高中数学(北师大版)必修五教案：3.2 知识梳理：不等式的性质和一元二次不等式的解法

不等式的性质和一元二次不等式的解法 【知识精讲】
（1）理解不等式的性质及其证明
（2）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 （3）掌握简单不等式的解法 【基础梳理】 1. 不等式的基本概念
不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- 2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）[来源:学,科,网Z,X,X,K] （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>⇒
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
常用不等式的放缩法：①
2
(2)
1(1)(1)1
n
n n n n n n n n n
-==-≥
++--
1)
2
n
n n n
==≥
+-
（2）柯西不等式：
时取等号
当且仅当
（
则
若
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
R
b
b
b
b
R
a
a
a
a
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
∈
∈
3
3
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
)
)(
(
)
;
,
,
,
,
,
,
,
,
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212
,(),
x x x x
≠有12121212
()()()()
()().
2222
x x f x f x x x f x f x
f f
++++
≤≥
或
则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩
定义域 ○
2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]
([)(0)(0
)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a
b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
（5）对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化。