浙教版新初一数学第6讲-有理数的乘方与混合运算

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2.5.1 有理数的乘方浙教版数学七年级上册课件

结果时，也可读作a的n次幂. 3.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）零的正整数次幂都是零
4.注意： an与 an 二者的区别及相互关系；
b
n
与
b
n
的区别.
a a
a
a
你会算正方形的面积和正方体的体积吗？
（1）正方形的面积计算公式：S = a×a
a × a 简记作 a，2 读作a的平方（或二次方）
（2）正方体的体积计算公式：V = a×a×a
a × a × a 简.记作 a3，读作a的立方（或三次方）
★ 类似的，n个相同的因数a相乘，记作an,即
n个a
a× a ×...× a= an
10个a
（3）34 底数、指数、幂分别是多少? 34 的底数是3,指数是4,幂是81
（4）3的底数、指数、幂分别是多少? 3的底数是3,指数是1,幂是3
典例精析
例1.计算： (1)(4)3
(2)(2)4
解：(1)(4)3 (4) (4) (4) 64
(2)(2)4 (2) (2) (2) (2) 16
6. 10n （n为正整数）表示的数是
A.10个n相乘的积 B. n 个10相乘的积 C.1后面有（n-1）个零 D.1后面有（n+1）个零
（ B）
课堂小结
1.这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，
乘方的结果叫做幂. a n中，a叫做底数，n叫做指数. 2.乘方的读法： a n 读作a的n次方，看作a的n次方的
2.5.1 有理数的乘方
教学目标
1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义． 2.能进行有理数的乘方运算，掌握幂的符号法则． 3.了解用计算器进行乘方运算．

浙教版数学七上有理数的混合运算课件

-1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③ （2）第② ③行数与第①行数分别有什么关系？
解：（2）第②行数是第①行相应的数加2，即
第③行数是第①行相应的除以2，即
例3 视察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；① 0， 6， -6， 18， -30， 66，…；② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
（3）（3 ×2）3 （4）8 ÷（-2）3
解: (1) -3²3）（3 ×2）³
=6³ =216
（4）8 ÷（-2）³ =8 ÷（-8)
=-1
对于乘除和乘方的混合运算,应先算乘方,后算乘除;如果遇到括号,就先进行括号里的运算.
例2,计算:
解：原式=-8 +（-3）×（16 + 2）- 9 ÷（-2）
解：（3）每行数中的第10个数的和是
巩固练习
1.视察下列各式:
1 21 1
1 2 22 1 1 2 22 23 1
猜想: 1 2 22 23 263
若n是正整数，那么1 2 22 2n
2：
a+3=0
b -2=0
若（a 3)2 b 2 0,
则a b1 _-2_7_
=-8 +（-3）× 18 + 4.5
=-8 – 54 + 4.5 =-57.5
算算有几种运算, 并说明运算次序
带乘方的混合运算次序:
三级运算二级运算一级运算
1.有乘方运算,先计算乘方,再乘除后加减; 2.同级运算,从左到右计算; 3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号, 中括号,大括号依次进行.
例3 视察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；① 0， 6， -6， 18， -30， 66，…；② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③

有理数的乘方和混合运算

有理数的乘方和混合运算【知识点一：有理数的乘方】求几个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫幂（power ）．要点诠释：（1）、一般地，n 个a 相乘，即记作，其中a 叫底数，n 叫指数，叫做a 的n次幂或a 的n 次方，用图表示为：（2）、乘方的运算：乘方是利用乘法来定义的．乘方是乘法的特例，所以乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．（3）、乘方运算的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何一个数的偶次幂都是非负数，如．（4）、乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（5）、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

巩固练习1、乘方的意义（1）在中，指数是____，底数是____。

（2）在中，指数是，底数是_____。

（3）在中，指数是________，底数是________。

2、有理数乘方180= =25 =-3)2( =31.0=-4)10( =-2)2.0( =-2)3.0( =-2)211(3、有理数的混合运算=---1110)1()1( =-⨯-33)21(2 =-⨯-22)41(4=-÷-)10()10(33 =-÷-)5()5(22 222)4(52-⨯⨯-=4、(－2)6中指数为，底数为；4的底数是，指数是；523⎪⎭⎫⎝⎛-的底数是，指数是，结果是；5、根据幂的意义，(－3)4表示，－43表示；754.-⎛⎝ ⎫⎭⎪125b m6、平方等于641的数是，立方等于641的数是；【知识点二：有理数混合运算】有理数混合运算的运算顺序规定如下： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

有理数的混合运算课件(浙教版)

=(3×100×30-2×3×9×6)÷1000
?
=(9000-324)÷1000 ≈8.73cm
答:容器内水的高度大约为8.73cm
有一种“24”的扑克牌游戏规则是：任给4张牌，用各张牌上的数和加、减、乘、除和乘方（可用括号）列一个算式，先得计算结果为 “24”者获胜。
9
3
2
3
9
3
2
3
(
5 9
)
(3) 计算:
(3)2
2 3
(
5 9
)
解：原式 9（ 11）
9
=-11
解2：原式 9（ 2） 9（ 5）
3
9
=-6+（-5）
=-11
注意：
在计算前ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ该
理清算式中含有哪几种运算，再考虑运算顺序，同时计算的各项要同步表达，暂不计算的项应照抄，不要遗漏。同级运算应按从左到右的顺序计算
一圆形花坛的半径为3m，中间雕塑的底面是边长为1.2m的正方形，你能用算式表示该花坛的实际种花面积吗？这个算式有哪几种运算？应怎样计算？
π×32-1.22
3cm 1.2cm
一般地，有理数混合运算的法则是：
先把乘方来计算，且再来看乘除法，加减放到最后算，如遇括号要先算
例如
先算乘方
6 3 22 ( 1 2) ? 55
3
4
5
2
3
4
5
2
3
2
3
3
3
2
3
3
通过本节课的学习，你学会了什么？对有理数的混合运算有什么建议。
练一练:
（1）1.5 2 (3)
(2) 1 (2)2 2

浙教版七上2.6有理数的混合运算

复杂混合运算示例
计算 (-5) × (-4) + 3 - (-2)^2：先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算。
计算 (-8) × [(-3) + (-5)]：先进行括号内的加法运算，再进行乘法运算。
(-5) × (-4) + 3 - (-2)^2 = 20 + 3 - 4 = 19 (-8) × [(-3) + (-5)] = -8 × (-8) = 64
学习目标
01
02
03
04
掌握有理数的混合运算顺序，理解先乘除后加减的原则。
学会处理带有括号的运算式，掌握去括号法则。
理解有理数乘方的概念，掌握乘方运算的技巧。
通过实际问题的解决，提高数学应用能力和解决问题的能力。
02 有理数的混合运算概述
有理数混合运算的定义
有理数混合运算是将加减乘除等基本运算结合在一起进行的运算，包括加法、减法、乘法、除法以及这些运算的组合。
基础练习题
总结词
掌握基本概念和运算规则
详细描述
基础练习题主要涉及有理数混合运算的基本概念和运算规则，包括加法、减法、乘法、除法以及加减乘除的混合运算。通过这些练习，学生可以加深对有理数混合运算的理解，掌握基本的运算技巧。
进阶练习题
总结词
提高运算能力和思维灵活性
详细描述
进阶练习题在难度上有所提升，题目设计更加灵活，需要学生运用所学知识解决较为复杂的有理数混合运算问题。通过这些练习，学生可以提高自己的运算能力和思维灵活性，加深对有理数混合运算的理解和应用。
实际应用示例
一家商店在某月的营业额为负增长，具体为下降了$5%$，即下降了 $10000$元。求该月的营业额。

2.6 有理数的混合运算(课件)七年级数学上册(浙教版2024)

(1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中(杯子的底面直径和高度均为
20 cm)，则溢出水的体积
为
512
cm3(溢出水的体积＝铁块的体积)；
(2)将铁块恰好分割成16个棱长为2 cm的立方体与6个棱长
为 a cm的立方体，求 a 的值.
【解】棱长为 a cm的立方体的体积为
(512－16×23)÷6＝64(cm3).
因为43＝64，所以 a ＝4.
分层练习-巩固
7. [新考向·传统文化]我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们
通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位母亲
在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出
生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( C )
A. 84
B. 336
个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，昊恩跑到山顶，他们在同一时刻测
得山脚的温度是3.8 ℃，山顶的温度是－1.6 ℃，求山峰的高度.
【解】[3.8－(－1.6)]÷0.9×100
＝(3.8＋1.6)÷0.9×100
＝5.4÷0.9×100
＝600(米).
所以山峰的高度为600米.
6. 已知一个棱长为8 cm的立方体铁块.
6
=6−8
= −2；
− 6）2
5 2 1
（2） ÷ − × （ − 9）2 + 32 .
6 3 3
5 2 1
（2） ÷ − × （ − 9）2 + 32
6 3 3
5 3 1
= × − × 81 + 9
6 2 3
5
= − 27 + 9
4
67
=− .
4

七级数学上册2.6有理数的混合运算有理数运算教学方法素材(新版)浙教版

有理数运算教课方法有理数运算是初等数学的运算基础．娴熟地进行有理数运算是初一教课的要点，它关于减少两极分化，增强学生信心，拥有重要的意义．以下几种方法关于帮助学生减少运算差错，提升运算速度，培育运算能力是可行的：一、切记运算法例，掌握基本题计算有理数运算差别于小学四则运算的根本点就在于符号的办理．为了增强学生对符号的处理能力，笔者把运算法例分为符号法例和绝对值法例两部分，着意重申符号优先的原则，要修业生透辟理解，坚固记忆，并经过基本题的计算练习，稳固法例．关于形如的计算题，要修业生能快速地默算出答案．①－ 9＋ 2，②－ 9－ 2，③(－2)3，④－(－2)2二、编题训练，会审题意在教完有理数加、减法运算后，我给出了四个数－11、 7、－ 9、－ 6，要修业生用这四个数编一个加减混淆运算题．同学们兴趣很高，一些学生编出了难度较大的习题．此举使学生初步认识到有理数加减法混淆运算题的组成，因为题目是学生自己编的，自然能用语言描述题意．经过编题训练，使学生从过去纯真被动地做习题，升华到主动研究、审察习题，更重要的是学会了用文字语言表达用运算符号表示的题意．三、分解习题，化难为易当运算习题较复杂时，为了改变一些学存亡记运算次序，盲目地按运算次序做题的坏习惯，笔者在解说以下例题时，依据以下程序进行：说明应使学生弄清本题表示①＋②－③－④，分别计算出它们的值．而后再求全式的值．以上教课突出认识释题意及分解习题两个环节，使学生在理解题意后，化大题为小题，各个击破，达到了化难为易的目的，获得了较好的教课成效．四、培育学生的简算意识好多学生在平常作业或考试中，明显有简易方法，却不用，或许没想到要用．所以，教师在平常教课中，除了重申计算次序的规定性外，还要重申简算的优化意识．要增强运算性考虑可否采纳简易、合理质、定律教课，指导学生仔细察看题目中的运算符号和数字特色，的方法解题．比以下边一组题：这些计算题若改变一下计算次序，都能够大大化简，计算更为合理、快速．但要做到这一点非一日之功．这就需要培育学生存心识地审题的好习惯，培育学生的简算意识．。

浙教版初中数学七上有理数的乘方_精品课件PPT

(1 ) 读作：－7的2次方或－7的2次幂
通常读作：－7的平方
底数是:＿-７＿；指数是：＿２＿．
(2 ) 读作：－2的3次方或－2的3次幂通常读作：－2的立方其中-2叫做_底__数__;3叫做_指__数__;
(1)、（ 2）7表示7__ 个 2 相乘，叫做 2 的 _7_ 次方，
9
9
9
国王一听，满口答应。大臣们也都认为：这点米，算得了什么，便领献棋人去领米。
岂料，到后来把所有仓库里的存米都付出了，还是不够。
解密
格数米粒数
格数米粒数
1
1
7
2×2×2×2×2×2=64
2
2
8 2×2×2×2×2×2×2=128
3
2×2=4
4
2×2×2=8
10
5
2×2×2×2=16 …
6 2×2×2×2×2=32 64
4
4
（3） (-5)4 与 -54
例2 计算：
（1）-32
（2）3 ×23
（3）（3 ×2）3
（4） 8÷(-2)3
由此你能说说自己的收获吗?
对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。
小试身手
(1)102 1_0_0__;103 10_0_0__;104 1_0_0_00_;105 1_0_0_00_0; (2)0.12 0_._0_1_;0.13 0_._0_0_1;0.14 0_._0_00_1__;0.15 0_._00_0_0_1_;
(3)( 4)4 3
(4) (-1)11
计算时先把要求的式子写成几个相同因式相乘的形
式正，数把的问任题何转次化幂为是多正个数有。理数乘法的计算。

七年级数学分配律;有理数除法;有理数的乘除混合运算;有理数乘方浙江版知识精讲

七年级数学分配律；有理数除法；有理数的乘除混合运算；有理数乘方浙江版【同步教育信息】一. 本周教学内容：§1.15：分配律；§1.16有理数除法；§1.17：有理数的乘除混合运算；§1.18：有理数乘方二. 重点、难点：重点：1. 分配律及其应用a b c ab ac ()+=+ 2. 有理数除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（2）零除以一个不等于零的数都得零；（3）一个数除以另一个数，等于被除数乘以除数的倒数。

3. 乘方的概念及表示：（1）指数幂 an（2）二次方也叫平方，三次方也叫立方，一个数可以看作这个数本身的一次方。

难点：1. 分配律简化；2. 除法法则；3. 幂、底数、指数的概念。

【典型例题】例1. 计算：()14161212+-⨯分析：几个分数相加分母不同，通分较繁时可用分配律简化计算。

解：()14161212+-⨯ =⨯+⨯-⨯=+-=-1412161212123261例2. 计算：()(.)()(.)-⨯-+-⨯+5335453454 分析：若每个乘法部分里有相同因数（如-53），可以反过来应用分配律，先加后乘。

解： ()(.)()(.)-⨯-+-⨯+5335453454 =-⨯-+=-⨯=-()(..)5335445453153例3. 计算：9181915⨯解：9181915⨯ =-⨯=-=()10119151501519149419例4. -÷⨯-357834.() 分析：1. 乘除混合运算，通常统一为乘法来计算。

2. 一般把小数化为分数进行计算。

解：-÷⨯-357834.() =-⨯⨯-=⨯⨯=3587347287343.()例5. （1）()-34（2）-34（3）-⨯324（4）()-⨯324解析：（1）（2）()-34是乘方运算。

-34读作正3的4次方的相反数，这不是乘方运算。

浙教版数学七年级上册2.6《有理数的混合运算》教学设计

浙教版数学七年级上册2.6《有理数的混合运算》教学设计一. 教材分析《有理数的混合运算》是浙教版数学七年级上册第二章第六节的内容。

本节内容主要让学生掌握有理数的加减乘除混合运算的法则，能正确进行混合运算，并培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

教材通过具体的例题和练习，引导学生掌握有理数混合运算的方法，进一步巩固有理数的基本运算规则。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的加减乘除运算，具备一定的运算基础。

但部分学生对运算规则的理解不够深入，运算过程中容易出现错误。

此外，学生的逻辑思维能力和运算能力参差不齐，需要通过本节内容的学习进一步加以培养和提高。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握有理数的混合运算规则，能正确进行有理数的加减乘除混合运算。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现规律、总结规律的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生积极参与数学学习的兴趣，提高学生克服困难的自信心，培养学生合作交流的能力。

四. 教学重难点1.重点：有理数的混合运算规则。

2.难点：理解并掌握有理数混合运算中的运算顺序和运算方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置生活情境，让学生在实际问题中感受和理解有理数混合运算的应用。

2.引导发现法：教师引导学生观察、分析、归纳有理数混合运算的规律，培养学生的发现能力和归纳能力。

3.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和实践，共同完成任务，培养学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示有理数混合运算的例题和练习题。

2.练习题：准备有一定难度的有理数混合运算题目，用于课堂练习和巩固。

3.教学道具：准备一些教学道具，如小黑板、粉笔等，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例，如购物时计算总价，引出有理数混合运算的必要性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示几个有理数混合运算的例题，引导学生观察和分析，让学生尝试解答。

浙教版七年级数学上册课件：2.6 有理数的混合运算

【典例 3】一粒米，许多同学都认为微不足道．平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整块馒头或整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得 500 粒大米约重 11.07 g．现在请你来计算 (可用计算器)： (1)按我国人口 13.4 亿，每年 365 天，每人每天三餐计算．若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？ (2)假若我们把一年节约的大米卖成钱，并按 4 元/千克计算，可卖得人民币多少元？ (3)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年 500 元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学(结果保留整数)?
【答案】－4
【跟踪练习 2】计算：1－1－0.5×13×[2－(－3)2]．
【解析】原式＝1－1－16×(2－9) ＝1－1＋16×(－7) ＝16×(－7) ＝－76. 【答案】－76
2．有理数的混合运算的实际应用
(3)这项便利学生的措施实施后，该中学当年要为全体学生共节约多少钱？
【解析】 (1)∵每个学生春、秋、冬季每天 1 瓶矿泉水，夏季每天 2 瓶， ∴一个学生在春、秋、冬季共要购买 180 瓶矿泉水，夏天要购买 120 瓶矿泉水， ∴一年中一个学生共要购买 300 瓶矿泉水，即一个学生全年共花费 1.5×300＝450(元)．
(3)∵一个学生节省的钱为：450－485300 ＝353.4(元)， ∴全体学生当年共节省的钱为：353.4×24×50＝424080(元)．
【答案】 (1) 450 元 (2) 4830 元 (3) 424080 元
名师指津
对于有理数混合运算，关键要把握好两点，一是注意运算顺序和符号；二是合理使用运算律 .
按时完成A本课后训练相关内容

2.6有理数的混合运算-浙教版七年级数学上册教案

2.6 有理数的混合运算-浙教版七年级数学上册教案
一、教学目标
1.掌握有理数的混合运算的基本概念和方法。

2.理解混合运算中加减乘除的优先级顺序。

3.能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程。

二、教学内容
1.有理数的混合运算
2.加减乘除的优先级
三、教学重难点
1.理解混合运算中加减乘除的优先级顺序。

2.能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程。

四、教学过程
1.导入（2分钟）
1.介绍有理数的混合运算的基本概念，引导学生了解有理数和混合运算的基本概念。

2.讲解主要内容（15分钟）
1.讲解加减乘除的优先级，强调要按照次序来计算。

2.讲解有理数的混合运算，并通过例题帮助学生掌握混合运算的方法。

3.例题练习（30分钟）
1.给学生展示几道例题，让学生自己尝试解题，并在过程中引导学生注意计算过程，理解混合运算的计算顺序。

2.老师解答并讲解例题，解释计算过程和思路。

4.课堂小结（3分钟）
1.通过讲解和练习，学生已经了解了有理数的混合运算和加减乘除的优先级。

2.通过练习，学生已熟练掌握混合运算的方法和正确的计算顺序。

5.课后作业（5分钟）
1.布置有理数的混合运算相关的作业，要求学生理解题意，熟练掌握计算方法。

五、教学评价
1.学生能够准确理解有理数混合运算和加减乘除的优先级，掌握正确的计算方法和顺序。

2.学生能够独立完成相关的混合运算练习，表现出较好的学习态度和能力。

精选-浙教版七年级数学上册有理数的乘方知识点

浙教版七年级数学上册有理数的乘方知识点正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

查字典数学网为大家整理了有理数的乘方知识点，让我们一起学习，一起进步吧!知识点(1)求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂. 一般地，记作，读作：a的n次方，表示n个a相乘;其中，a是底数，n是指数，称为幂。

(2)正数的任何次幂都是正数.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.(3)一个数的平方为它本身,这个数是0和1;一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。

课后练习1.下列语句中的各数不是近似数的是( ).A.印度洋海啸死亡和失踪总人数已超28万人B.生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种C.光明学校有1148人D.我国人均森林面积不到世界的公顷分析：根据精确数和近似数对各选项中的数进行判断.解答：A、印度洋海啸死亡和失踪总人数已超28万，28为近似数，所以A选项错误;B、生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种，30万为近似数，所以A选项错误;C、光明学校有1148人，1148为精确数，所以C选项正确;D、我国人均森林面积不到世界的0.25公顷，0.25为近似数，所以D选项错误.故选C.2.用四舍五入法按要求对0.05019取近似值，其中错误的是( )A.0.1(精确到0.1)B.0.05(精确到百分位)C.0.05(保留两个有效数字)D.0.0502(精确到0.0001) 【分析】根据近似数的精确度把0.05019精确到0.1得到0.1，精确度千分位得0.050，精确到百分位得0.05，精确到0.0001得0.0502，然后依次进行判断.【解答】A、0.05019≈0.1(精确到0.1)，所以A选项正确;B、0.05019≈0.050(精确到千分位)，所以B选项错误;C、0.05019≈0.05(精确到百分位)，所以C选项正确;D、0.05019≈0.0502(精确到0.0001)，所以D选项正确.故选：B.【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数;从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字.有理数的乘方知识点的全部内容就是这些，预祝大家在新学期可以更好的学习。

第六讲有理数的乘除法2021年新七年级数学暑假课程(浙教版)(解析版)

第六讲有理数的乘除法2.3-2.4 有理数的乘法有理数的除法【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；【基础知识】一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c ＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a b b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】例1．下列计算正确的有（）①(-3)(-4)-12⨯=；②(-2)5-10⨯=；③(-41)(-1)41⨯=；④0(-5)-5⨯=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据有理数的乘法法则进行计算，可得正确答案．①(-3)(-4)12⨯=，故此项不符合题意；②(-2)5-10⨯=，故此项符合题意；③(-41)(-1)41⨯=，故此项符合题意；④0(-5)0⨯=，故此项不符合题意；所以正确的有②，③故选：B ．【点睛】此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握乘法计算的计算法则．例2．下列运算过程中，有错误的是（）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2 B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【解析】各式计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝3×2﹣92×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣119）×16＝160﹣1619，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例3．下列说法正确的是（）A．零除以任何数都得0B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定C．绝对值相等的两个数相等D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数【答案】D【解析】A、任何数包括0，0除0无意义；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；C、绝对值相等的两个数的关系应有两种情况；D、根据倒数及乘方的运算性质作答．解：A、零除以任何不等于0的数都得0，故错误；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故错误；C、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故错误；D、两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数，故正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值、倒数的概念和性质及有理数的乘除法、乘方的运算法则．要特别注意数字0的特殊性．例4．2021-的倒数是（）A ．2021-B ．12021-C ．12021D ．2021 【答案】B【解析】根据倒数的定义即可解决．解：∵()1202112021⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭， ∴-2021的倒数是12021-． ∴A 、C 、D 选项都是错误的，只有B 选项正确．故选：B【点睛】本题考查了倒数的知识点，熟知倒数的定义是解题的关键．例5．计算：32÷（﹣4）×14的结果是（）A ．﹣16B ．16C ．﹣2D ．﹣12 【答案】C【解析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解．【详解】解：原式=﹣8×14=﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算．例6．在下列各题中，结论正确的是（）A ．若0,0a b ><，则0b a >B ．若a b >，则0a b ->C ．若0,0a b <<，则0;<abD ．若,0a b a >>，则0b a< 【答案】B【解析】根据两数的符号或大小判断相应的式子是否成立即可．解：A 、两数相除，异号得负，故选项错误；B 、大数减小数，一定大于0，故选项正确；C 、两数相乘，同号得正，故选项错误；D 、若,0a b a >>，则b a 可正可负，故选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数减法、乘除法运算，不确定符号的数在计算时的结果的符号也不确定．例7．下列计算中正确的是（）A ．()11151351353⎛⎫-⨯--=-++= ⎪⎝⎭B ．()1115135152353⎛⎫-⨯--=---=- ⎪⎝⎭ C ．()()()11112224622323⎛⎫⎛⎫-÷-+=-÷-+-÷=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．235532-⨯⨯-=- 【答案】D【解析】利用乘法的分配律计算,A B 选项，可判断,A B ，由于除法没有分配律，所以先计算括号内的运算，再计算除法，可判断C ，先求绝对值，再利用乘法的结合律计算D 选项，从而可判断.D解：()()()()111115115151515353⎛⎫-⨯--=-⨯--⨯--⨯ ⎪⎝⎭351517=-++=，故A ，B 错误；()11223⎛⎫-÷-+ ⎪⎝⎭()()32122666⎛⎫⎛⎫=-÷-+=-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2612=-⨯-=，故C 错误；23235553232⎛⎫-⨯⨯-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故D 正确；故选：.D【点睛】本题考查的是乘法的结合律与分配律，有理数的除法运算，绝对值的运算，有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．例8．已知||4x =，1||2=y ，且0xy <，则x y 的值等于（） A ．8-B ．2-C ．8-或8D ．2-或2 【答案】A【解析】根据||4x =，1||2=y ，可以求出x ，y 的值，再根据0xy <确定x y 的值即可． ||4x =，1||2=y ， ∴4x =±，12y =±， 0xy <，∴x ，y 异号，∴当4x =，12y 时，4812x y ==--，当4x =-，12y =时，4812x y -==-，综上所述：x y的值为8-．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值，有理数的乘法，解题的关键是明确同号得正，异号得负的意义．例9．如果四个不同的正整数m ，n ，p ，q 满足(4)(4)(4)(4)9m n p q ----=，则m n p q +++等于（）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】由题意确定出m ，n ，p ，q 的值，代入原式计算即可求出值．解：∵四个互不相同的正整数m ，n ，p ，q ，满足（4-m ）（4-n ）（4-p ）（4-q ）=9，∴满足题意可能为：4-m =1，4-n =-1，4-p =3，4-q =-3，解得：m =3，n =5，p =1，q =7，则m +n +p +q =16．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【过关检测】一、单选题1．计算（5164--）×（﹣12）的结果为（） A ．﹣7B ．7C ．﹣13D ．13【答案】D【解析】根据乘法的分配律、两个负数相乘解题,注意：负负得正．【详解】 51()(12)1031364--⨯-=+= 故选：D ．【点睛】本题考查有理数乘法的运算律，熟练掌握两个负数相乘得正及乘法的分配律是解题关键．2．已知两个有理数，如果两数之积小于0，两数之和大于0，那么（）A．两数同时大于0 B．两数互为相反数C．两数同号D．两数异号，且正数的绝对值较大【答案】D【解析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，可知：两数之积小于0，则两数为异号；同号两数相加为大于0，则正数的绝对值较大．【详解】由已知两数之积小于0，说明两数为异号；若两个数之和大于0，说明正数的绝对值较大；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法和乘法，比较简单，熟练掌握两个法则是关键，3．-45×（10-114+0.05）=-8+1-0.04，这个运算应用了（）A．加法结合律B．乘法结合律C．乘法交换律D．分配律【答案】D【解析】根据分配律特点即可求解．【详解】-45×（10-114+0.05）=-45×10-45×（-114）-45×0.05=-8+1-0.04故应用了分配律，故选D．【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点．4．计算﹣100÷5×15，结果正确的是（）A．4 B．﹣4 C．﹣100 D．100【答案】B【解析】先确定符号，按顺序计算，注意：除法转化为乘法，所有除数都要转化为其倒数. 【详解】原式＝﹣100×15×15＝﹣4，故选B．【点睛】本题考查了有理数的乘除法，掌握运算法则是正确解答本题的关键.特别注意符号. 5．下列计算不正确的是()A．5×(-7)×(-8)=280B．(-18)×2 1 3⎛⎫-⎪⎝⎭×2=60 C．0×(-2)×(-3)×(-4)=0D．123235⎛⎫--⎪⎝⎭×(-60)=12×(-60)＋23×(-60)＋35×(-60)=-30-40-36=-106【答案】D【解析】根据有理数混合运算的法则和顺序分别计算即可判断正误．【详解】A、5×(-7)×(-8)=280，正确，不符合题意；B、(-18)×2 1 3⎛⎫-⎪⎝⎭×2=60，正确，不符合题意；C、0×(-2)×(-3)×(-4)=0，正确，不符合题意；D、123235⎛⎫--⎪⎝⎭×(-60)123(60)(60)(60)235=⨯--⨯--⨯-304036=-++46=，不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．6．下列四个算式中，误用分配律的是（）A．12×11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭＝12×2－12×13＋12×16B．11236⎛⎫-+⎪⎝⎭×12＝2×12－13×12＋16×12C．12÷11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭＝12÷2－12÷13＋12÷16D．11236⎛⎫-+⎪⎝⎭÷12＝2÷12－13÷12＋16÷12【答案】C【解析】根据乘法分配律的特点即可求解．【详解】当除数是一项时，可以用分配律；当除数是多项时，12÷11 236⎛⎫-+⎪⎝⎭不能用分配律．故选C．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的特点．7．王小天有若干张10元、5元的纸币，这两种纸币的张数相同，那么王小天可能有( )元钱．A．50 B．51 C．75 D．100【答案】C【解析】【解析】先求出1张10元和5元的共有多少钱，再从选项中找出这个数的倍数即可．【详解】10+5=15（元）；A，50÷15=3…5，50不是15的倍数，不符合要求；B，51÷15=3…6，51不是15的倍数，不符合要求；C，75÷15=5，75是15的倍数，符合要求；D ，100÷15=6…10，100不是15的倍数，不符合要求；故选C ．【点睛】本题先求出各一张的总钱数，只要是这个钱数的整数倍的数就符合要求． 8．互不相等的四个整数的积等于4，则这四个数的绝对值的和为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】根据题意可得出这四个数的值，继而可以确定这四个数的绝对值的的和．【详解】∵四个互不相等的整数的积等于4， ∴这四个数分别为 1，-1，2，-2, ∴绝对值之和为1+-1+2+-2=6，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的乘法运算，关键在于根据题意判断四个数的值，注意审清题意，把这四个数限定在很小的范围．9．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则•a bm m cd m+-+值为（） A ．3- B ．3C ．5-D ．3或5-【答案】B 【解析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．【详解】原式=4-1+0=3 故选：B 【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2． 10．下列结论：①若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；②若a÷b ＜0，则a ＞0，b ＜0；③若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0；④若a ＜0，b ＜0，则a÷b ＞0，其中，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】【解析】根据有理数的乘法法则和除法法则逐一进行判断即可．【详解】若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，①错误；若a÷b ＜0，则a ＞0，b ＜0或a ＜0，b ＞0，②错误；若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0，③正确；若a ＜0，b ＜0，则a÷b ＞0，④正确，故选B ．【点睛】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，掌握有理数乘法法则、有理数除法法则是解题的关键.两数相乘（除），同号得正，异号得负. 11．若1＜x ＜2，则|2||1|||21x x x x x x---+--的值是（） A ．﹣3 B ．﹣1C ．2D ．1【答案】D 【解析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【详解】解：12x <<，20x ∴-<，10x ->，0x >，∴原式1111=-++=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．12．下列等式或不等式中：①0a b +=；②0ab <；③a b a b -=+；④()00,0a b a b ab+=≠≠，表示a 、b 异号的个数有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得．【详解】 ①当0ab 时，0a b +=，但,a b 同号；②0ab <，则,a b 异号； ③当0ab时，0a b a b -=+=，但,a b 同号；④因为0,0a b ≠≠，所以分以下四种情况：当0,0a b >>时，112a a b b ba a b++==+=，当0,0a b ><时，1(1)0a a b b a a b b==+-++=-，当0,0a b <>时，110b b b a a b a a -++==-+=，当0,0a b <<时，1(1)2b b b a a b a a ==-+---+=-+，则只有当,a b 异号时，0a ba b+=；综上，表示,a b 异号的个数有2个，故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解题关键．二、填空题 13．计算：（1）(－4)×15×(－35)=_____（2）(－45)×12×47×(－358)=_____【答案】36 1 【解析】（1）原式=（-60）×（-35）=36；（2）原式=（-45×12）×（-358×47）=（-25）×（-208）=1.故答案为(1) 36，(2) 1.点睛：计算分数的乘积时，可以将分子分母相同或成倍数的两项结合起来计算，便于约分. 14．指出下列变化中所运用的运算律：（1）3×(-2)=-2×3_____；（2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)]_____；（3）68×(524-216)=68×524-68×216．________．【答案】乘法交换律乘法结合律乘法分配律【解析】利用乘法运算律判断即可得到结果．【详解】解：（1）3×(-2)=-2×3，乘法交换律；（2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)]，乘法结合律；（3）68×(524-216)=68×524-68×216，乘法分配律．故答案为：（1）乘法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律．【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算律是解本题的关键．15．如果两个数在数轴上对应的两个点在原点同侧，则这两个数的积是________．【答案】正数【解析】根据数轴的特点即可求解．【详解】如果两个数在数轴上对应的两个点在原点同侧，则两数同号，乘积为正故答案为：正数．【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的运算法则．16．用字母表示有理数乘法的符号法则：（1）若a＞0，b＞0，则ab____0，若a＞0，b＜0，则ab____0；（2）若a＜0，b＞0，则ab____0，若a＜0，b＜0，则ab____0；（3）若a≠0，b＝0，则ab____0．【答案】＞＜＜＞=【解析】根据乘法法则“两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0”解答即可．【详解】（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0；（2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∵a＜0，b＜0，∴ab＞0；（3）∵a≠0，b=0，∴ab=0；故答案为：＞，＜，＜，＞，=．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，解此题的关键是熟记法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．17．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是____；（2）47⎛⎫-⎪⎝⎭×35⎛⎫- ⎪⎝⎭×23⎛⎫- ⎪⎝⎭×12⎛⎫-⎪⎝⎭的积的符号是___．【答案】－+【解析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决；（2）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决．【详解】（1）（－2）×（－2）×2×（－2）中有3个乘数为负，积的符号是－；（2）47⎛⎫-⎪⎝⎭×35⎛⎫- ⎪⎝⎭×23⎛⎫- ⎪⎝⎭×12⎛⎫-⎪⎝⎭中有4个乘数为负，积的符号是+．故答案为：－；+．【点睛】本题考查了有理数乘法及应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．被除数是－312，除数比被除数小112，则商为________．【答案】0.7【解析】分析：先确定除数，再根据商=被除数÷除数，即可求解．详解：∵被除数是﹣312，除数比被除数小112，∴除数为﹣312﹣112=﹣5，∴商为﹣312÷（﹣5）=0.7．故答案为0.7．点睛：本题考查了有理数的除法，解决此题的关键是利用在除法里，商=被除数÷除数．19．若m+1与﹣2互为倒数，则m的值为_____．【答案】-3 2【解析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1可解．【详解】解：根据题意得：（m+1）×（-2）=1，解得m＝−32．故答案为：−32．【点睛】此题考查倒数，解题关键在于掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．20．在-2 、-3 、4、5 中选取2个数相除，则商的最小值是________.【答案】5 2 -【解析】根据同号两数相除为正数，异号两数相除为负数，将每两个异号的数相除，选出商的最小值. 【详解】解：∵1242，422，2255，5522， 3344，4433，3355，5533， ∴商的最小值为52-. 故答案为：52-. 【点睛】本题考查有理数的除法，掌握除法法则是解答此题的关键.21．若0a <，则aa=______ ．【答案】-1 【解析】根据绝对值的性质和有理数的除法法则判断即可．【详解】解：当0a <时，||a a =-，所以，1aa a a -==-．故答案为：-1．【点睛】本题考查化简绝对值和有理数的除法．需理解负数的绝对值是它的相反数和互为相反数的两个数（这两个数不能为0）商为-1．22．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是________. 【答案】 -2或-12【详解】试题分析：这两个数的积为负数，则这两个数一正一负，又因一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，则这两个数可能是8和-4，或4和-8.所以大数除以小数所得的商是-2或-12. 试题解析：设|a |=8，|b |=4，则a =8或a =-8，b =4或b =-4. 因为ab <0，所以当a =8时，b =-4，则8-4=-2；当a =-8时，b =4，则4-8=-12.23．若“！”是一种数学运算符号，1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…，则 2016!2015!的值为________．【答案】2016 【解析】根据1!=1，2！=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1…得出规律，就是n!=n×（n-1）×（n-2）×…×1，根据这一规律即可得出答案．【详解】解：∵1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…， ∴2016!201620152014120162015!201520141⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯. 故答案为2016. 【点睛】此题考查了有理数的乘除法，解题的关键是根据题意，找出之间的规律，列出式子． 24．一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝﹣1，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝_____．【答案】20172【解析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，11a =-，211112a a ==-， 32121a a ==-， 41a =-，…故上面的数据以1-，12，2为一个循环，依次出现， 131222-++=，202036731÷=⋅⋅⋅， 1232020a a a a ∴+++⋯+111(12)(12)(12)(1)222=-+++-+++⋯+-+++- 3673(1)2=⨯+- 20172=故答案为：20172．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．三、解答题 25．计算（1）(3)(4)(11)(19)-+--+--；（2）523()(12)1234+-⨯-．【答案】（1）1；（2）－4．【解析】（1）利用有理数加减混合运算的计算方法计算即可；（2）利用乘法分配律进行简便运算，计算后即可得出结果．【详解】解：（1）(3)(4)(11)(19)-+--+--(3)(4)(11)19=-+-+-+1819=-+ 1=；（2）523()(12)1234+-⨯- 523(12)(12)(12)1234=⨯-+⨯--⨯- 589=--+ 4=-．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解题的关键． 26．用简便方法计算．(1) (114－16－12)÷(－136)； (2) (－191819)×19．【答案】(1) －21；(2)－379 【解析】（1）先将带分数转化为假分数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配率分别计算即可；（2）先将181919⎛⎫- ⎪⎝⎭分为12019⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再运用乘法分配率计算即可．【详解】解：（1）1111146236⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()511=36462⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭()()()511=363636462⨯--⨯--⨯- =45618-++=21-（2）18191919⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭1=201919⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭ 1=20191919-⨯+⨯ =3801-+=379-【点睛】本题考查了有理数乘除运算，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．27．计算：（1）1111324⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭ 110 （2）()374485212⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ 【答案】（1）43-；（2）19. 【解析】（1）先把括号内通分，先计算括号内的减法，同时把除法转化为乘法，再利用乘法的结合律先计算后两个数的乘法，从而可得答案；（2）利用乘法的分配律把原式化为：()()()3752424244128⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪⎝⎭，再先计算乘法，最后计算加减即可得到答案．【详解】解：（1）1111132410⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭ 23410665⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 186⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭4.3=- （2）()374485212⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭()()()3752424244128⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯- ⎪⎝⎭()181415=+-+19.=【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除的混合运算，同时考查乘法的分配律，掌握利用运算的先后顺序及乘法的分配律是解题的关键．28．某粮店进了一批大米，第一天卖出了13，第二天卖出了1.5吨，已卖的大米占这批大米的一半．这批大米有多少吨？【答案】这批大米有9吨【解析】先求出第二天占整体的部分，然后应用有理数除法法则即可．【详解】第二天卖出大米占整体的比例：111236-= ∴11.5 1.5696÷=⨯=（吨）故答案为9吨．【点睛】本题考查了有理数的除法和减法，先求出部分占整体的比例是本题的关键．29．已知a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，x 绝对值为1，求2a b mn x m n+-+--值．【答案】3-或1-【解析】根据相反数、倒数的定义，可知a ＋b ＝0，mn ＝1，将它们代入，即可求出结果．【详解】∵a 、b 互为相反数，∴a ＋b ＝0；∵m 、n 互为倒数，∴mn ＝1；∵x 的绝对值为1，∴x ＝±1．①当x ＝1时，原式＝−2＋0−1＝−3；②当x ＝−1时，原式＝−2＋0＋1＝-1．【点睛】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数的和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键．30．某粮库一周前存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？（2）若运进的粮食为购进的，购买价为4000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为4600元/吨，则这一周的利润为多少？（3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到200吨？【答案】（1）本周星期一的剩下的粮食最多，为135吨；（2）14000元；（3）9周．【解析】（1）理解“+”表示进库“-”表示出库，求出每天的情况即可求解，（2）这一周的利润=卖出的钱数-购买的钱数，依此列式计算即可求解；（3）由200吨减去本周的粮食数量110吨，再根据每周的进出粮食的数量为+10吨，列式计算即可求解．【详解】解：（1）星期一：()100++35=135，星期二：()135+20115,-=星期三：()115+3085,-=星期四：()85++25=110，星期五：()110+2486,-=星期六：()8640126,++=星期天：()126+16110,-=所以本周星期一的剩下的粮食最多，为135吨．（2）由题意得：购进的粮食有：35+25+40=100（吨），卖出的粮食有：2030241690+++=（吨），所以：这一周的利润：460090400010014000⨯-⨯=（元）．（3）由题意得：()()200110100909,-÷-=所以再过9周粮库存粮食达到200吨．【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，同时考查了有理数的加减运算，有理数的乘除运算，掌握以上知识是解题的关键．31．观察下列等式112⨯＝1﹣12，123⨯＝12﹣13，134⨯＝13﹣14，将以上三个等式两边分别相加得112⨯+123⨯+134⨯＝1﹣12+12﹣13+13﹣14＝1﹣14＝34．（1）猜想并写出1(1)n n =+ ；（2）112⨯+123⨯+134⨯+…+120162017⨯＝；（3）探究并计算：111124466820162018++++⨯⨯⨯⨯；（4）计算：11111111141224406084112144180++++++++．【答案】（1）111n n -+；（2）20162017；（3）2521009；（4）920．【解析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；（3）先根据乘法分配律提取14，再参照（2）进行计算即可得；（4）先根据乘法分配律提取12，再参照（2）进行计算即可得．【详解】（1）111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯，归纳类推得：111(1)1n n n n =-++，故答案为：111n n -+；（2）111112233420162017， 111111112233420162017=-+-+-++-， 112017=-， 20162017=，故答案为：20162017；（3）111124466820162018++++⨯⨯⨯⨯， 11111412233410081009⎛⎫=⨯+++⋯+ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭， 11111111223143410081009-+-+-+⎛⎫=⨯ ⎪⎝+-⎭， 11141009⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 1100841009=⨯， 2521009=；（4）11111111141224406084112144180++++++++， 111111111203012261245292607⎛⎫++++++++ ⎪⎝⨯⎭=，111112122334910⎛⎫=⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭， 111111112223490131-+-+-⎛++⎫=⨯ ⎪⎝-⎭， 111210⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 19210=⨯， 920=．【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 32．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.（提出问题）两个有理数a 、b 满足ab ＞0，求a a b b+ （解答问题）解：由题意得：a ，b 两个有理数都为正数或两个有理数都为负数①a ，b 两个都是正数，即a ＞0，b ＞0，时，则 a a b b +=a b a b +=1+1=2 ②当a ，b 两个都是负数，即a ＜0，b ＜0，时a a b b +=(1)(1)2a b a b --+=-+-=-，所以a a b b + =2或-2 （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）两个有理数a ，b 满足ab ＜0，求a a b b+ （2）已知|a|=3，|b|=1，且a ＜b ，求a+b 的值．【答案】（1）0；（2）-2或-4【解析】（1）根据题意因为ab ＜0，可分两种情况，①当a ＞0，b ＜0；②当b ＞0，a ＜0，进而得出答案；（2）根据绝对值的意义，先计算出a=±3，b=±1，根据条件a ＜b 求解即可得出答案．【详解】解：∵ab＜0，∴ a、b异号，①当a＞0，b＜0时，则||||110;+=-= a ba b②当b＞0，a＜0，则||||-1+10;+== a ba b∴aabb+的值为0（2）∵|a|=3，|b|=1，∴a=±3，b=±1，又∵a＜b，∴①a=-3，b=1，则a+b=-3+1=-2，②a=-3，b=-1，则a+b=-3+（-1）=-4，∴a+b的值为：-2或-4【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，正确分类讨论是解题关键．。

.6有理数的乘方及混合运算

1.6有理数的乘方及混合运算【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数乘方1. 把下列各式写成幂的形式： (1)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)xxxxxxyy ．【答案与解析】(1)44222222555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；(3) 62xxxxxxyy x y =【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.2．计算：（1）3(4)- （2）34- （3）4(3)- （4）43-（5）⎛⎫⎪⎝⎭335 （6）335 （7）22×3（）（8）22×3【答案与解析】（1）3(4)-(4)(4)(4)64=-⨯-⨯-=-；（2）34-44464=-⨯⨯=-；（3）4(3)-(3)(3)(3)(3)81=-⨯-⨯-⨯-=；（4）43-333381=-⨯⨯⨯=-；（5）⎛⎫ ⎪⎝⎭33533327555125=⨯⨯=；（6）3353332755⨯⨯==；（7）3⨯（2）22636==；（8）22×32918=⨯=【总结升华】()n a -与n a -不同，()()()n n a a aa -=--⋅⋅⋅个，而nn a aa a -=-⋅⋅⋅个表示a 的n 次幂的相反数．举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)225⎛⎫⎪⎝⎭(4)(-1.5)2【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；(2)23＝2×2×2=8；(3)2222455525⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭(4) (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】（南充）计算：(-1)2009的结果是( )．A ．-lB ．1C ．-2009D ．2009 【答案】A类型三、有理数的混合运算4.计算：（1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36（3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)【答案与解析】（1）法一：原式＝517(1)(7)(7)666-⨯-=⨯-=-；法二：原式=1117(11)(29)(7)2366-+⨯⨯-=⨯-=- （2）原式()=⎡⎤⎣⎦1-1-×2--276=1-1-×296=35-6(3)原式=411(+-(-2384=-32-3+66-9=22 (4) 原式=11-+|-8-3|-0.0010.04=-1000-25+11=-1014 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式1】计算：4211(10.5)[2(3)]3---⨯--- 【答案】原式111151(29)1(7)123666⎛⎫=--⨯--=----=--+= ⎪⎝⎭【变式2】计算：2421(2)(4)12⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭【答案】原式11116(4)11612444=÷-⨯-=-⨯⨯-=5.20032004(2)(2)-+-=（）（A ）2- （B ）4007(2)- （C ）20032（D ）20032-【答案】C【解析】逆用分配律可得：20032004200320032003(2)(2)(2)[1(2)](2)2-+-=-+-=--=，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 举一反三：【变式】计算：7734()()43-⨯-【答案】7773434()()[()()]14343-⨯-=-⨯-=类型四、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n 次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【答案】8; 32; 2n ; 6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122=；第2次：224=；第3次：328=；…；第n 次：2n .第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n 次捏合抻拉得到2n ；因为6264=，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】(2009·肇庆)已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6【巩固练习】一、选择题1.下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n )，都有(m －n)2＞0；④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3．A ．1B ．2C ．3D ．02.下列说法中，正确的是（）A ．一个数的平方一定大于这个数；B ．一个数的平方一定是正数；C ．一个数的平方一定小于这个数；D ．一个数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是 ( )．A ．-23与(-2)3B ．-22与(-2)2C ．22()5与225D ．(2)--与2-- 4．式子345-的意义是（）A. 4与5商的立方的相反数B.4的立方与5的商的相反数C.4的立方的相反数除5D.45-的立方5．(2010·浙江杭州)计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．2 6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．A ．7B ．9C ．3D ．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．612⎛⎫⎪⎝⎭米D ．1212⎛⎫⎪⎝⎭米二、填空题1．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在225中底数是________，指数是________．2．一个数的平方等于它本身的数是____；一个数的立方等于它本身的数是．3.()3--= ；52-= ；313⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；225= ．4. 3[(3)]_______---=,233(2)_______-⨯-= 5．213____+= ， 2135_____++=，21357_____+++= ，……，从而猜想：135+++ (2)2005_____+=.6. 21(2)________3-= 三、解答题1. 计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4；(2)232121(3)242433⎛⎫⎛⎫-÷⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)2(5)10.8( 2.25)77⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪⎝⎭；(4)75218 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭．2. 已知x 的倒数和绝对值都是它本身，y 、z 是有理数，并且2|3|(23)0y x z +++=，求32525x yzx y --+-的值．3. 探索规律：观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64，… ① -2， -8， 4， -20， 28， -68，… ② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③ (1) 第①行第10个数是多少？(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B【解析】①错：当m 为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数. 2.【答案】 D 【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：2242=>；而2111()242=<；200=，从而A ，C 均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B 错，只有D 对. 3.【答案】A【解析】-23=-8, （-2）3= -8． 4.【答案】B 【解析】345-表示4的立方与5的商的相反数 5.【答案】C【解析】 (-1)2＝1，(-1)3＝-1 6.【答案】D【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以1007的个位数字应为1.7.【答案】C 二、填空题1.【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2 【解析】依据乘方的定义解答2.【答案】0,1；0,1,-1;3.【答案】3, -32, 14,2754.【答案】-27，725.【答案】21003【解析】2132+= ， 21353++=，213574+++=， ……从而猜想：每组数中，右边的幂的底数a 与左边的最后一个数n 的关系是：12n a +=. 所以13+++……22120052005()10032++==.6.【答案】459【解析】222117494(2)(2)()533399-=+===三、解答题1.【解析】(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4＝-8+9-8＝-7；(2)232121(3)242433⎛⎫⎛⎫-÷⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭164444033=-++=-+=； (3)2(5)10.8( 2.25)77⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪⎝⎭7491519547=-⨯⨯⨯⨯=-；(4)75218 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭141526 2.511516=-++⨯=+=．2.【解析】因为x 的倒数和绝对值都是它本身，所以x ＝1，又因为|y+3|+(2x+3z )2＝0，所以y+3＝0且2x+3z ＝0．所以y ＝-3．当x ＝1时，2x+3z ＝0，23z =-. 把x ＝1，y ＝-3，23z =-代入得：3232252(3)52541351(3)51953x y z x y ⎛⎫-⨯-⨯- ⎪--⎝⎭===-+--+---+-．3.【解析】（1）2, -4，8，-16，32，-64，…①第①行可以改写为：2，,,，……,,……由-2的指数规律，可以知道n=10时，即=-1024为第①行第10个数.（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；（3）第②行第10个数为-1024-4=-1028第③行第10个数为（-0.5）（-1024）=512 所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540.。

浙教版数学七年级上册有理数的乘方课件

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(2)(3)10的底数是-_3_, 指数是 _1_0, (3)10 表示10个
-_3_ 相乘，叫做-_3_的10次方，也叫做 3的_1_0次幂。
(3) 5的底数是__5__,指数是_1____。
一个数可以看做这个数本身的一次方，１通常省略不写
• 1、把下列相同的因数写成幂的情势,并说明底
数和指数 (1)(6) (6) (6)
3
2
一个数的三次方，也称（这个数的立方）
102读作10的平方，也读作 10的二次方。
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——————————————
83读作 8的立方，也读作 8的三次方。
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问题：
• 6x6x6x6x6= 65
读作“6的5次方”,或 “6的5次幂”
n个a
a×a×a···×a = an
底数
an
指数
其中a是相同的因数
幂
n是相同因数的个数
运算加减乘除乘方结果和差积商幂
），，，也也也读读读作作作（
。。）。
——————
注意! —————————————————————————————
一个数的二次方，也称(这个数的平方 )
• 10x10x10x10x10= 105
读作“10的5次方”
•（-2）x（-2） x（-2）x（-2）x（-2） x（-2）= （-2）6
读作“-2的6次方”
(1)、（2）7表示7__ 个 2 相乘，叫做2的 _7_ 次方，
9
9
9
也叫做 2的7__ 次幂，其中2 叫做底__数,7叫做 _指_数_;

有理数的乘方及混合运算PPT学习教案

加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算.
的，然后算大括号里的.
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计算：
8 32 2
解：
8 32 2 8 9 2 8 18 18 8
10
100 22 2 2
3 解：
100 22 2 2
=2×（-27）+12+15=-54+12+15=-27
② (2)3 (3) [(4) 2 2] (3) 2 (2)
=-8+(-3)×(16+2)-9（× - 1 ） 2
=-8+(-54)+4.5
=-57.5 有理数的混合运算涉及多种运算,
确定合理的运算顺序是正确解题的关键.
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5
__6__;
6666
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二、把下列乘方写成乘法的形式：
1、 0.=93 0.9 0；.9 0.9
2、 9=4
7
9 7
9 7
；79
9 7
思考：用乘方式子怎么表示 3的3 相反数？
33的相反数 33
是
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_7__1_.次(方29，也)7表叫示做_7_29_的个_729__相次乘幂，，叫其做中
;
3 、
0
23
(4)3
1 8
;
4 (2)3 0.5 (1.6)2 (2)2.
、
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回顾与小结
本节课里你学到了什么？
1、乘方是特殊的乘法运算，所谓特殊就是所乘的因数是相同的； 2、有理数的乘方的意义和相关概念；
幂的底数是分数或负数时,底数应该添上括号. 3、乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数；