具有泛分解态射的广义(i,……,j)逆

合集下载

广义逆简介

广义逆简介
广义逆的思想可追溯到 1903 年弗雷德霍姆(E. I. Fredholm)的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904 年，希尔伯特(D. Hilbert)在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由摩尔(E. H. Moore)在 1920 年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意，这一概念在以后 30 年中没有多大发展，只有曾远荣在 1933 年，默里(F. J. Murray)和冯·诺伊曼(John von Neumann)在 1936 年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过一些讨论。
美国的数学水平就在他们这一代与欧洲先进国家并驾齐驱，他们的学生也不必再到欧洲游学了。
⇐返回
曾远荣介绍曾远荣(1903~1994)，国立中央大学教授，数学家，我国泛函分析第一代著名学者。
曾远荣字桂冬，1903 年 10 月生，四川南溪人。出生 8 个月父曾绍芬弃独子而逝，9 岁又丧母，自幼住外婆家。1919 年 7 月曾远荣在成都考取了清华学校留美预备部后，一直读到 1927 年 8 月去美国留学，先后在芝加哥大学、普林斯顿大学、耶鲁大学学习研究数学。1930 年在 1930 芝加哥大学获硕士学位，1933 年获博士学位。5 月回国，8 月受聘为中央大学教授。1934 年 8 月至 1942 年 7 月一直任教于清华大学。1942 年秋至 1945 年 7 月被成都燕京大学聘为客座教授。
国际数学会与 Klein 的演讲轰动整个美国数学界，芝加哥大学很快就变成美国的数学重镇。 Moore 本身的研究非常出色，但更重要的是他教出了许多更出色的学生，其中最有名的是 Dickson(1874 ～ 1954 年，研究数论与群论 ) 、 Veblen(1880 ～ 1960 年，研究几何学 ) 及 G. D. Birkhoff(1884～1944年，研究分析学)。日后他们分别在芝加哥大学、普林斯顿大学及哈佛大学带动研究，使这三个地方成为二十世纪上半叶美国的数学重镇，而他们本身的研究也是世界级的。

数学专业术语

数学专业词汇
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出

2006科研成果汇总

广西民族大学2006年度科研成果登记表单位名称（盖章）：数学与计算机科学学院(共发表论文116篇，出版教材一部，核心期刊计算机代数系统及其对数学教学的作用悟开琪<<高等教育教学改革研究与实践>>论文饱和消费者的经济均衡存在定理崖立新广西民族大学学报(自然科学版)2006年第四期二阶系统奇点的图形特征蒙世奎高等数学研究06年7月论文Legendre方程的参数解黎进香<<广西民族大学学报>>2006年增刊论文基于层次格子坐标系的图象识别方法何建强广西科学院学报2006年11月第22卷第四期论文若干家族P-群的自同构群的阶王勇<<数学进展>>论文基于变化序列的时序数据挖掘技术王勇<<南京航空航天大学学报>>论文A new time-series trend forecasting technique王勇 Int Wordshop VLSI Design & Video Tech.Suzhou,China May 28-30.论文面对东盟广西信息产业的优势与劣势分析黄珍生学校项目.广西物理第三期论文面对东盟广西信息产业的应对策略黄珍生学校项目.广西物理第四期论文面对东盟广西信息产业的机遇与挑战黄珍生学校项目.东南亚纵横2007年第一期论文南宁能源合理利用及节能状况问题研究"南宁市经济普查资料梁美珍南宁市经济普查办公室课题代教育技术应用发展研究>项目编号2006106080712M09(本人李世红区学位委员会/区教育厅项目<<从近年美国相关博士论文题看教育技术研究动向>>李世红<<广西民族大学学报>>自科版2006年第四期论文广西教学名师奖李世红广西教育厅奖励新世纪教学改革A类项目<<新世纪广西高校教育信息化的实践李世红广西教育厅项目世纪教学改革A类项目<<现代教育技术在创新教育中应用的理李世红广西教育厅项目erical analysys of quasiconformal Mappings by circle蓝师义Acta Mathematia Scientia,series B Vol 26,No.1(2006),94-98论文基于十进制编码改进的遗传算法刘美玲广西民族学院学报(自然科学版)2006年第3期论文VC中基于Excel的用户自定义报表设计刘美玲计算机工程与设计2006年4月,第8期论文<<VC中基于Excel的用户自定义报表设计>>李永胜计算机工程与设计2006年4月,第8期,第二作者论文<<VC中基于Excel的用户自定义报表设计>>李熹计算机工程与设计2006年4月,第8期,第三作者论文Access数据库实现高校班级管理现代化的探讨卢凤兰中国科技发展精典文库2006卷论文基于Wed模式的网络教学信息资源的建设李海滨广西物理(2006.3)论文一个置换极值问题梁莉莉广西民族大学学报2006年第四期on by Array Induced Stochastic Resonance in the Proc吴礼艳Chinese Physics Letters(Volume23,Number5,May 2006)论文讲授令人困惑的定点转向问题吴礼艳广西民族大学学报2006年第四期论文首届广西高校教育技术应用大赛吴礼艳区教育厅项目丢番图方程与猜想王云葵天中学刊2006(2)论文VC中基于Excel的用户自定义报表设计宣士斌《计算机工程与设计》2006年Vol.27 NO8论文模糊类聚的一定位算法宣士斌《系统工程电子技术》2005年Vol.28 NO，EI收录论文中共党史信息管理系统主题词浅释宣士斌中共党史出版社2006著作中共党史信息管理系统存储规范宣士斌中共党史出版社2006著作Wed服务消息级安全模型的设计及评价汤卫东〈计算机工程与设计〉论文利用EIGamal算法改进Kerberos协议汤卫东〈计算机工程与设计〉论文〈高校网络控制IP防盗策略研究〉许玥〈〈广西民族大学学报〉〉（自然科学版）2006年第3期论文关于高阶导函数的极限的一个性质元鲁广西民大学报.2006年12月论文数学分析教材比较分析元鲁校教学改革立项（广西人民出版社出版）论文数学分析选讲元鲁广西民族出版社教材一类含参数的二维非线性差分方程周期解的存在与稳定谭福锦用科学”2006.4 云南科技出版社注：全国性期刊。

态射的分解与Moore-Penrose逆

批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
维普资讯
第２４卷第３期２０年５０８月
科技通报
ＢＵＬＬＥＴＩＯＦＮＳＣＩＥＮＣＥＮＤＥＣＨＮＯＬＯＧＹＡＴ
Ｖｏ１２Ｎｏ．．４３
Ｍａ．２０８ｙ０
定义１［对于ｆＥＭ（ｙ）如果存在对象Ｕ、 ∈ ．分解Ｘ，，厂有
收稿日期：０７９３２０一Ｏ — Ｏ
作者简介：劲鸥（９４）女，江宁波人，师。现从事代数方向的研究工作。Ｅｍａ：ｈｎｊｏ＠ｎｕｅｕｃ章１７一，浙讲 — ｉｚａｇｉｕｂ．ｄ．ｎｌｎ
ａｅｄｓｕｓｄＳｍｅｎｃｓａｙａｄｓｆｉｉｎｏｄｔｏｓｆｒｅｉｔｎｅｏｈｏｒ－ｎｏｅｉｖｒｅｏｒｈｓｒｉｃｓｅ．ｏｅｅｓｒｎｕｆｃｅｔｃｎｉｎｏｘｓｅｃｆｔｅＭｏｅＰｅｒｓｎｅｓｆｍｏｐｉｍｓｉ
态射的分解与Ｍｏｒ－ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆
章劲鸥
（波大学数学系，江宁波３５１）宁浙１２１
摘
要：过态射的分解讨论预加法范畴中态射的Ｍｏｒ－ｅｒｓ通ｏｅＰｎｏｅ逆。给出了态射的Ｍｏｒ－ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ
ｇｎｑｇ）＋ｇａｅｂｔｎｅｔｌ．ｇａｄｇ（ｑ — ｇｒｏｈｉｖｒｉｅｂ

态射的加权Moore-Penrose逆

（）若和ｏ都是的关于和的加权３２Ｍｏｒ—ｅｒｓ逆，０＝ｏｏ＝ｏｅＰｎｏｅ贝ｌ，２ｏ卿 ‘ ＝＝＝．
８４
宁波大学学报（理工版）
２１００
２满态射和单态射的加权Ｍｏｒ．ｏｅ（２）令ｒ，则ｑｌ＝（）＝７，ｌ＝￣（，７７因ｒｐ７Ｐｎｏｅ逆ｅｒｓ
＝
矿ｏｏｔ，故（
是｝对称态射．－
引理１设 ∈ （】， ∈Ｍ（） ∈ ＭＸ，），Ｘ；，
Ｍ（，）Ｙｙ，则（）１若关于加权｛３一存在，则ｌ｝逆， ’ 是一称态射．（）对２若关于加权｛４－ｌ｝逆，
笔者用ｃ表示带有对合的范畴【对于Ｃ中２．个对象和Ｙ，Ｍ（，）示所有态射ＸＹ表】组，
Ｐｎｏｅ逆．ｅｒｓ并且给出了具有满单分解态射的加权所得结论和公式包括了关于广义ＭｏｒＰｎｏｅｏ．ｅｒｓ逆ｅ
中的结果，自然也包括了关于Ｍｏｒ—ｅｒｓ中ｏｅＰｎｏｅ逆
的结果．
Ｍ（，）豇：ＹＹ使，
＝，则口称为的左恒
Ｍｏｒ— ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆存在的几个充要条件以及表达式，等化子，称为的右Ｊ等化子．叵
逆的表达式，所得结论和公式包括了关于广义Ｍｏｒ．ｅｒｓ逆中的结果．ｏｅＰｎｏｅ关键词：范畴；满单分解；态射；加权Ｍｏｒ．ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆
中图分类号：５．Ｏ１３３文献标识码：Ａ

叶果洛夫逆定理怎么证明

叶果洛夫逆定理怎么证明引言叶果洛夫逆定理（又称为创新性广度逆定理）是一个数学定理，它是数学家叶果洛夫（Andrey Nikolayevich Kolmogorov）在20世纪60年代提出的。

这个定理在概率论和信息论中具有重要的应用价值。

本文将详细介绍叶果洛夫逆定理的证明过程。

叶果洛夫逆定理的表述叶果洛夫逆定理是关于随机序列的定理，粗略地说，它表明任何给定序列的信息熵都可以通过一个足够大的模型来逼近。

具体来说，对于一个长度为n的序列，其信息熵为H(A_1,A_2,…,A_n)，则存在一个长度为n的模型，使用该模型编码这个序列所需的平均编码长度L(A_1,A_2,…,A_n)满足以下条件：L(A_1,A_2,…,A_n)≈ H(A_1,A_2,…,A_n) 当n趋近于无穷大时，这个逼近关系趋于精确。

证明思路叶果洛夫逆定理的证明过程比较复杂，需要引入信息熵和压缩编码的概念，涉及了概率论、信息论和数学分析等多个领域的知识。

下面将按照以下步骤展开证明过程：步骤1：定义编码长度首先，我们需要定义一个序列的编码长度。

假设有一个序列A_1,A_2,…,A_n，我们用一个函数l(A)来表示该序列的编码长度，即l(A)是A的编码长度。

这个编码长度可以是任意的自然数，但要满足一定规则。

步骤2：定义平均编码长度接下来，我们定义一个序列的平均编码长度。

假设有一个长度为n的序列A_1,A_2,…,A_n，我们用一个函数L(A)来表示该序列的平均编码长度，即L(A)是A的平均编码长度。

平均编码长度可以通过对所有可能的编码方式进行加权平均得到。

步骤3：定义信息熵然后，我们引入信息熵的概念。

对于一个序列A_1,A_2,…,A_n，其信息熵H(A)可以通过以下公式来计算： H(A) = -∑(p_i * log2(p_i)) 其中，p_i表示A中某个元素出现的概率。

步骤4：证明平均编码长度的下界接下来，我们将证明平均编码长度的下界。

关于范畴中态射的广义Moore-Penrose逆

关于范畴中态射的广义Moore-Penrose逆
王志坚;刘晓冀
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(028)001
【摘要】给出了范畴中态射的广义(i,…,j)逆存在的某些充要条件,证明了态射的广义Moore-Penrose逆的表达式,推广了态射的Moore-Penrose逆的相应结果.【总页数】2页(P35-36)
【作者】王志坚;刘晓冀
【作者单位】苏州铁道师范学院数学系,江苏省,苏州市,215009;苏州铁道师范学院数学系,江苏省,苏州市,215009
【正文语种】中文
【中图分类】O154
【相关文献】
1.具有广义分解的态射的广义Moore-Penrose逆 [J], 孙志敏
2.关于正则态射的广义Moore-Penrose逆 [J], 章劲鸥;岑建苗
3.具有广义分解态射的加权Moore-Penrose逆 [J], 刘晓冀;刘三阳
4.关于一般范畴中态射的加权Moore-Penrose逆 [J], 章劲鸥;岑建苗
5.态射的双加权广义Moore-Penrose逆 [J], 杨凯迪; 尹幼奇
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

广义逆的性质与应用

广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。

本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。

一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。

对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。

2) A的广义逆是唯一的。

3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。

4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。

5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。

二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。

对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。

2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。

在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。

通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。

2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。

通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。

2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。

通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。

三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。

线性代数中的广义逆与广义逆矩阵

线性代数中的广义逆与广义逆矩阵线性代数是现代数学中的重要分支之一，在不同领域中都有广泛的应用。

广义逆是线性代数中的一个重要概念，与广义逆相关的广义逆矩阵也是研究的热点之一。

本文将介绍线性代数中的广义逆与广义逆矩阵的概念、性质以及应用。

一、广义逆的概念与性质1. 广义逆的定义广义逆是指对于任意的m×n矩阵A，存在一个n×m的矩阵B，使得A·B·A=A，称矩阵B为矩阵A的广义逆。

广义逆有时也被称为伪逆或逆广义。

2. 广义逆的性质（1）广义逆的存在性：对于任意的矩阵A，都存在唯一的广义逆。

（2）广义逆的满足性质：对于矩阵A的广义逆B，满足BA=BBAB=B。

（3）广义逆的不唯一性：对于同一个矩阵A，其广义逆并不唯一。

二、广义逆矩阵的计算方法1. SVD分解方法奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可以用于计算广义逆矩阵。

通过对矩阵A进行SVD分解，可以得到A=UΣV^T的形式，其中U、Σ和V^T分别为矩阵A的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

则矩阵A的广义逆可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+表示奇异值矩阵Σ的逆矩阵。

2. 初等变换法通过初等变换的方法来计算广义逆矩阵也是常用的一种方法。

对于矩阵A，通过初等行变换和初等列变换，可以将矩阵A转化为行最简形或列最简形。

然后再进行逆变换，得到矩阵A的广义逆矩阵。

这种方法相对简单直观，但当矩阵较大时计算量较大。

三、广义逆与最小二乘法的关系最小二乘法是一种常用的数学优化方法，在统计学和信号处理等领域中有广泛应用。

广义逆与最小二乘法密切相关。

对于线性方程组Ax=b，当矩阵A的秩小于n时，方程组可能无解；当矩阵A的秩等于n且方程组有解时，最小二乘法可以用来求解近似解。

对于方程组Ax=b中的矩阵A，如果A的秩小于n，一般情况下不存在精确解。

但可以通过最小二乘法来求解近似解x，使得A x接近于b。

第三章_广义反演法

，以示和真实模型m之区别。试问，ˆ 能拟 m 合观测数据吗？也就是说，把代入线性方程 D=Gm能获得与d相同的重建数据吗？
若用 d 表示重建数据，则有：
d GGL d U r r VrT Vr 1 U rT d UrU rT d Fd r
式中：
F U rU rT
j 1 i 1
为分辨核。hk 越小，R矩阵的分辨能力越高。一般取其倒数 hk1 作为分辨能力的（欲称分辨力）的定量度量。
6、特征值的应用；
在这一节中，将要论述利用广义反演提供了一些有用的、
重要的辅助信息——从特征值所获取的辅助信息。
1. 特征值对观测数据和模型参数的影响将数据核矩阵G作奇异值分解，并代入数据方程得：
Gm d
1 1 0 3 m1 G 0 0 1 ; d 1 ; m m2 0 0 1 1 m3
因此有：
2 0 0 1 1 0 GG T 0 1 1 ; G T G 1 1 0 0 1 1 0 0 2
1 0 1 U 0 2 1 0 2 1 2 0 1 1 ; V 2 2 1 0 2 0 0 1
显然，这是一个混定问题，即 r min(M , N )。 T T R I , F I ，由于矩阵 GG 和 G G 的秩都此时是2。据此：
d Gm U r r VrT m 是真正的模型m吗？为回答这一问题，可先将
代入上式，则得：
ˆ m GL Gm Vr r 1U rTU r rVrT m
VrVrT m Rm
式中：R为阶方阵，R称之为参数分辨矩阵（parameter resolution matrix）或模型分辨矩阵（model resolution matrix）。它是用广义反演法构制的模型和真正地球物理模型m接近程度的一种重要标志。

态射的双加权广义Moore-Penrose逆

态射的双加权广义Moore-Penrose逆杨凯迪; 尹幼奇【期刊名称】《《湖州师范学院学报》》【年(卷),期】2019(041)008【总页数】6页(P25-30)【关键词】范畴; 态射; 双加权广义Moore-Penrose逆【作者】杨凯迪; 尹幼奇【作者单位】绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000【正文语种】中文【中图分类】O153.31 引言及预备知识态射的Moore-Penrose逆是许多数学分支的基础，在统计、测量、运筹等方面有着重要的影响.态射的加权Moore-Penrose逆是经常研究的一种.例如：文献[1]～[5]分别讨论了具有满单分解、泛分解及一般范畴中态射的加权Moore-Penrose 逆存在的充要条件和表达式；文献[6]研究了半环上矩阵的双加权广义Moore-Penrose逆.本文在文献[6]的基础上对态射的双加权广义Moore-Penrose逆进行研究，推广了文献[1]～[6]中相应的结果.设C是一个范畴，A、B是C的对象，C中A到B的态射全体记作M(A,B).定义1[7] 对于C中的任意一个态射α∈M(A、B)，如果存在态射α*∈M(B,A)，满足且对β∈M(B,D)有(αβ)*=β*α*，则称*是范畴C的一个对合.当α*=α，则称α是*-对称态射.定义2 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)是C中的态射，m,u∈M(A,A)，v,n∈M(B,B)，如果存在态射η∈M(B,A)，满足:(ⅰ) φηφ=φ；(ⅱ) ηφη=η；(ⅲ) (mφηu)*=mφηu；(ⅳ) (vηφn)*=vηφn.则称态射η为态射φ的关于{m,u,v,n}的双加权广义Moore-Penrose逆，记作本文用φm,n,u,v{1,2,3,4}表示φ的所有双加权广义Moore-Penrose逆组成的集合.满足条件(ⅰ)的态射η称为φ的{1}-逆，记为η-，此时称φ是正则的，并用φ{1}表示态射φ的所有{1}-逆组成的集合.满足条件(ⅱ)、(ⅲ)的态射η称为φ关于{m,u}的双加权广义{1,3}-逆，记为满足条件(ⅰ)、(ⅳ)的态射η称为φ关于{n,v}的双加权广义{1,4}-逆，记为分别用φm,u{1,3}、φv,n{1,4}表示φ的所有双加权广义{1,3}-逆、{1,4}-逆组成的集合.通常，分别简记为分别表示态射的加权Moore-Penrose逆、态射的广义Moore-Penrose逆和态射的Moore-Penrose逆.由文献[6]的讨论知：(ⅰ) 即使都不存在，也可能存在；(ⅱ) 即使m、n、u、v都可逆，也可能不存在；(ⅲ) 如果存在，可能不唯一.引理1 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，γ∈M(B,C)，如果φγ正则且方程φγx=φ(或yφγ=γ)可解，则φγφ=φ(或γφγ=γ).证明φ=φγx=φγφ.类似可证γφγ=γ.引理2 设C是一个带有对合*的范畴，γ*-对称且正则，如果方程xγ=φ(或γy=φ)可解，则φγ-φ*(或φ*γ-φ)是*-对称的.证明设x0是方程xγ=φ的一个解，则φ*=γ*x0*.由于γ是*-对称且正则，所以即φγ-φ*是*-对称的.当γy=φ可解时，类似可证φ*γ-φ是*-对称的.设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，m,u∈M(A,A)，令引理3 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，m,u∈M(A,A)，如果方程x1mφ=φ有解，且存在u-∈u{1}使得u∈Γ(φ,m)，则存在当且仅当φ*m*u-φ*-对称正则，并且方程x2φ*m*u-φ=φ有解.此时，ηφ*m*u-∈φm,u{1,3}，其中η是φ*m*u-φ的{1}-逆.证明如果方程x1mφ=φ有解，假设b1是其中一个解，即b1mφ=φ.由于存在u-∈u{1}使得u∈Γ(φ,m)，所以必要性:假设g∈φm,u{1,3}，则于是=(由于φgφ=φ)(由于uu-φ=φ)(由于φ*g*φ*m*u-φ=(由于uu-φ=φ=)φ*m*u-φ，(由于φgφ=φ)即φ*m*u-φ是*-对称的.由b1mφ=φ，uu-φ=φ可得：于是b1u*g*是x2φ*m*u-φ=φ的解.不妨设b2是x2φ*m*u-φ=φ的解，由φ*m*u-φ*-对称可得：所以φ*m*u-φ是正则的.充分性:如果x2φ*m*u-φ=φ有解，设η是φ*m*u-φ的任意{1}-逆，则由引理1可得：φηφ*m*u-φ=φ.令g=ηφ*m*u-，显然有φgφ=φ，且mφgu=mφηφ*m*u-u=mφηφ*u-um*=(由于u-um*=m*u-u)mφηφ*m*.(由于因为φ*m*u-φ*-对称且正则，并且方程x2φ*m*u-φ=φ有解，所以由引理2可知φηφ*是*-对称的.那么，可得：g=ηφ*m*u-∈φm,u{1,3}，其中，η是φ*m*u-φ的{1}-逆.证毕.如果范畴C中态射u∈M(A,A)可逆，即存在态射f∈M(A,A)，有fu=IA，uf=IA，那么就有即f是方程x1uφ=φ的解，且此时存在u-1∈u{1}使得u∈Γ(φ,m).故由引理3可得如下推论.推论1 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)与m,u∈M(A,A)可逆，则存在当且仅当φ*m*u-1φ*-对称正则，并且方程x2φ*m*u-1φ=φ有解.此时，ηφ*m*u-1∈φm,u{1,3}，其中η是φ*m*u-1φ的{1}-逆.设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，v,n∈M(B,B)，令Y(φ,n)={v|φv-v=φ=φ,vv-n*=n*vv-}.类似于引理3和推论1，可得引理4.引理4 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，v，n∈M(B,B)，如果方程φny1=φ有解，且存在v-∈v{1}使得v-∈Y(φ,n)，则存在当且仅当φv-n*φ**-对称正则，并且方程φv-n*φ*y2=φ有解.此时，v-n*φ*ξ∈φv,n{1,4}，其中ξ是φv-n*φ*的{1}-逆.推论2 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)、v,n∈M(B,B)可逆，则存在当且仅当φv-1n*φ**-对称正则，并且方程φv-1n*φ*y2=φ有解.此时，v-1n*φ*ξ∈φv,n{1,4}，其中ξ是φv-1n*φ*的{1}-逆.2 主要结论结合引理3和引理4，可以得到如下态射双加权广义Moore-Penrose逆存在的充要条件及其表达式.定理1 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，m,u∈M(A,A)，v,n∈M(B,B)，如果方程x1mφ=φ与φny1=φ均可解，且存在u-∈u{1}、v-∈v{1}，使得u-∈Γ(φ,m)，v-∈Y(φ,n)，则下列条件等价：存在；与存在；(ⅲ) φ*m*u-φ、φv-n*φ*都是*-对称正则，并且方程x2φ*m*u-φ=φ、φv-n*φ*y2=φ均可解.当满足(ⅱ)时，其中分别是φv,n{1,4}、φm,u{1,3}中的任意元素.当满足(ⅲ)时，v-n*φ*ξφηφ*m*u-∈φm,n,u,v{1,2,3,4}.其中η和ξ分别是φ*m*u-φ与φv-n*φ*的任意{1}-逆，并且v-n*f*φe*m*u-∈φm,n,u,v{1,2,3,4}，其中e与f分别是方程x2φ*m*u-φ=φ与φv-n*φ*y2=φ的解.证明(ⅰ)⟹(ⅱ) 显然.(ⅱ)⟹(ⅲ) 由引理3和引理4可得.(ⅱ)⟹(ⅰ)对于任意的s∈φm,u{1,3}，t∈φv,n{1,4}，令g1=tφs，则φsφ=φ，=vtφn.于是φg1φ=φ(tφs)φ=φsφ=φ，g1φg1=(tφs)φ(tφs)=tφtφs=tφs=g1，=vtφn=vtφsφn=vg1φn，即g1∈φm,n,u,v{1,2,3,4}.那么有其中分别是φv,n{1,4}、φm,u{1,3}中的任意元素，证得存在.当满足(ⅲ)时，设η和ξ分别是φ*m*u-φ与φv-n*φ*的任意{1}-逆，由引理3和引理4可得ηφ*m*u-∈φm,u{1,3}和v-n*φ*ξ∈φv,n{1,4}.从而由(ⅱ)⟹(ⅰ)的证明结果可知：v-n*φ*ξφηφ*m*u-∈φm,n,u,v{1,2,3,4}.现设e与f分别是方程x2φ*m*u-φ=φ与φv-n*φ*y2=φ的解，即eφ*m*u-φ=φ，(1)φv-n*φ*f=φ.(2)令g2=v-n*f*φe*m*u-，注意到φ*m*u-φ、φv-n*φ*都是*-对称，则有φe*=eφ*m*u-φe*=eφ*，(3)φ*f=f*φv-n*φ*f=f*φ.(4)于是φg2φ=φv-n*f*φe*m*u-φ=φv-n*f*eφ*m*u-φ=(由式(3))φv-n*f*φ=(由式(1))φv-n*φ*f=(由式(4))φ.(由式(2))g2φg2=v-n*f*φe*m*u-φv-n*f*φe*m*u-=v-n*f*eφ*m*u-φv-n*φ*fe*m*u-=(由式(3)、(4))v-n*f*eφ*m*u-φe*m*u-=(由式(2))v-n*f*φe*m*u-=(由式(1))g2.mφg2u=mφv-n*f*φe*m*u-u=mφv-n*φ*fe*m*u-u=(由式(4))mφe*m*u-u=(由式(2))meφ*m*u-u=(由式(3))meφ*u-um*=(由u-um*=m*u-u)meφ*m*=(由==(由式(3)).类似可证=vg2φn.于是g2∈φm,n,u,v{1,2,3,4}，即v-n*f*φe*m*u-∈φm,n,u,v{1,2,3,4}，其中e与f分别是方程x2φ*m*u-φ=φ和φv-n*φ*y2=φ的解.以下讨论态射双加权广义Moore-Penrose逆的唯一性问题.定理2 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，m,u∈M(A,A)，v,n∈M(B,B)，如果m,u,v,n都是可逆态射且存在，则唯一.证明假设存在，则与都存在，如果m,u,v,n都是可逆态射，由推论1和推论2知，φ*m*u-1φ与φv-1n*φ*都是*-对称.令g3,g4∈φm,n,u,v{1,2,3,4}，(5)那么有：(由于φ=φg4φ)(由于)(由于φ*m*u-1φ是*-对称)g3m-1u-1φg4 =g3m-1mφg3uu-1φg4=g3φg3φg4=g3φg4=(由于φ=φg4φ)(由于)(由于φv-1n*φ*是*-对称)g4φv-1(vg3φn)*n-1g4 =g4φv-1vg3φnn-1g4 =g4φg3φg4=g4φg4=g4.唯一性可证.由定理1和定理2可得推论3.推论3 设C是一个带有对合*的范畴，φ∈M(A,B)，m,u∈M(A,A)，v,n∈M(B,B)，如果m,u,v,n都是可逆态射，则与存在当且仅当φ*m*u-1φ与φv-1n*φ*都是*-对称正则，并且方程x2φ*m*u-1φ=φ与φv-1n*φ*y2=φ均有解.(ⅰ) 如果分别是φv,n{1,4}、φm,u{1,3}中的任意元素，则(ⅱ) 如果η和ξ分别是φ*m*u-φ和φv-n*φ*的任意{1}-逆，则(ⅲ) 如果e与f分别是方程x2φ*m*u-φ=φ与φv-n*φ*y2=φ的解，则下面举例说明如何由推论3的方法求得并证明计算所得的唯一性.例1 设C是一个矩阵范畴，对合*是矩阵的共轭转置.令可求得：于是因此可得φ*m*u-1φ与φv-1n*φ*都是*-对称正则，并且方程x2φ*m*u-1φ=φ与φv-1n*φ*y2=φ均有解，其中分别是φ*m*u-φ与φv-n*φ*的{1}-逆分别是方程x2φ*m*u-φ=φ与φv-n*φ*y2=φ的解.将η和ξ代入推论3的(ⅲ)式可得：将e和f代入推论3的(ⅲ)式可得：由此可以看出存在且唯一.注如果在推论3的式(ⅱ)中令n=u=I，易得文献[3]、[5]关于态射广义Moore-Penrose逆的相关结论；如果在推论3的式(ⅲ)中令v=u=I，易得文献[6]关于态射加权Moore-Penrose逆的相关结论.本文的结论还包含两类未曾研究的态射Moore-Penrose逆和的相关结果.参考文献：【相关文献】[1]刘晓冀.态射的广义Moore-Penrose逆[J].数学杂志，1998，18(3):267-270.[2]王志坚，刘晓冀.关于范畴中态射的广义Moore-Penrose逆[J].曲阜师范大学学报，2002，28(1)：35-37.[3]章劲鸥.关于一般范畴中态射的加权Moore-Penrose逆[J].宁波大学学报(理工版)，2006，19(2)：196-200.[4]章劲鸥，岑建苗.具有泛分解态射的加权Moore-Penrose逆[J].宁波大学学报(理工版)，2007，20(4)：476-481.[5]章劲鸥.态射的加权Moore-Penrose逆[J].宁波大学学报(理工版),2010，23(4)：83-87.[6]陈艳平，谭宜家.半环上矩阵的双加权广义Moore-Penrose逆[J].模糊系统与数学，2015，29(5)：58-65.[7]贺伟.范畴论[M].北京：科学出版社，2006.[8]庄瓦金.代数广义逆引论[M].北京：科学出版社，2011.。

泛分解态射的加权Moore-Penros逆

的所有关于和加权， … 卜逆组成的集合。
下面我们给出有关定义：定义１对于范畴Ｃ，若对于Ｃ中任意态射
：ｙ，存在态射厂：满足）ｆ） ’ ｌ， ’ ｉ，，ｇ其中ｇｙ：Ｚ是Ｃ中任意态射，则称范畴Ｃ是带
通常五Ｂ，）． … 中的一个元素用表示。｛在上述
中图分类号：１３３Ｏ５．
文献标识码：Ａ
文章编号：０１７１（０１０ — ８５０１０ — １９２１）６０１— ４
ＯｎＷｅｇｔｄＭｏｒ－ｅｒｓｎｅｓｓｏｏｐｉｍｓｗｉｉｈｅｏｅＰｎｏｅＩｖｒｅｆＭｒｈｓｔｈ
记号中，有时可省掉或口。
有对合半的范畴。当厂时，称厂是术对称态一
射。当厂可逆时，有
当和都是恒等态射时，ｇ为态射厂的关
收稿日期：０９１— ７２０ — ２１基金项目：浙江省教育厅科研项目：２００４８（Ｙ０９７１）作者简介：劲鸥（９４）女，江宁波人，师。现从事代数方向的研究工作。Ｅｍａ：ａｇｉｕｂ．ｕｃ．章１７一，浙讲 — ｉｚｎｊｏ＠ｎｕｅ．ｌｈｎｄｎ
ｎｃｓａｙａｄｓｆｃｅｔｃｎｉｏｓａｐｅｅｔｄｆｒｅｉｔｎｅｎｏｒｐｒｅｏｈｗｉｈｅＭｏｒ－ｅｒｓｅｅｓｒｎｕｉｉｎｏｄｔｎｒｒｓｎｅｏｘｓｅｃａｄｓｍｅｐｏｅｔｓｆｔｅｅｇｔｄｉｅｉｏｅＰｎｅｏｉｖｒｉｆｔｅｍｏｐｉｍｓｎｅｔｏｒｈｓ．ｓｙｈＫｅｒｓｍｏｐｉｍ；ｉｎｖｒａａｔｒａｉｎ；Ｍｏｒ－ｅｒｓｎｅｅｙｗｏｄ：ｒｈｓｗｔｕｉｅｌｆｃｏｉｔｈｓｚｏｏＰｎｏｅＩｖｒｓｅｓ

奇异值分解与广义逆

奇异值分解与广义逆在数学领域中，奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）和广义逆（Generalized Inverse）是两个非常重要的概念。

它们在矩阵理论、信号处理、机器学习等领域都有着广泛的应用。

本文将深入探讨奇异值分解和广义逆的定义、性质以及应用方面的相关知识。

一、奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵相乘的形式，其形式为：A = UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，V是一个n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

奇异值分解有以下几个重要性质：1. 对于任意的矩阵A，都存在奇异值分解。

2. 奇异值分解是唯一的。

3. 奇异值的数量等于矩阵的秩。

奇异值分解在信号处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、数据降维等。

通过保留最重要的奇异值，我们可以在减少数据维度的同时尽可能保持原有信息的完整性。

二、广义逆在矩阵理论中，对于一个非方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB = I，其中I为单位矩阵，则称B为A的广义逆。

广义逆在求解线性方程组、最小二乘问题等方面有着重要的应用。

广义逆的计算方法有多种，其中比较常用的有Moore-Penrose广义逆和Drazin广义逆。

Moore-Penrose广义逆在给定的约束条件下具有唯一性，而Drazin广义逆则具有更广泛的适用性。

广义逆的应用非常广泛，例如在求解超定方程组时，我们可以使用广义逆来得到最小二乘解；在求解最优控制问题中，广义逆可以用于求解系统的逆传递函数。

三、奇异值分解与广义逆的关系奇异值分解与广义逆之间存在紧密的联系。

对于任意的矩阵A，可以使用奇异值分解将其表示为A = UΣV^T的形式。

那么我们可以将广义逆定义为A的右侧矩阵V的转置与奇异值矩阵Σ逆的乘积，即A^+ = VΣ^+U^T。

其中Σ^+为奇异值矩阵Σ的伪逆矩阵。

具有泛分解态射的加权Moore-Penrose逆

第１４卷第４期２１０２年８月
衡水学院学报
ＪｕａｆｎｓｕｉｅｓｙｏｒｌＨｅｇｈｉｎｏＵｎｖｒｉｔ
Ｖｏ．１．Ｏ．１４Ｎ４Ａｕ２０１ｇ．２
具有泛分解态射的加权Ｍｏｒ．ｅｒｓ逆ｏｅＰｎｏｅ
中Ｐ∈ （Ｚ，ｇ∈ （，）ｇＭ（Ｙ，若存在态射Ｐ ∈ （，，ｑ∈ （，）ＭＸ，）ＭＺＺ， ∈ Ｚ，）ＭＺＸ）ＭＹＺ，使得ｐｐ＇ｇ：ｇ：ｇｑｑ成立，则ｆ＝Ｐｑ＿的通过对象ｚ的一个泛分解．ｇ为厂定义２】设￡是一范畴，对象，［Ｙ∈￡，态射＿Ｍ（Ｙ．设厂可分解成态射的合成：厂＝Ｐ厂∈ Ｘ，）ｑ，其中Ｐ∈Ｍ（Ｙ为满态射，ｇＭ（，为单态射，则ｆ＝Ｐ为ｌＸ，） ∈ ＹＸ）ｑ厂的一个满单分解．若定义２】中态射＿１≠ ，则ｆ＝Ｐ也为ｆ的一个泛分解；但反之不然．［２２厂｝｛ｑ］
件及其表达式．
关键词：态射；泛分解；加权Ｍｏｒ．ｅｒｓ逆；矩阵ｏｅＰｎｏｅ中图分类号：Ｏ１３３５．文献标识码：Ａ文章编号：１７．０５２１）４００ — ６３２６（０２０ —０９０２
１引言及定义
ｘｆｘｇ），ｆ（ｇ＋Ｙｇｆｇ），ｌＹｆ（ｇ＋＝）ｎｙｇｔｇ＋ｒｆ＝（ｑｐｇｌ）Ｐｑ（ｑ＋ｌｌＰ），（ｌｆ（），ｌｎｌＰ￣ｌａｇｌ￣ｌＰ￣

广义完全分配格的逆极限

第３卷第４５期
２１０１年７月
江西师范大学学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＦＪＮＸＯＭＡＮＩＥＳＴＮＴＲＣＥＣ）ＯＲＡＡＧＩＲＬＯＩＮＵＶＲＩＹ（ＡＵＡＬＳＩＮＥ
Ｖｌ．３０１５ＮＯ．４
摘要：利用完备格同态为态射的广义完全分配格范畴的逆极限，论了函子保广义完全分配格范畴逆极限讨
的条件，得出了广义完全分配格范畴上的局部连续的自函子保伴随且保满态射和单态射．
关键词：广义完全分配格；极限；备格逆完
（０７２０ＧＺＳ７，０９Ｓ０２，全国优秀博士学位论文作者专项基１９２０ＧＺ０１）
金（０７４和江西省研究生创新专项基金（０Ａ０４资助项目．２０Ｂｌ）ＹＣ９５）作者简介：徐晓泉（９１）１６．，男，江西乐平人，教授，博士，博士生导师，主要从事拓扑学、格序结构和Ｄｍａｎ理论的研究．ｏｉ
Ｇ：ＧＤ的极限是（（，１Ｃ厶ｇ），这里Ｌ＝
｛∈ （：：ｒ兀Ｇ）ｕｆＶｆＬ
ｔｌｅ
ｉｅｌ
，
＝
Ｇ）Ｘ，＝），（。１ｘ（ｆｉＶ ∈ ｝，
Ｊ
Ｙ＝（ｆ，∈Ｌ， ≤ Ｙ） ∈ Ｖｉ，ｉＹＶ ∈，Ｘ ≤ ｉ，ｋ∈，ｚ＝，
∈／ｌ
引理３若三是ＧＤ格，ＳＬ是的完备子Ｃ

具有广义分解的态射的广义(i,…,j)逆

则称Ｃ为预加范畴．定义２３设Ｃ为具有对合＊的范畴， ∈ ｌａＭ（Ｂ）如果存在态射ｚ ∈ Ｍ（Ａ）满足Ａ，．Ｂ，，
ｄ — ａ ’
正则态射的广义Ｍｏｒ— ｅｒｓ逆存在的几个充ｏｅＰｎｏｅ
文Ｇｅｅａａｙｉ（９５年）１５ｎｒｌＡｎｌｓｓ中１３．９５年，ｅｒｓＰｎｏｅ
的等价分解以及范畴中标准分解、价分解、分等泛
Ｒ．出Ｍｏｒ逆矩阵是满足下面四个方程：指ｏｅ的
（）ＡＸＡ — Ａ；ｉ
Ｍｏｒ．是公认的研究广义逆矩阵的第ｏｅＥＨ．
一
射的广义分解概括了矩阵和范畴中的一些重要
分解，域上矩阵的Ｐｌｒ解，Ａｒｉ上矩阵如ｏａ分单ｔｎ环
人．关于广义逆的研究详细结论发表在著名论他
Ａ表示Ａｂｌ范畴．Ｇｅ群
的Ｍｏｒ— ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆［．１随后，国内外学者在这方面作了较深入的研究．文献［ — ］Ａｂｌ２３在ｅ范畴中研究具有标准分解的态射Ｍｏｒ— ｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆；献文
要条件以及广义Ｍｏｒ— ｅｒｓ逆的表达式．献ｏｅＰｎｏｅ文
（）１
（）２
［３研究了预加范畴中具有广义分解的态射幂的１］

态射的广义逆与等化子

推论３设是（ｇ，Ａ的等化子，ｇ是，｛｝当且仅当广通过唯一分解．ｆ１）则１逆
定理２设（，）（，）等化子，Ｅ，）（ｆ，）等化子，ｇ是，的Ｅｅ是１的（是ｇ１的则
摘要：本文以志射偶的萼化子为工具研究态射的广义逆．于态射，．出了ｇ为厂，对结和＿，的充要条件，在矩阵范畴中建立了齐攻线性方程组解与等化子的关系．并关键词：范畴广义逆等化子
－
收稿日期：９９０ — ９１９ — ６２
基金项目：陕西省自然科学研究资助项目
维普资讯
１８Ｏ
数
学
杂
志
Ｖｏ２ｌ２
ｒｓｏｃ逆．实上：ｕｅ事ｅｇ — ，ｇｕｕｅｇ— ｕ（ｇ）一ｇ，ｅｇ）一ｅｇ即的Ｍｏｒ — ｃｒｓｇ，ｕｅ（ｕｕ．ｏｅＰｎｏｅ逆为ｗ ’ 同理可证ｅ的ＭｏｒＰｎｏｅ逆为 ’“ “，ｏｃｅｒｓ．证为，的ＭｏｒｅｒｓｏｅＰｎｏｅ逆，推论２．由 √ ｇ分别通过，’ 一分解，／一ｅ， — ￡唯设 “ｇ
中国法分类号：５．Ｏ１３３ＭＲ（００主题分类号：１Ａ０２０文章编号：０５ —７７２０）１００４２５７９（０２０ — １％０