2015年广东高考文科数学模拟试题
2015年广东高考文科数学模拟试题3
图1俯视图正视图2015年广东高考文科数学模拟试题(3)参考公式：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则 A ．U A B = B ．U =()A C u BC ．U A=()B C u D ．U =()A C u ()B C u3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y f x =是函数2x y=的反函数，则()2f 的值是 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m的值为 A ．- B ．．．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1 D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2 B. 1 C. 23 D. 138. 已知函数()2f x x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y f x =的图象 A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度图2C9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x f y C C (+=为常数)成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f n 个部分，则()3f = ，()f n = . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B在直线c o s s i n 0ρθρθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的 切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．图3a0.06b 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ 的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19.（本小题满分14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （n ≥2）. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?21.（本小题满分14分）已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点.。
2015广东高考文科数学试题及答案
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 5、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．36、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．18、已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． ()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．。
广东省茂名市2015年第二次高考模拟考试数学文试卷
绝密★启用前 试卷类型：A 茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（文科） 2015.4本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =∙锥体底，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于( )A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-2、复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．10 D ．55 4、已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若a ∥b ，则+a b 等于（ ）A. （-2，-1）B. （2，1）C. （3，-1）D. （-3，1）5、若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 36、命题“2000,220x R x x ∃∈++≤” 的否定是( )A. 2,220x R x x ∀∈++>B. 2,220x R x x ∀∈++≥C. 2000,220x R x x ∃∈++<D. 2000,220x R x x ∃∈++>7、已知平面α⊥平面β，=l αβ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能．．成立的个数为（ ） A. 1 B . 2 C. 3 D. 4 8、如图所示,程序框图的输出结果是1112s =，那么判断框中应 填入的关于n 的判断条件是( )A ．8?n ≤B ．8?n <C ．10?n ≤D ．10?n <9、已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点,A B 是两曲线的交点，O 为坐标原点，若()0OA OB AF +⋅=，则双曲线的实轴长为( )A ．22+B ．12-C ．122-D ．222-10、已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x =在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.若函数()322f x x hx hx =--，且()1f x ∈Ω，()2f x ∉Ω，则实数h 的取值范围是（ ）A .[)0,+∞B.()0,+∞C.(],0-∞D.(),0-∞第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题） 11、函数()lg 2xf x x =-的定义域为 . 12、函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 . 13、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，已知()sin sin sin sin a A B c C b B -=-，且2a c =，则sin A = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分.）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x θy θ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为 .15、（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，23BC =，60BCD ∠=︒，则圆O 的面积 为 .三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）已知函数)20,)(31sin(2)(πϕϕ<<∈+=R x x x f 的图象过点)2,(πM .（1）求ϕ的值；（2）设,1310)3(],02[=+-∈παπαf ， 求)453(πα-f 的值. 17、（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义 务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25， 第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率. 18、（本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正 方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点.（1）证明：NE PD ⊥；（2）求四棱锥B CEPD -的体积.19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有)(1*N n a s n n ∈-=,点),(n n b a 在直线nx y =上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T ;（3）试比较n T 和n n 222-的大小,并加以证明.20、（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点3(3,)2P ，离心率为12，（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 过椭圆E 的右焦点F ,且交椭圆E 于A B 、两点,是否存在实数λ，使得BF AF BF AF ⋅=+λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21、（本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==---（1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意()10,,02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的最小值；（3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>.茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBCABADBDD提示：9、 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F F ∴点的坐标为（1，0） 0)(=∙+AF OB OA ，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1,2）设左焦点为'F ,则'FF =2,由勾股定理得'AF22=,由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .10、因为()1f x ∈Ω且()2f x ∉Ω，即()()22f x g x x hx h x==--在()0,+∞是增函数，所以0h ≤.而()()22f x h h x x h x x ==--在()0,+∞不是增函数，而()21h h x x'=+，所以当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，有0h <.综上所述，可得h 的取值范围是(),0-∞.二、填空题（本大题每小题5分，共20分）11. 022+∞（，）（，）； 12. 210x y --=； 13.34 ； 14. 2； 15. 4π 13.提示：由正弦定理得：sin ,sin ,sin 222a b c A=B=C=R R R代入()s i ns i n s i n s i n a A B c C b B -=-，得到222,a ab c b -=-即222,a b c ab +-=代入余弦定理得：1cos 2C =，3sin 2C ∴=，又因为2a c =，13sin sin 24A C ==. 三、解答题（本大题共80分）16. 解：（1）把(,2)π代入12sin()3y x ϕ=+得到sin()1,3πϕ+= ………………………1分0,2πϕ∈（）， 6πϕ∴= ………………………………………4分（2）由（1）知)631sin(2)(π+=∴x x f∴10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+== ∴5cos 13α=，……………7分∵]0,2[πα-∈， 1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα ………9分 ∴)4sin(2)453(παπα-=-f )4sin cos 4cos (sin 2παπα-= ]2213522)1312[(2⋅-⋅-=………………………………11分 13217-= ………………………………………………12分 17、解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为0.06510030⨯⨯=……………………1分第4组的人数为0.04510020⨯⨯= …………………………………………2分 第5的人数为0.02510010⨯⨯=………………………………………………3分 所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯= 第4组：206260⨯= 第5组：106160⨯= 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……5分 （2）记第3组的3名志愿者为123,,,A A A 第4组的2名志愿者为12,,B B ………………6分则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：12(,),A A 13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种 ……9分其中第4组的2名志愿者为12,,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共有7种 …11分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为710……………………………12分 18、解：（1）连结AC 与BD 交于点F ，则F 为BD 的中点，连结NF ， ∵N 为线段PB 的中点，∴//,NF PD 且,21PD NF = …………………3分 又//EC PD 且PD EC 21=∴//NF EC 且.NF EC = ∴四边形NFCE 为平行四边形， ……………………5分∴//NE FC , 即//NE AC ． …………………………………………………………6分 又∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD , ∴AC PD ⊥,∵//NE AC , ∴NE PD ⊥, …………………………………………………………7分 （2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ,∴平面PDCE ⊥平面ABCD . …………………………………………………………9分 ∵BC CD ⊥，平面PDCE平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面.PDCE . ………………………………………………………………10分 ∴BC 是四棱锥B PDCE -的高. ……………………………………………………11分∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE……………………………………12分 ∴四棱锥B CEPD -的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形. ………14分19. 解：（1）当1n =时, 1111a s a ==-, 解得：112a =， ………………………………1分当2n ≥时, 11(1)(1)n n n n n a s s a a --=-=---, 则有12n n a a -= ，即： 112n n a a -=， ∴数列{}n a 是以112a =为首项，12为公比的等比数列. ………………………3分 ∴*1()2nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭……………………………………………………………4分（2）∵点),(n n b a 在直线nx y =上 ∴ 2n n nnb na ==. …………………………………………………………………5分因为1231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+①,所以2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+②. 由①-②得,123111*********n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-,所以121111112212122222212nn n n n nn n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. ………………8分 （3）令n n n B 222-=,则n n n n n n B T 2222++-=-=n n n 222--=n n n 2)1)(2(+- ……10分1=∴n 时, 011<-B T ，所以11B T <; 2=n 时, 022=-B T ，所以22B T =;3≥n 时, 0>-n n B T ，所以n n B T >. …………………………………………13分综上:①1=n 时，n n n T 222-<,②2=n 时,n n n T 222-=,③3≥n 时,n n n T 222-> …14分20、解：（1）由椭圆E 过点3(3,)2P ，可得22223()(3)21a b +=…………………………1分 又21=a c ，222b c a += ……………………………………………………………2分 解得：2,3a b ==， ………………………………………………………………3分所以椭圆E 方程为13422=+y x ……………………………………………………4分 （2）若直线l 斜率不存在，则可得)23,1(),23,1(-B A ,于是34323211=+=+=⋅+=BF AF BFAF BF AF λ; ……………………………6分若直线的斜率存在,设其方程为:)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ,可得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k ,设),(),,(2211y x B y x A ,则有2221438k k x x +=+,222143124k k x x +-=⋅ ……………8分由于BFAF BF AF ⋅+=BFAF AB ⋅而2221212212243)1(124)(11kk x x x x kx x k AB ++=-++=-+= ……10分BF AF ⋅=22222121)1()1(y x y x +-⋅+- =2222221221)1()1()1()1(-+-⋅-+-x k x x k x=11)1(212--+x x k=1)()1(21212++-+x x x x k=2243)1(9kk ++ ……………………………………………………………12分 BFAF BF AF ⋅+=222243)1(943)1(12k k k k ++++=34 综上所述，BF AF BF AF ⋅=+34 即：存在实数34=λ，使得BF AF BF AF ⋅=+λ恒成立 …………………14分 21、解（1）()g x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，()12ln g x x x =--， ()221x g x x x-'=-=………………………1分 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，综上，()g x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2 ………………3分 （2）由题意知：()()212ln 0a x x --->，在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()212ln a x x -->在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，又10x ->，∴2ln 21x a x >+-在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立 …………………………4分 设()2ln 21x h x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()222212ln 22ln 11x x x x x h x x x -+-+'==-- …5分 又令()2122ln ,0,2m x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()222222x m x x x x -+'=-+= ……6分 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，()m x 单调递减，∴()1422l n 202m x m ⎛⎫>=--> ⎪⎝⎭，即()0h x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ………………………………………………………7分所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，∴()12ln 12224ln 2122h x h ⎛⎫<=+=-⎪⎝⎭，故24ln 2a ≥-，所以实数a 的最小值24ln 2-. …………………………………8分 （3）21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， …………………………………………………………9分 又1202x x x +=，所以()()0001212ln x x f x x x x x =''===+ ……………………10分 要证()0k f x '>. 即证212112ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设120x x <<，即证()2121122ln ln x x x x x x -->+， 即证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+………………………………………………………………11分设211x t x =>，即证：()214ln 211t t t t ->=-++， 也就是要证：4ln 201t t +->+，其中()1,t ∈+∞， ……………………………12分 事实上：设()()()4ln 21,1k t t t t =+-∈+∞+， 则()()()()()()22222141140111t t t k t t t t t t t +--'=-==>+++，……………………………13分 所以()k t 在()1,+∞上单调递增，因此()()10k t k >=，。
2015年广东省高考文科数学试题及答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．25. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =，且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．3 6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． ()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．参考答案1-5 BADBC 6-10 DBBAA11、（-4,1） 12、10 13、1 14、（2，-4） 15、3 16、（1）解：tan tan4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=- ∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2）222222222sin sin cos cos 21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin 22sin cos ααα=∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式17、解：（1）（0.002+0.0025+0.005+x +0.0095+0.011+0.0125）⨯20=1∴0.0075x = （2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线 0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+=（3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯= [260,280):0.0052010010⨯⨯=[280,300):0.0025201005⨯⨯=共计：55户 ∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18、解：（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面 ∴BC PDA 平面（2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD ∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CD PE ⊂面PCD ，PE ⊥CD ∴ PE ⊥面ABCD 而BC ⊂面ABCD ∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E ∴ BC ⊥面PCD PD ⊂面PCD ∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯在等腰三角形PCD中，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯=∴P-ADC 1V 93==设点C 到平面PDA 距离为h∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯=∴163h =⨯⨯∴h =，即：点C 到平面PDA19、解：（1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=2-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列（3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列111411()()22{}2,411()22=2+4()2121()()221n n n n n n n n n n na aa aan n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20、（1）解：2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx =设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即29535(,3]13x k ∴=∈+（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--==-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时：21、解：（1）222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a =+--=+-+=+ 10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述： （2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+>∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增（3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(min ==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+x x f 时，即)0(4)(>-=x xx f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点. 当2x ≥时，令xx x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与aa g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >， 所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点； 故当2>a 时，()y f x =与xx g 4)(-=有两个交点.11 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12x D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤2,x+y≥0,x≤4,则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10 答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-23x+z3,z3表示直线y=-23x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=() A.3 B.2√2 C.2 D.√3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2√3×√32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案:B解析:设正品分别为A 1,A 2,A 3,次品分别为B 1,B 2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案:B解析:由已知a 2=25,b 2=m 2,c=4,又由a 2=b 2+c 2,可得m 2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:A解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p ,q ,r ,s )|0≤p<s ≤4,0≤q<s ≤4,0≤r<s ≤4且p ,q ,r ,s ∈N },F={(t ,u ,v ,w )|0≤t<u ≤4,0≤v<w ≤4且t ,u ,v ,w ∈N },用card(X )表示集合X 中的元素个数,则card(E )+card(F )=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 答案:A解析:E 中有序数组的要求为s 均大于p ,q ,r ,当s 取4时,p 可取0,1,2,3,q 也可取0,1,2,3,r 也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s 取3时,p ,q ,r 均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s 取2时,p ,q ,r 可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s 取1时,p ,q ,r 只能都取0,不同数组有1个,因此E 中不同元素共有64+27+8+1=100个.F 中元素要求为t<u ,v<w ,当u 取4时,t 可取0,1,2,3;当u 取3时,t 可取0,1,2;当u 取2时,t 可取0,1; 当u 取1时,t 取0,所以t ,u 的不同组合为10种.同理,v ,w 不同组合也有10种,故F 中元素个数为10×10=100,所以card(E )+card(F )=200. 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化为x 2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x 1,x 2,…,x n 的均值x =5,则样本数据2x 1+1,2x 2+1,…,2x n +1的均值为 . 答案:11解析:由题意,y i =2x i +1(i=1,2,…,n ),则y =2x +1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= . 答案:1解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,即b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. 又b 是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t ,(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C 1的直角坐标方程为x+y=-2. 由已知得曲线C 2的普通方程为y 2=8x. 由{x +y =-2,y 2=8x ,得y 2+8y+16=0, 解得y=-4,x=2.所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线EC 的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2√3,则AD= . 答案:3解析:由切割线定理得EC 2=EB ·EA ,即12=EB ·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC ,则OC ⊥DE ,所以OC ∥AD ,所以EO EA=OC AD ,即46=2AD,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值;(2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解:(1)tan (α+π4)=tanα+tan π41-tanαtan π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3. (2)sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(2cos 2α-1)-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2 =2×222+2-2=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a , 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA ; (2)证明:BC ⊥PD ;(3)求点C 到平面PDA 的距离.(1)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ,AD ⊂平面PDA , 所以BC ∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以BC ⊥PD.(3)解:取CD 的中点E ,连接AE 和PE.因为PD=PC ,所以PE ⊥CD.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√42-32=√7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC , 所以PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC ⊥平面PDC. 由(1)知BC ∥AD. 所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h , 因为V 三棱锥C-PDA =V 三棱锥P-ACD ,所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE , 即h=S △ACD ·PE S △PDA=12×3×6×√712×3×4=3√72, 所以点C 到平面PDA 的距离是3√72. 19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明:{a n+1-12a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54+a 4)+5(1+32)=8(1+32+54)+1, 解得a 4=78. (2)证明:因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2), 即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n+2+a n =4a n+1(n ∈N *). 因为a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n=4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,所以数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列,所以a n+1-12a n =(12)n -1, 即a n+1(12)n+1−a n(12)n =4,所以数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,公差为4的等差数列,所以a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n =(2n-1)×(12)n -1.所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1. 20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0),斜率为k 的直线.结合图形,(x 0-32)2+y 02=94(53<x 0≤3)表示的是一段关于x 轴对称,起点为F (53,-2√53)按逆时针方向运动到E (53,2√53)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在x 轴下方的圆弧. 由F (53,-2√53),则k FT =2√534-53=2√57, 而当直线L 与轨迹C 相切时,|3k 2-4k |√k +132,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为2√57<34,所以k FT <k.结合图形,可得对于x 轴下方的圆弧,当0≤k ≤2√57或k=34时,直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-2√57≤k<0或k=-34时,直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述,当-2√57≤k ≤2√57或k=±34时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a 为实数,函数f (x )=(x-a )2+|x-a|-a (a-1). (1)若f (0)≤1,求a 的取值范围; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a ≥2时,讨论f (x )+4x在区间(0,+∞)内的零点个数. 解:(1)f (0)=a 2+|a|-a 2+a=|a|+a.因为f (0)≤1,所以|a|+a ≤1. 当a ≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a ≤1,所以a ≤12.所以0<a ≤12.综上所述,a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )={x 2-(2a -1)x ,x ≥a ,x 2-(2a +1)x +2a ,x <a .对于u 1=x 2-(2a-1)x ,其图象的对称轴为x=2a -12=a-12<a ,开口向上, 所以f (x )在[a ,+∞)上单调递增;对于u 2=x 2-(2a+1)x+2a ,其图象的对称轴为x=2a+12=a+12>a ,开口向上, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减.综上,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(-∞,a )上单调递减. (3)由(2)得f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减, 所以f (x )min =f (a )=a-a 2.①当a=2时,f (x )min =f (2)=-2,f (x )={x 2-3x ,x ≥2,x 2-5x +4,x <2,令f (x )+4x=0,即f (x )=-4x(x>0). 因为f (x )在(0,2)上单调递减, 所以f (x )>f (2)=-2,而y=-4x 在(0,2)上单调递增,y<f (2)=-2, 所以y=f (x )与y=-4x在(0,2)上无交点. 当x ≥2时,令f (x )=x 2-3x=-4x, 即x 3-3x 2+4=0,所以x 3-2x 2-x 2+4=0. 所以(x-2)2(x+1)=0.因为x ≥2,所以x=2,即当a=2时,f (x )+4x有一个零点x=2.②当a>2时,f (x )min =f (a )=a-a 2, 当x ∈(0,a )时,f (0)=2a>4,f (a )=a-a 2,而y=-4x在x ∈(0,a )上单调递增,当x=a 时,y=-4a.下面比较f (a )=a-a 2与-4a 的大小.因为a-a 2-(-4a)=-(a 3-a 2-4)a =-(a -2)(a 2+a+2)a<0,所以f (a )=a-a 2<-4a.结合图象不难得当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个交点. 综上,当a=2时,f (x )+4x 有一个零点x=2; 当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个零点.。
2015年广东高考(文科)数学试卷及答案-word版【2】
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ⋂=（ ）A.{0,1}-B.{1}C.{0}D.{1,1}-2.已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=（ ） A.2i B.2i-C.2D.2-3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.sin 2y x x =+ 2B.cos y x x=-1C.22x xy =+2D.sin y x x =+ 4.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A.2B.5C.8D.10 5.设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A b c <，则b =（ ） A.3B. C.2D.6.若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交12C.,l l l 至多与中的一条相交12D.,l l l 至少与中的一条相交7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A.0.4B.0.6C.0.8D.18.已知椭圆2221025x y m m +=>（）的左焦点为1-F （4,0），则=m （ ） A.2 B.3 C.4D.99.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD 则AD AC（ ）A.5B.4C.3D.2 10.若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）A.200B.150C.100D.50二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示） 12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .图1三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知tan 2.（1）求)4tan(πα+的值；（2）求2sin 2sinsin coscos21的值.17.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2，（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3. （1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本小题满分14分）设数列n a 的前n 项和为*,n S n N ，已知123351,,,24a a a 且当2n 时，211458nn n n S S S S .（1）求4a 的值；（2）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列； （3）求数列n a 的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B.（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a .（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2≥a 时，讨论4()f x x在区间),0(+∞内的零点个数.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）-答案1、【答案】B 【解析】}1{=⋂N M2、【答案】A 【解析】()()i i i i 221122=++=+3、【答案】D 【解析】A 为奇函数，B 和C 为偶函数，D 为非奇非偶函数4、【答案】B 【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数23z x y =+过点（4，-1）时z 取得最大值为max 243(1)5z =⨯+⨯-=5、【答案】C 【解析】由余弦定理得，23344122cos 2222=-+=-+=b b bc a c b A ，化简得0862=+-b b ，解得42或=b ，因为b c <，2b =所以，6、【答案】D7、【答案】B 【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A ，B ，剩余的3件合格品分别设为a ，b ，c. 则从5件产品中任取2件，共有10种情况，分别为（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ）、（a ，b ）、（a ，c ）、（b ，c ）、（A ，B ）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ），则其概率为0.6106= 8、【答案】B 【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有4=c ，且椭圆的焦点在x 轴上，所以有916252522=-=-=c m ，因为,0>m 所以3=m9、【答案】A 【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以)1,3()1,2()2,1(-=+-=+=AD AB AC ，则5)1(132=-⨯+⨯=⋅AC AD10、【答案】A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种；当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种； 当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种；当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=.当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种； 当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种；当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯= 所以()()card card F 100100200E +=+=11、【答案】（-4,1） 【解析】解不等式2340x x --+> 得14<<-x ，所以不等式的解集为（-4，1） 12、【答案】10 【解析】由题意知，当样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =时，样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=13、【答案】1 【解析】由等比中项性质可得，1)62(5)625)(625(222=-=-+==ac b ，由于b 为正数，所以b=114、【答案】（2，-4） 【解析】曲线1C 的直角坐标系方程为2-=+y x ，曲线2C 的直角坐标方程为x y 82=. 联立方程⎩⎨⎧=-=+x y y x 822，解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为（2，-4） 15、【答案】3 【解析】由切割线定理得：2CE =BE AE ，所以，BE BE （+4）=12解得：BE=2BE 或=-6(舍去)连结OC ，则OC DE AD DE OC//AD ∴⊥，⊥，OC OE 26=,3AD AE 4OC AE AD OE ⨯∴∴===16、【解析】 （1）tan tan4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=- ∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2）222222222sin sin cos cos 21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin22sin cos ααα=∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式17、【解析】 （1）（0.002+0.0025+0.005+x ）⨯20=1∴0.0075x = （2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线 0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+=（3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯= [260,280):0.0052010010⨯⨯= [280,300):0.0025201005⨯⨯= 共计：55户 ∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18、【解析】（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面 ∴BC PDA 平面 （2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD ∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CD PE ⊂面PCD ，PE ⊥CD ∴ PE ⊥面ABCD 而BC ⊂面ABCD ∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E ∴ BC ⊥面PCD PD ⊂面PCD ∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯在等腰三角形PCD中，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯=∴P-ADC 1V 93==设点C 到平面PDA 距离为h ∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯=∴163h =⨯⨯∴h ，即：点C 到平面PDA19、【解析】（1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=12-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列（3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列111411()()22{}2,411()22=2+41()2121()()221n n n n n nn n n n na aa aan n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20、【解析】（1）2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx = 设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x y xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即29535(,3]13x k ∴=∈+（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--=-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时： 21、【解析】（1）222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a=+--=+-+=+10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述： （2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+>∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- （3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(m in==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+xx f 时，即)0(4)(>-=x x x f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点.当2x ≥时，令x x x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x 综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与a a g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >，所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点；故当2>a 时，()y f x =与x x g 4)(-=有两个交点. 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点。
2015年广东省广州市高考模拟考试数学(文科)试题及答案
试卷类型：A2015年广州市高考模拟考试数 学（文科） 2015．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按 以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂 的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3. 命题“若0x >，则20x >”的否命题是A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >， 则0x >C ．若0x ≤，则20x ≤D ．若20x ≤，则0x ≤4. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2- B ．1- C ．13- D ．15-5. 函数()()1cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. 一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．1D ．5 7. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④ 8. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b> B ．()2log 0a b ->C ．1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<9. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的 图1 直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为AB ．C D ． 10. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058-二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式2230x x --<的解集是 ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .ED C（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积． 图319．（本小题满分14分） 已知首项为32，公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n T b +6<.20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．2015年广州市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．()1,3- 1213．2 14．1315．sin()42πρθ+=三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分 ∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=-⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=∴ sin α=. ………………………………………………7分 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ cos α==………………………………………………8分∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭∴ cos β=. ………………………………………………9分 ∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ sin 10β==. ………………………………………………10分 ∴ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分=+=. ……………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A . …………………………………1分HFEDCBA所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分 事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分∴ 42()105P A ==． …………………………………………6分 （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b--+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4a y b x =-=，…………………………………………10分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． …………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ， ∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分 （2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴D E BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，ADDE D =，∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………8分 在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH = ………………………………9分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. ………………………………10分 由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴ AD ∥EF . …………………………………………11分∴ DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=． …………………14分（1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分即()()42430S S S S -+-=，即()4340a a a ++=. …………………………………………2分 ∴4312a a =-. …………………………………………3分 ∴ 公比12q =-. …………………………………………4分 ∴ 13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分另解：由题意得324224S S S =-+，1q ≠， …………………………………………1分 ∴()()()3241111121111a q a q a q qqq---=-+---. …………………………………………2分化简得2210q q --=，解得12q =-， …………………………………………4分 ∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分（2）解：1313222n n n n nb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， …………………………………………6分 ∴ 12312336932222n n nnT b b b b =++++=++++， ① ……………………………7分()23131136322222n n n n nT +-=++++， ② …………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++-11113223212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯--13632n n ++=-， …………………………………………10分∴ 3662n nn T +=-. …………………………………………12分 ∴ 6662n n n T b +=-<. …………………………………………14分（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =. …………………………………………1分∵222c a b c a ==+， …………………………………………2分 ∴24a =． …………………………………………3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M Mk m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………………………………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OM k k ⨯=2211414414mk k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y ,由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.………………………………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k-=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，∴()2bf x ax x '=-. …………………………………………1分依题意可得(1)1,(1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩…………………………………………2分解得1,2a b ==. …………………………………………4分 （2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈，∴ 22()mx g x m x x-'=-=. …………………………………………5分 ① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………6分② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x-'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减, ∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………7分 ③当2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>， ∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. ∴min ()0g x ≠. …………………………………………8分 综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. …………………………………………9分（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. …………………………………………10分 ∵ 120x x <<,∴ 1201x x <<. …………………………………………11分 ∴112212ln x x x x ->. …………………………………………12分 ∴ 121222(ln ln )x x x x x ->-. …………………………………………13分 ∵ 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x x ϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， …………………………………………10分∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减 ∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………………11分 ∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………12分 120x x <<,∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………13分 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-.…………………………………………14分。
2015年广东省高考数学试卷(文科),附答案,最详尽答案
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．18．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．99．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可退出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选A．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2﹣，4）．故答案为：（2，﹣4）．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C﹣PDA=V P﹣ACD，所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．。
00 2015年广州市高考模拟考试数学(文科)参考答案
„„„„„„„„„„„„„„„„2 分
„„„„„„„„„5 分
由（*）得 1 4k
2
2
州
x
2
8kmx 4m2 4 0 ．
2
从而 8km 4 1 4k
4m
2
4 0 ,化简得 m2 1 4k 2 ．①
an
gz
„„„„„„„„„„„„„„6 分 „„„„„„„7 分
∵
∴ 2 sin
. 2 5
广
∴ cos
3 10 . 10
∵
∴ sin sin cos cos sin
:/ /
∴ sin 1 cos
ww w
0, ， 2
2
.g u
10 . 10
ht tp
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
研
一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 题号 答案 1 B 2 B 3 C
xM
广
8km 4km 4k 2 m m ， . „„„„„9 分 y kx m m M M 2 2 2 1 4k 1 4k 1 4k 2 2 1 4k
∴ 点 M 的坐标为
m 4km , . 2 2 1 4k 1 4k
教
4
5 A
6 C
7 D
.e
8 9 C A 15． sin(
2015年广东省茂名市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
21． （14 分）设函数 f（x）＝lnx﹣x2+ax． （1）若函数 f（x）在（0，1]上单调递增，试求 a 的取值范围； （2）设函数 f（x）在点 C（x0，f（x0） ） （x0 为非零常数）处的切线为 l，证明：
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函数 f（x）图象上的点都不在直线 l 的上方．
B．{4，6}
2． （5 分）i 为虚数单位，则 z＝ A．﹣i B．﹣1
3． （5 分）在△ABC 中，内角 A 和 B 所对的边分别为 a 和 b，则 a＞b 是 sinA＞ sinB 的（ ） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ）
A．充分不必要条件 C．充要条件
4． （5 分） 在各项均为正数的等比数列{an}中， 已知 a1•a3＝25， 则 a2 等于 （ A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5 或 5 ）
B．fp[f（1）]＝f[fp（1）] D．f[f（﹣小题 5 分，满分 15 分） 11． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆， 侧视图为矩形，则其表面积为 ．
12． （5 分）在区间[﹣2，2]上随机取一个数 x，使得函数 f（x）＝ 意义的概率为 ． +
20． （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F（0，1） ，直线 l：y＝﹣1， 点 P 在直线 l 上移动， R 是线段 PF 与 x 轴的交点， 过点 R， P 分别作直线 l1， l2，使得 l1⊥PF，l2⊥l，l1∩l2＝Q． （1）求动点 Q 的轨迹 C 的方程； （2）设 N 为轨迹 C 上的动点，是否在 y 轴上存在定点 E，使得以 NE 为直径的 圆被直线 y＝3 截得的弦长恒为定值？若存在， 求出定点 E 和弦长； 若不存在， 请说明理由．
2015年广东省高考数学试卷(文科)
2015 年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若会合 M={ ﹣1，1} ，N={ ﹣2，1，0} 则 M∩N=（）A．{ 0．﹣1}B．{ 0}C．{ 1} D．{ ﹣1，1}2．（5分）已知 i 是虚数单位，则复数（ 1+i）2=（）A．2i B．﹣ 2i C．2D．﹣ 23．（5分）以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C． y=2x+D． y=x2+sinx4．（ 5 分）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（ 5 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2，cosA=．且 b＜c，则 b=（）A．B．2 C．2 D．36．（5 分）若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面α内， l2在平面β内， l 是平面α与平面β的交线，则以下命题正确的选项是（）．l 与 l 1，l2 都不订交B．l 与 l 1，l2都订交AC．l 至多与 l1，l 2中的一条订交 D． l 起码与 l1， l2中的一条订交7．（5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其他为合格品．现从这 5 件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8D．1．（分）已知椭圆（m ＞）的左焦点为（﹣ 4，0），则 m=（）8 5+ =1F1A．2B．3C．4D．99．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（ 1，A．5B．4C．3D．210．（ 5 分）若会合E={ （p，q，r，s）| 0≤ p＜ s≤ 4， 0≤ q＜ s≤4， 0≤r＜s≤4且 p，q，r， s∈ N} ， F={ （ t，u，v，w）| 0≤t ＜u≤4，0≤v＜ w≤4 且 t，u，v，w∈ N} ，用 card（X）表示会合 X 中的元素个数，card（ E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空（共 3 小，考生作答 4 小，每小 5 分，分 15 分）（一）必做（ 11～13 ）11．（5分）不等式2 3x+4＞ 0 的解集．（用区表示）x12．（5分）已知本数据1，x2，⋯，x n 的均=5，本数据2x1+1，2x2+1，⋯，x2x n +1 的均．13．（ 5分）若三个正数a， b，c 成等比数列，此中 a=5+2， c=5 2 ，b=．坐系与参数方程做14．（ 5 分）在平面直角坐系 xOy 中，以原点 O 极点， x 的正半极成立极坐系．曲C1的极坐方程ρ（cosθ+sin θ）= 2，曲 C2的参数方程（t 参数）， C1与 C2交点的直角坐．几何明做15．如， AB O 的直径， E AB 的延上一点， E 作 O 的切，切点 C， A 作直 EC的垂，垂足 D．若 AB=4．CE=2，AD=．三、解答（共 6 小，分 80 分）16．（ 12 分）已知tan α =2．（ 1）求 tan（α+）的值；（ 2）求的值．17．（ 12 分）某城市 100 户居民的月均匀用电量（单位：度），以 [ 160， 180），[ 180，200），[ 200，220），[ 220，240），[ 240，260），[ 260，280），[ 280，300）分组的频次散布直方图如图．（1）求直方图中 x 的值；（2）求月均匀用电量的众数和中位数；（3）在月均匀用电量为， [ 220，240），[ 240，260），[ 260，280），[ 280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月均匀用电量在 [ 220，240）的用户中应抽取多少户？18．（ 14 分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6， BC=3．（1）证明： BC∥平面 PDA；（2）证明： BC⊥PD；（3）求点 C 到平面 PDA的距离．19．（ 14 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，n∈N*．已知 a1=1，a2=，a3=，且当 n≥2 时， 4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（ 1）求 a4的值；（2）证明： { a n+1﹣ a n } 为等比数列；（3）求数列 { a n} 的通项公式．20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆 C1：x2+y2﹣ 6x+5=0 订交于不一样的两点A，B．（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）能否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明原因．21．（ 14 分）设 a 为实数，函数f（x）=（x﹣ a）2+| x﹣a| ﹣a（a﹣ 1）．（1）若 f （0）≤ 1，求 a 的取值范围；（2）议论 f（ x）的单一性；（3）当 a≥2 时，议论 f（ x） + 在区间（0，+∞）内的零点个数．第4页（共 21页）2015 年广东省高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）数学（文科）1．（5 分）若会合 M={ ﹣1，1} ，N={ ﹣2，1，0} 则 M∩N=（）A．{ 0．﹣1}B．{ 0} C．{ 1}D．{ ﹣1，1}【剖析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={ ﹣1，1} ∩{ ﹣2，1，0} ={ 1} ．应选： C．【评论】考察列举法表示会合，交集的观点及运算．2．（5 分）已知 i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣ 2i C．2D．﹣ 2【剖析】利用完整平方式睁开化简即可．【解答】解：（1+i）22+2i+i2﹣；=1=1+2i1=2i应选： A．【评论】此题考察了复数的运算；注意i2﹣．= 13．（5 分）以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）2x2【剖析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别剖析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于 B，（﹣ x）2﹣cos（﹣ x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于 C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；因此是非奇非偶的函数；应选： D．【评论】此题考察了函数奇偶性的判断，在定义域对于原点对称的前提下，判断f （﹣ x）与 f（ x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．4．（ 5 分）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2B．5C．8D．10【剖析】作出不等式对应的平面地区，利用线性规划的知识，经过平移即可求 z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面地区（暗影部分），由 z=2x+3y，得 y=，平移直线 y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z 最大．由，解得，即 B（4，﹣ 1）．此时z 的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，应选： B．【评论】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决线性规划题目的常用方法．5．（ 5 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2，cosA=．且 b＜c，则 b=（）A．B．2C．2D．3【剖析】运用余弦定理： a2=b2+c2﹣2bccosA，解对于 b 的方程，联合 b＜c，即可获得 b=2．【解答】解： a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有 4=b2+12﹣4×b，解得 b=2 或 4，由 b＜c，可得b=2．应选： B．【评论】此题考察三角形的余弦定理及应用，主要考察运算能力，属于中档题和易错题．．（5分）若直线l1 和l2 是异面直线，1在平面α内， l2在平面β内， l 是平面6lα与平面β的交线，则以下命题正确的选项是（）．与 l 1，l2 都不订交B．l 与 l 1，l2都订交A lC．l 至多与 l1，l 2中的一条订交D． l 起码与 l1， l2中的一条订交【剖析】能够画出图形来说明l 与 l1，l2的地点关系，进而可判断出A，B，C 是错误的，而对于D，可假定不正确，这样l 便和 l1，l2都不订交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明 D 正确．【解答】解： A．l 与 l1， l2能够订交，如图：第7页（共 21页）B．l 能够和 l 1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l 能够和 l1，l 2都订交，以以下图：，∴该选项错误；D．“l起码与 l1，l2中的一条订交”正确，若是 l 和 l1，l2都不订交；∵l 和l1，l2都共面；∴ l 和 l1，l2都平行；∴ l1∥ l2， l1和 l2共面，这样便不切合已知的l 1和 l2异面；∴该选项正确．应选： D．【评论】考察异面直线的观点，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．7．（5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其他为合格品．现从这 5 件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8D．1【剖析】第一判断这是一个古典概型，而基本领件总数就是从 5 件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从 5 件产品中任取 2 件的取法为；∴基本领件总数为10；设“选的2 件产品中恰有一件次品”为事件A，则 A 包含的基本领件个数为=6；∴ P（ A） ==0.6．应选： B．【评论】考察古典概型的观点，以及古典概型的概率求法，理解基本领件和基本领件总数的观点，掌握组合数公式，分步计数原理．．（分）已知椭圆（m ＞）的左焦点为（﹣ 4，0），则 m=（）8 5+ =1F1A．2B．3C．4D．9【剖析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为 F1（﹣ 4，0），可得 25﹣m2=16，即可求出 m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为 F1（﹣ 4， 0），∴25﹣m2=16，∵ m＞0，∴m=3，应选： B．【评论】此题考察椭圆的性质，考察学生的计算能力，比较基础．9．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（ 1，﹣2），=（2，1）则? =（）A．5B．4C．3D．2【剖析】由向量加法的平行四边形法例可求=的坐标，而后辈入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法例可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣ 1）× 1=5．应选： A．【评论】此题主要考察了向量加法的平行四边形法例及向量数目积的坐标表示，属于基础试题．10．（ 5 分）若会合E={ （p，q，r，s）| 0≤ p＜ s≤ 4， 0≤ q＜ s≤4， 0≤r＜s≤4且 p，q，r， s∈ N} ， F={ （ t，u，v，w）| 0≤t ＜u≤4，0≤v＜ w≤4 且 t，u，v，w∈ N} ，用 card（X）表示会合 X 中的元素个数，则 card（ E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【剖析】对于会合 E，s=4 时， p，q，r 从 0，1，2，3 任取一数都有 4 种取法，进而组成的元素（ p， q， r， s）有 4×4×4=64 个，再议论 s=3，2，1 的状况，求法同样，把每种状况下元素个数相加即可获得会合E的元素个数，而对于会合F，需议论两个数： u，w，方法近似，最后把求得的会合 E，F 元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时， p， q， r 的取值的摆列状况有4×4×4=64 种；s=3时， p，q，r 的取值的摆列状况有3×3×3=27 种；s=2时，有 2× 2× 2=8 种；s=1时，有 1× 1× 1=1 种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2） u=4 时：若 w=4， t，v 的取值的摆列状况有 4× 4=16 种；若 w=3，t ，v 的取值的摆列状况有 4×3=12 种；若 w=2，有 4×2=8 种；若 w=1，有 4×1=4 种；u=3 时：若 w=4，t ，v 的取值的摆列状况有3×4=12 种；若 w=3，t ，v 的取值的摆列状况有 3×3=9 种；若 w=2，有 3×2=6 种；若 w=1，有 3×1=3 种；u=2 时：若 w=4，t ，v 的取值的摆列状况有2×4=8 种；若 w=3，有 2×3=6 种；若 w=2，有 2×2=4 种；若 w=1，有 2×1=2 种；u=1 时：若 w=4，t ，v 的取值的摆列状况有1×4=4 种；若w=3，有1×3=3 种；若w=2，有1×2=2 种；若w=1，有1×1=1 种；∴ card（F）=100；∴ card（E）+card（F）=200．故： A．【点】考描绘法表示会合，散布数原理的用，注意要弄清，做到不重不漏．二、填空（共 3 小，考生作答 4 小，每小 5 分，分 15 分）（一）必做（ 11～13 ）11．（ 5 分）不等式 x23x+4＞ 0 的解集（4，1）．（用区表示）【剖析】第一将二次系数化正数，而后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x 4＜0，因此（ x+4）（x 1）＜ 0，因此 4＜x＜1；因此不等式的解集（ 4， 1）；故答案：（ 4，1）．【点】本考了一元二次不等式的解法；一般的第一将二次系数化正数，而后适合的方法解之；属于基．12．（5 分）已知本数据x1，x2，⋯，x n的均=5，本数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x n +1 的均11．【剖析】利用均匀数算公式求解【解答】解：∵数据 x1， x2，⋯，x n的均匀数均=5，本数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x n+1 的均：=5×2+1=11；故答案： 11．【点】本考数据的均匀数的求法，是基．13．（5 分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，此中a=5+2，c=52，b=1．【剖析】由已知可得， b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2 ，c=5﹣2 ，∴=1，故答案为： 1．【评论】此题主要考察了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．曲线 C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sin θ）=﹣2，曲线 C2的参数方程为（t 为参数），则 C1与 C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【剖析】曲线 C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为一般方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线 C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线 C2的参数方程为（t为参数），化为一般方程：y2=8x．联立，解得，则 C1与 C2交点的直角坐标为（ 2，﹣4）．故答案为：（ 2，﹣ 4）．【评论】此题考察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为一般方程、曲线的交点，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．几何证明选讲选做题15．如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB 的延伸线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过 A 作直线 EC的垂线，垂足为 D．若 AB=4．CE=2，则AD=3．【剖析】连结 OC，则 OC⊥ DE，可得，由切割线定理可得2，求CE=BE?AE出 BE，即可得出结论．【解答】解：连结 OC，则 OC⊥ DE，∵AD⊥DE，∴ AD∥OC，∴2由切割线定理可得CE =BE?AE，∴12=BE?（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为： 3．【评论】此题考察切割线定理，考察学生剖析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）16．（ 12 分）已知t an α =2．（ 1）求 tan（α+）的值；（ 2）求的值．【剖析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解： tan α=2．（ 1） tan（α+）===﹣3；（2）== ==1．【评论】此题考察两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考察计算能力．17．（ 12 分）某城市 100 户居民的月均匀用电量（单位：度），以 [ 160， 180），[ 180，200），[ 200，220），[ 220，240），[ 240，260），[ 260，280），[ 280，300）分组的频次散布直方图如图．（1）求直方图中 x 的值；（2）求月均匀用电量的众数和中位数；（3）在月均匀用电量为， [ 220，240），[ 240，260），[ 260，280），[ 280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月均匀用电量在 [ 220，240）的用户中应抽取多少户？【剖析】（ 1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）× 20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[ 220，240）内，设中位数为 a，解方程（ 0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（ a﹣220）=0.5 可得；（3）可得各段的用户分别为 25，15， 10，5，可得抽取比率，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）× 20=1，解方程可得 x=0.0075，∴直方图中 x 的值为 0.0075；（ 2）月均匀用电量的众数是=230，∵（ 0.002+0.0095+0.011）× 20=0.45＜0.5，∴月均匀用电量的中位数在[ 220，240）内，设中位数为 a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 可得a=224，∴月均匀用电量的中位数为 224；（3）月均匀用电量为 [ 220， 240）的用户有 0.0125× 20×100=25，月均匀用电量为 [ 240，260）的用户有 0.0075×20×100=15，月均匀用电量为 [ 260，280）的用户有 0.005× 20×100=10，月均匀用电量为 [ 280，300）的用户有 0.0025×20×100=5，∴抽取比率为= ，∴月均匀用电量在 [ 220， 240）的用户中应抽取25× =5 户．【评论】此题考察频次散布直方图，波及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．18．（ 14 分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6， BC=3．（1）证明： BC∥平面 PDA；（2）证明： BC⊥PD；（3）求点 C 到平面 PDA的距离．【剖析】（1）利用四边形 ABCD是长方形，可得 BC∥AD，依据线面平行的判断定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出 BC⊥平面 PDC，即可证明 BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点 C 到平面 PDA的距离．【解答】（1）证明：由于四边形 ABCD是长方形，因此 BC∥AD，由于 BC?平面 PDA，AD? 平面 PDA，因此 BC∥平面 PDA；（ 2）证明：由于四边形 ABCD是长方形，因此 BC⊥CD，由于平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD=CD，BC? 面 ABCD，因此 BC⊥平面 PDC，由于 PD? 平面 PDC，因此 BC⊥PD；（3）解：取 CD的中点 E，连结 AE 和 PE，由于 PD=PC，因此 PE⊥ CD，在 Rt△PED中， PE===．由于平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDC∩平面 ABCD=CD，PE? 平面 PDC，因此 PE⊥平面 ABCD．由（ 2）知： BC⊥平面 PDC，由（ 1）知： BC∥AD，因此 AD⊥平面 PDC，由于 PD? 平面 PDC，因此 AD⊥PD．设点 C 到平面 PDA的距离为 h．由于 V C﹣PDA=V P﹣ACD，因此，因此 h==，因此点 C 到平面 PDA的距离是．【评论】此题考察平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判断，考察三棱锥体积等知识，注意解题方法的累积，属于中档题．19．（ 14 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，n∈N*．已知 a1=1，a2=，a3=，且当 n≥2 时， 4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（ 1）求 a4的值；（ 2）证明： { a n+1﹣ a n } 为等比数列；（ 3）求数列 { a n} 的通项公式．【剖析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由 4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形获得 4a n+2 +a n =4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列 {} 是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{} 是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步获得，说明{} 是以为首项， 4 为公差的等差数列，由此可得数列{ a n} 的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵ 4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥ 2），∴ 4S n+2﹣ 4S n+1+S n﹣ S n﹣1=4S n+1﹣4S n （n≥ 2），即 4a n+2+a n=4a n+1（ n≥ 2），∵，∴ 4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列 {} 是以=1 为首项，公比为的等比数列；（ 3）解：由（2）知，{} 是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴ {} 是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列 { a n} 的通项公式是．【评论】此题考察了数列递推式，考察了等比关系确实定，考察了等比数列的通项公式，重点是灵巧变形能力，是中档题．20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆 C1：x2+y2﹣ 6x+5=0 订交于不一样的两点A，B．（1）求圆 C1的圆心坐标；（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（3）能否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明原因．【剖析】（1）经过将圆 C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 l 的方程为 y=kx，经过联立直线 l 与圆 C1的方程，利用根的鉴别式大于 0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与一般方程的互相转变，计算即第 18 页（共 21 页）（3）经过联立直线 L 与圆 C1的方程，利用根的鉴别式△ =0 及轨迹 C 的端点与点（4， 0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆 C1：x2+y2﹣6x+5=0，22整理，得其标准方程为：（x﹣3） +y =4，（ 2）设当直线 l 的方程为 y=kx、A（x1，y1）、B（ x2，y2），联立方程组，消去 y 可得：（ 1+k2）x2﹣ 6x+5=0，由△ =36﹣4（1+k2）× 5＞0，可得 k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为，此中﹣＜k＜，∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为：（ x﹣）2+y2，此中＜≤ ；=x3（ 3）结论：当 k∈（﹣，）∪{ ﹣， } 时，直线 L：y=k（x﹣4）与曲线 C 只有一个交点．原因以下：联立方程组，消去 y，可得：（ 1+k2）x2﹣（ 3+8k2）x+16k2，=0令△ =（3+8k2）2﹣4（1+k2） ?16k2，解得±，=0k=又∵轨迹 C 的端点（，±）与点（ 4， 0）决定的直线斜率为±，∴当直线 L： y=k（x﹣ 4）与曲线 C 只有一个交点时，k 的取值范围为 [ ﹣，]∪{﹣， }．【评论】此题考察求轨迹方程、直线与曲线的地点关系问题，注意解题方法的累积，属于难题．21．（ 14 分）设 a 为实数，函数f（x）=（x﹣ a）2+| x﹣a| ﹣a（a﹣ 1）．（1）若 f （0）≤ 1，求 a 的取值范围；（2）议论 f（ x）的单一性；（3）当 a≥2 时，议论 f（ x） + 在区间（0，+∞）内的零点个数．【剖析】（1）利用 f（ 0）≤ 1，获得 | a|+ a﹣ 1≤ 0，对 a 分类议论求解不等式的解集即可．（2）化简函数 f （x）的分析式，经过当 x＜ a 时，当 x≥a 时，利用二次函数 f（x）的对称轴求解函数的单一区间即可．（ 3）化简 F（ x） =f（x） +，求出函数的导数，利用导函数的符号，经过 a 的议论判断函数的单一性，而后议论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若 f（ 0）≤ 1，即：a2+| a| ﹣a（ a﹣ 1）≤1．可得 | a|+ a﹣ 1≤ 0，当 a≥0 时， a，可得a∈[ 0，] ．当 a＜0 时， | a|+ a﹣1≤0，恒成立．综上 a．∴ a 的取值范围：；（ 2）函数f（ x）==，当 x＜a 时，函数 f （x）的对称轴为： x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞， a）时是减函数，当 x≥a 时，函数 f （x）的对称轴为： x==a﹣＜a，y=f（x）在（ a， +∞）时是增函数，（ 3） F（x）=f（ x） + =，当 x＜a 时，=因此，函数 F（x）在（ 0， a）上是减函数．，，当 x≥a 时，由于 a≥ 2，因此，F（′x）=═，因此，函数 F（x）在（ a， +∞）上是增函数．F（a）=a﹣ a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞ 2 时，F（a）=a﹣ a2+，F′（ a）=1﹣2a==．因此 F（ah）在（ 2，+∞）上是减函数，因此 F（a）＜，即F（a）＜0，当 x＞0 且 x→0时， F（x）→+∞；当 x→+∞时， F（ x）→+∞，因此函数 F（x）有两个零点．综上所述，当 a=2 时， F（x）有一个零点， a＞2 时 F（x）有两个零点．【评论】此题考察的知识点比许多，包含绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单一性的关系，考察分类议论思想的应用，函数与方程的思想，转变思想的应用，也考察化归思想的应用．。
2015年广东省高考数学试卷文科【精】
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2 C．2 D．36．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．18．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．99．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1．+2（1）求a4的值；（2）证明：{a n﹣a n}为等比数列；+1（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2 C．2 D．3【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．6．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选：A．【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）== ==1．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C=V P﹣ACD，﹣PDA所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且+5S n=8S n+1+S n﹣1．当n≥2时，4S n+2（1）求a4的值；﹣a n}为等比数列；（2）证明：{a n+1（3）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得+2到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n （2）证明：∵4S n+2（n≥2），即4a n+a n=4a n+1（n≥2），+2+a n=4a n+1．∵，∴4a n+2∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f （x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．。
2015广东文高考数学试题
2015普通高等学校招生全国统一考试(广东文)一、选择题1．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{1} C ．{0} D ．{－1，1} 【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2【解析】(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i ，故选D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x【解析】函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，故函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．10 【解析】作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(4，－1)，故z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因b ＜c ，故b ＝2，故选B ．6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 【解析】若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选A ．7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0．4B ．0．6C ．0．8D ．1 【解析】5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝ “恰有一件次品”，则P (A )＝0．6，故选B ．8．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9【解析】由题意得：m 2＝25－16＝9，因m ＞0，故m ＝3，故选C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．510．若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50 【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64种，当s ＝3时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27种，当s ＝2时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8种，当s ＝1时，p ，q ，r 都取0，有1种，故card(E ) ＝64＋27＋8＋1＝100，当t ＝0时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当t ＝1时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当t ＝2时，u 取3，4中的一个，有2种，当t ＝3时，u 取4，有1种，故t 、u 的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v 、w 的取值也有10种，故card(F )＝10×10＝100，故card(E )＋card(F )＝100＋100＝200，故选D ．二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)【解析】由－x 2－3x ＋4＜0得：－4＜x ＜1，故不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为(－4，1)．12．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．13．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________． 【解析】因三个正数a ，b ，c 成等比数列，故b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因b ＞0，故b ＝1．(二)选做题14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 【解析】曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：x ＝2，y ＝－4，故C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．三、解答题16．(本小题满分12分)已知tan α＝2．(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【解析】⑴．ta n(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2×1＝－3；⑵．sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1．17．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【解析】⑴．由(0．002＋0．0095＋0．011＋0．0125＋x ＋0．005＋0．0025)×20＝1得：x ＝0．0075，所以直方图中x 的值是0．0075；⑵．月平均用电量的众数是12(220＋240)＝230，因(0．002＋0．0095＋0．011)×20＝0．45＜0．5，故月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0．002＋0．0095＋0．011)×20＋0．0125×(a －220)＝0．5得：a ＝224，故月平均用电量的中位数是224；⑶．月平均用电量为[220，240)的用户有0．0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240，260)的用户有0．0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260，280)的用户有0．005×20×100＝10户，月平均用电量为[280，300]的用户有0．0025×20×100＝5户，抽取比例为11÷(25＋15＋10＋5)＝15，故月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5户．18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．【解析】⑴．因四边形ABCD 是长方形，故BC ∥AD ，因BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，故BC ∥平面PDA ；⑵．因四边形ABCD 是长方形，故BC ⊥CD ，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故BC ⊥PD ；⑶．取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因PD ＝PC ，故PE ⊥CD ，在RtΔPED 中，PE ＝7，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，由⑵知：BC ⊥平面PDC ，由⑴知：BC ∥AD ，故AD ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥PD ，设点C 到平面PDA 的距离为h ，因V C －PDA ＝V P －ACD ，故13S ΔPDA ·h ＝13S ΔACD ·PE ，即h ＝(S ΔACD ·PE )/ S ΔPDA＝327，故点C 到平面PDA 的距离是327． 19．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1．(1)求a 4的值；(2)证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 【解析】⑴．当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5(1＋32)＝8(1＋32＋54)＋1，解得：a 4＝78；⑵．因4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，故4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，故4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，故数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列；⑶．由⑵知：数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，故a n ＋1－12a n ＝(12)n －1，即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，故a n⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×(12)n ＝(2n －1)×(12)n －1，故数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)(12)n －1．20．(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；⑶．由⑵知，点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．(本小题满分14分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2－a (a －1)＋|x －a |． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．【解析】⑴．f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因f (0)≤1，故|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立；当a ＞0，则有2a ≤1，故a ≤12．故0＜a ≤12．综上所述，a 的取值范围是a ≤12．⑵．()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22，对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝a －12＜a ，开口向上，故f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝a ＋12＞a ，开口向上，故f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．⑶．由⑵得，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，故f (x )min ＝f (a )＝a －a 2．(i)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f ，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x ＞0)．因f (x )在(0，2)上单调递减，故f (x )＞f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y ＜f (2)＝－2，故y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，故x 3－2x 2－x 2＋4＝0，故(x －2)2(x ＋1)＝0，因x ≥2，故x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2．(ii)当a ＞2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a ＞4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a ．下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因a －a 2－(－4a )＝－1a (a－2)(a 2＋a ＋2)＜0，故f (a )＝a －a 2＜－4a．结合图像不难得当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点．综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．2015普通高等学校招生全国统一考试(广东理)一．选择题1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，集合N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝A ．∅B ．{－1，－4}C ．{0}D ． {1，4} 【解析】M ＝{－1，－4}，N ＝{1，4}，故M ∩N ＝∅．2．若复数z ＝i(3 – 2i) (i 是虚数单位)，则z －＝A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ． 2－3i【解析】z ＝2＋3i ，z －＝2－3i ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋1【解析】设f (x )＝x ＋e x ，其定义域为R ，f (－x )＝－x ＋e －x ，而－f (x )＝－x －e x ，故f (－x )不恒等于－f (x )，也不恒等于－f (x )，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 三个选项中的函数依次为奇函数，偶函数，偶函数．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1B ．1121C ．1021D ．521【解析】所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0【解析】设所求直线的方程为2x ＋y ＋a ＝0，依题意得，|c |5＝5，故|c |＝5，即c ＝±5．6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则z ＝3x ＋2y 的最小值为A ．531 B ．6 C ．235 D ．4【解析】可行域为一五边形及其内部(含边界)，该五边形的五个顶点分别为A (1，2)，B (3，2)，C (3，0)，D (2，0)，E (1，45)，易知当目标函数过点E (1，45)时取到最小值，此时z ＝3×1＋2×45＝235．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1【解析】∵e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5B ． 等于5C ． 至多等于4D ． 至多等于3 提示：显然当以A ，B ，C ，D 四点为顶点构成正四面体时，这四点两两的距离都相等，以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A ，B ，C ，D ，E 五个点两两距离都相等，三棱锥A －BCD 和三棱锥E －BCD 是两个全等的正四面体，从而AE ＝263AB ＞AB ，这与这五点的距离两两相等矛盾．(注：AE 的长度为三棱锥A －BCD 的高的二倍) ，故最多四个点两两距离相等．二．填空题(一)必做题(9～13题)9．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为 ．【解析】T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4x 2－12r ，令2－12r ＝1得，r ＝2，故展开式中的x 的系数为(－1)2 C 24＝6．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝ ． 【解析】a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5 a 5＝25，故a 5＝5，从而a 2＋a 8＝2 a 5＝10．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ ．【解析】因sin B ＝12，且B ∈(0，π)，故B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，故B ≠5π6，从而B ＝π6，故a ＝2b cosπ6，即3＝3b ，故b ＝1． 12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．(用数字做答)【解析】由题意，全班同学共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言． 13．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝ ． 【解析】因X ～B (n ，p )，故E (X )＝np ＝30，V (X )＝np (1－p )＝20，故1－p ＝23，故p ＝13．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ－π4)＝2，点A 的极坐标为A (22，7π4)，则点A 到直线l 的距离为 ．【解析】2ρsin(θ－π4)＝2，即2ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，即l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，22cos 7π4＝2，22sin 7π4＝－2，故点A 的直角坐标为(2，－2)，从而点A 到直线l 的距离为522．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π2)． ⑴．若m ⊥n ，求tan x 的值； ⑵．若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解析】⑴．若m ⊥n ，则m ·n ＝0．由向量数量积的坐标公式得，22sin x －22cos x ＝0，故tan x ＝1．(2)因m 与n 的夹角为π3，故m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，故sin(x －π4)＝12．又x ∈(0，π2)，故x －π4∈(－π4，π4)，故x －π4＝π6，即x ＝5π12． 17．(本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 943183627423639⑴．用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；⑵．计算⑴中样本的平均值x －和方差s 2；⑶．36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01％)？ 【解析】⑴．各分段工人的编号依次为1~4，5~8，…，33~36，依题意，第一分段里抽到的年龄为44，即抽到的是编号为2的工人，从而所得样本的编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，即样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37．⑵．x －＝19(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40＋19(4＋0－4＋3－4－3＋4＋3－3) ＝40，故s 2＝19[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝19(4×42＋4×32)＝1009．⑶．s ＝103，故x －－s ＝40－103＝3623，x －＋s ＝40＋103＝4313，易得36人中，年龄位于3623与4313之间的有23人，23/36≈0．6389%，即36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有23人，所占的百分比是63．89%．18．如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB ．(1)证明：PE ⊥FG ；(2) 求二面角P – AD – C 的正切值； (3) 求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．【解析】⑴．因PD ＝PC 且点E 为CD 的中点，故PE ⊥CD ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，故PE ⊥FG ；⑵．因ABCD 是矩形，故AD ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，故AD ⊥平面PDC ，又CD 、PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥CD ，AD ⊥PD ，故∠PDC 即为二面角P – AD – C 的平面角，在Rt ΔPDE 中，PD ＝4，DE ＝12AB ＝3，PE ＝7，故tan ∠PDC ＝PE /DE ＝73，即二面角P – AD – C 的正切值为73；⑶．如下图所示，连接AC ，因AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，即AF /FB ＝CG /GB ＝2，故AC ∥FG ，故∠P AC 为直线P A 与直线FG 所成角或其补角，在ΔP AC 中，P A ＝5，AC ＝35，PABC DEFGPABCDEFG由余弦定理可得cos ∠P AC ＝9255，故直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9255． 19．设1a >，函数2()(1)xf x x e a =+-． ⑴．求f (x )的单调区间；⑵．证明：()y f x =在(,)-∞+∞上仅有一个零点；⑶．若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：321m a e≤--． 【解】⑴．'2()(1)0xf x e x =+≥，故()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数；⑵．因1a >，故(0)10f a =-<，且22()(1)10af a a e a a a =+->+->，故f (x )在(0,)a 上有零点，又由⑴知，f (x )在(,)-∞+∞上是单调递增，故()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； ⑶．由⑴知，令'()0f x =得，1x =-，又2(1)f a e -=-，即2(1,)P a e --，故2OP k a e=-，又'2()(1)m f m e m =+，故22(1)m e m a e+=-，令()1m g m e m =--，则'()1m g m e =-，由'()0g m >得，0m >，由'()0g m <得，0m <，故函数()g m 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)0g m g ==，即()0g m ≥在R 上恒成立，故1m e m ≥+，故232(1)(1)m a e m m e-=+≥+，即321a m e -≥+，故321m a e ≤--．20．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．⑴．求圆C 1的圆心坐标；⑵．求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；⑶．是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；⑶．由⑵知由(2)知点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *．⑴．求a 3的值；⑵．求数列{a n }前n 项和T n ；⑶．令b 1＝a 1，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n＜2＋2ln n ．【解】⑴．a 1＝1，1＋2a 2＝4－2＝2，故a 2＝12，1＋1＋3a 3＝4－54，故a 3＝14；⑵．当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－(n ＋1)(12)n －2，从而na n ＝n 2n －1，故a n ＝12n －1(n ≥2)，又a 1＝1＝(12)0，故a n ＝12n －1(n ∈N *)，故数列{a n }是1为首项，12为公比的等比数列，从而T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1；⑶．b 1＝a 1，b 2＝12a 1＋(1＋12)a 2，b 3＝13(a 1＋a 2)＋(1＋12＋13)a 3，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n ，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(1＋12＋13＋…＋1n )T n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(2－12n －1)＜2(1＋12＋13＋…＋1n )，记函数f (x )＝1x －1＋ln x (x ＞1)，则f ′(x )＝x －1x 2＞0，故当x ＞1时，f (x )为增函数，从而当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝0，因当k ∈N *，且k ≥2时，k k －1＞1，故f (k k －1)＞0，即ln k k －1＞1k ，故12＜ln 2，13＜ln 32，…，1n ＜ln [n /(n －1)]，故1＋12＋13＋…＋1n ＜ln 2＋ln 32＋…＋ln[n /(n －1)]＝ln n ，故2(1＋12＋13＋…＋1n )＝2＋2 (12＋13＋…＋1n )＜2＋2ln n ，综上，S n ＜2(1＋12＋13＋…＋1n)＜2＋2ln n ． 2015普通高等学校招生全国统一考试(福建文)一、选择题1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3 D ．－1，4 【解析】由已知得，3－2i ＝a ＋b i ，故a ＝3，b ＝－2，选A ．2．若集合M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0，1，2} D ．{0，1} 3．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x【解】函数y ＝x 和y ＝e x 是非奇非偶函数；y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数，故选D ．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( ) A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【解】由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则f (1)＝9－1＝8，故选C ．5．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，于是tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 7．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．328．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16B ．14C ．38D ．12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1，0)，故C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(－2，2)，A 点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2 D ．15【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为2×12×3＝3，侧面积为则其表面积为2＋2＋4＋22＝8＋22，故该几何体的表面积为11＋22，故选B ．10．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC【解析】将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤0时，不满足题意；当m ＞0时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mB m m --．显然O (0，0)不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得m ＝1，故选C ．11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．(0，32]B ．(0，34]C ．[32，1)D ．[34，1)12．“对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k ＜2x sin2x ，令f (x )＝2x －sin2x ．故f ′(x )＝2－2cos2x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，故f (x )＞f (0)＝0．故2x ＞sin2x ，故2x sin2x ＞1，故k ≤1． 二、填空题13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【解析】由题意得抽样比例为45：900＝120，故应抽取的男生人数为500×120＝25．14．若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________．【解析】由题意得，B ＝180°－A －C ＝60°．由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，则BC ＝AC ·sin Asin B ，故BC＝2．15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．【解析】由f (1＋x )＝f (1－x )得函数f (x )关于x ＝1对称，故a ＝1，则f (x )＝2|x －1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，＋∞)递增，故m ≥1，故实数m 的最小值等于1．16．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________． 三、解答题17．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 【解】⑴．设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2．18．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组 频数 1 [4，5) 2 2 [5，6) 8 3 [6，7) 7 4 [7，8] 3(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．故所求的概率P ＝910．(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5．5×820＋6．5×720＋7．5×320＝6．05．解法二：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个．故所求的概率P ＝1－110＝910．（II ）同解法一．19．(本小题满分12分)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解析】解法一：⑴．由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2．因AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．⑵．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故k AG ＝223，k BG ＝－223，故k AG ＋k BG ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y＋22＝0，从而r ＝41734．又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，故点F 到直线GB 的距离d＝41734＝r ．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1．(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P -ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．【解析一】⑴．在ΔAOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，故AC ⊥OD ．又OP 垂直于圆O 所在的平面，故OP ⊥AC ．因DO ∩OP ＝O ，故AC ⊥平面PDO ．⑵．因为点C 在圆O 上，故当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又AB ＝2，故ΔABC 面积的最大值为12×2×1＝1．又因为三棱锥P －ABC 的高OP ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13． ⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2，故PB ＝PC ＝BC ．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕BP 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．又OP ＝OB ，C ′P ＝BC ′，故OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC ′＝OE ＋EC ′＝12(6＋2)，亦即CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．解法二：⑴．⑵．同解法一．⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2．故PB ＝PC ＝BC ，故∠CPB ＝60°．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．故在ΔOC ′P 中，由余弦定理得：OC ′2＝1＋2－2×1×2cos(45°＋60°)＝1＋2－22×22(12－32)＝2＋3．从而OC ′＝12(6＋2)．故CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0． 【解析】⑴．因f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝5＋53sin x ＋5cos x ＝5＋10sin(x ＋π6)．故函数f (x )的最小正周期T ＝2π．⑵．①．将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝5＋10sin x 的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝5－a ＋10sin x 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，故10＋5－a ＝2，解得a ＝13．故g (x )＝－8＋10sin x ．②．要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得－8＋10sin x 0＞0，即sin x 0＞45．由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45．由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45．因为y ＝sin x 的周期为2π，故当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)时，均有sin x ＞45．因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，故对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)，使得sin x k ＞45．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－12(x －1)2＋ln x ．⑴．求函数f (x )的单调递增区间； ⑵．证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 【解】⑴．f ′(x )＝－1x (x 2－x －1)，x ＞0，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜5＋12，故f (x )的单调递增区间是(0，5＋12)； ⑵．令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ＞0，则F ′(x )＝－1x (x 2－1)．当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，故F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．由⑵知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令g (x )＝f (x )－k (x －1)，x ＞0，则g ′(x )＝－1x [x 2＋(k －1)x －1]．由g ′(x )＝0得，x 2＋(k －1)x －1＝0，解得，211(1)402k k x ---+=<，221(1)412k k x -+-+=>．当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＞0，故g (x )在(1，x 2)内单调递增．从而当x∈(1，x 2)时，g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。
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图1
俯视图
正视图
2015年广东高考文科数学模拟试题
参考公式：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式1
2
1
n
i i i n
i i x x y y b a y bx x x ()()
,()==--∑=
=--∑，其
中y x ,表示样本均值.
锥体的体积公式是1
3
V Sh =
,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为
A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则 A ．U A B = B ．U =()
A C u B
C ．U A
=()B C u D ．U =()A C u ()B C u
3．直线3490x y +-=与圆()2
211x y -+=的位置关系是
A ．相离
B ．相切
C ．直线与圆相交且过圆心
D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y f x =是函数2x y
=的反函数，则()2f 的值是 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 5．已知平面向量a (
)2m =-,，
b (1=，且
()-⊥a b b ，则实数
m 的值为 A ．- B ．．．
6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．0 C
．1 D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A ．2 B. 1 C. 23 D. 1
3
8. 已知函数()2f x x sin =
，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，
只要将()y f x =的图象 A ．向右平移
4π个单位长度 B ．向左平移4
π
个单位长度
C
C ．向右平移
8π个单位长度 D ．向左平移8
π
个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使
()()
2
f x f y C C (+=
为常数)成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3y x =；
②12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函
数的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数
()()1f x x ln =
+-的定义域是
12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：
根据上表可得回归方程ˆˆ1.23y
x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．
13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f n 个部分，则()3f = ，()f n = . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点3
2,2A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B
在直线
c o s s i n 0ρθρθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的 切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，16
5
AD =
，则AB 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()sin()4
f x A x π
ω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期
为8. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ 的
值.
图3
a
0.06b
17．（本小题满分12分）
沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的
4
3
倍. （1）求a ,b 的值；
（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦
上的果树至少有一株被抽中的概率.。