2.2.2 二次函数的图象与性质 (2)
2.2.2二次函数的性质与图像教案学生版
2.2.2 二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质；2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标；3.会用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 变形为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，从而会求二次函数的最值．【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象，感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响；通过探究具体的二次函数的图象和性质，归纳出二次函数的图象和性质；在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条以原点 为顶点， y 轴为对称轴的抛物线．2.一元二次函数的定义：函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)叫做二次函数，其图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下. |a|越小图象开口就越大 ， |a|越大图象开口就越小 . 抛物线的顶点坐标是(－b 2a，4ac －b 24a )，抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a. 3.一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质：当a>0时，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是减函数 ，在[－b 2a，＋∞)上是增函数 ，当x ＝－b 2a 时，y min ＝4ac －b 24a ；当a<0时，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是增函数 ，在[－b 2a，＋∞)上是 减函数 ，当x ＝－b 2a 时，y max ＝4ac －b 24a. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 在初中我们学习过二次函数，但研究的不够深入．譬如：y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象之间有什么关系？y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的单调性如何？何时取得最值？这些问题就是我们本节重点研究的问题． 探究点一 二次函数的概念问题1在初中我们学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？问题2对于二次函数y ＝ax 2(a ≠0) ，观察下面的图象，说出a 的变化是如何影响其图象的张口的大小的？探究点二 二次函数的性质例1 试述二次函数f(x)＝12x 2＋4x ＋6的性质，并作出它的图象．跟踪训练1 求函数y＝－x2＋2x＋3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间．问题1 由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？问题2由函数y＝ax2的顶点和对称轴分别为(0,0)及y轴，你能得出函数y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)图象的顶点坐标及对称轴各是什么吗？问题3 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)之间有什么关系？例2已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋14的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．跟踪训练2 已知函数f(x)＝12x2－3x－34：(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x∈[1,4]，求函数的值域．例3 求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值．跟踪训练3 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数 ( )A．对称轴为x＝1，最大值为3B．对称轴为x＝－1，最大值为5C．对称轴为x＝1, 最大值为5D．对称轴为x＝－1，最小值为32.若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上 ( )A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减D．先减后增3.把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为_________．课堂小结：1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象为一条抛物线：函数 y＝a(x－h)2＋k与函数y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝h；顶点坐标为(h，k)．2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是将函数y＝ax2的图象先向上或向下平移|k|个单位，再向左或向右平移|h|个单位得到的．(移动规律可以简单记作：左加右减，上加下减)3.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：(1)当a>0时，抛物线的开口向上，x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大，x＝h时，函数有最小值是k.(2)当a<0时，抛物线的开口向下，x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小，x＝h时，函数有最大值是k.。
九年级数学下册知识讲义-30二次函数的图像与性质2(附练习及答案)-冀教版
初中数学二次函数的图象与性质2学习目标一、考点突破1. 理解并掌握系数a、b、c与函数图象的关系。
2. 掌握图象与坐标轴交点坐标、对称轴的计算方法。
二、重难点提示重点：系数a、b、c与函数图象的关系。
难点：应用系数与函数图象的关系解决问题。
考点精讲二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点的决定因素（以为例）1.决定了抛物线开口的大小和方向的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。
2. b与a同时决定对称轴位置同号时，对称轴位置在y轴左侧；异号时，对称轴位置在y轴右侧。
总结：“左同右异”【综合拓展】关于对称轴：①；②当图象过（a，b）（c，b）时，则对称轴为。
3.决定了抛物线与轴交点的位置①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。
典例精讲例题1（绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－；④3|a|＋|c|＜2|b|，其中正确的结论（写出你认为正确的所有结论序号）。
思路分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项。
答案：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x ＝－＞1，－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故选项①正确；∵－b ＜2a ，∴b ＞－2a ＞0＞a ，令抛物线解析式为y ＝－x 2＋bx －，此时a ＝c ，要使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和2， 则2221+＝－)21(2-⨯b ，解得：b ＝，∴抛物线y ＝－x 2＋x －，符合“开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x ＝1右侧”的特点，而此时a ＝c ，（其实a ＞c ，a ＜c ，a ＝c 都有可能），故②选项错误；∵－1＜m ＜n ＜1，－2＜m ＋n ＜2，∴抛物线对称轴为：x ＝－＞1，＞2，m ＋n ＜，故选项③正确；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，2a ＋b ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞－2b ，∴－3a －c ＜2b ， ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0（图象与y 轴交于负半轴），∴3|a|＋|c|＝－3a －c ＜2b ＝2|b|，故④选项正确，故答案为①③④。
二次函数的图象与性质(2).ppt公开课
y=-x2
-2
y=-x2-1
-4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6
-8
我思，我进步？
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到， 当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象 向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
向下 (0 ,c)
y轴 当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=C
x=0时,y最大=C
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2 (a≠0)的图象通过上下平移得到.
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
-10 -5
6
4
2
y=x2
O
5
10
y=x2-1
-2
x … y=-x2 … y=-x -1 … y=-x22+1 …
-2 -4 -3 -5
-1 -1 0 -2
0 0
6
1 -1 0 -2
2 -4 -3 -5
…… ……
1 -1
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图像与性质总结含答案
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减;3. ()2y a x h =-的性质：左加右减;4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、例题精讲2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)一、一元二次函数的图象的画法例1求作函数64212++=x x y 的图象 解 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 例2求作函数342+--=x x y 的图象; 解)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表点评画二次函数图象步骤： 1配方； 2列表；3描点成图； 也可利用图象的对称性,先画出函数的左右边部分图象,再利用对称性描出右左部分就可;二、一元二次函数性质例3求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间; 解 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，,对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数,在区间)3[∞+-，上是增函数;例4求函数1352++-=x x y图象的顶点坐标、对称轴、最值;103)5(232=-⨯-=-a b ,2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(,对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值2029=maz y 函数在区间]103,(-∞上是增函数,在区间),3[+∞-上是减函数; 点评要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目二次项系数为负数或分数如例4,可避免出错;任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y 二次函数题型总结 1.关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 ;例 2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 ;2.关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则a 、b 、c,∆,c b a ++,c b a +-的符号 为 ,例4 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在 （A ） 第一或第二象限 B 第三或第四象限 C 第一或第四象限 D 第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为 A 322++-=x x y B 322--=x x yC 322+--=x x yD 322---=x x y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0,它们在同一坐标系中的大致图象是.例7 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D,点A 的坐标为-1,01求 B 、C 、D 三点的坐标；2抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点,求它的解析式；642-6510D O CAB练习题 一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是A.2,－11B.－2,7C.2,11D. 2,－3 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是个 个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标-1,及部分图象如图,由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和Ａ．－１.３ B.-2.3 C.6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为 个 个 个. 3 个8.已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______;10．已知抛物线y=-2x+32+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点－1,2,②当x ＜0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可;12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C,已知直线3y kx =-+过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ;13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= ;14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 π取.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过1,-6,且与y 轴的交点为0,52-. 1求这个二次函数的解析式;2当x 为何值时,这个函数的函数值为03当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大16.某种爆竹点燃后,其上升高度h 米和时间t 秒符合关系式2012h v t gt =-0<t≤2,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米2在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.第15题图17.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. 1求此抛物线的解析式；2点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标;一,选择题、1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题、9．4b =- 10．x ＜-3 11．如224,24y x y x =-+=+等答案不唯一 12．1 13．-8 7 14．15三、解答题15．1设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =--- 21x =-或-5 23x <-16．1由已知得,211520102t t =-⨯⨯,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去;所以当爆竹点燃后1秒离地15米．2由题意得,2520h t t =-+＝25(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的秒至108秒这段时间内,爆竹在上升．17．1直线3y x =-与坐标轴的交点A3,0,B0,－3．则9303b c c +-=⎧⎨-=-⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩32652ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=-⎨⎪⎪=-⎩所以此抛物线解析式为223y x x =--．2抛物线的顶点D1,－4,与x 轴的另一个交点C －1,0.设P 2(,23)a a a --,则211(423):(44)5:422a a ⨯⨯--⨯⨯=.化简得2235a a --=当223a a --＞0时,2235a a --=得4,2a a ==- ∴P4,5或P －2,5当223a a --＜0时,2235a a -++=即2220a a ++=,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或－2,5．。
2_2_2二次函数的性质与图像(二)
y o x -11y o x -11y o x -11y o x-112.2.2二次函数的性质与图像(二)教学目标：研究二次函数的性质与图像教学过程：（习题课）的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是 （ ）xA B C D2、已知函数f(x )及函数g(x )的图象分别如图⑴、⑵所示，则函数y=f(x )·g(x )的图象大致是（ ）A B C D3、若函数)14(-=x f y 是偶函数,则函数)(x f y =的图象A.关于直线1-=x 对称B.关于直线1=x 对称C.关于直线41-=x 对称D.关于直线41=x 对称 4、将奇函数)(x f y =的图象沿x 轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C ，又设图象C 'y o x -11图1y o x -11-11图2与C 关于原点对称，则C '对应的函数为（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y 5、已知函数f （x ）＝｜x 2－2ax ＋b ｜(x ∈R )，给出以下命题：①f （x ）必是偶函数；②当f （0）＝f （2）时f （x ）的图象必关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f （x ）在区间［a ，＋∞］上是增函数；④f （x ）有最大值a 2－b ，其中准确命题序号是 .6、对于函数f （x ），若存有x 0∈R ,使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.假设函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋1（a ＞0）有两个相异的不动点x 1，x 2.(Ⅰ)若x 1＜1＜x 2，且ｆ（x ）的图象关于直线x ＝m 对称,求证：21＜m ＜1； (Ⅱ)若｜x 1｜＜2且｜x 1－x 2｜＝2，求b 的取值范围.7、已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c )的图象上有两点A （m ，f (m 1)）、B (m 2，f (m 2))，满足f (1)=0且a 2+(f (m 1)+f (m 2))·a +f (m 1)·f (m 2)=0.（Ⅰ）求证：b ≥0；（Ⅱ）求证：f (x )的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是［2，3］；（Ⅲ）问能否得出f (m 1+3)、f (m 2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论课堂练习：（略）小结：本节课对前面所学习的内容实行复习课后作业：（略）。
2.2.2二次函数的性质与图象(2)
预习反馈
小 1组★★ 2组★ 3组★ 4组★★ 5组★ 6组★★ 7组★ 8组★★ 李艳丽 匙永明 刘选和 殷森 组 优 王家明 王彩云 赵晓阳 赵芃 史东岳 闫永洁 秀 个 人 得分 4 4 4 5 1 4 2 2
9组★★
匙红芳 韩静
3
姜珊
杜
彬 朱清华 刘仲轩 朱照纬
刘梦佳 田小桐 曹秀敏 赵雪婷 董金明 王 宁 刘柄鑫 张春艳
存在问题
1、不会选择恰当的形式求解二次函数的解析式； 2、二次函数区间最值问题： 分类不明确、步骤不条理、结论不完整；
3、不会利用二次函数的单调性解决含参问题。
合作探究
内容：
1、二次函数的性质。 2、总结：含参二次函数的求值问题。 3、小组内的其他疑问。
6+3分钟
目标要求：
（1）人人参与，热烈讨论，大声发表自己的 见解 （2）手不离笔、随时记录，组长调控好节奏
精彩点评（20分钟）
展示问题 展示位置 小组 点评
目标：
（1）点评对错、规 范(布局、书写)、思 路分析（步骤、易错 点），总结规律方法 （用彩笔） （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成பைடு நூலகம்首先要 质疑拓展。
例1（1）
后黑板
7组
例1（2）
例1（3） 例1变式 例2 例3
后黑板
后黑板 后黑板 前黑板 前黑板
8组
9组 3组 5组 6组 2组 1组
4组
整理巩固
要求: 整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
课堂评价
二次函数的图像及其性质(第二课时).2 二次函数的图象与性质(第2课时)
8 7 6 5 4 3 2 1
-1 -0.5 0 0.5
1 1.5 2
3 1.5 1 1.5
3 5.5 9
-4 -3 -2 -1
o
x
1 2 3 4
y
y=2x2+1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
想一想 你知道函数 y=3x2-1的大 致图象和位 置吗?
y 1.
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
（第2课时）
复习回顾
二次函数y=x2 与y=-x2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与最值
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值
y x2
y x2
y=x2
y轴 （ 0， 0）
y=-x2
y轴 （ 0， 0）
y
解:设涵洞所在抛物线的函数解析式 为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0) B(0.8,0) 将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得 0=0.64a+2.4
15 ∴a=- 4
C
设涵洞所在抛物线的函数解析式为 y=15 2 x +2.4 4
A
O B x
S距离(米)
100
S=
1 2 v 60 S=
1 2 v 150
75
60
50
24
0 20 40 60 80 100
25
v速度(公里/小时
解：1.两个函数相同点： 图象都是抛物线它的开口方向向上,对称 轴是y轴,顶点坐标是（0，0）. 不同点：只是开口大小不同.
2.2.2 二次函数的性质图像
2.2.2 二次函数的性质与图象教材知识检索考点知识清单1．二次函数的定义函数 叫做二次函数，它的定义域为2．函数)0(2=/=a ax y 的图象和性质(1)函数)0(2=/=a ax y 的图象是一条顶点为原点的抛物线，0>a 时，抛物线开口____；a <0时，抛物线开口(2)函数)0(2=/=a ax y 为 （填“奇函数”或“偶函数”）． (3)函数)0(2=/=a ax y 的图象的对称轴为3．二次函数k h x a x f +-=2)()((1)二次函数k h x a x f +-=2)()(的性质：①函数的图象是____，抛物线的顶点坐标是——，抛物线的对称轴是直线____，②当a>0时，抛物线开口向上，函数在 处取最小值=min y ，在区间 上是减函数，在 上是增函数；③当a<0时，抛物线开口向下，函数在 处取最大值=max y ，在区间____ 上是增函数，在____上是减函数．(2)二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 配方后为 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为(3)二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的定义域为 ，当0>a 时，值域为 ；当a<0时，值域为(4)二次函数),0(2=/++=a c bx ax y 当a>0时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当a<0时，单调递增区间为 ，单调递减区间为要点核心解读1．二次函数的解析式有三种形式(1)-般式：c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，且);0=/a (2)顶点式：k h a k h x a y ,,()2+-=（为常数，);0=/a(3)两根式（又称截距式）：a x x x x a y )()(21--=（是非零常数，21,x x 是方程02=++c bx ax 的两根）．要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需已知三个独立条件。
赵振英2.2.2二次函数的图像与性质(2)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1 2 6.已知抛物线 y 2 x ，把它向下平移，得到 的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线 应向下平移几个单位？
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
3、可有函数y=2x² 的性质，得到函数 y=2x² ＋1 的一些性质。
二次函数y=2x2， y=2x2+1， y=2x2-1的图象都是抛物 线，并且形状相同，
y=2x2+1 y=2x2-1
只是位置不同.
?
将二次函数y=2x2 的图象向上平移1 个单位，就得到函 数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1 个单位，就得到函数y=2x2-1的图 象.
1、抛物线 y=ax2+k 的图象可由 y=ax2 的图象上下
当 k＞0时,向上平移，当 k＜0时,向下平移， 平移得到， 平移︱k︱个单位 2、 抛物线 y=ax2+k 的性质： ① 当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下; ② 对称轴:y轴; ③ 顶点坐标 (0,k).
达标检测
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 2 1 到抛物线 y 2 x 2，再向上平移5个单位， 1 2 可以得到抛物线 y 2 x 3 ； 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(+h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，并答复：(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗这两个函数的图象之间有什么关系二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能答复前面提出的问题吗2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗教学要点1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。
2022年北师大版数学九下《二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质2》教案
2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y =ax 2的图象与性质【教学目标】 (一)教学知识点能够利用描点法作出函数2y x =±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2y x =±的性质；比较两者的异同.(二)能力训练要求：经历探索二次函数2y x =±图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.（三）情感态度与价值观：通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解. 【重、难点】重点 ：会画y=ax 2的图象，理解其性质。
难点：描点法画y=ax 2的图象，体会数与形的相互联系。
【导学流程】一、自主预习（用时15分钟）我们在教学了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研究了它们的性质.而上节课我们所学的二次函数的图象是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y=x 2入手去研究3.学生自主教学，完成预习题 1.作函数y=x 2的图象回顾作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.(1)观察y= x 2的表达式，选择适当的x 值，并计算相应的y 值，完成下表：（图象是未知的，所以应根据自变量的取值，x 为任何实数，选取一些有代表性、方便计算的x 值，如：几个负整数、0、几个正整数）(2)在直角坐标系中描点．（按x的值从小到大，从左到右描点）(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．（能用直线连接吗？）二、展示交流（用时15分钟）对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．6.教师精讲点拨：二次函数y=x2的图象是抛物线.（1）抛物线的开口向上；（2）它的图象有最低点，最低点的坐标是（0，0）；（3）它是轴对称图形，对称轴是y轴。
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(2)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（2）》是本册教材的重要内容，是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质（1）的基础上进行进一步学习的。
本节内容主要让学生进一步理解二次函数的图象和性质，能够熟练运用二次函数的图象和性质解决一些实际问题。
教材通过一些生动的实例，引导学生进一步探索二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过二次函数的图象和性质（1），对二次函数的基本概念、图象和性质有了一定的了解。
但是，由于这部分内容比较抽象，学生可能对一些细节的理解还不够深入，需要通过进一步的练习和讲解来加深理解。
同时，学生已经具备了一定的观察能力、分析能力和解决问题的能力，能够通过实例来进一步探索二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生进一步理解二次函数的图象和性质，能够熟练运用二次函数的图象和性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解二次函数的图象和性质。
2.难点：如何引导学生运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的实例让学生进一步理解二次函数的图象和性质。
2.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来深入理解二次函数的图象和性质。
3.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备一些与二次函数相关的实例，用于引导学生进一步理解二次函数的图象和性质。
2.准备一些练习题，用于巩固学生对二次函数的图象和性质的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，引导学生进一步理解二次函数的图象和性质。
例如，可以给学生展示一个抛物线的图象，让学生观察和分析这个抛物线的性质，如开口方向、对称轴、顶点等。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。
②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5. 抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。
②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。
二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。
2.2 二次函数的图象与性质 第2课时湘教版九年级下册
增大而增大
增大而减小 ,当x
,当x=0时,函数y的值
0时,y<0.
1.（盐城·中考）给出下列四个函数：
① y x ；② y x ；③ y x ；④ y x 时，y随x的增大而减小的函数有( )
2
1
x0
A．1个 答案:C
B．2个
C．3个
D．4个
2.（烟台·中考）如图，AB为半圆的 直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出
），它
4
关于x轴的对称点Q的坐 标是（
a, 1 2 a
2
）
－4
－2
Q －2 －4
y 1 2 x
2
2.点Q的坐标是否在
y 1 2 x
2
的图象上？
3.由此可知， y
y 1 2 x
2
1 2
x
2
的图象与
4
2 P
y
1 2
x
2
的图象关于 x轴 对称
y 1 2
y 1 2
4.你怎样得到 的图象？
y
y=x2
当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当 x= 0时，y最小值= 0 （5）图象关于y轴对称.
o
x
二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作
出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与 同伴进行交流. y y=x2
y
o x
o
x
y=-x2
y 说说二次函数y=-x2的图象 有哪些性质？与同伴交流.
－ 4
－ 2
2
－ 2 － 4
4
一般地，二次函数y=ax2的图象叫做抛物线 二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称 轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=ax2的顶点是原点.
高中数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
说明
开口向上,a 越小,开口越
大,a 越大,开口越小
决定抛物
a
a>0
线的开口
方向与开
口大小,影
响单调性
在 -∞,-
b
2a
b
2a
上单调递减,在
, + ∞ 上单调递增
开口向下,|a|越小,开口越
大,|a|越大,开口越小
a<0
在 -∞,-
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b
2a
b
2a
上单调递增,在
, + ∞ 上单调递减
ax2+bx+c=0(a≠0)的关系(guān xì):二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于
方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交
点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.
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M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
x=− ;
2
1 +2
x=
;
2
③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或
f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).
(2)利用对称性,结合开口方向,可以(kěyǐ)比较二次函数函数值的大小.
利用配方法化为 y= x +
的位置
b
2
2a
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+
《二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【教学目标】(一)教学知识点能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质；比较两者的异同.(二)能力训练要求：经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.〔三〕情感态度与价值观：通过学生自己的探索活动，到达对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.【重、难点】重点：会画y=ax2的图象，理解其性质。
难点：描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
【导学流程】一、自主预习〔用时15分钟〕我们在教学了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研究了它们的性质.而上节课我们所学的二次函数的图象是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y=x2入手去研究3.学生自主教学，完成预习题1.作函数y=x2的图象回忆作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：〔图象是未知的，所以应根据自变量的取值，x为任何实数，选取一些有代表性、方便计算的x值，如：几个负整数、0、几个正整数〕(2)在直角坐标系中描点．〔按x的值从小到大，从左到右描点〕(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．〔能用直线连接吗？〕二、展示交流〔用时15分钟〕对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．6.教师精讲点拨：二次函数y=x2的图象是抛物线.〔1〕抛物线的开口向上；〔2〕它的图象有最低点，最低点的坐标是〔0，0〕；〔3〕它是轴对称图形，对称轴是y轴。
2.2二次函数的图像与性质2
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有 什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
y=2x2+1 y=2x2
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
二次项系数均为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
在同一坐标系中作二次 函数y=-2x2+1和y=-2x2 的图象,会是什么样?
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象 有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
y轴
图像位置
当c>0时,在x轴的上方 当c<0时,与x轴相交.
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
开口方向
向上
向下
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.