周期卷积_循环卷积与线性卷积
数字信号处理循环卷积
数字信号处理循环卷积数字信号处理循环卷积是数字信号处理（DSP）技术中的一种重要技术，是用来处理周期性信号的一种方法。
循环卷积是一种数学运算，是将两个周期性信号进行卷积的一种方式。
在实际应用中，我们可以采用循环卷积的方法将信号进行变换，以便我们能够更好地分析和处理信号。
循环卷积的基本概念循环卷积是指将两个周期函数进行卷积，其中一个函数可能是周期性的。
一般情况下，卷积操作在时间域中进行。
循环卷积通常用于处理周期性信号，例如音频信号或生物信号。
在循环卷积中，我们需要将两个周期性信号进行对齐，以使它们的起始点相同。
然后，我们可以使用标准卷积方法将它们相乘，并对所有乘积进行加和。
然而，由于处理的是周期信号，所以我们需要连接信号的最后一部分和第一部分以处理边缘效应。
这通常称为循环卷积。
循环卷积的应用循环卷积最常用的应用就是数字信号处理。
在音频处理中，循环卷积通常用于处理音频信号，例如调谐或加深低音。
另一个常见的应用是图像处理。
通过使用循环卷积，我们可以将过滤器应用于图像，以提高分辨率或降低图像的噪声。
此外，循环卷积还可以用于处理数字滤波器中的误差。
在电信领域，循环卷积也可以用于信号解调。
这种方法可以帮助我们在繁忙的信道和高噪声信道中接收信号。
通过使用循环卷积，我们可以对接收到的信号进行修正，减少传输中的位错误率。
循环卷积的算法循环卷积的算法相对简单。
首先，我们需要为需要处理的两个周期信号选择相同的采样点并对齐。
然后，我们可以使用直接卷积算法或快速卷积算法（FFT 算法）来计算循环卷积。
在计算过程中，我们需要将“边界”部分进行处理以避免数据的错误处理。
直接卷积算法是一种基本算法，可以应用于循环卷积。
此算法的计算复杂度为 N2，其中 N 是信号的长度。
当需要处理的信号较短时，可以使用直接卷积算法。
另一方面，当处理的数据较大时，可以使用 FFT 算法来计算循环卷积。
这种算法的计算复杂度为 N log N，是一种高效的计算方式。
数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为x （n ）＝0，n<0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j== （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
数字信号处理简答题完整版
数字信号处理简答题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1.一般模拟信号的D F T过程连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的频谱是数字角频率ω的连续函数。
而将采样序列截断为有限长序列后做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。
由于DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合做数值运算，成为分析信号与系统的有力工具。
但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工作，第一是采样；第二是截断。
因此，最后所得到的离散频谱函数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。
下面我们就来分析这些误差究竟产生在哪些地方。
首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。
所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，先用采样预滤波的方法滤除高频分量。
那么必然会导致滤波后的信号持续时间无限长。
设前置滤波器的输出信号为xa (t)，其频谱函数Xa(jΩ)，它们都是连续函数，其中xa (t)为无限长，而Xa(jΩ)为有限长。
首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限长的序列x(nT)。
由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e jω)与xa (t)的频谱Xa(jΩ)之间的关?系。
理论上已推得，X(e jω)就是Xa(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。
也就是X(e jω)= X(e jΩT)=1/T*∑Xa[j(Ω-k*2π/T)]这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是可以保证无混叠的，也就是能由序列的频谱X(e jω)完全恢复模拟信?号的频谱Xa(jΩ)。
数字信号处理简答题
1、举例说明什么就是因果序列与逆因果序列,并分别说明它们z 变换的收敛域。
答:因果序列定义为x (n)＝0,n<0,例如x (n)＝)(n u a n ⋅,其z 变换收敛域:∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x (n)＝()1--n u a n ,其z 变换收敛域:+<≤x R z 02、用差分方程说明什么就是IIR 与FIR 数字滤波器,它们各有什么特性？ 答: 1)冲激响应h(n)无限长的系统称为IIR 数字滤波器,例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性:①冲激响应h(n)无限长;②具有反馈支路,存在稳定性问题;③系统函数就是一个有理分式,具有极点与零点;④一般为非线性相位。
(2)冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性:①冲激响应有限长;②无反馈支路,不存在稳定性问题;③系统函数为一个多项式,只存在零点;④具有线性相位。
3、用数学式子说明有限长序列x (n)的z 变换X(z)与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系,其DFT 系数X(k)与X(z)的关系。
答: (1)x (n)的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j == (2)x (n)的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4、设x (n)为有限长实序列,其DFT 系数X(k)的模)(k X 与幅角arg[X(k)]各有什么特点？答:有限长实序列x (n)的DFT 之模()k x 与幅角[])(arg k X 具有如下的性质: (1))(k X 在0-2π之间具有偶对称性质,即)()(k N X k X -=(2)[])(arg k x 具有奇对称性质,即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5、欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位,其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答: 要使用FIR 具有线性相位,其h(n)应具有偶对称或奇对称性质,即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
因果卷积实现方式
因果卷积实现方式
因果卷积是一种非常重要的信号处理技术，它在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到广泛应用。
因果卷积实现方式是指如何将一个信号与另一个信号进行卷积运算，以达到相应的信号处理目的。
在因果卷积实现方式中，常用的方法有线性卷积和循环卷积。
线性卷积是指对两个信号进行完整的卷积计算，得到具有相同长度的输出信号。
循环卷积是指对两个信号进行周期性的卷积计算，得到长度为两个信号长度之和减去1的输出信号。
线性卷积可以通过FFT算法实现，这种方法的优点是计算速度快，但缺点是需要占用大量的内存空间。
循环卷积可以通过循环移位和加法运算实现，这种方法的优点是计算速度较快，且不需要占用大量的内存空间。
除了线性卷积和循环卷积之外，还有一种特殊的卷积运算，即因果卷积。
因果卷积是指只对输入信号的一部分与滤波器进行卷积计算，输出信号的长度小于等于输入信号的长度。
因果卷积可以通过逆滤波器法实现，这种方法的优点是计算速度快，且不需要占用大量的内存空间。
总之，因果卷积实现方式是数字信号处理中的重要内容，不同的卷积方法有各自的优缺点，需要根据具体的应用场景选择合适的方法。
- 1 -。
循环卷积定理证明
循环卷积定理证明1. 定理介绍循环卷积定理是一种在信号处理和整数序列分析中重要的定理。
该定理表明，两个周期序列的循环卷积可以通过一个非周期的滑动窗口实现。
具体来说，对于任意两个实数序列 a 和b，它们的循环卷积定义为：2π[(a圆周卷积)圆周卷积(b圆周卷积)]。
循环卷积是一种特殊的线性卷积，它可以在时域或频域中计算。
在频域中，循环卷积可以通过快速傅里叶变换（FFT）实现，而在时域中，循环卷积则需要通过滑动窗口来实现。
2. 定理证明为了证明循环卷积定理，我们需要引入一个重要的引理：对于任意两个实数序列a 和b，它们的线性卷积可以表示为：a(n) * b(n) = ∑(a(k) * b(n-k)) k 从0 到n。
为了证明循环卷积定理，我们可以利用线性卷积和循环卷积的定义。
设a 和b 是两个实数序列，则它们的循环卷积可以表示为：2π[(a圆周卷积)圆周卷积(b圆周卷积)]。
根据线性卷积的定义，我们可以将a 和b 的线性卷积表示为：∑(a(k) * b(n-k)) k 从0 到n。
利用引理，我们可以将循环卷积表示为：∑(a(k) * b(n-k)) k 从0 到n，同时令k+m 为常数m，于是得到：∑(a(k) * b(n-k)) k 从0 到n = ∑(a(m+k) * b(n-m-k)) k 从0 到n。
这个等式意味着循环卷积可以被非周期的滑动窗口表示。
因此，我们证明了循环卷积定理。
3. 定理应用循环卷积定理在信号处理和整数序列分析中有很多应用。
例如，在数字信号处理中，循环卷积被广泛应用于分析信号的频谱和时域特性。
此外，在整数序列分析中，循环卷积定理可以帮助我们分析序列的周期性和相关性。
4. 结论总结本文介绍了循环卷积定理的概念和证明过程。
通过引入一个重要的引理，我们证明了循环卷积定理可以被一个非周期的滑动窗口表示。
这个定理在信号处理和整数序列分析中有很多应用，可以帮助我们更好地理解信号和序列的性质。
循环卷积与线性卷积的实现
循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。
（2）理解掌握二者的关系。
二、实验原理两个序列的N 点循环卷积定义为[h(n)○*x(n)]N =∑-=10k N h(m)x((n-m))N N)n 0(<≤从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。
正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起y(n)=[h(n)○*x(n)]N =(∑∞-∞=r 'y (n-rN))G N (n)其中'y (n)=h(n)*x(n)。
也就是说，两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。
设序列h(n)的长度为N 1，序列x(n)的长度为N 2，此时，线性卷积结果的序列的点数为'N =N 1+N 2-1；因此如果循环卷积的点数N 小于N 1+N 2-1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。
而如果N 满足'N N =的条件，就会有)n ('y )n (y = （N <≤n 0）这就意味着在时域不会产生混叠。
因此我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得x(n)和h(n)成为N 1+N 2-1点序列，并作出这两个序列的N 1+N 2-1循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N <≤n 0范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理DFT{[h(n)○*x(n)]N }=DFT[x(n)]∙DET[h(n)] 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
周期卷积_循环卷积与线性卷积
11111-1-1-1-1-1 1-1-1-1-1-11111
11-1-1-1-1-1111 111-1-1-1-1-111 1111-1-1-1-1-11 11111-1-1-1-1-1
5 4 3 2 10 0 1 2 3 0 00 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2
y(n)
Y(0)=5 Y(1)=14 Y(2)=26 Y(3)=20 Y(4)=14 Y(5)=8
Y(0)=13
Y(1)=17 Y(2)=26 Y(3)=20 Y(4)=14 Y(5)=13
N=5
循环卷积与线性卷积对比
得到循环卷积的示意图
y(n) 26 20
4
17
13 14
0
n
可见,线性卷积与循环卷积不同 (当N<[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
循环卷积与线性卷积对比
4
总结
可见，N点循环卷积f (n)是线性卷积f1 (n)以N为周期 的周期延拓序列的主值 序列。 y1 ( n)的长度为N1 N 2 1 所以只有当N N1 N 2 1时，y1 ( n)以N为周期进行 周期延拓才无混叠现象 。 即当循环卷积的长度 N1 N 2 1时，N点循环卷积 N 能代表线性卷积 N N1 N 2 1 x1 (n) x2 ( n) x1 (n) x2 ( n) 0 n N1 N 2 2
周期卷积-循环卷积与线性卷积
3
h(n)
0
N2=3
循环卷积
4
k
2
3
h((k))N
0
k
2
3
2
3
N=7
循环卷积与线性卷积对比
得到循环卷积的示意图
14
26
5
y(n)
20
14
8
3
0
可见,线性卷积与循环卷积相同 (当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
4
循环卷积与线性卷积对比
N=5 4
循环卷积与线性卷积对比
得到循环卷积的示意图
4
计算区
3
1
4
周 期 卷 积
4.4.3 循环卷积
对于有限长序列x(n)和y(n)( )
若
x(n)和y(n)的N点循环卷积，记作 ，这个卷积可以看作是周期序列 和 做周期卷积后再取主值序列。
4
4.4.3 循环卷积
时域循环卷积过程：
1）补零 2）其中一个序列周期延拓 3）翻褶，截取计算区域 4）循环移位 5）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加 6）取主值序列
4.2.1 周期卷积
例
m
计算区
m
0 1 2 3
求两个序列的周期卷积 N=6
4
4.2.1 周期卷积
m
m
0 1 2 3
4
计算区
4.2.1 周期卷积
m
m
0 1 2 3
4
4.2.1 周期卷积
4
4.2.1 周期卷积
n
1
3
4
17
26
13
y(n)
20
14
0
可见,线性卷积与循环卷积不同 (当N<[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
各种卷积方式解析
卷积（Convolution）是信号处理和图像处理中常用的一种操作，用于处理信号、图像和数据。
下面是一些常见的卷积方式的解析：
1.线性卷积（Linear Convolution）：线性卷积是最基本的一种卷积方式。
它通过将两个函数（或信号）的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
线性卷积在时域上执行，通常使用离散时间卷积（Discrete Time Convolution）或连续时间卷积（Continuous Time Convolution）来计算。
2.离散卷积（Discrete Convolution）：离散卷积是一种用于离散信号处理的卷积方式。
与线性卷积类似，离散卷积是将两个离散信号序列的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
常见的应用包括数字滤波、信号降噪、图像处理和语音识别等。
3.快速卷积（Fast Convolution）：快速卷积是通过使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速卷积计算的一种方法。
通过将卷积操作转换为频域上的乘法操作，使用FFT可以显著减少计算复杂度，尤其适用于长序列的卷积计算。
4.卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）：卷积神经网络是一类特殊的神经网络结构，广泛应用于图像和语音识别、计算机视觉和自然语言处理等领域。
CNN利用局部连接和权重共享的卷积操作来提取输入数据中的特征，通过卷积层、池化层和全连接层等组件搭建深层网络模型。
以上是一些常见的卷积方式的解析。
每种卷积方式都有其特定的应用场景和计算方法，具体使用哪种方式取决于所处理的数据类型和具体任务的要求。
循环卷积与线性卷积的实现.docx
实验五 循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；（2） 理解掌握二者的关系。
二、实验原理两个序列的N 点的循环卷积定义为10[()()]()(())N N Nk h n x n h m x n m -=⊗=-∑ (0)n N ≤<从定义中可以看到,循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积结果仍为N 点序列,而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位,而线性卷积对序列采取线性移位。
正是这些不同,导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。
设序列()h n 的长度为1N ,序列()x n 的长度为2N ,此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠,从而两种卷积会有不同的结果。
而如果满足'N N =的条件,就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理{[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=•因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT,并相乘,然后取IDFT 以得到循环卷积。
三、实验分析例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示,（1） 画出两者之间的线性卷积（2） 8点圆卷积。
（3） 5点圆卷积。
解析如下：（1）()x n 与()h n 的线性卷积,由公式可知：()*()()()m h n x n x m h n m ∞=-∞=-∑()x m 与()h m -的图形如下：利用方格平移法：11 1 1 13 2 1 0 0当0n =时,()*()0h n x n =当1n =时,()*()0h n x n =当2n =时,()*()0*11*11h n x n =+=当3n =时,()*()2*11*10*13h n x n =++=当4n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当5n =时,()*()3*12*11*10*16h n x n =+++=当6n =时,()*()3*12*11*16h n x n =++=当7n =时,()*()3*12*15h n x n =+=当8n =时,()*()3*13h n x n ==得到图形如下：（2）()x n 与()h n 的8点圆卷积,由公式可知：78880()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑8(())x m 与8(())h m -的图形如下：根据下面图表可计算得到圆卷积：当0n =时：1 1 1 1 1 00 0 0 0 0 0 3 21 0 0 0 0 0 3 00 0 取和得到圆卷积为3。
(完整版)数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为（n ）＝0，n<0，例如（n ）＝，其z 变换收x x )(n u a n ⋅敛域：。
逆因果序列的定义为(n)=0,n>0。
例如（n ）＝∞≤<-z R x x x ，其z 变换收敛域：()1--n u a n +<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答：1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如。
()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIRDF 。
例如。
()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列（n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X x 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
)(ωj e 答： （1）（n ）的z 变与傅里叶变换的关系为x ()()ωωj e Z e X z X j == （2）（n ）的DFT 与其z 变换的关系为x ()()K X z X k Nj K New Z ===- 2 π4.设（n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模和幅角arg[X （k ）]各x )(k X 有什么特点？答：有限长实序列（n ）的DFT 之模和幅角具有如下的性质：x ()k x [])(arg k X （1）在0-2之间具有偶对称性质，即)(k X π)()(k N X k X -=（2）具有奇对称性质，即[])(arg k x []()[]k N X k X --=arg )(arg 5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应应具有什么特)(n h 性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
最新线性卷积与循环卷积的关系及相关算法应用(下附讲稿)课件PPT
线性卷积的计算
一、定义计算 二、利用DFT循环卷积
为了获得使线性卷 积与循环卷积相等
的条件
x(n) y(n) N
引入了两周期 序列的周期卷
积
综上所述……
终极结论
两序列的循环卷积序列是它 们线性卷积序列以循环卷积的 长度为周期进行周期延拓后的 主值序列。
归纳、推论
7
重叠保留法 6
xk=[1 2 3];
h=[1 2];
N=3;M=2;
5
for L=1:10
x((L-1)*N+1:L*N)=xk; 4
end
Hk=fft(h,M+N-1);
3
y=zeros(1,M+N*10-1);
overlap=zeros(1,M-1); y(1:M+N-1)=ifft(fft([overlap2 x(1:N)],M+N-1).*Hk);
18
n
100
50
0
-50
-100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
n
通过循环卷积求卷积
方剂学课件
福建中医学院方剂学教研室
第十一章 补益剂
❖ 一、定义：凡用补益药为主组成，具有补养人体气血阴阳等 作用，主治各种虚证的方剂，统称补益药。
❖ 二、立论根据：损者益之”
❖ 三、适应范围：先天不足。
❖ 后天失调
八珍汤
❖ A组成内容 ❖ 人参： 益气养血 ❖ 熟地黄： ❖ 白朮： 健脾渗湿 ❖ 白茯苓： ❖ 当归： 养血和营 ❖ 白芍药： ❖ 川芎：活血行气 ❖ 甘草：益气和中，调和诸药
仿真实验四 循环卷积和线性卷积的实现
实验四 循环卷积和线性卷积的实现一、实验目的1.进一步了解并掌握循环卷积与线性卷积的概念2.掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，理解掌握二者的关系 二、实例分析与计算 实验原理：两个序列的N 点循环卷积定义为)())(()()]()([N n m n x m h n x n h N k NN <≤-=⊗∑-=01从定义中可以看出，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果认为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。
圆卷积与线卷积结果完全不同，出现这种差异的实质是：线卷积过程中，经反褶再向右平移的序列，在左端将依次留出空位，而圆卷积过程中，经反褶做圆移的序列，向右移去的样值又从左端循环出现，这样就使两种情况下相乘、叠加所得之数值截然不同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理)]([)]([})]()({[n h DFT n x DFT n x n h DFT N ∙=⊗可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。
已知有线长序列)(n x 如图题5-8所示，试画出（1）)(n x与)(n x的线卷积；（2）)(n x与)(n x的4点圆卷积；（3）)(n x与)(n x的10点圆卷积；（4）欲使)(n x与)(n x的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值解:(1)线卷积m 0 1 2 3X(m) 0.5 1 1 0.5H(m) 0.5 0 0 0 y(0)=0.5x0.5=0.251 0.5 0 0 y(1)=1x0.5+1x0.5=11 1 0.5 0 y(2)=1x0.5+1x1+1x0.5=20.5 1 1 0.5 y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.50 0.5 1 1 y(4)=0.5x1+1x1+0.5x1=20 0 0.5 1 y(5)=0.5x1+0.5x1=10 0 0 0.5 y(6)=0.5x0.5=0.250 0 0 0 y(7)=0(2)44))((,))((n h n xm 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5)(m h - 0.5 0.51 1y(0)=0.5x0.5+1x0.5+1x1+0.5x1=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 10.5)(m h - 1 0.5 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5+1x0.5+0.5x1=2m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 1 1 0.50.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5+0.5x0.5=49m 0 1 2 3)(m x 0.5 1 1 0.5 )(m h - 0.5 1 10.5y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5(3)1010))((,))((n x n xm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 0 00 0 0 0 0.5 1 1y(0)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 1 0.5 00 0 0 0 0 0.5 1y(1)=0.5x1+1x0.5=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 1 1 0.50 0 0 0 0 0 0.5y(2)=0.5x1+1x1+1x0.5=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0.5 1 10.5 0 0 0 0 0 0y(3)=0.5x0.5+1x1+1x1+0.5x0.5=2.5m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0.5 11 0.5 0 0 0 0 0y(4)=1x0.5+1x1+0.5x1=2m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 0.51 1 0.5 0 0 0 0y(5)=1x0.5+0.5x1=1m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00.5 1 1 0.5 0 0 0y(6)=0.5x0.5=0.25m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x )(m h - 0 0 00 0.5 1 1 0.5 0 0y(7)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0.5 1 1 0.5 0y(8)=0m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)(m x 0.5 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 )(m h - 0 0 00 0 0 0.5 1 1 0.5y(9)=0 （4）L ≥M+N-1=4+4-1=7 所以L 的最小长度为7三、应用MATLAB 仿真所用程序实现如下：首先得有计算循环卷积的函数function y = circonv1(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N must not be less than length of x1') endif length(x2)>Nerror('N must not be less than length of x2') endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N); endy=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)% 输出序列含循环移位（y=Output sequence contains circular shift 。
循环卷积定理
循环卷积定理
循环卷积定理是信号处理中的一个重要定理，它描述了两个周期信号的循环卷积和它们的周期卷积之间的关系。
具体来说，如果两个周期信号的周期长度相同，它们的循环卷积就等于它们的周期卷积。
这个定理在数字信号处理、滤波器设计、图像处理等领域都有广泛应用，为信号处理工程师提供了一个重要的工具。
在实际应用中，循环卷积定理可以用来计算卷积和、滤波器设计和图像处理等方面。
在处理周期信号时，循环卷积定理能够大大简化计算过程，提高处理效率。
- 1 -。
循环卷积与线性卷积的matlab实现
循环卷积与线性卷积的实现一、 实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。
（2）理解掌握二者的关系。
三、实验原理两个序列的N 点循环卷积定义为 ()()[]()()()()N n m n x m h n x n h N k N N <≤-=⊗∑-=01从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。
正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。
循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N⎪⎭⎫⎝⎛-'=⊗=∑∞-∞= 其中()()()n x n h n y *='也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期的周期延阔。
设序列()n h 的长度为1N ,序列()n x 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。
而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()()N n n y n y <≤'=0这就会意味着在时域不会产生混叠。
因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 店序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。
根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N •=⊗便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。
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2 2
1
1
0
N-1
4
n
x1(n)
4.4.3 循环卷积
4
4 4
2
x1(n)
2
0
0
1
2
3n
0
4
0
1
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3
4
5
6n
4
2
2
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x2(n)
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3n
0
循环卷积
0
1
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4
5
6n
15
循环卷积
10
15
5
10
0
n
5
0
1
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3
0
n
0
1
2
3
4
5
6
x2(n)
图4.17 循环卷积 (a) N=4 (b) N=7
线性卷积与循环卷积步骤比较
X2((8-m))10 X2((9-m))10 X2((10-m))10
1111100000 1111100000 1111100000
11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 1-1-1-1-1-11111 1-1-1-1-1-11111 11-1-1-1-1-1111 11-1-1-1-1-1111 111-1-1-1-1-111 111-1-1-1-1-111 1111-1-1-1-1-11 1111-1-1-1-1-11 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 -111111-1-1-1-1 -111111-1-1-1-1
h((4-m))NRN h((5-m))NRN h((6-m))NRN
0 0 3 2 1 0 00 0 3 2 1 0 0 0 0 0 3 2 1 00 0 0 3 2 1 0 0 0 0 0 3 2 10 0 0 0 3 2 1
0032100 0003210 0000321
y(n)
Y(0)=5 Y(1)=14 Y(2)=26 Y(3)=20 Y(4)=14 Y(5)=8 Y(6)=3
4.2.1 周期卷积
4
周期卷积与线性卷积的区别：
(1) 线性卷积在无穷区间求和;周期卷积 在一个主值周期内求和
(2) 两个不同长度的序列可以进行线性 卷积;只有同周期的两个序列才能进行周 期卷积，且周期不变
4.2.1 周期卷积预备知识
4
x(n)
n
0~x (n)
N-1
...
...
n
0
N-1
主值序列与序列的周期延拓
-1-111111-1-1-1 -1-1-111111-1-1 -1-1-1-111111-1
11111-1-1-1-1-1 1-1-1-1-1-11111 11-1-1-1-1-1111 111-1-1-1-1-111 1111-1-1-1-1-11 11111-1-1-1-1-1
Y(0)=-3 Y(1)=-1 Y(2)=1 Y(3)=3 Y(4)=5 Y(5)=3 Y(6)=1 Y(7)=-1 Y(8)=-3
若 F(k) X (k)Y (k)
N 1
f (n) IDFT[F (k)] x(m) y((n m))N RN (n)
m0
x(n)和y(n)的N点循环卷积，记作x(n) y(n) ，这个 卷积可以看作是周期序列x%(n) 和y%(n) 做周期卷积后 再取主值序列。
4.4.3 循环卷积
4
h((5-m))NRN
54321 12300
1 2 3 0 01 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 0 0 3 21 0 0 3 2 1 0 0 3 2 2 1 0 0 32 1 0 0 3 2 1 0 0 3 3 2 1 0 03 2 1 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 1 00 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 10 0 3 2 1 0 0 3 2 1 1 0 0 3 21 0 0 3 2 10 0 32
-1-1-1-1-111111
0-1-1-1-1-11111
Y(0)=1 Y(1)=2 Y(2)=3 Y(3)=5 Y(4)=5 Y(5)=3 Y(6)=1 Y(7)=-1 Y(8)=-3 Y(9)=-5
Y(10)=-4
Y(n) Y(n)
循环卷积 线性卷积
Y(0)=-3 Y(0)=1
Y(1)=-1 Y(1)=2
x(n)
54 3
N1=5 线性卷积
h(n) N2=3 3
2 翻转、移位、相乘求和1 2 1
0
n
0
n
X(m)
54321
y(n)
h(m)
123
h(-m)
3 21
Y(0)=5
h(1-m)
32 1
Y(1)=14
h(2-m) h(3-m) h(4-m) h(5-m) h(6-m) h(7-m)
321 321 321
11111-1-1-1-1-1 1-1-1-1-1-11111 11-1-1-1-1-1111 111-1-1-1-1-111 1111-1-1-1-1-11 11111-1-1-1-1-1
Y(0)=-3 Y(1)=-1 Y(2)=1 Y(3)=3 Y(4)=5 Y(5)=3 Y(6)=1 Y(7)= -1 Y(8)= -3
N=7 23 1
h((k))N
23 1
0
3 2 1
k
k
循环卷积与线性卷积对比
4
得到循环卷积的示意图
y(n) 26
14 5
20 14 8
3
0
n
可见,线性卷积与循环卷积相同 (当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
循环卷积与线性卷积对比
4
X(m) h(m)
h((m))NRN h((-m))NRN h((1-m))NRN h((2-m))NRN h((3-m))NRN h((4-m))NRN
y(n)
Y(0)=13 Y(1)=17 Y(2)=26 Y(3)=20 Y(4)=14 Y(5)=13
N=5
循环卷积与线性卷积对比
4
得到循环卷积的示意图
26
y(n)
20
17
13
14
0
n
可见,线性卷积与循环卷积不同
(当N<[N1(5)+N2(3)-1]=7时)
循环卷积与线性卷积对比
4
总结
可见，N点循环卷积f (n)是线性卷积f1(n)以N为周期 的周期延拓序列的主值序列。
1,0 n 4
1,0 n 4
x1
(n)
0,5
n
, 9
x2
(n)
1,5
n
9
(1)求它们的周期卷积（N 10)
（2）求它们的循环卷积(N 10)
（3）它们的线性卷积
三种卷积对比
X1(n)
X2(n)
n X2((m))10
X1((m))10
4
n n n
周期卷积
X1((m))10
X2((m))10 X2((-m))10 X2((1-m))10 X2((2-m))10 X2((3-m))10 X2((4-m))10 X2((5-m))10 X2((6-m))10 X2((7-m))10
6
y(2) [ x1(m)x2((2 m))7]R7(m) 111111 01 00 00 00 3 m0
6
y(3) [ x1(m)x2((3 m))7]R7(m) 10 1111 01 01 00 0 2 2 m0
y(4) 1
y(5) 0
y(6) 1
4.4.3 循环卷积
y(n) x1(n) * x2 (n)
-1-1-1-1-111111
Y(9)=-5
1-1-1-1-1-11111
周期性 Y(10)=-3
N=10周期卷积(n) X2((m))10
X2((-m))10
循环卷积
n n
n
循环卷积
X1(m) X2(m) X2((m))10 X2((-m))10 X2((1-m))10 X2((2-m))10 X2((3-m))10 X2((4-m))10 X2((5-m))10 X2((6-m))10 X2((7-m))10
时域循环卷积过程：
1）补零 2）其中一个序列周期延拓 3）翻褶，截取计算区域 4）循环移位 5）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加 6）取主值序列
4.4.3 循环卷积
N=7
x1 (n)
0
N-1
x2 (n)
0
N-1
4
n n
4.4.3 循环卷积
4
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
y(1)
0
x2 1 mN RN (m)
y (2)
0
x2 2 mN RN (m)
y (3)
0
x2 3 mN RN (m)
0
4.4.3 循环卷积
4
6
y(0) [ x1(m)x2((0 m))7]R7(m) 111110 00 00 01 01 2
m0
6
y(1) [ x1(m)x2((1 m))7]R7(m) 111111 00 00 00 01 3 m0
4.2.1 周期卷积
4
例 ~x1 (m)
0123
m
求两个序列的周期卷积
~x2 (m)
N=6
m 计算区
4.2.1 周期卷积
~y(0) 5 ~x1(m)~x2 (0 m) m0
1 0 1 0 1 0 11 0 2 01
1
~x1 (m)
0123