2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷 理科数学(一)

2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1iz -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022C ．5D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ）A ．260B ．369C ．400D ．4206．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆˆˆybx a =+，则（ ） A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．322n n n S S S +=B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=-C ．223n n n S S S =D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=-8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号则满足条件的平面α的个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ） A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e eθθ+=D ．2212221sin cos e eθθ+= 12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ） A ．45︒ B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ． 15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ， 恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．（1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若3c =，ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦值为155？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求P 的轨迹E ；（2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明．20．（12分）已知函数242()xx x f x e++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3x t=-⎧⎨（t为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:22cos()4C ρθ=-．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围； （2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况． 2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+， 所以22345z =+=． 3．【答案】D 【解析】标准化212x y =，通径122p =． 4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ． 对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加． 5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…，∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ，∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-．8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log 2020log 2020log 201912222a =<==<=， 2020202020201110log 2019log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>．9．【答案】B【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=，又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=．12．【答案】D【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DBDM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=， ∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576． 14．【答案】5π2【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故|311|10210r d ++===，从而圆的面积为5π2． 15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =． 16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==， 如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径， 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =，所以球的表面积为254π()5π2=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=++，π6θ=时，()f θ取得最大值为23+．【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-，又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠， ∴32π2πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-，∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+ 13π2[sin cos ]32sin()3223θθθ=++=++，又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23+． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF⊥平面PAC ．（2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点， ∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直，分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r，[0,1]λ∈，所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AGAGλλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+u u u ru u u r nn或1110（舍去），故12λ=，故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBG所成的角的正弦值为155，此时G为线段PB的中点．19．【答案】（1）22:143x yE+=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，所以四边形ACPB是平行四边形，所以||||BP AC=u u u r u u u r，由||||4AP AC+=u u u r u u u r，得||||4AP BP+=u u u r u u u r，所以P的轨迹以A，B为焦点的椭圆易知24a=，1c=，所以方程E为22143x y+=．方法二：设(,)P x y，由AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，得(1,)AC AP AB BP x y=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r，再||||4AP AC+=u u u r u u u r，得2222(1)(1)4x y x y+++-+=，移项2222(1)4(1)x y x y++=--+，平方化简得22143x y+=．（从2222(1)(1)4x y x y+++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a=，1c=）．（2）设00(,)P x y，过P的斜率为k的直线为00()y y k x x-=-，由直线与圆O相切可得02||31y kxk-=+，即2220000(3)230x k x y k y--+-=，由已知可得1k，2k是方程（关于k）2220000(3)230x k x y k y--+-=的两个根，所以由韦达定理：00 12221222333x yk kxyk kx⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x yk kk k y+=⋅-，又因为2200143x y+=，所以2200334y x-=-，代入上式可得01212083yk kk k x+=-⋅，即0121118()3k k k+=-为定值．20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e．【解析】（1）2(22)()xx xf xe-+-'=，记2()22g x x x=--+，令()0g x>，得1313x--<<-+，函数()f x在(13,13)---+上单调递增；()0g x<，得13x<--或13x>-+，函数()f x在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42xh x me x x x=+---，由(0)0221h m m>⇒>⇒>，()0h x'=，得2x=-或lnx m=-，∵(2,0]x∈-，所以2(2)0x+>．①当21m e<<时，ln(2,0)m-∈-，且(2,ln)x m∈--时，()0h x'<；(ln,0)x m∈-时，()0h x'>，所以min()(ln)ln(2ln)0h x h m m m=-=⋅->，∴(2,0]x∈-时，()0h x>恒成立；②当2m e=时，2()2(2)(1)xh x x e+'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e-=-+<，(0)220h m =->， 所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立， 综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ； 日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ， 故日销售量n Z 的期望()n E Z 为： 当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n iii i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)ii E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i iiinii i n i i n i n E Z i P n P i P n P E ZP++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑，设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ，由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大．22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）22． 【解析】（1）由31x ty t=-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ22cos()22(cos cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C 上的点为(12cos ,12sin )P αα++， 则点P 到直线l 的距离|12cos 12sin 4||2(sin cos )2|22d αααα+++-+-==π|2sin()2|42α+-=， 当πsin()14α+=-时，max 22d =， 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为22． 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，1111()()224a b a b ab a b a b+=++≥⋅⋅=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤， 当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-． （2）由于0a >，0b >，则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++4529b a a b≥+⋅=， 当且仅当4b aa ba b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。