b AC AB +=⋅，求ABC ∆的面积S 的最小值. 14．已知一四棱锥ABCD P -的三视图如下. ⑴画出四棱锥ABCD P -的直观图； ⑵求点B 到平面PAD 的距离；⑶求直线AB 与平面PAD 所成角的大小的余弦值.15.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ；（3）求甲取到白球的概率．（第13题）正视图侧视图俯视图。

专题06 数列-2014年高考数学试题分项版解析(解析版)(2)

专题6 数列1. 【2014高考安徽卷文第12题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.3. 【2014高考广东卷文第13题】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则212223242l o g l o g l o g l o g l o g a a a a a ++++= .【答案】5.5. 【2014高考江西卷文第13题】在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.6. 【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，11122nn a a a a -<，即111212n n a a a a -<，1n 1(a )21n a a --<，又n 1a n a d --=，故121a d<，从而10a d <，选C ．【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性．7. 【2014高考全国2卷文第5题】等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A. (1)n n +B. (1)n n -C.(1)2n n + D. (1)2n n -8.. 【2014高考陕西卷文第8题】原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（A ）真，真，真（B ）假，假，真（C ）真，真，假（D ）假，假，假【答案】A 【解析】试题分析：由12n n n a a a ++<1{}n n n a a a +⇒<⇒为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{}n a 为递减数列，则12n n n a a a ++<，n N +∈；若{}n a 为递减数列，则1n n a a +<，即12nn n a a a ++<，所以逆命题为真；否命题：若12n n n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不为递减数列；由11{}2n n n n n n a a a a a a +++≥⇒≤+⇒不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题. 故选A考点：命题及命题的真假.10. 【2014高考陕西卷文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.11. 【2014高考天津卷卷文第5题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（）A.2B.-2C.21 D .12-13. 【2014高考安徽卷文第18题】数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1）证明：数列{}na n是等差数列；（2）设3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S14. 【2014高考北京卷文第15题】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.15. 【2014高考大纲卷文第17题】数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.16. 【2014高考福建卷文第17题】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ；（2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) 13n n a -=.（2）22n n nS -=.17. 【2014高考广东卷文第19题】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()223n n S n n S -+--()230n n +=，n N *∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++.【答案】（1）12a =；（2）2n a n =；（3）详见解析.【解析】（1）令1n =得：()2111320S S ---⨯=，即21160S S +-=，()()11320S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =；（2）由()()22233n n S n n S n n -+--+，得()()230n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，()0n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，所以当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，()2n a n n N *∴=∈；1111111623213633n n ⎛⎫=+-=-< ⎪++⎝⎭. 【考点定位】本题以二次方程的形式以及n S 与n a 的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.18. 【2014高考湖北卷文第19题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19. 【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和. 【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-20. 【2014高考江苏第20题】设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”.（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n N ∈成立.21. 【2014高考江西文第17题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n n S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 考点：由和项求通项，等比数列22. 【2014高考全国1文第17题】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列2(基础解答题)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列（基础解答题）1．（2014•新课标Ⅱ理）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋯+<．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即1n nb b +=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）将1na 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 113022a +=≠， ∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列； 11333222n n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =-，当2n …时，13133n n n -->-，∴11122131333n n n n n a --=<=--， ∴当1n =时，11312a =<成立，当2n …时，211211()11111131331(1)133323213nn n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-． ∴对n N +∈时，1211132n a a a ++⋯+<．【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．2．（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2nna 的前n 项和．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出2a ，4a 的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列，故22a =，43a =，可得21d =，12d =，故112(2)122n a n n =+-⨯=+，（2）设数列{}2nna 的前n 项和为n S ， 3112123122222n n n n na a a a a S --=+++⋯++，① 311223411222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，② ①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--，解得11131124(1)222222n n n n n n S -++++=+--=-．【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．3．（2014•新课标Ⅰ理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．可得2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，2d λ=．得到222()2442n S n n λλλλλ=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，121()n n n n a a a a λ+++∴-= 10n a +≠，2n n a a λ+∴-=．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．则2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，∴2d λ=．∴(1)12n n a λ-=+，112n na λ+=+，222(1)1[1][1]()222442n n n S n n λλλλλλλ-∴=+++=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4λ=．此时可得2n S n =，21n a n =-．因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014•大纲版文）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式【分析】（Ⅰ）将2122n n n a a a ++=-+变形为：2112n n n n a a a a +++-=-+，再由条件得12n n b b +=+，根据条件求出1b ，由等差数列的定义证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出n b ，代入1n n n b a a +=-并令n 从1开始取值，依次得(1)n -个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的通项公式n a ．【解答】解：（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+得， 2112n n n n a a a a +++-=-+，由1n n n b a a +=-得，12n n b b +=+，即12n n b b +-=，又1211b a a =-=，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n b n n =+-=-，由1n n n b a a +=-得，121n n a a n +-=-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，⋯，12(1)1n n a a n --=--，所以，11352(1)1n a a n -=+++⋯+-- 2(1)(123)(1)2n n n -+-==-，又11a =，所以{}n a 的通项公式22(1)122n a n n n =-+=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．5．（2014•大纲版理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S …．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【考点】数列的求和【分析】（1）通过4n S S …得40a …，50a …，利用113a =、2a 为整数可得4d =-，进而可得结论；（2）通过133n a n =-，分离分母可得111()3133103n b n n=---，并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S …得： 40a …，50a …，又113a =，∴13301340d d +⎧⎨+⎩……，解得131334d --剟，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为：174n a n =-；（2）174n a n =-， 111111()(174)(214)4417421n n n b a a n n n n +∴===------，于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[()()()]41317913417421n n =--+-+⋯⋯+-------111()441717n =----17(174)n n =-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2014•北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =， 3312d ∴+=，解得3d =， 3(1)33n a n n ∴=+-⨯=．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，则 344112012843b a q b a --===--，2q ∴=， 1111()2n n n n b a b a q --∴-=-=，132(1n n b n n -∴=+=，2，)⋯．（2）由（1）知132(1n n b n n -=+=，2，)⋯．数列{}n a 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2014•安徽文）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈．（Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出33nn n n b a n ==，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++，∴111n n a a n n +=++，∴111n n a an n+-=+， ∴数列{}na n是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(1)1n a n n n=+-=，∴2n a n =， 33nn n n b a n ==，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+② ①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +-1133313n n n ++-=--1123322n n +-=- ∴1213344n n n S +-=+【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．8．（2014•福建文）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的n a 代入3log n n b a =，得到数列{}n b 的通项公式，由此得到数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23a =，581a =，得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．∴13n n a -=；（Ⅱ）13n n a -=，3log n n b a =，∴1331n n b log n -==-．则数列{}n b 的首项为10b =，由11(2)1(2)n n b b n n n --=---=…，可知数列{}n b 是以1为公差的等差数列．∴1(1)(1)22n n n d n n S nb --=+=．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题． 9．（2014•湖北文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出n S 根据60800n S n >+，解不等式根据不等式的解集来判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4，当0d =时，2n a =，当4d =时，2(1)442n a n n =+-=-．（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >，或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41，综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ，当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．10．（2014•湖南文）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，111a s ==，当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a s s n -+-+-=-=-=，∴数列{}n a 的通项公式是n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)n n n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++⋯++-+-+-⋯+2212(12)2212n n n n +-=+=+--．∴数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++-．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．11．（2014•江西文）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）利用“当2n …时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（2）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．利用等比数列的定义可得21nm a a a =，即2(32)1(32)n m -=⨯-，解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：232n n nS -=，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =，2(32)1(32)n m ∴-=⨯-，化为2342m n n =-+， 1n >，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（2014•江西理）已知首项是1的两个数列{}n a ，{}(0n n b b ≠，*)n N ∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．（1）令nn na b =ð，求数列{}n ð的通项公式；（2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð，可得数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{}n ð的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð， 120n n c +∴-+=ð，12n n c +∴-=ð，首项是1的两个数列{}n a ，{}n b ，∴数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，21n n ∴=-ð；（2）13n n b -=，nn na b =ð，1(21)3n n a n -∴=-， 0111333(21)3n n S n -∴=⨯+⨯+⋯+-⨯，231333(21)3n n S n ∴=⨯+⨯+⋯+-⨯， 11212(33)(21)3n n n S n -∴-=++⋯+--， (1)31n n S n ∴=-+．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•浙江文）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =．（Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=．【考点】等差数列的前n 项和；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意d 的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式，对1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，*k N ∈进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由11a =，2336S S =得， 12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=，解得2d =或5-，又公差0d >，则2d =，所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-，由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯，下面分类求解：当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去；当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去；综上得，4k =，5m =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．14．（2014•重庆文）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比为q 满足244(1)0q a q S -++=．求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出4a 和4S ，代入244(1)0q a q S -++=求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-．2(121)13(21)2n n n S n n +-=++⋯+-==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，47a =，416S =．244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，2(4)0q ∴-=，即4q =．又{}n b 是首项为2的等比数列，∴11211242n n n n b b q ---===． 1(1)2(41)13n nn b q T q -==--．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．15．（2015•新课标Ⅰ理）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+ ()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【解答】解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，0n a >，12n n a a +∴-=，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =，则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， {}n a ∴的通项公式32(1)21:n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+， 111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +∴===-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=++++．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 16．（2015•北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -= （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？【考点】等差数列的性质【分析】()I 由432a a -=，可求公差d ，然后由1210a a +=，可求1a ，结合等差数列的通项公式可求 ()II 由238b a ==，3716b a ==，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求6b ，结合()I 可求【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ． 432a a -=，所以2d =1210a a +=，所以1210a d +=14a ∴=， 42(1)22(1n a n n n ∴=+-=+=，2，)⋯()II 设等比数列{}n b 的公比为q ， 238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎨=⎩2q ∴=，14b =∴61642128b -=⨯=，而12822n =+63n ∴=6b ∴与数列{}n a 中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（2015•天津文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a b =ð，*n N ∈，求数列{}n ð的前n 项和．【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出数列{}n a 的公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于q ，d 的方程组，求解方程组得到q ，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到1(21)2n n c n -=-，然后利用错位相减法求得数列{}n ð的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意，0q >，由已知有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得：42280q q --=．0q >，解得2q =，2d ∴=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈；数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）有1(21)2n n c n -=-，设{}n ð的前n 项和为n S ，则01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， 12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋯+--⨯=---⨯=--⨯-．∴*(23)23,n n S n n N =-+∈．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．18．（2015•天津理）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）设2221log nn n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列的求和【分析】（1）通过2n n a qa +=、1a 、2a ，可得3a 、5a 、4a ，利用23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知12n n nb -=，*n N ∈，写出数列{}n b 的前n 项和n T 、2n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =， 3a q ∴=，25a q =，42a q =，又23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，22323q q q ∴⨯=++，即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，1222,2,n n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222n n n n n n a log nb a ---===，*n N ∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2321111111234(1)22222n n n T n n --=++++⋯+-+， 233211111222345(1)22222n n n T n n --∴=+++++⋯+-+，两式相减，得232111111322222n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212n n n ---=+--21113122n n n --=+--1242n n -+=-．【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（2015•福建文）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值．【考点】等差数列的性质【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，利用分组求和求12310b b b b +++⋯+的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩，所以3(1)2n a n n =+-=+；（Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，所以21012310(21)(22)(210)b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122-+⨯=+=-．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 20．（2015•广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：11{}2n n a a +-为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取2n =，求得478a =；（2）由211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，变形得到2144(2)n n n a a a n +++=…，进一步得到211112122n n n n a a a a +++-=-，由此可得数列11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列；（3）由11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，可得1111()22n n n a a -+-=．进一步得到11411()()22n n n n a a ++-=，说明{}1()2n n a 是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{}n a 的通项公式．【解答】（1）解：当2n =时，4231458S S S S +=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++，解得：478a =；（2）证明：211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，21114444(2)n n n n n n S S S S S S n ++-+∴-+-=-…，即2144(2)n n n a a a n +++=…，3125441644a a a +=⨯+==，2144n n n a a a ++∴+=．2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----．∴数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列；（3）解：由（2）知，11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，∴1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， {}1()2n n a ∴是以1212a=为首项，4为公差的等差数列， ∴2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯， ∴数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．21．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈．（1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；【考点】数列的求和；数列与不等式的综合【分析】（1）利用数列的递推关系即可求3a 的值；（2）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． 1431a ∴=-=，2212212422a -++=-=，解得212a =， 1212242n n n a a na -+++⋯+=-，n N +∈． 121212(1)42n n n a a n a --+∴++⋯+-=-，n N +∈．两式相减得121214(4)222n n n n n n nna ---++=---=，2n …，则112n n a -=，2n …，当1n =时，11a =也满足，112n n a -∴=，1n …，则321124a ==；（2）112n n a -=，1n …，∴数列{}n a 是公比12q =，则数列{}n a 的前n 项和111()222112nn n T --==--．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．22．（2015•湖北文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）当1d >时，记nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当1d >时，由（1）知1212n n n --=ð，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=；当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，129()9n n b -=；（2）当1d >时，由（1）知21n a n =-，12n n b -=， 1212n n n n a n b --∴==ð， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=+++++⋯+-， ∴234111111111357(23)(21)2222222n n n T n n -=++++⋯+-+-， ∴23421111111232(21)322222222n n n nn T n -+=+++++⋯+--=-， 12362n n n T -+∴=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（2015•湖南文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，2133n n n a S S ++=-+，*n N ∈，（Ⅰ）证明23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）当2n …时，通过2133n n n a S S ++=-+与1133n n n a S S +-=-+作差，然后验证当1n =时命题也成立即可；（Ⅱ）通过()I 写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：当2n …时，由2133n n n a S S ++=-+，可得1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-， 23n n a a +∴=，当1n =时，有3123331(12)33a S S =-+=⨯-++=， 313a a ∴=，命题也成立，综上所述：23n n a a +=；（Ⅱ）解：由()I 可得11211112233323k k k k k ka a a a -----⎧=⨯=⎪⎨=⨯=⨯⎪⎩，其中k 是任意正整数， 211234232221()()()k k k k S a a a a a a a ----∴=++++⋯+++2113333k k --=++⋯++113(13)313k k ---=+-153322k -=⨯-，111221253333232222k k k k k k S S a +---=+=⨯-+⨯=-，综上所述，1222533,2233,22n n n n S n -+⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 24．（2015•山东文）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【考点】数列的求和【分析】（1）通过对11n n n a a +=ð分离分母，并项相加并利用数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过4n n b n =，写出n T 、4n T 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >， 1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n a a +=ð，则11111111[][(1)]()(1)n a n d a nd d a n d a nd==-+-++-+ð，1211111111111111[]2(1)n n c c c d a a d a d a d a n d a nd-∴++⋯++=-+-+⋯+-++++-+ð 11111[]d a a nd=-+11()n a a nd =+211n a a dn =+，又数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +，∴21112a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+=，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+， 23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+，两式相减，得121113434444433n n n n n T n ++--=++⋯+-=-， 1(31)449n n n T +-+∴=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（2015•山东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）利用233n n S =+，可求得13a =；当1n >时，11233n n S --=+，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =，当1n >时，11233n n S --=+，此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=，所以13,13, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，所以1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n nn nn T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯，所以13631243n nn T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n nn T +=-⨯．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．26．（2015•四川文）设数列{}(1n a n =，2，3)⋯的前n 项和n S ，满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和【分析】（Ⅰ）由条件n S 满足12n n S a a =-，求得数列{}n a 为等比数列，且公比2q =；再根据1a ，21a +，3a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）由于112n n a =，利用等比数列的前n 项和公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有 1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==．又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即1322(1)a a a +=+ 所以11142(21)a a a +=+，解得：12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得112n n a =，所以11(1)1111122112482212n n n nT -=+++⋯+==--．【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，属于中档题．27．（2015•四川理）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n -=…，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1{}n a 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=- (2)n …，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==，又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =， ∴211[1()]11112211222212n n n nT -=++⋯+==--．由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >． 9102512100010242=<<=，10n ∴…．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．（2015•浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，*12()n n a a n N +=∈，*12311111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由12a =，12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{}n a 的通项公式；再由11b =，1231111123n n b b b b b n++++⋯+=-，取1n =求得22b =，当2n …时，得另一递推式，作差得到11n n n b b b n +=-，整理得数列{}n b n为常数列，由此可得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求出2n n n a b n =，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．【解答】解：（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得*2()n n a n N =∈．由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当2n …时，12311111231n n b b b b b n -+++⋯+=--，和原递推式作差得，11n n n b b b n+=-，整理得：11n n b b n n +=+，∴*()n b n n N =∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n n a b n =，因此23222322n n T n =+++⋯+23412222322n n T n +=+++⋯+，两式作差得：2112(12)2222212n nn n n T n n ++--=++⋯+-=--，1*(1)22()n n T n n N +=-+∈．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．29．（2015•重庆文）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，前3项和392S =．可得122a d +=，19332a d +=，解得1a ，d ．即可得出．11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得q ．利用求和公式即可得出．【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2015•安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{}n a 的通项公式；（2）求出11n n n n a b S S ++=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)，解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=；（2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-，∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．31．（2016•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和．【考点】数列递推式【分析】（Ⅰ）令1n =，可得12a =，结合{}n a 是公差为3的等差数列，可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，进而可得：{}n b 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=．当1n =时，1221a b b b +=． 11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=．即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档． 32．（2016•新课标Ⅱ文）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据[]n n b a =，列出数列{}n b 的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．33．（2016•新课标Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{}n b 的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =．可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．34．（2016•新课标Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=．（1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令1n =可得21212(21)20a a a a ---=，将11a =代入可得2a 的值，进而令2n =可得22323(21)20a a a a ---=，将212a =代入计算可得3a 的值，即可得答案；（2）根据题意，将211(21)20n n n n a a a a ++---=变形可得11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，进而分析可得12n n a a +=或1n n a a +=-，结合数列各项为正可得12n n a a +=，结合等比数列的性质可得{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=，当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=，而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得212a =，当2n =时，有22323(21)20a a a a ---=，又由212a =，解可得314a =，故212a =，314a =；（2）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=，变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=，即有12n n a a +=或1n a =-，又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，则11111()()22n n n a --=⨯=，故11()2n n a -=．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到n a 与1n a +的关系． 35．（2016•新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ．【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n …时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n …， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--．（2）若53132S =，则若451311[()]1132S λλλλ=+=--，即5311()113232λλ=-=--，则112λλ=--，得1λ=-．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据2n …时，1n n n a S S -=-的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．36．（2016•天津文）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，663S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2n 项和．【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出1a ，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出n b ，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，则2111112a a q a q -=，即2121q q -=，解得2q =或1q =-．若1q =-，则60S =，与663S =矛盾，不符合题意．2q ∴=， 616(12)6312a S -∴==-，11a ∴=．12n n a -∴=．（2）n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-．11n n b b +∴-=． {}n b ∴是以12为首项，以1为公差的等差数列．设2{(1)}n nb -的前2n 项和为n T ，则 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n b b b b b b -=+++⋯++12112222222nn b b n n +-+==22n =．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．37．（2016•山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a b ++=+ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求出数列{}n ð的通项，利用错位相减法求数列{}n ð的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）238n S n n =+，2n ∴…时，165n n n a S S n -=-=+，。

2014届高三数列测试试题(经典)(含答案)

2014届高三数学一轮复习数列1 姓名1．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n (n ＋2)23．(辽宁高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．34．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( )A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝ ( )A ．7B ．8C ．15D ．16 6.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是 A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n ( )7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝1－2n ，前n 项和为S n ，数列{S nn }的前11项和为 ( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝ ( )A ．0 B.12 C.23D ．29．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为 ( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知数列{a n}满足a n＋1＝12＋a n－a2n，且a1＝12，则该数列的前2 008项的和等于A．1 506 B．3 012 C．1 004 D．2 008 () 二，填空题11．在等差数列{a n}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{a n}的前13项的和S13＝________.12．已知数列{a n}满足a1＝12，a n＝a n－1＋1n2－1(n≥2)，则{a n}的通项公式为________．13．(浙江高考)设等比数列{a n}的公比q＝12，前n项和为S n，则S4a4＝________.14．已知数列{a n}中，a1＝2，点(a n－1，a n)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.三、解答题15．已知数列{a n}的前n项和S n＝－n2＋24n(n∈N)．(1)求{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，S n达到最大？最大值是多少？16．在数列{a n}中，a n＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又b n＝2a n·a n＋1，求数列{b n}的前n项的和．17．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1，证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.18．(昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.19．(本小题满分12分)已知数列{a n}中，其前n项和为S n，且n，a n，S n成等差数列(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n>57时n的取值范围．20．(本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数例{a n}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公a n及前n项和S n；(2)若数列{b n}满足b n＋1－b n＝a n(n∈N*)，且b1＝3，求数列{1b n}的前n项和T n.21．(文)(本小题满分14分)已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)＝x2－x ＋b，数列{a n}的前n项和S n＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＋log3n＝log3b n，求数列{b n}的前n项和T n；(3)设P n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，Q n＝a10＋a12＋a14＋…＋a2n＋8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2014届高三数学一轮复习数列答案：1—5、DCBDC ，6—10、ADBBA11、52 12、答案：a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1) 13、15 14、103315、解：(1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋25. 经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25， ∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N )．(2)法一：∵S n ＝－n 2＋24n ＝－(n －12)2＋144， ∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二：∵a n ＝－2n ＋25， ∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252， ∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144. 16、解：由已知得：a n ＝1n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝n 2，b n ＝2n 2·n ＋12＝8(1n －1n ＋1)，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝8(1－1n ＋1)＝8n n ＋1.17、解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n2n－1＝n，即a n＝n·2n－1.S n＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边乘以2得，2S n＝2＋2×22＋…＋n×2n. 两式相减得S n＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.18、解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n 3，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1 3.②①－②得3n－1a n＝13，a n＝13n.在①中，令n＝1，得a1＝13，适合a n＝13n，∴a n＝1 3n.(2)∵b n＝na n，∴b n＝n3n.∴S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n，③∴3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1.④④－③得2S n＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2S n＝n3n＋1－3(1－3n) 1－3，∴S n＝(2n－1)3n＋14＋34.19、解：(1)∵n，a n，S n成等差数列，∴S n＝2a n－n，S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1－1(n≥2)，∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)．又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ， ∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n ) ＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列．由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *)． 20、解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5. ∴a n ＝2n ＋3.S n ＝n (5＋2n ＋3)2＝n (n ＋4)．(2)由b n ＋1－b n ＝a n ，∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)．当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)．对b 1＝3也适合， ∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． ∴1b n＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)．T n ＝12(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2). 21、解：(1)因为y ＝f (x )的图象过原点，所以f (x )＝x 2－x . 所以S n ＝n 2－n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n －(n －1)2＋(n －1)＝2n －2，又因为a 1＝S 1＝0适合a n ＝2n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2(n ∈N *)． (2)由a n ＋log 3n ＝log 3b n 得：b n ＝n ·3a n ＝n ·32n －2(n ∈N *)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝30＋2·32＋3·34＋…＋n ·32n －2，9T n ＝32＋2·34＋3·36＋…＋n ·32n .两式相减得：8T n ＝n ·32n －(1＋32＋34＋36＋…＋32n －2)＝n ·32n －32n －18，所以T n ＝n ·32n 8－32n －164＝(8n －1)32n ＋164.(3)a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2组成以0为首项，6为公差的等差数列，所以P n ＝n (n －1)2×6＝3n 2－3n ；a 10，a 12，a 14，…，a 2n ＋8组成以18为首项，4为公差的等差数列，所以Q n ＝18n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋16n .故P n －Q n ＝3n 2－3n －2n 2－16n ＝n 2－19n ＝n (n －19)，所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n >Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n <19时，P n <Q n .。

2014届高三必过关题5 数列2(王君愚)

高三必过关题5 数列（2）江苏省苏州市第三中学王君愚一、填空题考点一。

由递推关系求通项例1. 已知当x ∈R 时，函数y ＝f (x )满足f (2.1＋x )＝f (1.1＋x )＋13，且f (1)＝1，则f (100)的值为________．答案:34提示: ∵f (n ＋1)－f (n )＝13，∴{f (n )}(n ∈N *)是等差数列，则f (100)＝f (1)＋13(100－1)＝34.例2. 如果数列{}n a 满足12a =，21a =，且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则此数列的第10项为．答案：15提示:1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥得到111111(2)n n n n n a a a a -+-=-≥，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，211112d a a =-=， 101111(101)52a a =+-⨯=，所以1015a =例3. 由111,31nn n a a a a +==+给出数列{}n a 的第34项是答案：34a ＝1100提示：等式两边取倒数得1{}n a 为等差数列，从而得到34a ＝1100．例 4.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b =答案：12n +提示：由条件得111222122221111n n n n n n n n a a a b b a a a +++++++====---+且14b =所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=例5.在数列{a n }中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，则n a = ．答案：2ln n + 提示：迭加法.例6.在数列{}n a中，已知12211,n n n a a a a ++==-，则2011a = ．答案：1提示：利用周期性解题，周期为8.例7.若数列{}n a 满足()2112313333n n n a a a a n N -*++++⋅⋅⋅+=∈,则n a = . 答案⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=2,311,32n n提示：1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，记21123333n n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+考点二. 数列求和例8.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为．答案：23⎝⎛⎭⎫1－14n 提示：由S n ＝2a n －1可得{a n }是以首项为1、公比为2的等比数列，再用等比数列求和公式例9.数列211,12,124,,1222,n -+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅的前n 项和1020n S >，那么n 的最小值是 . 答案：10提示：数列通项21122221n n n a -=+++⋅⋅⋅+=-，212222n n n S n -=++⋅⋅⋅++-1221020n n +=-->例10.已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是________ . 答案：-76提示：两两配对求和例11.数列{a n }满足221,212,2n n n n k a n k-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则它的前20项的和为．答案：2236提示：102010(137)2(12)2236212S +-=+=-.例12. 将正偶数划分为数组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)，…，则第n 组各数的和是________(用含n 的式子表示)．答案：n 3＋n提示：先将每个数除以2得(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，可知第n －1组最后一个数字为n (n －1)2，然后利用等差数列求和公式。

吉林省2014届高三数学寒假作业5

高三数学寒假作业（数列）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.等差数列{}n a 前n 项和n S , 15890,0S a a >+<,则使0nn S a n+<的最小的n 为（） A ．10 B ． 11 C. 12 D ． 132.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+ .若则23-=b ，1210=b ，则8a 为 ( )A. 0B. 3C. 8D. 113.若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为（） A.3B.3-C.3±D.33-4.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m +=的离心率是（）A ． 25B．．5.已知数列{}n a 中，113,21n n a a a +==+，则3a =A. 3B. 7C. 15D. 186.设n S 为等差数列{}n a 的前项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( )A ．5B ．6C ．7D ．87.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（） A. 55 B. 65 C. 60 D.708.数列{}n a 中，“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.数列{}n a 中，若)1(32,111≥-==+n a a a n n ，则该数列的通项=n a （）A ．32-nB ． 12-nC ．n 23-D ． 12-n10.在等比数列{}n a 中，已知31,32,891===m a q a 公比，则 m 等于（）.（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）211.设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25 B ．50 C ．75 D ．10012.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a -=，则42S S =A ． 8-B ． 5C ． 8D ． 15第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =__________．14.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于______________。

2014届高三数学寒假作业(数列1)

2014届高三数学寒假作业（数列1）姓名____________学号___________一、填空题1．数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若711=+b a ，2133=+b a ，则=+55b a ________．2．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =________．3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11223S π=，则6cos a 的值为________． 4．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=________．5．公差不为0的等差数列{}n a 中，134,,a a a 成等比数列，则该等比数列的公比为________． 6．数列{}n a 中，12342,6,14,26a a a a ====，试写出{}n a 的一个通项公式________．7．在数列{}n a 中，121,6a a ==，n N *∀∈，都有21+++=n n n a a a ，则2014a =________．8．设{}n a 为递减的等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，123{,,}{4,3,2,0,1,a a a ⊆---2,3,4}，那么1051S q=-________． 9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S 3=，则912SS =________． 10．已知数列{}n a 的通项公式是121n a n =+，那么11n i i i a a +==∑________．11．已知不等式2x y +≤的自然数解有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)，共6组解，不等式3x y +≤的自然数解有10组解．根据以上事实，可以发现，不等式x y n +≤的自然数解有________组．12．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列结论：①0d <； ②110S >； ③120S <； ④130S <； ⑤86S S >； ⑥93S S >．上述正确的结论的序号为________．13．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果三边,,a b c 成等差数列，那么角B 的最大值是________．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若3a ＝1，则m所有可能的取值为________．二、解答题15．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8．（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和n S ．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且102055,210S S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n n a b a +=，是否存在,m k （2,,k m k m N *>≥∈），使得1,,m k b b b 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的,m k 的值；若不存在，请说明理由．17．在数列}{n a 中，1111,(1)1n n a a a n +==-+．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）记n b =122n n n a a a +++++，试比较1,n n b b +的大小；（3）不等式12217log (1)1212n n n a a a a a +++++>-+恒成立,求实数a 的取值范围．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若2lg[(2)]n nn n c t t a +=⋅⋅（01t <<），且数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围．2014届高三数学寒假作业（数列1）参考答案1．35； 2．210n -； 3．12-； 4．7-； 5．12； 6．2222n n -+； 7．1-； 8．334；9．记3S m =，则63S m =，所以632S S m -=，从而得到961294,8S S m S S m -=-=，从而9127,15S m S m ==，所以912S S =715． 10．11ni i i a a +==∑1113557(21)(23)n n +++⨯⨯+⨯+11111[()()23557=-+-+11()]2123n n +-++111()2323n =-+=69nn + 11．不等式2x y +≤的自然数解分为三类：当0x =时有3组，当1x =时有2组，当3x =时有1组，共计6组；不等式3x y +≤的自然数解分为四类：当0x =时有4组，当1x =时有3组，当2x =时有2组，当3x =时有1组，共计10组；不等式x y n +≤的自然数解分为1n +类：当0x =时，0,1,2,,y n =有1n +组，当1x =时，0,1,2,,1y n =-有n 组，当2x =时有1n -组，…当x n =时，0y =，有1组，共计(1)n n +++(1)n -21+++=(1)(2)2n n ++组．12．n S 是关于n 的二次函数，画出示意图，如右所示，抛物线开口向下，①正确，对称轴方程x m =，(6,6.5)m ∈，从而函数的两个零点是0和2(12,13)m ∈，所以1112130S S S >>>，②正确，③错误，④正确，由抛物线示意图可知，678S S S >>，⑤错误，由对称性和75S S >可知93S S >，⑥正确．所以正确选项①②④⑥；13．22222222()3326214cos 22882a c a c a cb ac ac ac ac B ac ac ac ac ++-+-+--===≥=，6014．当m 是奇数时，213131a a m =+=+是偶数，2331122a m a +===，13m =舍去；当m 是偶数时，1222a m a ==，奇偶性不确定，再分类：当2m是偶数时，23124a m a ===，4m =满足；当2m是奇数时，32331112m a a =+=+=，0m =舍去．所以m 的所有取值只能是4．15．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （2）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩16．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+．由已知，得 111091055,2201920210,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩即112911,21921,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以1(1)n a a n d n =+-=．（2）假设存在,m k （2,,k m k m N *>≥∈），使得1,,m k b b b 成等比数列，则21m k b b b =．因为11n n n a n b a n +==+，所以11,,211m k m k b b b m k ===++．所以21()121m km k =⨯++．整理，得22221m k m m =-++．因为0k >，所以2210m m -++>．解得11m <<+．因为2,m m N *≥∈，所以2m =，此时8k =．故存在2,8m k ==，使得1,,m k b b b 成等比数列．17．解：（1）∵11n n n a a n +=+ 方法一：∴1(1)0n n n a na ++-=，∴{}n na 是以1为首项，0为公差的等差数列．∴1n na =， ∴1n a n=．方法二：∴2112a a =， 3223a a =， …， 11(2)n n a n n a n --=≥，∴累加可得11n a a n=(2)n ≥ ∴当2n ≥时，1n a n =；∵1n =时11a =亦满足上式． ∴1n a n=．（2）122111122n n n a a a n n n++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++ 令122n n n n b a a a ++=++⋅⋅⋅+，∴12322n n n n b a a a ++++=++⋅⋅⋅+∴1222111111222112(21)(1)n n n n n b b a a a n n n n n ++++-=+-=+-=+++++∴1,n n N ∀>∈，10n n b b +->恒成立（2）min 11()2n b b ==；∴由题意可知min 17log (1)()1212a n ab -+<∴log (1)1a a -<-又1a >；∴101a a<-<；∴112a <<18．（1）∵11353(2)n n n n S a a S n --=-+≥，∴11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，∴135(2)n n n a a a n -=-≥，即12(2)n n a a n -=≥；∵12a =，∴{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列． ∴12112()()22n n n a --=⨯=．（2）21(21)(21)()2n n n b n a n -=-=-∴10121111()3()5()(21)()2222n Tn n --=++++-，012111111()3()5()(21)()22222n Tn n -=++++-， ∴122111111221()()()(21)()22222n n Tn n --⎡⎤=+++++--⎢⎥⎣⎦1111()1222(21)()1212n n n ---=+⨯---31116()(21)()22n n n --=---，∴42211112()(21)()12(23)()222n n n n T n n ---=---=-+．（3）lg nn c nt t =，∵数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，∴1n n c c +>对*n N ∈恒成立． ∴1(1)lg lg n n n tt nt t ++>，∵01t <<，∴lg 0,0nt t <>，∴(1)n t n +<对*n N ∈恒成立．∴min ()1n t n <+． ∵1111n n n =-++在*n N ∈时单调递增， ∴min 1()12n n =+， ∴102t <<．。

2014高考(数列)真题练习

2014高考真题（数列1）1.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D3. 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D . 4.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D5.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -= 【答案】C6.数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________. 【答案】 217.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

8.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718d -<<-9. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

【答案】50 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =_____ ___.【答案】1411. 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。