2020版高考数学总复习第二篇函数、导数及其应用第4节指数函数应用能力提升理

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(通用版)2020版高考数学复习专题二函数与导数2.2幂函数、指数函数、对数函数及分段函数课件理

D.log2(a+b)<a+1��
<
�� 2��
答案:B 解析:不妨令 a=2,b=12,则 a+1��=4,2�� = 18,log2(a+b)=log252∈ (log22,log24)=(1,2),即2��<log2(a+b)<a+1��.故选 B.
典题演练提能
3.(2019 河南八市联考二)设 a=
2 3
大小关系是( )
1
3,b=
1 3
2
3,c=log2
3
13,则
a,b,c
的
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b 答案:D
D.c>a>b
解析:∵a= 2
1
3>
2
2
3,b=
1
3
3
3
c=log2 3
1 3
>
log2
3
2
3=1,
∴c>a>b.故选 D.
中与��最接近的是(
)(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033
B.1053
C.1073
D.1093
答案:D
解析:设��=x=13036810,两边取对数,得 lg x=lg13036810=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,
同理,y=llgg3�� ,z=llgg5�� .
∴2x-3y=2lglg2��

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_6幂函数、二次函数课件理新人教A版

答案：C
2．(必修1·第一章复习参考题改编)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－
4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为
．
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．(必修1·第一章复习参考题改编)若g(x)＝x2＋ax＋b，则g(2)与
1 2
[g(1)＋g(3)]的大
小关系为
上单调递减
奇偶性顶点
当 b＝0 时为偶函数－2ba，4ac4－a b2
对称性图象关于直线
x＝－2ba
成轴对称图形
[三基自测]
1．(必修1·第二章复习参考题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点
12，
2 2
，则k
＋α＝( )
A.12
B．1
C．32
D．2
第六节幂函数、二次函数
栏目导航
教材回顾考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
以幂函数的图象与性质的应
2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，用为主，常与指数函数、对数函数
y＝1x，y＝x 的图象，了解它们的交汇命题；以二次函数的图象与性
变化情况．
质的应用为主，常与方程、不等式
②由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b. 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
g－3＝5－7b＞0，则gg－0＝2＝－11－－5bb＜＜00，，
g1＝b＋1＞0
⇒15＜b＜57，
即b的取值范围为15，57.
3．理解并掌握二次函数的定义、等知识思
4．能用二次函数、方程、不等式想，题型一般为选择、填空题，中

2020版高考数学总复习第二篇函数导数及其应用第4节指数函数课件理

2.本例(2)中的条件改为“函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减”,则k的取
值范围是
.
解析:因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0, 即k的取值范围为(-∞,0]. 答案:(-∞,0]
反思归纳
指数函数图象的画法及变换规律
画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,
根质根没有意义
0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0
根式
概念性质
式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数当 n 为任意正整数时,( n a )n=a 当 n 为奇数时, n an =a
当
n
为偶数时,
n
an
=|a|=
a a a
0 a 0
2.有理数指数幂
概念
2.下列说法正确的个数有( A ) ①函数 f(x)=(m2-m-1)ax 是指数函数,则实数 m=1;
3
②当 a<0 时,(a2) 2 =a3;
③函数
f(x)=(x-2)
1 2
-(3x-7)0 的定义域是{x|x≥2
且
x≠
7
};
3
④若 am<an(a>0 且 a≠1),则 m<n;
⑤函数 f(x)=2ax-3+1(a>0 且 a≠1)的图象必过定点(3,1)
(C)7
(D)无法计算
解析:因为x+x-1=3,所以(x+x-1)2=x2+x-2+2=9, 所以x2+x-2=7.所以(x-x-1)2=x2+x-2-2=5,所以x-x-1=±.故选A.

新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_4指数函数课件文新人教A版

解析：f(x)为偶函数，当x＜0时， f(x)＝f(－x)＝2－x－4， ∴f(x)＝22x－－x－4， 4，x≥x＜0， 0. 当f(x－2)＞0时，有2x－x－22－≥40＞，0 或x2－－x＋22＜－04，＞0，解得x＞4或x＜0. 答案：B
(2)函数y＝14x－12x＋1在x∈[－3,2]上的值域是
．
1 [解析] (1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝ 2 t.
1 因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝ 2 t 为关于 t 的减函数，
11 所以 0＜y＝ 2 t≤ 2 －2＝4，
故所求函数的值域为(0,4]．
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x，则 t∈14，8. 则 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 所以所求函数值域为34，57.
[答案] f(－4)>f(1)
名师点拨 1.比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． 2．简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3．指数函数的综合问题．要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数进行分类讨论．
解析：①y＝2|x＋1|可看作y＝2|x|向左移动一个单位，选A. ②y＝12|x－1|可看作y＝12|x|向右平移一个单位，选D. ③y＝12|x＋1|可看作y＝12|x|向左平移一个单位，选C.
考点三|指数函数的性质及应用 (方法突破)
方法1 利用指数函数的单调性比较大小或解不等式
【例3】 (1) (2018·大连检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小

2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)

2．11导数在研究函数中的应用(一)[知识梳理]1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数设函数f(x)在点x0及其附近有定义极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0) ＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．4．极值与最值(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．()(2)若函数f(x)在(a，b)内恒有f′(x)>0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－2P93T2)已知函数f(x)＝x2－ln |x|，则函数y＝f(x)的大致图象是()答案 A解析f(－x)＝(－x)2－ln |－x|＝x2－ln |x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，∴当0<x <22时，f ′(x )<0，当x >22时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，排除C ；当x ＝22时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝12－ln 22>0，排除B.故选A. (2)(选修A1－2P 93T 3)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析由题意得f ′(x )＝3x 2－a ，∵函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴在[1，＋∞)上，f ′(x )≥0恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3.故选D.3.小题热身(1)(2013·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0答案 C解析 ∵若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图象大致如右图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．故选C.(2)(2018·武汉模拟)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．答案(2，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．题型1利用导数研究函数的单调性角度1判断或证明函数的单调性x(e x－a)－a2x.典例(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．含参数的导数解答题，首先求定义域，注意应用分类讨论思想方法．解(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－a e x－a2＝(2e x＋a)(e x－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ，从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，从而当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]．角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(多维探究)典例已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．用分类讨论思想方法、分离系数法．解 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a >0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0；当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]．[条件探究1] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．[条件探究2] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．解由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以a ≥3，即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1，1)上为减函数．[条件探究3] 函数f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．解由母题可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a 3＝1，即a ＝3. [条件探究4] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3(a ≥0)．∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0<3a 3<1，得0<a <3，即a 的取值范围为(0,3)．方法技巧1．利用导数讨论(证明)函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)得出结论：f ′(x )>0时为增函数，f ′(x )<0时为减函数．提醒：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．利用导数求函数单调区间的三种方法(1)当不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间．确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得出单调区间．3．利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式．(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任意一个非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．冲关针对训练(2015·重庆高考)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x－e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 题型2 利用导数研究函数的极值典例(2017·长沙一模)已知函数f (x )＝e x －a x ，a 为实常数． (1)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，且极值大于ln 4＋2，求a 的取值范围．本题用构造函数法．解 (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f ′(x )＝e x ＋a x 2，当a >0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)当a ≥0时，由(1)知f ′(x )>0，f (x )无极值点；当a <0时，令g (x )＝f ′(x )＝e x＋ax 2，则g ′(x )＝e x －2ax 3.g ′(x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，故g (x )＝e x＋ax 2在(0，＋∞)上单调递增．当0<x <1时，e x ∈(1，e)，ax 2∈(－∞，a )，故在(0,1)上存在实数s ，使得as 2<－e ，从而在(0，＋∞)上存在实数s ，使得g (s )<0；当x >1时，e x∈(e ，＋∞)，ax 2∈(a,0)，故在(1，＋∞)上存在实数t ，使得e t >－a ，从而在(0，＋∞)上存在实数t 使得g (t )>0. 因此g (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，设为x 0.于是当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＝g (x )<0，x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(0，＋∞)上存在唯一的极小值点，且极值f (x 0)＝e x 0－a x 0.由g (x 0)＝0知a ＝－x 20ex 0，因此f (x 0)＝e x 0－ax 0＝(x 0＋1)e x 0，令φ(x )＝(x ＋1)e x ，则φ′(x )＝(x ＋2)e x ，故φ(x )在(0，＋∞)上单调递增．而f (x 0)＝(x 0＋1)e x 0>ln 4＋2＝2(ln 2＋1)＝(ln 2＋1)e ln 2，所以x 0>ln 2.令ω(x )＝－x 2e x ，则ω′(x )＝－(x 2＋2x )e x ，故x 0>ln 2时，ω′(x )＝－(x 2＋2x )e x <0， ω(x )＝－x 2e x 单调递减．从而a <－(ln 2)2e ln 2＝－2(ln 2)2，故所求a的取值范围是(－∞，－2(ln 2)2)．方法技巧1．利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．冲关针对训练(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝x ln x－x，g(x)＝a2x2－ax(a∈R)．(1)若f(x)和g(x)在(0，＋∞)有相同的单调区间，求a的取值范围；(2)令h(x)＝f(x)－g(x)－ax(a∈R)，若h(x)在定义域内有两个不同的极值点．①求a的取值范围；②设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2＞e2.解(1)由f(x)＝x ln x－x，知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． g (x )＝a 2x 2－ax ＝a2(x 2－2x )(a ∈R )，若g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则a >0.(2)①依题意知，函数h (x )的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝ln x －ax ，所以方程h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根，即方程ln x －ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根．可转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图．若令过原点且与函数y ＝ln x 的图象相切的直线的斜率为k ，则 0<a <k .设切点A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<a <1e .②由①可知x 1，x 2分别是方程ln x －ax ＝0的两个根，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，不妨设x 1>x 2，作差得，ln x 1x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝ln x 1x2x 1－x 2.原不等式x 1·x 2>e 2⇔ln x 1＋ln x 2>2⇔a (x 1＋x 2)>2⇔ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2.令x 1x 2＝t ，则t >1，ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2⇔ln t >2(t －1)t ＋1.设F (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t >1，则F ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以函数F (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (t )>F (1)＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立，故所证不等式x 1·x 2>e 2成立．题型3 利用导数研究函数的最值典例(2017·石家庄检测)已知函数f (x )＝a x ＋ln x －2，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．本题用待定系数法、分类讨论思想方法．解 (1)∵f (x )＝ax ＋ln x －2(x >0)， ∴f ′(x )＝－a x 2＋1x (x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1， ∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8. ∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x 2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8，f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)．(2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝ae 2＋ln e 2－2＝a e 2，由ae 2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝ f (a )＝aa ＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2. 方法技巧1．求函数f (x )在区间[a ，b ]上最值的方法(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表求解．(3)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(小)值点．2．已知函数f (x )的最值求参数的方法先利用导数将最值用参数表示，再构建方程组求解．提醒：由f ′(x )＝0得到根x 0是否在[a ，b ]内不明确时要分情况讨论．冲关针对训练(2017·德州一模)设函数f (x )＝ln x －12ax 2＋bx (a >0)，f ′(1)＝0.(1)用含a 的式子表示b ；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2－bx ＋ax (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝2，试求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ，c ＋12(c >0)上的最大值．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1x －ax ＋b ，∴f ′(1)＝1－a ＋b ＝0， ∴b ＝a －1.(2)F (x )＝ln x ＋ax ，x ∈(0,3]，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12，在x 0∈(0,3]上恒成立，∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max ，x 0∈(0,3]．当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝2时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，则f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－(2x ＋1)(x －1)x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，x ＝－12(舍)．当0<x <1时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．当c ＋12≤1，即0<c ≤12时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ，c ＋12上单调递增， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋122＋c ＋12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12＋14－c 2.当⎩⎨⎧0<c <1，c ＋12>1，即12<c <1时，f (x )在[c,1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，c ＋12上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.当c ≥1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ，c ＋12上单调递减， ∴f (x )max ＝f (c )＝ln c －c 2＋c .综上，当0<c ≤12时，f (x )max ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12－c 2＋14；当12<c <1时，f (x )max ＝0；当c ≥1时，f (x )max ＝ln c －c 2＋c .1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析 f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．(2017·江淮联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3答案 A解析易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x <0，解得0<x <3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故选A.3．(2017·安阳调研)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析 f ′(x )＝1x ＋ax －2＝ax 2－2x ＋1x (x >0)，函数f (x )存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax 2－2x ＋1≤0，等价于a 小于2x －1x 2在x ∈(0，＋∞)上的最大值．设g (x )＝2x －1x 2，则g ′(x )＝－2x ＋2x 3，可知函数g (x )在区间(0,1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最大值，此时g (x )＝1，所以a <1，故填(－∞，1)．4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为 f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·陕西模拟)函数f (x )＝ax x 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 B解析函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a (1－x 2)(x 2＋1)2＝a (1－x )(1＋x )(x 2＋1)2.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x 在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2答案 D解析f′(x)＝(2x－2)e x＋(x2－2x)e x＝(x2－2)e x，令f′(x)<0，∴－2<x<2，即函数f(x)的单调递减区间为(－2，2)．∴b－a的最大值为2 2.故选D.3．函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在[0,3]上的最小值为()A．－8 B．－4 C．0 D.4 27答案 B解析f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f′(x)＝0⇒x1＝43，x2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.故f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为() A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)答案 A解析设g(x)＝f(x)e2x，则g′(x)＝f′(x)－2f(x)e2x<0在R上恒成立，所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.5．(2017·四川乐山一中期末)f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．a<1 B．a≤1 C．a<2 D．a≤2答案 D解析由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x－a x，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a 0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a 12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e ·12＝12e.故选B.8．已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1D ．a ≥3 答案 C解析函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式ax －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．{4}D ．[2,4]答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·黄山一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0)答案 B解析由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln x x 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________. 答案 1解析由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f(1＋x)＝f(1－x)，f(1)＝a，且当0<x<1时，f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)，则f(x)在[2017,2018]上的最小值为________．答案a解析由f(1＋x)＝f(1－x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，且f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x)在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g(x)＝f(x)e x，则g′(x)＝f′(x)－f(x)e x<0，函数g(x)在(0,1)上递减，则g(x)<g(0)＝0，所以f′(x)<f(x)<0，则函数f(x)在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f(x)在(1,2)上单调递增，则f(x)在[2017,2018]上的最小值为f(2017)＝f(1)＝a.14．(2018·启东中学调研)已知函数f(x)＝e x＋a ln x的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案②④解析由f(x)＝e x＋a ln x，可得f′(x)＝e x＋ax，若a>0，则f′(x)>0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x∈(0,1)，使得f(x)<0即得命题①③不正确；若a<0，设e x＋ax＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)<0，在(m，＋∞)上f′(x)>0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)<0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝1x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a . 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. 综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .16．(2017·河北石家庄联考)已知函数f (x )＝e x －ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )，函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x －ax ≥0恒成立，当x >0时，f (x )≥0，即e x －ax ≥0，即a ≤exx .令h (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x(x －1)x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e ，故实数a 的取值范围是(0，e]．17．(2017·湖南湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x －a ln x (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2. 令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝ a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)． (*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.海阔天空专业文档。

(新课标)高考数学一轮复习-第二章函数、导数及其应用第4讲指数与指数函数课件

[答案] (1)A (2)b∈[－1,1] [解析] (1)由已知得0＜a＜1，b＜－1，故选A. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性单调性在R上_____递__减___
在R上____递__增____

超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用第四节指数与指数函数

考点一实数指数幂的化简与求值
[例] (1)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
1
11
1
1
[解析] 4 16x8y4＝(16x8y4)4＝[24(－x)8·(－y)4]4＝24·4·(－x)8·4·(－y)4·4＝2(－x)2(－y)
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若___x_n_＝__a___，则 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N＋.式子n a叫作根式，这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋)．
②n
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，
[四基自测]
1 1．(基础点：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基础点：指数函数图像)函数 f(x)＝1－ex 的图像大致是( ) 答案：A
3．(基础点：指数函数解析式)若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像经过点 A2，13，则 f(－1)＝________．答案： 3 4．(易错点：指数函数性质)函数 y＝(ax＋1)ex 过定点________．答案：(0，1)
当 x＞1 时，y＝e－(x－1)为减函数，排除 A.
故选 B.
[答案] B
(2)函数 f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
[解析] f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于 y 轴对称，又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除 B、C、D，只有 A 满足． [答案] A

2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数 Word版含解析.docx

2．5指数与指数函数[知识梳理]1．根式2．分数指数幂3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．指数函数的概念、图象与性质特别提示：1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．2．a对y＝a x(a>0且a≠1)的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．[诊断自测] 1．概念思辨(1)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( )(2)函数y ＝a x 与y ＝－a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．( ) (3)若a m <a n (a >0且a ≠1)，则m <n .( ) (4)函数y ＝a x 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化 (1)(必修A1P 59T 7)⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23的大小关系是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23答案 A解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，23>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2313.∵y ＝x 23 在(0，＋∞)上为增函数，23>25>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 .故选A.(2)(必修A1P 60T 4)若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析 ∵2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，∴2x2＋1≤2－2x ＋4， ∴x 2＋1≤－2x ＋4，解得－3≤x ≤1， ∴函数y ＝2x的值域为[2－3,2]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.故选B. 3．小题热身(1)函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0) D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，故x －2＝0时f (x )＝2，即x ＝2时f (x )＝2.故选D.(2)函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析函数y ＝a x－1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.题型1 指数幂的化简与求值典例化简：(1)(a >0，b >0)；(2)⎝⎛⎭⎪⎫－278 －23 ＋(0.002) －12－10(5－2)－1＋(2－3)0.根据指数幂运算法则计算．解(1)原式＝＝ab －1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.方法技巧指数幂的运算规律1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．注意平方法和开方法，见冲关针对训练1,2.提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．冲关针对训练1．(2018·资阳模拟)若0<a <1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b等于( ) A.6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 C解析 ∵a b ＋a －b ＝22， ∴a 2b ＋a －2b ＝8－2＝6. ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4. ∵0<a <1，b >0， ∴a b <a －b ，则a b －a －b ＝－2.故选C.2．若a12 ＋a －12 ＝x 12(a >0)，则x －2＋x 2－4xx －2－x 2－4x的值是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1)解析由x12 ＝a 12 ＋a －12，得x ＝a ＋1a ＋2.∴x 2－4x ＝x (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－2＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2. ∴原式＝a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2a ＋1a －⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝a ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a a ＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1).题型2 指数函数的图象及应用典例若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．用数形结合法．答案 [－1,1]解析曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b应满足的条件是b ∈[－1，1]．[条件探究1] 若将本典例中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．[条件探究2] 若将本典例改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是什么？解因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．[条件探究3] 若将本典例改为：直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是什么？解 y ＝|a x －1|的图象是由y ＝a x 先向下平移1个单位，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折过来得到的．当a ＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a ＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a ＜1，得到0＜a ＜12，如图(2)．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.方法技巧指数函数图象的画法及应用1．画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．指数函数图象的应用(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．见典例．冲关针对训练(2017·湖南月考)如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A.2 B ．3 C ．2 D ．3答案 A解析设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t )． ∵B 点在函数y ＝a x 的图象上， ∴2a t ＝a 2t ，∴a t ＝2(a t ＝0舍去)．∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t ·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.题型3 指数函数的性质及应用角度1 比较指数幂的大小典例 (2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a log 23>0，函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c .故选C.角度2 求指数型函数中参数的取值典例 (2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.用方程法．答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.角度3 指数函数性质的综合应用典例已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.方法技巧综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略冲关针对训练1．(2018·珠海模拟)若x log 52≥－1，则函数y ＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0答案 A解析 x log 52≥－1⇒log 52x≥log 515⇒2x≥15，令t ＝2x ，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，当t ＝1，即x ＝0时，取得最小值－4.故选A.2．若不等式(m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案－2<m <3解析 (m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.1．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D. 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝2 43 ，b ＝425 ，c ＝25 13，则()A ．b <a <cB ．a b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A解析因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足．故选A.4．(2018·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )答案 B解析易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为递增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714 >⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 ＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)； ③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{|x x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B 解析(a 2)32>0，a 3<0，故①错误．∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.4.(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x ＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A ．{0}B ．{－3}C ．{－4,0}D ．{－3,0}答案 D解析 ∵偶函数f (x －2)的图象关于y 轴对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－2对称． ∵当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2，∵f (x )＝e x ＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f (－1)<0，f (0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f (x )＝e x ＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x <－2时，存在唯一零点x ∈(－4，－3)．由题意，方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k －1＝－4或k －1＝－1，k ＝－3或k ＝0.故选D.6．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )和f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同答案 A解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18答案 B解析依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1 ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x ＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C解析由e x＝1＋f (x )1－f (x )，可得f (x )＝e x－1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1，可得11＋e x 1＋11＋e x 2＝12，即为e x 1＋x 2＝e x 1＋e x 2＋3，由e x 1＋e x 2≥2e x 1＋x 2，即有e x 1＋x 2≥2e x 1＋x 2＋3，解得e x 1＋x 2≥3，即e x 1＋x 2≥9，当且仅当x 1＝x 2，取得等号，则f (x 1＋x 2)＝1－2e x 1＋x 2＋1≥1－29＋1＝45.即有最小值为45.故选C.二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))，观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]存在x 2∈[－2,2]使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1. (2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

高考数学(新课标人教)一轮总复习课件：第2章函数.导数及其应用第4节指数函数

第二章函数、导数及其应用第4节指数因教I -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - I 1. 了解指数函数模型的实际背景. I : !I2.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌II «I握幕的运算. I I 1: ;I3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通|: : : : |过的特殊点，会画底数为2,3,10,+的指数函数的图像. |• 1 •根式_ D基础冋扣•学情口测•［要点梳理］• 2.分数指数幕3.无理数指数幕无理数指数幕«V>o, u是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.• 4.指数函数的概念、图像与性质质疑探究：如图是指数函数(1)y=d“，(2)y=b x,⑶y=c",(4)y = /的图像，底数a何？你能得到什么规律?“ b, c,〃与1之间的大小关系如提示：图中直线X=1与它们图像交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c l>d l>l>a l>b1,•: c>d> 1 >a>b ・一般规律：在y轴右（左）侧图像越高（低力其底数越大.A B C D［基础自测］1・函数y=a —^（a>0,且。

工1）的图像可能是（）［解析］当«>1时，y=a-^-为增函数，且在y轴上的截距为Ovl—】vl，排除A, B.d当Ovavl时，y=a x—\为减函数，且在y轴上的截距为1 —~<0,故选D.［答案］D2. (2015-郑州模拟)已知函数斤兀)=4+°厂1的图像恒过定点P,则点P的坐标是()A. (1,5)B. (1,4)C. (0,4)D. (4,0)［解析］由°°=1知,当%—1=0,即兀=1时，几1)=5,即图像必过定点(1,5).故选A.［答案］A3.设函数/(x)=6z~lvl(«>0,且oHl),几2)=4,贝lj(A.fmB. A-D>X-2)c・fm>f&D・f(-2)>f(2)［解析］由ci ~=4,。

(新课标)2020届高考数学总复习第3章导数及其应用第4节热点专题——导数综合应用的热点问题课件

①a≤0 时，f(x)≤ln x≤x－1； ②a>0 时，取 x>1＋a1，则 f(x)＝ ln x＋a(x－1)(x－1)>ln1＋1a＋a1＋a1－1(x－ 1)>ln 1＋x－1＝x－1，与题意矛盾．故 a 的最大值为 0.
函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．
(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置进行讨论．
(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式、三角式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题．
角度一：不等式的恒成立问题 [典题 3] (1)已知 f(x)＝xex＋ax2－x，a∈R. ①当 a＝－12时，求函数 f(x)的单调区间； ②若对 x≥0 时，恒有 f′(x)－f(x)≥(4a＋1)x 成立，求实数 a 的取值范围．
1°.当 2a≤1，即 a≤12时，u′(x)≥0，所以 g′(x)＝ex－2ax－2a 在[0，＋∞)上单调递增，所以 g′(x)≥g′(0)＝1－2a≥0，所以 g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以 g(x)≥g(0)＝0 恒成立． 2°.当 2a>1，即 a>12时，令 u′(x)＝0，则 x＝ln 2a. 当 x∈[0，ln 2a)时，u′(x)<0，则 g′(x)＝ex－2ax－2a 在[0， ln 2a)上单调递减，所以 g′(x)≤g′(0)＝1－2a<0，则 g(x)在[0， ln 2a)上单调递减，此时 g(x)≤g(0)＝0，这与 g(x)≥0 恒成立矛盾．综上可得，实数 a 的取值范围是－∞，12.

2020届高考一轮复习数学(理科) 第二章函数、导数及其应用第五节指数与指数函数

核心素养
1.逻辑推理 2.数学运算 3.直观想象
1．根式
n
(1)概念：式子 a叫做_根__式__，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
n
n
(2)性质：( a)n＝a(a 使 a有意义)；当 n 为奇数时，
n
an＝a，当
n
n
为偶数时，
an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
2．分数指数幂
4
解析：(1)由于（－4）4＝ 44＝4，故(1)错．
24
(2)(－1)4＝（－1）2＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为 y＝ax(a＞0，且 a≠1)，故
y＝2x－1 不是指数函数，故(3)错．
(4)由于 x2＋1≥1，又 a＞1，所以 a x2＋1≥a.故 y＝ax x2
＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．
(2)设年产量经过 x 年增加到 y 件，则第一年为 y＝a(1 ＋p%)，第二年为 y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)2，第三年为 y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)3，…，则 y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m 且 x∈N)．
答案：(1)C (2)B
3．典题体验 (1)(2019·泰安一中月考)设 a＞0，将
角度指数函数性质的应用
【例 3】已知 f(x)＝ax－1 1＋12x3(a＞0，且 a≠1)． (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立．解：(1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定义域内任意 x，有 f(x)＝ax－1 1＋12x3＝x23（（aaxx－＋11）），

高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4指数与指数函数课件文

突破考点 02
指数函数的图象及其应用
（题点多变型——一题多变）
指数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
R (0，＋∞) (0,1) ax>1 0<ax<1 0<ax<1 ax>1 增函数减函数
【调研 2】若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0，且 a≠1) 的图象只有两个公共点，则实数 a 的取值范围是________．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂的意义：
①正分数指数幂：a
m n
＝____________(a>0，m，n∈N*，
且 n>1)；
②负分数指数幂：a－
m n
＝__________＝________(a>0，m，
n∈N*，且 n>1)；
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂________．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝________(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)；上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用．
【解析】 ①当 a>1 时，如图知 y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象只有一个公共点．
②当 0<a<1 时，由图知
当 0<2a<1，即 0<a<12时，y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象只有两个公共点．
【答案】
1 0<a<2
【题点发散一】若将本例题干改为“函数 y＝|2x－1|在区间(－∞，k]上单调递减”，则 k 的取值范围是________．

2020高考数学第二章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数课件文

[变式练]已知函数 y＝4x＋m· 2x－2 在区间[－2,2]上单调递增，则 m 的取值范围为________．
解析：设 t＝2x，则 y＝4x＋m· 2x－2＝t2＋mt－2. 1 因为 x∈[－2,2]，所以 t∈4，4. 又函数 y＝4x＋m· 2x－2 在区间[－2,2]上单调递增， 1 2 即 y＝t ＋mt－2 在区间4，4上单调递增， 1 m 1 故有－ 2 ≤4，解得 m≥－2. 1 所以 m 的取值范围为－2，＋∞. 1 答案：－2，＋∞
解析：(1)因为函数 y＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以 1>0.60.6>0.61.5，即 b<a<1. 因为函数 y＝x0.6 在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以 1.50.6>10.6＝1，即 c>1. 综上，b<a<c. (2)当 x>0 时，f(x)＝1－2－x>0，又 f(x)是 R 上的奇函数， 1 1 所以 f(x)<－2的解集和 f(x)>2(x>0)的解集关于原点对称，由 1 1 －x 1 －x 1 －1 －2 >2得 2 <2＝2 ，即 x>1，则 f(x)<－2的解集是(－∞，－1)．于 y 轴对称．答案：B
x
－x
1x ＝2 的图象(图略)，观察可知其关
5．函数 f(x)＝ 1－ex的值域为________．
解析：由 1－ex≥0 得，ex≤1，故函数 f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以 0<ex≤1，－1≤－ex<0,0≤1－ex<1，函数 f(x)的值域为[0,1)．答案：[0,1)
考向三指数函数的性质及应用[互动讲练型] [例 2] (1)[2015· 山东卷]设 a＝0.60.6， b＝0.61.5， c＝1.50.6，则 a， b，c 的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c0 时，f(x)＝1－ 1 －x 2 ，则不等式 f(x)<－2的解集是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

2021高考数学(理)大一轮复习第二篇函数、导数及其应用第4节指数函数

第4节指数函数
[考纲展示]
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为 2,3,10, 1 , 1 的指数函数的图象.
23 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
2
2
2
x2-3x-4<0,
解得-1<x<4.
答案:{x|-1<x<4}
考查角度三指数型复合函数问题
[例4] (1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,
则m的取值范围是
;
解析:(1)令 t=|2x-m|,则 t=|2x-m|在区间[ m ,+∞)上是递增的, 2
多维探究
考查角度一利用指数函数性质比较大小
[例2] 下列各式比较大小正确的是( )
(A)1.72.5>1.73
(B)0.6-1>0.62
(C)0.8-0.1>1.250.2 (D)1.70.3<0.93.1
解析:因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73,故A错误; 因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以0.6-1>0.62,故B正确; 因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. 因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2, 所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C错误. 因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D错误.故选B.

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习理-人教版高三全册数学试题

第二章函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习理[A 组·基础达标练]1．化简[(－2)6] 12 －(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 答案 B解析原式＝(26) 12 －1＝7. 2．[2015·某某期中]函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案B 解析令2x＝t ，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.3．[2016·某某八校联考]已知0<m <n <1，且1<a a n B ．b m <a n C ．m b>n aD ．m b<n a答案 D解析 ∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a <n a，又g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a .综上，m b <n a，故选D.4．[2015·某某模拟]函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 D解析 f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋1e x ，∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x＋1e x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2) D ．(－3,4) 答案 C解析原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴当x ∈(－∞，－1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，∴当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.6．已知函数f (x )＝|2x－1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2 答案 D解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a f (c )>f (b )，∴结合图象知a <0，c >0，∴0<2a<1. ∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D. 7．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a|x ＋b |的图象为( )答案 B解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，选项B 符合要求．8．[2015·某某二模]已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A．9 B．10C．11 D．18答案 B解析依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.9．[2015·某某一模]函数f(x)＝2－x－2的定义域是________．答案(－∞ ，－1]解析由题意可得：2－x－2≥0，∴2－x≥2，∴－x≥1，∴x≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值X围是________．答案[－1,1]解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如右图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，则要求－1≤b≤1.11．[2016·皖南八校联考]对于给定的函数f(x)＝a x－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.答案①③④解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④真；当a >1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.12．已知函数y ＝b ＋a x 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(1)若a >1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a ，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋a x 2＋2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[B 组·能力提升练]1. [2016·某某月考]如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A.2B. 3C ．2D ．3 答案 A解析设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t)． ∵B 点在函数y ＝a x的图象上，∴2a t＝a 2t， ∴a t＝2.∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.2．[2015·某某模拟]已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， 0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值X 围是( )A ．[－1，＋∞) B．[－1,1] C ．(0,1] D ．(－∞，1] 答案 B解析由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－42a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1，故选B.3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≥K ，K ，f x <K ，取函数f (x )＝2－x ＋e x，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________．答案 3解析由题意，得f (x )≥K 对任意的x ∈R 恒成立，所以f (x )min ≥K ，所以令f ′(x )＝－1＋e x＝0，得到x ＝0. 且x <0时，f ′(x )<0；x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝3，所以K ≤3，K 的最大值为3.4．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)存在满足题意的t .由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4指数函数课件理

【变式训练】1.若函数y=ax+b的图象如图所示,则函数
y= 1 +b+1的图象为 ( ) xa
【解析】选C.由图可知0<a<1,-2<b<-1. 又函数y= 1 +b+1的图象是由y= 1 向左平移a个单位, 向下平移|x b+a1|个单位而得到的.结x 合四个选项可知C正确.
2.方程2x=2-x解的个数是________个. 【解析】方程的解可看作函数y=2x和 y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1
【加固训练】 1.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
【解析】选D.由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数 f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数 f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的, 所以b<0.
2.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下列五个关系式:
①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可
能成立的关系式有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.设2014a=2015b=t,如图所示, 由函数图象,可得(1)若t>1,则有a>b>0. (2)若t=1,则有a=b=0. (3)若0<t<1,则有a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.