最新精编高中人教A版必修一高中数学同步习题第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.1第2和答案

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高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-1知识点总结含同步练习题及答案

(2 x )2 + 2 x − 6 = 0,
令 t = 2 x ，则 t > 0 ，所以
t 2 + t − 6 = 0.
解得 t = 2 或 t = −3．因为 t > 0 ，所以 t = 2 ，即 2 x = 2 ，所以 x = 1．若 a−5x > ax+7 (a > 0 且 a ≠ 1)，求 x 的取值范围．
< 1 的解为
(
)
B．−2 < t < 1 C．−2 < t < 2 D．−3 < t < 2
A．1 < t < 2
答案： A 解析：若不等式
x2 − 2ax + a > 0，对 x ∈ R 恒成立，则 Δ = 4a2 − 4a < 0 ∴ 0 < a < 1 又 2 a2t+1 < at +2t−3 < 1 ，则 2t + 1 > t 2 + 2t − 3 > 0 t + 1 > t 2 + 2t − 3 ∴ 1 < t < 2 ．即 { 22 t + 2t − 3 > 0
2
3 3 ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数，所以 2 2 3 3 −x2 +3x+2 在 f (x) = 2 (−∞, ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数． 2 2 x （2）函数的定义域为 R，令 t = 2 (t > 0)，则 y = (2 x )2 − 2 × 2 x + 5 = t 2 − 2t + 5 = (t − 1)2 + 4，根据该函数的图象可得，y ∈ [4, +∞)．当 t ≥ 1 时，y = (t − 1)2 + 4 在 [1, +∞) 上为增函数，又 2 x ≥ 1 ，即 x ≥ 0，且 t = 2 x 在 [0, +∞) 上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法知，原函数在 [0, +∞) 上是增函数．同理，原函数在 (−∞, 0] 上为增函数．

高一数学人教a版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.1.2.1_word版有答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．答案： B2．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( ) A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)解析：当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．答案： C3．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：要使函数有意义，则16－4x ≥0.又因为4x >0，∴0≤16－4x <16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．答案： C4．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝－x 对称解析：设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x ＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数f (x )＝2a x－1＋3(a >0且a ≠1)，若f (1)＝4，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝4得a ＝3，把x ＝－1代入f (x )＝23x－1＋3得到f (－1)＝0，故答案为0. 答案： 0 6．函数y ＝2a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：令x －2＝0，解得x ＝2，则y ＝3.所以过定点(2,3)．答案： (2,3)7．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图，则f (3)＝________.解析：由题意知，f (x )的图象过点(0，－2)和(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 0＋b ＝－2，a 2＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3(a >0)，b ＝－3. ∴f (x )＝(3)x －3.∴f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案： 33－3三、解答题(每小题10分，共20分)8．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解析： (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2. 解析： (1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ≠1；故21x －1>－1且21x －1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2. 故0<⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0,9]．。

高一数学人教a版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.2.1.1_word版有答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.答案： B2．若log a 2b ＝c 则( )A ．a 2b ＝cB ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b解析： log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b .答案： B3．已知log 2x ＝3，则x －12等于( )A.13B.123 C.133 D.24解析： ∵log 2x ＝3，∴x ＝23＝8.∴x －12＝8－12＝122＝24.故选D.答案： D4．在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>0a －2≠1，5－a >0解得2<a <3或3<a <5.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．ln 1＋log (2－1)(2－1)＝________.解析： ln 1＋log (2－1)(2－1)＝0＋1＝1.答案： 16．已知a >0，且a ≠1，若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________________________________________________________________________.解析： ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 答案： 127．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 81x ，x >1，则满足f (x )＝14的x 的值为________．解析：由题意得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－x ＝14或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，log 81x ＝14，解(1)得x ＝2，与x ≤1矛盾，故舍去，解(2)得x ＝3，符合x >1.∴x ＝3.答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)8．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：(1)35＝243；(2)2－5＝132； (3)log 1216＝－4；(4)log 2128＝7. 解析： (1)由35＝243得log 3243＝5；(2)由2－5＝132得log 2132＝－5； (3)由log 1216＝－4得⎝⎛⎭⎫12－4＝16； (4)由log 2128＝7得27＝128.9．求下列各式中x 的值：(1)log 3(log 2x )＝0；(2)log 2(lg x )＝1；(3)52－log 53＝x ；(4)(a log ab )log bc ＝x (a >0，b >0，c >0，a ≠1，b ≠1)．解析： (1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2；(2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100；(3)x ＝52－log 53＝525log 53＝253； (4)x ＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝c .。

高一数学人教版必修1 第二章《基本初等函数》同步课件2.2.1.1

其中错误说法的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
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解析：只有符合 a>0，且 a≠1，N>0，才有 ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．
答案： C
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
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解析：因为 lg 10＝1，所以 lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；因为 ln e＝1，所以 lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若 10＝lg x，则 x＝1010，③错误；由 log25x＝12，得 x＝2512＝5，④错误．答案： ①②
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提示：设ab＝N，则b＝logaN. ∴ab＝alogaN＝N.
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1．对于下列说法：
(1)零和负数没有对数；
(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以 10 为底的对数叫做自然对数；
(4)以 e 为底的对数叫做常用对数．
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1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)43＝64； (3)log1327＝－3；(4)log x64＝－6.
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高一数学人教a版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.1.1_word版有答案

高一数学人教a 版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.1.1_word 版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算结果中正确的为( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝－a 6解析： a 2·a 3＝a 5，(－a 2)3＝(－1)3·(a 2)3＝－a 6，而(－a 3)2＝a 6，∴在a ≠0时(－a 2)3≠(－a 3)2；若a ＝1，则(a －1)0无意义，所以只有D 正确．答案： D2.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73. 答案： D3．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x －2－85化成分数指数幂为( ) A ．x －13B ．x 415C ．x －415D ．x 25解析：原式＝⎝⎛⎭⎫x 16·x －23×12－85＝⎝⎛⎭⎫x 16－13－85＝x －16×⎝⎛⎭⎫－85＝x 415. 答案： B4．下列说法中，正确说法的个数为( )①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ；④3－5＝6(－5)2. A ．0B ．1C ．2D ．3解析： ①中，若n 为偶数，则不一定成立，故①是错误的；②中，因为a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≠0，所以(a 2－a ＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，是错误的，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．[(－5)4]14－150的值是________．解析： [(－5)4]14－150＝(54)14－150＝5－1＝4. 答案： 46．设α、β为方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫14α＋β＝________________________________________________________________________.解析：由根与系数关系得α＋β＝－32，所以⎝⎛⎭⎫14α＋β＝⎝⎛⎭⎫14－32＝(2－2)－32＝23＝8. 答案： 87．已知x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x 的值为________．解析：因为x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，即|x －2|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝2，y ＝－3.即y x ＝(－3)2＝9.答案： 9三、解答题(每小题10分，共20分)8．计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56； (2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388. 解析： (1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56 ＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a ；(2)⎝⎛⎭⎫m 14n －388＝⎝⎛⎭⎫m 148⎝⎛⎭⎫n －388＝m 2n －3 ＝m 2n 3. 9．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2140.5－0.752＋6－2×⎝⎛⎭⎫827－23； (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫8116－34.解析： (1)⎝⎛⎭⎫2140.5－0.752＋6－2×⎝⎛⎭⎫827－23＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32212－⎝⎛⎭⎫342＋136×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫233－23＝32－⎝⎛⎭⎫342＋136×⎝⎛⎭⎫23－2 ＝32－916＋136×94＝1.(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫8116－34＝()2323－(2－1)－3＋⎝⎛⎭⎫3－12－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324－34＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4.。

高中数学(人教A版,必修一) 第二章基本初等函数 2.2.1第1课时课时作业(含答案)

§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时对数课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________．3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数__________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x ＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________.8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝________. 三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1. (2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式：①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2) log a N a ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化§2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算第1课时对数知识梳理1．以a 为底N 的对数 x ＝log a N 对数的底数真数 2.常用对数自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数作业设计1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．]2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．]3．C [由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.]4．A [∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.] 5．A [由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ， ∴b ＝(a c )5＝a 5c .] 6．C [(12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)12log 4＝2×4＝8.] 7.24解析由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3.9.110解析依据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3； ③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3. 11．解 A ＝12x ·(122x y -)16＝51213x y . 又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝3535aa ＝1.12．C [由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5.∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.] 13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a . ②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a ＝6，所以log 26＝3a .。

高中数学第二章基本初等函数(I)综合测试题(含解析)新人教A版必修1(2021年整理)

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第二章基本初等函数（I）综合测试题（时间:120分钟分值:150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中与函数y＝x相等的函数是（）A．y＝（错误!）2B．y＝错误!C．y＝2log2x D．y＝log22x答案：D 解析：函数y＝x的定义域为R.选项A中函数y＝（错误!)2的定义域为［0，＋∞）；选项B中函数y＝错误!＝|x｜;选项C中函数y＝2 log2x＝x，定义域为(0，＋∞)；选项D中y＝log22x＝x，定义域为R.2．函数y＝（1－x）错误!＋log3x的定义域为( )A．(－∞,1］B．（0,1］C．（0，1) D．[0,1］答案：B 解析:由题意得，1－x≥0且x>0，解得0<x≤1，故选B.3．若函数y＝f(x)是函数y＝a x（a>0,且a≠1）的反函数，其图象经过点(错误!，a),则f （x）＝（)A．log2x B．log错误!xC.错误!D．x2答案:B 解析：因为函数y＝f（x）图象经过点(a，a)，所以函数y＝a x(a〉0，且a≠1）过点（a，错误!），所以错误!＝a a，即a＝错误!，故f(x）＝log错误!x。

高一数学人教a版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.2.1.2_word版有答案

高一数学人教a 版必修一_习题_第二章_基本初等函数(ⅰ)_2.2.1.2_word 版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．化简log 618＋2log 62的结果是( )A ．－2B ．2 C. 2 D ．log 62解析： log 618＋2log 62＝log 618＋log 6(2)2＝log 6(18×2)＝log 662＝2.答案： B2．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3aB.32a C ．aD.a 2解析： lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案： A3．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12B ．9C ．18D ．27 解析：由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，∴lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9.∴m ＝9，选B.答案： B4．已知2x ＝3y ，则x y＝( ) A.lg 2lg 3 B.lg 3lg 2C ．lg 23D ．lg 32 解析：对等式2x ＝3y 两边取常用对数，得lg 2x ＝lg 3y ，即x lg 2＝y lg 3，所以x y ＝lg 3lg 2，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．计算log 927＋log 224＝________. 解析： log 927＋log 224＝log 9932＋log 22－log 24＝32＋12－2＝0. 答案： 06．已知m >0，且10x ＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________. 解析： lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1， ∴10x ＝1＝100.∴x ＝0.答案： 07．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y＝________. 解析：因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x >0，y >0且x －2y >0.所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. 答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)8．计算下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64；(3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解析： (1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 533×5014＋log 122＝log 553－1＝2. (2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32⎝⎛⎭⎫log 23＋12log 23＝56log 32·32log 23 ＝54lg3lg2·lg2lg3＝54. 9．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z. 证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y.。

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O Ox1 x1 1 y y O 1 x xy－1 －1第二章基本初等函数（Ⅰ）（必修1人教A 版）一、选择题(每小题5分，共50分)1.设P 和Q 是两个集合，定义集合P Q -={},x x P x Q ∈∉且，如果{}2l o g 1P x x =<，{}21Q x x =-<，那么P Q -等于（）A.{}01x x <<B.{}01x x <≤C.{}12x x <≤D.{}23x x <≤2.函数e e e e x xx xy --+=-的图象大致为（）y 1 1A B1CD3.若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)(]0,11,4 D.()0,14.若函数3()()f x x x =∈R ,则函数()y f x =-在其定义域上是（） A.单调递减的偶函数 B 单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数5.若01x y <<<，则（）A.33y x <B.log 3log 3x y <C.44log log x y <D.1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若1()21xf x a =+-是奇函数，则a 等于（） A.0 B.12 C.1 D.12- 建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分7. 已知函数()f x 满足：当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当4x <时，()(1)f x f x =+，则2(2l o g 3)f +=（） A.124 B.112 C.18 D.388.若()13e ,1,ln ,2ln ,ln x a x b x c x -∈=== ，则（）A.a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a <<9.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x y f x +=+ ()2(,),(1)2f y xy x y f +∈=R ,则(3)f -等于（） A.2 B.3 C.6 D.9 10.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（）A.24 B.22 C.14 D.12二、填空题（每小题6分，共24分）11.函数21ln 11y x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的定义域为 .12.如果函数2(0)ay x x=<的图象与函数21(0)y a x x =+<的图象有两个交点，那么a 满足的条件是 .13.方程223xx -+=的实数解的个数是 . 14.设0,1a a >≠且，若函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 . 三、解答题（共76分）15.（12分）已知3227log 9,log 25p q ==，试用,p q 表示lg 5 .16.（12分）求不等式x x 283312-->⎪⎭⎫⎝⎛的解集.17.（12分）已知函数22xxy b a +=+(,a b 是常数且0a >，1a ≠)在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有m a x 3y =，min 52y =，试求a 和b 的值.18.（12分）已知函数()2lg(21)f x ax x=++，（1）若()f x的定义域是R，求实数a的取值范围及()f x的值域；（2）若()f x的值域是R，求实数a的取值范围及()f x的定义域. 19.（14分）函数222()log(01)12bx xf x b bax-+=>≠+且.（1）求()f x的定义域；（2）求使()0f x≥在()0,+∞上恒成立的实数a 的取值范围.20．（14分）已知定义在()0,1上的函数2()41xxf x=+.（1）求证：函数()f x在()0,1上是单调递减的；（2）求λ的取值范围，使方程()0f xλ-=在()0,1x∈上有根.第二章基本初等函数（Ⅰ）（必修1人教A版）得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.20.第二章基本初等函数（Ⅰ）（必修1人教A 版）1.B 解析：由题意，得{}{}02,13P x x Q x x =<<=<<，所以{}01.P Q x x -=<≤2.A 解析：要使函数有意义，需使e e0xx--≠，其定义域为{}0,x x ≠e e e e ()()e e e ex x x xx x x x f x f x ----++-==-=---，所以函数图象关于原点对称，排除 D.又因为222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xy --++===+---，所以当0>x 时，函数为减函数，排除B,C ，故选A.3.B 解析：因为()y f x =的定义域是[]0,2，所以要使(2)()1f x g x x =-有意义，需022,10,x x ⎧⎨-≠⎩≤≤ 所以01x <≤.4.B 解析：由33()()()f x x x f x -=-=-=-，得3()y f x x =-=-，结合幂函数的图象和性质即得.5.C 解析：因为3x y =在R 上是增函数，且01x y <<<，所以33x y <，故A 错误. 因为3log y x =在()0,+∞上是增函数，且01x y <<<，所以333log log log 10x y <<=，所以33110log log x y>>，所以log 3log 3x y >，故B 错误. 因为4log y x =在()+∞,0上是增函数，且01x y <<<，所以44log log x y <，故C 正确.因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且01x y <<<，所以yx ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛4141，故D 错误.6.B 解析：因为()()f x f x -=-，即112121x x a a -+=----，所以22121221x x x x x a a a a +-∙--∙+=--，所以(1)22(1)x xa a a a --=-∙+-，所以1,1,a a a a -=-⎧⎨-=-⎩ 所以12a =. 7.A 解析：因为22log 34+<，故222(2log 3)(2log 31)(3log 3)f f f +=++=+. 又23log 34+>，故23log 3321111(3log 3)22324f +⎛⎫⎛⎫+==⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8.C 解析：因为11ex <<，所以1ln 0x -<<.令ln t x = ，则10t -<<，所以20,a b t t t -=-=->所以a b >.32(1)(1)(1),c a t t t t t t t -=-=-=+-又因为10t -<<，所以011,211,t t <+<-<-<-所以0,c a ->所以c a >，所以c a b >>.9.C 解析：因为(1)(01)(0)(1)201(0)(1)f f f f f f =+=++⨯⨯=+，所以(0)0f =. 因为(0)(11)(1)(1)2(1)1(1)(1)2f f f f f f =-+=-++⨯-⨯=-+-，所以(1)0f -=. 因为(1)(21)(2)(1)2(2)1(2)(1)4f f f f f f -=-+=-++⨯-⨯=-+-，所以(2)2f -=.因为(2)(31)(3)(1)2(3)1(3)(1)6f f f f f f -=-+=-++⨯-⨯=-+-，所以(3)6f -=.10.A 解析：因为01a <<，所以()l o g a f x x =是()0,+∞上的减函数，从而有()3(2)f a f a =，即l o g 3l o g (2a aa a =，解得24a =. 11.(]1,0 解析：列出函数有意义的限制条件，解不等式组. 要是函数有意义，需2110,10,x x ⎧+>⎪⎨⎪-⎩≥即210,1,x x x +⎧>⎪⎨⎪⎩≤即10,11,x x x <->⎧⎨-⎩或≤≤解得01x <≤，所以定义域为(]1,0.12.102a -<< 解析：由题意知方程221aa x x+=有两个不同的负根，即2220a x x a +-=有两个不同的负根，所以20,10,20,a a∆⎧⎪>⎪⎪-<⎨⎪⎪->⎪⎩所以3180,0,a a ⎧+>⎨<⎩所以31,80,a a ⎧>-⎪⎨⎪<⎩所以331,20,a a ⎧⎛⎫>-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩所以102a -<<.13.214.{}23x x << 解析：本题主要考查函数值域的求法以及对数不等式的解法.要使2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，则01a <<，所以2log (57)0log 1a a x x -+>=，即22570,571,x x x x ⎧-+>⎪⎨-+<⎪⎩解得23x <<.15.解：2322log 3,log 553p q ==,lg 5=333333log 5log 515232log 10log 5log 215425q pq pq q p===+++. 16.解：由已知282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，得2821133x x-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上是减函数，所以282x x -<，即2280x x --<，解得24x -<<.因此原不等式的解集是{}24x x -<<.17.解：令()22211u x x x =+=+－,3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ 当1x =－时，min 1u =－；当0x =时，max 0.u = （1）当1a >时，013,5,2b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）当01a <<时，103,5,2b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,33.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩综上，2,2a b =⎧⎨=⎩或2,33.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩18.解：（1）因为()f x 的定义域为R ，所以2210ax x ++>对一切x ∈R 成立．所以0,440,a a ∆>⎧⎨=-<⎩解得1a >.又因为22112110ax x a x a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭－，所以()()21lg 21lg 1f x ax x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭－≥，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞,()f x 的值域是1lg 1,a ⎡⎫⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭.（2)因为()f x 的值域是R ，所以221u ax x =++的值域R (0,)⊇+∞. 当0a =时，21u x =+的值域为(0, )⊇+∞R ；当0a ≠时，221u ax x =++的值域(0, )⊇+∞R 等价于0,440.4a a a>⎧⎪-⎨⎪⎩≤解得01a <≤.所以实数a 的取值范围是[]0,1.当0a =时，由210x +>，得12x >－,此时()f x 的定义域是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭－；当01a <≤时，由2210ax x ++>，得1111a ax x a a+---<->-或，此时()f x 的定义域是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞-,1111,aa aa .19.解：（1）因为2222(1)10x x x -+=-+>，所以120ax +>，即21ax >-.所以若0a =，则()f x 的定义域为R ；若0a >，则()f x 的定义域为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；若0a <，则()f x 的定义域为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）①当1b >时，在()f x 的定义域内，()0f x ≥等价于22212x x ax -++≥，即22(1)10x a x -++≥，于是问题等价于2112(1)x a x x x++=+≤在()0,+∞上恒成立. 令1()g x x x=+，则()g x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，所以min ()(1)2g x g ==，所以2(1)2a +≤，即0a ≤.另一方面要使()0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则()0,+∞必是()f x 定义域的子集，由（1）可知0a ≥，由0a ≥且0a ≤可知0a =.—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————桑水 ②当01b <<时，在()f x 的定义域内，()0f x ≥等价于22(1)1a x x ++≥，于是问题等价于12(1)a x x ++≥在()0,+∞上恒成立.显然这样的实数a 不存在，故所求的a 的取值范围为0a =.20.（1）证明：设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则12211212121222(22)(221)()()4141(41)(41)x x x x x x x x x x f x f x -∙--=-=++++. 因为()12,0,1x x ∈，且12x x <，所以2112220,21,21x x x x ->>>，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在(0,1)上是单调递减的.（2）解：因为2041x x >+，所以要使()f x λ=有解，需0λ>，故42()041x x x f x λλλ-+--==+. (﹡) 令2,(1,2)x t t =∈，则(﹡)式等价于方程20t t λλ-+=在(1,2)t ∈上有解. 令2()0g t t t λλ=-+=，分下列两种情况：①在(1,2)t ∈上有一解，则满足(1)(2)0g g ∙<，解得2152λ<<；②在(1,2)t ∈上有两解，则满足0,1(1,2),2(1)0,(2)0,g g ∆>λ⎧⎪⎪∈⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩无解. 所以当21,52λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()0f x λ-=在(0,1)x ∈上有根.。

人教A版高中数学必修1《第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数习题2.2》_14

第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝nmlog a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.解析由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，14.(2019·杭州检测)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0B.2C.4D.6解析原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案－7考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)－20 (2)1规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 (1)D (2)4 2考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确.(2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].答案 (1)D (2)C规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1B.0<b <a －1<1C.0<b －1<a <1D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x ＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 考点三对数函数的性质及应用多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 (1)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 (1)D (2)C角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 (1)B (2)(0，＋∞)[思维升华]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0；当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 A2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b解析 log 1315＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b . 答案 D 3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为()解析由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a >2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a >0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.答案 A4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析由⎩⎨⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2).∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.答案 D5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( )A.12B.1C.2D.4 解析由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 答案 C二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案－17.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.解析当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意.当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a ＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.答案－2三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝log a||x|－b|的图象是()解析∵函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1. 所以g(x)＝log a||x|－1|，当x>1时，g(x)＝log a(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝log a(1－x)为减函数，排除C；故选A.答案 A12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝lg tlg 2，同理，y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .答案 D13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.解析令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎨⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1. 答案 [1，＋∞)14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).。

高中数学第二章基本初等函数 2.2.1 对数与对数运算(第1课时)对数课时作业(含解析)新人教A

第1课时对数A 级基础巩固一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与912 ＝3 C ．8－13 ＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B ． 2．将对数式log 5b ＝2化为指数式是( C ) A ．5b＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝bD ．b 2＝5[解析]∵log 5b ＝2，∴b ＝52，故选C ． 3．已知log 12x ＝3，则x 13＝( C )A ．18B ．14C ．12D ．32[解析]∵log 12x ＝3，∴x ＝(12)3＝18，∴x 13 ＝(18)13 ＝12.4．(12)－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72C ．8D ．37[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 124＝2×4＝8.5．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9[解析]∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．已知f (e x)＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B ．二、填空题7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3.8．log 2 －1(2＋1)＋ln1－lg 1100＝__1__.[解析] 设log 2 －1(2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝12－1＝(2－1)－1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100＝10－2，∴y ＝－2；又ln1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x＝1， ∵1＝30，∴x ＝0， ∴log 31＝0.(3)设log 927＝x ，则9x＝27即32x＝33，∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.B 级素养提升一、选择题1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值X 围是( B ) A ．a ＞32或a ＜13B ．13＜a ＜23或23＜a ＜32C ．13＜a ＜32D ．23＜a ＜32[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞03a －1≠13－2a ＞0，即13＜a ＜23或23＜a ＜32，故选B ．2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C )A ．66 B ．39C ．24D ．23[解析]∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，∴x －12 ＝8－12 ＝18＝122＝24，故选C ．3．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析]∵log a 3＝2log 230＝20＝1，∴a ＝3，故选B ．4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则b a等于( B ) A ．1100 B ．110 C ．10D ．100[解析]∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110. 二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n＝__12__.[解析]∵log a 2＝m ，∴a m＝2，∴a 2m＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n＝3， ∴a2m ＋n＝a 2m ·a n＝4×3＝12.6．log 333＝__3__.[解析] 令log333＝x ，∴(3)x＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.三、解答题7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.[解析] (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27，∴x ＝2723 ＝9.(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23 ＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12 ＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(5)由log 2719＝x ，得27x＝19，33x ＝3－2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得(22)x＝4， ∴2－x2 ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.9．设x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x＝13，2x ＝3，∴23x－2－3x2x －2－x ＝2x 3－2－x 32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919.。

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章基本初等函数 (Ⅰ) 2.2.1第2课时 Word版含解析.doc

第2课时对数的运算课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝____________________；(2)log a MN＝____________________；(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．log a x·log a y＝log a(x＋y)B．(log a x)n＝n log a xC.log a xn＝log anxD.log a xlog a y＝log a x－log a y2．计算：log916·log881的值为()A．18B.118C.83D.383．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9B.19C ．25D.1254．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( ) A ．15B.15 C ．±15D ．2255．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于( ) A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝_____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：组．()A．二B．四C．五D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)1．在运算过程中避免出现以下错误：log a(MN)＝log a M·log a N.log a MN＝log a Mlog a N.log a N n＝(log a N)n.log a M±log a N＝log a(M±N)．2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．C2．C [log 916·log 881＝lg16lg9·lg81lg8＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.] 3．D [由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg xlg6＝2，lg x ＝－2lg5，x ＝5－2＝125.] 4．B [∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A 2＝15，A ＝15.]5．C [∵log 89＝a ，∴lg9lg8＝a . ∴log 23＝32a .lg3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).]6．A [由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝12.于是(lg ab )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.] 7.65－3解析原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425)＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg4lg3＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2lg3 ＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二因为3a ＝4b＝36，所以136a ＝3,136b＝4，所以(136a)2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b ＝1.11．解原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ，将已知表格转化为下表：∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，∴第一组、第三组对应值正确．又显然第六组正确，∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，∴第五组对应值正确．∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，∴第四组、第七组对应值正确．∴只有第二组错误．]13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.依题意，得13＝0.75x，即x＝lg13lg0.75＝－lg3lg3－lg4＝lg32lg2－lg3＝0.47712×0.3010－0.4771≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3.。

高一数学人教a版必修一习题第二章基本初等函数(ⅰ) 2.2.2.1 含答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lg x解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．答案： D2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )A．y＝log4x B．y＝log14xC．y＝log 12x D．y＝log2x解析：由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.答案： D3．函数y＝log2x的定义域是[1,64)，则值域是( )A．R B．[0，＋∞)C．[0,6) D．[0,64)解析：∵y＝log2x在[1,64)上是增函数，∴log21≤y<log264.即0≤y<6.故选C.答案： C4．函数f(x)＝1ln(x＋1)＋4－x2的定义域为( )A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧x ＋1>0.ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，即⎩⎨⎧x>－1，x ≠0，－2≤x ≤2，即－1<x<0或0<x ≤2，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．若a>0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过定点________．解析：当x －1＝1时，log a (2－1)＝0， ∴函数过定点(2,2)，函数f(x)＝log a (x －1)＋2恒过定点(2,2)．答案： (2,2)6．若对数函数f(x)＝log a x ＋(a 2－4a －5)，则a ＝________. 解析：由对数函数的定义可知，⎩⎨⎧a 2－4a －5＝0，a>0，a ≠1，解得a ＝5.答案： 57．已知函数f(x)＝log 5x ，则f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝________.解析： f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝log 53＋log 5253＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×253＝log 525＝2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 8．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝lg (4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3). 解析： (1)由⎩⎨⎧4－x>0，x －3≠0，得x<4且x ≠3，∴函数的定义域为{x|x<4且x ≠3}． (2)由⎩⎨⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，得⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤1.∴34<x≤1，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪34<x≤1.9．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．解析：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示，(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．∴所求a的取值范围为0<a<2.。

高中数学第二章基本初等函数(1) 2.2.1 对数与对数运算第二课时对数的运算学案(含解析)

第二课时对数的运算对数的运算性质[提出问题]问题1：我们知道a m＋n＝a m·a n，那么log a（M·N)＝log a M·log a N正确吗？举例说明．提示：不正确．例如log24＝log2（2×2）＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2. 问题2:你能推出log a（MN)(M>0，N>0)的表达式吗?提示：能．令a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m＋n.由对数的定义知log a M＝m，log a N＝n，log a(MN)＝m＋n，∴log a(MN）＝log a M＋log a N.[导入新知］对数的运算性质若a>0,且a≠1，M〉0，N>0,那么:(1)log a（M·N）＝log a M＋log a N,(2)log a错误!＝log a M－log a N，（3）log a M n＝n log a M(n∈R）．[化解疑难]巧记对数的运算性质（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．(2）两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式［提出问题]问题1:(1）log28；(2）log232;(3）log832各为何值？提示：（1)log28＝3；(2)log232＝5；(3）log832＝log8853＝错误!。

问题2：log832＝错误!成立吗? 提示:成立．［导入新知］换底公式若c〉0且c≠1,则log a b＝错误!(a>0，且a≠1，b〉0）．［化解疑难］1．换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a ＝log c b，所以x＝错误!，即log a b＝错误!。

2．换底公式常用推论log an b n＝log a b(a〉0,a≠1，b>0，n≠0)；log am b n＝错误!log a b(a〉0,a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；log a b·log b a＝1（a〉0,b〉0，a≠1，b≠1);log a b·log b c·log c d＝log a d（a〉0，a≠1,b>0，b≠1，c〉0,c≠1，d>0)．对数运算性质的应用［例1］(1＊①log a x·log a y＝log a（x＋y）；②log a x－log a y＝log a(x－y）；③log a(xy)＝log a x·log a y；④错误!＝log a错误!；⑤(log a x）n＝log a x n;⑥log a x＝－log a错误!；⑦错误!＝log a错误!;⑧log a错误!＝－log a错误!.其中式子成立的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2）计算下列各式的值：①4lg 2＋3lg 5－lg错误!；②错误!；log3；③2log32－log3错误!＋log38－55④log2错误!＋log2错误!.[解] (1）选A 对于①，取x＝4，y＝2,a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x－log a y＝log a（x－y）不成立；对于③，取x ＝4，y ＝2,a ＝2，则log 2(4×2）＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3, ∴log a (xy ）＝log a x ·log a y 不成立；对于④,取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则错误!＝2≠log 2错误!＝1， ∴错误!＝log a 错误!不成立;对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，∴(log a x )n ＝log a x n不成立; ⑥成立,由于－log a 错误!＝－log a x －1＝log a (x －1）－1＝log a x ； ⑦成立，由于log a 错误!＝log a x 1n＝错误!log a x ； ⑧成立，由于log a 错误!＝log a 错误!－1＝－log a 错误!。

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