非线性-第二章

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第二章非线性电路与时变参量电路的分析方法

i = f (V0 + v)
其中V 是静态工作点。其中 0是静态工作点。上述特性曲线可用幂级数表示为
i = a0+a1v+a2v2+a3v3+ … + nvn+… +a + …
式中a 为各次方项的系数，式中 0，a1，… ，an为各次方项的系数，它们由下列通式表示
1 d f (v ) 1 (n) an = = f (V0 ) n n! dv v =V n!
ω 1 + ω 2 , ω 1 − ω 2 , ω 1 + 2ω 2 , ω 1 − 2ω 2 ,2ω 1 + ω 2 ,2ω 1 − ω 2
（2）由于表示特性曲线的幂多项式最高次数等于三，所以）电流中最高谐波次数不超过三各组合频率系数之和最高也最高谐波次数不超过三，各组合频率系数之和最高也最高谐波次数不超过三不超过三。一般情况下，设幂多项式最高次数等于n，则电流不超过三中最高谐波次数不超过n；若组合频率表示为： pω 1 则有：
回路方程线性电路：线性电路：
非线性电路
回路方程
参变电路
回路方程
描述线性电路、描述线性电路、时变参量电路和非线性电路的方程式分别是常系数线性微分方程、分别是常系数线性微分方程、变系数线性微分方程和非线性微分方程。微分方程。
在无线电工程技术中，在无线电工程技术中，较多的场合并不用解非线性微分方程的方法来分析非线性电路，线性微分方程的方法来分析非线性电路，而是采用工程上适用的一些近似分析方法。程上适用的一些近似分析方法。这些方法大致分为图解法和解析法两类。所谓图解法，解法和解析法两类。所谓图解法，就是根据非线性元件的特性曲线和输入信号波形，件的特性曲线和输入信号波形，通过作图直接求出电路中的电流和电压波形。所谓解析法，路中的电流和电压波形。所谓解析法，就是借助于非线性元件特性曲线的数学表示式列出电路方程，线性元件特性曲线的数学表示式列出电路方程，从而解得电路中的电流和电压。解得电路中的电流和电压。

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

因果关系
因果关系: 任意时刻t1的光场E(t1)都会对其后时刻t的极化强度产生贡献。
dP(1) (t) 0R(1) (t, t1) E(t1)dt1
线性响应函数
时刻t介质的极化强度P(t)是所有t时刻之前介质对光场
响应的积累
t
P(1) (t)
R(1)
0
(t
,
t1
)
E(t1
)dt1
线性响应函数的特性：
t3)
E(t1)E(t2 )E(t3)dt1
极化强度与极化率张量
t
P(1) (t) 0R(1) (t t1) E(t1)dt1
P(1) (t) 0R(1) ( ) E(t )d
t t
0
P(2) (t)
R(2)
0
(t
t1,
t
t2
)
:
E(t1
)E(t2
)dt1dt2
P(n) (t) d
P(1) (t)
R(1)
0
(t
t1)
E(t1)dt1
因果关系
类似地，t1、t2时刻的电场对t时刻媒质的极化强度也有贡献，这种贡献可以写成：
dP(2) (t) 0R(2) (t t1, t t2 ) : E(t1)E(t2 )dt1dt2
P(2) (t)
dt2
R(2)
0
(t
t1
,
电极化率可以理解为耦合系数。
在非线性光学中，由于极化强度P与电场强度E之间是非线性关系，
或者说与光电场的强度有关，因此，电极化率就与光电场强度或者说与光电场的强度有关。
2
介质分为光学上各向同性介质和各向异性介质。

2.1 非线性光学-耦合波方程.

第二章耦合波方程及二次谐波的产生§2.1 引言第一章我们讨论了光波在介质中传播时的响应过程，给出了光电场在介质中产生的极化强度及介质非线性极化率张量的表达式，并详细讨论了它们的性质。

由于介质的极化强度随时间变化，它们作为场源产生辐射场，这些辐射场就是在介质中发生各种光学现象的光电场。

这一章主要内容：(1)由非线性介质中的波动方程导出稳态和瞬态耦合波方程，以及曼利——罗宾关系；(2)二次谐波（倍频）的小信号解及有泵浦损耗的条件下的解；(3)讨论满足二次谐波产生的相位匹配条件，包括角度相位匹配、温度相位匹配和准相位匹配；(4)二次谐波的有效非线性系数及高斯光束的二次谐波。

§2.2 耦合波方程2.2.1 非线性波动方程用麦克斯韦方程(Maxwell)组描述介质中的线性和非线性光学性质都是有效的。

国际单位制的麦克斯韦方程组如下：BE t∂∇⨯=-∂ (2.2.1-1) DH j t∂∇⨯=+∂ (2.2.1-2) D ρ∇⋅= (2.2.1-3)0B ∇⋅= (2.2.1-4)描写电磁场对介质作用的本构方程：0D E P ε=+ (2.2.1-5)()0B H M μ=+ (2.2.1-6) j E σ= (2.2.1-7)介质中无自由电荷和电流，则00ρ==j分别在用∇⨯运算作用于BE t∂∇⨯=-∂式左右两边得到： 00μμ⎛⎫∂∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=- ⎪∂∂∂⎝⎭D E H t t t (2.2.1-8)由()2E E E ∇⨯∇⨯=∇∇•-∇及近似认为0E ∇•=；()()()0100101εεεχεχε=+=+⋅+=+⋅+=⋅+NLNLNLD E PE E P E PE P(2.2.1-9)从而得到波动方程为：()222εμμ∂⋅∂∇=+∂∂NLE PE t t (2.2.1-10) 小结：非线性波动方程右边多了一个非线性极化项22NLPt ∂∂，此非线性项可以看作一个波源，各种非线性光学现象的产生均是由此项引起的。

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

0
0
E(r,t) 1 n E()eit
2 n
0
d 0R(2) ( , )
0
:
1 2
n n
E()ei(t )
1 2
n n
E()ei(t )d
1 2
2
0
n 1 n
n 2 n
0
d
0
R(2)
(
,
)ei1 2
d
:
E(1)E(2
)ei1 2
t
1 2
2
0
n 1＝-n
P(1) ()
0
(1)
(
;
)
E
(
)
,, , x, y, z
P(2) ()
0
(2)
(
;1,2
)E
(1)
P(1) (t) 0R(1) ( ) E(t )d
E(t) E()eitd
()
P(1) (t)
R(1)
0
(
)
[
E()eiteid]d
0[
R(1) ( )eid ] E()eitd
0 (1) () E()eitd
P(1) ()eitd
() R(1) ( )ei d
E(r ) (r1 1 2
r )
公式的简捷结果在于使用了复数形式的电磁场表示式
极化强度与极化率
光波电场强度 E(t) 和介质的极化强度 P(t) 都
是真实的物理量，应该用实数来表示。
这是否意味着这两个物理量的频域特性也必须用实数来描述？
如果采用实数：很多的数学推导和求解过程将变得十分的不方便，有时还导不出所希望获得的结果。

第2章--非线性电路分析基础PPT课件

.
10
广义地说，器件的非线性是绝对的，而其线性是相对的。线性状态只是非线性状态的一种近似或一种特例而已。
非线性器件种类很多，归纳起来，可分为非线性电阻 (NR)、非线性电容(NC)和非线性电感(NL)三类。如隧道二极管、变容二极管及铁芯线圈等。
本小节以非线性电阻为例，讨论非线性元件的特性。其特点是：工作特性的非线性、不满足叠加原理，具有频率变换能力。所得结论也适用于其他非线性元件。
系。
.
6
若满足avo1(t)= f[vi1(t)+vi2(t)]，则称为具有叠加性。若满足avo1(t)= f[avi1(t)]，avo2(t)= f[avi2(t)]，则称为
具有均匀性，这里a是常数。若同时具有叠加性和均匀性，
即a1*f[vi1(t)]+a2*f[vi2(t)]= f[a1*vi1(t)+a2*vi2(t)]，则称
线性元件的主要特点是元件参数与通过元件的电流或施于其上的电压无关。例如，通常大量应用的电阻、电容和空心电感都是线性元件。
.
3
非线性元件的参数与通过它的电流或施于其上的电压有关。例如，通过二极管的电流大小不同，二极管的内阻值便不同；晶体管的放大系数与工作点有关；带磁芯的电感线圈的电感量随通过线圈的电流而变化。
(2-1)
如果将电流i (t)用傅里叶级数展开，可以发现，它的频
O
v
O
t
(c)
O
和二极管的伏安特性曲线， (b )
即可用作图的方法求出通过
二极管的电流i(t)的波形，如图2-4所示。
图2-4 正弦电压作用于半导体二极管产生非正弦周期电流
.
15
显然，它已不是正弦波形(但它仍然是一个周期性函

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

0
(t
T
,
t1
)
E(t1
)dt1
R(1) (t, t1 T ) R(1) (t T , t1)
因果关系
t+T
t2 t1-T t1 R(1) (t, t1 T ) R(1) (t T , t1)
t 时间
响应函数和绝对时间t,t1无关，只和时间差t-t1有关
R(1) (t, t1) R(1) (t t1)
4
2.1 非线性电极化率 2.1.1 极化强度的时域表达式
☆
2.1.2极化强度的频域表达式 2.1.3 电极化率的对称性 2.1.4 简并因子 2.2 Kramers-Kronig色散关系 2.2.1 电极化率实部与虚部的关系 2.2.2 电极化率实部和虚部的物理意义 2.2.3 非线性折射率与非线性吸收系数间的关系 2.3 非线性介质的波方程 2.3.1 非线性介质的麦克斯韦方程 2.3.2 各向异性非线性介质的时域波方程 2.3.3 各向异性非线性介质的频域波方程 2.3.4 各向同性非线性介质频域波方程 2.3.5 各向同性非线性介质时域波方程
t
t2
)
:
E(t1)E(t2
)dt1
类似地，t1、t2、t3时刻的电场对t时刻媒质的极化强度也有贡献，这种贡献可以写成：
dP(3)
(t
)
R (3)
0
(t
t1,
t
t2
,
t
t3
)
E(t1)E(t2 )E(t3)dt1dt2dt3
P(3) (t)
dt3
dt2
R(3)
0
(t
t1,t t2,t
对于各向异性介质，极化强度P与电场强度E的方向不再相同，电极化率是一个张量。

第二章非线性方程求解

(k 0),则称序列{xn}是p阶收敛的. 特别是当p=1时
称线性收敛; p>1时称超线性收敛;p=2时称平方收敛. 如果由迭代函
数g(x)产生的序列{xn}是p阶收敛的, 则称g(x)是p阶迭代函数, 并称迭代法xn+1=g(xn)是p阶收敛. 定理3 对于迭代过程xn+1=g(xn), 如果迭代函数g(x)在所求根x*的邻近有连续的二阶导数,且|g’(x*)|<1, 则有
对 x [0.5,0.6]时有 |( x) | e x e0.5 0.607 1, 故当取初值x0=0.5时,
迭代过程xk1 exk (k 0,1,2,...) 必收敛. 迭代结果如下:
k xk
xk-xk-1
k xk
xk-xk-1
1 0.60653 0.10653
(1) 当 g(x*) 0时,迭代过程为线性收敛
(2) 当 g(x*) 0 , g(x*) 0 时,迭代过程为平方收敛.
定理4 设x*是方程x=g(x)的根,在x*的某一邻域g(x)的m (m>1)阶
导数连续,并且g’(x*)=…=g(m-1)(x*)=0, g(m)(x*)不等于零, 则当初始
为: [a,b]=[a0,b0] [a1,b1] [a2,b2] …… [ai-1,bi-1] [ai,bi] 其中ai或bi (i=1,2,3,……)是区间[ai-1,bi-1]的中点. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(xi)f(bi-1)=0,则x* = xi. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(xi)f(bi-1)<0,则ai= xi, bi= bi-1. 若区间[ai-1,bi-1]的中点xi满足f(ai-1)f(xi)<0,则ai= ai-1, bi= xi.

非线性光学课件第二章

c2
A A e . ik1k2 k3 z 12
慢变包络近似：
d 2 A3 dz 2
=
k3
dA3 dz
.
波方程可以进一步简化为
波矢失配
dA3 dz
= 2ideff 32
k3c2
A1A2eikz .
k k1 k2 k3
两个附加的耦合振幅方程：
dA1 dz
=
2ideff 12
k1c2
A2 A3*eikz .
慢变包络近似下， E% 0.
E% 0.
所以波动方程可以简化为：
2E%
1
2E%
1
2P% .
c2 t2 0c2 t2
或者表示为
2E% 1 2D% 0. c2 t 2
所以波动方程可以简化为：
2E%
1
2E%
1
2P% .
c2 t2 0c2 t2
或者表示为
2E% 1 2D% 0. c2 t 2
将电极化强度 P%，分成线性和非线性部分得到：
非线性光学相互作用的波方程描述
非线性光学介质波方程二次谐波产生
和频产生的耦合波方程差频产生和参量放大
相位匹配
光参量振荡器
准相位匹配 Manley-Rowe 关系和频产生
聚焦光束的非线性光学相互作用界面非线性光学
非线性光学介质波方程
和频产生
麦克斯韦方程：
D% %,
B% 0, E% B%,
一般情况下，Type I比typeII更容易实现相位匹配，对于
TypeII当 1 2 更容易实现相位匹配。
相位匹配实现的常用手段：角度调谐：
负单轴晶体情况下实现二次谐波的角度调谐配置图。

非线性光学第二章第5-6节(打印PDF版)

镜面垂直于x6myyyyxxxxyxyx每个张量元皆为零1965年butcher等人按32个点群对称特性进行计算得到此处列出13种对称类型若干对称类型晶体的il的形式各张量元以xyz表示各向同性有21个非零张量元但只有3个是独立的它们是yyzzzzyyzzxxxxzzxxyyyyxxyzyzzyzyzxzxxzxzxyxyyxyxyzzyzyyzzxxzxzzxxyyxyxxy还有xxxxyyyyzzzzxxyyxyxyxyyx立方23和晶系有21个非零张量元但只有7独立的它们是xxxxyyyyzzzz
第二章
§2.5 非线性极化率张量元的基本特性（二阶为例）
§2.6 二阶非线性极化率张量的简化形式
§2.5 非线性极化率张量元的基本特性（以二阶为例）一，研究极化率张量元基本特性的必要性
非线性极化率是一个张量。一个 n 阶非线性极化率张量具有3(n+1)。研究张量元基本特性，如
对称特性，便可以大大简化张元数目。完整地描述物质的非线性特性，必须了解不同频率的各外场通过介质所发生的相互作用对极化场
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E1
(ω2
)
---（2.5-12）
+
χ (2) 122
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E2
(ω2
)
+
χ (2) 123
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E3
(ω2
)
+
χ (2) 131

第二章非线性方程的数值解法

习题 2.51. 分别用迭代法和艾特肯加速方法求方程x e 1=x在0.5附近的的近似根和它们的迭代次数，精确到510-=ε.2. 分别用加权迭代法和艾特肯加速方法求方程013=--x x ，在给定区间]2,1[上的近似根，精确到410-=ε.3. 用艾特肯加速方法求方程02=--xx ，在给定区间]1,0[上的近似根，精确到410-=ε.4. 分别用加权迭代法和艾特肯加速方法求0104)(23=-+=x x x f 在5.10=x 附近的近似根，取x x +=410)(ϕ，精度到5110-+<-k k x x ，再用二分法求区间]2,1[内的近似根，并将三种方法的计算结果进行比较.习题 2.61. 求方程 e 2sin =x x的两个最小根，精确到6位有效数字.如何确定初始值，初始值选取对收敛速度有何影响？2. 求119的近似值，精确到610-=ε.3. 求下列方程在给定区间上的数值解，精确到710-=ε.⑴ 0cos =-x x ，]1,0[； ⑵ 2010223=++x x x ，]2,1[.4. 若*x 是0)(=x f 的单根，证明在牛顿切线法中2*1)(*lim kk k x x x x --+∞→)(2)(*'*"x f x f =. 5. 判断0*=x 是方程 e )1(212x x x +=-　的几重根？在区间]1,0[上，分别用牛顿切线法和两种求重根的修正牛顿切线公式求此根的近似值k x ，使精确到310-=ε，并且进行比较.6. 证明决定平方根Q （其中0≥Q ）的公式)321()(2111 ，，，=+=--k x Qx x k k k是牛顿切线迭代公式的一种特殊情况.7. 求3，精确到910-=ε.8. 导出找Q 的p 次根pQ （当p 时偶数时，0≥Q ）的迭代公式 )321(1111 ，，，=--=----k px Qx x x p k p k k k .9. 应用第8题的迭代公式，寻找2的一个三次根，准确到1210-.10. 用牛顿法求2sin 2x x =的两个最小实根，精确到710-，取不同的初始值计算，运行后输出根的近似值、近似值的函数值和迭代次数，分析两个根的收敛域；再用迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如x x sin 2=等），进行比较.11. 判断2*=x 是方程044)(24=+-=x x x f 的几重根？在区间]2,1[上，分别用牛顿切线法和两种求重根的修正牛顿切线公式求此根的近似值k x ，使精确到1410-=ε，并且进行比较.12. 已知重数m ，证明：重根的修正牛顿切线公式)()(1k x f x f mx x k k k '-=+ ),2,1,0( =k将产生二阶收敛（平方收敛）的迭代序列{}k x .1. 用割线法求方程x x cos 2=在开区间)2/,0(π内的实根*x 的近似值k x ，使精确到810-=ε.2. 用割线法求方程0)tan (cos )(0020=π-α-α=αtt l bp r b l Fa f 的实根α的近似值k x ，使精确到410-=ε，其中,5.0,04.0,25.0,8.00====l r b a ,000100=p 25,4.1==F t .3. 用割线法求方程x e 01=-x的实根x 的近似值k x，使精确到510-=ε. 4. 1摩尔（mol ）理想气体的压强P , 体积V , 温度T 满足关系PV =RT , 其中常数R =0.08205 (l·atm/K·mol),而对于实际气体这个关系修正为,))((RT b V V aP c =-+c b a ,,为所给气体决定的常数.现已知a =18.87, b =0.114 2, c =2, 求气体在P =2 atm,T =315 K 下的体积V ，使精确到410-=ε.习题 2.81. 用抛物线法求方程0152)(3=--=x x x f 的一个实根的近似值k x ，使精确到610-=ε.2. 用抛物线法求方程05)(3=+-=x x x f 的全部实根,精确到910-=ε.3. 求曲线2)(2+=x x f 与曲线x xx g sin 5)(-=之间的最小垂直距离处的x 值，精确到小数点后10位.习题 2.91. 考虑如何将牛顿法和拟牛顿法解非线性方程组x 2＋y 2 = 4 , x 2 －y 2 = 1, 精确到610-=ε.2. 用牛顿法解非线性方程组x 2＋4y 2 = 4 , 2x 2－4x －2y = －1 ,取初始值（x 0,y 0）=(2,0.25)，解精确到610-=ε.3. 证明方程1sin =+x x 在（0，1）内有一个实根，用二分法求误差不大于4105.0-⨯的根，需要迭代多少次？4. 用两种方法解方程 x 11-12x 8+x 5-3x 2-4=0的精确解.5. 利用作图法判断方程e x x102-=是否有正根，如果有，请确定正根所在的区间，并且用二分法、逐步搜索法和迭代法求之，精确到310-=ε.6. 用两种方法判断下列方程是否有实根，如果有，请确定其隔根区间，并且用五种方法求之，精确到410-=ε.（1）e x x-=-2；（2）3523+=x x . 7. 用割线法、牛顿切线法和抛物线法（1）求方程093)(23=+--=x x x x f 的全部实根的近似值k x ，使精确到610-=ε；（2）求方程01sin 2cos 2)(=--=x x x f 的最小正根的近似值k x ，精确到910-=ε；（3）求方程01010cos 3)(=+-=x x x f 的全部实根的近似值k x ，使精确到410-=ε.8. 用迭代公式)(1k k x g x =+计算序列{}k x ，分析其收敛性，其中 )(x g 为（任选其一）：（1） )1()(x rx x g -= ,r 分别取1.7, 2.8, 3.3, 3.5, 3.6 , 初始值100<<x ;（2） ax x g =)(e bx -,a 分别取5, 11, 15, b (0>)任意，初始值0x =1.9. 就下列函数讨论牛顿切线法的收敛性和收敛速度：（1）⎩⎨⎧<--≥=;0,,0,)(x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0,,0,)(3232x x x x x f 10. 水槽由半圆柱体水平放置而成，如图2-30.圆柱体长L ，半径r ，当给定水槽内盛水的体积V 后，要求计算从水槽边沿到水面的距离x .今已知L =25.4m, r =2 m, 求V 分别为 10，50， 100 m 3的x .11. 某地区现有人口二百万，十年前为一百万，又知平均每年净迁入人口八万，问十年来人口的平均增长率是多少. 12、炮弹发射视为斜抛运动，已知初速为200m/s ，问要击中水平距离360 m 、垂直距离160 m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大.如果只考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s ），结果又如何.13. 分别用迭代公式（2.54）和（2.57）求解下列方程组,要求精度610-=ε.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+;14,322222y x x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--.44,01422222y x x y x14. 分别用割线法、牛顿切线法、抛物线法、加权迭代法和艾特肯加速方法求下列方程的数值解，并且对各种方法比较.（1）2323-=x x 给定区间)2.1,7.0(内的数值解，精确到410-=ε；（2）e x x /1=在0.5附近的数值解，精确到510-=ε；（3）=24x e x的数值解，精确到910-=ε.15. 给定迭代公式)(1k k x x ϕ=+，其中ααϕ)1()1()1()1()(-++++--=m x m m x m x x mm ，2≥m ，并且假设0x 充分接近0=-αm x 的某个根*x ，试证{}k x 至少具有三阶收敛速度.16. 不用除法运算，如何求c /1 （其中1>c ）的值？17. 用牛顿切线法求下列各式的值，精确到1410-=ε.（1）43；（2）57；（3）2.18. 求抛物线22+=x y 与曲线x xy sin 5-=之间的最小垂直距离处的x 值，精确1010-=ε.图2-30。

第二章非线性方程的解法

14
WUHAN UNIVERSITY
电子信息学院
School of Electronic Information
2.1.1 寻找不动点
定义2.1：函数x=g(x)的不动点（fixed point）是指一个实数P，满足P=g(P)。也就是，y=x与y=g(x)的交点定义2.2：迭代pn+1=g(pn)，其中n=0,1,…,称为不动点迭代定理2.1：设g是一个连续函数，且是由不动点迭代生成的序列。如果则 p是g(x)的不动点。简单证明 _____________________________________________________________
15
WUHAN UNIVERSITY
电子信息学院
School of Electronic Information
定理2.2：设函数g∈C[a,b]。C表示g在区间为连续函数 ① 如果对于所有x ∈[a,b]，映射y=g(x)的范围满足y ∈[a,b]，则函数g在[a,b]内有一个不动点。 ② 此外，设g′(x)定义在(a,b)内，且对于所有x ∈(a,b),存在正常数K<1,使得| g′(x) |≤K<1,则函数g在[a,b]内有唯一的不动点P。证明①：g(a)=a或者g(b)=b,则定理成立，否在区间(a,b) 上存在g(a) ∈(a,b)和g(b)∈(a,b),所以 f(a)=a-g(a)<0 ; f(b)=b-g(b)>0 据中值定理，在f(a)和f(b)之间存在f(P)=0,也就是不动点 ______________________________________________TY
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第二章非线性方程(组)的近似解法2

Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
5 4 3 2
例2.5 求 f ( x) x 2x 5x 8x 7 x 3 0 的正根上界。解：f ( x) 5x4 8x3 15x2 16x 7
3 2 f ( x) 20x 24x 30x 16
f ( x) 的负根上界和下界。注：掌握正根上界的求法，正根下界、负根上界和下界
也能求得。用定理1求得的上界和下界往往太大和太小。
Computational Method 计算方法
§2.2 根的隔离
n n1 f ( x ) a x a x 定理2.2 设 0 1
an , a0 0 ，若
f ( x) ，当 x 0 时，f ( x) 1 ，当 x 时，因此方程必有根。因为
1 0 x 0, e f ( x) ln x 1 0 x 1 , e
1 在区间 0, 上函数是单调递减的，方程无根。在区间 e
Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
所以，f ( x) 的实根不能大于 1 k B / a0 。即 1 k B / a0
是 f ( x) 的正根上界。
Computational Method
计算方法
§2.2 根的隔离
解：a0 1 0, k 2, B 7，1 k B / a0 1 7 3.645 8
作图法。画出 y f ( x) 的简图，观察曲线 y f ( x) 与 x 轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。
Computational Method

第二章非线性方程(组)的迭代解法.

输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注：其中 , 为精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。可得 x* 1.36523, 共计算21次！取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解：迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!

第二章非线性规划理论及模型

由于非线性规划问题在计算上常是困难的，由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 结果形式和全面透彻的结论这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划. 则考虑用非线性规划
例5．（石油最优储存方法）有一石油运输公司，．石油最优储存方法）有一石油运输公司，为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 但要求存储的石油能满足客户的要求. 但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义假设只经营两种油，如表4所示. 如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的速度. 速度.
目标函数为 min
z ij d ij = ∑ ∑ z ij ( x i p j ) 2 + ( yi q j ) 2 , ∑∑
i =1 j =1 i =1 j = 1
m
n
m
n
约束条件为（1）每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的 n zij ≤ ai , i = 1,2,, m 存储容量。存储容量。
5.非线性规划模型 5.非线性规划模型前面介绍了线性规划问题，前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题，束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作还常常会遇到另一类更一般的规划问题，中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题. 的规划问题，即非线性规划问题.

数学建模第二章非线性规划

数学建模
线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。 3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
解设投资决策变量为
则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
数学建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为：
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
例2 求下列非线性规划
数学建模
解（i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件 function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束

非线性控制基础(第二章)

π∫
4
1
2π 0
y (t ) sin ω t d (ω t )
图饱和特性及其输入－输出波形
Ka sin ωt d (ωt ) ∫ φ π
2
1
=
=
π∫
φ1
0
KAsin 2 ωt d (ωt ) +
4
π
2 KA ⎡ a a a ⎤ 1 − ( )2 ⎥ ⎢arcsin + A A A ⎦ π ⎣
5
由式可得饱和特性的描述函数为
2 −ω2 ∠(− arctan ) 3ω
比较模和相角得
⎧K ⎪ π = 10 = 9.93 ⎨ 1 ⎪ τ = arctan = 0.322 3 ⎩
16
例3 非线性系统结构图如右图所示，
已知： π π (1) 自振时,调整 K使 G ( s ) = − − j 。
求此时的 K值和自振参数(A,ω)以及输出振幅Ac。 (2) 定性分析 K增大后自振参数(A,ω)的变化规律。
11
(2)自振分析稳定性判断方法
M1 :
假设系统原来工作在点 M 1 ,如果受到外界干扰，使非线性特性的输入振幅 A 增大，则工作点将由点M 1 移至点 B ，由于 B 点不被曲线G( jω) 包围，系统稳定，振荡衰减，振幅 A 自行减小，工作点将回到点 M 1 。反之，如果系统受到干扰使振幅减小，则工作点将由点 M 1 移至 C ， C 点被曲线 G( jω) 包围，系统不稳定，振荡加剧，振幅会增大,工作点将从点 C 回到点 M 1 。这说明点表示的周期运动受到扰动后能够维持，所以 M 1点是自振点。
⎧ M = 2, h = 1 ⎪ 8 2 ⎨ N ( A) = 8 A j − 1 − ⎪ π A2 π A2 ⎩

非线性方程的数值解法

第二章非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法；直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方程求根公式等。简单但不一定总有效。间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其结果为近似解，但误差可以控制。
L L2 | x * xk | | x k x k 1 | | x k 1 xk 2 | ...... 1 L 1 L 注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间 [a, b]上不 k L 满足| φ ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 | x1 x0 | 1 L
是
是是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设解： k ba a x b
0 1 2 3 4 5 6
23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625 0.02
L | x k x k 1 | ? ④ | x * xk | 1 L
3 简单迭代法
| x xk | L | x xk 1 | L | x * xk xk xk 1 | | xk xk |) 1 |来 L(| x * x可用 | | x x k k k 1 (1 L) | x x | L | x x | 控制收敛精度

第二章(4-2)非线性

ic = a0 + a1vi + a v + a v + ⋅⋅⋅ + a v + ⋅⋅⋅
2 2 i 3 3 i N N i
2 3 is (t ) = a1Vim cos ω i t + a 2Vim cos 2 ω i t + a3Vim cos 3 ω i t + Λ
2 a 2Vim a3 3 a2 2 3 3 = + ( a1Vim + a3Vim ) cos ω i t + Vim cos 2ω i t + Vim cos 3ω i t + Λ 2 4 2 4
在基频附近远离基频，可滤除
3a3V12 V22m 3a3V12 V22m m m cos(2ω2 + ω1 )t cos(2ω2 − ω1 )t + 4 4
输入
ω1 ω2
输出
2ω1 − ω2
ω1
ω2
2ω2 − ω1
1. 堵塞（Blocking）输入信号：有用信号
干扰信号
ω 2 是强信号。
3 3 3 + a 3V1m + a 3V1mV 22m ) cos ω 1t 4 2
{ ( p + q = N)
问题：组合频率对输出基频信号有什么影响？
组合频率分析（仅考虑到三次项）
基波分量
i = (a1V1m +
3 3 a 3V13 + a 3V1mV 22m ) cos ω 1t + m 4 2
(a1V2 m
二次项产生的组合频率
3 3 3 + a 3V2 m + a 3V2 mV12 ) cos ω 2 t m 4 2

计算方法第2章非线性方程数值解法

第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。

2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。

用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。

定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。

定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。

寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。

例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。

解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。

例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。

解：计算出)(x f 在一些点的值。

从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。

如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。

从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。

非线性-第二章

第二章 非线性电路与时变参量电路的分析方法

(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典

2.1 非线性光学-耦合波方程.

(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典

第2章--非线性电路分析基础PPT课件

(非线性光学课件)第二章 非线性光学极化强度和极化率的经典

第二章 非线性方程求解

非线性光学课件第二章

非线性光学第二章第5-6节(打印PDF版)

第二章 非线性方程的数值解法

第二章 非线性方程的解法

第二章 非线性方程(组)的近似解法2

第二章 非线性方程(组)的迭代解法.

第二章 非线性规划理论及模型

数学建模第二章 非线性规划

非线性控制基础(第二章)

非线性方程的数值解法

第二章(4-2)非线性

计算方法 第2章 非线性方程数值解法

第二章非线性电路与时变参量电路的分析方法

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

(非线性光学课件)第二章非线性光学极化强度和极化率的经典

第二章非线性方程求解

第二章非线性方程的数值解法

第二章非线性方程的解法

第二章非线性方程(组)的近似解法2

第二章非线性方程(组)的迭代解法.

第二章非线性规划理论及模型

数学建模第二章非线性规划

计算方法第2章非线性方程数值解法