2011届高三数学下册高考冲刺检测试题21

高考数学最后冲刺必读题解析（21）20．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，432,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且,211=a 公比.1≠q （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知数列}{n b 满足n n n S a b ,log 221=是数列}{n b 的前n 项和，求证：当.1,5<≥n n S a n 时20．解：（1）由已知得).(24332a a a a -=- 从而得01322=+-q q解得121==q q 或（舍去） …………4分 所以.)21(4na =…………6分（2）由于.2)1(),1(2)21(log 221nn n n nn n n S a n n S n b +=+=⋅== 因此所证不等式等价于：.)5()1(2≥+>n n n n①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；②假设)5(≥=k k n 时不等式成立，即),1(2+>k k k两边同乘以2得).2)(1(21++>+k k k这说明当n=k+1时也不等式成立。

由①②知，当)1(25+>≥n n n n时成立。

因此，当1,5<≥n n S a n 时成立。

…………12分21．（本小题满分12分）已知函数)('),(4)(23x f R a ax x x f ∈-+-=是)(x f 的导函数。

（1）当a=2时，对于任意的)(')(],1,1[],1,1[n f m f n m +-∈-∈求的最小值； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使,0)(0>x f 求a 的取值范围。

21．解：（1）由题意知.43)(',42)(223x x x f x x x f +-=-+-=令.340,0)('或得==x x f当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=fx x x f 43)('2+-= 的对称轴为,22=x 且抛物线开口向下)('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f)(')(n f m f +∴的最小值为-11。

…………6分（2）)32(3)('a x x x f --= ①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当[)+∞∴,0)(在x f 上单调递减，又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当②若,0)(',320,0><<>x f ax a 时则当 当.0)(',32<>x f ax 时 从而⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0)(在x f 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32a 上单调递减，.494278)32()(,),0(23max-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时当根据题意，.3,27,0427433>>>-a a a 解得即综上，a 的取值范围是).,3(+∞ …………12分22．（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,22其左、右焦点分别为21,F F ，点P 是坐标平面内一点，且43,27||21=⋅=PF PF OP （O 为坐标原点）。

（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)31,0(-S 且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由。

22．解：（1）设),0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -则由;4727||2020=+=y x OP 得 由4321=⋅PF PF 得,43),(),(0000=--⋅---y x c y x c 即.4322020=-+c y x所以c=1…………2分 又因为.1,2,2222===b a a c 所以…………3分因此所求椭圆的方程为：.1222=+y x …………4分（2）动直线l 的方程为：,31-=kx y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,12,3122y x kx y 得.091643)12(22=--+kx x k 设).,(),,(2211y x B y x A 则.)12(916,)12(34221221+-=+=+k x x k k x x …………6分假设在y 上存在定点M （0，m ），满足题设，则)12(9)1569()1(189132)12(34)31()12(9)1(169132))(31()1()3131()31)(31()())(().,(),,(222222222212122212221221212121212211+-++-=+++++-++-=+++++-+=+-+----+=++-+=--+=⋅-=-=k m m k m m m k k m k k k m m x x m k x x k m kx kx m kx kx x x m y y m y y x x m y m y x x MB MA m y x m y x由假设得对于任意的0=⋅⋅∈R k 恒成立，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,0159,0122m m m 解得m=1。

因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点M 的坐标为（0，1） …………10分 这时，点M 到AB 的距离.))(1(||13422122x x k AB k d -+=⋅+=.)12(4998)12(964)1(216324)(32)(32||21222222221221221++=+++=-+=-==∆k k k k k x x x x x x d AB S MAB设,122t k =+则,212-=t k 得[)(].1,01,,1∈+∞∈tt所以.916])291(481[2198)1(21)1(299822≤--=-=∆t t t S MAB 当且仅当11=t时，上式等号成立。

因此，MAB ∆面积的最大值是.916 …………14分20．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足),2)(1(6,11++=>n n n a a S S 且.*N n ∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列n b n n T a b n记满足,1)12(}{=-为数列}{n b 的前n 项和，求证：).3(log 122+<+n n a T20．（1）当n=1时，有).2)(1(6111++=a a a解得.2),,1(11111=>==a S a a 或舍去矛盾与 …………1分当2≥n 时，有⎩⎨⎧++=++=---)2)(1(6),2)(1(6111n n n n n n a a S a a S 两式相减得.0)3)((),(36111212=--+-+-=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即…………3分 由题设.3,03,0111=-=-->+---n n n n n n a a a a a a 即从而故数列}{n a 是首项为2，公差为3的等差数列.133)1(2-=⋅-+=n n a n ……5分 （2）由.133log ,1)12)(13(,1)12(2-==--=-n nb n a n b b n n n得…………6分 ).133895623(log 221-⨯⨯⨯⨯=+++=n nb b b T n n而)23(log 1)133895623(log 2)3(log 12222+<+-⨯⨯⨯⨯⇔+<+n n na T n n 223)133895623(2+<-⨯⨯⨯⨯⇔n n n123)133895623(22<+-⨯⨯⨯⨯⇔n n n …………8分 令.23)133895623(22+-⨯⨯⨯⨯=n n n c n则.1102199189)23)(53()33(2)1(3)23()2333(22221<++++=+++=+++++=+n n n n n n n n n n n c c nn而}{,,01n n n n c c c c <>+所以是单调递减数列．…………10分所以，.123)133895623(2.1109213)23(2221<+-⨯⨯⨯⨯=<=+⨯=≤n n n c c c n n 所以 从而)3(log 122+<+n n a T 成立．…………12分21．（本题满分12分）已知函数.1ln )(),()(-=∈=x x g R a ax x f （1）若函数x x f xx g x h 2)(21)()(--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数． 21．（1）.21)('),0(22ln )(2--=>--=ax xx h x x x a x x h 若使)(x h 存在单调递减区间，则),0(021)('+∞<--=在ax xx h 上有解．……1分而当x x a x ax ax x x 2121021,02->⇔->⇔<-->时问题转化为),0(212+∞->在x x a 上有解，故a 大于函数),0(212+∞-在x x上的最小值．………………3分又),0(21,1)11(21222+∞---=-在x xx x x 上的最小值为-1，所以a>1．……4分 （2）令).0(1ln )()()(>+-=-=a x ax x g x f x F函数1ln )()(-==x x g ax x f 与的交点个数即为函数)(x F 的零点的个数．……5分).0(1)('>-=x x a x F令,01)('=-=x a x F 解得.1ax =随着x 的变化，)(),('x F x F 的变化情况如下表：…………7分①当)(,,0ln 2)1(2x F e a a a F 时即->>+=恒大于0，函数)(x F 无零点．……8分②当,,0ln 2)1(2时即-==+=e a a aF 由上表，函数)(x F 有且仅有一个零点． (9)分③,0,0ln 2)1(2时即-<<<+=e a a a F 显然a11<)1,0()(.0)1()1(,01)1(ax F a F F a F 在又所以<⋅>+=内单调递减，所以)1,0()(ax F 在内有且仅有一个零点…………10分当.1)(ln)(,1+=>xe x F a x xa 时 由指数函数)1()(>=a x a e e y 与幂函数x y =增长速度的快慢，知存在,10ax >使得.1)(0>x e x a从而.0111ln 1)(ln )(000>=+>+=x e x F x a因而.0)()1(0<⋅x F aF又),1()(+∞ax F 在内单调递增，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1)(a x F 在上的图象是连续不断的曲线， 所以),1()(+∞ax F 在内有且仅有一个零点． …………11分因此，)(,02x F e a 时-<<有且仅有两个零点．综上，)()(,2x g x f e a 与时->的图象无交点；当)()(,2x g x f e a 与时-=的图象有且仅有一个交点；)()(,02x g x f e a 与时-<<的图像有且仅有两个交点．……12分 22．（本题满分14分）抛物线D 以双曲线188:22=-x y C 的焦点)0(),,0(>c c F 为焦点． （1）求抛物线D 的标准方程；（2）过直线1:-=x y l 上的动点P 作抛物线D 的两条切线，切点为A ，B ．求证：直线AB 过定点Q ，并求出Q 的坐标； （3）在（2）的条件下，若直线PQ 交抛物线D 于M ，N 两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN| 22．解：（1）由题意，.21,4181812==+=c c 所以)21,0(F ，抛物线D 的标准方程为.22y x =…………3分（2）设),1,(),,(),,(002211-x x P y x B y x A由121|'.',2x y x y y x x x ====因此得抛物线D 在点A 处的切线方程为.),(11111y x x y x x x y y -=-=-即…………4分而A 点处的切线过点,1),1,(101000y x x x x x P -=--所以 即.01)1(101=-+-y x x 同理，.01)1(202=-+-y x x可见，点A ，B 在直线01)1(0=-+-y x x 上． 令1,01,01===-=-y x y x 解得 所以，直线AB 过定点Q （1，1）…………6分（3）设),,(),,(),1,(443300y x N y x M x x P -直线PQ 的方程为.1112,1)1(11)1(00000-+--=+----=x x x x y x x x y 即由,,,211122000y y x x x x x y 消去⎪⎩⎪⎨⎧=-+--= 得.0121)2(20002=-----x x x x x由韦达定理，.12,1)2(20430043--=--=+x x x x x x x…………9分而||||||||||||||||QN QM PN PM PN QM QN PM =⇔⋅=⋅)(02)()(2)1)(()1)((1104304343304403430403*=++-+-⇔--=--⇔--=--⇔x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x…………12分将12,1)2(20430043--=--=+x x x x x x x 代入方程（*）的左边，得 （*）的左边000000021)2(21)2(214x x x x x x x +--------= 1224242400200200--++-+--=x x x x x x=0．因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．…………14分。