高考数学(文)二轮复习 高考小题标准练(二) Word版含解析
2022年高考数学二轮复习高考小题集训(二)
高考小题集训(二)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·全国乙卷理]设2(z ＋z )＋3(z －z )＝4＋6i ，则z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．1＋i D ．1－i2．[2021·湖南长郡十五校联考]已知集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}，Q ＝{x |3x ≥1}，则P ∩Q ＝( )A ．{x |－1≤x ≤0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |0≤x ≤6}D ．{x |－6≤x ≤0}3．已知抛物线x 2＝2py (p >0)上一点M (m ，1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，14 4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为( )A ．12－50 B. 17－50 C. 21－00 D. 35－00 5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是棱A 1B 1上任意一点，四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．不确定6．高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (50，100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间(单位为分钟)服从正态分布N (60，16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是( )A ．①②B ．②①C ．①①D ．②②7．[2021·河北衡水中学调研]已知函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝log 15 13，c ＝215 ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (a )＞f (b )8．[2021·山东烟台二模]已知函数f (x )是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|，0＜x ≤2f （x －2）－1，x ＞2 ，则方程f (x )＋18 x 2＝2根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，则下列说法正确的是( )A ．m ＝250B ．鱼苗体长在[90，100)上的频率为0.16C ．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内D ．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为3010．[2021·广东珠海一模]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是( )A ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积是932B ．三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积是18C ．直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326D ．点A 到平面A 1BC 的距离是13211．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 12．[2021·河北秦皇岛二模]已知()2－3x 6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则下列选项正确的是( )A ．a 3＝－360B ．(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝1C ．a 1＋a 2＋…＋a 6＝(2－3 )6D ．展开式中系数最大的为a 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.14．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a (x ＋1)－2x ，则f (f (3))＝________．15．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，若AD → ·AB → ＝AD → ·AC →，则AD → ·AB →的值为________．16．[2021·全国甲卷文]已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝________．1．解析：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z ＝a －b i ，代入2（z ＋z ）＋3（z －z ）＝4＋6i ，可得4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.故选C.答案：C2．解析：集合P ＝{x |x 2－5x －6≤0}＝{x |－1≤x ≤6}， Q ＝{x |3x ≥1}＝{x |x ≥0}， ∴P ∩Q ＝{x |0≤x ≤6}． 故选C. 答案：C3．解析：∵抛物线x 2＝2py （p >0）上一点M （m ，1）到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知y M ＋p 2 ＝32 ，即1＋p 2 ＝32 ，所以p ＝1，所以p 2 ＝12 ，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 故选A. 答案：A4．解析：设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则12 α×22＝76 π，解得α＝712π，由题意可得n 6 000 ＝712π2π ，解得n ＝724×6 000＝1 750，因此，该扇形圆心角用密位制表示为17－50. 故选B. 答案：B5．解析：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3， 易知四棱锥S －ABCD 的高为S 点到底面的距离，即侧棱长，所以四棱锥S －ABCD 体积为V ′＝13 S ABCD ·AA 1＝13 a 2·a ＝a 33，所以V ′∶V ＝13，故四棱锥S －ABCD 的体积与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积之比为13.故选B. 答案：B6．解析：对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－5010 ＝Φ（2），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤70）＝Φ⎝⎛⎭⎫70－604 ＝Φ（2.5），∵Φ（2）<Φ（2.5），所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－5010 ＝Φ（1.4），走第二条线路赶到的概率为P （X ≤64）＝Φ⎝⎛⎭⎫64－604 ＝Φ（1），∵Φ（1.4）>Φ（1），所以乙应走线路①.故选B. 答案：B7．解析：∵函数f （x ）＝x 2在[0，＋∞）上是增函数，b ＝log 15 13＝log 53＜a ＝log 54＜1，∴c ＝215＞20＝1，∴c ＞a ＞b ＞0，∴f （c ）＞f （a ）＞f （b ）. 故选D. 答案：D8．解析：方程f （x ）＋18 x 2＝2根的个数⇔函数y ＝f （x ）与函数y ＝－18x 2＋2的图象交点个数，图象如下：由图象可知两函数图象有6个交点．故选D. 答案：D9．解析：对于A ，因为[95，100）分组对应小矩形的高为0.01，组距为5， 所以[95，100）分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n ＝1 000×0.05＝50， 则m ＝1 000－100－100－350－150－50＝250，故选项A 正确；对于B ，鱼苗体长在[90，100）上的频率为150＋501 000＝0.2，故选项B 错误；对于C ，因为鱼的总数为1 000，100＋100＋250＝450，100＋100＋250＋350＝800， 所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内，故选项C 正确；对于D ，由表中的数据可知，鱼苗体长落在区间[80，90）上的概率为P ＝250＋3501 000＝0.6，设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数为X ， 则X 服从二项分布，即X ～B （50，0.6）， 则E （X ）＝50×0.6＝30，故选项D 正确． 故选ACD. 答案：ACD 10．解析：如图所示，三棱柱的上下底面正三角形中心分别为D 1，D ，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直， 所以其外接球的球心O 为高DD 1的中点， 设外接球半径为R ，由4πR 2＝16π得R ＝2，又因为BD ＝23 ×32×3＝3 ，故OD ＝1，所以DD 1＝2，所以三棱柱的体积V ＝34 ·32·2＝932.三棱柱的表面积S ＝3×3×2＋2×34 ×32＝18＋932.因为AC ∥A 1C 1，所以∠B 1AC 是AC 与AB 1成的角也就是A 1C 1与AB 1成的角，因为AB 1＝B 1C ＝13 ，AC ＝3，所以cos ∠B 1AC ＝B 1A 2＋AC 2－B 1C 22B 1A ·AC ＝31326，所以直线AB 1与直线A 1C 1所成角的余弦值是31326.设A 到平面A 1BC 的距离是h ，由VA －A 1BC ＝VA 1－ABC 得13 ×h ×12 ×432 ×3＝13×2×34×32，解得h ＝612943.故选AC. 答案：AC11．解析：圆心C （0，0）到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2 ，若点A （a ，b ）在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 ＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点A （a ，b ）在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 >|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A （a ，b ）在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2 <|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A （a ，b ）在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：（2－3 x ）6展开式通项公式为：T k ＋1＝C k 6 ·26－k ·（－3 x ）k ， 对于A ，令k ＝3，则a 3＝C 36 ×23×（－3 ）3＝－4803 ，A 错误； 对于B ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 6＝（2－3 ）6； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝（2＋3 ）6；∴（a 0＋a 2＋a 4＋a 6）2－（a 1＋a 3＋a 5）2＝（a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6）（a 0－a 1＋a 2－…＋a 6）＝[]()2－3×()2＋3 6＝1，B 正确；对于C ，令x ＝0得：a 0＝26，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝()2－3 6－26，C 错误； 对于D ，∵a 0，a 2，a 4，a 6为正数，a 1，a 3，a 5为负数，又a 0＝26＝64，a 2＝C 26 ×24×3＝720，a 4＝C 46 ×22×32＝540，a 6＝33＝27， ∴展开式中系数最大的为a 2，D 正确． 故选BD.答案：BD13．解析：因为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1（a >0，b >0）的离心率为2，所以e ＝c 2a 2 ＝a 2＋b 2a 2 ＝2，所以b 2a2 ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3 x .答案：y ＝±3 x14．解析：f （0）＝a －1＝0，a ＝1，当x <0时，－x >0，f （－x ）＝－x ＋1－2－x ＝－f （x ），即f （x ）＝x －1＋2－x，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－2x，x >00，x ＝0x －1＋2－x ，x <0，f （3）＝4－23＝－4，f （－4）＝－5＋24＝11，f （f （3））＝11.答案：11 15．解析：因为AD → ·AB → ＝AD → ·AC → ，所以AD → ·（AB → －AC → ）＝AD → ·CB →＝0， 所以AD ⊥CB ，由题得AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以AD → ·AB →＝2×4×cos 60°＝4. 答案：416．解析：解法一（五点作图法） 由题图可知34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f （x ）＝2cos （2x ＋φ）.点⎝⎛⎭⎫π3，0 可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3 ＋φ＝π2 ，得φ＝－π6，即f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－3 . 解法二（代点法） 由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4 （T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.又点⎝⎛⎭⎫π3，0 在函数f （x ）的图象上，所以2cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ ＝0，所以2×π3 ＋φ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），令k ＝0，则φ＝－π6，所以f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 解法三（平移法） 由题意知，34 T ＝13π12 －π3 ＝3π4（T 为f （x ）的最小正周期），所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.函数y ＝2cos 2x 的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π4，0 ，对应函数f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π3，0 ，所以f （x ）＝2cos （2x ＋φ）的图象是由y ＝2cos 2x 的图象向右平移π3 －π4 ＝π12个单位长度得到的，所以f （x ）＝2cos （2x＋φ）＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6 ＝－2cos π6＝－3 . 答案：－3。
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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。
2022版高考数学二轮复习综合练习题2
综合练习题(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，∁U A ＝{1，2，5}，则集合A 等于( D ) A ．{0，1，2} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{0，3，4}【解析】 因为全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}， ∁U A ＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A ＝{0，3，4}．故选D.2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝|4-3i|(i 为虚数单位)，则z ＝( B ) A ．2＋i B ．2-i C ．1＋2iD ．1-2i【解析】 由(2＋i)z ＝|4-3i|＝42＋（-3）2＝5， 得z ＝52＋i ＝5（2-i ）（2＋i ）（2-i ）＝5（2-i ）22＋12＝2-i ，故选B. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8＞0，a 9＜0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8＋a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的充要条件．故选C.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋log 2Q10(其中a 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，其耗氧量至少需要( )个单位．( C )A ．70B ．60C ．80D ．75【解析】 由题意可得0＝a ＋log 22010，解得a ＝-1，∴v ＝-1＋log 2Q10，∴-1＋log 2Q10≥2，解得Q ≥80，故选C.5．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4＝a 3＋5，则S 9＝( C )A ．35B ．40C ．45D ．50【解析】 ∵2a 4＝a 3＋5，∴2(a 5-d )＝a 5-2d ＋5， ∴a 5＝5，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝5×9＝45，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为( A )A ．83B ．8C ．43D ．4【解析】 由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P -ABCD ， 底面ABCD 为正方形，边长为2， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2， 则该四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83.故选A ．7．已知在边长为3的等边△ABC 中，AP →＝12AC →＋13AB →，则CP →在CB →上的投影为( C )A ．154B ．-54C ．54D ．152【解析】 CP →＝AP →-AC →＝12AC →＋13AB →-AC →＝13AB →-12AC →，∴CP →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)＝13AB →2-56AB →·AC →＋12AC →2 ＝13×9-56×3×3×12＋12×9＝154， ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|＝1543＝54.故选C.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( A )A ．5-12B ．3-12 C.3＋14D ．5＋14【解析】 椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb ＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，则BA →·BF →＝0，解得b 2＝ac ，即a 2-c 2＝ac ，即e 2＋e -1＝0，e ∈(0，1)，故e ＝5-12.故选A ． 9．下列只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)的导函数的图象，则f (-1)＝( A )A ．-13B ．13C ．73D ．-13或73【解析】 因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2-1)，Δ＝4a 2-4(a 2-1)＝4＞0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x 轴有2个交点， 对称轴是x ＝-a ，结合选项(3)符合， 由f ′(0)＝a 2-1＝0且-a ＞0得a ＝-1， 故f (-1)＝-13-1＋1＝-13.故选A ．10．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[-π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【解析】 f (-x )＝sin|-x |＋|sin(-x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )则函数f (x )是偶函数，故①正确，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ， 则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[-π，0)上还有一个零点x ＝-π，即函数f (x )在[-π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2， 故④正确，故正确是①④，故选C. 11．设a ＝3π，b ＝π3，c ＝33，则( C ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a【解析】 考查幂函数y ＝x 3在(0，＋∞)是单调增函数， 且π＞3，∴π3＞33，∴b ＞c ； 由y ＝3x 在R 上递增，可得3π＞33， 由a ＝3π，b ＝π3，可得ln a ＝πln 3，ln b ＝3ln π， 考虑f (x )＝ln x x 的导数f ′(x )＝1-ln xx2， 由x ＞e 可得f ′(x )＜0，即f (x )递减， 可得f (3)＞f (π)，即有ln 33＞ln ππ，即为πln 3＞3ln π，即有3π＞π3，则a ＞b ＞c ，故选C.12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( D )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2【解析】 记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ， 边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |， 由|AF 1|-|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|-(|AN |＋|NF 2|)＝2a ， 得|MF 1|-|NF 2|＝2a ，即|F 1E |-|F 2E |＝2a ， 记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c -(c -x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴， 设直线的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°-θ2，在△CEF 2中，tan ∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan ∠DF 2O ＝tan θ2＝r 2|EF 2|， 由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线的斜率为tan θ＝2tanθ21-tan 2θ2＝21-12＝22，故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0，则z ＝x -2y 的最大值为__2__.【解析】 由z ＝x -2y 得y ＝12x -12z ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x -12z ，由图形可知当直线经过点B 时， 直线y ＝12x -12z 的截距最小，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2x -y ＝0，得B (-2，-2)．代入目标函数z ＝x -2y ，得z ＝-2-2×(-2)＝2， 故答案为2.14．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1-x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝__2__.【解析】 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (-x )＝-f (x )，又由f (x )满足f (1＋x )＝f (1-x )，则f (-x )＝f (2＋x )，则有f (x ＋2)＝-f (x )， 变形可得：f (x ＋4)＝f (x )， 即函数f (x )为周期为4的周期函数；又由f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，则f (2)＝-f (0)＝0，f (3)＝-f (1)＝-2，f (4)＝f (0)＝0， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，则有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×504＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2；故答案为2.15．已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝__-3【解析】 已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，整理得：12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，故：32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 解得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-35， 则：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-tan π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π6＝-233，故答案为-233. 16．设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是__22__.【解析】 设AB ＝AC ＝AA 1＝2m . ∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB ＝30°，于是2msin 30°＝2r (r 是△ABC 外接圆的半径)，r ＝2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半， ∴球的半径为（2m ）2＋m 2＝5m . ∴球的体积为43π×(5m )3＝4010π3，解得m ＝ 2.于是直三棱柱的高是AA 1＝2m ＝2 2. 故答案为2 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝b cos A ＋c ，(1)证明：△ABC 是直角三角形；(2)若D 是AC 边上一点，且CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由正弦定理a cos B ＝b cos A ＋c 化为：sin A cos B ＝sin B cos A ＋sin C ， ∴sin A cos B -sin B cos A ＝sin C ， ∴sin(A -B )＝sin C ，∵A -B ∈(-π，π)，C ∈(0，π)， ∴A -B ＝C 或A -B ＝π-C (舍) ∴A ＝B ＋C ，∴A ＝π2.即△ABC 是直角三角形．(2)在△BCD 中，CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，由余弦定理得cos C ＝CD 2＋BC 2-BD 22CD ×BC ＝59.∴sin C ＝2149.∴AC ＝BC ×cos C ＝103，∴AD ＝AC -CD ＝13，又AB ＝BC ×sin C ＝4143.∴S △ABD ＝12AB ×AD ＝2149.18．(本小题满分12分)(理)某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1)．(1)从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值p 0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值． 已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量，质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果：(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率．(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍，已知每件配件的生产成本为5元，根据环保要求需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价．【解析】 (理)(1)P ＝1-(1-p )(1-(2p -1))＝1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995，解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0＝0.95.(2)由(1)可知A ，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9. 即A ，B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05＝50件， 故挽回损失50×5＝250元，从B 生产线上抽检1 000件产品，不合格产品大约为1 000×0.1＝100， 可挽回损失100×3＝300元， ∴从B 生产线挽回的损失较多．(文)(1)由数表知，甲车间生产出配件的正品的频率是55＋33100＝0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65＋27100＝0.92.所以，乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元，则一等品每件的出厂价为2a 元． 由题意知：1200[120(2a -5)＋60(a -5)-20×8]≥21.7，整理得32a -5.3≥21.7，所以a ≥18，所以二等品每件的出厂的最低价为18元．19．(本小题满分12分)如图所示，△ABC 是等边三角形，DE ∥AC ，DF ∥BC ，面ACDE ⊥面ABC ，AC ＝CD ＝AD ＝DE ＝2DF ＝2.(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求四面体FABC 的体积．【解析】 (1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC ， 又△ABC 是等边三角形， ∴∠EDF ＝∠ACB ＝60°， 又AC ＝DE ＝BC ＝2DF ＝2， 在△EDF 中，由余弦定理可得，EF ＝22＋12-2×1×2×cos 60°＝3，∴EF 2＋DF 2＝DE 2，故EF ⊥DF ， 又DF ∥BC ，∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ，连接DO ，由AD ＝DC ，得DO ⊥AC ，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，∴DO ⊥平面ABC ，且求得DO ＝22-12＝ 3.由DE ∥AC ，DF ∥BC ，且DE ∩DF ＝D ，可得平面DEF ∥平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积V ＝13×12×2×2×32×3＝1. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点，当l 1⊥x 轴时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0(k 1＞0)，且3S △AMF ＝S △BMN ，求直线l 1的方程．【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 当l 1⊥x 轴时，直线l 1的方程为x ＝p2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y 2＝2px，解得y ＝±p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，-p ， 所以|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2，进而可得抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可知F (1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x -1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x -1）y 2＝4x， 得k 21x 2-(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以Δ＝(2k 21＋4)2-4k 41＝16k 21＋16＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，① 因为k 1＋k 2＝0，所以k 1＝-k 2，因为直线l 2与抛物线交于点M ，N ，所以A 与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称， 因为3S △AMF ＝S △BMN ，S △AMF ＝S △BNF ，所以3S △AMF ＝S △AMF ＋S △BFM ，所以2S △AMF ＝S △BFM ，所以2|AF |＝|BF |，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以2x 1＋2＝x 2＋1，即x 2＝2x 1＋1，代入①得(2x 1＋1)x 1＝1，解得x 1＝12或-1(舍去)， 所以x 2＝2x 1＋1＝2×12＋1＝2， 所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋12＝52， 解得k 21＝8，即k 1＝22，所以直线l 1的方程为y ＝22(x -1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x (a ∈R )．(1)若a ＝-1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋1e x -x a ，且g (x )≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，求实数a 的最小值．【解析】 (1)a ＝-1时，f (x )＝-ln x ＋x ，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则f ′(x )＝-1x ＋1＝x -1x， 令f ′(x )＞0，解得：x ＞1，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜1，故f (x )的单调减区间为(0，1)，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )≥0，可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ，即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①，令h (t )＝e t -t ，由h ′(t )＝e t -1得，当t ＜0时，h (t )递减，当t ＞0时，h (t )递增，所以①即为h (-x )≥h (a ln x )，由于求实数a 的最小值，考虑化为a ＜0，所以-x ≤a ln x ，即a ≥-xln x ，令l (x )＝-xln x ，则l ′(x )＝-ln x -1（ln x ）2， 令l ′(x )＞0，解得：0＜x ＜e ，令l ′(x )＜0，解得：x ＞e ，故l (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减，故可得l (x )的最大值为-e ，所以a 的最小值为-e.(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y -4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)．以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM |2＋1|ON |2的最小值．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，即有ρ＝4cos θ＋sin θ； 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)， 可得sin 2t ＋cos 2t ＝y 22＋x 2＝1， 则ρ2cos 2θ＋12ρ2sin 2θ＝1， 即为ρ2＝22cos 2θ＋sin 2θ＝21＋cos 2θ. (2)设M (ρ1，α)，N (ρ2，α)，其中0≤α＜3π4或7π4＜α＜2π， 则4|OM |2＋1|ON |2＝（cos α＋sin α）24＋1＋cos 2α2 ＝1＋2sin αcos α4＋3＋cos 2α4 ＝1＋sin 2α＋cos 2α4＝1＋24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝-1即α＝5π8时，4|OM |2＋1|ON |2取得最小值1-24.23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x ＋1)＞2的解集；(2)若不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝|x |，∴3f (x -1)-f (x ＋1)＞2，即3|x -1|-|x ＋1|＞2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1，-3（x -1）＋x ＋1>2①，或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1，-3（x -1）-x -1>2②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3（x -1）-x -1>2③. 解①得x ≤-1，解②得-1＜x ＜0，解③得x ＞3，综合可得x ＜0或x ＞3，所以原不等式的解集为(-∞，0)∪(3，＋∞)．(2)f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)，即|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|.因为不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，所以，|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|对于x ∈[-2，-1]恒成立．因为x ∈[-2，-1]，所以，x ＋2≥0，x ＋3≥0，所以|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|等价于|x -a |＋x ＋2≤x ＋3，即|x -a |≤1恒成立，所以a -1≤x ≤a ＋1在[-2，-1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a ＋1，解得-2≤a ≤-1， 即实数a 的取值范围为[-2，-1]．。
2022高考数学(文)二轮复习高考小题标准练(十一) Word版含答案
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高考小题标准练(十一)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x ≤2}，B={x|x 2-1≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1<x<1} B{x|-1<x<2} C.{1} D.{-1，1}【解析】选C.由已知，得A={x|1≤x ≤2}，B={x|-1≤x ≤1}，则A ∩B={x|x=1}. 2.已知复数z 满足(2-i)2·z=1，则z 的虚部为( ) A.325i B.325C.425i D.425【解析】选D.设复数z=a+bi ，则由(2-i)2·z=1可得：(4-4i-1)·(a+bi)=1，即3a+4b+(3b-4a)i=1，所以{3a +4b =1,3b −4a =0,解得：a=325，b=425，故z 的虚部为425.3.已知log 2a>log 2b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a >1bB.log 2(a-b)>0C.2a-b<1 D.(13)a <(12)b【解析】选D.由log 2a>log 2b 得a>b>0，所以(13)a <(13)b <(12)b，故选D.4.函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2021=( )A.1B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016【解题提示】由f ′(1)与直线斜率相等可得f(x)的解析式，从而可得数列{1f(n)}的通项公式，计算可得答案.【解析】选D.f ′(x)=2x+b ，由直线3x-y+2=0可知其斜率为3， 依据题意，有f ′(1)=2+b=3，即b=1， 所以f(x)=x 2+x ，从而数列{1f(n)}的通项为1f(n)=1n 2+n =1n -1n+1，所以S 2021=1-12+12-13+…+12 015-12 016=2 0152 016.5.直线x-y+1=0被圆x 2+y 2+2my=0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m=( ) A.√6-2或√6+2 B.2+√6或2-√6 C.1 D.√6【解析】选B.圆的方程即x 2+(y+m)2=m 2，圆心(0，-m)到已知直线的距离d=|m+1|√2=√3|m|2，解得m=2+√6或m=2-√6.6.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ( )【解析】选A.由f ′(x)的图象可知f(x)在(-2，0)上是单调递增的， 在(-∞，-2)，(0，+∞)单调递减，故选A.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6【解析】选A.第一次：S=32，k=2；其次次：S=53，k=3；第三次：S=74，k=4，退出循环，故选A.8.已知不等式组{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1表示的平面区域为D ，若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则a 的取值范围为( )A.(-∞，2)B.(-∞，1)C.(2，+∞)D.(1，+∞)【解析】选A.平面区域D 如图所示，先求z=ax+y 的最小值，当a ≤12时，-a ≥-12，z=ax+y 在点A(1，0)取得最小值a ；当a>12，-a<-12，z=ax+y 在点B (13,13)取得最小值13a+13.若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则有z=ax+y 的最小值小于1，所以{a ≤12,a <1或{a >12,13a +13<1,解得a<2，故选A.9.在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →=0，2AB →2+BD →2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC.4πD.2π【解题提示】由已知中AB →·BD →=0，可得AB ⊥BD ，沿BD 折起后，由平面ABD ⊥平面BDC ，可得三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ，进而依据2AB 2→+BD 2→-4=0，求出三棱锥A-BCD 的外接球的半径.【解析】选C.平行四边形ABCD 中，由于AB →·BD →=0，所以AB ⊥BD ， 沿BD 折成直二面角A-BD-C ， 由于平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ， 所以AC 2=AB 2+BD 2+CD 2=2AB 2+BD 2=4，所以外接球的半径为1，故表面积是4π.10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示.x -1 0 2 4 5 y1221若函数y=f(x)-a 有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.[1，2) B.[1，2] C.(2，3) D.[1，3)【解析】选A.依据导函数的图象可知：y=f(x)在[-1，0]，[2，4]单调递增，在[0，2]，[4，5]单调递减，将函数的大致图象画出，所以若y=f(x)-a 有4个零点，则a ∈[1，2)，所以答案为A.【加固训练】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0， +∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，则方程f(x)-f ′ (x)=2的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1，2) D.(2，3)【解析】选C.对任意的x ∈(0，+∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则f(x)-log 2x 为定值，设t=f(x)-log 2x ，则f(x)=log 2x+t ，又由f(t)=3，即log 2t+t=3， 解得t=2；则f(x)=log 2x+2，f ′(x)=1xln2，由于f(x)-f ′(x)=2， 所以log 2x+2-1xln2=2，即log 2x-1xln2=0，设h(x)=log 2x-1xln2，可知h(x)在定义域上为单调增函数，又由于h(1)=log 21-1ln2<0，h(2)=log 22-12ln2=1-1ln4>0，所以h(x)=log 2x-1xln2的零点在区间 (1，2)上，即方程f(x)-f ′(x)=2的解所在的区间是(1，2).二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，则x= .【解析】由于a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，所以x 2-1=(2+x)x ，解得x=-12.答案：-1212.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：S=12×π×22+12×4×4+12×12×2π×2×√42+22=8+(2+2√5)π.答案：8+(2+2√5)π13.椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 .【解析】椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2的坐标为(-2，0)，(2，0)，设点P的坐标为(x 0，y 0)，由题意x 024+y 023=1，所以y 02x 02−4=-34，又由于k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=-34，k PA 1=−34k PA 2，直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，所以38≤k PA 1≤34.答案：[38,34]14.抛物线y 2=-12x 的准线与双曲线x 26-y 22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .【解析】抛物线的准线方程为x=3，双曲线的渐近线方程为y=±√33x ，所以所要求的三角形的面积为12×3×2√3=3√3.答案：3√315.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .【解析】全部基本大事为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共计8个，总分至少4分的大事可分为“两黑一红”，“一黑两红”，“三红”这三个互斥大事，所以P=38+38+18=78；也可求对立大事“总分少于4分”即“三黑”的概率为18，所以P=1-18=78. 答案：78关闭Word 文档返回原板块。
2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析 ：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析 ：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在 双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析 ：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以
高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题2 三角函数及解三角形 专题能力提升练七 2.2.2 三
专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=.2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2,所以sin A=1,当=时,“=”成立,所以A=,b=c,所以△ABC是等腰直角三角形.3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,得AB2=25+1-2×1×5×=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+=tan 67.5°+=tan 67.5°-tan 22.5°=tan 67.5°-==2×=2×=2.【加固训练】(2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,)C.(1,2]D.(1,2)【解析】选C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x∈,所以x+∈,所以a的取值X围为(1,2].5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( )A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】选D.====3-4sin2B.因为△ABC是锐角三角形,所以得<B<⇒sin2B∈.所以=3-4sin2B∈(1,2).6.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.【加固训练】(2018·某某一模) 已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值X围是( )A. B.C.(-1,]D.【解析】选 B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=,即0<B≤,sin B+cos B=sin∈(1,],原式==,设t=sin B+cos B,即原式==t-(1<t≤),函数是增函数,当t=1时,函数等于0,当t=时,函数等于,所以原式的取值X围是.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【加固训练】(2018·某某市一模) 已知cos=,则sin2α=________.【解析】sin 2α=sin=-cos2=1-2cos2=1-2×=-.答案:-8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC 比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________.【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解.【解析】由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 答案:2+三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.10.如图,在△ABC中,AB=2,cosB=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=,求AD的长.(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=,所以sin B=,在△ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,∠ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,所以S△ABC=4,因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6,因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,所以=2·,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.所以AC=4,所以=2·=4.11.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π;因为x∈,所以2x+∈,sin∈,所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因为f(x0)=,所以sin=,由x0∈,得2x0+∈,从而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=cos cos +sin sin =12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=,cos∠BAD=.(1)求sinB.(2)若AC=4,求△ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12,得BD=2.由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=×=.(2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=,设BC=x,在△ABC中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即7+x2-2·x··=16,化简得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),则CD=BC-BD=3-2=,由∠ADC和∠ADB互补,得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=,所以△ADC的面积S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=.【加固训练】(2018·某某二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由S△ABC=acsinB=acsin2B,得sin B=2sin B·cos B,因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=a=2,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24,所以AD=2.所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.(建议用时:50分钟)1.(2018·某某一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S===84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC 的面积的最大值为( )A. B. C. D.2【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立.S△=bcsin A≤··=.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sinAcosB-(c-cosA)·sinB=0,则边b=________.【解析】由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b==1.答案:14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则的最大值为________.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以==tan A.由题得a2=,所以 cos A===≥=,所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号.所以的最大值为.答案:【加固训练】(2018·某某中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积等于________.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=bc即为(b2+c2-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A为锐角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以c===.故△ABC的面积S=acsin B=×××sin =.答案:5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sinA.(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因为0<A<π,所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.6.(2018·某某一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=+.(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+,当且仅当a=c=等号成立;S max=,周长L=a+b+c=2+.7.(2018·某某二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan θ=.。
专题2.1分段函数的性质、图象以及应用(讲) 2019年高考数学(文科)二轮复习含解析
热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。
2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】
2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。
2022年高考数学二轮复习教案：第二部分 专题一 选择、填空题常用的10种解法 Word版含答案
专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。
高考数学(文)二轮复习 专题突破训练：(高考22题)12+4分项练2 Word版含答案
12＋4分项练2 不等式1．(2017届重庆市巴蜀中学三诊)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是() A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a c D.a b >ac答案D解析 取a ＝12，b ＝4，c ＝2可知D 错．故选D.2．(2017·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案D解析 画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，y ＝2得点M (－1,2)，∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，z max ＝－1＋2×2＝3. 故选D.3．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案B解析 原式可化为：(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时x ＋y 有最大值2.故选B.4．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y 2x －2y 的最小值为() A ．4 B.92C ．22D ．4 2 答案A解析 因为xy ＝1且0<y <22， 可知x >2，所以x －2y >0. x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xyx －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立．故选A.5．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y ＋1≥0，2x ＋y －1≤0，若直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，则k 等于() A.14B.13 C.12D.34 答案A解析 作出不等式组对应平面区域如图(三角形ABC 及其内部)，A (0,1)，B (1，－1)，∵直线y ＝k (x ＋1)过定点C (－1,0)，∵C 点在平面区域ABC 内，∴点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 上＝|k －1|1＋k2，点B 到直线y ＝k (x ＋1)的距离d 下＝|2k ＋1|1＋k2，∵直线y ＝k (x ＋1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1∶2，∴2×|k －1|1＋k 2＝|2k ＋1|1＋k 2，解得k ＝14.故选A.6．(2017届辽宁省锦州市质量检测)设a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则2a ＋1b －2的最小值是()A ．6B ．2 2C ．42D ．3＋2 2 答案D解析 2a ＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －2(a ＋b －2)＝3＋2(b －2)a ＋ab －2≥3＋22(b －2)a ·ab －2＝3＋22， 当且仅当a ＝2(b －2)＝2－2时取等号，故选D.7．(2017·河北省衡水中学二模)若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y －5≥0，x －2≤0，则z ＝4x 3x ＋2y的最大值为() A ．1 B.6415C.1619D.12 答案A解析 根据题意画出可行域，z ＝4x3x ＋2y ＝43＋2yx ，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F ，G 时目标函数取到最值，F (2,1)，G (1，3)，点F 与原点连线的斜率最小，则z 在F 点可取得最大值1.8．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －3≤0，x －y －3≤0，设x 2＋y 2＋4x 的最大值点为A ，则经过点A 和B (－2，－3)的直线方程为()A ．3x －5y －9＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．5x －3y ＋9＝0 答案A解析 绘制不等式组表示的可行域，目标函数z ＝((x ＋2)2＋y 2)2－4，结合点到点的距离公式的几何意义可得，目标函数在点A (3,0)处取得最大值，则直线过点A (3,0)，B (－2，－3)，据此可得直线方程为3x －5y －9＝0.故选A.9．(2017·湖北省武汉市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为()A ．3 B.143C ．3或143D ．3或－113答案D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a<0，(1)当－12≤－1a <0，即a ≥2时，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； (2)当－1a <－12，即0<a <2时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去； 当a <0时，－1a>0.(3)当0<－1a <12，即a <－2时，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合；(4)当－1a ≥12，即－2≤a <0时，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合，舍去． 综上，实数a 的值为3或－113，故选D.10.(2017届河北省衡水中学押题卷)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为() A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) C.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析 AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.11．(2017届安徽省安庆市第一中学三模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x的最大值为() A ．－32B ．0C.12D ．1 答案C解析 约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1对应的可行域为△OBC 及其内部，如图所示，其中O (0,0)，B (1,1)，C (1，－1)，由z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x，得y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋z ，当经过点B (1,1)时，z max ＝1－⎝⎛⎭⎫121＝12.12．(2017届天津市耀华中学二模)已知x ，y ，z 为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2的最大值为()A.235B.45C.22D.23答案C解析 由题意可得x 2＋12y 2≥2xy ，z 2＋12y 2≥2yz ，结合不等式的性质有x 2＋y 2＋z 2≥2(xy ＋yz )，当且仅当x ＝z ＝22y 时等号成立，即xy ＋yz x 2＋y 2＋z2≤22，xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为22.故选C. 13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.答案 －2解析 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z ＝2x＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z的截距最小，此时z 最小．目标函数为2x ＋y ＝－6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝－6解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，x ＝－2，即A (－2，－2)．又点A 也在直线y ＝k 上，所以k ＝－2.14．(2017届云南省师范大学附属中学月考)下表所示为X ，Y ，Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44 000单位维生素A 及48 000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物X ，Y ，Z 的质量分别为x ，y ，z (千克)，混合物的成本最少为________元.答案960解析 混合食物成本的多少受到维生素A ，B 的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400z ≥44 000，800x ＋200y ＋400z ≥48 000，x ＋y ＋z ＝100，x ≥0，y ≥0，z ≥0，消去不等式中的变量z ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥20，2x －y ≥40，x ＋y ≤100，目标函数为混合物成本函数P ＝12x ＋10y ＋8z ＝800＋4x ＋2y .画出可行域如图所示，当直线y ＝－2x －400＋P2过可行域内的点A (30,20)时，即x ＝30千克，y ＝20千克，z ＝50千克时，成本P ＝960元为最少．15．(2017·山东)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案8解析∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·ba＝8， 当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.16．已知变量x ，y (x ，y ∈R )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥5，y －3≤0，若不等式(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案2513解析 作出可行域如图所示，设t ＝y x ，由可行域易知1≤t ≤32.又由(x ＋y )2≥c (x 2＋y 2) (c ∈R )，得 c ≤(x ＋y )2x 2＋y 2＝1＋2xy x 2＋y 2＝1＋2x y ＋y x，即c ≤1＋2t ＋1t，而2≤t ＋1t ≤136，所以1＋2t ＋1t 的最小值为1＋2136＝1＋1213＝2513，所以c ≤2513.。
高考化学二轮复习第Ⅱ部分非选择题专项练二非选择题标准练非选择题标准练一202003190113
非选择题标准练(一)(建议用时：40分钟)1．(14分)铍铜是广泛应用于制造高级弹性元件的良好合金。
某科研小组从某废旧铍铜元件(主要含BeO、CuS，还含少量FeS和SiO2)中回收铍和铜两种金属的工艺流程如下：已知：ⅰ.铍、铝元素化学性质相似；BeCl2熔融时能微弱电离。
ⅱ.常温下，K sp[Cu(OH)2]＝2.2×10－20，K sp[Fe(OH)3]＝4.0×10－38，K sp[Mn(OH)2]＝2.1×10－13。
回答下列问题：(1)滤液A的主要成分除NaOH外，还有____________(填化学式)；写出反应Ⅰ中含铍化合物与过量盐酸反应的离子方程式：____________________________________________。
(2)滤液C中含NaCl、BeCl2和少量HCl，为得到较纯净的BeCl2溶液，选择下列实验操作最合理步骤的顺序是____________；电解熔融BeCl2制备金属铍时，需要加入NaCl，其作用是__________________。
①加入过量的NaOH；②加入过量的氨水；③加入适量的HCl；④过滤；⑤洗涤。
(3)反应Ⅱ中CuS的氧化产物为S单质，该反应的化学方程式为________________________________________________________________________。
(4)常温下，若滤液D中c(Cu2＋)＝2.2 mol·L－1、c(Fe3＋)＝0.008 mol·L－1、c(Mn2＋)＝0.21 mol·L－1，向其中逐滴加入稀氨水，生成沉淀F是____________(填化学式)；为了尽可能多的回收铜，所得滤液G的pH最大值为____________。
2．(14分)KI可用于分析试剂、感光材料、制药和食品添加剂等。
制备原理如下：反应① 3I2＋6KOH===KIO3＋5KI＋3H2O；反应② 3H2S＋KIO3===3S↓＋KI＋3H2O。
新教材适用2024版高考化学二轮总复习第4部分题型标准练选择题标准练二
选择题标准练(二)一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. (2023·湖北选考)2023年5月10日，天舟六号货运飞船成功发射，标志着我国航天事业进入到高质量发展新阶段。
下列不能作为火箭推进剂的是( A )A．液氮—液氢B．液氧—液氢C．液态NO2—肼D．液氧—煤油【解析】虽然氮气在一定的条件下可以与氢气反应，而且是放热反应，但是，由于N ≡N键能很大，该反应的速率很慢，氢气不能在氮气中燃烧，在短时间内不能产生大量的热量和大量的气体，因此，液氮—液氢不能作为火箭推进剂，A符合题意；氢气可以在氧气中燃烧，反应速率很快且放出大量的热、生成大量气体，因此，液氧—液氢能作为火箭推进剂，B不符合题意；肼和NO2在一定的条件下可以发生剧烈反应，该反应放出大量的热，且生成大量气体，因此，液态NO2—肼能作为火箭推进剂，C不符合题意；煤油可以在氧气中燃烧，反应速率很快且放出大量的热、生成大量气体，因此，液氧—煤油能作为火箭推进剂，D不符合题意；综上所述，本题选A。
2. (2023·河北部分示范学校三模)下列说法错误的是( C )A．阴离子的配位数：CsCl晶体＞NaCl晶体＞CaF2晶体B．BF3与NH3可通过配位键形成氨合三氟化硼(BF3·NH3)C．H3BO3和H3PO3均为三元弱酸，分子结构式均为(X＝B，P)D．基态氧原子的电子排布图(轨道表示式)为【解析】在CsCl晶体、NaCl晶体、CaF2晶体中，阴离子的配位数分别为8、6、4，A 正确；BF3与NH3反应生成BF3·NH3，B与N之间形成配位键，N原子提供孤对电子，B原子提供空轨道，B正确；H3BO3分子的结构式为，其水溶液呈酸性是因为H3BO3与H2O发生反应：H3BO3＋H2O[B(OH)4]－＋H＋，因此H3BO3为一元弱酸。
H3PO3分子的结构式为，H3PO3为二元弱酸，C错误；O为8号元素，基态氧原子的电子排布图(轨道表示式)为，D正确；故选C。
【2020最新】数学高考二轮复习高考22题12+4“80分”标准练2-文科
教学资料范本【2020最新】数学高考二轮复习高考22题12+4“80分”标准练2-文科编辑：__________________时间：__________________1．(20xx·全国Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵A＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B 中元素的个数为2.故选B.2．(20xx 届山东师大附中模拟)已知i 为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z ＝(2a ＋1)＋i 的模为( )A. B.3 C. D.11 答案 C解析 ＝＝，若为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1＝0，2＋a≠0，解得a ＝，则z ＝(2a ＋1)＋i ＝2＋i.则复数z ＝(2a ＋1)＋i 的模为＝＝，故选C.3．(20xx 届湖南师大附中模拟)下边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是( )A.甲＝76，乙＝75B．甲数据中x＝3，乙数据中y＝6C．甲数据中x＝6，乙数据中y＝3D．乙同学成绩较为稳定答案C解析因为甲得分的中位数为76分，所以x＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以错误!＝75，解得y＝3，故选C.4．(20xx·浙江省××市镇海中学模拟)关于周期函数，下列说法错误的是( )A．函数f(x)＝sin不是周期函数B．函数f(x)＝sin 不是周期函数C．函数f(x)＝sin|x|不是周期函数D．函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为π答案D解析对于A：函数f(x)＝sin，令＝u，u≥0，则f(u)＝sin u不是周期函数．∴A对；对于B：函数f(x)＝sin ，令＝t，t≠0，则f(t)＝sin t，不是周期函数，∴B对；对于C：函数f(x)＝sin|x|是由函数y＝sin x的部分图象关于y轴对称所得，不是周期函数，∴C对；对于D：函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为，∴D不对．故选D.5．(20xx·山东)执行如图所示的程序框图，当输入的x值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x>3 B．x>4C．x≤4 D．x≤5答案B解析输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.6．(20xx·湖北省黄冈中学模拟)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( )A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件答案C解析C中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故C项不正确．7．(20xx届山东省××市三模)已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m＞0)，若在直线l：x＋y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是( )A．(0,3) B．(0,4)C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)答案C解析以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋y2＝(1＋m)2.在直线l：x＋y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则直线l与圆有公共点．∴≤1＋m，解得m≥3.故选C.8．(20xx·全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5B．54＋18 5C．90D．81答案B解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3××2＝54＋18.9．(20xx届山东省、湖北省部分重点中学模拟)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的左、右焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2是矩形，则双曲线的离心率为( )A．5－2 B．5＋2 5C.＋1D.－1答案C解析由题意可知，矩形的对角线相等，将y＝x代入－＝1 (a>0，b>0)，可得x＝± ，y＝±·，∴＝c2，∴4a2b2＝(b2－3a2)c2，∴4a2(c2－a2)＝(c2－4a2)c2，∴e4－8e2＋4＝0，∵e＞1，∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.故选C.10．(20xx 届四川省××市三诊)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝13，Sm ＝0，Sm ＋1＝－15.其中m∈N*且m≥2，则数列的前n 项和的最大值为( )A. B.1143C. D.613答案 D解析 ∵Sm－1＝13，Sm ＝0，Sm ＋1＝－15，∴am＝Sm －Sm －1＝0－13＝－13， am ＋1＝Sm ＋1－Sm ＝－15－0＝－15，又∵数列{an}为等差数列，∴公差d ＝am ＋1－am ＝－15－(－13)＝－2，∴错误!解得a1＝13，∴an＝a1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ，当an≥0时，n≤7.5，当an ＋1≤0时，n≥6.5，∴数列的前7项为正数，∴＝错误!＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n ∴数列的前n 项和的最大值为＝＝.故选D.11．(20xx 届吉林省东北师大附中模拟)已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，AB ＝2，AC ＝2，∠ABC＝60°，且棱锥O －ABC 的体积为，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．24πC ．36πD ．48π答案 D解析 ∵AB＝2，AC ＝2，∠ABC＝60°.∴由正弦定理＝＝，可得＝，C<60°，sin C ＝，C ＝30°，∴∠A＝90°，BC ＝＝4.∵A，B ，C 是球O 的球面上三点，∴截面圆的圆心为BC 中点，半径为2.∵棱锥O －ABC 的体积为，∴××2×2×d＝，∴d＝2，设球O 的半径为R ，则R2＝(2)2＋22＝12，∴球O 的表面积为4πR2＝48π，故选D.12．设正数x ，y 满足＋log3y ＝m(m∈[－1,1])，若不等式3ax2－18xy ＋(2a ＋3)y2≥(x －y)2有解，则实数a 的取值范围是( )A. B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3121 C. D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5529，＋∞ 答案 C解析 ∵＋log3y ＝m ，即log3＋log3y ＝log3＝m ，∴＝3m，∵m∈[－1,1]，∴∈.∵3ax2－18xy＋(2a＋3)y2≥(x－y)2，∴3a－18＋(2a＋3)≥1－2＋，令＝t，则2(a＋1)t2－16t＋3a－1≥0，设f(t)＝2(a＋1)t2－16t＋3a－1，∵不等式3ax2－18xy＋(2a＋3)y2≥(x－y)2有解，∴f(t)在上的最大值f(x)max≥0，(1)当a＝－1时，f(t)＝－16t－4，∴f(t)max＝f ＝－－4<0，不符合题意．(2)若a<－1，则f(t)开口向下，对称轴为t＝<0，∴f(t)在上单调递减，∴f(t)max＝f ＝－<0，不符合题意．(3)若a>－1，则f(t)开口向上，对称轴为t＝>0，(ⅰ)若0<≤，即a≥11时，f(t)在上单调递增，∴f(t)max＝f(3)＝21a－31>0，符合题意；(ⅱ)若≥3，即－1<a≤时，f(t)在上单调递减，∴f(t)max＝f ＝－≤－<0，不符合题意；(ⅲ)若<<3，即<a<11时，f(t)在上先减后增，∴f(t)max＝f 或f(t)max＝f(3)，∴f＝－≥0或f(3)＝21a－31≥0，解得a≥或a≥，又<a<11，∴≤a<11，综上，a的取值范围是.故选C.13．(20xx·全国Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b 与a垂直，则m＝________.答案7解析∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.14．(20xx·河北省××市冲刺卷)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝log2(x＋1)，则使得f(2x)＜f(x－1)成立的x的取值范围为________．答案{x|x＜－1}解析定义在R上的奇函数f(x)，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝log2(x＋1)为增函数，且此时f(x)＞0，当x＜0，则－x＞0，此时f(－x)＝log2(－x＋1)＝－f(x)，即当x＜0时，f(x)＝－log2(－x＋1)，此时函数为增函数，且f(x)＜0，综上可知，f(x)在R上为增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)等价为2x＜x－1，即x＜－1.15．(20xx届吉林省东北师大附中模拟)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为__________元．答案 2 200解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋10y≥100，0≤x≤4，0≤y≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．线性约束条件表示的可行域如图所示，解得当时，zmin ＝2 200.16．(20xx·湖南省××市联考)已知抛物线C ：y2＝2px (p>0)的焦点为F ，点M(x0,2)是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝截得的弦长为|MA|.若＝2，则|AF|＝______.答案 1解析 由题意，M(x0,2)在抛物线上，则8＝2px0，则px0＝4， ①由抛物线的性质可知，|DM|＝x0－，＝2，则|MA|＝2|AF|＝|MF|＝，∵圆M 被直线x ＝截得的弦长为|MA|，则|DE|＝|MA|＝，由|MA|＝|ME|＝r ，在Rt△MDE 中，|DE|2＋|DM|2＝|ME|2，即2＋2＝2，将①代入整理得4x ＋p2＝20， ②由①②，解得x0＝2，p ＝2，∴|AF|＝＝1.。
人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练1 常考小题点过关检测(word版含解析)
专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480B.240C.384D.1 4406.(2021·河北唐山一模)记(x +12x)4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2B.5C.92D.1438.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-12,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a |B.a ∥bC.a 与b 的夹角为30°D.a ·b =-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )A.2a-b >1B.log 2a-log 2b>1C.2a +2b >8D.log 2a ·log 2b<111.(2021·山东临沂模拟)在下列四个条件中,能成为x>y 的充分不必要条件的是( ) A.xc 2>yc 2 B.1x<1y<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y12.(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m ,圆柱的表面积与球的表面积之比为n ,若f (x )=(mn x 3-1x )8,则( ) A.f (x )的展开式中的常数项是56 B.f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C.f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f (i)=-16,其中i 为虚数单位三、填空题13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z 满足z=4i 1+i,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第象限.14.(2021·上海嘉定二模)将(x √x)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 .15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A ,B ,C ,D ,E ,F 六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电.若要求A ,B 两大巴不能同时在上午充电,而C 大巴只能在下午充电,且F 大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE 交AD 于点F.若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析: 由题设得B={0,2},所以A ≠B ,A ∩B={0},A ∪B ≠A ,A 不是B 的子集.2.D 解析: 因为Q={y|y=x 2+2x }={y|y=(x+1)2-1}={y|y ≥-1},所以∁R Q={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x ≤1},所以P ∪(∁R Q )={x|x ≤1}.3.B 解析: ∵|a+b i |=|1+i |,∴√a 2+b 2=√12+12,即a 2+b 2=2. ∵a 2+b 2=2a=b=1,而a=b=1⇒a 2+b 2=2,∴“a 2+b 2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的必要不充分条件.4.D 解析: 由题意,得(-1+√3i)10=210cos (10×2π3)+isin 10×2π3=1 024cos 20π3+isin 20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i .5.A 解析: 当圆形排在第一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.6.B 解析: 由已知得x ≠0,则x 2>0,所以P=C 41x 3·12x+C 43x·(12x )3=2x 2+12x 2≥2√1=2,当且仅当2x 2=12x 2即x=±√22时等号成立. 7.C 解析: 如图所示,以A 为原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),于是可得O (12,12).设点E 的坐标为(1,m )(0≤m ≤1),则由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m )=λ(1,1)+μ(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),则2λ+1μ=(2λ+1μ)(λ+12μ)=2+12+μλ+λμ≥52+2√μλ·λμ=92,当且仅当{ λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23时取等号,此时2λ+1μ的最小值为92.经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.8.B解析: 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD解析: 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD解析: 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2ab=log2169<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2√2a·2b=2√2a+b,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2a+b≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2a+log2b)24=[log2(ab)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD解析: 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;对于B选项:由1x<1y<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出1x<1y<0(因为x,y的正负不确定),所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC解析: 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.对于A,f(x)展开式通项为T r+1=C8r x24-3r·(-1x )r=(-1)r C8r x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确; 对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;对于D,f (i)=(i 3-1i )8=(-i +i)8=0,D 错误. 13.四 解析: 因为z=4i1+i =4i (1-i )(1+i )(1-i )=4i (1-i )2=2i(1-i)=2i -2i 2=2+2i,所以z =2-2i,所以共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.114解析: (x +1√x )7的展开式的通项为T r+1=C 7r x 7-r ·x -12r =C 7r x 7-32r ,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有A 44A 54=2 880种情况,全部的情况有A 88=40 320种,故所求概率P=A 44A 54A 88=2 88040 320=114.15.168 解析: 先排F 大巴,第一种方案,F 大巴在上午充电,有C 21种可能情况,此时再排C大巴,C 大巴在下午充电,有C 31种可能情况,再排A ,B 大巴,又分A ,B 大巴同在下午和一个上午、一个下午两种情况,有(A 22+C 21C 21C 21)种可能情况;第二种方案,F 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,此时再排C 大巴,C 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,再排A ,B 大巴,只能一个上午、一个下午,有C 21C 31种可能情况.最后再排剩下的两辆大巴,有A 22种可能情况,故共有[C 21C 31(A 22+C 21C 21C 21)+C 21C 21C 21C 31]A 22=168种不同的充电方案. 16.35 -715解析: 如图,过点E 作EM ∥AD 交BC 于点M ,由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得EM=13AD ,BM=13BD ,MD=23BD ,又D 是BC 边的中点,得DC=35MC ,∴FD=35EM ,故FD=15AD ,即AF=45AD ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −45BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x+y=35.易知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由已知得BA=BC=2,<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=115BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+130BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =115×4-15×4+130×2=-715.。
高考数学二轮复习专题补偿练2基本初等函数、函数与方程理
补偿练二 基本初等函数、函数与方程(建议用时：40分钟)一、选择题 1．函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1.答案 B2．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (1－x )解析 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x (1＋x )， 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (1＋x )． 答案 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为 ( )．A.1516 B ．－2716 C.89 D ．18 解析 f (2)＝4，1f＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516. 答案 A4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析 a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，又∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)是增函数，而3.2<3.6<12.96∴a >c >b . 答案 B5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )．A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数f (x )＝x α， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，所以f (x )＝x .∴log 2f (2)＝log 22＝12.答案 A 6．函数f (x )＝e1－x2的部分图象大致是( )．解析 因函数f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，B ，又因为e 1－x2>0，所以排除D. 答案 C7．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )．A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)解析 因为f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点在区间(2,3)上．答案 B8．已知函数f (x )＝x －ln |x |x2，则函数y ＝f (x )的大致图象为 ( )．解析 因为函数f (x )为非奇非偶函数， 所以排除B 、C.又f (－1)＝－1<0，排除D. 答案 A 二、填空题9．若函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－2)的值______．解析 由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋2)＝－6. 答案 －610．定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝______(用a ，b ，c 作答)．解析 log 30.3<0<0.33<1＝30<30.3， 即有c <b <a依题意得：(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案 c11．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 812．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象， 当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点， 则－14<m <0，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－14，013．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为____________． 解析 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以周期是4.所以f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)，f (2 013)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴． 所以f (2 012)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0可知当1≤x 1<x 2≤3时，函数单调递减；所以f (1)>f (2)>f (3)，故f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)．答案 f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)14．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，对任意实数x 都有f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)＝________.解析 由函数关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称可知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x ＝0，所以f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝0，又f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1f －＝－1，所以f (1)＝1，因为f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－1－1f x ＋＝f (x ＋3)，即f (x )是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2 016)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×672＝f(0)＝－2.答案－215．设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－2)＝－f(x)，对一切x∈R都成立，又当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则下列四个命题：①函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数；②当x∈[1,3]，f(x)＝(2－x)3；③函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；④函数y ＝f(x)的图象关于(2,0)对称，其中正确命题的序号是________．解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x－2)＝－f(x)对一切x∈R都成立，∴f(x－4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确；当x∈[1,3]，x－2∈[－1,1]，f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，∴f(x)＝(2－x)3，故②正确；∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故③正确；∵当x∈[1,3]时，f(x)＝(2－x)3，∴f(2)＝0，∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(－x－2)＝－f(－x)＝f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴函数y＝f(x)的图象关于(2,0)对称，故④正确．答案①②③④。
高考数学二轮复习题型专项训练—客观题12+4标准练(2)
高考数学二轮复习题型专项训练—客观题12+4标准练(2)一、单项选择题1.设集合M={x||x|≤2},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2<x≤3}D.{x|-2≤x<3},则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()2.已知i为虚数单位,复数z=2−i1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知y=f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 021)=()A.-1B.0C.1D.24.某工厂生产一批医疗器械的零件,每个零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零件可以进行一次技术精加工,技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工,只能成为废品,则生产时得到合格零件的概率是() A.0.49 B.0.73 C.0.79 D.0.915.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=W log2(1+SN).它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比SN从1 000提升到16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3)()A.21%B.32%C.43%D.54%6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子(一雄一雌),而每一对小兔子在它们出生后的第3个月里,又能生一对小兔子.假如没有发生死亡现象,那么从第1个月开始,每月末的兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,如果用a n表示第n个月的兔子的总对数,那么a n=a n-1+a n-2(n∈N*,且n≥3),这就是著名的斐波那契数列,其中,a1=1,a2=1.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为()A.13B.23C.12D.347.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如,堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=√2,AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1中异面直线A1C与AB所成角的大小是()A.π6B.π4C.π3D.π28.已知拋物线y2=2px(p>0)上有两点A,B,O为坐标原点,以OA,OB为邻边的四边形为矩形,且点O到直线AB距离的最大值为4,则p=()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题9.某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态,选取了他们最近10场常规赛得分如下,则从最近10场比赛的得分看()甲:8,12,15,21,23,25,26,28,30,34乙:7,13,15,18,22,24,29,30,36,38A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的竞技状态比乙的更稳定D.乙的竞技状态比甲的更稳定10.已知函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列,把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,关于函数g (x ),下列说法正确的是( )A.在区间[π4,π2]上单调递减B.其图象关于直线x=π2对称 C.函数g (x )是偶函数D.当x ∈[π6,2π3]时,g (x )∈[-√3,2]11.如图,在直角三角形ABC 中,A=90°,|AB|=√5,|AC|=2√5,点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上,则( )A.点P 所在圆的半径为2B.点P 所在圆的面积为4πC.PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为14D.PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为16 12.已知a>0,b>0,且a+2b=2,则下列说法正确的是 ( )A.5a +25b ≥15B.4a +12b 2≥6 C.b+√a 2+b 2≥85D.b ln a2+a ln(2b)≤0三、填空题13.已知双曲线x2-y 2m=1的一个焦点与抛物线8x+y2=0的焦点重合,则m的值为.14.有5名医生被安排到两个接种点进行新冠疫苗的接种工作,若每个接种点至少安排两名医生,且其中一名负责接种信息录入工作,则不同的安排方法有种(数字作答).15.在△ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC边的中点,沿中线AD折起,使∠BDC=60°,连接BC,所得四面体ABCD的体积为√3,则此四面体内切球的表面积为.16.在一个三角形中,到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.如图,在△ABC中,P为△ABC的费马点,经证明它也满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,因此费马点也称为三角形的等角中心.在△ABC外作等边△ACD,再作△ACD的外接圆,则外接圆与线段BD的交点P即为费马点.若AB=1,BC=2,∠CAB=90°,则PA+PB+PC=.答案及解析1.B 解析 M={x||x|≤2}={x|-2≤x ≤2},N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3},则M ∩N={x|-1<x ≤2}.2.A 解析 ∵z=2−i1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2−1−3i 2=12−32i,∴z =12+32i,故z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限.3.C 解析 因为y=f (x )是定义在R 上的奇函数,x ∈[0,1]时,f (x )=log 2(x+a ),所以f (0)=log 2(0+a )=0,所以a=1.又因为y=f (x )的周期为4, 所以f (2 021)=f (4×505+1)=f (1)=1.4.C 解析 设事件A :“第一次就得到合格零件”,事件B : “第一次得到不合格零件,进行一次技术精加工后得到合格零件”,所以P (A )=0.7, P (B )=(1-0.7)×0.3=0.09,所以生产时得到合格零件的概率是P (A )+P (B )=0.7+0.09=0.79.5.D 解析 由题意1.1Wlog 216 000Wlog 21 000-1=1.1×lg16 000lg1 000-1=1.1×3+4lg23-1≈0.54,所以C 大约增加了54%.6.A 解析 因为奇数加奇数结果是偶数,奇数加偶数结果是奇数,偶数加奇数结果是奇数,所以数列中任意相邻的三项,其中一项为偶数,两项为奇数,所以前120项中偶数有40项,所以这个数是偶数的概率为40120=13.7.C 解析 在堑堵ABC-A 1B 1C 1中, AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥BC.又AC ⊥BC ,且AA 1∩AC=A ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1 ,所以阳马B-A 1ACC 1的体积V=13S 矩形ACC 1A 1·BC=13·AC·AA 1·BC=√23AC·BC ,在直角三角形ABC 中,4=AB 2=AC 2+BC 2≥2AC·BC , 即AC·BC ≤2,当且仅当AC=BC=√2时取得等号. 所以当AC=BC=√2时,阳马B-A 1ACC 1的体积取得最大值2√23. 又A 1B 1∥AB ,所以∠CA 1B 1(或其补角)为异面直线A 1C 与AB 所成的角,连接B 1C (图略),则B 1C=√BC 2+BB 12=√2+2=2,A 1C=√AC 2+AA 12=√2+2=2,即A 1B 1=B 1C=A 1C=2,所以∠CA 1B 1=π3,即异面直线A 1C 与AB 所成角为π3.8.B 解析 由题意,设直线AB 的方程为x=my+b (b ≠0),与抛物线方程联立,消去x 可得y 2-2pmy-2pb=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-2pb.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(my 1+b )(my 2+b )+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+mb (y 1+y 2)+b 2=(m 2+1)(-2pb )+2pm 2b+b 2=b 2-2pb=0,解得b=2p 或b=0(舍去),即直线AB 的方程为x=my+2p ,则原点O 到直线AB 的距离d=√1+m 2,当m=0时,d 取最大值,且d 最大值=2p=4.所以p=2. 9.AC 解析 由题意可得,甲、乙中位数分别为23+252=24,22+242=23,即甲的中位数大于乙的中位数,A 正确;甲的平均数8+12+15+21+23+25+26+28+30+3410=22.2,乙的平均数7+13+15+18+22+24+29+30+36+3810=23.2,甲的平均数小于乙的平均数,B 错误;甲的方差s12=110×[(8-22.2)2+(12-22.2)2+…+(34-22.2)2]=61.56,乙的方差s22=110×[(7-23.2)2+(13-23.2)2+…+(38-23.2)2]=92.56,即s12<s22,甲的竞技状态比乙的更稳定,C正确,D错误.10.AD解析因为f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin(ωx+π3),由于函数f(x)的零点构成一个公差为π2的等差数列,则该函数的最小正周期为π.因为ω>0,所以ω=2ππ=2,所以f(x)=2sin(2x+π3).将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)=2sin[2(x-π6)+π3]=2sin 2x的图象.对于A选项,当x∈[π4,π2]时,π2≤2x≤π,则函数g(x)在区间[π4,π2]上单调递减,A选项正确;对于B选项,g(π2)=2sin π=0≠±2,所以函数g(x)的图象不关于直线x=π2对称,B选项错误;对于C选项,函数g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-g(x),函数g(x)为奇函数,C选项错误;对于D选项,当π6≤x≤2π3时,π3≤2x≤4π3,则-√32≤sin 2x≤1,所以-√3≤g(x)≤2.所以当x∈[π6,2π3]时,g(x)∈[-√3,2],D选项正确.11.ABC解析如图,设BC的中点为M,过A作AH⊥BC于点H,连接PM,PA,AM.因为A=90°,|AB|=√5,|AC|=2√5,所以|BC|=5,|AM|=52,所以由12|AB||AC|=12|BC||AH|,得|AH|=|AB||AC||BC|=2,所以圆的半径为2,即点P 所在圆的半径为2,所以点P 所在圆的面积为4π,所以选项A 正确,B 正确;因为PB⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以当P ,M ,A 三点共线,且P ,M 在点A 的两侧时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值,且(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×2×52=10,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4+10=14,所以选项C 正确,D 错误.12.BCD 解析 因为a>0,b>0,且a+2b=2,对于A,5a +25b =5a +52b ≥2√5a ·52b =2√5a+2b =10,当且仅当5a =52b ,即a=1,b=12时取等号,故A 错误;对于B,因为a+2b=2,所以a=2-2b (0<b<1), 所以4a +12b 2=42−2b +12b 2=21−b +12b 2, 令f (b )=21−b +12b 2, 则f'(b )=2(1-b)2−1b 3=2b 3-(1-b)2b 3(1-b)2,因为0<b<1,所以b 3(1-b )2>0,令g (b )=2b 3-(1-b )2,0<b<1,则g'(b )=6b 2-2b+2>0,所以g (b )在区间(0,1)上单调递增,又g (12)=0,所以当b ∈(0,12)时,g (b )<0,即f'(b )<0,f (b )在区间(0,12)上单调递减,当b ∈(12,1)时,g (b )>0,即f'(b )>0,f (b )在区间(12,1)上单调递增,所以f (b )min =f (12)=6,故4a +12b 2≥6,即B 正确;对于C,b+√a 2+b 2=b+√(2-2b)2+b 2=b+√5b 2-8b +4, 令h (b )=b+√5b 2-8b +4,则h'(b )=1+√5b 2-8b+4=1+√5(b-45)√(b-45)2+425,当b>45时,h'(b )>0,所以h (b )在区间(45,+∞)上单调递增;当0<b<45时,h'(b )=1-√5√1+425·1(b-45)2,所以h'(b )在区间(0,45)上单调递增,又h'(35)=0,所以在区间(0,35)上,h'(b )<0,在区间(35,45)上,h'(b )>0,即在区间(0,35)上,h (b )单调递减,在区间(35,45)上,h (b )单调递增,所以b=35时h (b )取得最小值,且最小值为h (35)=85,所以b+√a 2+b 2≥85,故C 正确;对于D,b ln a 2+a ln(2b )=2b ln a+a ln(2b )=(2-a )ln a+a ln(2-a ), 令p (x )=(2-x )ln x+x ln(2-x ),0<x<2,则p (1)=0, p'(x )=-ln x+2x -1+ln(2-x )-x2−x =ln(2-x )-ln x+2−x x −x2−x ,当1<x<2时,ln(2-x )<0,-ln x<0,0<2−x x<1,x2−x >1,所以p'(x )<0,所以p (x )在区间(1,2)上单调递减,当0<x<1时,ln(2-x )>0,-ln x>0,2−x x>1,0<x2−x <1,所以p'(x )>0,所以p (x )在区间(0,1)上单调递增,所以x=1时p (x )有最大值,且p (x )max =p (1)=0,所以p (x )≤0在区间(0,2)上恒成立,所以p (a )≤0,故D 正确.13.3解析设抛物线的焦点为F,由8x+y2=0得y2=-8x,所以F(-2,0).由题意得m>0,所以1+m=22,得m=3.14.120解析根据题意,分两步进行安排:第一步,将5名医生分为两组,一组3人,另一组2人,每一组选出1人,负责接种信息录入工作,有C52·C21·C33·C31=60种分组方法;第二步,将分好的2组,安排到两个接种点,有2种情况,则共有60×2=120种安排方法.15.(84-48√3)π解析如图,由题意得BD=CD=2,AD⊥平面BCD,四面体A-BCD的体积V A-BCD=13×(12×2×2sin60°)·AD=√3,得AD=3,所以AB=√AD2+BD2=√32+22=√13,设BC的中点为E,连接AE,DE.因为BD=DC=2,∠BDC=60°,所以DE⊥BC,BC=BD=DC=2,DE=√3,所以AE⊥BC.所以AE=√AB2-BE2=√13−1=2√3.所以四面体A-BCD的表面积S=(12×2×3)×2+12×2×√3+12×2×2√3=6+3√3.设内切球的半径为R,由V A-BCD=13×S·R=(2+√3)R=√3,得R=√32+√3=2√3-3,所以内切球的表面积为4πR2=12(7-4√3)π=(84-48√3)π.16.√7 解析 根据题意有,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则∠PAB+∠PBA=60°.因为AB=1,BC=2,∠CAB=90°,所以∠ABC=60°,即∠PBC+∠PBA=60°,所以∠PAB=∠PBC ,从而有△PAB ∽△PBC ,则PA PB =PB PC =AB BC =12,则PC=2PB=4PA ,在△PAB 中,由余弦定理,可得PA 2+PB 2-12=2PA·PB cos 120°,解得PB=2√77,PA=√77,则PC=4√77,故PA+PB+PC=√7.。
2021数学二轮复习学案板块2应试技巧必备含解析
2021新高考数学（山东专用）二轮复习学案：板块2 应试技巧必备含解析应试技巧必备活用4招巧解“中高档”解答题高考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题，解答题既要结果又要过程，考生必须严格按照推理的方式按部就班地进行解答和表述．因此对于基础性的解答题要做到“对而全”,防止被扣“步骤分”；对于中高档题目要学会“踩点得分”，也就是我们常说的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答"．妙招1缺步解答——化繁为简，能解多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是,将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出,但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”．结合示例:本例第（1)问是椭圆离心率的求解问题,难度较小，而第（2)问有一定难度，如果不能拿全分，可采用缺步解答，尽量多得分．首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,若需要设直线方程,应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为错误!,这是每位考生都应该能做到的．其次，联错误!错误!两个焦点分别为F1(－1，0）,F2(1，0），且椭圆C经过点P错误!.（1)求椭圆C的离心率;（2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M,N两点，点Q是线段MN上的点，且错误!＝错误!＋错误!,求点Q的轨迹方程．［规范解答］(1)由椭圆定义知，2a＝｜PF1｜＋|PF2|＝错误!＋错误!＝2错误!，所以a＝错误!. 2分又由已知，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!. 4分(2）由(1）知，椭圆C的方程为错误!＋y2＝1。
设点Q的坐标为(x，y)，①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0,1），(0，－1)两点，此时点Q的坐标为错误!。
高考数学二轮复习习题精选(附答案)
第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{x|x2－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x －1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有B A且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1x>b1}，N＝{x|a2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝N”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有，此时，M＝{x|x>1}，N＝{x|x<1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a2>0，于是，M＝，N＝，或者，M＝，N＝，于是，，即，所以，“”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{x|x≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：① 2ab一定属于M② 2ab一定不属于M③－2ab一定属于M④－2ab一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2ab≤a2＋b2，－2ab≤a2＋b2，所以，2ab∈M，－2ab∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1) 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2) 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1) 若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且即则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当A B时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A) ∅⊆A(B) ∅B(C) B＝∅(D) A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由A B可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B) M＝∅，P＝{0}(C) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}(D) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x ＋3，x∈R}＝{y|y≤7}．1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式≤的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．解析不等式≤的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即为(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a<，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－8<0，解得－2<b<2；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{}或C＝{－}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2<b<2或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ>0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)<0，即9－3(m＋1)＋4<0，解得m>．所以，m的取值范围是m>或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i＝{a i，b i}，S j＝{a j，b j}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有min≠min(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A) 10 (B) 11(C) 12 (D) 13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15个，其中，不同min (i＝1，2，…，15)有共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a ＋b，a－b，ab，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上)．解析因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M ＝Q∪{}时，由于1∈Q，而∉M，故命题②不正确；由数域P的定义知，必有＝1∈P，从而2∈P，则3∈P，…，所以，整数集Z⊆P，故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F＝{a＋b|a，b∈Q}是数域，则将其中的换成，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：(1) 对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号)．解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e，所以，集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．1.1.28已知集合S＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}．求证：若a，b∈S，则ab ∈S．解析由a，b∈S得存在整数p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，则ab＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(pr＋qs)2＋(ps－qr)2，其中pr＋qs 和ps－qr都是整数，所以，ab∈S．1.1.29已知集合A＝{x|x＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{y|y＝20c＋16d，c，d ∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由．解析若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因为c，d∈Z，则有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B⊆A；若x∈A，则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b ＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A⊆B．所以，A＝B．1.1.30若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集合B．解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A⊆B，但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以A B．(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋ax＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，，－}．1.1.31已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy ＝－10，x，y∈R}．(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；(2) 依照(1)中的定义求出A与B 的“距离”．解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”．(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线xy＝－10上任意一点，则|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．＝2，所以，A与B的“距离”为2－当且仅当即或时，|PC＝24，|PC|最小值1．二、集合的运算1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩∁I B＝()．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析∁I B＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩∁I B＝{a3，a5}，答案为C．1.1.33若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．(A) (∁I A)∪B＝I(B) (∁I A)∪(∁I B)＝I题1.1.34(C) A∩(∁I B)＝∅(D) (∁I A)∩(∁I B)＝(∁I B)解析集合A，B，I的关系如图所示，可知(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A≠I，所以，答案为B．1.1.35设全集I＝{2，3，5}，A＝{|a－5|，2}，∁I A＝{5}，则a的值为()．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析由A∪∁I A＝I得|a－5|＝3，所以a＝2或8，答案为C．1.1.36设集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，则方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是()．(A) M∩N(B) M∪N(C) N(D) M解析由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，该方程的解集是M∪N，答案为B．1.1.37若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P＝()．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析由得所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案为D．1.1.38满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M 的个数是()．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知a1、a2∈M，a3∉M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．1.1.39若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()．(A) A⊆C(B) C⊆A(C) A≠C(D) A＝∅解析任取x∈A，则x∈A∪B＝B∩C，于是，x∈B∩C，则x∈C，所以，A⊆C，答案为A．1.1.40已知A＝{x|x≤7}，B＝{x|x<2}，C＝{x|x>5}，则A∩B＝；A ∪C＝；A∩B∩C＝．解析由已知得A∩B＝{x|x<2}，A∪C＝R，A∩B∩C＝∅．1.1.41若集合A＝{x|－2<x<1或x>1}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，则a＝；b＝．解析在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a＝1，b＝3．1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C，试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：．解析图中的阴影部分表示集合∁U A∩B∩C．题1.1.41题1.1.421.1.43已知a>b>0，全集I＝R，集合M＝，N＝，P＝{x|b<x<}，则下列关系式中正确的是()．(A) P＝M∩∁I N(B) P＝∁I M∩N(C) P＝M∪N(D) P＝M∩N题1.1.43 解析由a>b>0得b<<<a，将集合M，N表示在数轴上可知P＝M∩∁I N，答案为A．1.1.44对于集合A，B，C，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若A＝B，则显然有A∩C＝B∩C；反之，若C＝{1}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，此时A∩C＝B∩C＝{1}，但A≠B，所以，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的必要不充分条件，答案为B．1.1.45设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么∁I(M∪N)＝()．(A) ∅(B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x，y)|y＝x＋1}解析集合I表示平面上所有的点，集合M表示直线y＝x＋1上除(2，3)外的所有点，集合N表示不在直线y＝x＋1上的所有点，所以M∪N表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，∁I(M∪N)是集合{(2，3)}，答案为B．1.1.46若全集I＝R，f(x)，g(x)都是定义域为R的函数，P＝{x|f(x)<0}，Q ＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集用P，Q表示为．解析由已知可得不等式g(x)<0的解集是∁I Q，所以，不等式组的解集是P∩∁I Q．1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝．解析由已知得点P到△ABC三顶点等距，所以，{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝{△ABC的外心}．1.1.48集合A＝{(x，y)|ax＋y＝1}，B＝{(x，y)|x＋ay＝1}，C＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，分别求使得集合(A∪B)∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．解析集合A、B分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C，若(A∪B)∩C含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a＝1或a＝0．若(A∪B)∩C含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是，则＝1，所以，a＝－1±．1.1.49若集合A是一个有限集，我们以f(A)表示该集合中元素的个数．例如：f (∅)＝0，f ({a })＝1等等．(1) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，若集合N ＝{(x ，y )|y ＝b }，其中b 是实常数，求f (M ∩N )的值；(2) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈Z}，若集合P ＝{(x ，y )|y ＝x ＋p }，其中p 是实常数，如果存在整数k 使得(k ，k 2)∈M ∩P ，求证：f (M ∩P )＝2．解析 (1) 若b <0，则f (M ∩N )＝0；若b ＝0，则f (M ∩N )＝1；若b >0，则f (M ∩N )＝2．(2) 由已知可得关于x 的方程x 2＝x ＋p 有一个根是k ，则k 2＝k ＋p ，即p ＝k 2－k ，于是，方程x 2＝x ＋p 即为x 2－x －(k －1)k ＝0，即(x －k )(x ＋k －1)＝0，解得x ＝k 或x ＝1－k ，所以，M ∩P ＝{(k ，k 2)，(1－k ，(1－k )2)}，由k 是整数得k ≠1－k ，则f (M ∩N )＝2．1.1.50 设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6>0}，B ＝{x ‖x －5|<a }(a 是常数)，且11∈B ，则( )．(A) ∁R A ∪B ＝R (B) A ∪∁R B ＝R(C) ∁R A ∪∁R B ＝R (D) A ∪B ＝R解析 集合A ＝{x |x >6或x <－1}，由11∈B 得|11－5|<a ，即a >6，集合B ＝(5－a ，5＋a )，此时5－a <－1，5＋a >6，所以，A ∪B ＝R ，答案为D ．1.1.51 已知P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则P ∩Q ＝( )．(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}(C) {1，2} (D) {y |y ≥1}解析 集合P ，Q 分别是函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋1的值域，于是P ＝[1，＋∞)，Q ＝R ，所以P ∩Q ＝[1，＋∞)，答案为D ．1.1.52 设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的“差集”为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －(A －B )＝( )．(A) B (B) A ∩B (C) A ∪B (D) A解析 由“差集”的定义可知集合A –B 如图中阴影部分所示，所以，A －(A －B )＝A ∩B ，答案为B ．1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )．(A) mn (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n解析 由文氏图可得A ∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．1.1.54 设全集U ＝N *，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，则∁U (A ∪B )＝( )．(A) {x |x ＝6n ，n ∈N *} (B) {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}(C) {x |x ＝6n ±2，n ∈N *} (D) {x |x ＝6n ±3，n ∈N *}解析 对于x ＝2n ，n ∈N *，若n ＝3k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝3k －1 (k ∈题1.1.52题1.1.53N *)，则x ＝6k －2；若n ＝3k －2 (k ∈N *)，则x ＝6k －4，对于x ＝3n ，若n ＝2k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝2k －1 (k ∈N *)，则x ＝6k －3，所以，∁U (A ∪B )＝ {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}，答案为B ．1.1.55 我们称(P ，Q )为“有序集合对”，其中P ，Q 是集合，当P ≠Q 时，认为(P ，Q )与(Q ，P )是两个不同的“有序集合对”．那么，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有( )个．(A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16 解析 若A ＝∅，则只能B ＝{a ，b }；若A ＝{a }，则B 可以为{b }或{a ，b }；若A ＝{b }，则B 可以为{a }或{a ，b }；若A ＝{a ，b }，则B 可以是∅，{a }，{b }，{a ，b }这四个集合中的某一个，所以，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有9个，答案为A ．1.1.56 有限集合S 中元素的个数记做card(S )．设A ，B都为有限集合，给出下列命题：① A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )；② A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )；③ A ⊈B 的充分条件是card(A )≤card(B )；④ A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )，其中真命题的序号是( )．(A) ③，④ (B) ①，②(C) ①，④ (D)②，③ 解析 用文氏图可知，当A ∩B ＝∅时，必有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )．反之，若card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )，也必有A ∩B ＝∅．于是，card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )是A ∩B ＝∅的充要条件；若A ⊆B ，则card(A )≤card(B )；反之，当card(A )≤card(B )时，未必有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊆B 的必要条件；当card(A )≤card(B )时，有可能有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊈B 的既不充分，也不必要条件；card(A )＝card(B )是A ＝B 的必要不充分条件，所以，答案为B ．1.1.57 若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) x ∈C 是x ∈A 的充分条件但不是必要条件(B) x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件(C) x ∈C 是x ∈A 的充要条件(D) x ∈C 既不是x ∈A 的充分条件，也不是x ∈A 的必要条件解析 若x ∈A ，则一定有x ∈A ∪B ＝C ，于是，x ∈C 是x ∈A 的必要条件；如果x ∈C ＝A ∪B 时必有x ∈A ，则C ⊆A ，即A ∪B ⊆A ，于是，任取y ∈B ⊆A ∪B ⊆A ，则y ∈A ，B ⊆A ，矛盾，所以，x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件，答案为B ．题1.1.561.1.58 已知集合M ＝{2，3，m 2＋4m ＋2}，P ＝{0，7，m 2＋4m －2，2－m }满足M ∩P ＝{3，7}，则实数m 的值是 ．解析 由已知得7∈M ，则m 2＋4m ＋2＝7，解得m ＝1或m ＝－5．若m ＝1，则m 2＋4m －2＝3，2－m ＝1．若m ＝－5，2－m ＝7，与集合中元素的互异性矛盾，所以，m 的值是1．1.1.59 如果全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f }，A ＝{a ，b ，c ，d }，A ∩B ＝{a }，∁U (A ∪B )＝{f }，则B＝ ．解析 由表示集合U ，A ，B 的图形可得只有e ∈(∁U A )∩B ，所以，B ＝{a ，e }．1.1.60 如果全集U 含有12个元素，P ，Q 都是U 的子集，P ∩Q 中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q 含有4个元素，∁U P ∩Q含有3个元素，则P 含有 个元素；Q 含有 个元素．解析 由表示集合U ，P ，Q 的图形可得P ，Q 中各有5个元素．1.1.61 集合A ＝{x |x ＝5k ＋3，k ∈N}， B ＝{x |x ＝7k ＋2，k ∈N}，则A ∩B 中的最小元素是 ．解析 由已知可得集合A ＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B ＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A ∩B 中的最小元素是23．1.1.62 已知集合A ＝{x |－8≤x ≤6}，B ＝{x |x ≤m }，若A∪B ≠B 且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是 ． 解析 将集合A ，B 表示在数轴上可知m 的取值范围是－8≤m <6．1.1.63 已知常数a 是正整数，集合A ＝， B ＝{x ‖x |<2a ，x ∈Z}，则集合A ∪B 中所有元素之和为 ．解析 由|x －a |<a ＋可得－<x <2a ＋，而x ∈Z ，于是，A ＝{0，1，2，3，…，2a －1，2a }，由|x |<2a 得－2a <x <2a ，又x ∈Z ，则B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，(2a －2)，(2a －1)}．于是，A ∪B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，－1，0，1，…，(2a －2)，(2a －1)，2a }，其中所有元素之和为2a ．1.1.64 我们将b －a 称为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”．若集合M ＝，N ＝，且M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )．(A) (B) (C) (D)解析 集合M 和N 的“长度”分别是和，又M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，于是，当m ＝，n ＝0时，集合M ∩N 的“长度”取得最小值，答案为B ．题1.1.59 题1.1.60 题1.1.621.1.65已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，求实数m的取值范围．解析若A＝∅，则Δ＝(m＋2)2－4<0，解得－4<m<0；若A≠∅，则由x2＋(m＋2)x＋1＝0没有正数根得解得m≥0．所以，m的取值范围是m>－4．1.1.66若集合A＝{x|x2－2ax＋a＝0，x∈R}，B＝{x|x2－4x＋a＋5＝0，x ∈R}．(1) 若A＝B＝∅，求a的取值范围；(2) 若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；(3) 若A和B中有且仅有一个是∅，求a的取值范围．解析(1) 若A＝∅，则4a2－4a<0，解得0<a<1．若B＝∅，则16－4(a＋5)<0，解得a>－1，所以，使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．(2) 设A'＝(0，1)，B'＝(－1，＋∞)，则使A和B中至少有一个是∅的实数a ∈A'∪B'，即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．(3) 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩(∁R B')]∪[(∁R A')∩B']，所以，使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A) 若b∈M，则a∉M(B) 若b∉M，则a∈M(C) 若b∈M，则a∈M(D) 若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()．(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A 时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；若ab>0，则或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A) a≠b且b≠c(B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m 的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m 的取值范围是m≥3或1<m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．1.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C 同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 对于实数a ，b ，c ，d ，如果a ＝b 且c ＝d ，则有a －b ＝0，c －d ＝0，则a ＋c －(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )＝0，于是，a ＋c ＝b ＋d ；反之，如果a ＝1，b ＝2，c ＝4，d ＝3，有a ＋c ＝b ＋d ，但此时a ≠b ，c ≠d ，所以，“a ＝b 且c ＝d ”是“a ＋c ＝b ＋d ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.20 已知a ，b ，c 是实数，则“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 如果a ＝b ，则a －b ＝0，于是，ac －bc ＝(a －b )c ＝0，可得ac ＝bc ；反之，如果c ＝0，a ＝1，b ＝2，此时有ac ＝bc ，但a ≠b ，所以，“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.21 设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 如果m ，n 均为偶数，则m ＋n 一定是偶数；反之，如果m ＝1，n ＝3，m ＋n ＝4为偶数，但此时m 和n 都不是偶数，所以，“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分而不必要条件，答案为A ．1.2.22 设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是∁U A ∪B ＝U 的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 解析 由表示集合U ，A ，B 关系的图形可知当A B 时必有∁U A ∪B ＝U 成立，反之，当A ＝B 时，也有∁U A ∪B ＝U 成立，即A 是B 的真子集不是∁U A ∪B ＝U 成立的必要条件，所以，答案为A ．1.2.23 对于集合M 和P ，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析 由表示集合M ，P 的图形可知当x ∈M 或x ∈P 时不一定有x ∈M ∩P ，而当x ∈M ∩P 时必有x ∈M 或x ∈P ，所以，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，答案为B ．题1.2.22题1.2.231.2.24如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为()．(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1(C) x>－1且x≠1(D) x<1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．1.2.28已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k 是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．1.2.30对于集合A，B，下列四个命题中正确的是()．。
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高考小题标准练(二)
时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________
一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x <4} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0<x <4} D ．{x |1≤x <4}
解析：A ∩B ＝{x |x ≤1且0<x <4}＝{x |0<x ≤1}．故选B. 答案：B
2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2
解析：设数列的公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2.又因为等比数列{a n }
的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝2
2
，故选B.
答案：B
3．设i 是虚数单位，则复数(2＋i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：(2＋i)(1－i)＝3－i ，其在复平面内对应的点(3，－1)位于第四象限．故选D. 答案：D
4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^
＝10x －200
解析：若销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则y 关于x 的函数为递减函数，排除选项B ，D ；由价格的实际意义知，起初价格不能为负数，排除选项C ，故选A.
答案：A
5．设函数f (x )＝cos x －sin x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m >0)平移后，图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则实数m 的值可以为( )
A.π4
B.34
π C ．π D.π
2
解析：因为f (x )＝cos x －sin x ＝－ 2 s in ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 2 c os ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4，所以y ＝－f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4′＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，故只需把f (x )的图象向右平移π2
个单位长度即得函数y ＝－f ′(x )的图象，所以m ＝π
2
.故选D.
答案：D
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )
A ．3 3
B ．23 C. 3 D ．1
解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|
5
＝1，则弦AB 的
长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.故选B.
答案：B
7．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6
解析：因为x ＋3y ＝5xy ，即1y ＋3x ＝5，所以1
5
(3x ＋4y )×⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ＋135≥15×2×36＋13
5
＝5.故选C.
答案：C
8．已知△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →
，则△ABC 一定是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形
解析：由题意OA →·(－OC →－OA →)＝(－OC →－OA →)·OC →，所以|OA →|＝|OC →|.又因为OB →＝－(OA →
＋OC →
)，所以OB 是AC 的中垂线，点B 在AC 的中垂线上，故AB ＝BC ，所以△ABC 是等腰三角形．故选D.
答案：D 9.
甲、乙两人玩游戏，规则如流程图所示，则甲胜的概率为( ) A.12 B.13 C.34 D.23
解析：取出两球为同色球时，甲胜，则甲胜的概率P ＝3×24×3＝1
2
.故选A.
答案：A
10．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋3y －3≥0，
3x ＋y －9≤0，
z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，则a 的取值范围是
( )
A ．[－3,1]
B ．[－1,3]
C ．(－∞，－1]
D ．[3，＋∞)
解析：由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .作出可行域知，要使z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，即直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,3)时取最大值，此时直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足－3≤－a ≤1，所以a ∈[－1,3]．故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)
11．设函数f (x )＝2x (e x ＋a e －
x )(x ∈R )是奇函数，则实数a ＝__________.
解析：由题意得g (x )＝e x ＋a e －
x 为偶函数，由g (x )＝g (－x )，得a ＝1. 答案：1
12．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →
，则λμ
的值为__________．
解析：因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →.因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23
AC →
，
所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29
AC →，又因为AP →＝λAB →＋μAC →
，所以λ＝23，μ＝29.故λ
μ＝3. 答案：3
13．甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分情况如下面茎叶图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是__________．
解析：观察茎叶图易知甲的分数是6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,41，共11个，中位数是最中间一个19；乙的分数是5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,40，共11个，中位数是最中间一个13.
答案：19,13
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为__________．
解析：根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥．其底面为梯形，面积为1
2
(4＋2)×4
＝12，四棱锥的高为5，故体积为1
3
×12×5＝20.
答案：20
15．设函数f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪
⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则下列结论：
①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪
⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数 ④f (x )的单调递增区间是⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 其中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．
解析：f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2·sin(2x ＋φ)≤a 2＋b 2.因为f (x )≤⎪⎪⎪
⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，所以x ＝π
6
是函数的对称轴．又周期T ＝π，所以函数f (x )的对称轴为x ＝k π＋
π6，x ＝k π＋2π
3
，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋5π12，0，⎝⎛⎭⎫k π＋11π12，0，因此f ⎝⎛⎭⎫11π2＝0，故①正确；因为7π10－π5＝π2＝T 2
，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；因为f (0)≠0，y 轴不是对称轴，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；函数f (x )在区间⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z )上可能递增也可能递减，故④错误；因为b <a 2＋b 2，所以点(a ，b )在直线y ＝±a 2＋b 2之间，过点(a ，b )的直线与f (x )的图象一定相交，故⑤错误．故填①③.
答案：①③。