精选-中考数学真题分类汇编第二期专题7分式与分式方程试题含解析
2022年浙江各地数学中考真题(杭州温州金华嘉兴等)按知识点汇编专题07 分式与分式方程(解析版)
专题07 分式与分式方程一、单选题1．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量 【答案】D【解析】 解：由50004000302x x =-可得： 由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价， x 表示的是购买篮球的数量，故选D2．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ）A ．fv f v -B ．f v fv -C ．fv v f -D ．v f fv- 【答案】C【解析】 解：∵()111v f f u v =+≠， ∴111f u ν=+，即111u f ν=-， ∴1f u f νν-=， ∴f u f νν=-， 故选：C ．二、填空题3．（2022·湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 【答案】2【解析】解：当a =1时，11121a a ++==． 故答案为：2．4．（2022·温州）计算：22x xy xy x xy xy +-+=___________． 【答案】2【解析】 解：2222x xy xy x xy xy xy xy+-+==， 故答案为：2．5．（2022·金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______． 【答案】4【解析】 解：由题意得：223x =- 去分母：()223x =-去括号：226x =-移项，合并同类项：28x =系数化为1：4x =经检验，x =4是原方程的解，故答案为：4；6．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12- 【解析】 解：∵11ba b a ⊗=+， ∴()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++， 又∵21(1)++⊗=x x x x ， ∴22121x x x x x++=+， ∴()()()221210x x x x x ++-+=，∴()()2210x x x x +-+=，∴()2210x x +=， ∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠， ∴210x +=，解得12x =-， 经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-． 7．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314x x -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4x x x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-【答案】5【解析】解：依题意得：3114x x -+=--，即3204x x -+=-， 去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是方程的解，故答案为：5．8．（2022·丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________． 【答案】 -a b 3+ 【解析】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==，PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=--=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b∴==， ()()()()()()()()22555555ABCDPQMN a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅ ⎪⎝⎭四边形矩形， 2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，22()3b b ==+ 三、解答题9．（2022·嘉兴）解方程：3121x x -=-． 【答案】2x =-【解析】 3121x x -=-， 去分母：321,x x 整理得：2,x =-经检验：2x =-是原方程的根， 所以原方程的根为： 2.x =-。
专题7一元二次方程及应用-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题7一元二次方程及应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·海南中考真题）用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（ ）A ．2(3)4x +=-B ．2(3)4x -=-C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=【答案】D【分析】直接利用配方法进行配方即可．【详解】解：2650x x -+= 22223353x x -⨯+=-+()234x -=故选：D ．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．2．（2021·河南中考真题）若方程2x 2x m 0-+=没有实数根，则m 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1 D【答案】D【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m 的取值范围即可．【详解】解：由题可知：“△＜0”，∴()2240m --<,∴1m >,故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．3．（2021·广西玉林市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，则（ ）A ．120x x +<B ．120x x <C ．121x x >-D ．121x x < 【答案】D【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得440m ->，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程：2x 2x m 0-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴440m ->，解得：1m <， ∴由韦达定理可得：121220,1b c x x x x m a a+=-=>==<， ∴只有D 选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．4．（2021·山东聊城市·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ） A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2 【答案】B【分析】把x =-2代入方程即可求得k 的值；【详解】解：将x =-2代入原方程得到：22-8+4=4k k ，解关于k 的一元二次方程得：k =0或4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠D ．54k ≥ 【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴()()21520k x k x ++-=． 整理得，()2520kx k x k +-+=． ∵方程有两个实数根，∴判别式0≥且0k ≠．由0≥得，()225240k k --≥， 解得，54k ≤． ∴k 的取值范围是54k ≤且0k ≠． 故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．7．（2021·山东济宁市·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=，则22=2021+m m n m n +++，再利用根与系数的关系得到1m n +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根，∴220210m m +-=，∴22021m m +=，∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++，∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，∴22202112020m m n ++=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 8．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A ．14B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得()11144x x x +++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得： ()11144x x x +++=，解得：1211,13x x ==-（舍去），故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．9．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()50712833.6x +=B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x +=D ．()()250750715071833.6x x ++++=【答案】C【分析】根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．【详解】设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，2018年我国快递业务量为：507亿件，2019年我国快递业务量为：507507x +=507(1)x +亿件，2020年我国快递业务量为：507(1)x ++2507(1)=507(1)x x x ++，根据题意，得：()25071833.6x +=故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）关于x 的一元二次方程()2310x k x k ---+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．【详解】△=[-（k -3）]2-4（-k +1）=k 2-6k +9+4k -4=（k -1）2+4，∵（k -1）2≥0，∴（k -1）2+4≥4，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题根据题目所给新定义将方程12x =☆变形为一元二次方程的一般形式，即20ax bx c ++=的形式，再根据根的判别式24b ac ∆=-的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x =☆得： 22x x -=整理得：220x x --=根据根的判别式2141(2)90∆=-⨯⨯-=>可知该方程有两个不相等实数根．故选D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据∆的值来判断根的情况，注意0∆>时有两个不相等的实数根；0∆=时有一个实数根或两个相等的实数根；∆<0时没有实数根． 12．（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x += C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x += 【答案】B【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘()21x +，据此即可列方程求解．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得：()20.6310.68x +=，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可． 13．（2021·吉林长春市·中考真题）关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】A【分析】先根据判别式＞0，求出m 的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，∴()26410m ∆=--⨯⨯>，解得：m ＜9，m 的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则240b ac ∆=->，是解题的关键．14．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 15．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500014050x +=B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -=D ．()2405015000x -= 【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得： ()25000-x =40501故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.16．（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∴()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．二、填空题17．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】 解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为ca．18．（2021·湖北十堰市·中考真题）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．【答案】1-或2 【分析】根据新定义的运算得到()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=， 整理可得220x x --=， 解得11x =-，22x =，故答案为：1-或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．19．（2021·青海中考真题）已知m 是一元二次方程260x x +-=的一个根，则代数式2m m +的值等于______． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2+m =6即可． 【详解】解：∵m 为一元二次方程260x x +-=的一个根． ∴m 2+m -6=0， ∴m 2+m =6， 故答案为6．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 20．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知实数a 、b30b +=，若关于x 的一元二次方程20x ax b -+=的两个实数根分别为1x 、2x ，则1211x x +=_____________． 【答案】23- 【分析】根据非负性求得a 、b 的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得1x +2x 、1x 2x ，代入12121211=x x x x x x ++求解即可． 【详解】解：∵实数a 、b30b +=， ∴a ﹣2=0，b +3=0， 解得：a =2，b =﹣3， ∴2230x x --=，∵一元二次方程2230x x --=的两个实数根分别为1x 、2x ， ∴1x +2x =2，1x 2x =﹣3，∴12121211=x x x x x x ++=23-，故答案为：23-． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．21．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）已知,m n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则11m n+=__________． 【答案】32-运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解： ∵,m n 是一元二次方程2320x x --=的两个根， 根据根与系数的关系得：3b m n a +=-=，2cmn a==-， ∴211=3m n m n mn +-+=， 故答案为：32-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知1212a x cx a x x b +=-=，是解题关键．22．（2021·湖南娄底市·中考真题）已知2310t t -+=，则1t t+=________．【答案】3． 【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可． 【详解】解：22111t t t t t t t++=+=，又∵2310t t -+=， ∴213t t +=，则2113=3t tt t t t++==，故答案为：3． 【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 23．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______． 【答案】3先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．24．（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x ，则可列方程为________．【答案】2300(1)363x += 【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x ； 第一年粮食的产量为：300（1+x ）；第二年粮食的产量为：300（1+x ）（1+x ）＝300（1+x ）2； 依题意，可列方程：300（1+x ）2＝363；故答案为：300（1+x ）2＝363． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．25．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x ，则可列方程__________．【答案】()26521960x += 【分析】根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解． 【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值列方程得：()26521960x +=， 故答案为：()26521960x +=． 【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．26．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______． 【答案】8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ，解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根， 因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．27．（2021·辽宁本溪市·中考真题）若关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值为________． 【答案】13-． 【分析】根据关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根，得出关于k 的方程，求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2320x x k --=有两个相等的实数根， ∴△=()()2243k --⨯⨯-=4+12k =0， 解得k =13-． 故答案为：13-． 【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△< 0时，一元二次方程没有实数根．28．（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】2m ≤ 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根， ∴()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤， 故答案为：2m ≤． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．29．（2021·江苏宿迁市·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2 +ax -6=0的一个根是3，则a = 【答案】-1 【分析】把x =3代入一元二次方程即可求出a ． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2 +ax -6=0的一个根是3， ∴9+3a -6=0， 解得a =-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键．三、解答题30．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程2210x ax a +++=．【答案】1x =2x =【分析】先解不等式，结合已知得出a 的值，然后利用配方法解方程即可 【详解】解：∵()()528617a a -+<-+； ∴5108667a a -+<-+； ∴3a -<； ∴-3a ＞；∵a 是不等式()()528617a a -+<-+的最小整数解， ∴=-2a ；∴关于x 的方程2-4-10x x =； ∴2-4+45x x =； ∴()2-25x =；∴-2=x∴1x =2x = 【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．31．（2021·湖南永州市·中考真题）若12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则1212,b cx x x x a a+=-⋅=．现已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ．（1）若2,4m n ==-，求,p q 的值；（2）若3,1p q ==-，求m mn n ++的值． 【答案】（1）1,8p q ==-；（2）-1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到2,qmn p m n p+=-=． （1）把2,4m n ==-，代入2,qmn p m n p+=-=，即可求出,p q 的值；（2）把3,1p q ==-，代入2,q mn p m n p +=-=，得到,2133m n mn +=-=-．利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ， ∴2,qmn p m n p+=-=． （1）当2,4m n ==-时，2,28qp p-=-=-， 解得1,8p q ==-，经检验，1,8p q ==-是方程的根， ∴1,8p q ==-； （2）当3,1p q ==-时，,2133m n mn +=-=-．∴21133m mn n m n mn ++=++=--=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到2,qmn p m n p+=-=是解题关键． 32．（2021·北京）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值． 【答案】（1）见详解；（2）1m = 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x -=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==-=，∴22224164134b ac m m m ∆=-=-⨯⨯=， ∵20m ≥， ∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=， ∵122x x -=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m -=+-=-=， 解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．33．（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ， 由题意得：210(1)12.1x +=， 解得：110%x =，22110x =-（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．34．（2021·山东东营市·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x ，依题意列出关于x 的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x ，根据题意得：()270011008x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为()1008120%1209.6⨯+=（公斤），∵1209.61200>，∴他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．35．（2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【详解】解：设这个最小数为x ．根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点睛】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．36．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：(7)8(7)x x x -=-．【答案】17x =，28x =-【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵(7)8(7)x x x -=-，∴(7)8(7)0x x x -+-=，∴(7)(8)0x x -+=，∴17x =，28x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．37．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且221212x x +=，求m 的值．【答案】（1）0m ≤；（2）2m =-【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即0∆≥求解即可；（2）由韦达定理把12x x +和12x x 分别用含m 的式子表示出来，然后根据完全平方公式将221212x x +=变形为()21212212x x x x +-=，再代入计算即可解出答案．【详解】（1）由题意可得：()()22240m m m ∆=-+≥ 解得：0m ≤即实数m 的取值范围是0m ≤．（2）由221212x x +=可得：()21212212x x x x +-=∵122x x m +=-；212x x m m =+ ∴()()222212m m m --+= 解得：3m =或2m =-∵0m ≤∴2m =-即m 的值为-2．【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当0∆≥时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【分析】（1）根据题意中销售量y （个）与售价x （元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x +220）（x -40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w 元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800-+-x x ， 当752b x a=-=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．。
中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程
中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程一．选择题1．（2022·天津）计算1122a a a ++++的结果是（ ） A ．1 B ．22a + C ．2a + D ．2a a + 【答案】A【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可． 【详解】解：1121222a a a a a +++==+++．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 2．（2022·浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fvf v -B ．f vfv-C ．fvv f- D ．v ffv-【答案】C【分析】利用分式的基本性质，把等式()111v f f u v =+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【详解】解：∵()111v f f u v =+≠，∵111f u ν=+，即111u f ν=-，∵1f uf νν-=，∵f u fνν=-，故选：C ． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 3．（2022·四川眉山）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2a a + 【答案】B【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：422a a +-+244=22-+++a a a 2=2+a a ．故选：B【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 4．（2022·湖南怀化）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是224x +，1x ，12x x ++，∵分式有3个，故选：B ． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 5．（2022·四川凉山）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3 B ．x ≠－3 C ．x ≠3 D ．x ≠0【答案】B【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由分式的分母不能为0得：30x +≠，解得3x ≠-， 即分式13x+有意义的条件是3x ≠-，故选：B ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．6．（2022·四川南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】先将分式进件化简为a bb a+-，然后利用完全平方公式得出a b -=a b +，代入计算即可得出结果．【详解】解：2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222a b b a ab a b +-⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭()()()22222a b a b a b b a b a +=⨯+-a b b a +=-，∵223a b ab +=，∵222a ab b ab -+=，∵()2a b ab -=， ∵a>b>0，∵a b -=∵223a b ab +=，∵2225a ab b ab ++=，∵()25a b ab +=，∵a>b>0，∵a b +=，∵原式=，故选：B ． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 7．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ） A ．40030050x x=- B ．30040050x x=- C ．40030050x x=+ D ．30040050x x=+ 【答案】B【分析】设实际平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵， 根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B ． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．8．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x 天，下面所列方程中错误的是（ ） A ．2x1xx 3+=+ B ．23x x 3=+ C ．11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭ D ．1x1x x 3+=+ 【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x 3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x 天，由题意可得，11x 221xx 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭， 整理得2x 1x x 3+=+，或2x 1x x 3=-+或23x x 3=+． 则ABC 选项均正确，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 9．（2022·四川德阳）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案. 【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x+a=x -1.解得：x=-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.） 【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息． 10．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221mxx =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．6 D ．0或4【答案】D【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=， 原方程无解，∴当40m -=时，4m =； 当40m -≠时，0x =或210x +=，此时，24x m =-，解得0x =或12x =-，当0x =时，204x m ==-无解； 当12x =-时，2142x m ==--，解得0m =； 综上，m 的值为0或4；故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义． 【详解】解：由50004000302x x=-可得： 由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价， x 表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 二．填空题12．（2022·湖北黄冈）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是________． 【答案】1x ≠【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式21x -有意义，∵10x -≠， 解得1x ≠．故答案为：1x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．13．（2022·浙江湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可． 【详解】解：当a =1时，11121a a ++==．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可． 14．（2022·湖南怀化）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．15．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 【答案】2a a + 【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++=2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++ 22222a a a a a -=+=+++故答案为2a a + 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键． 16．（2022·四川泸州）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可． 【详解】33122x x x-+=--去分母得：323x x -+-=-解得：1x = 经检验，1x =是分式方程的解 把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．17．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12-【分析】根据新定义可得221(1)x x x x x ++⊗=+，由此建立方程22121x x x x x++=+解方程即可． 【详解】解：∵11ba b a ⊗=+，∵()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++， 又∵21(1)++⊗=x x x x ，∵22121x x x x x++=+，∵()()()221210x x x x x ++-+=，∵()()2210x x x x +-+=，∵()2210x x +=，∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠，∵210x +=，解得12x =-， 经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x 的方程是解题的关键．18．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________． 【答案】16014010xx =- 【分析】先表示乙每小时采样（x -10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x -10）人，根据题意，得16014010xx =-． 故答案为：16014010xx =-． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键． 19．（2022·浙江金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______． 【答案】4【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可； 【详解】解：由题意得：223x =- 去分母：()223x =- 去括号：226x =- 移项，合并同类项：28x = 系数化为1：4x =经检验，x =4是原方程的解， 故答案为：4；【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键． 20．（2022·四川成都）分式方程31144x x x-+=--的解是_________． 【答案】3x =【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x 的系数化为1，求出x 的值，将求出的x 的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：31144x x x-+=-- 解：化为整式方程为：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解， 故答案为：3x =．【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．21．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】35【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ． ∵425336x a x a +=+，∵3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=，设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∵()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+，∵:5:4m n =，∵实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n ⋅-⋅-=++⋅+，故答案为：35．【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．22．（2022·湖南衡阳）计算：2422a a a +=++_________． 【答案】2【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分． 【详解】解：2422a a a +++242a a +=+()222a a +=+2= 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键． 23.（2022·浙江台州）如图的解题过程中，第∵步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-【答案】5【分析】根据题意得到方程3114xx -+=--，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得：3114x x -+=--，即3204xx -+=-， 去分母得：3-x +2(x -4)=0， 去括号得：3-x +2x -8=0， 解得：x =5，经检验，x =5是方程的解， 故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 24．（2022·四川成都）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：2211a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a -+-÷ ＝22(1)1a a a a -⨯-＝(1)a a -＝2-a a ． 2272a a -=，移项得2227a a -=，左边提取公因式得22()7a a -=， 两边同除以2得272a a -=， ∵原式＝72．故答案为：72．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（2022·湖南常德）方程()21522x x x x +=-的解为________． 【答案】4x =【分析】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解 故答案为：4x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验． 三．解答题26．（2022·江苏宿迁）解方程：21122x x x =+--． 【答案】x ＝﹣1【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：21122x x x =+--， 2x ＝x ﹣2+1， x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x ＝﹣1．【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．27．（2022·四川泸州）化简：22311(1).m m m m m-+-+÷ 【答案】11m m -+ 【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】解：22311(1)m m m m m-+-+÷ ()()231`11m m m m m m m÷++=--+()()2211`1m m m mm m -+=⋅+-()()()21`11mm mm m +⋅--=11m m -=+． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．28．（2022·新疆）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =． 【答案】1【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a 值代入求解即可．【详解】解：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭()()()2331113121a a a a a a a ⎡⎤+--=⋅-⋅⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦311112a a a a +⎛⎫=-⋅⎪--+⎝⎭ 2112a a a +=⋅-+ 11a =-， ∵2a =， ∵原式111121a ===--． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．29．（2022·四川乐山）先化简，再求值：211121xx x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x = 【答案】1x +1【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解． 【详解】21(1-)121xx x x ÷+++ 21121(-)11x x x x x x+++=⨯++ 211(1)1x x x x+-+=⨯+ 1x =+，∵x∵原式=11x +=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 30．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1x 值代入求值．211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．【答案】11x + 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：211111x x x x ⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭11(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥+-+--⎣⎦1(1)(1)x x x x x-=⋅+-=11x +， ∵x +1≠0，x -1≠0，x ≠0，∵x ≠±1，x ≠0当x=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．31．（2022·陕西）化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭． 【答案】1a +【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．【详解】解：原式211112a a a a a++--=⋅-2(1)(1)12a a a a a +-=⋅-1a =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 32．（2022·湖南株洲）先化简，再求值：2111144x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+++⎝⎭，其中4x =． 【答案】12x +，16 【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将4x =代入求值即可． 【详解】解：2221111111441114241(2)2x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫+⋅=⋅=⋅= ⎪+++++++++⎝⎭+++， 将4x =代入得，原式1112426x ===++． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键．33．（2022·江苏扬州）计算：(1)(02cos 45π︒+ (2)22221121m m m m +⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭【答案】(1)1 (2)12m - 【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可； （2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简； (1)解：原式=21-1 (2)解：原式=()()21211121m m m m m --⎛⎫+⋅ ⎪--+⎝⎭=()()211121m m m m -+⋅-+=12m -． 【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．34．（2022·江西）以下是某同学化筒分式2113422x x x x +⎛⎫-÷⎪-+-⎭的部分运算过程： (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)∵(2)见解析【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可． (1)第∵步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：∵； (2)解：原式＝112(2)(2)23x x x x x ⎡⎤+--⨯⎢⎥+-+⎣⎦122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥+-+-⎣⎦122(2)(2)3x x x x x +-+-=⨯+-32(2)(2)3x x x -=⨯+-12x =+ 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 35．（2022·重庆）计算：(1)()()(2)x y x y y y +-+-；(2)2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+． 【答案】(1)22x y -(2)22m - 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可． (1)解：()()(2)x y x y y y +-+-=2222x y y y -+-=22x y -(2)解： 2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+ =()()()222222m m m m m m -+-÷++- =()()()222222m m m m +-⨯+- =22m - 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022·江苏连云港）化简：221311x x x x -+--． 【答案】11x x -+ 【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．【详解】解：原式2221311x x xx x +-=+-- 22131x x x x ++-=-22211x x x -+=-22(1)1x x -=- 2(1)=(1)(1)x x x -+- 11x x -=+． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．37．（2022·四川达州）化简求值：222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪-+--⎝⎭，其中31a．【答案】11a +【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a 的值代入计算即可求值．【详解】解：原式＝()()()2211111a a a a a a a -+++÷+-- ()()()()2211111a a a a a +--=⋅-+1=1a +；当31a=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．38．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明． (1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++， 第三个式子()11111452041441=+=+++，……∵第（n +1）个式子1111(1)n n n n =+++； (2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n++=+==+++++=左边， ∵1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．39．（2022·四川凉山）先化简，再求值：524(2)23m m m m-++⋅--，其中m 为满足－1＜m ＜4的整数．【答案】26--m ，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定m 的值，代入计算即可得．【详解】解：原式(2)(2)52(2)223m m m m m m+--⎡⎤=+⋅⎢⎥---⎣⎦ 2452(2)()223m m m m m --=+⋅---292(2)23m m m m--=⋅--(3)(3)2(2)23m m m m m +--=⋅--2(3)m =-+26m =--， 20,30m m -≠-≠，2,3m m ∴≠≠，又m 为满足14-<<m 的整数，0m ∴=或1m =，当0m =时，原式262066m =--=-⨯-=-， 当1m =时，原式262168m =--=-⨯-=-，综上，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．40．（2022·山东滨州）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-【答案】22a a -+，0 【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a ，最后代入计算．【详解】解：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭()22213111a a a a a +⎛⎫-=-÷ ⎪---⎝⎭()222411a a a a +-=÷--()()()222112a a a a a +--=⋅-+22a a -=+； ∵101tan 45π122)2(1a -=︒+-=+-=，∵原式2220222a a --===++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．41．（2022·重庆）计算：(1)()()224x x x ++-；(2)2212a a bb b -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．【答案】(1)224x +(2)2a b+ 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． (1)解：原式22444x x x x =+++-224x =+ (2)解：原式2()()a b b b a b a b -=⨯+-2a b=+ 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·山东泰安）（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m n x y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111xx x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =． 【答案】（1）m =2，n =-1；（2）21x +，4-【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m 和n 的值； （2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解：（1）由题意可得33814m n m n -=⎧⎨-=⎩①②，∵-∵3⨯，可得：55n -=，解得：1n =-， 把1n =-代入∵，可得：(1)3m --=，解得：2m =，m ∴的值为2，n 的值为1-；（2）原式(1)(1)[](1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21x =+，当1x 时，原式21)12114=+=-+=-【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式222()2a b a ab b +=++的结构是解题关键．43．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时， 依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40， 经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意， 答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 44．（2022·湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套 【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可； （2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论； （3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．(1)解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =， 经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；(2)解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩； (3)解：320270>，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．45．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x⨯=+，解得：20x，则1.224x=（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x=，经检验15x=是分式方程的解，则1.218x=（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．46．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y 的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，则有()5202600x x -+=解得100x =∵甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同∵两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，即1.2y 米 则有5403609001.2100y y +=解得90y =经检验，90y=是原方程的解，符合题意∵乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．47．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x=，经检验15x=是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．48．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，。
中考数学真题分类汇编第二期专题7分式与分式方程试题含解析
分式与分式方程一.选择题1.（ 2018·湖南怀化· 4 分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h 、它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间、与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等、设江水的流速为v km/h 、则可列方程为（）A．=B．=C．=D．=【分析】依照“以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间、与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等、”建立方程即可得出结论．【解答】解：江水的流速为v km/h 、则以最大航速沿江顺流航行的速度为（30+v） km/h、以最大航速逆流航行的速度为（30﹣ v）km/h、依照题意得、、应选： C．【谈论】此题是由实责问题抽象出分式方程、主要观察了水流问题、找到相等关系是解此题的要点．2．（ 2018?临安?3 分）以下各式计算正确的选项是（）A．a12÷a6=a2 B ．（x+y）2=x2+y2C．D．【分析】此类题目难度不大、可用验算法解答．【解答】解： A.a 12÷ a6是同底数幂的除法、指数相减而不是相除、所以a12÷ a6=a6、错误；B.（ x+y）2为完好平方公式、应该等于x2+y2+2xy、错误；C.===﹣、错误；D.正确．应选： D．【谈论】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等看法是解答问题的要点．运算法规：① a m÷ a n=a m﹣n、②÷=（a≥0、b＞0）．3. （ 2018?金华、丽水? 3 分）若分式的值为0、则x的值是（）A. 3B.C.3或D.0【分析】【解答】解：若分式的值为 0、则、解得．故答案为：A．【分析】分式指的是分母是含字母的整式且分母的值不为0 的代数式；当分式为0 时、则分子为零、分母不能为 0．5. （ 2018 ·黑龙江哈尔滨· 3 分）方程=的解为（）A． x=﹣ 1B． x=0 C． x= D ． x=1【分析】分式方程去分母转变成整式方程、求出整式方程的解获取x 的值、经检验即可获取分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+3=4x、解得： x=1、经检验 x=1 是分式方程的解、应选： D．【谈论】此题观察认识分式方程、利用了转变的思想、解分式方程注意要检验．6. （ 2018 ·黑龙江龙东地区· 3 分）已知关于x 的分式方程=1 的解是负数、则m的取值范围是（）A．m≤3 B ．m≤3且 m≠2C．m＜ 3 D ．m＜ 3 且 m≠2【分析】直接解方程得出分式的分母为零、再利用x≠﹣ 1 求出答案．【解答】解：=1解得： x=m﹣3、∵关于 x 的分式方程=1 的解是负数、∴m﹣ 3＜ 0、解得： m＜ 3、当x=m﹣3=﹣1 时、方程无解、则 m≠2、故 m的取值范围是： m＜ 3 且 m≠2．应选： D．【谈论】此题主要观察了分式方程的解、正确得出分母不为零是解题要点．7. （2018?贵州黔西南州 ?4分）施工队要铺设1000 米的管道、因在中考期间需停工 2 天、每天要比原计划多施工 30 米才能准时完成任务．设原计划每天施工x 米、所列方程正确的选项是（）A．=2B．=2C．=2D．=2【分析】设原计划每天施工x 米、则本质每天施工（x+30）米、依照：原计划所用时间﹣本质所用时间=2、列出方程即可．【解答】解：设原计划每天施工x 米、则本质每天施工（x+30）米、应选： A．【谈论】此题观察了由实责问题抽象出分式方程、要点是读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程．8. （2018?海南 ?3 分）分式方程=0 的解是（）A．﹣ 1 B．1C．±1D．无解【分析】依照解分式方程的步骤计算可得．【解答】解：两边都乘以x+1、得： x2﹣1=0、解得： x=1 或 x=﹣ 1、当 x=1 时、 x+1≠0、是方程的解；当x= ﹣1 时、x+1=0、是方程的增根、舍去；所以原分式方程的解为 x=1、应选： B．【谈论】此题主要观察分式方程的解、解题的要点是熟练掌握解分式方程的步骤．9. （ 2018 湖南张家界 3.00 分）若关于x 的分式方程=1 的解为 x=2、则 m的值为（）A． 5B．4C．3D．2【分析】直接解分式方程进而得出答案．【解答】解：∵关于x 的分式方程=1 的解为 x=2、∴x=m﹣ 2=2、解得： m=4．应选： B．【谈论】此题主要观察了分式方程的解、正确解方程是解题要点．二. 填空题1.（2018·湖北襄阳· 3分）计算﹣的结果是．【分析】依照同分母分式加减运算法规计算即可、最后要注意将结果化为最简分式．【解答】解：原式===、故答案为：．子直接相加减即可；若是是异分母分式、则必定先通分、把异分母分式化为同分母分式、尔后再相加减．2.（2018?达州?3分）若关于x的分式方程=2a 无解、则 a 的值为．【分析】直接解分式方程、再利用当1﹣2a=0 时、当 1﹣2a≠0时、分别得出答案．【解答】解：去分母得：x﹣ 3a=2a（x﹣ 3）、整理得：（ 1﹣ 2a） x=﹣ 3a、当 1﹣ 2a=0 时、方程无解、故a=；当 1﹣2a≠0时、 x==3 时、分式方程无解、则 a=1、故关于 x 的分式方程=2a 无解、则 a 的值为： 1 或．故答案为： 1 或．【谈论】此题主要观察了分式方程的解、正确分类谈论是解题要点．3.（2018?遂宁 ?4 分） A、B 两市相距 200 千米、甲车从 A 市到 B 市、乙车从 B 市到 A 市、两车同时出发、已知甲车速度比乙车速度快15 千米 / 小时、且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米 / 小时、则依照题意、可列方程．【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．【解答】解：设乙车的速度是x 千米 / 小时、则依照题意、可列方程：﹣= ．故答案为：﹣=．【谈论】此题主要观察了由实责问题抽象出分式方程、正确表示出两车所用时间是解题要点．4.（2018?湖州?4分）当x=1时、分式的值是．【分析】将 x=1 代入分式、依照分式要求的运算序次计算可得．【解答】解：当 x=1 时、原式 ==、故答案为：．【谈论】此题主要观察分式的值、在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发、经过合适的变形、转变、才能发现解题的捷径．5.（2018?嘉兴?4分.）甲、乙两个机器人检测零件, 甲比乙每小时多检测20 个 , 甲检测 300 个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测个.则依照题意,可列出方程:________.【答案】【分析】【分析】若设甲每小时检测个、检测时间为、乙每小时检测个、检测时间为、依照甲检测 300 个比乙检测200 个所用的时间少、列出方程即可.【解答】若设甲每小时检测个、检测时间为、乙每小时检测个、检测时间为、依照题意有：.故答案为：【谈论】观察分式方程的应用、解题的要点是找出题目中的等量关系.7. （ 2018 ·黑龙江哈尔滨· 3 分）函数 y=中、自变量x 的取值范围是x≠4．【分析】依照分式分母不为0 列出不等式、解不等式即可．【解答】解：由题意得、x﹣4≠0、解得、 x≠4、故答案为： x≠4．【谈论】此题观察的是函数自变量的取值范围、掌握分式分母不为0 是解题的要点．8.（ 2018·黑龙江齐齐哈尔· 3 分）若关于 x 的方程+=无解、则m的值为﹣1或5或﹣．【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．【解答】解：去分母得：x+4+m（ x﹣ 4）=m+3、可得：（ m+1） x=5m﹣1、当m+1=0时、一元一次方程无解、此时 m=﹣ 1、当 m+1≠0时、则 x==±4、解得： m=5或﹣、综上所述： m=﹣ 1 或 5 或﹣、故答案为：﹣ 1 或 5 或﹣．【谈论】此题主要观察了分式方程的解、正确分类谈论是解题要点．9. （2018?广西贵港 ?3 分）若分式的值不存在、则x 的值为﹣1．【解答】解：若分式的值不存在、则 x+1=0、解得： x= ﹣1、故答案为：﹣ 1．【谈论】此题主要观察了分式有意义的条件、正确掌握分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零是解题要点．11. （2018?贵州铜仁? 4 分）分式方程=4 的解是 x=﹣9．【分析】分式方程去分母转变成整式方程、求出整式方程的解获取x 的值、经检验即可获取分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣1=4x+8、解得： x= ﹣9、经检验 x=﹣9 是分式方程的解、故答案为：﹣ 912.（2018湖南长沙3.00 分）化简：= 1．【分析】依照分式的加减法法规：同分母分式加减法法规：同分母的分式想加减、分母不变、把分子相加减计算即可．【解答】解：原式==1．故答案为： 1．【谈论】此题观察了分式的加减法法规、解题时牢记定义是要点．13．（ 2018 湖南湘西州 4.00 分）要使分式有意义、则x 的取值范围为x≠﹣ 2．【分析】依照根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x+2≠ 0、∴x≠﹣ 2故答案为： x≠﹣ 2【谈论】此题观察分式有意义的条件、解题的要点是正确理解分式有意义的条件、此题属于基础题型．14.（2018?达州?3分）若关于x 的分式方程=2a 无解、则 a 的值为．【分析】直接解分式方程、再利用当1﹣2a=0 时、当 1﹣2a≠0时、分别得出答案．【解答】解：去分母得：x﹣ 3a=2a（x﹣ 3）、整理得：（ 1﹣ 2a） x=﹣ 3a、当 1﹣2a≠0时、 x==3 时、分式方程无解、则 a=1、故关于 x 的分式方程=2a 无解、则 a 的值为： 1 或．故答案为： 1 或．【谈论】此题主要观察了分式方程的解、正确分类谈论是解题要点．15.（ 2018?遂宁 ?4 分） A、 B 两市相距 200 千米、甲车从 A 市到 B 市、乙车从 B 市到 A 市、两车同时出发、已知甲车速度比乙车速度快15 千米 / 小时、且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米 /小时、则依照题意、可列方程．【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．【解答】解：设乙车的速度是x 千米 / 小时、则依照题意、可列方程：﹣= ．故答案为：﹣=．【谈论】此题主要观察了由实责问题抽象出分式方程、正确表示出两车所用时间是解题要点．三. 解答题1.（2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市· 5 分）化简：?．【分析】先将分子、分母因式分解、再约分即可得．【解答】解：原式=?=．【谈论】此题主要观察分式的乘除法、解题的要点是掌握分式乘除运算序次和运算法规．2. （2018 ·湖北随州· 6 分）先化简、再求值：、其中x为整数且满足不等式组．【分析】依照分式的除法和加法可以化简题目中的式子、由x 为整数且满足不等式组可以求得x 的值、进而可以解答此题．【解答】解：===、由得、 2＜ x≤ 3、∵x是整数、∴x=3、∴原式=．【谈论】此题观察分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、解答此题的要点是明确分式的化简求值的计算方法．3.（ 2018·湖北襄阳· 6 分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后、若襄阳至武汉段行程与当前动车行驶的行程相等、约为325 千米、且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的 2.5 倍、则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少 1.5 小时．求高铁的速度．【分析】设高铁的速度为x 千米 / 小时、则动车速度为0.4x 千米 / 小时、依照题意列出方程、求出方程的解即可．【解答】解：设高铁的速度为x 千米 / 小时、则动车速度为0.4x 千米 / 小时、依照题意得：﹣=1.5 、解得： x=325、经检验 x=325 是分式方程的解、且吻合题意、则高铁的速度是325 千米 / 小时．【谈论】此题观察了分式方程的应用、弄清题中的等量关系是解此题的要点．4. （ 2018?内蒙古包头市? 3 分）化简；÷（﹣1）=﹣．【分析】依照分式混杂运算序次和运算法规计算可得．【解答】解：原式=÷（﹣）=÷=?=﹣、故答案为：﹣．【谈论】此题主要观察分式的混杂运算、解题的要点是掌握分式混杂运算序次和运算法规．2. （ 2018?内蒙古包头市?10 分）某商店以固定进价一次性购进一种商品、 3 月份按必然售价销售、销售额为2400 元、为扩大销量、减少库存、 4 月份在 3 月份售价基础上打9 折销售、结果销售量增加30 件、销售额增加 840 元．（1）求该商店 3 月份这种商品的售价是多少元？（2）若是该商店 3 月份销售这种商品的利润为900 元、那么该商店 4 月份销售这种商品的利润是多少元？【分析】（ 1）设该商店 3 月份这种商品的售价为x 元、则 4 月份这种商品的售价为元、依照数量 =总价÷单价结合 4 月份比 3 月份多销售30 件、即可得出关于x 的分式方程、解之经检验即可得出结论；（2）设该商品的进价为y 元、依照销售利润 =每件的利润×销售数量、即可得出关于y 的一元一次方程、解之即可得出该商品的进价、再利用 4 月份的利润 =每件的利润×销售数量、即可求出结论．【解答】解：（ 1）设该商店 3 月份这种商品的售价为x 元、则 4 月份这种商品的售价为0.9x 元、依照题意得：=﹣ 30、解得： x=40、经检验、 x=40 是原分式方程的解．答：该商店 3 月份这种商品的售价是40 元．（2）设该商品的进价为y 元、依照题意得：（ 40﹣ a）×=900、解得： a=25、∴（ 40×0.9 ﹣ 25）×=990（元）．答：该商店 4 月份销售这种商品的利润是990 元．【谈论】此题观察了分式方程的应用以及一元一次方程的应用、解题的要点是：（ 1）找准等量关系、正确列出分式方程；（ 2）找准等量关系、正确列出一元一次方程．6. （ 2018?山东烟台市? 6 分）先化简、再求值：（ 1+）÷、其中 x 满足 x2﹣2x ﹣ 5=0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法规计算、同时利用除法法规变形、约分获取最简结果、把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=?=?=x（ x﹣ 2） =x2﹣ 2x 、由 x2﹣ 2x ﹣ 5=0、获取 x2﹣ 2x=5、则原式 =5．【谈论】此题观察了分式的化简求值、熟练掌握运算法规是解此题的要点．7（. 2018?山东东营市? 8 分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出、他们的家分别距离剧院1200m和2000m、两人分别从家中同时出发、已知小明和小刚的速度比是3： 4、结果小明比小刚提前4min 到达剧院．求两人【分析】设小明的速度为3x 米 / 分、则小刚的速度为4x 米 / 分、依照时间 =行程÷速度结合小明比小刚提前4min 到达剧院、即可得出关于x 的分式方程、解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明的速度为3x 米 / 分、则小刚的速度为4x 米 / 分、依照题意得：﹣=4、解得： x=25、经检验、 x=25 是分式方程的根、且吻合题意、∴3x=75、 4x=100．答：小明的速度是75 米 / 分、小刚的速度是100 米/ 分．【谈论】此题观察了分式方程的应用、找准等量关系、正确列出分式方程是解题的要点．8. （ 2018?山东济宁市? 7 分）先化简、再求值：﹣÷（﹣）、其中 a=﹣．【分析】第一计算括号里面的减法、尔后再计算除法、最后再计算减法、化简后、再代入 a 的值可得答案．【解答】解：原式 =﹣÷[﹣] 、=﹣÷[﹣] 、=﹣÷、=﹣?、=﹣、=﹣、当 a=﹣时、原式 =﹣=﹣4．【谈论】此题主要观察了分式的化简求值、要点是掌握化简求值、一般是先化简为最简分式或整式、再代入求值．9.（2018?达州?6分）化简代数式：、再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入、求出代数式的值．【分析】直接将=去括号利用分式混杂运算法规化简、再解不等式组、进而得出x 的值、即可计算得出答案．【解答】解：原式=×﹣×=2x+4、、解①得： x≤1、解②得： x＞﹣ 3、故不等式组的解集为：﹣3＜x≤1、把 x= ﹣ 2 代入得：原式 =0．【谈论】此题主要观察了分式的化简求值以及不等式组解法、正确掌握分式的混杂运算法规是解题要点．10.（2018?遂宁?8分）先化简、再求值?+．（其中x=1、y=2）【分析】依照分式的运算法规即可求出答案、【解答】解：当x=1、 y=2 时、原式=?+=+==﹣ 3【谈论】此题观察分式的运算、解题的要点是熟练运用分式的运算法规、此题属于基础题型．11. （ 2018?资阳 ?7 分）先化简、再求值：÷（﹣a）、其中a=﹣1、b=1．【分析】先依照分式混杂运算序次和运算法规化简原式、再将 A.b 的值代入计算可得．【解答】解：原式=÷=?=、当 a= ﹣ 1、 b=1 时、原式 ====2+．【谈论】此题主要观察分式的化简求值、解题的要点是掌握分式混杂运算序次和运算法规．12.（ 2018?乌鲁木齐 ?10 分）某校组织学生去 9km 外的郊区游玩、一部分学生骑自行车先走、半小时后、其他学生乘公共汽车出发、结果他们同时到达．己知公共汽车的速度是自行车速度的 3 倍、求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？【分析】设自行车的速度为xkm/h 、则公共汽车的速度为3xkm/h 、依照时间 =行程÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用小时、即可得出关于x 的分式方程、解之经检验即可得出结论．【解答】解：设自行车的速度为xkm/h 、则公共汽车的速度为3xkm/h 、依照题意得：﹣=、解得： x=12、经检验、 x=12 是原分式方程的解、∴3x=36 ．答：自行车的速度是12km/h 、公共汽车的速度是36km/h ．【谈论】此题观察了分式方程的应用、找准等量关系、正确列出分式方程是解题的要点．13．（ 2018?临安?6 分）（ 1）化简÷（x﹣）．（2）解方程：+=3．【分析】（ 1）先计算括号内分式的减法、再计算除法即可得；（2）先去分母化分式方程为整式方程、解整式方程求解的x 值、检验即可得．【解答】解：（ 1）原式 =÷（﹣）=÷=?=；（2）两边都乘以 2x﹣ 1、得： 2x﹣ 5=3（2x﹣ 1）、解得： x=﹣、检验：当 x=﹣时、2x﹣1=﹣2≠0、所以分式方程的解为x=﹣．【谈论】此题主要观察分式的混杂运算与解分式方程、解题的要点是掌握解分式方程和分式混杂运算的步骤．14. （ 2018?嘉兴?4 分）化简并求值（）?、其中a=1、b=2．【答案】原式 ==a- b当 a=1、 b=2时、原式=1-2=-1【考点】利用分式运算化简求值【分析】分式的化简中间、可先运算括号里的、或都运用乘法分配律计算都可16.（2018?贵州安顺?10分）先化简、再求值：、其中.【答案】、.【分析】分析：先化简括号内的式子、再依照分式的除法进行计算即可化简原式、尔后将x=-2 代入化简后的式子即可解答此题．详解：原式=.∵、∴、舍、当时、原式.点睛：此题观察分式的化简求值、解题的要点是明确分式化简求值的方法．17.（ 2018?广西桂林 ?8 分）某校利用暑期进行田径场的改造维修、项目承包单位派遗一号施工队进场施工、计划用 40 节气间完成整个工程：当一号施工队工作 5 天后、承包单位接到通知、有一大型活动要在该田径场举行、要求比原计划提前14 天完成整个工程、于是承包单位派遗二号与一号施工队共同完成节余工程、结果按通知要求如期完成整个工程.(1)若二号施工队单独施工、完成整个工程需要多少天？(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工、完成整个工程需要多少天？【答案】（ 1） 60 天；（ 2） 24 天.【分析】分析：（ 1）设二号施工队单独施工需要x 天、依照题意可知一号施工队 5 天工作总量与一号施工队和二号施工队合作工作总量之和=1 列出方程求解即可；（2）依照工作总量÷工作效率=工作时间求解即可.详解：（ 1）设二号施工队单独施工需要x 天、依题可得解得 x=60、经检验、 x=60是原分式方程的解、∴由二号施工队单独施工、完成整个工期需要60 天．（2）由题可得（天）、∴若由一、二号施工队同时进场施工、完成整个工程需要24 天.点睛：此题观察了列分式方程解应用题、灵便运用和掌握工作总量÷工作效率=工作时间是解题要点.18. （ 2018?广西南宁?6 分）解分式方程：﹣1=．【分析】依照解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．【解答】解：两边都乘以3（ x﹣ 1）、得： 3x﹣ 3（x﹣ 1） =2x、解得： x=1.5 、检验： x=1.5 时、 3（ x﹣ 1）=1.5 ≠0、所以分式方程的解为x=1.5 ．【谈论】此题主要观察解分式方程、解题的要点是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．19. 2018 ·黑龙江大庆· 4 分）解方程：﹣=1．【分析】方程两边都乘以 x（ x+3）得出方程 x﹣1+2x=2、求出方程的解、再代入 x（x+3）进行检验即可．【解答】解：两边都乘以 x（ x+3）、得： x2﹣（ x+3） =x（ x+3）、解得： x= ﹣、检验：当x=﹣时、x（x+3）=﹣≠ 0、所以分式方程的解为x=﹣．20. （ 2018·黑龙江哈尔滨· 7 分）先化简、再求代数式（1﹣）÷的值、其中a=4cos30°+3tan45°．【分析】依照分式的运算法规即可求出答案、【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时、所以 a=2+3原式=?==【谈论】此题观察分式的运算、解题的要点是熟练运用分式的运算法规、此题属于基础题型．21（ 2018 ·黑龙江龙东地区· 5 分）先化简、再求值：（ 1﹣）÷、其中a=sin30°．【分析】依照分式的运算法规即可求出答案、【解答】解：当a=sin30 °时、所以 a=原式=?=?==﹣ 1【谈论】此题观察分式的运算、解题的要点是熟练运用分式的运算法规、此题属于基础题型．22.. （ 2018·湖北省恩施·8 分）先化简、再求值：?（ 1+）÷、其中x=2﹣1．【分析】直接分解因式、再利用分式的混杂运算法规计算得出答案．【解答】解：?（ 1+）÷=??=、把 x=2﹣1代入得、原式===．【谈论】此题主要观察了分式的化简求值、正确进行分式的混杂运算是解题要点．23. （2018?福建 A 卷?8 分）先化简、再求值：（﹣1）÷、其中m=+1．【分析】依照分式的减法和除法可以化简题目中的式子、尔后将m的值代入即可解答此题．【解答】解：（﹣1）÷===、当 m= +1 时、原式 =．【谈论】此题观察分式的化简求值、解答此题的要点是明确分式化简求值的方法．24. （2018?福建 B 卷?8 分）先化简、再求值：（﹣1）÷、其中m=+1．【分析】依照分式的减法和除法可以化简题目中的式子、尔后将m的值代入即可解答此题．【解答】解：（﹣1）÷===、当 m= +1 时、原式 =．【谈论】此题观察分式的化简求值、解答此题的要点是明确分式化简求值的方法．25. （2018?广东 ?6 分）先化简、再求值：?、其中a=．【分析】原式先因式分解、再约分即可化简、既而将 a 的值代入计算．【解答】解：原式 =?=2a、当 a=时、原式=2×=．【谈论】此题主要观察分式的化简求值、解题的要点是熟练掌握分式混杂运算序次和运算法规．26. （2018?广东?7 分）某公司购买了一批 A.B 型芯片、其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少9 元、已知该公司用3120 元购买 A 型芯片的条数与用4200 元购买 B 型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的 A.B 型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了 200 条、且购买的总花销为 6280 元、求购买了多少条 A 型芯片？【分析】（ 1）设 B 型芯片的单价为 x元 / 条、则 A 型芯片的单价为（ x﹣ 9）元 / 条、依照数量 =总价÷单价结合用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用4200 元购买 B 型芯片的条数相等、即可得出关于x 的分式方程、解之经检验后即可得出结论；（2）设购买 a 条 A 型芯片、则购买（200﹣a）条 B 型芯片、依照总价=单价×数量、即可得出关于 a 的一元一次方程、解之即可得出结论．【解答】解：（ 1）设 B 型芯片的单价为 x 元 / 条、则 A 型芯片的单价为（x﹣ 9）元 / 条、依照题意得：=、解得： x=35、经检验、 x=35 是原方程的解、∴x﹣ 9=26．答： A 型芯片的单价为26 元 / 条、 B 型芯片的单价为 35 元 / 条．（2）设购买 a 条 A 型芯片、则购买（200﹣ a）条 B 型芯片、依照题意得：26a+35（ 200﹣ a） =6280、解得： a=80．答：购买了 80 条 A 型芯片．【谈论】此题观察了分式方程的应用以及一元一次方程的应用、解题的要点是：（ 1）找准等量关系、正确列出分式方程；（ 2）找准等量关系、正确列出一元一次方程．27.（2018?广西北海 ?6 分）解分式方程：【答案】x【考点】解分式方程【解答】解：方程左右两边同乘3(x1) 、得3x 3(x1)2x3x3x32x2x3x检验：当 x 1.5 时、 3(x1) 0所以、原分式方程的解为 x 1.5 .【谈论】依照解分式的一般步骤进行去分母、尔后解一元一次方程, 最后记得检验即可 .28. （2018?广西贵港 ?10 分）（ 1）计算： |3 ﹣ 5| ﹣（π ﹣ 3.14 ）0+（﹣ 2）﹣1+sin30 °；（2）解分式方程：+1=．【分析】（ 1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值、再计算加减可得；（2）分式方程去分母转变成整式方程、求出整式方程的解获取x 的值、经检验即可获取分式方程的解．【解答】解：（ 1）原式 =5﹣ 3﹣ 1﹣+=1；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）、得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2、整理、得： x2﹣ x﹣ 2=0、解得： x1=﹣ 1、 x2=2、检验：当 x=﹣ 1 时、（x+2）（ x﹣ 2） =﹣3≠0、当 x=2 时、（x+2）（ x﹣ 2） =0、所以分式方程的解为 x=﹣ 1．【谈论】此题观察了实数的运算与解分式方程、解分式方程的基本思想是“转变思想”、把分式方程转变成整式方程求解．解分式方程必然注意要验根．29. （2018?贵州黔西南州 ?12分）（2）先化简（1﹣）?、再在中采用一个合适的数代入求值．【分析】（ 2）依照分式的减法和乘法可以化简题目中的式子、再从 1.2.3 中采用一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答此题．【解答】解：（ 2）（ 1﹣）?===、当 x=2 时、原式 =．【谈论】此题观察分式的化简求值、解答此题的要点是明确它们各自的计算方法．30.（2018?贵州贵阳? 10 分）某青春党支部在精准扶贫活动中、给结对帮扶的贫困家庭赠予甲、乙两种树苗让其栽种 . 已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10 元、用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用360 元购买甲种树苗的棵数相同 .（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在本质帮扶中、他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50 棵. 此时、甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%、乙种树苗的售价不变、若是再次购买两种树苗的总花销不高出1500 元、那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【解（1）设甲种树苗每棵的价格是x 元、由题意知：乙种树苗每棵的价格是 x 10元 .480360、解得： x30则x 10x即、甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元（2）设他们购买乙种树苗y 棵、则购买甲种树苗50y 棵.由（1）知：甲种树苗每棵 30 元、乙种树苗每棵40元甲种树苗降低 10%后为： 30（110%） 27 元由题意知： 27 （50y）40 y1500 解得：y15013所以、他们最多可以购买11棵乙种树苗.31．（ 2018 年湖南省娄底市）先化简、再求值：（+）÷、其中 x= ．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法规计算、同时利用除法法规变形、约分获取最简结果、把 x 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=?=、当 x=时、原式==3+2．【谈论】此题观察了分式的化简求值、熟练掌握运算法规是解此题的要点．32．(2018 湖南省邵阳市) （ 8 分）某公司计划购买A、B 两种型号的机器人搬运资料．已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运30kg 资料、且 A 型机器人搬运1000kg 资料所用的时间与 B 型机器人搬运800kg 资料所用的时间相同．（1）求 A、B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少资料；（2）该公司计划采买A、B 两种型号的机器人共20 台、要求每小时搬运资料不得少于2800kg 、则最少购进A型机器人多少台？【分析】（ 1）设 B 型机器人每小时搬运机器人搬运 1000kg 资料所用的时间与出结论．x 千克资料、则 A 型机器人每小时搬运（x+30）千克资料、依照 A 型B 型机器人搬运800kg 材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得（2）设购进 A 型机器人 a 台、依照每小时搬运资料不得少于2800kg 列出不等式并解答．【解答】解：（ 1）设 B 型机器人每小时搬运x 千克资料、则 A 型机器人每小时搬运（x+30）千克资料、依照题意、得=、解得 x=120．经检验、 x=120 是所列方程的解．当 x=120 时、 x+30=150．答： A型机器人每小时搬运150 千克资料、 B 型机器人每小时搬运120 千克资料；。
分式与分式方程(34题)(解析版)—2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)
分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（ ）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（ ）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+¹．则a aba b +=+（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是 ．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为 ．解得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，∴原方程的解为：3x =，故答案为：3x =．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)(2p --+＝ ．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+= ．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】4x ¹【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：Q 分式有意义的条件是分母不能等于0，\40x -¹\4x ¹．故答案为：4x ¹．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．【答案】3x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为 ．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为 ．î13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x æö--¸-=ç÷èø．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是 ．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1. 故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++ ．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为 ．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a aa a++æö+¸ç÷+，其中4a=．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x xx x x+-æö-¸ç÷+，其中3x=．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -æö+¸ç÷--+，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -æö-¸ç÷--+èø，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x æöæö-¸-ç÷ç÷èøèø，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +æö-¸ç÷．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-æö-+-´-ç÷èø；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+æö-¸ç÷-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ´，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224x x x x x x x +æö-¸ç÷-+-èø，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -æö+¸ç÷+èø．【答案】(1)222x y +；34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xxx x-æö+-¸+ç÷+-，其中72x=-．。
【精品】2017年全国中考数学真题《分式与分式方程》分类汇编解析
2017年全国中考数学真题《分式与分式方程》分类汇编解析分式与分式方程考点一、分式 （8~10分）1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣3.（2017·广西百色·3分）A 、B 两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x 千米/小时，则所列方程是（ ）C．﹣＝D．＋＝304.（2017·广西桂林·3分）当x＝6，y＝3时，代数式（）•的值是（）A．2 B．3 C．6 D．95. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣27.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解10. （2017·湖北武汉·3分）若代数式在31-x实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3D．x＝312.（2017·四川攀枝花）化简＋的结果是（）A．m＋n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n13．（2017·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )A．1102x+＝100xB．1100x＝1002x+C．1102x-＝100xD．1100x＝1002x-14．（2017·四川内江）在函数y x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝16. （2017·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是（）A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣317．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，318．（2017·湖北荆门·3分）化简的结果是（）A．B．C．x＋1 D．x﹣119.（2017·内蒙古包头·3分）化简（）•ab，其结果是（）A．B．C．D．20. （2017·山东潍坊·3分）计算：20•2﹣3＝（）A．﹣B．C．0 D．821. （2017·山东潍坊·3分）若关于x的方程＋＝3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣22. （2017·四川眉山·3分）已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式的值是（）A．3 B．2 C．D．二、填空题1.（2017·山东省济宁市·3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是km/h．2. （云南省昆明市·3分）计算：﹣＝．4.（2017·贵州安顺·4分）在函数中，自变量x的取值范围是．5．（2017贵州毕节5分）若a2＋5ab﹣b2＝0，则的值为．6．（2017·四川南充）计算：＝．7．（2017·四川攀枝花）已知关于x的分式方程＋＝1的解为负数，则k的取值范围是．8．（2017·四川泸州）分式方程﹣＝0的根是．9．（2017·四川内江）化简：(2a＋93a-)÷3aa+＝______．10. （2017·湖北荆州·3分）当a＝﹣1时，代数式的值是．三、解答题1.（2017·湖北随州·6分）先化简，再求值：（﹣x＋1）÷，其中x＝﹣2．2. （2017·湖北随州·6分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．3. （2017·吉林·5分）解方程：＝．4. （2017·江西·6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中x＝6．5. （2017·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？6.（2017·四川泸州）化简：（a＋1﹣）•．7．（2017·四川宜宾）2017年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？8.（2017·四川宜宾）化简：÷（1﹣）9.（2017·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝4﹣tan45°．10．（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．11．（2017·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷•，其中a＝2017．12．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n ＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．13.（2017·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适14. （2017·陕西）化简：（x﹣5＋）÷．15. （2017·四川眉山）先化简，再求值：，其中a＝3．16. （2017·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B两种型号车的进货和销售价格如表：17．（2017·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a ＝．18．（2017·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a ＋1－4a －5a －1）÷（1a －1a 2－a ），其中a ＝2＋3．19．（2017·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？20．（2017·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）21. （2017·重庆市A卷·5分）（＋x﹣1）÷．22. （2017·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）23. （2017·浙江省绍兴市·4分））解分式方程：＋＝4．24.（2017·福建龙岩·6分）先化简再求值：，其中x＝2＋．25.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同 （1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？26.（2017·贵州安顺·10分）先化简，再求值：1211)1(+-+÷-x x x ），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入．27.（2017·黑龙江哈尔滨·7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°．28.（2017·黑龙江哈尔滨·10分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？29．（2017广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？30．（2017河南）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．答案分式与分式方程一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【考点】最简分式．【专题】计算题；分式．【分析】利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选A【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】分式的加减法． 【专题】计算题；分式．【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＋＝＋＝＝，故选B【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.（2017·广西百色·3分）A 、B 两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x 千米/小时，则所列方程是（ ）A ．﹣＝30 B ．﹣＝C ．﹣＝ D ．＋＝30【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．【解答】解：设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据题意得，﹣＝．故选B ．4.（2017·广西桂林·3分）当x ＝6，y ＝3时，代数式（）•的值是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 【考点】分式的化简求值．【分析】先对所求的式子化简，然后将x ＝6，y ＝3代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（）•＝＝，当x＝6，y＝3时，原式＝，故选C．5. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣＝，故选C．6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x＋2≠0，解得x≠﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．7.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x ﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间＝原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【解答】解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x ﹣30）棵，根据题意，可列方程： ＝，故选：A ．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．无解 【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：1＋x ﹣1＝0， 解得：x ＝0， 故选A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 9.(2017河北3分）下列运算结果为x －1的是（ ）A ．11x-B ．211x x x x -∙+ C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 答案：B解析：挨个算就可以了，A 项结果为—— , B 项的结果为x －1，C 项的结果为—— D 项的结果为x ＋1。
中考数学试题解析分类汇编汇总 07 分式与分式方程
分式与分式方程一、选择题1. （•黑龙江龙东,第16题3分）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3考点：分式方程的解．.专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．解答：解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m=2且m≠3．故选C点评：此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．2. （•黑龙江绥化,第14题3分）分式方程的解是（）A．x=﹣2B．x=2C．x=1D．x=1或x=2考点：解分式方程．专题：方程思想．分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=1．点评：考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．3. （•莱芜，第7题3分）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．解答：解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，由题意得，=．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．4. （•青岛，第6题3分）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（）A．﹣=2B．﹣=2C．﹣=2D．﹣=2考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．解答：解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，由题意得，﹣=2．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．5．（•河北，第7题3分）化简：﹣=（）A．0B．1C．x D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式==x．故选C点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、（•无锡，第3题3分）分式可变形为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：分式的基本性质．分析：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案．解答：解：分式的分子分母都乘以﹣1，得﹣，故选；D．点评：本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．7、（•宁夏，第11题3分）甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为（x+20）吨/小时，根据甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，列出方程．解答：解：设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为（x+20）吨/小时，由题意得，=．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．8．（•重庆A,第6题4分）关于x的方程=1的解是（）A．x=4B．x=3C．x=2D．x=1考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣1=2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．(湖北荆门) （•湖北荆门,第10题3分）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程=2的解是（）A．5B．1C．3D．不能确定考点：解分式方程；关于原点对称的点的坐标．专题：计算题．分析：根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．解答：解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，∴，解得：＜a＜2，即a=1，当a=1时，所求方程化为=2，去分母得：x+1=2x﹣2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，则方程的解为3．故选C点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．（•广西来宾，第8题3分）将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（）A．x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣4考点：解分式方程．专题：常规题型．分析：分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果．解答：解：去分母得：x﹣2=2x，故选A点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．（•黔南州，第10题4分）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．w!w!w.!x!k!b!专题：应用题；压轴题．分析：题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．解答：解：根据题意，得．故选C．点评：理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．二、填空题1. （•黑龙江绥化,第5题3分）化简﹣的结果是﹣．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2. （•湖南衡阳,第19题3分）分式方程=的解为x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x2=x2﹣x+2x﹣2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3. （•山西，第12题3分）化简+的结果是．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=+==．故答案为：点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（•乐山，第11题3分）当分式有意义时，x的取值范围为x≠2．考点：分式有意义的条件．.分析：分式有意义，分母x﹣2≠0，易求x的取值范围．解答：解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．故填：x≠2．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．5. （•丽水，第11题4分）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：由于分式的分母不能为0，x﹣5在分母上，因此x﹣5≠0，解得x．解答：解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为x≠5．点评：本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．6．（衡阳，第19题3分）分式方程12x xx x-=+的解为x=。
专题07分式方程-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【解析版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题07分式方程一．选择题（共7小题）1．（2022•德阳）如果关于x 的方程2x+m x−1=1的解是正数，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围． 【解析】两边同时乘（x ﹣1）得， 2x +m ＝x ﹣1， 解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1， ∴{x ＞0x ≠1，即{−1−m ＞0−1−m ≠1， 解得：{m ＜−1m ≠−2，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2． 故答案为：D ．【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．2．（2022•遂宁）若关于x 的方程2x =m 2x+1无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或x =−12=−24−m ，求出m 的值即可． 【解析】2x =m 2x+1，2（2x +1）＝mx ， 4x +2＝mx ， （4﹣m ）x ＝﹣2， ∵方程无解，∴4﹣m ＝0或x =−12=−24−m ，∴m ＝4或m ＝0， 故选：D ．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键． 3．（2022•广元）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N 95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N 95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x 元，则列方程正确的是（ ） A ．9600x−10=1600x B ．9600x+10=1600xC ．9600x=1600x−10D ．9600x=1600x+10【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x 元，则购进N 95口罩的单价是（x +10）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x 的分式方程．【解析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x 元，则购进N 95口罩的单价是（x +10）元， 依题意得：9600x+10=1600x，故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵，则下列方程正确的是（ ） A ．400x−50=300x B ．300x−50=400xC ．400x+50=300xD ．300x+50=400x【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解析】由题意可得，400x=300x−50，故选：B ．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．5．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x=4000x−30，则方程中x 表示（ ）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【分析】设篮球的数量为x 个，足球的数量是2x 个，列出分式方程解答即可． 【解析】设篮球的数量为x 个，足球的数量是2x 个． 根据题意可得：50002x=4000x−30，故选：D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．6．（2022•重庆）关于x 的分式方程3x−ax−3+x+13−x =1的解为正数，且关于y 的不等式组{y +9≤2(y +2)2y−a 3＞1的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出{y ≥5y ＞a+32，结合题意得出a ≤7，进而得出2＜a ≤7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案． 【解析】解分式方程得：x ＝a ﹣2， ∵x ＞0且x ≠3， ∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3， ∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：{y ≥5y ＞a+32，∵不等式组的解集为y ≥5， ∴a+32＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13， 故选：A ．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．7．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{x −1≥4x−13，5x −1＜a的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程y−1y+1=a y+1−2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出{x ≤−2x ＜a+15，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y =a−13，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解析】解不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a 得：{x ≤−2x ＜a+15，∵不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a 的解集为x ≤﹣2，∴a+15＞−2，∴a ＞﹣11， 解分式方程y−1y+1=ay+1−2得：y =a−13， ∵y 是负整数且y ≠﹣1， ∴a−13是负整数且a−13≠−1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13， 故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）8．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b =1a +1b ．若（x +1）⊗x =2x+1x，则x 的值为 −12 ．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解析】根据题意得：1x+1+1x=2x+1x，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1）， 解得：x =−12，检验：当x =−12时，x （x +1）≠0， ∴原方程的解为：x =−12． 故答案为：−12．【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．9．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为160x =140x−10．【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．【解析】设甲每小时采样x 人，则乙每小时采样（x ﹣10）人，根据题意得：160x=140x−10．故答案为：160x=140x−10．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．（2022•金华）若分式2x−3的值为2，则x 的值是 4 ．【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解析】由题意得：2x−3=2，去分母得：2＝2（x ﹣3）， 去括号得：2x ﹣6＝2， 移项，合并同类项得：2x ＝8， ∴x ＝4．经检验，x ＝4是原方程的根， ∴x ＝4． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．11．（2022•泸州）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是 a ＜﹣1 ．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解． 【解析】x−3x−2+1=32−x ，x−3x−2+x−2x−2=−3x−2，2x−2x−2=0，解得：x ＝1， ∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0， ∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得： 2﹣a ﹣3＞0， 解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1， 故答案为：a ＜﹣1．【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不能为0．12．（2022•成都）分式方程3−x x−4+14−x=1的解为 x ＝3 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解， 故答案为：x ＝3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2022•邵阳）分式方程5x−2−3x=0的解是 x ＝﹣3 ．【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【解析】去分母，得：5x ﹣3（x ﹣2）＝0， 整理，得：2x +6＝0，解得：x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是原分式方程的解，故答案为：x＝﹣3．【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．三．解答题（共10小题）14．（2022•苏州）解方程：xx+1+3x=1．【分析】先两边同乘以x（x+1）化为整式方程：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得x=−32，再检验即可得答案．【解析】方程两边同乘以x（x+1）得：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得：x=−3 2，经检验，x=−32是原方程的解，∴原方程的解为x=−3 2．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．15．（2022•眉山）解方程：1x−1=32x+1．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解析】1x−1=32x+1，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．16．（2022•嘉兴）（1）计算：（1−√83）0−√4．（2）解方程：x−32x−1=1．【分析】（1）分别利用0指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解； （2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根． 【解析】（1）原式＝1﹣2＝﹣1； （2）去分母得x ﹣3＝2x ﹣1， ∴﹣x ＝3﹣1， ∴x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是分式方程的解， ∴原方程的解为：x ＝﹣2．【点评】本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用0指数幂及算术平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母． 17．（2022•宿迁）解方程：2x x−2=1+1x−2．【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【解析】2x x−2=1+1x−2， 2x ＝x ﹣2+1， x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x ＝﹣1．【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．18．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【分析】设平常的速度是x 千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可． 【解析】设平常的速度是x 千米/小时， 根据题意，得(1−12)⋅4x x−20+2=5，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的根， 4×60＝240（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．19．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时， 依题意，得：20x−201.5x=1060，解得：x ＝10，经检验，x ＝10是原方程的解，且符合题意． 答：摩托车的速度为10千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 【分析】设每个小组有学生x 名，由题意得：3603x−3604x=3，解分式方程并检验后即可得出答案．【解析】设每个小组有学生x 名， 由题意得：3603x−3604x=3，解得：x ＝10， 当x ＝10时，12x ≠0， ∴x ＝10是分式方程的根， 答：每个小组有学生10名．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．21．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T 恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T 恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T 恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．（1）该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T 恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T 恤衫按七折优惠售出，要使两批T 恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T 恤衫的标价至少是多少元？【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是x 元和（x +4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；（2）设每件T 恤衫的标价至少是y 元，根据题意列出不等式解答即可．【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是x 元和（x +4）元，根据题意可得： 2×4000x=8800x+4， 解得：x ＝40，经检验x ＝40是方程的解， x +4＝40+4＝44，答：该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是40元和44元； （2）解：400040+880044=300（件），设每件T 恤衫的标价至少是y 元，根据题意可得：（300﹣40）y +40×0.7y ≥（4000+8800）×（1+80%）， 解得：y ≥80，答：每件T 恤衫的标价至少是80元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，则原计划每天施工（x ﹣20）米， 由题意可得：5（x ﹣20）+2x ＝600，解得x ＝100，答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m 米，则技术更新后每天修建水渠m （1+20%）＝1.2m 米， 由题意可得：360m +900−3601.2m =900100，解得m ＝90，经检验，m ＝90是原分式方程的解，答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点评】本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．23．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间﹣汽车用的时间＝2，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x 千米/小时，由题意可得：45x −2=453x， 解得x ＝15，经检验，x ＝15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．。
分式与分式方程(3大考点)(解析版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)分式与分式方程(62题)(解析版)
分式与分式方程一、单选题【答案】A【分析】方程两边都乘以()21x x −，从而可得答案．【详解】解：∵3121x x =−，去分母得：()312x x−=，整理得：332x x −=， 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．【分析】设原计划平均速度为x km/h ，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．【详解】解：设原计划平均速度为x km/h ，由题意，得：()2402401150%x x−=+，即：24024011.5x x −=；故选：B.【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程：11111 424x⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输()5x−吨，则75505x x=−．故选：B.【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．【答案】D【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：8004004 1.2x x−=故选：D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【答案】A【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根． 【详解】去分母得()21x x+=，解方程得2x =−，检验:2x =−是原方程的解， 故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：()()()()21212111111xx x x x x x+−=−−−−+−+()()1211xx x+−=−+()()111xx x−=−+11x=+；故选：C．【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修()1x+千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修()1x+千米，依题意得912112x x−=+，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．【答案】D【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，由题意得264026402602x x=−⨯，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【答案】A【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为()+20x元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为()+20x元，由题意可得：1500800520x x−= +，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列方程为：505011.26x x=+，故答案为：A．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．13．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均【答案】A【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为()140%x+千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为()140%x+千米/小时，∴()10710140%60x x−=+，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【答案】C【详解】解：原式5a=；故选：C．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．【答案】B【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．【详解】解：13311xx x+=−−，两边同乘()1x−去分母，得()1313x x+−=−，【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．【答案】C【分析】设6210元购买椽的数量为x 株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为6210x ，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为6210x ，由题意得：()621031x x −=，故选：C ．【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．【答案】C【分析】解分式方程求出22mx −=，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：2m x x +−=−，解得：22mx −=，∵分式方程122m xx x +=−−的解是非负数， ∴202m−≥，且222m x −=≠，∴2m ≤且2m ≠−，【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键．【答案】B【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a −−++===，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案. 【详解】解：422x x +−+()()4222x x x ++−=+22x x =+. 故选：D.【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把21x x =+代入原式即可求出答案． 【详解】解：2221121−⎛⎫−÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤−+−÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()()()21111x x x x x x +−⋅+−=21x x +， ∵210x x −−=，∴21x x =+，∴原式=21x x +=1，【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．【答案】A【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m 的范围． 【详解】解：方程两边都乘以()1x −，得：1x x m +−=−，解得：12mx −=，∵10x −≠，即：112m−≠， ∴1m ≠−，又∵分式方程的解为非负数， ∴102m−≥，∴1m £，∴m 的取值范围是1m £且1m ≠−， 故选：A ．二、填空题22．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人． 【答案】3【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．【详解】设第一组有x 人，则第二组有(6)x +人，根据题意，得：12366x x =+ 去分母，得12(6)36x x +=，解得，3x = 经检验，3x =是原方程的根． 故答案为：3.【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．【答案】3x =【分析】先去分母，左右两边同时乘以()1x +，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．【详解】解：去分母，得：39x =， 化系数为1，得：3x =． 检验：当3x =时，10x +≠， ∴3x =是原分式方程的解． 故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．【答案】2【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：2211xx x −−−2221x x −==−；故答案为：2．【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．【答案】3【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．【详解】解：原式=()()()()()34244444x x x x x +−−+−+()()31244xx x −=−+34x =+5x =333145493∴===++x故答案为：3.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．【答案】3−【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x+=，解得：3x =−，经检验，3x =−是原方程的解， 故答案为：3−．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【答案】4x =【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x 的分式方程1144mx x −=−−（m 为常数）有增根，∴40x −=，解得4x =， 故答案为：4x =．【答案】2x −【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：2222142442x x x x x x x x x +−−⎛⎫−÷ ⎪−−+−⎝⎭()()()()()2221242x x x x x x x x x +−−−−=⨯−−()()2222442x x x x x x x x −−−+=⨯−−12x =−；故答案为：2x −．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】4x =【分析】根据解分式方程的步骤计算即可． 【详解】去分母得：()220x x −−=，解得：4x =，经检验4x =是方程的解， 故答案为：4x =．【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．【答案】4x =【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x 的值． 【详解】解：216124x x x ++=+−，方程两边同时乘以()()22x x +−得，()()2622x x x x −++=+−，2244x x ∴+=−，2280x x ∴−−=，()()420x x ∴−+=，4x ∴=或2x =−．经检验2x =−时，240x −=，故舍去．∴原方程的解为：4x =． 故答案为：4x =．【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．三、解答题【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简． 【详解】解：21211x x x x +−−−2211x x x −+=−()211x x −=−1x =− 【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则．【答案】3a −【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解：21123926a a a a −⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()()()()()312333323a a a a a a a ⎡⎤−−=+÷⎢⎥+−+−+⎢⎥⎣⎦()()()223323a a a a a −−=÷+−+()()()232332a a a a a +−=⋅+−−23a =−【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．【答案】1x +，4【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】22111121x x x x −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()()21111x x x x x +−=÷−−111x x x x −=⨯−+1x x =+ ∵3x = ∴原式33314==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．【分析】方程两边同时乘以x ﹣2，再解整式方程得x ＝4，经检验x ＝4是原方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以x ﹣2得，25333(2)x x x −=−−−， 解得：4x =检验：当4x =时，20x −≠， ∴4x =是原方程的解， ∴原方程的解为x ＝4．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．【答案】2x +；1【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．【详解】解：214111x x x −⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭()()2211111x x x x x x +−−⎛⎫−÷ ⎪−−−⎝⎭=()()()12122x x x x x =−−⋅−+−12x =+，∵1x ≠，2±， ∴把=1x −代入得：原式1112==−+．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)一；(2)见解析【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：22a b ab b a a a ⎛⎫−−÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a a ⎛⎫−−=÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a ⎛⎫−−+=÷ ⎪⎝⎭故第一步错误． 故答案为：一．（2）解：22a b ab b a a a ⎛⎫−−÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a a ⎛⎫−−=÷− ⎪⎝⎭222a b a ab b a a −−+=÷()2a b a b a a −−=÷ ()2a b a a a b −=⨯−1a b =−．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．【答案】12a −，当1a =−时，原式为3−；当0a =时，原式为12−．【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：234111a a a −⎛⎫+÷⎪−−⎝⎭()()2213111a a a a a a +−−⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭ ()()21122a a a a a +−=⋅−+− 12a =−，当a 取2−，1，2时分式没有意义， 所以1a =−或0， 当1a =−时，原式11123==−−−；当0a =时，原式11022==−−．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．【答案】a b +【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．【详解】解：原式22(2)2()()a b a b a b a b a b a b a b +−−=−⋅+−+−22a b a b a ba b +−=−++4b a b =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】3a +；2−【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a −+⎛⎫÷++ ⎪−−⎝⎭ ()()()23225222a a a a a a −+−⎡⎤=÷+⎢⎥−−−⎣⎦()2234522a a a a −−+=÷−−()()()232233a aa a a −−=⋅−+−33a a −=+，解不等式112a −≤得：3a ≤，∵a 为正整数， ∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a −≠， ∴2a ≠， ∵当3a =时，552320223a a ++=++=−−，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132−==−+． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】1a −；1−【详解】解： 221422211a a a a a a −−⋅−−−+−()()()22212211a a a a a a +−−=⋅−−−−2211a a a +=−−−1aa =−；当12a =时，原式12112=−1=−． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】1;3x +【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】211121x x x x ⎛⎫−÷ ⎪+++⎝⎭()211x x x x +=⨯+1x =+； 当2x =时， 原式213=+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．【答案】2x +，23．【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：24242x x ÷−−()()42222x x x −=⋅+−22x =+， 当1x =时，原式22123==+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【答案】2x −，1【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()1111122x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪+++−⎝⎭()()21122x x x x x ++=⋅++−12x =−， 当3x =时，原式1132==−．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【答案】2x =【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为()131121x x +=−−．方程两边同乘()21x −，得()2213x +−=．解得32x =． 检验：当32x =时，()210x −≠．∴原方程的解是32x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】3a +【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把3=a 代入化简结果进行计算即可．【详解】解：222442342a a a a a a −+−÷+−+2(2)(2)3(2)(2)2a a a a a a −+=⨯++−−3a =+当3=a 时，原式33=+【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】11x −，【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x 的值代入，根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：22311213x x x x x x x +−⋅+−++()()211331x x x x x x −=−+⋅++()111x x x =+−()111x x x +−=−11x =−，当1x ===．【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．【答案】=1x −【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：211x x =−去分母得，21x x =− 移项，合并得，=1x − 检验：当=1x −时，()120x x −=≠，所以原分式方程的解为=1x −．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【答案】2xy；【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：222222322x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪−−−⎝⎭()22322xy x y x y x x y −+−=⨯−()()()2xyx y x y x y x y −+=⨯+−=2xy ， 当1x =+，y =原式)12==．【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【答案】42x y +，6【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将230x y +−=变形整体代入计算即可求解．【详解】解：原式()()()()()()()()3x x y x x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤+−−+=+⨯⎢⎥−+−+⎣⎦()()()()2233x y x y x xy x xy x y x y x −+++−=⨯−+()()()()242x y x y x xyx y x y x −++=⨯−+42x y =+；由230x y +−=，得到23x y +=， 则原式()226x y =+=．【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解． 50．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min ，求乙同学骑自行车的速度． 0.2千米/分钟．【分析】设乙同学骑自行车的速度为x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x 千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.2x 千米/分钟， 根据题意得：1212101.2x x −=，解得：0.2x =．经检验，0.2x =是原方程的解，且符合题意， 答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．【答案】1x +，2【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．【详解】解：原式22(1)(1)3(1)114x x x x x x −++⎡⎤=−⋅⎢⎥++−⎣⎦2224(1)14x x x x −+=⋅+−1x =+， ∵1,2x x ≠−≠， 当1x =时 原式112=+=．【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．【答案】1x x −，12【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭代入化简结果求解即可．【详解】解：2221111x x x x −+⎛⎫⋅+ ⎪−⎝⎭()()()21111x x x x x −+=⋅+−1x x −=， 当1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭时，原式2122−==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．解：原式x x =+ (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③；(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③； （2）解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x ⎡⎤−+−=+⋅⎢⎥+−+−⎣⎦ ()()()()221111x x x x x x x x x =⋅+++−−−+()()()()211112x x x x x x =⋅+−+−2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x −−=⋅+⋅+− ()()()()111111x x x x x x x x x x =⋅+⋅+−+−−+11x x =−++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】2x −，3【分析】先计算括号内的减法运算，再计算除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：原式()()3241222x x x x x x ++−−=÷+−+()()32223x x x x x ++=⨯+−+12x =−，当5x =时，原式11523==−.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则和混合运算顺序是解题的关键．【答案】21a a a −−，12【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a ⎛⎫=−÷ ⎪−⎝⎭−−−()2222111a a aa a a =⋅−−−−21a a a =−−；∵220,10a a≠−≠， ∴0,1a a ≠≠±， 23==，∴1a −<<0,1,2， ∵0,1a a ≠≠±，∴2a =，原式2122221−−==．【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．【答案】244a a −+；1【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得2430a a −+=的值，最后将2430a a −+=代入化简结果即可求解．【详解】解：22421244a a a a a a a a −+−⎛⎫÷− ⎪−−+⎝⎭ ()()()()()22221422a a a a a a a a a a ⎡⎤+−−−=÷−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦()()()()222142a a a a a a a a +−−−−=÷−()222244a a a a a a a −−=⨯−−+ ()22a =−244a a =−+；∵1216cos6004a a −⎛⎫−⋅+ ⎪⎭︒=⎝，即2430a a −+=，∴原式2=431011a a −++=+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．【答案】3x −；2【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．【详解】解：222119x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+−⎝⎭2212119x x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++−⎝⎭()()()33131x x x x x x ++=++−⋅3x x =−， 当6x =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．【答案】22a −【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可． 【详解】222224422a a a a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪−+−−⎝⎭()()()222222a a a a a a a ⎛⎫−+=−⨯ ⎪ ⎪−−⎝⎭ ()()()()22222222a aa a aa a a a −−+=⨯−⨯−−()2222222a a a a +=−=−−；当2a =时， 22a ==−．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键．【答案】−xx y ，2【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将x 和y 的值代入即可求出答案．【详解】解：222222x y x xy y x yx y x y x y ⎛⎫−−+−−÷ ⎪+−+⎝⎭ ()()()22x y x y x y x y x y x y x y ⎡⎤−−+=−⋅⎢⎥++−−⎢⎥⎣⎦2x y x y x y x y x y x y ⎛⎫−−+=−⋅⎪++−⎝⎭x x y x y x y +=⋅+−x x y =−1122x −⎛⎫== ⎪⎝⎭，0(2023)1y =−=∴原式2221x x y ===−−．故答案为：−xx y ，2．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．【答案】11x −+，【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将1x 代入计算即可解答．【详解】解：22111x x x x x +−⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭ 22111x x x x x +−⎛⎫=−⋅ ⎪−⎝⎭()()()()1111x x x x xx x −+−=⋅+−11xx x ⎛⎫=−⋅⎪+⎝⎭ 11x =−+．当1x 时，原式==． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．【答案】1m m +，原式=【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出1m ，最后代值计算即可．【详解】解：2222111m m m m m −+⎛⎫−÷ ⎪+−⎝⎭()()211121m m m m m −+−=÷−+()()21111m m m m m −=+−−⋅1m m =+，∵tan6011m =︒−=，∴原式==． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．【答案】(1)A 型充电桩的单价为0.9万元，B 型充电桩的单价为1.2万元(2)共有三种方案：方案一：购买14个，购买B 型充电桩11个；方案二：购买A 型充电桩15个，购买B 型充电桩10个；方案三：购买A 型充电桩16个，购买B 型充电桩9个；方案三总费用最少． 【分析】（1）根据“用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解【详解】（1）解：设B 型充电桩的单价为x 万元，则A 型充电桩的单价为()0.3x −万元，由题意可得：15200.3x x =−,解得 1.2x =，经检验： 1.2x =是原分式方程的解，0.30.9x −=，答：A 型充电桩的单价为0.9万元，B 型充电桩的单价为1.2万元；（2）解：设购买A 型充电桩a 个，则购买B 型充电桩()25a −个，由题意可得：()0.9 1.225261252a a a a ⎧+−≤⎪⎨−≥⎪⎩，解得405033a ≤≤， ∵a 须为非负整数， ∴a 可取14，15，16， ∴共有三种方案：方案一：购买A 型充电桩14个，购买B 型充电桩11个，购买费用为0.914 1.21125.8⨯+⨯=（万元）； 方案二：购买A 型充电桩15个，购买B 型充电桩10个，购买费用为0.915 1.21025.5⨯+⨯=（万元）； 方案三：购买A 型充电桩16个，购买B 型充电桩9个，购买费用为0.916 1.2925.2⨯+⨯=（万元）， ∵25.225.525.8<< ∴方案三总费用最少．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．。
2019年全国中考数学试卷分类汇编：分式与分式方程【含解析】(可编辑修改word版)
⎩ 分式与分式方程一、选择题1. （2018•四川巴中，第 4 题 3 分）要使式子有意义，则 m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ． m ≥﹣1C ． m ＞﹣1 且 m ≠1D ． m ≥﹣1 且 m ≠1考点：二次根式及分式的意义．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 解答：根据题意得：，解得：m ≥﹣1 且 m ≠1．故选 D ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．2. （2018•ft东潍坊，第 5 题 3 分）若代数式2有意义，则实数 x 的取值范围是()A .x ≥一 1B ．x ≥一 1 且 x ≠3C ．x >－lD ．x >－1 且 x ≠3考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．⎧x + 1 ≥ 0解答：根据题意得： ⎨x - 3 ≠ 0解得 x≥－1 且 x≠3．故选 B ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 3.（2018 ft 东济南，第 7 题，3 分）化简m -1 ÷ m m -1m2 的结果是 A ． mm -1【解析】 ÷ m -1 = 1B ．m m -1 ⨯ m 2C ． m -1= m ，故选 A ．1D ．m -1m m 2 m m -14. （2018•浙江杭州，第 7 题，3 分）若（ +）•w =1，则 w =（ ）A ．a +2（a ≠﹣2）B ．﹣a +2（a ≠2）C ．a ﹣2（a ≠2）D ．﹣a ﹣2（a ≠﹣2）考 分式的混合运算点： 专 计算题． 题：分 原式变形后，计算即可确定出 W ．析： 解答：解：根据题意得：W = = =﹣（a +2）=﹣a ﹣2．故选：D ．点 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 评： 5. （2018•ft 东淄博,第 2 题 4 分）方程﹣=0 解是（ ）A.x= B ．x= C ．x= D ． x=﹣1x + 1考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x+3﹣7x=0，解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．故选 B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式6.（2018•ft东临沂,第6题3分）当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：分式的化简求值．分析：通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．解答：解：原式= ÷= •= ，当a=2 时，原式==﹣．故选 D．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．7.（2018•ft东临沂,第8 题3 分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单陶笛与用4500 购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程分析：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，根据用 2700 元购买 A 型陶笛与用 4500 购买 B 型陶笛的数量相同，列方程即可．解答：解：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，由题意得，=．故选 D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8.（2018•四川凉ft州，第8题，4分）分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3D．任意实数考点：分式的值为零的条件分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答：解：依题意，得|x|﹣3=0且x+3≠0，解得，x=3．故选：A．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．（2018•福建福州,第8题4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是【】A．600 =450 B．600 =450 C．600 =450 D．600 =450x + 50 x x - 50 x x x + 50 x x -502．（ 20，结果是（）．（A）（B）（C）（D）【考点】分式、因式分解【分析】【答案】B二、填空题1.（2018•上海，第8题4分）函数y=的定义域是x≠1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于 0 列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2.（2018•四川巴中，第 12 题 3 分）若分式方程﹣=2 有增根，则这个增根是．考点：分式方程的增根．分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，求出 x 的值，代入整式方程即可求出m 的值．解答：根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，即 x=1，则方程的增根为 x=1．故答案为：x=1点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3.（2018•ft东烟台，第14 题3 分）在函数中，自变量 x 的取值范围是．考点：二次根式及分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0 且x+2≠0，解得：x≤1 且x≠﹣2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．4．（2018•湖南怀化，第12题，3分）分式方程=的解为x=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，移项合并得：4x=4，解得：x=1，经检验 x=1 是分式方程的解．故答案为：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5.（2018ft东济南，第19题，3分）若代数式1和x - 232x +1的值相等，则x =．【解析】解方程 1 =x - 232x +1，的x = 7 ，应填 7．6.（2018•遵义13．（4分））计算：+的结果是﹣1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式= ﹣==﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．.7.(2018•年ft东东营,第15题4分)如果实数x，y满足方程组，那么代数式（+2）÷的值为 1 ．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= •（x+y）=xy+2x+2y，方程组，解得：，当 x=3，y=﹣1 时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.（2018•江苏盐城,第13题3分）化简：﹣=1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式==1．故答案为：1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.（2018•四川宜宾，第10题，3分）分式方程﹣=1的解是x=﹣1.5．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，整理得：x2+2x﹣1=x2﹣4，移项合并得：2x=﹣3解得：x=﹣1.5，经检验x=﹣1.5是分式方程的解．故答案为：x=﹣1.5点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．（2018•四川南充，第11题，3分）分式方程=0的解是．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3 经检验 x=﹣3 是分式方程的解．故答案为：x=﹣3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11.（2018•四川凉ft州，第25题，5分）关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是a＞﹣1．考点：分式方程的解分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．解答：解：=﹣1，解得 x=，=﹣1 的解是正数，a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．点评：本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出 a 的取值范围．12．（2018•四川内江，第22题，6分）已知+=3，则代数式的值为﹣．考点：分式的化简求值分析：根据+ =3，得出 a+2b=6ab，再把 ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出答案．解答：解：∵+=3，∴a+2b=6a b，∴a b=（a+2b），把 ab 代入原式====﹣，故答案为﹣．点评：本题考查了分式的化简求值，要注意把 ab 看作整体，整体代入才可以．13．（2018•甘肃白银、临夏,第12题4分）化简：=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解答：解：+= ﹣==x+2．故答案为：x+2．点评：本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．14．（2018•广州,第 13 题 3 分）代数式有意义时，应满足的条件为．【考点】分式成立的意义，绝对值的考察【分析】由题意知分母不能为0，即，则【答案】三、解答题1.（2018•上海，第20题10分）解方程：﹣=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即 x（x+1）=0，解得：x=0 或 x=﹣1，经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的解为 x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2.（2018•四川巴中，第23题5分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．考点：分式的化简，一元二次的解法，分式的意义．分析：通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．解答：原式= ÷= ÷= •=﹣，解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当 x=1 时，原式无意义；当 x=3 时，原式=﹣=﹣．点评：本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式的值有意义．3.（2018•ft东威海，第21题9分）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲粽子比乙种粽子少用100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？考点：分式方程的应用分析：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，根据甲粽子比乙种粽子少用 100 元，可得甲粽子用了 300 元，乙粽子 400 元，根据共购 进甲、乙两种粽子 260 个，列方程求解．解答：解：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元， 由题意得，+=260，解得：x =2.5，经检验：x =2.5 是原分式方程的解， （1+20%）x=3， 则买甲粽子为：=100 个，乙粽子为：=160 个．答：乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两种粽子各购买 100 个、160个． 点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程求解．4. （2018•ft 东枣庄，第 19 题 4 分）（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．考点： 分式的混合运算 专题： 计算题． 分析： （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= •（x ﹣1）=• （x ﹣1）=﹣ ．点评：此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．5. （2018•ft 东烟台，第 19 题 6 分）先化简，再求值：÷（x ﹣），其中 x 为数据 0，﹣1，﹣3，1，2的极差．考点：分式的化简，极差．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果， 求出数据的极差确定出 x ，代入计算即可求出值．解答：原式=÷=•=，当 x=2﹣（﹣3）=5 时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. （2018•ft东烟台，第 23 题 8 分）ft 地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%．（1） 今年 A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2） 该车计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：考点：分式方程 的应用，一次函数的 应用.分析： （1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；A 型车B 型车 进货价格（元） 1100 1400销售价格（元） 今年的销售价格 2000（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值．解答：（1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得，解得：x=1600．经检验，x=1600 是元方程的根．答：今年 A 型车每辆售价 1600 元；（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．∵B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40 辆．∴当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．7.（2018•湖南张家界，第18题，6分）先化简，再求值：（1﹣）+，其中a=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •= ，当 a= 时，原式= =1+ ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018•湖南张家界，第22题，8分）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获补贴 500 元．若同样用 11 万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多 20%，可建立方程，解出即可．解答：解：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，由题意，得：×（1+20%）=，解得：x=3000．经检验得：x=3000 是原方程的根．答：该款空调补贴前的售价为每台 3000 元．点评：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9. （2018•江西抚州，第 16 题，5 分）先化简： x - 3x - 4 x -1 ÷ x - 2x -1 ，再任选一个你喜欢的数 x 代入求值. ⎛ x 2 - x 3x - 4 ⎫ x -1 x 2 - 4x + 4 x -1 ( x - 2)2解析：原式= - x -1 x -1 ⎪x - 2 = x -1 ⋅ = x - 2 x - 2 = x - 2取 x = 10 ⎝ ⎭代入，原式=8 (注： x 不能取 1 和 2）10．（2018•ft 东聊城，第 18 题，7 分）解分式方程：+=﹣1．考点：解分式方程．分析：解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答：解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x 2，去括号得：﹣x 2﹣4x ﹣4+16=4﹣x 2， 解得：x=2，经检验 x=2 是增根，分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 11. (2019 年贵州黔东南 18．（8 分）)先化简，再求值：÷﹣，其中 x =﹣4．考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式= • ﹣=﹣=，当 x=﹣4 时，原式==．点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.（2018•十堰 17．（6 分）） 化简：（x 2﹣2x ）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 解答：解：原式=x （x ﹣2）•=x ．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13.（2018•十堰 19．（6 分）） 甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要 40 分钟完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需再单独整理 30 分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？考点：分式方程的应用．分析：将总的工作量看作单位 1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可． 解答：解：设乙单独整理 x 分钟完工，根据题意得：+=1，（解得 x=100，经检验 x=100 是原分式方程的解．答：乙单独整理 100 分钟完工．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．14.（2018•娄底21．（8分））先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •=，不等式 2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为 1，2，3，4，当 x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.（2018•娄底24．（8分））娄底到长沙的距离约为180k m，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，由题意得﹣=1解得 x=60，则1.5x=90，答：大货车速度为60k m/h，则小轿车的速度为90k m/h．（2）180﹣60×1=120k m答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．16.(2019年湖北咸宁17．（8分）)（1）计算：（﹣2）2+4×2﹣1﹣|﹣8|；（2）化简：﹣．考点：实数的运算；分式的加减法；负整数指数幂．分析：（1）本题涉及负整指数幂、乘方、绝对值化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据分式的性质，可化成同分母的分式，根据分式的加减，可得答案．1 2 ( )解答： 解：（1）原式=4+2﹣8=﹣2；（2）原式= ．点评： 本题考查了实数的运算，本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类 题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 17. ( ( 2019 年河南) 16.8 分）先化简，再求值：x 2 -1 ÷⎛ x 2 +1 ⎫ x 2 - x 2 + ，其中 x= －1 x ⎝ ⎭ (x +1)(x -1) 解：原式= x x -1 x +1 x ÷ 2x + x 2 +1 x …………………4 分 = x 1= x +1 (x +1)2…………………………………………………………………6 分当 x= －1 时，原式= 2 = = ................................................ 8 分 218.（2018•江苏苏州,第 21 题 5 分）先化简，再求值： ，其中． 考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可． 解答： 解：=÷（ + ） =÷ =× =， 把 ，代入原式= = = = ．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．19．（2018•江苏苏州,第 22 题 6 分）解分式方程：+=3．考点：解分式方程 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x ﹣2=3x ﹣3，2 2 1 2 -1+1 ⎪解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.（2018•ft东淄博,第18题5分）计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式约分即可得到结果．解答：解：原式= •= ．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.（2018•江苏徐州,第24题8分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．考点：分式方程的应用．分析：设票价为 x 元，根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为：，根据小伙伴的人数不变，列方程求解．解答：解：设票价为 x 元，由题意得，= +2，解得：x=60，则小伙伴的人数为：=8．答：小伙伴们的人数为8 人．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.（2018•江苏盐城,第19题4分）（2）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（2）去分母得：3x+3=2x﹣2，解得：x=﹣5，经检验 x=﹣5 是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程．23.(2018•年ft东东营,第23题8分)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在 40 天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2 倍，若甲、乙两工程队合作只需 10 天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．考点：一次函数的应用；分式方程的应用．分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天，由题意得=解得：x=15，经检验，x=15 是原分式方程的解，2x=30答：甲工程队单独完成此项工程需 15 天，乙工程队单独完成此项工程需 30 天．（2）方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15=67.5万元；方案二：由乙工程队单独完成需要2.5×30=75万元；方案三：由甲乙两队合作完成4.5×10+2.5×10=70万元．所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24.（2018•江苏徐州,第19题5分）（2）计算：（a+）÷（1+）．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= ÷= •=a﹣1．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．25.（2018•四川遂宁，第18题，7分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= •= •= ，当x= ﹣1 时，原式= ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（2018•四川宜宾，第 17 题，10 分）（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）0+（）﹣1（2）化简：（﹣）•．考点：实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）分别根据0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式= •= •= •=2a+12．点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．27．（2018•四川凉ft州，第19 题，6 分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中 a2+3a﹣1=0．考点：分式的化简求值分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷•=，当 a2+3a﹣1=0，即 a2+3a=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2018•四川泸州，第18题，6分）计算（﹣）÷．考点：分式的混合运算．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．解答：解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），。
最新中考数学 真题精选 专题试卷 07 分式与分式方程+(含答案解析)
分式与分式方程一、选择题1. （•广西贺州,第2题3分）分式有意义,则x地取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1考点：分式有意义地条件．分析：根据分式有意义地条件：分母不等于0,即可求解．解答：根据题意得：x﹣1≠0,解得：x≠1．故选A．点评：本题主要考查了分式有意义地条件,正确理解条件是解题地关键．2. （•广西贺州,第12题3分）张华在一次数学活动中,利用“在面积一定地矩形中,正方形地周长最短”地结论,推导出“式子x+（x＞0）地最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1地矩形中设矩形地一边长为x,则另一边长是,矩形地周长是2（x+）；当矩形成为正方形时,就有x=（0＞0）,解得x=1,这时矩形地周长2（x+）=4最小,因此x+（x＞0）地最小值是2．模仿张华地推导,你求得式子（x＞0）地最小值是（）A．2 B．1 C．6 D．10考点：分式地混合运算；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意求出所求式子地最小值即可．解答：解：得到x＞0,得到=x+≥2=6,则原式地最小值为6．故选C点评：此题考查了分式地混合运算,弄清题意是解本题地关键．3．（•温州,第4题4分）要使分式有意义,则x地取值应满足（）A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义地条件．分析：根据分式有意义,分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得,x﹣2≠0,解得x≠2．故选A．点评：本题考查了分式有意义地条件,从以下三个方面透彻理解分式地概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4.（•毕节地区,第10题3分）若分式地值为零,则x地值为（）A．0B．1C．﹣1 D．±1考点：分式地值为零地条件．专题：计算题．分析：分式地值是0地条件是：分子为0,分母不为0,由此条件解出x．解答：解：由x2﹣1=0,得x=±1．当x=1时,x﹣1=0,故x=1不合题意；当x=﹣1时,x﹣1=﹣2≠0,所以x=﹣1时分式地值为0．故选C．点评：分式是0地条件中特别需要注意地是分母不能是0,这是经常考查地知识点．5.（•孝感,第6题3分）分式方程地解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：解：去分母得：3x=2,解得：x =,经检验x =是分式方程地解．故选B点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．（·浙江金华,第5题4分）在式子11,,x2,x3 x2x3----中,x可以取2和3地是【】A．1x2-B．1x3-C．x2- D．x3-【答案】C．【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0地条件,在式子11,x2x3--,7. （•湘潭,第4题,3分）分式方程地解为（）A．1B．2C．3D．4考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：解：去分母得：5x =3x +6,移项合并得：2x=6,解得：x=3,经检验x=3是分式方程地解．故选C．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．A．•=B．=a3C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6考点：分式地混合运算；同底数幂地除法；二次根式地混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算地法则、分式混合运算地法则、同底幂地除法法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3•=3,故本选项错误；B、原式=|a|3,故本选项错误；C、原式=÷=•=,故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6,故本选项错误．故选C．点评：本题考查地是分式地混合运算,熟知分式混合运算地法则是解答此题地关键9.（•德州,第11题3分）分式方程﹣1=地解是（）A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3,去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3,解得：x=1,经检验x=1是增根,分式方程无解．故选D．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二.填空题1. （•安徽省,第13题5分）方程=3地解是x= ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析： 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x 地值,经检验即可得到分式方程地解．解答： 解：去分母得：4x ﹣12=3x ﹣6,解得：x =6,经检验x =6是分式方程地解．故答案为：6．点评： 此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2. （ •福建泉州,第10题4分）计算：+= ． 考点： 分式地加减法分析： 根据同分母分式相加,分母不变分子相加,可得答案．解答： 解：原式==1,故答案为：1．点评： 本题考查了分式地加减,同分母分式相加,分母不变分子相加．3.（·云南昆明,第13题3分）要使分式101-x 有意义,则x 地取值范围是 . 考点：分式有意义地条件． 分析：根据分式有意义地条件可以求出x 地取值范围．解答： 解：由分式有意义地条件得：010≠-x10≠x故填10≠x．点评：本题考查了分式有意义地条件：分母不为0.4．（·浙江金华,第12题4分）分式方程12x 1=-地解是 ． 【答案】x 2=.【解析】5．（•浙江宁波,第14题4分）方程=地根x = ．考点：解分式方程专计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：解：去分母得：x=﹣1,经检验x=﹣1是分式方程地解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6. （•益阳,第10题,4分）分式方程=地解为x=﹣9 ．考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9,解得：x=﹣9,经检验x=﹣9是分式方程地解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7. （•泰州,第14题,3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0,b≠0）,则代数式+地值等于．考分式地化简求值．分析：将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab,原式化为=,约分即可．解答：解：∵a2+3ab+b2=0,∴a2+b2=﹣3ab,∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了分式地化简求值,通分后整体代入是解题地关键．8．（年山东泰安,第21题4分）化简（1+）÷地结果为．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式地加法法则计算,同时利用除法法则变形约分即可得到结果．解答：原式=•=•=x﹣1．故答案为：x﹣1点评：此题考查了分式地混合运算,熟练掌握运算法则是解本题地关键．三.解答题1. （•广东,第18题6分）先化简,再求值：（+）•（x2﹣1）,其中x=．考点：分式地化简求值．分析：先根据分式混合运算地法则把原式进行化简,再把x地值代入进行计算即可．解答：解：原式=•（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1,当x=时,原式=．点评：本题考查地是分式地化简求值,熟知分式混合运算地法则是解答此题地关键．2. （•广东,第21题7分）某商场销售地一款空调机每台地标价是1635元,在一次促销活动中,按标价地八折销售,仍可盈利9%．（1）求这款空调每台地进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元？考点：分式方程地应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏地等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台地销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台地进价为x元,根据题意得：=9%,解得：x=1200,经检验：x=1200是原方程地解．答：这款空调每台地进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台地盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程地应用,解题地关键是了解利润率地求法．3. （•珠海,第13题6分）化简：（a2+3a）÷．考点：分式地混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项约分后,去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．4. （•广西贺州,第19题（2）4分）（2）先化简,再求值：（a2b+ab）÷,其中a=+1,b=﹣1．考点：分式地化简求值.专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形,约分得到最简结果,将a与b地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=ab（a+1）•=ab,当a=+1,b=﹣1时,原式=3﹣1=2．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．[来源:Z&xx&]5. （•广西贺州,第23题7分）马小虎地家距离学校1800米,一天马小虎从家去上学,出发10分钟后,爸爸发现他地数学课本忘记拿了,立即带上课本去追他,在距离学校200米地地方追上了他,已知爸爸地速度是马小虎速度地2倍,求马小虎地速度．考点：分式方程地应用．分析：设马小虎地速度为x米/分,则爸爸地速度是2x米/分,依据等量关系：马小虎走600米地时间=爸爸走1600米地时间+10分钟．解答：解：设马小虎地速度为x米/分,则爸爸地速度是2x米/分,依题意得=+10,解得x=80．经检验,x=80是原方程地根．答：马小虎地速度是80米/分．点评：本题考查了分式方程地应用．分析题意,找到合适地等量关系是解决问题地关键．6. （•广西玉林市、防城港市,第20题6分）先化简,再求值：﹣,其中x=﹣1．考点：分式地化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式地减法法则计算,约分得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==, 当x=﹣1时,原式==．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．7．(年四川资阳,第17题7分)先化简,再求值：（a+）÷（a﹣2+）,其中,a满足a ﹣2=0．考点：分式地化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式地加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将a地值代入计算即可求出值．解答：原式=÷=•=,当a﹣2=0,即a=2时,原式=3．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．8．（•新疆,第17题8分）解分式方程：+=1．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程地一般步骤,可得分式方程地解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3）,得[来源:学|科|网Z|X|X|K] 3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0,∴x=﹣4是原分式方程地解．点评：本题考查了解分式方程,先求出整式方程地解,检验后判定分式方程解地情况．9．（年云南省,第15题5分）化简求值：•（）,其中x=．考点：分式地化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式地减法法则计算,约分得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=x+1,当x=时,原式=．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．10．（年云南省,第20题6分）“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花地盒数是第一批所购花盒数地2倍,且每盒花地进价比第一批地进价少5元．求第一批盒装花每盒地进价是多少元？考点：分式方程地应用．分析：设第一批盒装花地进价是x元/盒,则第一批进地数量是：,第二批进地数量是：,再根据等量关系：第二批进地数量=第一批进地数量×2可得方程．解答：设第一批盒装花地进价是x元/盒,则2×=,[来源:Z xx ]解得x=30经检验,x=30是原方程地根．答：第一批盒装花每盒地进价是30元．点评：本题考查了分式方程地应用．注意,分式方程需要验根,这是易错地地方．11．（•舟山,第18题6分）解方程：=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1,去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1,解得：x=﹣3,经检验x=﹣3是分式方程地解．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．12.（年广东汕尾,第23题11分）某校为美化校园,计划对面积为1800m2地区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化地面积是乙队每天能完成绿化地面积地2倍,并且在独立完成面积为400m2区域地绿化时,甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化地面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队地绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次地绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化地面积是xm2,根据在独立完成面积为400m2区域地绿化时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天,根据这次地绿化总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可．解答：（1）设乙工程队每天能完成绿化地面积是xm2,根据题意得：﹣=4,解得：x=50经检验x=50是原方程地解,则甲工程队每天能完成绿化地面积是50×2=100（m2）,答：甲、乙两工程队每天能完成绿化地面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天,根据题意得：0.4x+×0.25≤8,解得：x≥10,答：至少应安排甲队工作10天．点评：此题考查了分式方程地应用,关键是分析题意,找到合适地数量关系列出方程和不等式,解分式方程时要注意检验．13.（•毕节地区,第22题8分）先化简,再求值：（﹣）÷,其中a2+a﹣2=0．考分式地化简求值；解一元二次方程－因式分解法14.（•武汉,第17题6分）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程地解得到x地值,经检验即可得到分式方程地解．解答：去分母得：2x=3x﹣6,解得：x=6,经检验x=6是分式方程地解．点评：此题考查了解分式方程,解分式方程地基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.（•襄阳,第13题3分）计算：÷= ．考分式地乘除法点：专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形,约分即可得到结果．解答：原式=•=．故答案为：点评：此题考查了分式地乘除法,熟练掌握运算法则是解本题地关键．与一列特快列车分别从A,B两站同时出发相向而行,动车地平均速度比特快列车快54km/h,当动车到达B站时,特快列车恰好到达距离A站135km处地C站．求动车和特快列车地平均速度各是多少？考点：分式方程地应用专题：应用题．分析：设特快列车地平均速度为x km/h,则动车地速度为（x+54）km/h,等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用地时间相同,列方程求解．解设特快列车地平均速度为x km/h,则动车地速度为（x+54）km/h,答：由题意,得：=,解得：x=90,经检验得：x=90是这个分式方程地解．x+54=144．答：设特快列车地平均速度为90km/h,则动车地速度为144km/h．点评：本题考查了分式方程地应用,解答本题地关键是仔细审题,得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用地时间相同．17.（•邵阳,第20题8分）先化简,再求值：（﹣）•（x﹣1）,其中x=2．点此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．评：员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅地工作时间不能超过30分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟？考点：分式方程地应用；一元一次不等式地应用专题：应用题．分析：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟,则王师傅地工作效率为,根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟地工作量+王师傅再单独整理了20分钟地工作量=1,可得方程,解出即可；（2）根据王师傅地工作时间不能超过30分钟,列出不等式求解．解答：解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟,则王师傅地工作效率为, 由题意,得：20（+）+20×=1,解得：x=80,经检验得：x=80是原方程地根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）设李老师要工作y分钟,由题意,得：（1﹣）÷≤30,解得：y≥25．答：李老师至少要工作25分钟．点评： 本题考查了分式方程地应用及一元一次不等式地应用,解答本题地关键是仔细审题,找到不等关系及等量关系．19.（·云南昆明,第17题5分）先化简,再求值：1)11(22-⋅+a a a ,其中3=a . 考点： 分式地化简求值.分析： 根据分式地加法、乘法、分解因式等运算,求出结果代入求出即可．解答： 原式=1122-⋅+a a a a =)1)(1(12-+⋅+a a a a a =1-a a 当3=a 时,原式=23133=-． 点评： 本题考查了分式地化简求值地应用,主要考查学生地化简能力.20. （•湘潭,第18题）先化简,在求值：（+）÷,其中x =2．考点：分式地化简求值． 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式地加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果．解答： 解：原式=[+]•=•=,当x=2时,原式==．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．21. （•益阳,第16题,8分）先化简,再求值：（+2）（x ﹣2）+（x﹣1）2,其中x=．考点：分式地化简求值．分析：原式第一项利用乘法分配律计算,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2, 当x=时,原式=3﹣2=1．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．22. （•株洲,第18题,4分）先化简,再求值：•﹣3（x﹣1）,其中x=2．考点：分式地化简求值．分析：原式第一项约分,去括号合并得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•﹣3x+3=2x+2﹣3x+3=5﹣x,当x=2时,原式=5﹣2=3．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．23. （年江苏南京,第18题）先化简,再求值：﹣,其中a=1．考点：分式地化简求值分析：原式通分并利用同分母分式地减法法则计算,约分得到最简结果,将a地值代入计算即可求出值．解答：原式=﹣==﹣,当a=1时,原式=﹣．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．24.（•泰州,第18题,8分）先化简,再求值：（1﹣）÷﹣,其中x满足x2﹣x﹣1=0．考点：分式地化简求值．分析：原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式地减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分后,两项通分并利用同分母分式地减法法则计算得到最简结果,已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式=•﹣=•﹣=x ﹣=, ∵x2﹣x﹣1=0,∴x2=x+1,则原式=1．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．25. （•扬州,第19题,8分）（1）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2﹣2sin30°；（2）化简：﹣÷．考点：实数地运算；分式地混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角地三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂法则计算,最后一项利用特殊角地三角函数值计算即可得到结果；（2）原式第二项利用除法法则变形,约分后两项利用同分母分式地减法法则计算即可得到结果．解答：解：（1）原式=1+4﹣1=4；（2）原式=﹣•=﹣=．点评：此题考查了实数地运算,以及分式地混合运算,熟练掌握运算法则是解本题地关键．26. （•扬州,第24题,10分）某漆器厂接到制作480件漆器地订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天制作地件数比原来每天多50%,结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？考点：分式方程地应用．分析：设原来每天制作x件,根据原来用地时间﹣现在用地时间=10,列出方程,求出x地值,再进行检验即可．解答：解：设原来每天制作x件,根据题意得：﹣=10,解得：x=16,经检验x=16是原方程地解,答：原来每天制作16件．点评：此题考查了分式方程地应用,分析题意,找到合适地等量关系是解决问题地关键,本题地等量关系是原来用地时间﹣现在用地时间=10．27. （•扬州,第26题,10分）对x,y定义一种新运算T,规定：T（x,y）=（其中a、b均为非零常数）,这里等式右边是通常地四则运算,例如：T（0,1）==b．（1）已知T（1,﹣1）=﹣2,T（4,2）=1．①求a,b地值；②若关于m 地不等式组恰好有3个整数解,求实数p地取值范围；（2）若T（x,y）=T（y,x）对任意实数x,y都成立（这里T（x,y）和T（y,x）均有意义）,则a,b应满足怎样地关系式？考点：分式地混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组地整数解分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b地值；②根据题中新定义化简已知不等式,根据不等式组恰好有3个整数解,求出p地范围即可；（2）由T（x,y）=T（y,x）列出关系式,整理后即可确定出a与b地关系式．解解：（1）①根据题意得：T（1,﹣1）==﹣2,即a﹣b=﹣2；答：T=（4,2）==1,即2a+b=5,解得：a=1,b=3；②根据题意得：,由①得：m≥﹣；由②得：m ＜,∴不等式组地解集为﹣≤m ＜,∵不等式组恰好有3个整数解,即m=0,1,2,∴2≤＜3,解得：﹣2≤p ＜﹣；（2）由T（x,y）=T（y,x）,得到=,整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0,∵T（x,y）=T（y,x）对任意实数x,y都成立,∴2b﹣a=0,即a=2b．点评：此题考查了分式地混合运算,解二元一次方程组,以及一元一次不等式组地整数解,弄清题中地新定义是解本题地关键．28. （•株洲,第18题,4分）先化简,再求值：•﹣3（x﹣1）,其中x=2．考点：分式地化简求值．分析：原式第一项约分,去括号合并得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•﹣3x+3=2x+2﹣3x+3=5﹣x,当x=2时,原式=5﹣2=3．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．29.（•益阳,第16题,8分）先化简,再求值：（+2）（x﹣2）+（x﹣1）2,其中x =．考点：分式地化简求值．分析：原式第一项利用乘法分配律计算,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并得到最简结果,将x地值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2, 当x =时,原式=3﹣2=1．点评：此题考查了分式地化简求值,熟练掌握运算法则是解本题地关键．30.（•呼和浩特,第17题5分）计算（2）解方程：﹣=0．考点：解分式方程．分析：（2）先去分母,化为整式方程求解即可．解答：解：（2）去分母,得3x2﹣6x﹣x2﹣2x=0,解得x1=0,x2=4,经检验：x=0是增根,故x=4是原方程地解．点评：本题考查了解分式方程,是基础知识要熟练掌握．31.（•滨州,第20题7分）计算：•．考点：分式地乘除法分析：把式子中地代数式进行因式分解,再约分求解．解答：解：•=•=x点评：本题主要考查分式地乘除法,解题地关键是进行因式分解再约分．32.（•德州,第18题6分）先化简,再求值：÷﹣1．其中a=2sin60°﹣tan45°,b=1．考点：分式地化简求值；特殊角地三角函数值分析：先根据分式混合运算地法则把原式进行化简,再求出a地值,把a、b地值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷﹣1=•﹣1=﹣1=,当a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1,b=1时,原式===．点评：本题考查了分式地化简求值和特殊角地三角函数值,要熟记特殊角地三角函数值．33.（•菏泽,第16题6分）（2）已知x2﹣4x+1=0,求﹣地值．原式=点评：本题考查了分式地化简,学会用整体思想解答有关问题是我们学习地关键．34.（•济宁,第16题6分）已知x+y=xy,求代数式+﹣（1﹣x）（1﹣y ）地值．考点：分式地化简求值．分析：首先将所求代数式展开化简,然后整体代入即可求值．解答：解：∵x+y=xy,∴+﹣（1﹣x）（1﹣y）=﹣（1﹣x﹣y+xy）=﹣1+x+y﹣xy=1﹣1+0=0点评：此题考查了代数式求值,利用了整体代入地思想,是一道基本题型35.（•济宁,第19题8分）济宁市“五城同创”活动中,一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天,甲工程队单独工作30天后,乙工程队参与合做,两队又共同工作了36天完成．（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期地需要,将此项工程分成两部分,甲做其中一部分用了x天完成,乙做另一部分用了y天完成,其中x、y均为正整数,且x＜46,y＜52,求甲、乙两队各做了多少天？考点：分式方程地应用；一元一次不等式组地应用．分析：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天,由题意列出分式方程,求出x地值即可；（2）首先根据题意列出x和y地关系式,进而求出x地取值范围,结合x和y都是正整数,即可求出x和y地值．解答：解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天,由题意得+36（）=1,解之得x=80,经检验x=80是原方程地解．答：乙工程队单独做需要80天完成；（2）因为甲队做其中一部分用了x天,乙队做另一部分用了y天,所以=1,即y=80﹣x,又x＜46,y＜52,所以,解之得42＜x＜46,因为x、y均为正整数,所以x=45,y=50,答：甲队做了45天,乙队做了50天．点评：本题考查分式方程地应用,分析题意,找到合适地等量关系是解决问题地关键．此题涉及地公式：工作总量=工作效率×工作时间．。
2017年全国中考真题分类汇编 7.分式与分式方程
分式与分式方程考点一、分式 （8~10分）1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcadc d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣3.（2017·广西百色·3分）A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（）A．﹣＝30 B．﹣＝C．﹣＝D．＋＝304.（2017·广西桂林·3分）当x＝6，y＝3时，代数式（）•的值是（）A．2 B．3 C．6 D．95. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣27.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解10. （2017·湖北武汉·3分）若代数式在31x实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝312.（2017·四川攀枝花）化简＋的结果是（）13．（2017·四川内江）甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( ) A ．1102x +＝100x B ．1100x ＝1002x + C ．1102x -＝100xD ．1100x ＝1002x - 14．（2017·四川内江）在函数y 3x -x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠415．（2017·四川南充）某次列车平均提速20km /h ，用相同的时间，列车提速行驶400km ，提速后比提速前多行驶100km ，设提速前列车的平均速度为xkm /h ，下列方程正确的是（ ）A ． ＝B ． ＝C ． ＝D ． ＝16. （2017·黑龙江龙东·3分）关于x 的分式方程＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是（ ）A ．m ＞3B ．m ＞﹣3C ．m ＞﹣3D ．m ＜﹣317．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x 的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，318．（2017·湖北荆门·3分）化简的结果是（ ）A ．B ．C ．x ＋1D ．x ﹣119.（2017·内蒙古包头·3分）化简（）•ab ，其结果是（ ）A ．B ．C ．D ．20. （2017·山东潍坊·3分）计算：20•2﹣3＝（ ）A ．﹣B ．C ．0D ．821. （2017·山东潍坊·3分）若关于x 的方程＋＝3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣ 22. （2017·四川眉山·3分）已知x 2﹣3x ﹣4＝0，则代数式的值是（ ）A ．3B ．2C ．D ． 二、填空题1.（2017·山东省济宁市·3分）已知A ，B 两地相距160km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h 到达，这辆汽车原来的速度是 km /h ．2. （云南省昆明市·3分）计算：﹣＝ ．3. （2017·浙江省湖州市·4分）方程＝1的根是x ＝ ．4.（2017·贵州安顺·4分）在函数中，自变量x 的取值范围是 ．5．（2017贵州毕节5分）若a 2＋5ab ﹣b 2＝0，则的值为 ．6．（2017·四川南充）计算： ＝ ．7．（2017·四川攀枝花）已知关于x 的分式方程＋＝1的解为负数，则k 的取值范围是 ．8．（2017·四川泸州）分式方程﹣＝0的根是 ．9．（2017·四川内江）化简：(23a a -＋9)÷3a +＝______． 10. （2017·湖北荆州·3分）当a ＝﹣1时，代数式的值是 ．三、 解答题1. （2017·湖北随州·6分）先化简，再求值：（﹣x ＋1）÷，其中x ＝﹣2．2. （2017·湖北随州·6分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．3. （2017·吉林·5分）解方程：＝．4. （2017·江西·6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中x＝6．5. （2017·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？6.（2017·四川泸州）化简：（a＋1﹣）•．7．（2017·四川宜宾）2017年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？8.（2017·四川宜宾）化简：÷（1﹣）9.（2017·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝4﹣tan45°．10．（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．11．（2017·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷•，其中a＝2017．12．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．13.（2017·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．14. （2017·陕西）化简：（x﹣5＋）÷．15. （2017·四川眉山）先化简，再求值：，其中a＝3．16. （2017·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表：17．（2017·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a ＝．18．（2017·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a ＋1－4a －5a －1）÷（1a －1a 2－a ），其中a ＝2＋3．19．（2017·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；(2)2017年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？20．（2017·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）21. （2017·重庆市A卷·5分）（＋x﹣1）÷．22. （2017·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）23. （2017·浙江省绍兴市·4分））解分式方程：＋＝4．24.（2017·福建龙岩·6分）先化简再求值：，其中x＝2＋．25.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？26.（2017·贵州安顺·10分）先化简，再求值：1211)1(+-+÷-x x x ），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入．27.（2017·黑龙江哈尔滨·7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°．28.（2017·黑龙江哈尔滨·10分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？29．（2017广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？30．（2017河南）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．答案分式与分式方程一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【考点】最简分式．【专题】计算题；分式．【分析】利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选A【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】分式的加减法．【专题】计算题；分式．【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＋＝＋＝＝，故选B【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.（2017·广西百色·3分）A 、B 两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x 千米/小时，则所列方程是（ ）A ．﹣＝30 B ．﹣＝C ．﹣＝ D ．＋＝30【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．【解答】解：设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据题意得，﹣＝．故选B ．4.（2017·广西桂林·3分）当x ＝6，y ＝3时，代数式（）•的值是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 【考点】分式的化简求值．【分析】先对所求的式子化简，然后将x ＝6，y ＝3代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（）•＝＝，当x ＝6，y ＝3时，原式＝，故选C ．5. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣＝，故选C．6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x＋2≠0，解得x≠﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．7.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间＝原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【解答】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据题意，可列方程： ＝，故选：A ．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．无解 【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：1＋x ﹣1＝0， 解得：x ＝0， 故选A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 9.(2017河北3分）下列运算结果为x －1的是（ ）A ．11x-B ．211x x x x -∙+ C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 答案：B解析：挨个算就可以了，A 项结果为—— , B 项的结果为x －1，C 项的结果为—— D 项的结果为x ＋1。
中考《分式方程》经典例题及解析
分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．经典例题解分式方程1．解方程：2211xx x+=--；【答案】x=0；【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－ 解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．2．代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____． 【答案】7【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【解析】解：根据题意得：3213x x =--，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2，解得：x ＝7， 经检验x ＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．2. 解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．经典例题 分式方程的解1．关于x 的分式方程2m x -﹣32x -＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3 【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【解析】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时，则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.1．若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________． 【答案】3． 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【解析】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=，∴2x =， 把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．2．若分式方程无解，则【答案】±1 【解析】去分母得：x-a=ax+a ，整理得：所以a-1=2a ，解得a=-1；②整式方程无解考点：分式方程的解.1．若关于x 的分式方程32x x -＝2m -A ．m ＜﹣10 B ．m ≤﹣10 【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，【解析】解：去分母得35(x m =-+由方程的解为正数，得到100m +>，且则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选【点睛】本题主要考查了分式方程的计算程的分母不可为零是做对题目的关键．2．已知关于x 的分式方程1x k k x x +-=+【答案】12k >且1k ≠． 分析：分式方程去分母得：()(x k +【解析】∵分式方程解为负数，∴-+由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠∴k 的取值考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条1．已知关于x 的分式方程21m x +-A ．3B ．4【答案】B 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，的值为 ．：（1-a ）x=2a ，由于分式方程无解，所以由两种情程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.经典例题x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6 D ．m ＞﹣10且，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出2)x -，解得102m x +=， 且2x ≠，104m +≠，故选：D ．计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m11-的解为负数，则k 的取值范围是 . )()(211121211x k x x x k k --+=-⇒=-+-+≠±12102k k ⇒. 的取值范围是12k >且1k ≠． 义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．31x =--的解为非负数，则正整数m 的所有个数为C ．5 D ．6 方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，移项、合并，解得：x=52m -， 两种情况：①分母为0，即x=-1,m ≠﹣6求出m 的范围即可．的范围，其中考虑到分式方).数为（ ） 等式，解不等式，即可解题．∵分式方程的解为非负数，∴52m -≥0且52m -≠1，解得：m≤5且m≠3， ∵m 为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．2．已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <- 【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【解析】解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43k x =+， ∵解为非正数，∴403k +≤，∴12k ≤-，故选：A ． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．经典例题1．已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解． 【解析】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14 ∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．1．若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4 【答案】D 【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值． 【解析】解：21m x x=-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-， 去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122m x m m ==+--， 若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．经典例题 分式方程的应用1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x =20B ．102x -10x =20C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】由题意可得，10x -102x =13，故选：C ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ）A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B 【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解析】设班级共有x 名学生，依据题意列【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题1．数学家斐波那契编写的《算经》中有如元钱，则第二次每人所得与第一次相同，【答案】10406x x =+ 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相【解析】解：根据题意得，1040x x =【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用2．如图，著名旅游景区B 位于大山深处增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，BC ＝100≈1.4等数据（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时结果提前50天完成了施工任务．求施工队【答案】（1）从A 地到景区B 旅游可以少【解析】解：（1）过点C 作AB 的垂线在直角△BCD 中，AB ⊥CD ，sin30°＝CD ∴CD ＝BC•sin30°＝100×＝50（千米）在直角△ACD 中，AD ＝CD ＝50（千米∴AB ＝50+50（千米），∴AC+BC ﹣AB ＝50+100﹣（50+50答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米（2）设施工队原计划每天修建x 千米，解得x ＝0.14，经检验x ＝0.14是原分式方题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+故选：B ． 读懂题意找到等量关系是解题的关键．中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为一次相同，”列分式方程即可得到结论． 06+，故答案为：10406x x =+ 际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合等数据信息，解答下列问题： 旅游可以少走多少千米？ 路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的施工队原计划每天修建多少千米？可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14线CD ，垂足为D ，BC，BC ＝1000千米， ），BD ＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），千米），AC ＝＝50（千米）， ）＝50+50﹣50≈35（千米）．千米； ，依题意有，﹣＝50，分式方程的解． 若干；若再加上6人，平分40数为x 人，则可列方程_____．题的关键．C→B 方可到达．当地政府为了请结合∠A ＝45°，∠B ＝30°，每天的工效比原计划增加25%，.14千米． ），答：施工队原计划每天修建0.14千米．点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．。
中考数学—分式的真题汇编及解析
一、选择题1．已知12x y-=3，分式4322x xy y x xy y +-+-的值为( )A ．32B ．0C ．23D ．942．分式x 5x 6-+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=-B ．x 6=C ．x 5≠D ．x 5=3．下列式子中，错误的是 A ．1a a 1a a --=- B ．1a a 1a a ---=- C ．1a 1aa a---=- D ．1a 1aa a+---= 4．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，25b2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b cC ．22220a b cD ．22240a b c5．分式：22x 4- ，x 42x- 中，最简公分母是 A ．()()2x 4?42x --B ．()()x 2x ?2+C ．()()22x 2x 2-+- D ．()()2x 2?x 2+-6．分式a x ，22x y x y +-，2121a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7．将分式()0,0xyx y x y≠≠-中的x .y 扩大为原来的3倍，则分式的值为：（ ） A ．不变；B ．扩大为原来的3倍C ．扩大为原来的9倍；D ．减小为原来的138．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ） A ．7.7×106 B ．7.7×107 C ．7.7×10－6 D ．7.7×10－7 9．计算正确的是（ ）A ．（﹣5）0=0B ．x 3+x 4=x 7C ．（﹣a 2b 3）2=﹣a 4b 6D ．2a 2•a ﹣1=2a10．函数1y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2B ．x ≥﹣2且x ≠1C ．x ≠1D ．x ≥﹣2或x ≠111．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）A ．43.510⨯米B ．43.510-⨯米C ．53.510-⨯米D ．93.510-⨯米12．下列关于分式的判断,正确的是（ ） A ．当x=2时,12x x +-的值为零 B ．当x≠3时,3x x-有意义 C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值 D ．无论x 为何值,231x +的值总为正数 13．分式b ax ，3c bx -，35a cx 的最简公分母是（ ） A ．5cx 3B ．15abcxC ．15abcx 3D ．15abcx 514．下列各式变形正确的是（）A ．x y x y x y x y-++=---B ．22a b a bc d c d--=++ C ．0.20.03230.40.0545a b a bc d c d --=++D ．a b b ab c c b--=-- 15．若，则用u 、v 表示f 的式子应该是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知m ﹣1m 7，则1m+m 的值为（ ） A ．±11B 11C ．±7D ．1117．下列说法：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事2(21)12a a +=--，则12a ≥-； 181822a ba b -+是最简分式；其中正确的有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．计算（16）0×3﹣2的结果是（ ） A ．32 B ．9C ．19-D ．1919．若一种DNA 分子的直径只有0.00000007cm ，则这个数用科学记数法表示为（ ） A ．90.710-⨯ B ．90.710⨯C ．8710-⨯D ．710⨯820．分式212xy 和214x y的最简公分母是（ ） A ．2xyB ．2x 2y 2C ．4x 2y 2D ．4x 3y 321．如果把分式232x x y+中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的1522．如果2310a a ++=，那么代数式229263a a a a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-23．下列运算错误的是（ ）A 4=B ．12100-=C 3=-D 2=24．计算()22ab ---的结果是( )A ．42b a-B ．42b aC ．24a b -D ．24a b25．若0x y y z z xabc a b c---===<，则点P(ab ，bc)不可能在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先根据题意得出2x-y=-3xy ，再代入原式进行计算即可． 【详解】 解：∵12x y-=3, ∴2x-y=-3xy ， ∴原式=()()2232x y xyx y xy-+-+，=633xy xy xy xy -+-+， =32xy xy--， =32，【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2．A解析：A 【解析】 ∵分式56x x -+的值不存在， ∴分式56x x -+无意义， ∴60x +=，解得：6x =-. 故选A.3．B解析：B 【解析】 A 选项中，1(1)1a a a a a a ----==--，所以A 正确； B 选项中，1(1)1a a a a a a -----=-=---，所以B 错误； C 选项中，11a aa a ---=-，所以C 正确； D 选项中，11a aa a+---=，所以D 正确. 故选B.4．C解析：C 【解析】根据最简公分母的定义：“通常取各分母的系数的最小公倍数与各分母中所有字母因数的最高次幂的积作为各分母的公分母，这个公分母叫做这几个分式的最简公分母”可知，分式：24a 5b c ，23c 4a b ，25b 2ac 的最简公分母是：22220a b c . 故选C.5．D解析：D 【解析】∵2224(2)(2)x x x =-+-，422(2)x xx x =---， ∴分式22 442xx x--、的最简公分母是：2(2)(2)x x +-.6．B解析：B 【解析】试题解析：a x ，+-x yx y是最简分式，221()()x y x y x y x y x y x y ++==-+--，2211121(1)1a a a a a a --==-+--．故选B.7．B解析：B 【解析】解：把分式xy x y +中的x 、y 扩大为原来的3倍后为3333x y x y ⋅+=3xyx y +，即将分式00xyx y x y≠≠-（，）中的x 、y 扩大为原来的3倍后分式的值为原来的分式的值的3倍．故选B ．8．C解析：C【解析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定， 0.000 007 7=7.7×10-6， 故选C.9．D解析：D【解析】解：A ．原式=1，故A 错误；B ．x 3与x 4不是同类项，不能进行合并，故B 错误；C ．原式=a 4b 6，故C 错误；D ．正确． 故选D ．10．B解析：B 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件可得关于x 的不等式组，解不等式组即可得. 【详解】解：由题意得：2010xx+≥⎧⎨-≠⎩，解得：x≥﹣2且x≠1，故选B.【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11．C解析：C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】35000纳米=35000×10-9米=3.5×10-5米．故选C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．D解析：D【解析】A选项：当x=2时，该分式的分母x-2=0，该分式无意义，故A选项错误.B选项：当x=0时，该分式的分母为零，该分式无意义. 显然，x=0满足x≠3. 由此可见，当x≠3时，该分式不一定有意义. 故B选项错误.C选项：当x=0时，该分式的值为3，即当x=0时该分式的值为整数，故C选项错误.D选项：无论x为何值，该分式的分母x2+1>0；该分式的分子3>0. 由此可知，无论x为何值，该分式的值总为正数. 故D选项正确.故本题应选D.点睛：本题考查了与分式概念相关的知识. 分式有意义的条件是分式的分母不等于零，并不是分母中的x的值不等于零. 分式的值为零的条件是分式的分母不等于零且分式的分子等于零. 在分式整体的符号为正的情况下，分式值的符号由分子与分母的符号共同确定：若分子与分母同号，则分式值为正数；若分子与分母异号，则分式值为负数.13．C解析：C【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．【详解】最简公分母为3⨯5⨯a⨯b⨯c⨯x3=15abcx3故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是最简公分母，解题的关键是熟练的掌握最简公分母.14．D解析：D【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【详解】A、原式x yx y-=+，所以A选项错误；B、原式=2a bc d-+（），所以B选项错误；C、原式=203405a bc d-+，所以C选项错误；D、a b b ab c c b--=--，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变．15．B解析：B【解析】【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，表示出f即可．【详解】，变形得：f=．故选B．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．A解析：A 【分析】根据完全平方公式即可得到结果. 【详解】1m-=m21m-=7m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 221m -2+=7m ∴, 221m +=9m∴,22211m+=m +2+=11m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,1m+m ∴=. 故选A. 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟悉掌握公式是关键.17．C解析：C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，二次根式的性质，最简分式的定义以及同类二次根式的定义进行判断． 【详解】①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件，正确．②12a =--，则12a ≤-，错误；== ④分式22a ba b -+是最简分式，正确；故选：C ． 【点睛】本题主要考查了随机事件、二次根式以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．18．D解析：D 【解析】 【分析】根据零指数幂的性质以及负指数幂的性质先进行化简，然后再进行乘法运算即可. 【详解】(16)0×3﹣2=11199⨯=， 故选D ． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负指数幂的运算，正确化简各数是解题关键．19．C解析：C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：若一种DNA 分子的直径只有0.00000007cm ，则这个数用科学记数法表示为8710-⨯．故选：C. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．20．C解析：C 【解析】 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】 分式212xy 和214x y的最简公分母是4x 2y 2. 故选C. 【点睛】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．21．A解析：A 【解析】 【分析】x ，y 都扩大为原来的5倍就是分别变成原来的5倍，变成5x 和5y ．用5x 和5y 代替式子中的x 和y ，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】用5x 和5y 代替式子中的x 和y 得：()2255,151032x xx y x y=++则扩大为原来的5倍. 故选:A. 【点睛】考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键.22．D解析：D 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+3a+1=0，即可求得所求式子的值． 【详解】229263a a a a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭， =22962•3a a a a a +++ =()2232•3a a a a ++ =2a （a+3） =2（a 2+3a ）， ∵a 2+3a+1=0， ∴a 2+3a=-1，∴原式=2×（-1）=-2， 故选D ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．23．B解析：B 【解析】【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．【详解】A 、∵42=16=4，故本选项正确；B 、12100-110，故本选项错误；C 、∵（-3）3=-273=-，故本选项正确；D =2，故本选项正确．故选B ．【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知立方根及算术平方根的定义是解答此题的关键．24．B解析：B【解析】【分析】根据负整数指数幂和幂的乘方和积的乘方解答．【详解】原式=（-1）-2a -2b 4=21a •b 4 =42b a． 故选B ．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，同时要熟悉幂的乘方和积的乘方．25．A解析：A【解析】【分析】根据有理数的乘法判断出a ，b ，c 中至少有一个是负数，另两个同号，然后求出三个数都是负数时x 、y 、z 的大小关系，得出矛盾，从而判断出a 、b 、c 不能同时是负数，确定出点P 不可能在第一象限．【详解】解：∵abc <0，∴a ，b ，c 中至少有一个是负数，另两个同号，可知三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若x y abc a-=,则20x y a bc -=>，即x >y ，同理可得：y >z ，z >x 这三个式子不能同时成立，即a ，b ，c 不能同时是负数，所以，P (ab ,bc )不可能在第一象限.故选：A.【点睛】本题主要考查分式的基本性质和点的坐标的知识，熟悉点的坐标的基本知识是本题的解题关键，确定一个点所在象限，就是确定点的坐标的符号．。
2022年中考数学真题分类汇编：分式方程(含答案)
2022年年年年年年年年年年年年年一、选择题1.(2022·江苏省无锡市)分式方程2x−3=1x的解是( )A. x=1B. x=−1C. x=3D. x=−32.(2022·海南省)分式方程2x−1−1=0的解是( )A. x=1B. x=−2C. x=3D. x=−33.(2022·黑龙江省哈尔滨市)方程2x−3=3x的解为( )A. x=3B. x=−9C. x=9D. x=−34.(2022·贵州省毕节市)小明解分式方程1x+1=2x3x+3−1的过程如下．5.解：去分母，得3=2x−(3x+3).①6.去括号，得3=2x−3x+3.②7.移项、合并同类项，得−x=6.③8.化系数为1，得x=−6.④9.以上步骤中，开始出错的一步是( )A. ①B. ②C. ③D. ④10.(2022·四川省德阳市)如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围是( )A. m>−1B. m>−1且m≠0C. m<−1D. m<−1且m≠−211.(2022·重庆市)关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组{y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是( )A. 13B. 15C. 18D. 2012.(2022·黑龙江省鹤岗市)已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是( )A. m>4B. m<4C. m>4且m≠5D. m<4且m≠113.(2022·浙江省丽水市)某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x =4000x−30，则方程中x表示( )A. 足球的单价B. 篮球的单价C. 足球的数量D. 篮球的数量14.(2022·重庆市)若关于x的一元一次不等式组{x−1≥4x−1 3,5x−1<a的解集为x≤−2，且关于y的分式方程y−1y+1=ay+1−2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是( )A. −26B. −24C. −15D. −1315.(2022·辽宁省铁岭市)小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是( )A. 28x =24x+2B. 28x+2=24xC. 28x−2=24xD. 28x=24x−216.(2022·云南省)某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是( )A. 400x−50=300xB. 300x−50=400xC. 400x+50=300xD. 300x+50=400x17.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)一艘轮船在静水中的速度为30km/ℎ，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/ℎ，则符合题意的方程是( )A. 14430+v =9630−vB. 14430−v=96vC. 14430−v =9630+vD. 144v=9630+v18.(2022·四川省宜宾市)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( )A.540x−2−540x=3 B. 540x+2−540x=3B.C. 540x −540x+2=3 D. 540x−540x−2=319.(2022·四川省广元市)某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是( )A. 9600x−10=1600xB. 9600x+10=1600xC. 9600x =1600x−10D. 9600x=1600x+1020.(2022·黑龙江省绥化市)有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是( )A. 12x +124x=30 B. 15x+154x=24 C. 30x+302x=24 D. 12x+122x=30二、填空题21.(2022·湖南省永州市)解分式方程2x −1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．22.(2022·湖南省常德市)方程2x +1x(x−2)=52x的解为______．23.(2022·湖南省岳阳市)分式方程3xx+1=2的解为x=______．24.(2022·浙江省宁波市)定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a +1b.若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为______．25.(2022·四川省内江市)对于非零实数a，b，规定a⊕b=1a −1b.若(2x−1)⊕2=1，则x的值为______．26.(2022·浙江省金华市)若分式2x−3的值为2，则x的值是______．27.(2022·四川省成都市)分式方程3−xx−4+14−x=1的解为______．28.(2022·江西省)甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为______．三、解答题29.(2022·湖北省随州市)解分式方程：1x =4x+3．30.(2022·江苏省苏州市)解方程：xx+1+3x=1．31.(2022·广西壮族自治区梧州市)解方程：1−23−x =4x−3．32.(2022·广西壮族自治区柳州市)习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．33.(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？34.(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？35.(2022·吉林省长春市)为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？36.(2022·山东省烟台市)扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？37.(2022·山东省聊城市)为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．38.(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；39.(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？40.(2022·贵州省贵阳市)国发(2022)2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？41.(2022·贵州省铜仁市)科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%.结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？42.(2022·吉林省)刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．43.(2022·黑龙江省大庆市)某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？44.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．45.(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？46.(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的2，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？3参考答案1.D2.C3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.D10.D11.B12.A13.C14.B15.A16.x(x+1)17.x=418.219.−1220.5621.422.x=323.160x =140x−1024.解：1x =4x+3左右两边同时乘以(x+3)x得x+3=4x，3=3x，x=1．检验：把x=1代入原方程得11=41+3，等式成立，所以x=1是原方程的解．故答案为：x=1．25.解：方程两边同乘以x(x+1)得：x2+3(x+1)=x(x+1)，解整式方程得：x=−32，经检验，x=−32是原方程的解，∴原方程的解为x=−32．26.解：去分母得：x−3+2=4，解得：x=5，当x=5时，x−3≠0，∴x=5是分式方程的根．27.解：(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，依题意得：15x+1=10x，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，∴x+1=2+1=3．答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，依题意得：3m+2(20−m)≤46，解得：m≤6．答：甲种农机具最多能购买6件．28.解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得1500x+100=1200x，解得x=400，经检验，x=400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．29.解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为(2x−400)元，依题意得：96000x =1680002x−400，解得：x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，且符合题意，∴2x −400=2×1600−400=2800．答：每个A 型扫地机器人的进价为1600元，每个B 型扫地机器人的进价为2800元．30.解：(1)设原计划每天改造管网x 米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x 米，由题意得：3600x−3600(1+20%)x =10，解得：x =60，经检验，x =60是原方程的解，且符合题意． 此时，60×(1+20%)=72(米)．答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；(2)设以后每天改造管网还要增加m 米，由题意得：(40−20)(72+m)≥3600−72×20， 解得：m ≥36．答：以后每天改造管网至少还要增加36米．31.解：设每辆小货车的货运量是x 吨，则每辆大货车的货运量是(x +4)吨，依题意得：80x+4=60x，解得：x =12，经检验，x =12是原方程的解，且符合题意， ∴x +4=12+4=16．答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是12吨．32.解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x 万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩(1+40%)x 万个， 依题意得：280x−280(1+40%)x =2，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意， ∴(1+40%)x =(1+40%)×40=56．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万个，更换设备后每天生产口罩56万个．33.解：设李婷每分钟跳绳x 个，则刘芳每分钟跳绳x +20个，根据题意列方程，得135x+20=120x，即135x =120(x +20)， 解得x =160，经检验x =160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．34.解：设现在平均每天生产x 个零件，根据题意得：800x=600x−20，解得x =80，经检验，x =80是原方程的解，且符合题意， ∴x =80，答：现在平均每天生产80个零件．35.解：(1)设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为(x +200)元，第二次采购每吨土豆的平均价格为(x −200)元， 由题意得：300000x+200×2=500000x−200，解得：x =2200，经检验，x =2200是原分式方程的解，且符合题意， 答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；(2)由(1)得：今年采购的土豆数为：3000002200+200×3=375(吨)， 设应将m 吨土豆加工成薯片，则应将(375−m)吨加工成淀粉， 由题意得：{m ≥23(375−m)m 5+375−m 8≤60，解得：150≤m ≤175， 设总利润为y 元，则y =700m +400(375−m)=300m +150000， ∵300>0，∴y 随m 的增大而增大，∴当m =175时，y 的值最大=300×175+150000=202500，答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．。
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分式与分式方程
一.选择题
1. （2018·湖南怀化·4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）
A．=B．=
C．=D．=
【分析】根据“以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，”建立方程即可得出结论．
【解答】解：江水的流速为v km/h，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（30+v）km/h，以最大航速逆流航行的速度为（30﹣v）km/h，
根据题意得，，
故选：C．
【点评】此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
2．（2018•临安•3分）下列各式计算正确的是（）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2
C．D．
【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．
【解答】解：A.a12÷a6是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以a12÷a6=a6，错误；
B.（x+y）2为完全平方公式，应该等于x2+y2+2xy，错误；
C.===﹣，错误；
D.正确．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
运算法则：①a m÷a n=a m﹣n，
②÷=（a≥0，b＞0）．
3.（2018•金华、丽水•3分）若分式的值为0，则x的值是（）
A. 3
B.
C. 3或
D. 0
【解析】【解答】解：若分式的值为0，则，解得．故答案为：A．【分析】分式指的是分母是含字母的整式且分母的值不为0的代数式；当分式为0时，则分子为零，分母不能为0．
5.（2018·黑龙江哈尔滨·3分）方程=的解为（）
A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6.（2018·黑龙江龙东地区·3分）已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1求出答案．
【解答】解：=1
解得：x=m﹣3，
∵关于x的分式方程=1的解是负数，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．
7.（2018•贵州黔西南州•4分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的
是（）
A．=2 B．=2
C．=2 D．=2
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：﹣=2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
8.（2018•海南•3分）分式方程=0的解是（）
A．﹣1 B．1 C．±1D．无解
【分析】根据解分式方程的步骤计算可得．
【解答】解：两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，
解得：x=1或x=﹣1，
当x=1时，x+1≠0，是方程的解；
当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；
所以原分式方程的解为x=1，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
9.（2018湖南张家界3.00分）若关于x的分式方程=1的解为x=2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】直接解分式方程进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的分式方程=1的解为x=2，
∴x=m﹣2=2，
解得：m=4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．。