河北省秦皇岛一中高中数学 4.2实际问题的函数建模同步练习新人教A版必修1

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人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题数学建模建立函数模型解决实际问题

数学建模建立函数模型解决实际问题课后·训练提升1.某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出x年后该城市的人口总数y(单位:万)与年数x(单位:年)的函数解析式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万);(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万(精确到1年). ((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21)年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3;…;x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x,x∈N*.(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10≈112.7(万).(3)令y=120,则有100×(1+1.2%)x=120,由题中数据可得15<x<16.故大约16年后该城市人口总数将达到120万.2.某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(精确到0.1万元)..以投入额x为横坐标,所获纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.投资A种商品投资B种商品②求函数模型.由散点图可以看出,投资A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合.设y=a(x-h)2+b,取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)的坐标代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.投资B 种商品所获纯利润y 与投入额,将点(1,0.25)和(4,1)的坐标代入,得{0.25=k +m ,1=4k +m ,解得{k =0.25,m =0,所以y=0.25x. ③检验模型.画出函数y=-0.15(x-4)2+2与函数y=0.25x 的图象如图所示.由图可知,函数模型与实际数据基本吻合,故前六个月所获纯利润y 关于月投入A 种商品的金额x 的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y 关于月投入B 种商品的金额x 的函数关系式是y=0.25x.④求解问题.设下个月投入A,B 两种商品的资金分别为x A ,x B (单位:万元),总利润为W(单位:万元),则{x A +x B =12,W =y A +y B =-0.15(x A -4)2+2+0.25x B .所以W=-0.15(x A -196)2+0.15×(196)2+2.6. 当x A =196≈3.2时,W 取最大值,约为4.1,此时x B ≈8.8.故该经营者下个月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B 种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.。

河北省秦皇岛一中高中数学第四章函数应用测试题新人教A版必修1.doc

河北省秦皇岛一中高中数学第四章函数应用测试题新人教A版必修1(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是 ( )A ．(1，－4)B ．(4，－1)C ．1，－4D ．4，－1解析：由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1. 答案：D2．今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2解析：把t ＝1.99，t ＝3.0代入A 、B 、C 、D 验证易知，C 最近似．答案：C3．储油30 m 3的油桶，每分钟流出34 m 3的油，则桶内剩余油量Q (m 3)以流出时间t (分)为自变量的函数的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．[0，452]C ．(－∞，40]D ．[0,40]解析：由题意知Q ＝30－34t ，又0≤Q ≤30，即0≤30－34t ≤30，∴0≤t ≤40.答案：D4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低13，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元解析：由题意得8 100×(1－13)3＝2 400.答案：A5．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝12－3＝－52<0，f (0)＝20＋3×0＝1>0.∵y ＝2x，y ＝3x 均为单调增函数， ∴f (x )在(－1,0)内有一零点．答案：B6．若函数y ＝f (x )是偶函数，其定义域为{x |x ≠0}，且函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则在(－∞，0)上也仅有一个零点．答案：B7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0，解之可得x ＝－3或x ＝e 2，故零点个数为2. 答案：C8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )A ．1.00元B ．0.90元C ．1.20元D ．0.80元解析：y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)，([x ]是大于x 的最小整数，x >0)，令x ＝55060，故[x ]＝10，则y ＝0.9.答案：B9．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：令g (x )＝0，则4x＝－2x ＋2.画出函数y 1＝4x和函数y 2＝－2x ＋2的图像如图，可知g (x )的零点在区间(0,0.5)上，选项A 的零点为0.25，选项B 的零点为1，选项C 的零点为0，选项D 的零点大于1，故排除B 、C 、D.答案：A10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y ＝f (x )，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )，如f (2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g (2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )解析：A 选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B 选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D 选项中平均价格不可能越来越高，排除D.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625>0，∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)12．已知m ∈R 时，函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 恒有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当m ＝0时，由f (x )＝x －a ＝0，得x ＝a ，此时a ∈R. (2)当m ≠0时，令f (x )＝0，即mx 2＋x －m －a ＝0恒有解，Δ1＝1－4m (－m －a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立，则Δ2＝(4a )2－4×4×1≤0，即－1≤a ≤1.所以对m ∈R ，函数f (x )恒有零点，有a ∈[－1,1]．答案：[－1,1]13．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 km/h 的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x 随时间t 变化的关系式是________．解析：从A 地到B 地，以60 km/h 匀速行驶，x ＝60t ，耗时2.5个小时，停留一小时，x 不变．从B 地返回A 地，匀速行驶，速度为50 km/h ，耗时3小时，故x ＝150－50(t －3.5)＝－50t ＋325.所以x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤2.5，150， 2.5<t ≤3.5，－50t ＋325， 3.5<t ≤6.5.答案：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤2.5150， 2.5<t ≤3.5－50t ＋325 3.5<t ≤6.514．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a ＋b ＝148.4(元)．答案：148.4三、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M 万元和N 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：M ＝14x ，N ＝34x －1(x ≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为(8－x )万元，共获得利润y ＝M ＋N ＝14(8－x )＋34x －1. 令x －1＝t (0≤t ≤7)，则x ＝t 2＋1， ∴y ＝14(7－t 2)＋34t ＝－14(t －32)2＋3716.故当t ＝32时，可获最大利润3716万元．此时，投入乙种商品的资金为134万元，甲种商品的资金为194万元．16．(12分)判断方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？解：令f (x )＝2ln x ＋x －4.因为f (1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f (e)＝2ln e ＋e －4＝e －2>0，所以f (1)·f (e)<0.又函数f (x )在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，所以函数f (x )在(1，e)内存在零点，即方程f (x )＝0在(1，e)内存在实数解．由于函数f (x )＝2ln x ＋x －4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )在(1，e)内只存在唯一的一个零点．故方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t4＋22， 0≤t ≤40，t ∈Z ，－t2＋52， 40<t ≤100，t ∈Z.销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z)．求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？解：依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t4＋22－t 3＋1123， 0≤t ≤40，t ∈Z ，－t 2＋52－t 3＋1123， 40<t ≤100，t ∈Z.(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝(t 4＋22)(－t 3＋1123)＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则F (t )＝(－t 2＋52)(－t 3＋1123)＝16(t －108)2－83， ∵t ＝108>100，∴F (t )在(40,100]上递减， ∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5. ∵2 5003>745.5， ∴第12天的日销售额最高．18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x )元与相应的日销量y (个)作了统计，其数据如下：x 16 20 24 28 y4230186(1)能否找到一种函数，使它反映y 关于x 的函数关系？若能，写出函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P (元)，求P 关于x 的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P 取最大值？最大值是多少？解： (1)由已知数据作图如图，观察x ，y 的关系，可大体看到y 是x 的一次函数，令y ＝kx ＋b .当x ＝16时，y ＝42；x ＝20时，y ＝30.得⎩⎪⎨⎪⎧42＝16k ＋b ， ①30＝20k ＋b ， ②由②－①得－12＝4k ， ∴k ＝－3，代入②得b ＝90.所以y ＝－3x ＋90，显然当x ＝24时，y ＝18；当x ＝28时，y ＝6.对照数据，可以看到y ＝－3x ＋90即为所求解析式；(2)利润P ＝(x －12)·(－3x ＋90)＝－3x 2＋126x －1 080＝－3(x －21)2＋243. ∵二次函数开口向下， ∴当x ＝21时，P 最大为243.即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．。

秦皇岛市必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（） A ．31x -<C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-2．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c <，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)1,0-B ．[)4,0-C ．(]3,4D ．[)(]1,03,4-4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，()2x f x =，且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[32,)+∞D ．(0,32]5．已知奇函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()f x 在区间[]3,2--上（） A ．单调递增，且最大值为()2f - B ．单调递增，且最大值为()3f - C ．单调递减，且最大值为()2f -D ．单调递减，且最大值为()3f -6．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()cosh x f x c a c a =+=2xxa ae e a -++⋅（e 为自然对数的底数）．当0c，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫=⎪⎝⎭，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（）．A ．p m n <⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =8．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（） A ．(4)(0)(4)f f f -<时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞11．已知函数()3()log 91xf x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（）A ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞12．函数3e ex x x y -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．13．已知()22,02,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式()()3f f x ≤的解集为（）A ．](,3-∞-B ．)3,⎡-+∞⎣C ．(3-∞D ．)3,+∞14．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，则使不等式(1)0f x x+≤成立的x 的取值范围是_________. 17．已知a R ∈，函数229()f x x a a x =++-在区间[3,1]--上的最大值10，则a 的取值范围是__________．18．对于正整数k ,设函数[][]()k f x kx k x =-，其中[]a 表示不超过a 的最大整数，设24()()()g x f x f x =+，则()g x 的值域为_________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．以下结论正确的是____________（1）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点；（2）命题:0,1xp x e ∀>>都有，则00:0,1x p x e⌝∃≤≤使得；（3）空集是任何集合的真子集；（4）“a b >”是“22a b >的充分不必要条件”（5）已知函数(23)43,1(),1xa x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是(1,2]21．幂函数()223m m f x x --=在0,上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.22．如果函数f (x )＝(2)1,1,1xa x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是________． 23．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．24．已知函数2421()349x x f x +-=-+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．25．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．26．函数()93x xf x =+()1t x t ≤≤+，若()f x 的最小值为2，则()f x 的最大值为________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，所以(1)(3)f x f x +=--，由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<，所以()2(3)f x x f x +<-，所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ．【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.2．A解析：A 【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >，所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数，由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.3．A解析：A 【分析】采用赋值法，令1x y ==求得()10f =，同理可求()21f =-，()42f =-；化()()32f x f x -+-≥-为()()234f x x f -≥，再结合单调性解不等式得结果.【详解】令1x y ==，得()()121f f =即()10f =，令12x =，2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()21f =-，令2x y ==，()()()4222f f f =+=-，所以由()()32f x f x -+-≥-得()()234f x x f -≥；又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且0x y <<时，都有()()f x f y >，所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩所以10x -≤<，即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选：A 【点睛】思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.4．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 的解析式，分别求得当23x -≤≤时，3x >时，2x <-时，(2)f x +和(3)f x -的表达式，结合题意，即可求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时，20,30x x +≥-≥，所以2322x x a +-≤⋅，所以212x a -≥，因为23x -≤≤，所以215max (2)232x a -≥==；当3x >时，20,30x x +>-<，所以2(3)22x x a +--≤⋅，所以5232a ≥=；当2x <-时，20,30x x +<->所以(2)322x x a -+-≤⋅，所以51232a -≥=，综上32a ≥. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式，分类讨论，将(2)f x +和(3)f x -进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.5．A解析：A 【分析】利用函数单调性的定义结合奇函数的基本性质可判断函数()f x 在区间[]3,2--上的单调性，进而可得出函数()f x 在区间[]3,2--上的最值. 【详解】任取1x 、[]23,2x ∈--且12x x <，即1232x x -≤<≤-，所以，2123x x ≤-<-≤，因为函数()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()()21f x f x -<-，因为函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x -<-，()()12f x f x ∴<，因此，函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数，最大值为()2f -，最小值为()3f -.故选：A. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.6．C解析：C 【分析】先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，()2x x e e f x -+=，21()22x x x xe e ef x e --+-'==当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,上单调递增1(1)(1)2e ef f -+-==10122<<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即m p n << 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.7．A解析：A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.8．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-，所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换；（3）根据函数的单调性求得结果.9．C解析：C 【分析】由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈，由题意，有()31()xf x f x --=-=-，∴1()13x f x =-，故()111123f --=-=-，故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.10．C解析：C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.11．C解析：C 【分析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<，所以23114x x ≤-+<，解得01x <<，故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.12．A解析：A 【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案. 【详解】由题得函数的定义域为R , 因为3()()x x x f x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ；当0x >时，()0f x >，所以排除C ；当x →+∞时，()0f x →，所以选A .故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解. 13．C解析：C【分析】先解()3f t ≤，再由t 的范围求x 的范围．【详解】0t ≥时，2()03f t t =-≤<满足题意，0t <时，2()23f t t t =+≤，31t -≤≤，∴30t -≤<综上满足()3f t ≤的t 的范围是3t ≥-，下面解不等式()3f x ≥-，0x ≥时，2()3f x x =-≥-，解得x ≤∴0x ≤≤，0x <时，2()23f x x x =+≥-，2(1)20x ++≥，恒成立，∴0x <，综上x ≤故选：C【点睛】思路点睛：本题考查解函数不等式，由于是分段函数，因此需要分类讨论，而原不等式是复合函数形式，因此解题时可把里层()f x 作为一个未知数t （相当于换元），求得()3f t ≥-的解，再由t 的范围求出()f x t =中t 的范围．分类讨论必须牢记，否则易出错．14．C解析：C【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑.【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C.【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论. 15．B解析：B【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意；对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意；对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图解析：[)()2,00,-⋃+∞【分析】先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，画出()f x 的草图，结合图象对(1)0f x x +≤进行等价转化，解不等式即可. 【详解】由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数，函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的，作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象，如图所示.不等式(1)0f x x+≤可化为： ()010x f x <⎧⎨+≥⎩，当0x <时()10f x +≥，观察图象，得20x -≤<； ()010x f x >⎧⎨+≤⎩，当0x >时()10f x +≤，观察图象，得0x >；所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞故答案为：[)()2,00,-⋃+∞.【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)含参数的不等式需要分类讨论．17．【分析】求出的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系可得的范围【详解】时当且仅当时等号成立又或时所以而的最大值为10所以的最大值为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值掌握绝对解析：[8,)-+∞【分析】求出229x x+的范围后根据绝对值的性质根据最大值得不等关系，可得a 的范围．【详解】[3,1]x ∈--时，2[1,9]x ∈，2296x x +≥=，当且仅当23x =时等号成立，又1x =-或3x =-时，22910x x +=，所以229610a x a a x+≤++≤+，而()f x 的最大值为10，所以229x a x ++的最大值为10a +，所以100610a a a +≥⎧⎨+≤+⎩，解得8a ≥-．故答案为：[8,)-+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的最值．掌握绝对值的性质是解题关键．当0a b >≥时，a b >，当0a b 时，a b <，当0a b >>时，0a b +>，则a b >，0a b +<时，a b <．18．【分析】先由题中条件得到讨论四种情况再判断的周期性即可得出结果【详解】由题意当时此时；当时此时；当时此时；当时此时；又所以是以为周期的函数因此的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于解析：{}0,1,3,4【分析】先由题中条件，得到[][][]()246g x x x x =+-，讨论10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭四种情况，再判断()g x 的周期性，即可得出结果. 【详解】由题意，[][][][][][][]()2244246g x x x x x x x x =-+-=+-，当10,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，120,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)40,1x ∈，此时()0000g x =+-=；当11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)41,2x ∈，此时()0101g x =+-=；当13,24x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，321,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)42,3x ∈，此时()1203g x =+-=；当3,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，32,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)43,4x ∈，此时()1304g x =+-=；又[][][][][][](1)224461224466g x x x x x x x +=+++-+=+++--[][][]246()x x x g x =+-=，所以()g x 是以1为周期的函数，因此()g x 的值域为{}0,1,3,4.故答案为：{}0,1,3,4【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据一个单位区间内，x 的不同取值，确定[]x ，[]2x ，[]4x 的不同取值情况，结合函数的周期性，即可求解. 19．【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是关于原点解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式.【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB ,不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩，故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题. 20．（1）（5）【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误根据充分必要条件可判断命题（4）的正误根据函数的单调性求出参解析：（1）（5）.【分析】利用零点存在定理可判断命题（1）的正误，根据全称命题的否定可判断命题（2）的正误，根据集合的包含关系可判断命题（3）的正误，根据充分必要条件可判断命题（4）的正误，根据函数()y f x =的单调性求出参数a 的取值范围，可判断出命题（5）的正误.【详解】对于命题（1），由零点存在定理可知，该命题正确；对于命题（2），由全称命题的否定可知，该命题不正确，应该是00:0,1x p x e ⌝∃>≤使得；；对于命题（3），空集是任何非空集合的真子集，但不是空集本身的真子集，该命题错误；对于命题（4），取2a =，3b =-，则a b >，但22a b <，所以，“a b >”不是“22a b >”的充分不必要条件，该命题错误；对于命题（5），由于函数()y f x =在R 上是增函数，则()1230123143a a a a a ⎧+>⎪>⎨⎪≤+⨯-+⎩，解得12a <≤，该命题正确.故答案为（1）（2）（5）.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查零点存在定理、全称命题的否定、集合的包含关系、充分不必要条件的判断以及分段函数单调性，解题时应充分利用这些基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握，属于中等题．21．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为：解析：1【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可．【详解】幂函数223()m m f x x --=在(0,)+∞上单调递减，所以2230m m --<，13m -<<，m 的整数值为0或1，2；当0m =时，3()-=f x x 不是偶函数；当1m =时，4()f x x -=是偶函数；当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数；所以整数m 的值是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 22．【分析】先由条件判断出在R 上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R 上是增函数所以解得故实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考解析：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数，所以需要满足(2)1y a x =-+和x y a = 单调递增，并且在1x =处x y a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值，解出不等式组即可.【详解】对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0，所以()y f x =在R 上是增函数，所以201(2)11a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.23．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3【分析】由幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可．【详解】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数， ∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -.解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数.∴1m =.3a m +=故答案为：3.【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.24．【分析】根据题意设则原不等式变形为分析函数的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于解可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意函数设则变形可得即；对于其定义域为则有即函数为奇函数；函数在上为增函数在上为减解析：1(,)3-+∞ 【分析】根据题意，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则原不等式变形为(21)(2)0g x g x -++>，分析函数()g x 的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于212x x ->--，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数 24244221()343349x x x x f x ++--=-+=-+，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则(21)(2)8f x f x -++>，变形可得(21)4(2)40f x f x --++->，即(21)(2)0g x g x -++>；对于2442()()433x x g x f x +-=-=-，其定义域为R ，则有24422442()33(33)()x x x x g x g x -+++--=-=--=-，即函数()g x 为奇函数；函数243x y +=在R 上为增函数，423x y -=在R 上为减函数，故函数2442()33x x g x +-=-在R 上为增函数，故(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212g x g x g x g x g x g x x x -++>⇒->-+⇒->--⇒->--，解可得13x >-，即不等式的解集为1(3-，)+∞. 故答案为：1(3-，)+∞．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．25．(－22)【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜0的解为解析：(－2,2)【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).26．12【分析】首先设将原函数转化为再根据二次函数的单调性即可得到答案【详解】设因为所以则函数转化为因为在为增函数所以解得或（舍去）即所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数单调性求最值同时考查了换元解析：12【分析】首先设3x m =，将原函数转化为()2g m m m =+，()133t t m +≤≤，再根据二次函数的单调性即可得到答案.【详解】设3x m =，因为1t x t ≤≤+，所以133t t m +≤≤.则函数()93x x f x =+()1t x t ≤≤+转化为()2g m m m =+，()133t t m +≤≤. 因为()g m 在13,3t t +⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()()2min 3332t t t g m g ==+=，解得31t =或32t =-（舍去）. 即0t =.所以()()()1max 3312t f x g g +===.故答案为：12【点睛】本题主要考查根据函数单调性求最值，同时考查了换元法，属于中档题.。

高中数学 42 实际问题的函数建模同步练习北师大版必

4-2 实际问题的函数建模基础巩固一、选择题1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋12x 2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件[答案] A[解析] y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20.∴x ＝18时，y 有最大值．2．下图A 表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系．图B 表示某家庭在此年12个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是( )A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增加而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加[答案] C[解析] 逐月分析图像的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案．比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不是最高，因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降，但用电量有增有减，排除D.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C正确．故选C.3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )[答案] D[解析] 设原来的荒漠化土地面积为a，则ay＝a(1＋10.4%)x，即y＝1.104x(x≥0)．4．2002年3月5日，第九届全国人民代表大会第五次会议《政府工作报告》指出：2001年，国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.如果“十五”期间(2001年～2005年)每年我国生产总值按此年增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为( ) A．115000亿元B．120000亿元C．127000亿元D．135000亿元[答案] C[解析] 由于2001年生产总值已达95933亿元，则从2001年底到2005年底中时间只有4年，故x＝4.则y＝95933×(1＋7.3%)4≈127000亿元．5．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( )A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4B．y＝8×1.1x＋2.4xC．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4[答案] A[解析] 第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8(万元)，第二年应付给工人的工资总额为(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.6．(2012·西宁高一检测)据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年有湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为( )A．y＝0.9x50B．y＝(1－0.1x50)mC．y＝0.9x50·m D．y＝(1－0.150x)m [答案] C[解析] 湖水剩余量y与年数x构成指数函数关系，y＝0.9x50m.二、填空题7．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下表及图提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒________万个．[答案] 85[解析] 结合题中两个图表可得：2005年消耗纸质饭盒总数＝1×30＝30(万个)；2006年消耗纸质饭盒总数＝2×45＝90(万个)；2007年消耗纸质饭盒总数＝1.5×90＝135(万个)；故每年平均消耗纸质饭盒总数＝(30＋90＋135)÷3＝85(万个)．8．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：______．(只需写出项目的代号)[答案] A、B、E或B、D、E、F[解析] 当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投资13亿元)；f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投资13亿元)．三、解答题9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析] 解法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．解法二：接解法一：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.能力提升一、选择题 1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2；③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤ D ．①②⑤[答案] D[解析] 设此指数函数为y ＝a x(a >0且a ≠1)，由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：a ＝2，∴y ＝2x ，故①正确．当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D.2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] B[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.321，因此需4次．二、填空题3．伦敦市为成功举办2012年奥运会，决定从2008年底到2011年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2009年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．[答案] 30.2%[解析] 设现有车辆总数为a,2009年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a ·x ＋a ·x (1＋10%)＋ax (1＋10%)2＝a .∴x (1＋1.1＋1.12)＝1. ∴x ≈30.2%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．[答案] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t <110⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥110；(2)0.6.[解析] 由图像可知，当0≤t <0.1时，y ＝10t ；当t ＜0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1，∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t (0≤t <110)(116)t －110(t ≥110)，由题意可知(116)t －110＜0.25，得t ＞0.6(小时)．三、解答题5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p %作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p %时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p %(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×(80－10p )×p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6. (2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p % ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f (p )max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x ＋2y ，y ＝2l －(2＋π)x 4，由y >0，得x ∈(0，2lπ＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －(2＋π)x4·x＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 22(4＋π)，x ∈(0，2l π＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 22(4＋π)，此时，y ＝l 4＋π＝x2.答：窗户中的矩形高为l4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析] 设两个函数y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)； y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x＋1.4，g (4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g (4)＝1.35(万件)，比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．∴选用y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。

高中数学第四章函数应用4.2.1-3实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2.1-3 实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2.1-3 实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业24 实际问题的函数建模｜基础巩固｜(25分钟,60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9。

5 ，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f（x)的图像大致为（)【解析】设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知,ax＝a(1＋9.5 ）y，所以y＝log1。

095x。

【答案】D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0。

2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是（)A．y＝0。

1x＋800（0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200（0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0。

1x＋1 200（0≤x≤4 000)【解析】因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x）辆，y＝0。

2x＋0.3（4 000－x）＝－0.1x＋1 200，故选D.【答案】D3．某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为( ）A．p＝96V B．p＝错误!C．p＝错误! D．p＝错误!【解析】设p＝错误!，则64＝错误!，解得＝96，故p＝错误!。

北师大版高中数学必修一课后训练4.2实际问题的函数建模.docx

课后训练基础巩固1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )．2．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )．x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋212x (万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )．A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件4．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )．A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副5．在国内投寄信，每封信不超过20克重付邮资80分，每封信超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示成为信重x (0＜x ≤40)克的函数，其表达式为f (x )＝________.6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R a A = (a 为常数)，广告效应为D a A A =-.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．能力提升8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝21400,0400,280000,400,x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩其中x是仪器的月产量．(1)将利润y(元)表示为月产量x(台)的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)9．某城市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)．(2)问：小张选择哪家俱乐部比较合算？为什么？参考答案1．D 点拨：设原来的荒漠化土地面积为a ，则ay ＝a (1＋10.4%)x ，即y ＝1.104x (x ≥0)．2．A 点拨：作散点图可知，由题中数据确定的点近似分布在一条直线上，故选A.3．A 点拨：y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20. ∴x ＝18时，y 有最大值．4．D 点拨：要使该厂不亏本，需日出厂总价不小于日生产总成本．设日产手套x 副，则10x －y ≥0，即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800，所以，日产手套至少为800副．5．(](]800,2016020,40x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩，，，点拨：根据题意知当每封信重x (克)时满足：(1)0＜x ≤20时，应付邮资f (x )＝80(分)；(2)20＜x ≤40时，应付邮资f (x )＝160(分)．∴所求函数应分段定义，即f (x )＝(](]800,2016020,40.x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩，，， 6．214a 点拨：令t A =(t ＞0)，则A ＝t 2. ∴D ＝at －t 2＝221124t a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. ∴当12t a =，即214A a =时，D 取最大值． 7．(1)110110,0,1011,1610t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)0.6点拨：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k ＞0)，将点(0.1,1)代入y ＝kx ，可得k ＝10，所以y ＝10t ；又因为药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将点(0.1,1)代入116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得a＝0.1，故所求的函数关系式为11010,00.1,1,0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩) (2)由11102110.251616t -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得t ＝0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．8．解：(1)由题设，总成本为20 000＋100x ，则2130020000,0400,260000100,400.x x x y x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩(2)当0≤x ≤400时，y ＝12-(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y ＜60 000－100×400＝20 000＜25 000.所以，当x ＝300时，有最大利润25 000元．9．解：(1)由题意得f (x )＝5x (15≤x ≤40)，若在乙俱乐部租一张球台开展活动，当15≤x ≤30时，g (x )＝90；当30＜x ≤40时，g (x )＝90＋2(x －30)＝2x ＋30，∴g (x )＝90,1530230,3040.x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩， (2)由f (x )＝g (x )，得1530590x x ≤≤⎧⎨=⎩，或30405230x x x <≤⎧⎨=+⎩，，即x ＝18或x ＝10(舍去)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，∴f (x )＜g (x )，则此时选甲俱乐部；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，则此时可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部；当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，∴f (x )＞g (x )，则此时选乙俱乐部；当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，∴f (x )＞g (x )，则此时选乙俱乐部．综上所述：当15≤x ＜18时，选甲俱乐部；当x ＝18时，可以选甲俱乐部也可以选乙俱乐部；当18＜x ≤40时，选乙俱乐部．。

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4；当t ＝2时，x ＝4；当t ＝3时，x ＝9；当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意．当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0；当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0，即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数．根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例同步练习新人教A版必修1 (2)

3、2、2函数模型的应用实例同步练习一、选择题1、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。

在下面图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合该学生走法的是（）2、一个高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如右图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出。

若鱼缸水深为h时的体积为v，则函数v=f(h)的大致图像可能是下面图中的（）3、如右图，平面图形中阴影部分面积S是h(h∈[0,H])的函数，则该函数的图象是（）CB DAA B C DH4、如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m2)与时间t(月)的关系:y=a t, 有以下叙述: ①这个指数函数的底数为2; ②第5个月时, 浮萍面积就会超过30 m2; ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1、5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到 2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3, 则t 1+t2=t3、其中正确的是A、①②B、①②③④C、②③④⑤D、①②⑤5、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（）A、na(1-b%)B、a(1-nb%)C、a[(1-(b%))nD、a(1-b%)n6、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1、06(0、50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（如[3]＝3，[3、7]＝4， [3、1]＝4），则从甲地到乙地通话时间为5、5分钟的话费为：（）A、3.71B、3.97C、4.24D、4.777、人骑车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b＜ a），再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是图中的（）二、填空题8、1992年底世界人口达到54、8亿，若人口的平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那y与x的函数关系是。

人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模

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题型探究
重点难点个个击破
类型一利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出 13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝151 (h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤151 ). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×(2－1600)＝233 (km).
年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
知识点三数据拟合思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合. 由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).
由优惠办法 ② 得函数关系式为 y2 ＝ (20×4 ＋ 5x)×92% ＝ 4.6x ＋ 73.6(x≥4 ，
x∈N＋).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

秦皇岛一中高中数学 2.3函数的单调性同步练习新人教A版必修1

河北省秦皇岛一中高中数学 2.3函数的单调性同步练习新人教A 版必修11. 在区间(,1)-∞上为增函数的是: （） A ．B.C.D.xx y -=12. 已知函数212()log (24)f x x x =++，则)2(-f 与)3(-f 的大小关系是:（）A. >B.=C.<D.不能确定3. 下列命题:(1)若是增函数,则1()f x 是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）A.1B.2C.3D.04．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 5．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 7．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 8．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )9．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 10. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则a 的取值范围是（） A.),3[]3,(+∞--∞ B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞ D. )3,3(- 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分）11. 设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立,则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中,最小的一个不可能是_________12. 函数)(x f 是R 上的单调函数且对任意实数有1)()()(-+=+b f a f b a f .,5)4(=f 则不等式3)23(2<--m m f 的解集为__________ 13．已知函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)(，⎩⎨⎧=为有理数为无理数x x x 01)(g 当x R ∈时，()()_______,f g x =()()_______.g f x =14. 设)(x f 设为奇函数, 且在()0,∞-内是减函数,()03=-f ,则不等式()0<x xf 的解集为．15. 定义在（－∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x +1）=－f （x ），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：①f （x ）是周期函数；②f （x ）的图象关于直线x =1对称； ③f （x ）在［0，1］上是增函数；④f （x ）在［1，2］上是减函数；⑤f （2）=f （0）. 其中正确的判断是（把你认为正确的判断都．填上）三、解答题（共计74分）16. f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．17. 奇函数f (x )在定义域（-1，1）内是减函数，又f (1-a )+f (1-a 2)<0，求a 的取值范围。

(精校版)(精品)高中数学必修1全套同步练习册

1。1。3（2）集合的基本运算（补集及综合运算)
1．设全集 U＝R，A＝｛x｜0≤x≤6｝，则∁RA＝（）． A．｛ 0，1，2，3，4,5,6} B．｛x|x<0 或 x〉6}
C．｛x｜0<x〈6}
D．｛x|x≤0 或 x≥6}[来源:学科网 ZXXK]
2．已知全集 U＝｛2,5 ，8｝，且∁UA＝｛2},则集合 A 的真子集个数为（）．
4．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为（）．［来源：学§科§网 Z§X§X§K］
A．{0,1}
B．{(0，1）}
C。Error!
D. {(1f，0）｝）
5．集合 A＝｛y|y＝x2＋1｝，集合 B＝{（x，y）|y＝x2＋1｝（A、B 中 x∈R，y∈R ）．选项中元
素与集合的关系都正确的是（）．
9．以方程 x2－5x＋6＝0 和方程 x2－x－2＝0 的解为元素的集合中共有________个元素．
10．设 1,0， x 三个元素构成集合 A，若 x2∈A，求实数 x 的值．
11．已知集合 M 中含有三个元素 2, a，b，集合 N 中含有三个元素 2a ，2，b2，且 M＝N，求 a，b 的值．
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若 A 为全体正实数的集合，B＝{－2，－1，1，2}，则下列结论中正确的是（ )．
A．A∩B＝｛－2,－1}
B．（∁RA)∪B＝{－2，－ 1，1｝
C．A∪B＝{1,2}
D．(∁RA）∩B＝｛－2，－1｝
4．在如图中，用阴影表示出集合（∁UA)∩(∁U B)．
5．已知 U 为全集，集合 M、N 是 U 的子集，若 M∩N＝N，则（ )．

河北省秦皇岛一中高中数学 3.1正整数指数函数同步练习新人教A版必修1

河北省秦皇岛一中高中数学正整数指数函数同步练习新人教A版
必修1
1．下列函数中，正整数指数函数的个数为
①＝1；②＝－4；③＝－8
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由正整数指数函数的定义知，A正确．
答案：A
2．函数＝a2－3a＋3·a∈N＋为正整数指数函数，则a等于
A．1 B．2
C．1或2 D．以上都不对
解析：由正整数指数函数的定义，得a2－3a＋3＝1，
∴a＝2或a＝1舍去．
答案：B
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是
A．增加% B．减少%
C．减少% D．不增不减
解析：设商品原价格为a，两年后价格为a1＋20%2，
四年后价格为a1＋20%21－20%2＝a1－2＝ 6a，
∴错误!×100%＝%
答案：B
4．某产品计划每年成本降低3a23a2a72a72a000 m22
1写出，之间的函数关系式；
2求出经过10年后森林的面积．可借助于计算器
解：1当＝1时，＝10 000＋10 000×10%＝10 0001＋10%；
当＝2时，＝10 0001＋10%＋10 0001＋10%×10%＝10 0001＋10%2；
当＝3时，＝10 0001＋10%2＋10 0001＋10%2×10%＝10 0001＋10%3；
……X| | B| 1 c |O |m
所以，之间的函数关系式是＝10 0001＋10%∈N＋；
2当＝10时，＝10 0001＋10%10≈25 ，
即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2。

2019_2020学年新教材高中数学建立函数模型解决实际问题课后课时精练新人教A版必修第一册

第2课时建立函数模型解决实际问题A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．某企业2016年12月份的产值是2016年1月份产值的P 倍，若2016年每月产值的平均增长率均相同，则该企业2016年每月产值的平均增长率为( )A ．PP －1 B ．11P －1C ．11P D ．P －111答案 B解析设2016年1月份产值为a ，每月产值的平均增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10＜x ＜100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130答案 C解析若4x ＝60，则x ＝15＞10，不符合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人．3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y ＝ka x(k ∈R ，a >0且a ≠1)的模型的是( ) A ．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B ．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C ．如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系答案 B解析 A 中的函数模型是二次函数；B 中的函数模型是指数型函数；C 中的函数模型是反比例函数；D 中的函数模型是一次函数．故选B ．4．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )答案 C解析观察图象A ，体温逐渐降低，不符合题意；图象B 不能反映“下午他的体温又开始上升”；图象D 不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”．综上所述，只有图象C 是正确的．5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时答案 C解析由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e22k ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12.当x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·eb＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．二、填空题6．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．答案 45.6解析设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润为S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋45.606(x ∈N *)．所以当x ＝10时，总利润取得最大值，S max ＝45.6(万元)．7．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y (km)与刹车时的速度x (km/h)的关系可以用y ＝ax 2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km ，则这辆车的行驶速度为________km/h.答案 60 3解析由题意得a ×602＝b ，解得a ＝b 3600，所以y ＝b3600x 2.因为y ＝3b ，所以b3600x 2＝3b ，解得x ＝－603(舍去)或x ＝603，所以这辆车的行驶速度是60 3 km/h.8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a e －kt，新丸经过50天后，体积变为49A ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过________天．答案 75解析由题意，得49a ＝a e －50k ，解得e －25k ＝23.令a e －kt ＝827a ，即e －kt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝(e －25k )3＝e －75k，即需经过的天数为75.三、解答题9．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解 (1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x， ∴y ＝200(1＋5%)x(x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x(x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．10．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e－kt(P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h ，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)解 (1)由已知得，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e－5k，解得k ＝－15ln 0.9(或k ≈0.022)．解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈42.故污染物减少到40%至少需要42 h.B 级：“四能”提升训练1．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相等D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m (1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m (1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－ m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．2．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f (x )，根据题目要求，写出f (x )满足的条件；(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ①f (x )＝x150＋2；②f (x )＝4lg x －2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．解 (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：当x ∈[10,1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≥1恒成立；③f (x )≤x5恒成立．(2)①对于函数模型f (x )＝x150＋2：当x ∈[10,1000]时，f (x )是增函数，且f (x )≥f (10)＝3115≥1，即f (x )≥1恒成立，而若使函数f (x )＝x 150＋2≤x5在[10,1000]上恒成立，则29x ≥300在[10,1000]上恒成立．又当x ＝10时，29x ＝29×10＝290<300，所以f (x )≤x5在[10,1000]上不恒成立．故该函数模型不符合公司的要求．②对于函数模型f (x )＝4lg x －2：当x ∈[10,1000]时，f (x )是增函数，且f (x )≥f (10)＝4lg 10－2＝2≥1，所以f (x )≥1在[10,1000]上恒成立．在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝4lg x －2和y ＝x5的图象，如图所示．由图象可知当x ∈[10,1000]时，4lg x －2≤x5恒成立．故该函数模型符合公司的要求．。

北师大版高中数学必修一4.2 实际问题的函数建模(必修1).doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共10分）1.在一定范围内，某种产品的购买量y （t ）与单价x （元）之间满足一次函数关系，如果购买1 000t ,每吨为800元；如果购买2 000t ，每吨为700元，一客户购买400t ,单价应该是（）A.560元B.660元C.760元D.860元 2.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是（）A.50台B.100台C.150台D.200台二、填空题（每小题8分，共40分）3.已知f (x )=,g (x )=,h (x )=，当x ∈(4,+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是 .4.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OA =1m ,水从喷头A 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点再落下，若最高点距水面2 m ，A 离抛物线对称轴 1 m ，则水池半径最合适是 .5.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出.这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高元.6.某商人购货，进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价，以便按新价让利20％销售后，仍可获得售价25％的纯利，那么此商人经营这种货物时，按新价让利总额y 与货物数x 之间的函数关系式是 .7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比例；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =（a 为常数），如图.根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，则从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室. 三、解答题（共50分）8.（15分）某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月（按30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元．9．（20分）某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？10．（15分）某商品进货单价为40元，若销售价为50元，则可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）答题纸一、选择题题号 1 2答案二、填空题3．4．5． 6． 7.三、解答题8.9.10.4.2 实际问题的函数建模（北师大版必修1）参考答案1.D解析：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由x=800, y=1 000,及x=700,y=2 000,可得k=-10, b=9 000,即y＝－10x＋9 000.再将y=400代入,得x=860.2. C解析：当产量为x台时，总售价为25x万元.欲使生产者不亏本，必需满足总售价≥总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1，0.1＋5x－3 000≥0，＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.3. g(x)> f(x) >h(x)解析：画出三个函数的草图可知，当x∈(4, +∞)时，指数函数图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)> f(x) >h(x).4. 2.5 m解析：建立如图所示的坐标系，设y轴右侧的抛物线方程为y=a+2.∵抛物线过点A(0,1),∴a=-1，∴y=－+2.令y=0,得x=1+,或x=1－(舍去），故落在水面上最远点B与点O的距离为(1+)m，因此最合适的水池半径为2.5 m.5.6 解析：设每床每天收费提高2x元（x∈）,则收入为y=(10+2x)(100－10x)=20(5+x)(10－x)，∴当x=2或3时，y取最大值，当x=2时, y=1 120，当x=3时，y=1 120.为了满足减少投入要求应在相同条件下多空出床位，故x=3.6.y=x解析：设每件货物的新价为a元，则销售价为a(1－20%)=a×80%(元/件)，而进价为30(1－25%)=30×75% (元/件)，因此，销售每件货物的利润为a×80%－30×75%（元/件）.由题意知a×80%－30×75%=a×80%×25%,解得a=.故y=a×20%×x=x，即y与x之间的函数关系式是y=x.7.（1）y=（2）0.6解析：（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点(0.1,1)在直线上，∴k=10；同理，当t0.1时，可得1=0.1－a=0a=.（2）由题意得t≥0.6.故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.8.解：若设每天从报社买进x（250≤x≤400，x∈N）份，则每月共可销售（20x+10×250）份，每份可获利润0.20元，退回报社10（x-250）份，每份亏损0.20元，依题意，得f（x）=0.20（20x+10×250）-0.20×10（x-250）=2x+1 000，x∈[250，400]．∵函数f（x）在[250，400]上单调递增，∴x=400（份）时，f（x）max=1 800（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为1 800元．9.解：作出图像如图.（1）（一次函数模拟）设模拟函数为y=ax+b,将B ,C 两点的坐标代入函数解析式，得解得所以y =0.1x +1.此法的结论是：在不再增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1000双，这是不太可能的.（2）（二次函数模拟）设y =a +bx +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.05+0.35x +0.7.由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图像开口向下，对称轴是x =3.5），这显然不符合实际情况. （3）（指数函数模拟）设y =a +c ，将A ,B ,C 三点的坐标代入，得解得所以y =－0.8×+1.4.把x =4代入，得y =－0.8×+1.4=1.35.比较上述三个模拟函数的优势，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差最小；二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而用指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此选用y =－0.8×+1.4模拟比较接近客观实际.10．解：设最佳售价为(50)x +元，最大利润为y 元，(50)(50)(50)40y x x x =+---⨯240500x x =-++.当20x =时，y 取得最大值，所以应定价为70元.。

人教版数学高中A版必修一全册课后同步练习(附答案)

（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。

7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。

9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。

[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。

其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。

人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件数学建模建立函数模型解决实际问题

③检验模型.
画出函数h=log3(t+1)的图象,如图所示.
由图可知,函数模型与实际数据基本吻合.
故所求函数模型为h=log3(t+1).
④求解问题.
当t=8时,h=log3(8+1)=2.
所以第8年松树高为2米.
以建立二次函数模型.
用函数模型Q=at2+bt+c(a,b,c为常数,a≠0)描述该蔬菜种植成
本Q与上市时间t的变化关系.
将表格所提供的前三组数据分别代入Q=at2+bt+c,
= + + ,
得 . = + + , 解得
= + + ,
数学建模
建立函数模型解决实际问题
课前·基础认知
课堂·重难突破
课前·基础认知
1.建立函数模型解决实际问题的步骤
微判断(1)在构建函数模型时,经常会遇到没有现成数据可用
的情况,这时就需要先收集数据.( √ )
(2)在用函数构建数学模型解决实际问题时,首先要对实际问
题中的变化过程进行分析,分析出其中的常量、变量及其相

= ,

= - ,所以

= .

2
Q= t - t+ .

③检验模型.
2
画出函数 Q=t -t+ 的图象,如图所示.
由图可知,函数模型与实际数据基本吻合,
所以,描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数
2
模型为 Q= t - t+ .

2
(2)由(1)知 Q=t -t+

河北省秦皇岛一中高中数学 4.2实际问题的函数建模同步练习 新人教A版必修1

人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题 数学建模建立函数模型解决实际问题

河北省秦皇岛一中高中数学 第四章函数应用测试题 新人教A版必修1.doc