20新高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学——函数第三讲 函数的单调性与最大（小）值【教学目标】：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。

【重点难点】：1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

【教学过程】：用具：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数y x 1 -11 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x1 -1 1 -1yx1 -1 1-1y x1-1 1 -1一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法 （2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

直接判定函数的单调性，可用到以下结论：（3.1）函数)()(x f y x f y =-=与函数的单调性相反 （3.2）函数)(x y 恒为正或恒为负时，函数)()(1x f y x f y ==与的单调性相反。

（3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数 等提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

（二）典型例题例1．（教材P 29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：见教材 例2．（教材P 29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：见教材 巩固练习：证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数。

例3．借助计算机作出函数y =－x 2+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。

思考：画出反比例函数xy 1=的图象． ○1 这个函数的定义域是什么？ ○2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 （三）函数的最大（小）值画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x（3.1）函数最大（小）值定义 1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（3.2）典型例题例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？25本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）例2．（新题讲解） 旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）160 55 140 65 120 75 10085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x． 由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600． 由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例3．（教材P 31例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．三、课堂练习 1、教材32页练习 2、提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？3、函数2x y -=的单调增区间为（ A ）（世纪） A 、]0,(-∞ B 、),0[+∞ C 、),0(+∞ D 、),(+∞-∞4、若2121),()()(x x x f x f R x f 与则上的增函数，且是>的大小关系是 （世纪）AB CD5、设函数)()1(),()(2a f a f x f 与上的减函数，则是++∞-∞的大小是 （世纪）6、函数x x y 22+-=在[1，2]上的最大值为（ ）（世纪） A 、1 B 、2 C 、-1 D 、不存在7、设)(,)(2x f q px x x f 若++=的最小值为0，则q 为 （世纪）8、证明函数），是（∞+∞-+=23)(x x f 上的增函数。

（世纪）9、证明函数)1,0(1)(在xx x f +=上为减函数。

（世纪）10、作出函数9696)(22++++-=x x x x x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间。

（世纪）11、已知函数]4,(2)1(2)(2-∞+-+=在区间x a x x f 上是减函数，求实数a 的取值范围。

（世纪）12、（易错题）已知)(x f 是定义在[-1，1]上的增函数，且x x f x f ，求)1()2(-<-的取值范围。

（世纪）13、求函数1)(-=x xx f 在区间[2,5]上的最大值与最小值。

（世纪）14、求二次函数76)(2+-=x x x f 在区间[-2，2]上的最大值和最小值。

（世纪） 四、作业1、设),(),,(d c b a 都是函数)(x f 的单调增区间，且)()(,),,(),,(212121x f x f x x d c x b a x 与则<∈∈的大 小关系是（ D ）（世纪）A 、)()(21x f x f <B 、)()(21x f x f >C 、)()(21x f x f =D 、不能确定2、（2006年陕西卷）已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 （A ）A 、12()()f x f x >B 、12()()f x f x <C 、12()()f x f x =D 、1()f x 与2()f x 的大小不能确定 3、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ C ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋14、函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ D ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．255、函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ B ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5)6、已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ D ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根7、已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ D ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥39、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论． 解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．10、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围． 解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)11、求函数x x y 22-=在[2，4)上的最值、值域。