基本不等式的综合应用
基本不等式应用-解题技巧归纳
基本不等式应用解题技巧归纳
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
技巧一：凑项
例1：已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离
例3. 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2
y =
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231,(0)x x y x x
++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =
的最大值.；3．203x <<，求函数y =.
条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
变式：若44log log 2x y +=，求11x y
+的最小值.并求x ,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+
y x ，求y x 11+的最小值
(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
基本不等式的八大应用
基本不等式的八大应用
不等式充斥着整个数学空间.随意浏览一下任意一套
试卷，用不等号连接的式子总是占据着“上风”，这说明了不等式的应用性与重要性,也说明了不等式是永不衰退的高
考热点.面对丰富的不等式内容，哪些知识点的“出镜率”高？又为什么总是它们高？请看：
应用一：最值问题
最值问题是基本不等式的重要应用之一，是不等式应用的核心，也是不等式应用的精华.应用基本不等式求最值时，一定要注意等号会不会成立.有些时候不等式的推导没有问题，但不可能有等号成立的时刻，这时的值是取不到的值，当然，不能作为最值.
例1 设x,y∈R+，且+ =1，求x+y的最小值.
解法一由x+y=( + )(x+y)=(2+ + )≥4，当且仅当= ，结合+ =1，得x=2，y=2时，取得最小值4.
解法二由已知，设= ，=x=1+ ，y=1+ ，
x+y=(1+ )+(1+ )=2+( + )≥4，当且仅当m=n，即x=2，y=2时，取得最小值4.
解法三由+ =1 x+y=xy x+y≤( )2，由x,y∈R+，得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，取得最小值4.
点评本题给出了三种方法求解，这三种方法都是基本
方法.涉及的技能是我们必须熟练掌握的基本技能.
例2 已知x,y∈(-1,1)，且xy=- ，求u= + 的最小值.
解析由u= + ≥2 =
2 ≥2 =4，或由u= + = =1+ ≥1+ =4.
点评本题很精干，基本不等式的应用也很特别，第一种解法，两次使用到它，幸好两次不等式成立的条件相同；第二种解法转化后再用，两解都具有“活”的特点，欣赏价值较高.
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
- 1 -
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况
背景介绍
基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程
下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式
线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：
a. 生产问题
假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：
10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）
通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题
假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
一元二次不等式的解法
判别式法
根据Δ的大小，判断不等式的解集。 当Δ>0时，不等式有两个实根；当 Δ=0时，不等式有一个重根；当Δ<0 时，不等式无实根。
因式分解法
配方法
将不等式左边进行配方处理，然后根 据配方的结果判断不等式的解集。
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数学模型的应用与推广
总结词
将数学模型应用到实际问题中，并推广到类似问题的解决方案
详细描述
将求解得到的数学解返回到实际问题中，解释其实际意义，并根据实际情况对模型进行修正和改进。 同时，可以将建立的数学模型推广到类似问题中，为解决实际问题提供参考和借鉴。
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电子表格法
利用电子表格软件（如 Excel）进行线性规划求解 的方法。
线性规划的应用
生产计划
资源分配
物流优化
金融投资
通过线性规划优化生产 计划，提高生产效率和
利润。
合理分配有限资源，使 得资源利用效率最大化。
优化物流运输路线和配 载方案，降低运输成本。
优化投资组合，降低风 险并提高收益。
03 基本不等式
01
02
03
线性规划问题
基本不等式实际应用题
3. 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定 值，再利用基本不等式求解。
4. 形如 yxa(a0) 这类函数，当不能利用基本不等式求
x
最值时，可以借助函数单调性求解。
练习：
做一个体积为32 m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么
2(x+y)=36 即 x+y=18
∴ xy(xy)2=81 2
当且仅当x=y=9时取等号
y x
∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候
面积最大，为81 m2
（4）用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 应当怎样折？
解：设矩形的长为xm，宽为ym，则 2(x+y)=20 即 x+y=10
y x
∴
xy(xy)2 2
得最小值为（ B）
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
2.（ 2010四 川 文 ） 设 ab0， 则 a21 1 的 最 小 值 是 (D)
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3xy 6 0,
3.（2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 若目标函数
2
X·2y 12(x22y)2=
用基本不等式解决应用题
18．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y= （p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（2）由题意0≤mx﹣x﹣10 +10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，20= ，∴2p=100，
∴y=10 （1≤x≤16，x∈N*），
∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10 +10（1≤x≤16，x∈N*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx﹣x﹣10 +10≤30（1≤x≤16，x∈N*），
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10 （1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
基本不等式的应用
3．4 基本不等式的应用
1、基本不等式及其变形成立的条件；
2、不等号的的方向；
3、解题中注意变量形式的一致性；
4、多次使用基本不等式注意等号成立条件的一致性；
5、便于约分；
6、巧妙利用“1”的各种代换。 一、关于含有根式的不等式
1、配凑法：⑴对所求解代数式和已知代数式进行适当变形，使二者的有关变量形式达到一致，从而符合基本不等式的前提条件（即如何实现已知条件和所证代数式中变量形式的一致性，以便正确利用基本不等式，是配凑和变形的方向）。⑵注意“1”的代换及变形代换。
P122 典例2 已知正数a 、b 满足2
2
23a b +=，求
P118变式·变式3 已知 a ，b 都是正数，a +b =12≤
2、平方法：对根式进行平方，再结合已知条件利用基本不等式。
P118变式·变式3 已知 a ，b 都是正数，a +b =12≤
二、关于分式不等式证明及最值问题（ 1、转化为整式与分式的和，即转化为n a +
b
m
，n ,m 为常数，再利用基本不等式； P120优化 7、已知t ＞0，则函数241
t t y t
-+=的最小值为 。
P121优化 12、⑴设x ＞－1，求函数2710
1
x x y x ++=+的最值；
⑵设x ＜－1，求函数2710
1
x x y x ++=+的最值；
2、分子变为1，分母变为整式与分式的和，即转化为n a +b
m
，再利用基本不等式； P120优化 9、若对任意若x ＞0，
2
31
x
a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围为 。
三、整式的和为定值求分式的最值（分式的和为定值求整分的最值）
基本不等式的综合运用(1)
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足 后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
随堂练习
4 ， 4 4， 1.函数 f x x 的值域是___________ x
2
1 2.若 x 0 x 2 ___ 2 （用不等号连接） 1 x 1 12 3.已知 0 x ，函数 y x1 3x 的最大值是 _____
知识梳理1
基本不等式 ab ab 2 （1）基本不等式____________. a 0, b 0 （2）基本不等式成立的条件:_____________. ab （3）等号成立的条件:当且仅当_____时取等号.
几个重要的不等式
2ab (1)a2 b2 _____(a, b R)
x 2 1 1 ( x 1)2 2( x 1) 2 1 2 ( x 1) 2 2x 2 2 x 1 2 x 1
2 3 x 0,1 x 11,0 x 1 x 1 1 1 m 检验当 x 1 时，恒成立 综上所述 m 2 2 方法提炼：含参数不等式的恒成立问题常根据不等 式的结构特征，恰当的构造函数，进而转化为函数 的最值问题
，变形得
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1 t 2 2 a (t 1) 2 (2 2 2) 2 2 2 1 t t 1
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
篇一：基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则
立。我们常把
叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或
,当且仅当a=b时等号成
即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。拓展:
若a、b∈R,则
2. 基本不等式证明方法
,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用
①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。三、案例分析案例1：(1)（2009天津·理）设
的最小值为
A8B4C 1D (2) （2007海南、宁夏·理7）已知
，
，
成等差数列，
若
成等比数列，则
Ａ．
Ｂ．
的最小值是（）
Ｃ．
Ｄ．
分析：（1）由是与的等比中项，得
。用“1代换法”，把
看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数
转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用
特殊值法解决。解：（1）∵
是
与
的等比中项，∴
，得
。
∴，
当且仅当即时，“=”成立。故选择C。成等差数列，成等比数列，
（2）（直接法）∵
∴
∴，
∵，，∴，∴，当且仅当时，等号
成立。∴
。故选D。
成等差数列，
成等比数列分别都为
另解：
（特殊值法）令
，则
，故选D。
案例2：(1) （2009重庆·文）已知A．2
B．
，则C．4
的最小值是（）D．5
(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则
基本不等式应用题
基本不等式应用题
最值问题
一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；
2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。
二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。
三．教学过程：
（一）复习：1．均值不等式：
2．极值定理：
（一）练习题
1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。
2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。
3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。
4、已知0,>y x ，且211=+y
x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。
6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。
7
3+1,a b R x y x y
∈+=+已知a,b,x,y ，且
求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。
变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。
所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
1．ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab .
(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2
4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .
选择题：
设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )
A ．80
B ．77
C ．81
D ．82
解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y
2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81
若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54
解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2
2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(课件)
解：
b a
当且仅当 即a b 1时，等号成立，取得最小值2.
a b
经典例题
题型五
变形构造定值—常值代换法“1”的代换
总结
利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知 ax＋by
a b
c d
求 cx＋dy 的最值” (其
求x＋y 的最值”或“已知x ＋y 为定值，
为定值，
中 a，b，c，d 均为常参数)时可用常值代换处理．
27
即 S≤ 2 ，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
2x＋3y＝18，
x＝4.5，
由
解得
2x＝3y，
y＝3.
故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成
经典例题
题型四
变形构造定值—分式型基本不等式
总结
分式型基本不等式有两种形式
当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改
写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用
基本不等式求解。
当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将
分子化为常数，分母利用基本不等式求解。
经典例题
题型四
基本不等式及其应用
积定和最小)
p2
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 4 .(简记：和定
积最大)
[熟记常用结论] 1．运用基本不等式求最值口诀：“一正，二定，三相等”，“一正”指正数， “二定”指和或积为定值，“三相等”指等号成立． 2．均值不等式的推广：若 ai＞0(i＝1,2，…，n)，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an(当 且仅当 a1＝a2＝…＝an 时等号成立)．
(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × ) (5)不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
题组二 教材改编 2．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A．80 C．81
B．4
8 C.3
D．130
解析：∵A→P＝A→B＋B→P ＝A→B＋23(A→C－A→B) ＝13A→B＋23A→C ＝31mA→M＋32nA→N，
∵M，P，N 三点共线，∴31m＋32n＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n)31m＋32n ＝13＋43＋32mn ＋23mn ≥53＋2 32mn ×32mm ＝53＋43＝3， 当且仅当 m＝n＝1 时等号成立．
)
A．10
B．9
基本不等式的几种应用技巧
无限 不存在 不存在
确定函数的单调性
递增函数
函数在定义域上的导数大于0时，函数递增。
递减函数
函数在定义域上的导数小于0时，函数递减。
求解一次不等式的解集
1
线性规划
2
通过一次不等式，确定目标函数的最大
值或最小值。
3
一次不等式
将一次不等式转化为标准形式，并找到 解集。
约束条件
考虑约束条件，找到满足所有条件的解 集。
自然界中的比例
通过观察自然界中的物体和结构，了解比例的重要 性和大小关系。
黄金比例
黄金比例是一种特殊的比例关系，常见于艺术、建 筑和自然界。
平衡与不平衡
通过比例的大小关系，判断物体或系统的平衡与不 平衡状态。
推导极实数的性质
实数集 上界 下界
有限 存在 存在
极实数的性质与实数集的有限性和上下界的存在性相关。
基本不等式的几种应用技 巧
在本演示文稿中，我们将讨论基本不等式的几种应用技巧。通过这些技巧， 我们可以解决一系列有趣且富有挑战性的问题。
求符号和绝对值函数的最小值和最大 值
符号函数
符号函数的最小值是-1，当自变量小于0时；最大值是1，当自变量大于0时。
绝对值函数
绝对值函数的最小值是0，当自变量等于0时；最大值是正无穷大，当自变量趋向于正无穷 大或负无穷大时。
基本不等式综合应用
基本不等式综合应用
1. 已知1,0=+>>b a b a ，求
b b a 214+-的最小值。 2. 已知11
111,0,0=+++>>b a b a ，求b a 2+的最小值。 3. 已知正数b a ,满足1=+b a ，求b
a b 1+的最小值及此时a 的值。 4. 已知正数b a ,满足112=+b a ，求b a
+2的最小值。 5. 已知正数b a ,满足2=+b a ，求21
22
2-+++b b a a 的最小。 6. 已知正数b a ,满足1)2(2)2(1=+++a
a b b b a ，求ab 的最大值。 7. 已知0,0>>b a 且1=+b a ，求b
b a a 11+++
的最小值。 8. 已知0,0>>b a 且1=+b a ，求)1)(1(b
b a a ++的最小值。 9. 已知0,0>>b a 且1=+b a ，求)1-1)(1-1(22b
a 的最小值。 10. 已知0,0>>
b a 且1=+b a ，求22)1()1(b b a a +++的最小值。 11. 已知0>>b a 求)(12b a b a -+
的最小值。 12. 已知+∈R b a ,,则ab b
a 211++的最小值。 13. 若R
b a ∈,，)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值。
14. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z
xy 取得最大值时，z y x 212-+的最大值。 15. 已知设正实数z y x ,,，满足032=+-z y x 求xz
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的最小值为
题型四：整体思想构造不等式
例4
解：
，当且仅当 时等号成立
又
的最小值为
解： ，
，当且仅当 时等号成立
又
的最小值为6
解： ，
，当且仅当 时等号成立
又 =来自百度文库
的最小值为2
小结：在应用基本不等式求最值时，一定要准确把握“一正，二定，三相等”这个条件，同时，解题过程中，一般只使用一次基本不等式，若多次使用不等式，则须保证各个不等式的等号能够同时成立。
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基本不等式的综合应用
基本不等式是人教版高中数学必修5第三章第四节的内容，在高考中占有很重要的比重。而同学们在使用基本不等式的过程中往往会遇到各种各样的题型而觉得无从入手。现结合教学中实际遇到的问题，浅谈利用基本不等式求最值的各类题型的处理方法。
题型一：直接利用基本不等式求最值
理论依据：（1）当 且 时， ，当且仅当 时等号成立，简记为“和定积最大”
当 时， 取得最大值
错解：
分析：上述不等式的等号成立条件： ，即 ，显然不成立。
正解：令
（ ）
又 在（1， ）上单调递增
在 时的最小值为
为
题型三：“1”的代换
例3
解：
当且仅当 ，即 时，等号成立
又
为9
且 = ， 的最小值
解：
当且仅当 ，即 时等号成立
又 =2,
的最小值为9
解：
当且仅当 ，即 时，等号成立
（2）当 且 时， ，当且仅当 时等号成立，简记为“积定和最小”
例1
解： , 且
，即
的最大值为 ，当且仅当 即 时等号成立
解： , 且
，即
的最小值为6，当且仅当 即 时等号成立
题型二：配凑法
例2
解：
当且仅当 时等号成立
当 时， 取得最小值6
解：
当且仅当 ，即 时等号成立
当 时， 取得最大值
解：
当且仅当 时等号成立