§1.3—4

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高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-

α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626，或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第一章集合与函数的概念 1.3习题课 Word版含解析

§1.3 习题课课时目标 1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能力．1．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－122．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减 B ．函数f (x )先减后增 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．f (x )在R 上是减函数3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )4．函数f (x )的图象如图所示，则最大、最小值分别为( )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (0)，f (－32) D ．f (0)，f (3)5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1， x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是______________．一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x 1>0，x 2<0，且f (x 1)<f (x 2)，那么一定有( ) A ．x 1＋x 2<0B ．x 1＋x 2>0C ．f (－x 1)>f (－x 2)D ．f (－x 1)·f (－x 2)<0 2．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数； ②对于定义域为实数集R 的任何奇函数f (x )都有f (x )·f (－x )≤0； ③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数； ④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为( ) A ．②③④B ．①③C ．②D ．④3．定义两种运算：a ⊕b ＝ab ，a ⊗b ＝a 2＋b 2，则函数f (x )＝2⊕x(x ⊗2)－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数也是偶函数4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．15．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－36．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2) D．(0,2)二、填空题7．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；(2)解关于x的不等式f(x)<0.11．已知f(x)＝x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)．(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．能力提升12．设函数f(x)＝1－1x＋1，x∈[0，＋∞)(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD 的周长为y.(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；(2)求y的最大值，并指出相应的x值．1．函数单调性的判定方法 (1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )，f (x )＋g (x )的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性． 2．二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ，y max ＝max{f (m )，f (n )}； (2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论)． 3．函数奇偶性与单调性的差异．函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．§1.3 习题课双基演练1．D [由已知，令2k ＋1<0，解得k <－12.] 2．C [由f (a )－f (b )a －b >0，知f (a )－f (b )与a －b 同号，由增函数的定义知选C.]3．C [∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a .由函数的单调性可知，f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )．两式相加得C 正确．]4．C[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；当x＝－32时，f(x)取得最小值．故选C.]5.130解析偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝1 3.∴f(x)＝13x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 6．(－∞，－1)解析若a≥0，则12a－1>a，解得a<－2，∴a∈∅；若a<0，则1a>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.综上，a∈(－∞，－1)．作业设计1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)<f(x2)，则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.故选B.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．A[f(x)＝2xx2＋2，f(－x)＝－f(x)，选A.] 4．D[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)对称轴为x＝－t2，则t2＝12，∴t＝1.]5．D[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]6．D[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，即|x－1|<1，解得0<x<2，故选D.]7．1解析f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 8．－1解析∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，且f(2)＝22－3＝1.∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∴f(－2)＋f(0)＝－1.9．a>－3解析∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，即3＋a>0，∴a>－3.10．(1)证明设x1<x2<0，则－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)>f(－x2)．∵f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．(2)解若x>0，则f(x)<f(1)，∴x<1，∴0<x<1；若x<0，则f(x)<f(－1)，∴x<－1.∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．11．(1)证明设0<x1<x2<1，则x1x2>0，x1－x2<0.又b>1，且0<x1<x2<1，∴x1x2－b<0.∵f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．(2)解设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1. 设1<x1<x2，同理可得b≤1，故b＝1.x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.故a＝1.12．(1)证明设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－1x1＋1)－(1－1x2＋1)＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1).由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在定义域上是增函数．(2)解g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝1(x＋1)(x＋2)，g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．13．解(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD.由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2.又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝(2－x)2＋(4－x2)＝8－4x＝22－x，所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0,2)．(2)令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.。

§1.3信号的分解

1 2 *
j fi (t ) [ f (t ) f (t )]
1 2 *
8
0.5
fo(t)
0.5
奇分量
－2
－1 0
1
2
3
t
－2
－1 0
1
2
3
t
5
-0.5
-0.5
3 信号分解成冲激脉冲分量之和
f (t )
f (t1 )
t1
t1
t t1 0
t
6
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
f (t ) f (t1 )[u(t t1 ) u(t t1 t1 )]
§1-1-4 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量。 •直流分量和交流分量 •偶分量与奇分量 •脉冲分量 •实部分量与虚部分量
1
1 信号分解成直流分量和交流分量
f (t ) f D f A (t )
直流分量交流分量
信号平均值
fD
f A (t )
f (t )
f A (t )dt 0 。即交流分量在一个周期内的积分为0。对于交流分量，必有 T / 2 2 另外，一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。

T /2
2 信号分解成偶分量与奇分量
偶分量定义奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )
0 t
0
t
3
信号分解为奇、偶分量：
偶分量：fe (t ) fe (t ) 奇分量：f 0 (t ) f0 (t ) 信号 f (t )可表示为：

八年级上册数学书答案(浙教版)

八年级上册数学书答案（浙教版）第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“()”里面;“⊙”，表示“森哥马”，§，¤，♀，∮，≒ ，均表示本章节内的类似符号。

§1.l探索勾股定理随堂练习1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。

2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存有误差.1.1知识技能1.(1)x=l0;(2)x=12.2.面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm).问题解决12cm2。

1.2知识技能1.8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长).数学理解2.提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3.能够将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习12cm、16cm.习题1.3问题解决1.能通过。

.2.要能理解多边形ABCD EF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。

即(B’C’) 2=AB2+CD2：也就是BC2=a2+b2。

，这样就验证了勾股定理§l.2 能得到直角三角形吗随堂练习l.(1) (2)能够作为直角三角形的三边长.2.有4个直角三角影.(根据勾股定理判断)数学理解2.(1)仍然是直角三角形;(2)略;(3)略问题解决4.能.§1.3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题 1.5知识技能1.5lcm.问题解决2.能.3.最短行程是20cm。

4.如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。

热学第一章导论

我国殷商时期
五行学说：金、木、水、火、土是构成世界万物的五种基本元素，称为五行。中国古代提出的元气说，就认为热（火）是物质元气聚散变化的表现。
3
从钻木取火到商周的青铜器
伽利略温度计 16世纪 (明)
4
清初
瓦特早期蒸汽机
5
6
1807年
嘉庆12年
7
1823年
道光3年
8
1892年
33
三、热力学温标 1. 热力学温标是建立在第二定律基础上，不依赖于任何物质的特性的温标。 2. 热力学温度国际单位为“开尔文”，简称开.记为K 3. 可证明在理想气体温标有效范围内，热力学温标与理想气体温标完全一致。不依赖于测温物质和测温属性的温标
34
开尔文
四、摄氏温标、华氏温标与兰氏温标
V＝V0 1 p t

m，p一定
m,V 一定
22
p p0 1 V t
二、理想气体物态方程
p1V1 p2V2 常量 T1 T2
令1mol气体的常量为R
pVm RT R＝8.31 Jmol 1K 1
若气体的物质的量为
普适气体常量
与热力学温度的关系
T=T
通用情况国际通用
热力学温度 K
摄氏温标华氏温标
C F
t
tF - 459.67 0
32.00 32.02
t T 273 .15 100.00 0 C K t 9 T 459 .67 英美 212.00 0 F 5 K 等国
兰氏温标 R TR
491.67 491.69 67初步知识 • 液体、固体、相变等物性学

§1.3_简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(人教A版选修2-1)

p
6
或
)
q
为真命题，p
若当若当若当若当若当若当pppppppppppp或真或真或真或真或真或真qqqqqqqqqqqq为假为假为假为假为假为假真时真时真时真时真时真时命，命，命，命，命，命，题c题c题c题c题c题c的的的,的的的,,,p,,取pp取取ppp取取取且且且值且且且值值值值值q范qq范范qqq范范范为为为围为为为围围围围围假假假是假假假是是是是是命命命命命命000题0<00题题<<题题题<<<c,cc≤,,ccc≤≤,,,≤≤≤则则则12则则则121212；1212；；p；；；ppp,pp,,q,,,qqqqq中中中中中中必必必必必必有有有有有有一一一一一一真真真真真真一一一一一一假假假假假假......
第三讲简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
临沂一中高三数学组
知识网络
命题及其关系
常充分条件
用
必要条件
逻
充要条件
辑
用
简单的逻
语
辑联结词
量词
命题
四种命题
四种命题的相互关系
原命题：若p则q
互否
否命题：若p则q
互逆
互为逆否等价关系
互逆
逆命题：若q则p
互否
逆命题：若q则p
充分条件
p ⇒q
必要条件
③③∵∴∵∴ppaa和aa和>≤>≤11q12q12或中或中a有a有≥≥且且88仅仅或有或有一一12a12a<≤个<≤个aa1正<1是<88确真，，命，题∴∴，a≥a≤812或或12a<≥a≤8 1.或12<a<8

N0.3-4--第一章标量场的梯度矢量场的散度旋度亥姆定理及矢量场的分类

div A = A
可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A ± B ) = A ± B (φ A ) = φ A ± A φ
20
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
三、高斯散度定理
矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量:
（1）开曲面：沿封闭曲线 n的取法：
l 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向
（2）封闭面：取为封闭面的外法线方向外法线方向
14
矢量A穿过整个曲面S的通量:
Φ = ∫ A ds = ∫ A nds
s s
如果S是一个封闭面, 则
Φ = ∫ A ds
S
15
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
22
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
同理
D y
q r 2 3y 2 = y 4π r5
D z q r 2 3z 2 = z 4π r5
故
Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) D = + + = =0 5 x y z 4π r
可见，除了点电荷所在源点 (r = 0)外，空间各点的电通密度散度均为，它是管形场。空间各点的电通密度散度均为0，可见，
（C点）
电偶极子的电力线和等位线 17
1.2通量散度、通量、 §1.2通量、散度、散度定理
b) 散度的分量表示式
穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积 v = xyz 的通量：的通量：计算 A 穿过包围点的无穷小体积右边向外流出的通量： A 穿过右边右边

第一章 §1.3 第2课时补集

第2课时补集学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn 图、数轴进行集合的运算．知识点全集与补集 1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U . 思考全集一定是实数集R 吗？答案不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z . 2．补集自然语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言思考 ∁U A 包含哪三层意思？答案 ①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．1．全集一定含有任何元素．( × ) 2．集合∁R A ＝∁Q A .( × )3．一个集合的补集一定含有元素．( × ) 4．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )5．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x≤1.( × )一、补集的运算例1(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁U M等于()A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}答案 A解析如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|－2≤x≤2}．(2)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B＝________.答案{－5，－4,3,4}{－5，－4,5}解析方法一在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．方法二可用Venn图表示．则∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．(学生)反思感悟求补集的方法(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．跟踪训练1(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁U A＝________；答案{x|x＝－3或x>4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3或x>4}．(2)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________．答案{2,3,5,7}解析方法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B ＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．方法二(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．二、交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)，(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∪(∁U B)．解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}．反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．三、与补集有关的参数值的求解例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁U A)∩B＝B，求实数m的取值范围．解因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，所以∁U A＝{x|－2<x<3}，因为(∁U A)∩B＝B，所以B⊆(∁U A)．当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁U A)∩B＝B.当B≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧2m＋1<m＋7，2m＋1≥－2，m＋7≤3无解．故m的取值范围是{m|m≥6}．延伸探究1．若把本例的条件“(∁U A)∩B＝B”改为“(∁U A)∪B＝B”，则实数m的取值范围为________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪－4≤m≤－32解析因为(∁U A)∪B＝B，所以(∁U A)⊆B，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＋1<m＋7，2m＋1≤－2，m＋7≥3，解得－4≤m≤－32，故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪－4≤m≤－32.2．若将本例的条件“(∁U A)∩B＝B”改为“(∁U A)∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________．答案{m|m≤－9或m≥1}解析当B＝∅时，m≥6.当B≠∅时，m<6时，m＋7≤－2或2m＋1≥3，解得m≤－9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．(学生)反思感悟利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．跟踪训练3已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<－1或x>0}．若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．解∵B＝{x|x<－1或x>0}，∴∁R B＝{x|－1≤x≤0}，要使A∩(∁R B)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A等于()A．{0} B．{1} C．∅D．{0,1}答案 D解析∵U＝{0,1,2}，∁U A＝{2}，∴A＝{0,1}．2．设U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，则∁U A等于()A．{x|x≤－1或x>0} B．{x|－1≤x<0}C．{x|x<－1或x≥0} D．{x|x≤－1或x≥0}答案 A解析因为U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，所以∁U A＝{x|x≤－1或x>0}．3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}答案 A解析因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.答案 5解析∵∁A B＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________. 答案{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}解析把全集R和集合A，B在数轴上表示如图：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．1．知识清单：(1)全集和补集的概念及运算．(2)并、交、补集的综合运算．(3)与补集有关的参数值的求解．2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁U P等于()A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}答案 A解析因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，则(∁U B)∩A等于() A．{1,6} B．{1,7}C．{3,4} D．{3,4,5}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，∴∁U B＝{1,2,3,4,5}，∴(∁U B)∩A＝{3,4}．3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)等于()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案 D解析由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁R B＝{x|x≥1}．∴A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2}．4.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案 A解析阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}．5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，则∁U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素．6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________.答案{x|0<x≤1}解析∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．7．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．答案 4解析∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}，共4个元素．8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.答案 2解析∵A＝{x|1≤x<a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅， ∴a ＝2.9．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |－5<x <5}，B ＝{x |0≤x <7}，求： (1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(∁U B )；(4)B ∩(∁U A )．解 (1)如图①.A ∩B ＝{x |0≤x <5}． (2)如图①.A ∪B ＝{x |－5<x <7}．(3)如图②.∁U B ＝{x |x <0或x ≥7}， ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <5或x ≥7}．(4)如图③.∁U A ＝{x |x ≤－5或x ≥5}， ∴B ∩(∁U A )＝{x |5≤x <7}．10．设全集U ＝R ，M ＝{x |3a <x <2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．解 ∁U P ＝{x |x <－2或x >1}，∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72或13≤a <5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72或a ≥13.11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则()A．k<0或k>3 B．2<k<3C．0<k<3 D．－1<k<3答案 C解析∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}．若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠∅，则0<k<3.13．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．答案{x|－2≤x<1}解析由题意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．14．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，由(∁U A )∪B ＝R ，可知a ≤1.15．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”：X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z 等于( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z答案 B解析依题意得X *Y ＝∁U (X ∩Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．16．某校向50名学生调查对A ，B 事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是这50名学生的35，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的13多1人．你能说出对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？解已知赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33，记50名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生全体为集合A ，赞成B 的学生全体为集合B .设对A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x 3＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .用Venn 图表示如图所示．依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋⎝⎛⎭⎫x 3＋1＝50，解得x ＝21.故对A ，B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．。

湘教版必修三1.3地球的运动-地球自转及其地理意义(共33张PPT)

3.不能熟练运用其基本特征做相应的练习；
4.不理解自转产生的地理意义。
问题解决
一、知识拓展— —经纬网
➢纬线和经线主要特点的比较
➢经度和纬度的划分
➢经纬网的应用
❖经线和经度东经116°或116°E
定义：连接南北两极，并且与纬线垂直相交
的半圆
❖经线特点 1. 是半圆 2. 长度相等（约2万千米） 3. 指示南北方向 4、变化显示为东西方向 5.两条相对应的经线组成一个经线圈,把地球平分为两半。
B.180°经线国际日期变更线，东西经的界线
C. 20°W和160°E 东西半球的分界线
❖几条重要的纬线
应用:
A. 0°纬线
划分南、北半球；
B.30°60°纬线
划分高中低纬度
C. 23.5°和66.5°纬线划分五带；
即学即练
90°
135°
180°
结论在北极图上，图的正中心是北方，图
45° A C N 60°
8．图中，虚线是水平运动物体的原始方向，实线是偏转后的方向，正确的是（） B
课堂小结
本节学习了地球自转的概况，即方向、周期和速度，并且复习了初中学的经纬网，还学习了昼夜交替、地转偏向力。
课后作业
1.熟悉本课主要内容（知识点）； 2.完成固学案作业； 3.自主学习地球自转的地理意义—— 地方时、时区、区时和日界线。
第一章宇宙中的地球
地球自转及其地理意义
学习目标
1. 理解地球自转的概念； 2. 描述地球自转的方向； 3. 地球自转周期； 4. 掌握自转速度的变化规律； 5. 理解地球自转产生的主要现象
（昼夜交替、地转偏向力。
问题展示
1.不能熟练判读经纬线，并认识几条重要的经纬线；

第一章 §1.3 第1课时并集与交集

§1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一并集思考并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？答案“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．知识点二交集思考在交集的定义中“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的吗？答案“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.1.已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0，1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．答案{0,1}解析由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝________，M∪N＝________.答案{1,2}{0,1,2,3}解析∵M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∩N＝{1,2}，M∪N＝{0,1,2,3}．3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.答案{x|x>0}解析A∪B＝{x|x>0}∪{x|1≤x≤2}＝{x|x>0}．4．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.答案{x|1<x<3}解析因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．一、并集的运算例1(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于()A．{－2} B．{－2,3}C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}答案 D解析因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．(学生)反思感悟并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于()A．{0} B．{0,3}C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案 D解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．二、交集的运算例2(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}． (学生)反思感悟交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．跟踪训练2 若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}答案 A解析易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}．三、并集、交集性质的应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2. ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≤52. (教师) 延伸探究把本例中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又∵A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅.由数轴(如图所示)可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 的取值范围为∅. (学生)反思感悟利用集合交集、并集的性质解题的技巧(1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 (1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4 B ．－1<a <4 C ．a ≤－1 D ．a <－1答案 C解析利用数轴，若A ∪B ＝R ，则a ≤－1.(2)设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________．答案 {t |t ≤2}解析由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∩N ＝N 成立；当N≠∅时，由图得⎩⎪⎨⎪⎧2－t<2t＋1，2t＋1≤5，2－t≥－2，解得13<t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．含字母的集合运算忽视空集或检验典例(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是() A．1或2 B．2或4 C．2 D．1答案 C解析∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．答案{a|a≥2}解析由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．[素养提升](1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．(2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．1．(多选)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于()A ．{2}B ．{1}C ．{1,2}D ．{1,2,3}答案 AC解析 ∵{1}∪B ＝{1,2}，∴B 可能为{2}或{1,2}．2．若集合M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}答案 D解析 N ＝{0,1}，M ∩N ＝{0,1}．3．已知集合M ＝{a,0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪0<x <52，如果M ∩N ≠∅，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D.52答案 C解析 ∵N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪0<x <52＝{1,2}，又∵M ＝{a,0}，M ∩N ≠∅，∴a ＝1或a ＝2.4．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝________. 答案 {－1,0,1,2}解析 M ∪N 表示属于M 或属于N 的元素构成的集合，故M ∪N ＝{－1,0,1,2}．5．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 答案 R {x |4≤x <5}解析借助数轴可知A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |4≤x <5}．1．知识清单：(1)并集、交集的概念及运算． (2)并集、交集运算的性质． (3)求参数值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．1.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案 D解析由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于() A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{x∈R|1<x≤5}答案 D解析∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，∴A∩B＝{x∈R|1<x≤5}．3．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于() A．S∩T B．S C．∅D．T答案 B解析∵(S∩T)⊆S，∴S∪(S∩T)＝S.4．(多选)A∩B＝A，B∪C＝C，则A，B，C之间的关系必有()A．A⊆C B．A⊆BC．A＝C D．以上都不对答案AB解析A∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为() A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4. 6．若集合A ＝{－1,2,3,4}，B ＝{1,2,3,5}，则A ∩B ＝________. 答案 {2,3}解析因为A ＝{－1,2,3,4}，B ＝{1,2,3,5}，所以A ∩B ＝{2,3}． 7．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <53 解析 ∵S ＝{x |2x ＋1>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，T ＝{x |3x －5<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <53， ∴S ∩T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <53. 8．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤1}解析因为A ∪B ＝R ，画出数轴(图略)可知表示实数a 的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a ≤1.9．已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |1≤x ≤7}，C ＝{x |x ≥a －1}． (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)若C ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)A ∩B ＝{x |x ≥3}∩{x |1≤x ≤7}＝{x |3≤x ≤7}，A ∪B ＝{x |x ≥3}∪{x |1≤x ≤7}＝{x |x ≥1}．(2)因为C ∪A ＝A ，所以C ⊆A ，所以a －1≥3，即a ≥4. 故实数a 的取值范围为{a |a ≥4}．10．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}． (1)求a ，b 的值及A ，B ； (2)求(A ∪B )∩C .解 (1)∵A ∩B ＝{2}，∴4＋2a ＋12＝0,4＋6＋2b ＝0，即a ＝－8，b ＝－5，∴A ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}＝{2,6}， B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}． (2)由(1)知A ∪B ＝{－5,2,6}，C ＝{2，－3}，∴(A ∪B )∩C ＝{2}．11．设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a <－3或a >－1答案 A解析 ∵S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1.∴－3<a <－1.12．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |0≤x <1或x >3} D ．{x |0≤x ≤1或x ≥3}答案 C解析由题意知A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}， ∴A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}．13．已知集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ，b }．若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 答案 {1,2,3}解析因为A ∩B ＝{2}，所以2a ＝2，所以a ＝1，b ＝2，故A ∪B ＝{1,2,3}．14．已知集合A ＝{－2,3,4,6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3,4}，则实数a ＝________. 答案－2 2或4解析 ∵集合A ＝{－2,3,4,6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，B ⊆A ，∴a ＝－2. ∵A ∩B ＝{3,4}，∴a ＝4或a 2＝4，∴a ＝±2或4. 当a ＝－2时，B ＝{3，－2,4}，不合题意；当a ＝2或4时，B ＝{3,2,4}或{3,4,16}，符合题意， ∴实数a ＝2或4.15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案12解析设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x ＝12.16．已知集合A＝{x|x 2－ax＋a 2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A B.由条件(1)A≠B，可知A B.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.经检验a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.经检验a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．。

复变函数第一章-2

2) 由 z 2 z 2 6 得
化简得
( x 2) iy ( x 2) iy 6 x2 y2 1 化简得 9 5 x2 y2 1 因此， z 2 z 2 6 表示的是椭圆 9 5 的内部 (包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.
10
3) zz 2 i z 2 i z 4 可写成
x 0 y 0
z 0
21
z 【例1.18】问函数 f ( z ) 在z=0有无极限？ z
解： f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域
当z≠0时，设 z r (cos i sin ) ，则
f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 )
考虑从z=0出发方向角为0的射线l0 ，有
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3.1 开集与闭集

平面上以z0为中心，(任意的正数)为半径的开圆： z z0 内部的点的集合称为z0的邻域.

而称由不等式：0 z z0 所确定的点集称为z0的去心邻域.
1

设G为一平面点集
1) z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每个点都是它的内点，则称G为开集. 2) 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开集的余集称为闭集。 3) z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G 的边界. 4) z0 G ，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。 5) 如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有界集，否则称G为无界集。

《计算机基础-1.3.4 计算机的性能指标》练习题

§1.3.4《计算机的性能指标、总线》练习题相关知识点：①微型计算机的性能指标；②多核CPU；③计算机系统总线。

一、单选题1. 计算机中的总线不包括（D）。

A、地址总线B、数据总线C、控制总线D、信息总线2．用MIPS为单位来衡量计算机的性能，它指的是计算机的（D）。

A、传输速率B、存储容量C、字长D、运算速度3. 连接计算机系统结构的五大基本组成部件一般通过（D）。

A．适配器B．电缆C．中继器D．总线4. 在衡量计算机的主要性能指标中，字长是（A）。

A．CPU在单位时间内一次能够处理的二进制位数B．8位二进制长度C．计算机的总线数D．存储系统的容量5．下列关于计算机的叙述中，不正确的一条是（B）。

A、软件就是程序、关联数据和文档的总和B、Alt键又称为控制键C、断电后，RAM中的信息会丢失D、MIPS是表示计算机运算速度的单位6. 衡量微型计算机价值的主要依据（B）。

A、功能B、性能价格比C、运算速度D、操作次数7. 在微机的性能指标中，内存容量指的是（B）。

A．ROM容量 B. RAM容量C. ROM和RAM容量总和D. CD-ROM容量8. 微型计算机的基本性能指标不包括（D）。

A．字长 B.存取周期 C.主频 D.硬盘容量9. 微型计算机的主要技术指标有（B）。

A．所配备的系统软件的优劣B．CPU的主频和运算速度、字长、内存容量和存取速度C．显示器的分辨率、打印机的配置D．硬盘容量的大小10. 计算机的档次级别主要取决于（C）。

A、主板B、内存C、CPUD、硬盘11. 下列哪一项为衡量微型计算机性能的主要指标（C）。

A、所用操作系统的类型B、主板型号C、微处理器的型号D、所用的电子元件12. 用MIPS(每秒百万条指令)来衡量的计算机性能指标是（D）。

A、传输速率B、存储容量C、字长D、运算速度13. 计算机的运行速度在很大程度上是取决于下面（A）的综合性能。

A、CPU、内存条、主板B、内存条、主板、声卡C、网卡、内存条、主板D、显示器、内存条、主板14. 按照总线上传送信息类型的不同，可将总线分为（A）。

2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)课件新人教A版必修4

π π 3 ＝cos(π＋6)＝－cos 6＝－ 2 .
方法二
31π 5π －－ 6π ＋ cos ＝cos 6 6
π π ＝cosπ－6＝－cos6＝－
3 . 2
解答
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
它们的三角函数之间有什么关系？
答案
知识点三
诱导公式四
思考
角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
它们的三角函之间有什么关系？
答案
梳理
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋ α(k∈Z) ， π ＋ α ，－α，π－α的三角函数与 α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同
tan2π－αsin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解
sin2π－α · sin－αcos－α cos2π－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin α－sin αcos α sin α ＝＝－cos α＝－tan α. cos α－cos αsin α

1.3-倒格子、晶格的宏观对称性

若一个物体对绕某一转轴转2π/n 加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时, 这个轴称为物体的 n 重旋转-反演轴, 记作 n
二重旋转-反演实际表明存在一个对称面, 这个对称素一般称为镜面，记为 m
第29页，共30页。
立方轴：4 同时也是 4 面对角线：2 同时也是 2 体对角线：3 同时也是3
a1 a2
由公式
ABC ACBABC
得
2
a1
a3 a1
a1
a
2
vc a1
因此
3
3
2
vc
a2 a3
a1
vc
2
vc
vc2 2 3 / vc.
第7页，共30页。
2. 傅里叶级数
若把晶格中任意一点 x 用基矢表示，写成
前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变)
概括宏观对称性的系统方法就是考查在正交变换下的不变性
x x ' a11 a12 a13 x
y
y
'
a21
a22
a23
y
z z ' a31 a32 a33 z
其中 A={aij} 是正交矩阵 (i,j =1、2、3)
第17页，共30页。
2. 宏观对称性的描写正交变换
不同程度的对称性可从图形的旋转中来分析
圆形对于任何绕中心的旋转都是不变的；正方形只在旋转 π/2, π, 3π/2 的情况下不变；
等腰梯形和不规则四边形在除 2π 以外的任何旋转下都不能能够保持不变考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别
n 取不同值代表晶面系中不同的晶面
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各面与原点的垂直距离为

《数学分析选论》习题解答

/ 10'. （２）)(211412,21142122kkkakkakk，故 21lim,21limnnnnaa．（３）)(13cos211nnnn，故 1limlimlimnnnnnnaaa．（４）.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin12kknnnknnnknknnnkknnnnnnan 故2lim,2limnnnnaa．（５）)(sin)1(sin1222nnnnnnnnan，故 nnnnnnaaalimlimlim． □ 71．设na为有界数列，证明：（１）1lim)(limnnnnaa；（２）nnnnaalim)(lim．证由 )(sup)(inf,)(inf)(supknkknkknkknkaaaa，令n取极限，即得结论（１）与（２）． □ 81．设0limnna，证明：（１）nnnnaalim11lim；（２）nnnnaalim11lim；（３）若11limlimnnnnaa，或11limlimnnnnaa，则na必定收敛．
/ 10'. （１）S为有界集；（２）S的所有聚点都属于S．证（１）倘若S无上界，则对1111,,1MxSxM使；一般地，对于,3,2,,,,max1nMxSxxnMnnnnn使．这就得到一个各项互异的点列nnnxSxlim,使．S的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S必有上界．同理可证S必有下界，故S为有界集．（２）因S为有界无限点集，故必有聚点．倘若S的某一聚点S0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列0lim,nnnxSx使．据题设条件，nx的惟一聚点0应属于S，故又导致矛盾．所以S的所有聚点都属于S． □ 51．证明：nnaasup，则必有nnalim．举例说明，当上述属于na时，结论不一定成立．证利用§1.3 例4，nnaak，使knnalim，这说明是na的一个聚点．又因又是na的上界，故na不可能再有比更大的聚点．所以是na的上极限．当na时，结论不一定成立．例如，1,111supnn显然不是n1的上极限． □ 61．指出下列数列的上、下极限：（１）n)1(1；（２）12)1(nnn；（３）nn3cos；（４）4sin12nnn；（５）nnnsin12．解（１）0lim,2lim,0,2122nnnnkkaaaa故．

1-第一章-液体表面-1.3~1.4

41
四、Kelvin公式
设平面液体的数量为1mol，其
摩尔体积为Vm，分散后液滴的
半径为r。
可以设想通过两种不同的途径来实现这个过程：
（1）直接分散（只考虑起始/最终状态）
则该过程的吉布斯自由能变化为： G Vm dp
Vm是液体的摩尔体积。在平面下，液体所受的压力为p0，在凸液面下
受到的压力为pr。积分得到：
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二、Laplace方程
用拉普拉斯方程还可以解释很多表面现象。
例如：为什么自由液滴和气泡都呈球形？
若液滴为不规则形状，液体表面各点的曲率半径不同，所受到的附加压力大小和方向都不同。
球形液滴表面受到指向球心的大小相等的力，合力为０。
这些力的作用最终会使液滴成球形。
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二、Laplace方程
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四、Kelvin公式
液滴（气泡）半径与蒸气压关系
r /m pr* / p*
小液滴小气泡
105 1.0001 0.9999
106 1.001 0.9989
6.根据相似三角形原理可得：
(x dx) /(R1 dz) x / R1 ( y dy) /(R2 dz) y / R2
7.将dx、dy代入(A)式，得：
化简得dx xdz/R1 化简得dy xdz/R2
p
1 R1
1 R2
此式即拉普拉斯方程（Laplace equation）。
8.如果是球面，则
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三、毛细现象
（2）力学角度解释：
在液体与固体连接处，液体的表面张力作为收缩表面的力作用于固体，固体必然以大小相同，方向相反的力施与液体，使液体沿其合力的方向运动，直到毛细上升的液柱的高度产生的重力抵消了表面张力的作用为止。

工程力学：chapter01.静力学-受力分析

方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
[例] 吊灯受力
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公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成
刚体（刚化为刚体），其平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处于平衡状态的变形体，可用刚体静力学的平衡理论；刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。
1. 物体的受力分析 2. 力系的等效替换（或简化） 3. 建立各种力系的平衡条件
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目录
1.1 静力学公理 1.2 力矩 1.3 力偶 1.4 约束和约束反力 1.5 物体的受力分析与受力图
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§1.1 静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
（必共面，在特殊情况下，力在无穷远
处汇交——平行力系。）
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[证] ∵ F1 , F2 , F3为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3 必汇交，且共面。
公理4 作用力和反作用力定律作用力与反作用力总是同时存在。两力的大小相等、
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3. 力的三要素：大小，方向，作用点。
4.力的单位：国际单位制：
A
牛顿(N)，千牛顿(kN)
F
三、力系
力系是指作用在物体上的一群力。
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系
为平衡力系。
四、平衡
平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运
动的状态。
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在静力学中，我们将研究以下三个问题：
②力偶的性质 ③三力平衡汇交定理
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