高二数学月考试题卷
广东深圳盐田高级中学2024年高二10月月考数学试题+答案
2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌一、单选题（共40分，每题5分）1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于y 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4-B ．()2,1,4--C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，且AB a =，AD b =，AA c '=， 则()()4+223a b c a b c -⋅-+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1-3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11AC 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示BO ，则（ ） A ．12BO a b c =-+B ．12BO a b c =+-C ． 12BO a b c =-++D ．1122BO a b c =-++4．若平面,αβ的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则α与β的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5．已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76．已知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，则b a -的最小值是（ ）A．1BC D 7．四棱锥P ABCD -，底面是平行四边形，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-， 则这个四棱锥的底面积为（ ）A B ．C ．52D ．58．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共18分，每题6分）9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 与向量b 的夹角为π6B ．()c a b ⊥-C ．向量a 在向量b 上的投影向量为110,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b 共面 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项一定正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321ααα<<C ．231cos s c s co o ααα<<D ．321sin n s n si i ααα<<11．下列命题正确的是（ ）A ．若p 是平面α的一个法向量，,AB 是直线b 上不同的两点，则b α的充要条件 是0p AB ⋅=B ．已知,,A BC 三点不共线，对于空间中任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知()()1,1,2,0,2,3a b =-=，若ka b +与2a b -垂直，则34k =-D ．已知ABC 的顶点分别为()()()1,1,2,4,1,4,3,2,2A B C --，则AC 边上的高BD 的三、填空题（共15分，每题5分）12. 已知空间中的单位向量,,a b c ，其两两夹角均为60︒，则2a b c +-=_______ 13.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起, 当二面角B-AC-D 的大小是600时，则B 、D 的两点间距离为_______.14．下列说法正确的是 ．①直线()24y ax a a =-+∈R 恒过定点()2,4-；②若直线l 50my ++=的倾斜角为π3，则实数m 的值为1-； ③已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-=或2y x =；④设过原点的直线l 的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，得到直线1l 的倾斜角是45α+︒或135α-︒．四、解答题（共77分）15．（13分）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥; （2）当1=2AE AB 时，求直线1DA 与平面1CED 成角的大小.16．（15分）在平面直角坐标系中有()0,3A ，()3,3B ，()2,0C ， (1)求直线AC 的一般方程；(2)在三角形ABC 中，求AB 边的高线方程； (3)若直线x m =将△ABC 面积两等分，求m 的值17．（15分）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,∠A 1AC=60°, 且平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,点P ,Q 又分别是AB ,A 1C 1的中点, (1)求证：//PQ 平面11BCC B ； (2) 求点B 1到平面1A PQ 的距离.18. （17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AE BF B G ==． (1)求证：11A F C G ⊥；(2)若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ．19．（17分）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，11π3D DA D DC ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内.(1)若AC 中点为O ，求证：1D O ⊥平面ABCD ；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值.1．A 2．C【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.【详解】根据题意知,,,90a b a c b c ===，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，所以原式=8a ⃗2−3b ⃗⃗2−2c ⃗2=8−3−2=3故选：C 3．D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D. 4．B【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.【详解】∵()()2,1,0,1,2,0ab =-=--，则()()()2112000a b ⨯-+--==⨯+⨯⋅，∴a b ⊥，故αβ⊥.故选：B.5．A【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+， 即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：A. 6．D【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出b a -的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，故()()2,,1,1,0(1,1,)b a t t t t t t -=--=+-，则(1)t b a +==-b a -的最小值是故选：D 7．B【分析】平行四边形面积公式，S =AB ∙AD ∙sin∠BAD ，利用向量数量积，求解cos∠BAD ，进而转换成sin∠BAD【详解】利用向量的数量积公式转换的夹角公 cos∠BAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14∙√5=√5√14，sin∠BAD =√1−514=√914S =AB ∙AD ∙sin∠BAD =√14∙√5∙√914=3√5故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8．C【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>， 所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>， 综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件. 故选：C. 9．BCD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =， 可得221cos ,211b a ==++，则向量a 与向量b 的夹角为π3，故A 错误； 因为()()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=，所以()c a b ⊥-，即B 正确；根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b b b⋅⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭，所以C 正确； 由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+，向量c 与向量a ，b 共面， 所以D 正确.故选：BCD 10．ABC【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得1320k k k <<<，321ααα<<，cosα1<0<cosα2<cosα3故ABC 正确.故选：ABC. 11．BCD【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A 的结论，利用共面向量的充要条件判断B 的结论，利用向量垂直的充要条件判定C 的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高BD 的值判定D 的结论．【详解】若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，B ，当b α⊂时， 即使0p AB ⋅=，也不能说明//b α，故A 错误；若212555OP OA OB OC =++，则212()()()555OP OA OB OP OC OP -=-+-，所以12AP PB PC =+，所以,,,P A B C 四点共面，故B 正确； 由题意可得()(),2,23,22,0,1ka b k k k a b +=-++-=-，若ka b +与2a b -垂直，则()()22230ka b a b k k +⋅-=++=，解得34k =-，故C 正确；由题意可得(5,0,2),(4,3,0)AB AC ==-，则AC 边上的高BD 的长即为点B 到直线AC 的距离22AC BD AB AB AC ⎛⎫ ⎪=-⋅= ⎪⎝⎭D 正确． 故选：BCD. 12. √5【分析】利用模长公式，集合数量积的计算，平方后再开根号【详解】|a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗)2=√a ⃗2+4b ⃗⃗2+c ⃗2+4a ⃗∙b ⃗⃗−2a ⃗∙c ⃗−4b ⃗⃗∙c ⃗=√1+4+1+4×12−2×12−4×12=√513．√2【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果.【详解】根据垂直关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，即为二面角B-AC-D 的平面角，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1+2×(−12)=√214．②③④【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =， 即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，①错误；直线√3x +my +5=0，倾斜角为π3，斜率为k =−√3m =tan π3=√3，所以m =−1,②正确；因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为2y x =，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则241a a +=，即6a =，则直线方程为60x y +-=，所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，③错正确.若倾斜角小于135°，逆时针旋转，倾斜角加45°，即α+45°；若倾斜大于135°，逆时针旋转45°，α＋45°大于180°，倾斜角为45°-（135°-α）=α-135° 故答案为：②③④ 15．（1）证明见解析；（2）12； 【分析】（1）连接1AD ，通过证明1DA ⊥平面1AED ，则可证明11DA ED ⊥； （2）建立空间直角坐标系，根据AEAB的值，计算平面1CED 的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案【详解】（1）如图所示：连接1AD ，因为AB ⊥平面11ADD A ，所以1AB DA ⊥，所以1AE DA ⊥， 又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD DA ⊥，且1AE AD A =，所以1DA ⊥平面1AED ，所以11DA ED ⊥；（2）建立空间直角坐标系如图所示：E （1，12，0） 设平面1CED 一个法向量为(),,n x y z =， 又()()()()110,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1D A C D ，所以()11,0,1DA =，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−12,0), CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，因为100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，{x −12y =0−y +z =0,所以取x =1,所以法向量n ⃗⃗=(1,2,2) 所以|cos 〈DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n⃗⃗〉|=|√2∙3|=√22，所以向量夹角为45°，所以线面夹角为45° 16．（1）3x+2y-6=0;；（2）x=2；（3）m =√3【分析】（1）斜截式求直线方程，化简即可（2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解（3）先由两直线的交点坐标的求法求得,D E 的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意的，直线AC 在x 轴和y 轴的截距分别为2和3，由截距式方程x2+y3=1，化简得3x +2y −6=0（2）直线AB 的斜率k AB =3−33−0=0 ，根据垂直关系可得，边AB 上的高线，斜率不存在，由于高线过点C （2，0），所以边AB 上的高线方程为x=2 （3）设直线x m =与边AB ，AC 分别交于点,D E ．由92ABCS=，得94AEDS =． 又直线AC 的方程为123x y +=，而点E 在边AC 上，故可设3,32m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因此，3||02mDE =>． 139224AEDm Sm =⋅⋅=，m ∴=17.（1）略；（2）2√155【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系；（2）构建空间直角坐标系，计算平面A 1PQ 的法向量，结合点到面的距离公式进行求解 【详解】（1）取A 1B 1的中点M ，连接MQ ，MP在△A1B 1C 1中，A 1Q=QC 1，A 1M=MB 1，∴QM ∥B 1C 1在四边形MPBB 1中，MB 1=PB 且MB 1∥PB ，∴四边形MPBB 1是平行四边形，∴MP ∥BB 1，∵BB 1∩B 1C 1=B 1，BB 1⊆面BCC 1B 1，B 1C 1⊆面BCC 1B 1又∵MP ∩MQ=M ，MP ⊆面MQP ，MQ ⊆面MQO∴面MQP ∥面BCC 1B 1又∵PQ ⊆面MQP ，∴PQ ∥面BCC 1B 1（2）取AC 中点O ，连接A 1O ，BO△ABC 为等腰三角形，∴BO ⊥AC∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC=AC ，∴BO ⊥面ACC 1A 1，∴BO ⊥A 1O在△A 1OA ，∠A 1AO=60°，A 1A=2，OA=1，易得AC ⊥A 1O以O 为原点，OA ，OB ，OA 1分别为x,y,z 轴，以建立空间直角坐标系 A 1(0,0,√3)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-1,0,0)，P(12,√32,0)，Q(-1,0,√3)，∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴B 1(-1,√3,√3)，∴A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,−√3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)设平面A 1PQ 的法向量为 n ⃗⃗=（x,y,z ），∴{n ⃗⃗∙A 1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x =0n ⃗⃗∙A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x +√32y −√3z =0，设y=2，取 n ⃗⃗=（0,2,1）d =|n ⃗⃗∙A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||=|2√3√5=2√15518.(1)证明过程见解析；(2)12【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【详解】（1）因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=︒，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m -，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =-=--=--=--，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=--⋅--=-=，故11A F C G ⊥；（2）()1,0,0E m -，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =---=--，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=--⋅--=-+-=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ⋂=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为(1111,1,cos ,A F nA F n A F n m ⋅--==⋅又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 19.(1)略 【分析】（1）利用几何关系求出1OD OD ==22211+OD OD DD =，得到线线垂直关系，进而得到面面垂直关系；（2）构造平面//DFH 平面1DAE ，从而确定点P 必在DH 上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.【详解】（1）连接OD 、1OD 、1D C ，11π2,3D D DA D DA ==∠=， 12D A ∴=，同理12D C =，O 是正方形对角线AC 中点，1D O AC ∴⊥，且AC =1OD OA OD ∴===即22211+OD OD DD =，则1OD OD ⊥，∵AC=AD,11π3D DA D DC ∠=∠=∴△ADD 1≌△CDD 1，∴AD 1=CD 1，∴△ACD 1为等腰△，∴D 1O ⊥AC ∵AC ∩DO=O ，AC ⊆面ABCD ，DO ⊆面ABCD ∴D 1O ⊥面ABCD（2）法一：取BC 中点H ，连接HD ，HF ，DF ，易得//,DA E EF F DA =，故四边形EFDA 是平行四边形， //DF AE ∴，又DF ⊄ 平面1,D AE AE ⊂ 平面1D AE ，//DF ∴平面1D AE ，同理11////FH BC D A ， FH ⊄平面 11D AE D A ⊂， 平面1D AE ， //FH ∴平面 1D AE ，且FH DF F ⋂=都在面DFH 内， 故平面//DFH 平面1D AE ，则点P 必在DH 上，且当CP DH ⊥时取得CP 的最小长度，DH CD ==由等面积法得：1122CP DH DC CH ⨯=⨯，解得CP =故CP法二：取1,,DA DC DD 为一组空间基底，则11D A DD DA =-+，112AE DC DD =+， //FP 平面1D AE ，1FP mD A nAE ∴=+，代入整理得12n FP m DD mDA nDC =++（-）， 故1111222n CP FP CF FP DD m DD mDA nDC =+=+=+++（-）， 动点P 在平面ABCD 内，1022n m ∴+=-， 122n m ∴=+，故2||4CP mDA nDC =+=（）当且仅当15n =-时，||CP 法三：由第一问知11,,D O AC D O OD OD AC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则1D （，D ），(0,C，），(B ， 11DD CC =，1(C ∴，(F ， 同理11DD BB =，1(B ∴-，(E ，1(0,D A =，1(D E =， 设平面1D AE 的法向量为(,,)n x y z=，则11000022n DA n D E x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令1x =-，得(1,3,3)n =-， 设点(,,0)Pm n，(FP m n =，0n FP⋅=，即3m n =故||CP m =当且仅当n =||CP。
北京市第一七一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
北京市第一七一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．直线20x -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．5π62．若(1,2)A -- ，(4,8)B ，(5,)C x ，且,,A B C 三点共线，则x = ( ) A ．－2B ．5C ．10D ．123．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,1A -关于y 轴的对称点为B ，则AB =（ ）．A ．B ．C ．D 4．某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A ．400，32B ．400，36C ．480，32D ．480，365．如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则AD u u u r 等于（ ）A ．a b c -++r r rB ．a b c -+-r r rC ．1122a b c -++r r rD ．1122a b c ---r r r6．已知,a R b R ∈∈，则“3a =”是“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若数据1x m +、2x m +、⋯n x m +的平均数是5，方差是4，数据131x +、231x +、⋯、31n x +的平均数是4，标准差是s ，则下列结论正确的是（ ） A ．2m =，36s = B ．2m =，6s = C ．4m =，36s =D ．4m =，6s =8．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，24PB AB BC ===，AB BC ⊥，则点C 到直线PA 的距离为（ ）A ．B ．C D ．49．如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1AB =，2AD =，3AA '=，90BAD o ∠=，60BAA DAA ∠'=∠='o ，则A C '的长为（ ）A ．5 BC D 10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的中点.若点P为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在,x y R ∈使1B P xBE yBF =+u u u r u u u r u u u r成立，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．12B ．1C ．52D ．2π二、填空题11．已知空间向量()()0,1,1,,,2a b x y =-=r r ，若//a b r r ，则实数x =，y =.12．直线l 、m 的方向向量分别为()0,2,2a =r 、()4,4,0b =-r，则直线l 、m 的夹角为．13．已知空间三点(1,1,1),(1,2,2),(2,1,1)A B C ----，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量坐标为.14．已知两点A （1，﹣2），B （2，1），直线l 过点P （0，﹣1）与线段AB 有交点，则直线l 斜率取值范围为 ．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11B C 的中点，动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列三个结论：①存在点P ，使得1PA PE =； ②1PA E △的面积越来越小；③四面体11A PB E 的体积不变. 所有正确的结论的序号是.三、解答题16．（1）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直的直线一般式方程.（2）求过点(10y ++=平行的直线的一般式方程； （3）求过点(2,4)-，且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为2的直线斜率.17．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M 名学生，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： 40,50 ，[)[]50,60,,90,100L ，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值； (2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在 50,60 的平均成绩是54，方差是7，落在 60,70 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，1BD 和1B D 交于点E ，F 为AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 （i ）平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值； （ii ）点A 到平面CEF 的距离. 条件①：1CE B D ⊥；条件②：直线1B D 与平面11BCC B 所成的角为4π. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20．已知底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA DQ ∥，33PA DQ ==，22AD AB ==，且60ABC ∠=︒.(1)求证：平面PAC ⊥平面CDQ ；(2)线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ 若存在，求出PMPC的值；若不存在，说明理由. 21．已知集合{}12{|(,,,),0,1,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥L L ，对于12(,,,)n A a a a =L n S ∈，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义A 与B 的差为1122(,,,)n n A B a b a b a b -=---L ；A 与B之间的距离为1122(,)=+n n d A B a b a b a b --++-L . （1）若(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ； （2）,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；（3）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.。
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
四川省内江市2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题含解析
内江2022-2023学年（上）高25届第一次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.直线x =）A.0B.30C.60D.90【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.【详解】 直线x =∴直线x =90 .故选：D.2.下列说法错误的是（）A.球体是旋转体B.圆柱的母线平行于轴C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C 【解析】【分析】利用球体的定义判断A ；利用圆柱的结构特征判断B ；举例说明判断C ；利用正棱台的定义判断D ．【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B 正确；如图，斜平行六面体1111ABCD A B C D -中，若AD ⊥平面11ABB A，因1AA ⊂平面11ABB A ，则1AD AA ⊥，侧面四边形11ADD A 是矩形，C 不正确；由正棱台的定义知，D 正确.故选：C3.如图，ABC 的斜二测直观图为等腰Rt A B C ''' ，其中2A B ''=，则原ABC 的面积为（）A.2B.4C.22D.42【答案】D 【解析】【分析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为22求解即可.【详解】因为等腰Rt A B C ''' 是一平面图形的直观图，直角边2A B ''=，所以直角三角形的面积是12222⨯⨯=.又因为平面图形与直观图面积比为22:1，所以原平面图形的面积是2222⨯=.故选：D4.若m n ，表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m n αα⊥⊂，，则m n ⊥B.若//,//m n αα，则//m nC.若m αββ⊥⊥，，则//m αD.若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断A 正确；由//,//m n αα可得m 与n 平行、相交或异面，可判断B ；由m αββ⊥⊥，可得//m α或m α⊂，可判断C ；由//m n 时α与β不一定平行可判断D.【详解】对于A ，根据线面垂直的性质可得若m n αα⊥⊂，，则m n ⊥，故A 正确；对于B ，若//,//m n αα，则m 与n 平行、相交或异面，故B 错误；对于C ，若m αββ⊥⊥，，则//m α或m α⊂，故C 正确；对于D ，若//,//,,m n m n ααββ⊂⊂，如果m 与n 相交，则//αβ，若//m n ，则α与β不一定平行，故D 错误.故选：A.5.已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线20mx ny ++=上，其中m ，n 均为正数，则12m n+的最小值为（）A.2 B.4C.8D.6【答案】B 【解析】【分析】先将直线方程变形得到定点A 的坐标，根据点A 在直线20mx ny ++=上确定出,m n 所满足的关系，最后根据“1”的妙用求解出12m n+的最小值.【详解】已知直线210kx y k -+-=整理得：()12y k x +=+，直线恒过定点A ，即()2,1A --.点A 也在直线20mx ny ++=上，所以22m n +=，整理得：12nm +=，由于m ，n均为正数，则12122112422n n m m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,取等号时212n m nm =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，【点睛】方法点睛：已知()1,,,0xa yb x y a b +=>，求(),0m nm n a b+>的最小值的方法：将m n a b +变形为()m n xa yb a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，将其展开可得a b xm yn xn ym b a ++⋅+⋅，然后利用基本不等式可求最小值，即a b xm yn xn ym xm yn xm yn b a ++⋅+⋅≥++=++221xa yb xna ymb +=⎧⎨=⎩.6.正四棱台上、下底面边长分别为2cm ，4cm ，侧棱长2cm ，则棱台的侧面积为（）A.26cmB.224cmC.2D.2【答案】D 【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设2a cm =，4b cm =，2=l cm ，可得正四棱台的斜高为)h cm '===，所以棱台的侧面积为21(44)2(24))2S a b h cm '=+=⨯+=．故选：D ．7.已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为3，锥体体积为6，则该球的表面积为（）A.32πB.16πC.24πD.20π【答案】B 【解析】【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面边长为()0a a >，则2136,3a a ⨯⨯==，底面正方形的对角线长为设球的半径为r ，则()22232r r ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2r =，则球的表面积为24π16πr =.故选：B8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q M 分别是11,,DD AB BB 的中点，则异面直线1A M 与PQ 所成角的余弦值为（）A.5B.10C.6D.3【答案】B 【解析】【分析】连接PC 、QC 、1A P 、MC ，即可得到1//A M PC ，从而得到QPC ∠或其补角为异面直线1A M 与PQ 所成的角，利用余弦定理求出cos QPC ∠，即可得解.【详解】令2AB =，连接PC 、QC 、1A P 、MC ，因为M 、P 为1BB 、1DD 的中点，易知1A P CM =且1//A P CM ，所以四边形1A PCM 为平行四边形，所以1//A M PC ，所以QPC ∠或其补角为异面直线1A M 与PQ 所成的角，在PQC △中，PC ==QC ==PQ =，所以30cos10QPC ∠==，所以异面直线1A M 与PQ 所成角的余弦值为10.故选：B二、多选题（每题5分，共20分）9.已知直线12:210,:(1)10l mx y l x m y ++=+++=，则下列结论正确的是（）A.若12l l ∥，则2m =- B.若12l l ∥，则1m =或2m =-C.若12l l ⊥，则23m =- D.若12l l ⊥，则23m =【答案】AC 【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出1m =或2m =-，经检验，1m =不合要求；再根据两直线垂直列出方程，求出23m =-.【详解】令(1)20m m +-=，解得：1m =或2m =-．当1m =时，1l 与2l 重合；当2m =-时，12l l ∥．A 正确，B 错误．若12l l ⊥，则2(1)0m m ++=，解得23m =-，C 正确，D 错误．故选：AC10.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A.B.(1π+ C.D.(2π+【答案】AB 【解析】【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积2212S rl ππ=⨯=⨯⨯⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π+.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，点M 是AD 上的动点.将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于P ，连接,DF PB .下列说法正确的是（）A.PD EF⊥B.若把EBF △沿着EF 继续折起，B 与P 恰好重合C.无论M 在哪里，PB 不可能与平面EFM 平行D.三棱锥P DEF -的外接球表面积为6π【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，线面垂直得到线线垂直；B 选项，利用边长相等，得到B 与P 恰好重合；C 选项，找到M 点使得PB ∥平面EFM ，D 选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面积.【详解】连接BD ，与EF 相交于G ，连接PG ，因为正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以BE =BF ，△ADE ≌△CDF ，故DE =DF ，所以BD 是EF 的垂直平分线，所以G 是EF 的中点，因为PE =PF ，所以PG ⊥EF ，因为PG BG G = ，所以EF ⊥平面PBG ，因为PD ⊂平面PBG ，所以PD EF ⊥，A 正确；因为BE BF PF PE ===，故把EBF △沿着EF 继续折起，B 与P 恰好重合；B 正确；连接AC 交BD 于点O ，则BO =DO ，因为E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以EF ∥AC ，且BG GO =，当M 位于靠近P 的三等分点时，23MD DG PD DB ==，可得：MG ∥PB ，因为PB ⊄平面MEF ，MG ⊂平面MEF ，可得：PB ∥平面EFM ，故C 错误；由5DE DF =，2EF =2224cos 25255ED DF EF EDF ED DF +-∠==⋅⋅，所以23sin 1cos 5EDF EDF ∠=-∠=，设△DEF 的外接圆半径为R ，由正弦定理得：25223sin 35EF R EDF ===∠，如图，26QD R ==，过点P 作PH ⊥BD 于点H ，则PH ⊥平面DEF ，又因为PE =PF =1，EF 2，所以PE ⊥PF ，且PG =22，设HG =m ，则HD =322m -，由勾股定理得：2222PG HG PD HD -=-，即2222232222m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：26=m ，所以21142189PH =-=，所以23PH =，设球心为I ，则IQ ⊥底面BFDE ，过I 作IN ⊥PH 于点N ，连接ID ，则2522362IN HQ HD QD ==-=-=，设IQ HN h ==，则23PN PH HN h =-=-，设外接球半径为r ，则ID =IP =r ，即22225222632h h ⎛⎫⎛⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：13h =-，所以221526362r ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三棱锥P DEF -的外接球表面积为234π4π6π2r =⨯=，D 选项正确.故选：ABD【点睛】三棱锥外接球题目，要先找到球心在其中一个平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他知识求出这个三角形的外接圆半径，找到顶点在次三角形上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积或体积.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 、F 分别为线段PB 、CD 的中点，G 为线段PC 上的动点（不含端点P ），则下列说法正确的是（）A.对任意点G ，则有B 、E 、G 、F 四点共面B.存在点G ，使得A 、E 、G 、F 四点共面C.对任意点G ，则有AG ⊥平面PBDD.存在点G ，使得//EG 平面PAF 【答案】BD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2PA AB ==，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2PA AB ==，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()002P ,,、()1,0,1E 、()1,2,0F ，设()2,2,2PG PC λλλλ==- ，其中01λ<≤，则()2,2,22AG AP PG λλλ=+=-，()1,0,1AE =uu u r，()1,2,0AF = ，设(),2,AG mAE nAF m n n m =+=+ ，则22222m n n m λλλ+=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得23m n λ===，故存在点G ，使得A 、E 、G 、F 四点共面，B 对；()1,0,1BE =-，()1,2,0BF =- ，()22,2,22BG BP PG λλλ=+=-- ，设(),2,BG aBE bBF a b b a =+=-- ，所以，222222a b b a λλλ--=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得200a b λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，不合乎题意，A 错；()2,2,22AG λλλ=- ，()2,0,2BP =-，若AG ⊥平面PBD ，BP ⊂平面PBD ，则444480AG BP λλλ⋅=-+-=-=，解得12λ=，C 错；设平面PAF 的法向量为(),,n x y z = ，()0,0,2AP = ，()1,2,0AF =，则2020n AP z n AF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ，取2x =，则()2,1,0n =- ，()()()1,0,12,2,221,2,12EG EP PG λλλλλλ=+=-+-=--，若//EG 平面PAF ，则422220EG n λλλ⋅=--=-=，解得1λ=，故当点G 与点C 重合时，//EG 平面PAF ，D 对.故选：BD.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.经过(,2),(3,4)A x B -两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x =__________．【答案】5【解析】【分析】根据直线方向向量即可计算．【详解】由条件可知，4233x--=-，解得5x =．故答案为：5．14.如图所示，平面//α平面β，2PA =，6AB =，12BD =，则AC =__________．【答案】3【解析】【分析】利用平面//α平面β，得到//BD AC ，从而得到线段长的比例，即可得解.【详解】平面PBD AC α= ，平面PBD BDβ= 由平面//α平面β，可得//BDAC 由平面几何知识知，PA PC AC PB PD BD==又2PA =，6AB =，12BD =，所以22+612AC =，解得3AC =故答案为：3【点睛】本题考查了面面平行的性质定理，在运用面面平行的性质定理时，一定要先找到与两平行平面都相交的第三个平面，进而得到两交线平行，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于基础题.15.经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________．【答案】0x y －＝或20x y ＋－＝【解析】【分析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程，将点A(1,1)代入直线方程即可.【详解】（1）当直线的截距不为0时即不经过原点，设直线方程是：1x y a a+=因为直线过点A(1,1)所以111a a+=解得a=2即直线方程是20x y ＋－＝（2）当直线经过原点时方程为：0x y －＝综上所述直线方程为：0x y －＝或20x y ＋－＝【点睛】本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单独计算，以防遗漏.16.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则以下四个值中为定值的编号是_________.①点P 到平面QEF 的距离；②三棱锥P QEF -的体积；③直线PQ 与平面PEF 所成的角；④二面角P EF Q --的大小.【答案】①②④【解析】【分析】由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断①，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断②，利用线面角的概念结合条件可判断③，由题可知两个半平面是确定的可判断④．【详解】①中，∵平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值；②中，∵QEF △的面积是定值（∵EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值），又P 到平面QEF 的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定，∴三棱锥P QEF -的体积是定值；③中，平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，即直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；④中，平面QEF 也就是平面11A B CD ，又 平面PEF 即为平面PCD ，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故答案为：①②④．四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线1l 经过点()2,3B ，倾斜角是45 ，直线2:210l y x -+=．求：（1）直线1l 的一般式方程．（2）直线1l 与直线2l 的交点坐标．【答案】（1）10x y -+=（2）()2,3【解析】【分析】（1）由倾斜角得到直线斜率，先求出直线点斜式方程，再化为一般式方程.（2）两直线方程联立方程组，求交点坐标.【小问1详解】由题意得：直线1l 的斜率1tan451k ==，又直线1l 经过点()2,3B ，所以直线1l 的方程为32y x -=-，化为一般式方程为：10x y -+=；【小问2详解】由题意，两直线联立方程组10210x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与直线2l 的交点坐标为()2,318.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，BC =，AC BC ⊥，D 是线段AB 上的动点.（1）当D 是AB 的中点时，证明：1//AC 平面1B CD ；（2）若CD AB ⊥，证明：平面11ABB A ⊥平面1B CD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由线面垂直的判定定理，证明CD ⊥平面11ABB A ，进而可得面面垂直.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，则E 是1BC 的中点，∵D 是AB 的中点，∴1//DE AC ，又DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1//AC 平面1B CD .（2）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1AA CD ⊥，又CD AB ⊥，1AA AB A = ，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A ，又CD ⊂平面1B CD ，∴平面11ABB A ⊥平面1B CD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于常考题型.19.已知直线l 经过点(2,1)P -，且与直线x ＋y ＝0垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m ，求直线m 的方程.【答案】（1）30x y -+=（2）50x y -+=或10x y -+=.【解析】【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线l 的方程为0x y n -+=，将点(2,1)P -代入即可求解；（2）设直线m 的方程为0x y t -+=，利用点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】设直线l 的方程为0x y n -+=，因为直线l 经过点(2,1)P -，所以210n --+=，解得：3n =，所以直线l 的方程为30x y -+=.【小问2详解】结合（1）设直线m 的方程为0x y t -+=，因为点(2,1)P -到直线m ，由点到直线的距离公式可得：d ==，解得：5t =或1t =，直线m 的方程为：50x y -+=或10x y -+=.故答案为：50x y -+=或10x y -+=.20.长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC AA ==．（1）求证：平面11AB D ∥平面1BC D ；（2）求点C 到平面1BC D 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）43.【解析】【分析】（1）先证明1BC ∥平面11AB D ，BD ∥平面11AB D ，进而通过面面平行的判定定理证明问题；（2）利用“等体积法”即可求得答案.【小问1详解】因为11AB D C ∥，11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11AD BC ∥．因为1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ．连接11B D ，因为11BB DD ∥，11=BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ．又因为BD ⊂平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，1BD BC B = ，所以平面1BC D ∥平面11AB D .【小问2详解】因为1CC ⊥平面BCD ，4AB =，12BC CC ==，15BD C D ==，所以1118224323C BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，又112262BC D S =⨯=△，因为11C BCD C BC D V V --=，所以C 到平面1BC D 的距离118334363C BCDBC D V d S -⨯===△，即C 到平面1BC D 的距离为43．21.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B的一动点．（1）证明：PBC 是直角三角形；（2）若PA AB ==，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由圆的性质可得BC AC ⊥，再由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，然后由面面垂直的判定可得BC ⊥平面PAC ，从而可得BC PC ⊥，进而可证得结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，可证得ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，在Rt ABH △中求解即可.【小问1详解】证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的一动点，∴BC AC ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴BC PC ⊥，∴PBC 是直角三角形．【小问2详解】解：过A 作AH PC ⊥于H ，∵BC ⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，∴AH ⊥平面PBC ，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，在Rt PAC △中，2263AH AC PA AC ==+，在Rt ABH △中，633sin 32AC AH ABH AB AC∠===，故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33．22.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE V 折起，使得点A 到点P 的位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）．（1）证明：平面EMN ⊥平面PBC ；（2）是否存在点N ，使得二面角B EN M --5N 点位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在，N 为BC 的中点，【解析】【分析】（1）由已知可得PE ⊥平面EBCD ，则PE BC ⊥，则有BC ⊥平面PEB ，所以BC EM ⊥，而EM PB ⊥，所以EM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，可证得MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，则由Rt EBN ∽Rt ERQ △，可得RQ =tan MQ MRQ RQ x∠===可求出x 的值，从而可确定出点N 的位置【小问1详解】证明：因为,,PE ED PE EB EB ED E ⊥⊥= ，所以PE ⊥平面EBCD ，因为BC ⊂平面EBCD ，所以PE BC ⊥，因为,BC EB E E B P E ⊥= ，所以BC ⊥平面PEB ，因为EM ⊂平面PEB ，所以BC EM ⊥，因为,PE EB PM MB ==，所以EM PB ⊥,因为BC PB B = ，所以EM ⊥平面PBC ，因为EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC ，【小问2详解】假设存在点N 满足题意，如图，过M 作MQ EB ⊥于Q ，因为PE EB ⊥，所以PE ∥MQ ，由（1）知PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，因为EN ⊂平面EBCD ，所以MQ EN ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，因为MQ QR Q ⋂=，所以EN ⊥平面MQR ，因为MR ⊂平面MQR ，所以EN MR ⊥，所以MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN 中，设(02)BN x x =<<，因为Rt EBN ∽Rt ERQ △，所以BN EN RQ EQ=，所以1x RQ =，得RQ =所以tan MQ MRQ RQx∠===，解得1(0,2)x =∈，即此时N 为BC 的中点，综上，存在点N ，使得二面角B EN M --N 为BC 的中点，【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过M 作MQ EB ⊥于Q ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，结合已知条件证明出MRQ ∠为二面角B EN M --的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题。
高二月考数学试卷及答案
高二年级第一次月考数学试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，总分150分，考试时间为120分钟。
2．第Ⅰ卷为单项选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分。
请将答案答在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题 (共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是 BA ．∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0B ．∃x 0>0，使得x 02－x 0>0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >02．一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们的课外兴趣爱好，要求每班编号是40号的学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是 DA ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法3. 设x 是实数，则“x >0”是“|x |>0”的 AA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.有下列几种说法：①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．其中正确的个数为 DA ．1B ．2C ．3D ．45. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是CA.至少有1个红球和全是白球B.至少有1个白球和全是白球C.恰有1个白球和恰有两个白球D.至少有1个白球和全是红球6．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是DA.81B. 83C. 85D. 87 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 CA ．14B ．20C ．30D ．558根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 BA ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元9. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 DA ．2B ．3C ．5D ．710. 动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为D Ａ．221916x y -=Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤ 11.双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为 AA ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 12. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为 D A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a 2， 所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13， 即k 1·k 2的值为－13. 答案 D第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为 . 1314．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．a ≤－2或a ≥115．椭圆2214x y +=的弦AB 的中点为1(1,)2P ，则弦AB 所在直线的方程是 ． 220x y +-=16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．27－5解 直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b＝1，二者联立，得 T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上， ∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1， c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5.三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）(1)已知x,y (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？( ∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3, b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2)解: (1)计算得：x ＝4，y ＝5，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， 于是：a ^＝y －b ^ x ＝5－1.23×4＝0.08，即得线性回归方程y ^＝1.23x ＋0.08.8分(2)把x ＝10代入线性回归方程y ^＝1.23x ＋0.08得y ＝12.38，因此，估计使用10年维修费用是12.38万元．……………………………………………………………12分18. (本小题满分12分) 已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，如果p ∨q 真,p ∧q 假，求实数m 的取值范围．解: 若p 真，则有9－m >2m >0，即0<m <3.若q 真e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m <5. ∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假.①若p 真、q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52； ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5，即3≤m <5. 故所求范围为：0<m ≤52或3≤m <5. 19. (本小题满分12分) 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：不能互相输血，小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A ′、B ′、C ′、D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B 、O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′.根据互斥事件的加法公式，有P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A 、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.∴任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.20. (本小题满分12分) 一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解:(1)设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得，50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000. z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. ……………………………………4分(2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001 000＝m 5，解得m ＝2，也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S 1，S 2，B 1，B 2，B 3，则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，S 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2).所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710.…………………………8分 (3)样本的平均数为x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数，总的个数为8.所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为68＝0.75. …………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>的一个顶点为A （2,0），离心率为2，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积为3时，求k 的值. 【答案】22142x y += 1k =± 22．（本小题满分12分）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点. （1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b+=1得b 2=3，于是c 2=1. 所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111y y x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222b n a m -=1. 又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx n y k m x n y k PN PM ++=--=,， 得k PM ·k PN =2222mx n y m x n y m x n y --=++⋅--， 将22222222,a b n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22a b .。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．已知()3,1A ，()1,2B -，()1,1C ，则过点C 且与线段AB 平行的直线方程为（ ）A ．3250x y +-=B ．3210x y --=C ．2310x y -+=D ．2350x y +-=2.（5分）2． “方程x 2+y 2-4y+k=0表示一个圆”是“0<k<4”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.（5分）3．若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-4.（5分）4．袋中有a 个白球b 个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ）A ．a a b +B ．b a b +C ．a bD ．b a5.（5分）5．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为（ ）”.A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数6.（5分）6．已知圆22:42150C x y x y +---=上有两个不同的点到直线():76l y k x =-+则k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11(,2),(2,)22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.（5分）7．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6, 8.（5分）8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （ ）A ．不存在B ．有2条C ．有4条D ．有无数条二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．下列命题中假命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使()a b R λλ=∈B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则ππ3θ<≤ C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥D ．已知1e 与2e 是互相垂直的单位向量，若向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是0k >. 10.（5分）10．直线2326023180x y x m y ++=-+=，和23120mx y -+=围成直角三角形，则m 的值可为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．49- 11.（5分）12．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有28AP AB λ-≥，则下列一定正确的是（ ） A ．4PA ≥ B ．10PA PB +≥ C ．9PA PB ⋅-≥ D ．90APB ∠≥︒三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1613.（5分）13．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为___________.14.（5分）14.假设()0.7,()0.8,P A P B ==且A 与B 相互独立，则()P A B ⋃=___________.15.（5分）15．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2AC =，2BE EA =，AD 与CE 的交点为O ．若2AO BC ⋅=-，则AB 的长为______．16.（5分）16．在平面直角坐标系中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为_______.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知复数z 满足234i z =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （1）求复数z ；（2）求20211()1z z++的值. 18.（12分）18.已知ABC 的面积为212sin b B ，cos cos 13A C =-. （1）求B 的大小；（2）若6b =，求该三角形内切圆半径r .19.（12分）19．已知圆()()22:1216C x y ++-=，直线()():211710l m x m y m ++--+=，m R ∈.（1）证明：不论m 取任何实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线l 的方程. 20.（12分）20．在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组A ，小组B 代表两个打分组）小组A ：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5小组B ：甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A 与小组B 那个更专业？（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）21.（12分）21．已知圆M 过A ，(10,4)B ，且圆心M 在直线y x =上. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,4)-的直线m 截圆M 所得弦长为m 的方程；（3）过直线l: x+y+4=0上任意一点P 向圆M 作两条切线，切点分别为C ，D.记线段CD的中点为Q ，求点Q 到直线l 的距离的取值范围.22.（12分）22．在三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AB AA ⊥⊥12π,3A AC ∠=点M 为棱1CC 的中点，点T 是线段BM 上的一动点，12 2.AA AC AB ===（1）证明：1CC BM ⊥；（2）求平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值；（3）设直线AT 与平面11B BCC 、平面11A ABB 、平面ABC 所成角分别为123,,.θθθ求123sin sin sin θθθ++的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1.B2.（5分） 2．B3.（5分） 3．A4.（5分） 4．A5.（5分）5．A6.（5分）6.【答案】C 【详解】由圆22:(2)(1)20,C x y -+-=():76l y k x =-+过定点()7,6,C R ∴=C 上有两个不同点到l即~∈C l d，<k 的取值范围为()()11,2,2,22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭故选：C. 7.（5分）7．Dcos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈， (0,)2C π∈，3C π∴=． 由正弦定理知，sin sin B b A a =， 由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=， cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=，∴22211223b c a b bc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=+=+， (6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(6，．8.（5分）8．C 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接1,A D BD ，如图，则有11//BD B D ，显然11A B A D BD ==，即直线BA 1和B 1D 1所成角160∠=A BD ， 过点C 做直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70可以转化为过点B 做直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均为70，A BD '∠的平分线AO 与直线BA 1和BD 都成30的角，让l '绕着点B 从AO 开始在过直线AO 并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从30到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70，又A BD '∠的邻补角大小为120，其角平分线与直线BA 1和BD 都成60的角， 当直线l '绕着点B 从A BD '∠的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从60到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70， 综上得，这样的直线l '有4条，所以过点C 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70的直线l 有4条.二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．ACD10.（5分） 10．ACD 由题意，若3260x y ++=和223180x m y -+=垂直可得： ()232230m ⨯+⨯-=，解得1m =±，经验证当1m =时，后面两条直线平行，构不成三角形，故1m =-；同理，若3260x y ++=和23120mx y -+=垂直可得：660m -=，解得1m =，应舍去；若223180x m y -+=和23120mx y -+=垂直可得：2490m m +=，解得0m =或49m =-，经验证均符合题意，故m 的值为：0，1-，49-． 11.（5分）12．AC 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,)AP x y =+，(10,0)AB =，2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，由28AP AB λ-≥得22(21010)464x y λ+-+≥，22(55)16x y λ+-+≥，对任意λ，22(55)16x y λ+-+≥恒成立，则216y ≥，即4y ≤-或4y ≥，此时min 4AP =（当5,4x y =-=±时取得），A 正确；若(0,4)P ，则(0,8)PA PB +=，8PA PB +=，B 错；22(5,)(5,)25025169PA PB x y x y x y ⋅=+⋅-=-+≥-+=-（20,4x y ==时等号成立），C正确；例如P 点坐标是(5,4)-时， 90PAB ∠=︒，APB ∠90<︒，D 错，故选：AC ．三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．AC设平行六面体的体积为24V =如左图，当取顶点1,,,A A B D 时，则该四面体体积11124466V V ==⨯=； 如右图，当取顶点11,,,A B C D 时，则该四面体体积21424448V V V =-=-⨯=.13.（5分）13．814.（5分） 14. 0.9415.（5分）15． ∵D 是BC 的中点，2BE EA =， ∵23BE BA =，2BC BD =． ∵E ，O ，C 三点共线，设()()21213BO BE BC BA BD λλλλ=+-=+-，且A ，O ，D三点共线， ∵()22113λλ+-=，解得34λ=， ∵1124BO BA BC =+． ∵()111244AO AB BO AB BA BC AB AC =+=++=+， ∵()()()()22211142444AO BC AB AC AC AB AC AB AB ⋅=+⋅-=-=-=-，∵212AB =，23AB =16.（5分）16．3 过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去）， 所以点P 的横坐标的为3.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）2i z =--；（2）i .（1）设i z a b =+，,0a b <， 则2222i 34i z a b ab =-+=+，22,0232i 124a b a a b z b ab <⎧=-⎧⎪∴-=⇒⇒=--⎨⎨=-⎩⎪=⎩； （2）202120212021202111i 1i i i 1i 1i 1z z +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.（12分）18.【详解】（1）21sin 212sin ABC b S ac B B ==， 由正弦定理得：21sin sin sin sin 212sin B A C B B=，又sin 0B ≠，1sin sin 6A C ∴=， ()111cos cos cos cos sin sin 362B A C A C A C ∴=-+=-+=+=，又()0,B π∈，3B π∴=；（2）3612sin 3ABC S π===1sin 2ac B ∴==，解得：8ac =；由余弦定理得：()()222222cos 22cos 24363b a c ac B a c ac ac a c π=+-=+--=+-=，a c ∴+=6a b c ∴++=+()(132ABC S a b c r r =++⋅==r ∴= 19.（12分）19.【详解】（1）证明：因为()():211710l m x m y m ++--+=，所以()()2710m x y x y +-+-+=，因为m R ∈，所以2702103x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩故直线l 过定点()2,3A .因为圆C 的圆心为()1,2C -，4r =，4AC ，则点A 在圆内.所以直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由（1）知直线l 过定点()2,3A ，所以当直线l 被圆C 截得的弦长最短时有l AC ⊥， 弦心距d ====因为321213AC k -==+，所以13k =-，故直线l 的方程为390x y +-=. 20.（12分）20．（1）小组A 更专业；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，两位选手排名有变化，我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理 （1）小组A 的打分中，甲的均值： 17.57.57.87.8888.28.38.49.5108.1X +++++++++== 甲的方差： 210.360.360.090.090.010.010.010.040.09 1.96100.302s +++++++++== 乙的均值： 277.87.87.8888.38.38.58.5108X +++++++++== 乙的方差： 2210.040.040.040.090.090.250.25100.18s +++++++== 小组B 的打分中，甲的均值： 37.47.57.57.6888.28.999108.11X +++++++++==甲的方差： 2222222222230.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3749s +++++++++== 乙的均值： 4 6.97.57.67.87.8888.599108.01X +++++++++== 乙的方差： 2222222222240.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3949s +++++++++== 由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B 的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业（2）由（1）可得：小组A 为专业评委，所以： 选手甲的平均分18.1X = 选手乙的平均分28X =（3）由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为： 7.57.87.8888.28.38.488X +++++++==甲 7.87.87.8888.38.38.588.06X +++++++=≈乙 去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排名不同。
高二上学期第一次月考数学试题(答案)
高二数学上第一次月考试题一、选择题1.已知两点()()1,3,3,3--BA ，则直线AB 的斜率是( )A ．3B ．3-C ．33D ．33- 2.下列说法中正确的是( )A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一直线的两个平面平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面平行3.用一个平面去截一个正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直），截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为 （ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是( )A ．B ． C. D ．5.圆锥的底面半径为a ，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是 （ ） A ．22a π B ．24a π C. 2a π D ．23a π 6.为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin πx y 的图像，只需把函数x y 2sin =的图像（ ） A ．向左平移125π个单位长度 B ．向右平移125π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 1 2 4 5 销售额y （万元）10263549根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆb 约等于9，据此模型预测广告费用为8万元时，销售额约为（ ）A ．55万元B ．57万元 C. 66万元 D ．75万元8.棱锥的中截面（过棱锥高的中点且与高垂直的截面）将棱锥的侧面分成两部分，这两部分的面积的比为（ ）A ． 4:1B ． 3:1 C. 2:1 D ．1:1 9.若过定点()3,0-P 的直线l 与直线232+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,6ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,6ππ C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ10.执行如图所示程序框图，若输出x 值为47，则实数a 等于（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．511.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-011405201y x y x y x ，则y x z +=的最大值是（ ）A ．6B ．7 C. 8 D ．912.在体积为15的斜三棱柱111C B A ABC -中，P 是C C 1上的一点，ABC P -的体积为3，则三棱锥111C B A P -的体积为（ ）A ．1B ．23C. 2 D ．3 二、填空题13.如图，点F E ,分别为正方体的面11A ADD ，面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）14.设向量()()1,2,,1a b m =-=，如果向量2a b +与2a b -平行，则a b ⋅= ．15.某几何体的三视图如下图（单位：cm ）则该几何体的表面积是 2cm ．16.定义在()5,2+-b b 上的奇函数()x f 是减函数，且满足()()01<++a f a f ，则实数a 取值范围是三、解答题17. 已知在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且.2,2cos cos =+-=c a bca B C （1）求角B ；（2）当边长b 取得最小值时，求ABC ∆的面积；18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1） //PA 平面BDE ； （2）平面⊥PAC 平面BDE ；19.如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，PBC ∆是边长为a 的正三角形，M BAC ACB ,30,9000=∠=∠是BC 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点M 到平面PCA 的距离.20.如图，已知⊥PA 平面ABCD ，ABCD 为矩形，N M ,分别为PC AB ,的中点.（1）求证：AB MN ⊥；（2）若045=∠PDA ，求证：平面⊥MND 平面PDC .21.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和205=S ，且731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，且存在*∈N n ，使得01≥-+n n a T λ成立，求实数λ的取值范围.22.在棱长为2正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F 是棱AD 上的一点,E 是棱1CC 的中点.（1）如图1，若F 是棱AD 的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值； （2）如图2，若延长EO 与F D 1的延长线相交于点G ，求线段G D 1的长度.试卷答案一、选择题1-5: DBCAA 6-10: DDBBD 11、12：DC二、填空题13.②③ 14.25 15.1413+⎪⎭⎫ ⎝⎛-9,21 三、解答题17.解：（1） 因为b c a B C -=2cos cos ，所以.sin sin sin 2cos cos BC A B C -= 所以()B C A B C cos sin sin 2sin cos -=, 所以()B A C B cos sin 2sin =+, 所以.cos sin 2sin B A A = 在ABC ∆中，0sin ≠A ， 故21cos =B ，又因为()π,0∈B ，所以.3π=B （2）由（1）求解，得3π=B ,所以222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 又2=+c a ，所以()ac ac c a b 34322-=-+=，又因为22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c a ac ，所以1≤ac ，所以12≥b ，又因为0>b ，故b 的最小值为1，此时.4360sin 11210=⨯⨯⨯=∆ABC S18.证：（1） 连接EO , 在PAC ∆中O 是AC 的中点，E 是PC 的中点 .//AP OE ∴又⊂OE 平面⊄PA BDE ,平面BDE ,//PA ∴平面BDE ,（2）⊥PO 底面ABCD ,.BD PO ⊥∴又BD AC ⊥ ，且O PO AC = ,⊥∴BD 平面.PAC而⊂BD 平面BDE ，∴平面⊥PAC 平面.BDE19.解：（1） PBC ∆ 是边长为a 的正三角形，M 是BC 的中点.BC PM ⊥∴又 平面⊥PBC 平面ABC ，且平面 PBC 平面BC ABC =,⊥∴PM 平面ABC ,⊂AC 平面ABC , .AC PM ⊥∴090=∠ACB ，即BC AC ⊥,又M BC PM = ,⊥∴AC 平面PBC ,⊂PB 平面PBC , PB AC ⊥∴（2）PAC M ACM P V V --=，得a h 43=，即为点M 到平面PAC 的距离. 20.证明：（1） 设E 为PD 的中点，连接AE EN ,,N M , 分别为PC AB ,的中点,DC EN //∴且DC AM DC EN //,21=，且AM EN DC AM //,21∴=且AM EN =, ∴四边形AMNE 为平行四边形，AE MN //∴,⊥PA 平面PA AB ABCD ⊥∴,,又⊥∴⊥AB AD AB , 平面PAD ,又⊂AE 平面.,AE AB PAD ⊥∴.,//AB MN AE MN ⊥∴（2）AD PA PDA =∴=∠,450，则.PD AE ⊥又⊥AB 平面⊥∴CD CD AB PAD ,//,平面PAD .AE CD ⊥∴ 又⊥∴=AE D PD CD , 平面PDC ，⊥∴MN AE MN ,// 平面.PDC又⊂MN 平面∴,MND 平面⊥MND 平面.PDC 21.解：（1） 设数列{}n a 的公差为d ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯+d a a d a d a 6220245511211，即⎩⎨⎧==+d a d d a 121242， 又因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==121d a ， 所以.1+=n a n （2）因为()(),211121111+-+=++=+n n n n a a n n所以()222121211141313121+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n , 因为存在*∈N n ，使得01≥--n n a T λ成立，所以存在*∈N n ，使得()()0222≥+-+n n nλ成立，即存在*∈N n ，使()222+≤n nλ成立， 又()1614421,4421222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n n n n n n ，（当且仅当2=n 时取等号） 所以.161≤λ 即实数λ的取值范围是.161,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-22.解：（1） 如图，连接OF ，取11D C 的中点M ，连接.,ME OMM F O ,, 分别为11,,D C AD AC 的中点，CD M D CD OF //,//1∴,且.21,211CD M D CD OF ==M D OF 1//∴且,1M D OF = ∴四边形M OFD 1为平行四边形，.//1OM F D ∴MOE ∠∴为异面直线1FD 与OE 所成的角，在MOE ∆中，易求.,3,2,5222OE ME OM OE ME OM +=∴===.OE ME ⊥∴ .51553cos ==∠∴MOE（2）∈G 平面F D 1，且F D 1在平面11A ADD 内，∈∴G 平面,11A ADD同理∈G 平面11A ACC ，又 平面 11A ADD 平面A A A ACC 111=,∴由公理2知1AA G ∈（如图）CE G A //1 ，且O 为AC 的中点,1==∴CE AG ,。
天津市2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题含解析
2023-2024天津市高二年级第一学期第一次阶段性检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9个小题，每题5分，共45分.）1.直线0x +-=的倾斜角为()A.6πB.4π C.23π D.56π【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】0x +-=可化为：83y x =-+，∴直线的斜率为3-，设直线的倾斜角α，则tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2.3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a 的值，从而判断结论.【详解】因为直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直，所以()()()11230a a a a -+-+=，解得1a =或3a =-，所以3a =-是直线()1:130l ax a y +--=与直线()()2:12320l a x a y -++-=互相垂直的充分不必要条件.故选：A .3.设x ，y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===- ，且,a c b c ⊥ ∥，则|2|a b +=（）A.B. C.3D.【答案】B 【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x ，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥ ∥，∴2420124a c x y⋅=-+=⎧⎪⎨=⎪-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴2(21,2,3)(3,0,3)a b x y +=++=，∴|2|a b +==B 正确.故选：B ．4.圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】D 【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线．【详解】2240x x y -+=⇒222(2)2x y -+=圆心坐标为（2，0）半径为2；22430x y x +++=⇒222(2)1x y ++=圆心坐标为(2,0)-，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．5.已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A.()22114x y -+=B.()22112x y -+=C.()22112x y ++=D.()22114x y ++=【答案】A 【解析】【分析】设出线段MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出M 的坐标，根据M 在圆上，得到轨迹方程．【详解】设线段MN 中点(,)P x y ，则(22,2)M x y -．M 在圆22:1C x y +=上运动，22(22)(2)1x y ∴-+=，即221(1)4x y -+=．故选：A ．【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．6.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C所成角的余弦值是A.32B.12C.14D.0【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ，向量)12A B =-,()12B C =-，11cos ,A B B C <> 1111A B B C A B B C ⋅=⨯=14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则m 的值为（）A.3-B.1- C.3D.3或1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与x ,y 轴交点的坐标，进而可得1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，解可得m 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆223x y +=与圆223330x y x y m +-+-=，即2222303330x y x y x y m ⎧+-=⎨+-+-=⎩，两式相减可得：10x y m -+-=，即两圆的公共弦所在的直线的方程为10x y m -+-=，该直线与x 轴的交点为(1,0)m -，与y 轴的交点为(0,1)m -，若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有1|1||1|22m m ⨯-⨯-=，变形可得：2(1)4m -=，解可得：3m =或1-；故选：D8.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A.2B. C.6D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长6AB ==，选C.考点：切线长9.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）10.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于______________．【答案】【解析】【分析】利用圆的弦长公式，结合点线距离公式即可得解.【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，它到直线3450x y +-=的距离1d ==，所以弦AB的长AB ==故答案为：11.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则yx的最大值为_____________.【解析】【分析】当直线y kx =与圆相切时，k 取得最值，利用切线的性质求出k ；【详解】解：设圆22:410C x y x +-+=，即22(2)3x y -+=．设yk x=，则当直线y kx =与圆C 相切时，直线斜率最大或最小，即k 最大或最小．如图所示：设直线y kx =与圆C 切于第一象限内的点A，则AC =2OC =，1OA ∴=，tan ACk AOC OA∴=∠==，由图象的对称性可知当y kx =与圆C相切于第四象限内时，k =∴yx．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．12.直线12:310,:2(1)10l ax y l x a y ++=+++=，若12//l l ，则a 的值为______；此时1l 与2l 的距离是______.【答案】①.3-②.12【解析】【分析】由直线平行的判定列方程求参数a ，注意验证排除重合的情况，再根据平行线距离公式求距离.【详解】由12//l l ，则(+1)=6a a ，即2+6=(+3)(2)=0a a a a --，可得3a =-或=2a ，当3a =-时，12:3+3+1=0,:22+1=0l x y l x y --，符合题设；当=2a 时，12:2+3+1=0,:2+3+1=0l x y l x y 为同一条直线，不合题设；综上，3a =-，此时1211:=0,:+=032l x y l x y ---，所以1l 与2l 的距离11|+|2312d .故答案为：3-，1213.如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．【答案】【分析】利用向量数量积求得向量AM的模，即可求得线段AM 的长【详解】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则AM ==即线段AM14.已知()0,3A ，点P 在直线30x y ++=，圆C ：22420x y x y +--=，则PA PC +最小值是______.【答案】【解析】【分析】求出点A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标，可得PA PC +的最小值BC .【详解】因为22:420C x y x y +--=可转化为：22(2)(1)5x y -+-=，则圆心为()2,1C ，半径为r =.设A 关于直线30x y ++=的对称点B 的坐标为(),a b ，则：3302231a b b a +⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，即()6,3B --，所以+=+PA PC PB PC 的最小值是==BC故答案为：15.若直线220kx y k ++-=与曲线1x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是【答案】[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】1x +=，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，作出直线220kx y k ++-=与半圆，利用数形结合即得．【详解】方程220kx y k ++-=是恒过定点(2,2)P -，斜率为k -的直线，1x +=，即22(1)(1)4(1)x y x -+-=≥，表示圆心为()1,1C ，半径2r =，在直线1x =及右侧的半圆，半圆弧端点(1,1),(1,3),A B -在同一坐标系内作出直线220kx y k ++-=与半圆22:(1)(1)4(1C x u x -+-=≥)，如图，当直线220kx y k ++-=与半圆C2=，且0k ->，解得2613k -=+，又5PB k =-，所以13k ->+或5k -≤-，所以13k <--或5k ≥．故答案为：[),15,3⎛⎫-∞--⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题.（本大题共5小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角,,A B C 2sin a C =．（1）求A ；（2）若a =2b =，求c ；（3）若2cos 3B =，求()cos 2B A +的值．【答案】（1）π3（2）3（3）141518+-【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得π3A =；（2）利用余弦定理解方程可得3c =；（3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出()1cos 218B A ++=-.【小问1详解】由于π02C <<，所以sin 0C ≠，2sin a C =2sin sin C A C =，所以sin 2A =，且三角形ABC 为锐角三角形，即π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以π3A =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理知2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），故3c =.【小问3详解】由2cos 3B =，可得sin 3B =，所以22451cos 2cos sin 999B B B =-=-=-，2sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=()114531415cos 2cos 2cos sin 2sin 929218B A B A B A ++=-=-⨯-⨯=-，即()1cos 218B A ++=-17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，111112A A A B AC ===，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）求点1B 到平面ABD 的距离；（3）求点C 到直线1B D 的距离.【答案】（1）见解析（2）5（3）7【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直；（2）利用向量法求由点到面的距离公式求解；（3）利用向量中点到直线的距离公式求解.【小问1详解】以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()10,2,2C ，()0,3,1D ，()12,0,2BB =- ，()12,0,2AB =u u u u r ，11440BB AB ⋅=-+= ，10BB AC ⋅= ，∴11BB AB ⊥，1BB AC ⊥，又∴1AB AC A = ，1AB ，AC ⊂平面1AB C ，∴1BB ⊥平面1AB C【小问2详解】设平面ABD 的法向量(),,m x y z = ，取()4,0,0AB = ，()0,3,1AD = 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即4030x y z =⎧⎨+=⎩，故03x z y =⎧⎨=-⎩令1y =，解得0x =，3z =-故平面ABD 的一个法向量()0,1,3m =- ，点1B 到平面ABD的距离15m d AB m⋅=== .【小问3详解】()12,3,1B D =-- ，()0,1,1CD =- ，∴11CD B D B D⋅== ∴点C 到直线1B D距离7d ===.18.求满足下列条件的直线方程.(1)过点()2,4M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)已知()3,3A -，()1,1B ，两直线1:240l x y -+=，2:4350l x y ++=交点为P ，求过点P 且与,A B 距离相等的直线方程；(3)经过点()2,1M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程.【答案】（1）20x y -=或60x y +-=；（2）20x y +=或30x y -+=；（3）4350x y --=或2x =..【解析】【分析】（1）根据题意，分直线l 过原点和直线l 不过原点时，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解；（2）联立方程组求得()2,1P -，分直线l 过点P 且与AB 平行和直线l 过点P 和AB 中点N ，求得直线l 的斜率，结合点斜式方程，即可求解；（3）根据题意，求得圆心()3,4O ，半径1r =，分切线斜率存在和切线斜率不存在，两种情况讨论，求得切线的方程，即可得到答案.【详解】解：（1）当直线l 过原点时，可得所求直线为2y x =，即20x y -=，满足题意；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，其中0a ≠，代入()2,4M ，可得241a a+=，解得6a =，所以所求直线l 的方程为166x y +=，即60x y +-=，综上可得，直线l 的方程为20x y -=或60x y +-=.（2）由题意，联立方程组2404350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，所以()2,1P -，当直线l 过点P 且与AB 平行，可得2142AB k ==--，即直线l 的斜率12l k =-，所以直线l 的方程()1122y x -=-+，即20x y +=；当直线l 过点P 和AB 中点N ，因为()3,3A -，()1,1B ，可得()1,2N -，则111PN k ==，所以直线l 的方程12y x -=+，即30x y -+=，综上，满足条件直线方程为20x y +=或30x y -+=.（3）将圆的方程，化为()()22341x y -+-=，可得圆心()3,4O ，半径1r =，将点()2,1M 代入，可得()()2223141-+->，所以点M 在圆外，①当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，1==，解得43k =，所以所求直线的方程为481033x y --+=，即4350x y --=；②当切线斜率不存在时，此时过点()2,1M 的直线方程为2x =，此时满足圆心到直线2x =的距离等于圆的半径，即直线2x =与圆相切，符合题意，综上可得，所求切线为4350x y --=或2x =.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ∕∕平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为4，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）53131（3）存在，2BP =【解析】【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，证明DA 、DG 、DE 两两垂直，建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；（2）利用向量法即可求出二面角的余弦值；（3）假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，利用向量法根据线面角求出λ，从而可得出答案.【小问1详解】证明：取BC 中点G ，连接DG ，因为112BG BC AD ===，又因为//AD BC ，所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG AB ∕∕，又因为AB AD ⊥，所以DA DG ⊥，因为四边形EDCF 为矩形，所以ED CD ⊥，又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，所以ED ⊥平面ABCD ，又,DA DG ∈平面ABCD ，所以ED DA ⊥，ED DG ⊥，于是DA 、DG 、DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()((1,0,0,1,2,0,,1,2,A B E F -，则(0AB = ，2，0)，(1AE =- ，0，(1DF =- ，2，设平面ABE 的法向量为(m x =，y ，)z，200AB m y AE m x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，m = ，0，1)，因为0DF m ⋅== ，所以DF m ⊥ ，又因为DF ⊂平面ABE ，所以DF ∕∕平面ABE ；【小问2详解】解：(1BE =- ，2-，(2BF =- ，0，设平面BEF 的法向量为(n a =，b ，)c，2020BE n a b BF n a ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取n =，4)，cos ,31m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131；【小问3详解】假设存在，设(),01DP DF λλ=≤≤，则(),2DP DF λλλ==- ，()1,2,0BD =--所以()1,2BP BD DF λλ=+=--- ，因为直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，所以cos ,4BP m BP m BP m ⋅=== ，解得12λ=或14，当12λ=时，33,1,22BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，当14λ=时，533,,424BP ⎛=-- ⎝⎭，2BP =，所以存在点P ，使得直线BP 与平面ABE所成角的正弦值为4，2BP =.20.已知圆M与直线340x -+=相切于点(，圆心M 在x 轴上．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线()()():21174l m x m y m m +++=+∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度；（3）过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 分别与直线=8x 相交于C ，D 两点，记OAB △，OCD 的面积为1S ，2S ，求12S S 的最大值．【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）（3）12S S 的最大值为14【解析】【分析】（1）设圆的方程为222()x a y r -+=，再由直线340x +=与圆相切于点，可得关于a 与r 的方程组，求得a 与r 的值，则圆M 的方程可求；（2）直线(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈恒过定点(3,1)，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点(3,1)为中点时，弦长最短；（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的方程为=y kx ，与圆的方程联立求得A 的坐标，同理求得B 的坐标，进一步求出C 与D 的坐标，写出12S S ，利用基本不等式求最值．【小问1详解】解：由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=，由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=11a r a⎧-⎪⎨-⎪-⎩，解得=4a ，4r =，∴圆的方程为22(4)16x y -+=；【小问2详解】解：由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈有：(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即=3=1x y ⎧⎨⎩即直线l 恒过定点(3,1)；又22(34)1216-+=<，即点(3,1)在圆C 内部；圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP ===【小问3详解】解：由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11k k k ++，又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k k k k-++由题可知：8(8,8),(8,C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，又 228||11||81A C x OA k OC x k+===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴2142222221112141222S k S k k k k k k==++++⋅+ ．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
浙江杭州学军中学2024年高二下学期6月月考数学试题(解析版)
2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）1.已知集合一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分(){}{}2ln 1,11M y y x N x x ==−=−<<，则（）A.M N =B.[]1,0M N ∩=−C.()1,0M N =− D.()()1,RM N =−+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得()22110ln 10x x≥−>⇒−≤，即(],0M =−∞，所以M N ≠，(]1,0M N ∩=−，()()R 1,M N ∞∪=−+ ，即A 、B 、C 三选项错误，D 正确.故选：D2.已知角α的终边上一点()4,3A ，且()tan 2αβ+=，则()tan 3πβ−=（ ）A.12B.12−C.52D.52−【答案】B 【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan α，代入()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−求出tan β，继而求出()tan 3πβ−的值.【详解】 角α的终边上一点()4,3A ∴3tan 4α=()3tan tan tan 4tan 231tan tan 1tan 4βαβαβαββ+++===−−，解得1tan 2β=.∴()1tan 3tan 2πββ−=−=−.故选：B.3. 函数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为（ ） A. (),1∞−− B. ()1,∞−+ C. ()1,1− D. ()1,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令2230x x −−+>得31x −<<， 故()2ln 23y x x =−−+的定义域为()3,1−，ln y t =在()0,t ∞∈+上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出223t x x =−−+在()3,1−上的单调递减区间，()222314t x x x =−−+=−++在()1,1−上单调递减，故数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为()1,1−.故选：C4. 下列图像中，不可能成为函数()3mx x x=−的图像的是（ ）．A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为()3m f x x x =−，{}|0x x ≠，所以()223mf x x x′=+ 当0m =时()30mf x x x=−=，{}|0x x ≠无解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，D 选项符合此种情况.当0m >时()430m x m f x x x x−=−==有两个解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，B 选项符合此种情况.当0m <时()43m x mf x x x x−=−=当0x <时易知()0f x <，0x >时()0f x >所以函数图像不可能是C. 故选：C5. 已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b = ，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（ ） A. 11,22B.C. ()1,1D. 【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即125a b +⋅= ，解得1a b ⋅= ，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⋅==， 故选：A.6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数()4sin 0,2y x πωϕωϕ=+><的图象上，且图象过点,224π，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，则是函数的单调递增区间的是（ ）A. ,34ππ−−B. 75,2424ππ−C. 53,248ππD. 53,84ππ【答案】B 【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，所以函数的周期为22ππ×=，所以22πωπ==，又图象过点(224)π，，所以4sin 2224πϕ×+＝，可得1sin 122πϕ += ，则有2126k ππϕπ+=+或52,126k k Z ππϕπ+=+∈， 即212k πϕπ=+或32,4k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以12πϕ=，所以4sin 212yx π+，令2222122k x k πππππ−+≤+≤+，解得75,2424k x k k Z ππππ−+≤≤+∈， 所以函数的单调区间为75,,2424k k k Z ππππ−++∈，当0k =时，函数的单调递增区间为75,2424ππ−，故选项B 正确． 故选：B ．7. 已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>= −+≤，，，若()()g x f x m =−有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 71,4B. (]1,2C. 41,3D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】由题可知1x >时，函数()()g x f x m =−至多有一个零点，进而可得1x ≤时，要使得()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当1x >时，()ln f x x x =+单调递增且()ln 1f x x x =+>，此时()()g x f x m =−至多有一个零点，若()()g x f x m =−有三个零点，则1x ≤时，函数有两个零点；当1x >时，()ln 1f x x x =+>，故1m >； 当1x ≤时，要使()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点， 则2Δ80214202m m mm m =−−><−−≥， 所以403m <≤，又1m >， 所以实数m 的取值范围是41,3.故选：C.8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD中，AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD −外接球的表面积约为（ ） A. 72B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥A BCD −外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠=−，则sin AMC ∠==， 以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A −，．设O 为三棱锥A BCD −的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++−=++，解得h =，所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD −的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A. 21m n +=B. mn 的最大值为112C.41m n+的最小值为6+ D. 229m n +的最小值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据()133mnm n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n+=++，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n += ，()21131333212m n mn m n + ∴=⋅≤×=（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，(414112777n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+ （当且仅当12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A. 若1n a n=，则数列{}n a 是无界的B. 若1sin 2nn a n =，则数列{}n S 是有界的 C. 若()1nn a =−，则数列{}n S 是有界的D. 若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】BC 【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】对于A ，111n a n n==≤ 恒成立， ∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，1sin 1n −≤≤ ，111sin 222n n nn a n∴−≤=⋅≤，212111221111111222212nn nn n S a a a− ∴=+++<+++==−<− ， 2121111112222n nn n S a a a=+++>−+++=−+>−，所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴则数列{}n S 是有界的，B 正确；对于C ，因为()1nn a =−，所以当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n =<=− −+−+，2221111111121241233352121nS n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+182241222212121n n n n n n n=+−=+=−++++； 221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n∴−∈+∞ +， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：BC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =−≠，且对任意x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ′′+=+，则（ ）A. ()112f ′=B. ()90f =C.()2011k f k ==∑D.()2011k f k =′=−∑【答案】BD 【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy ==，得()()()2211f f f =′，因为()()210f f =−≠， 所以()112f ′=−，所以A 错误； 令1y =，得()()()()()111f x f x f f x f +=′′+①，所以()()()()()111f x f x f f x f −=′−′−+， 因为()f x 是奇函数，所以()f x ′是偶函数，所以()()()()()111f x f x f f x f −′′=−+②，由①②， 得()()()()()()12111f x f x f f x f x f x +==−−′+−−， 即()()()21f x f x f x +=−+−， 所以()()()()()()()32111f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=， 所以()f x ，()f x ′是周期为3的函数，所以()()900f f ==，()()()()()()2011236120k f k f f f f f = =++×++= ∑，所以B 正确，C 错误； 因为()()()12112f f f =−=′=−′′，在①中令0x =得()()()()()10101f f f f f ′=+′，所以()01f ′=，()()()()()()2011236121k f k f f f f f =′ =++×++′=− ′′′′∑，所以D 正确． 故选：BD ．【点睛】对于可导函数()f x 有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x ′是周期函数，且周期也为T三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()12i 1i z =++（其中i 为虚数单位），则z =_____________.【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，即可求得答案. 【详解】由题意得()()12i 1i 13i z =++=−+，故z =，13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ×，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14. 已知()221:21O x y +−= ，()()222:369O x y −+−= ，过x 轴上一点P 分别作两圆切线，切点分别是M ，N ，求PM PN +的最小值为_____________.【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM PN +=可看作点(0)Pt,到((0,,A B 的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知()221:21O x y +−= 的圆心为(0,2)，半径11r =，()()222:369O x y −+−= 的圆心为(36),，半径23r =，的设(0)P t,，则||PM =，PN ===则PM PN +==，设((0,,A B ，则||||||||||PM PNPA PB AB +≥=+， 当且仅当,,P A B 三点共线时取等号，此时PM PN +的最小值为AB ==，四. 解答题：本题共577分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，（1）求角A ;（2）若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长. 【答案】（1）23A π=（2）9+ 【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBAD CAD S S S =+ 结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACD S S 结合已知条件可得2c b=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=×+×=所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+ 再由正弦定理，得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−. 因(0,)A π∈， 所以23A π= 【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=. 由1211sin sin sin 232323ABC BAD CAD S S S b c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅ ， 得22bc b c =+. 作AE BC ⊥于E ，则1sin2321sin 23ABD ACD c AD S c BD S b DC b AD ππ⋅==⇒==⋅ .由222bc b c c b =+= ，解得6,3,c b == 由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A =+-=，所以a =故ABC的周长为9+16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E .F 分别是棱1DD ，11A D 的中点.为（1）证明：1B E ⊥平面ACF . （2）求二面角B AF C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB ⋅= ，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1AC EB ⊥，再根据三角形全等得到1AF A E ⊥，进而得到AF ⊥平面11A B E ，得到1AF EB ⊥，从而证明出1B E ⊥平面ACF ； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】法一：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2F ，()0,0,1E ，()12,2,2B . ()1,0,2AF =−，()2,2,0AC =−，()12,2,1EB =.因为10AF EB ⋅=，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥. 【的因为AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 法二：连接1A E ，BD ，11B D .在正方体1111ABCD A B C D −中，1B B ⊥平面ABCD ，所以1B B AC ⊥.因为BD AC ⊥，1B B BD B ∩=，1,B B BD ⊂平面11B BDD ，所以AC ⊥平面11B BDD . 因为1EB ⊂平面11B BDD ，所以1AC EB ⊥.因为11A B ⊥平面11ADD A ，AF ⊂平面11ADD A ，所以11A B AF ⊥.在正方形11ADD A ，E ，F 分别是边1DD ，11A D 的中点，可得111A AF D A E ≌△△，所以111A AF D A E ∠∠=，1111190EA A A AF EA A D A E ∠∠∠∠+=+=，所以1AF A E ⊥.因为1111A B A E A = ，111,A B A E ⊂平面11A B E ，所以AF ⊥平面11A B E . 因为1EB ⊂平面11A B E ，所以1AF EB ⊥.因为AC AF A ∩=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 【小问2详解】结合（1）可得1EB为平面ACF 的一个法向量.()0,2,0AB =.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()0,2,0,,201,0,2,,20AB n x y z y AF n x y z x z ⋅=⋅== ⋅=−⋅=−+=， 解得0y =，令2x =，得1z =，所以()2,0,1n =，111cos ,E nB n EB n EB ⋅==⋅. 由图可知二面角B AF C−−为锐角，故二面角BAF C −−.17. 已知某系统由一个电源和并联的,,A B C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X （单位：V ）服从正态分布()404N ，，且X 的累积分布函数为()()F x P X x =≤，求()()4438F F −.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T （单位：天）表示某元件的使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为()()001104tt G t P T t t <=≤= −≥ ，，.（ⅰ）设120t t >>，证明：()()1212P T t T t P T t t >>=>−；（ⅱ）若第n 天只有元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量Y 服从正态分布()2N µσ，，则()0.6827P Y −µ<σ=，()20.9545P Y −µ<σ=，()30.9973P Y −µ<σ=.【答案】（1）0.8186 （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()Fx P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得()738420.682P X =<<，()536440.954P X =<<，所以()()()()()()4438443840443840F F F X F X F X F X −=≤−≤=≤≤+≤≤1(0.68270.9545)0.81862=+= 【小问2详解】（ⅰ）由题设得：120t t >>的()[]12111122222()()()1()1()()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >∩>>−≤−>>====>>−≤−112122111(1)444111(1)44t t t t t t −=−−==−−， ()()2112121211()4t t P T t t P T t t G t t −>−=−≤−=−−=,所以()()1212P T t T t P T t t >>=>−． （ⅱ）由（ⅰ）得()()1111(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=−≤=−=，所以第1n +天元件,B C 正常工作的概率均为14． 为使第1n +天系统仍正常工作，元件,B C 必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为2171(1)416−−=.18. 已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2O 的方程为222x y +=，过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线Γ的方程； （2）求证：π2AOB ∠=； （3）若直线l 与双曲线的两条渐近线的交点为C ，D ，且AB CD λ=，求实数λ的范围.【答案】（1）2212y x −=（2）证明见解析 （3）λ∈【解析】【分析】（1）由题意列式求出212a ,c===，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y =和00x =时，结论成立；当000x y ≠时，利用圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为002x x y y +=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB ⋅的值，即可证明结论； （3）求出弦长AB 以及CD的表达式，可得λ=. 【小问1详解】由题意知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2故22222a c a c ab == =+，解得212a ,c===，故双曲线Γ的方程为2212y x −=；【小问2详解】证明：设()00,P x y ，则22002x y +=，当00y =时，不妨取)P ，此时不妨取,AB，则0OA OB ⋅= ，即π2AOB ∠=； 同理可证当00x =时，有π2AOB ∠=； 当000x y ≠时，圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y −=−−， 即002x x y y +=； 由2200122y x x x y y −= += 可得()222000344820x x x x x −−+−=， 因为切线l 交双曲线于A ，B 两点，故2002x <<，()()22220000340,Δ16434820x x x x −≠=−−−>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x −+=⋅=−−，故()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+−−⋅ ()212012012201422x x x x x x x x x =+−++ − ()22220000222200082828143423434x x x x x x x x −− =+−+−−−−22002200828203434x x x x −−=−=−−， 故OA OB ⊥，综合上述可知π2AOB ∠=； 【小问3详解】由（2）可得当000x y ≠时，2002x <<，AB ==2212y x −=的渐近线方程为y =，联立002y x x y y=+=，得C，同理可得C ，则CD =022*******234|y ||y ||x y ||x |=−−，由于AB CD λ=，故234AB CDx λ==−由于2002x<<，则λ； 当00y =时，不妨取)P ，则4|AB ||=，此时λ=； 当00x =时，不妨取(P ，则2|AB ||=，此时λ=综合上述可知λ∈. 19. 给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++−+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =−−，求2a 及3a ； （2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈−≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）因为0c >，1(2)a c =−+，故2111()242a f a a c a c ==++−+=，3122()2410a f a a c a c c ==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++−+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立第21页/共21页综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n n a a c +−≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +++−+++即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++−+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=−−， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=−+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c −+∞∪−−．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。
宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
宁夏六盘山高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列问题属于排列问题的是（ ）A ．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B ．从10人中选2人去游泳C ．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D ．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数10．已知函数()323f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1上单调递减B ．()f x 的极大值点为2C ．()f x 的极大值为2-D ．()f x 有2个零点11．已知函数()()ln f x x a x =-在区间[]1,2上存在单调递减区间，则a 可能的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e12．设函数()()2e x f x x =-，若不等式()()22sin 1sin f k f k q q ---³-对任意的四、解答题17．已知函数()()1e x=+．f x x(1)求函数()0,1的切线方程；f x的图象在点()(2)求函数()f x的单调区间．18．工厂需要围建一个面积为2512m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决）19．已知函数()()31R=--Î．f x x ax a【详解】根据f(x)<0x ⇔2－2ax<00<x<2a ⇔，可排除选项A ，C ，f′(x)＝[x 2＋(2－2a)x －2a]e x ，由f′(x)＝0，即x 2＋(2－2a)x －2a ＝0，Δ＝(2－2a)2＋8a ＝4a 2＋4>0可知方程必存在两个根．设小的根为x 0，则f(x)在(－∞，x 0)上必定是单调递增的，故选B.9．AD【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B ，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C ，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D ，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选：AD10．AD【分析】求得()3(2)f x x x -¢=，得出函数的单调区间和极值，再结合函数零点的定义，即可求解.【详解】由函数()323f x x x =-，可得()2363(2)f x x x x x =¢=--，令()0f x ¢>，解得0x <或2x >；令()0f x ¢<，解得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单递减，在(,0),(2,)-¥+¥单调递增，当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()00f =；当2x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为()24f =-，又由x ®+¥时，()f x ¥®+且()240f =-<,()00f =，所以函数()f x 只有两个零点，所以A 、D 正确，B 、C 不正确.故选：AD.11．CD。
重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题四、解答题17．已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()8,7B ，()4,6C .(1)求过点A 且平行于BC 的直线方程；(2)求AC 上的中线所在直线方程.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB Ð=°，1160BAA DAA Ð=Ð=°，E 是1CC 的中点，设AB a uuu r r=，AD b uuu r r =，1AA c =uuur r .(1)用a r ，b r ，c r 表示AE uuu r ；(2)求AE ，1BD 所成角的余弦值.19．我们学习了空间向量基本定理：如果三个向量a r ，b r ，c r 不共面，那么对任意一个空间向量p u r ，存在一个唯一的有序实数对(),,x y z ，使得p xa yb zc =++u r r r r.其中，{},,a b c r r r叫做空间的一个基底．a r ，b r 不共线，非零向量m u r ，n r 满足0m a ×=u r r ，0m b ×=u r r ，0n a =×r r，0n b ×=r r .(1)以{},,m a b u r r r为基底证明：m n u r r ∥：(2)用向量证明：若两相交平面同时垂直另一平面，则这两平面的交线也垂直这个平面.20．如图，PA ^平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AD a ==，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：平面MND ^平面PCD ；面与平面C GH的夹角的余弦值.1．A【详解】以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()2,2,0E ，()0,2,0F ，设()2,,2P t ，04t <<，则()2,,2DP t =uuu r ，()0,2,2EP t =-uuu r ，()0,2,0DF =uuu r ，()2,2,0DE =uuu r ，()2,2,2FP t =-uuu r ，()0,4,2BP t =-uuu r ，取平面PEB 的一个法向量为()2,0,0m DA ==uuu r r ，设平面PDF 的法向量为()111,,n x y z =r ，则00n DF n DP ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r ，11100y x z =ìí+=î，取()2,0,2n =-r ，设平面PDE 的法向量为()222,,p x y z =r ，则22222220000x ty z p DP x y p DE ì++=×=ìïÞíí+=×=îïîuuu r r uuu r r ，取()2,2,2p t =--r ，设平面PFB 的法向量为()333,,q x y z =r ，∴11EF A C ∥，GH AC ∥，∴EF GH ∥，∵,EF OF Ì平面OEF ，1,GH HC Ë平面OEF ，∴GH ∥平面OEF ，1HC ∥平面OEF ，∵1GH HC H Ç=，1,GH HC Ì平面1C GH ，∴平面OEF ∥平面1C GH .（2）。
高二数学月考试题
如图乙．
（1）已知 M ， N 为 PB ， PE 上的动点，求证： MN DE ；
（2）在翻折过程中，当二面角 P ED B 为 60°时，求直线 CE 与平面 PCD 所成角的正
弦值．
22．(12
分)已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之
BAA1 DAA1 600 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值是（ ）
A． 3 3
B．
2 3
C． 3 6
D．
1 3
8．已知数列{an} 的前 n 项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列{bn}的前 n 项和，
试卷第 1页，共 4页
若对任意的 n N*，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
中项.数列bn是等差数列，且 b1 a1, b3 a1 a2 a3.
(1)求数列an,bn 的通项公式；
(2)设 cn an bn ，求数列cn的前 n 项和 Sn .
18．(12 分)已知圆 C 与 y 轴相切，圆心在 x 轴下方并且与 x 轴交于 A(1, 0)，B 9, 0 两点.
1,
0,
1
，
A
2,1,
3
为直线
l
上一点，点
P
1,
0,
2
为直线
l 外一点，则点 P 到直线 l 的距离为 3
C．若
P
在线段
AB
上，则
AP
t
AB0
t
1
四川省乐山市外国语学校高二9月月考数学(理)
数学试题 理第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是 A ．一个圆柱B ．一个圆锥C ．两个圆锥D ．一个圆台2．如图，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是（ ） A ．直角梯形 B ．等腰梯形C ．非直角且非等腰的梯形D ．不可能是梯形3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A ．异面B ．相交C ．异面或平行D ．相交或异面4．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有（ ） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③5．过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ） A ．512310x y -+= B ．3y =或43130x y +-= C ．1x =或512310x y -+=D ．1x =或512410x y +-=6．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．106B ．206C ．207D ．4067．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱一如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”11B A ACC -体积最大时，则“堑堵”111ABC A B C -的表面积为（ ） A ．442+ B ．642+C ．842+D ．862+8．已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A ．22460x y x y +-+= B ．224680x y x y +-++= C ．22460x y x y +--=D ．224680x y x y +-+-=9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ． A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13 B ．23C ．34D ．111．如图所示，在四边形ABCD 中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体，使平面平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ） ①； ②；③与平面A 'BD 所成的角为30°； ④四面体的体积为12．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A ．212- B ．212+C ．612- D ．312- 第II 卷（非选择题) 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．两圆x 2＋y 2－2y －3＝0与x 2＋y 2＝1的位置关系是____________． 14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________. 14题 15题15．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于______．16．用一个平面去截一个正方体，截面不可能是： （写出你认为的所有答案）①正三角形 ②直角三角形 ③菱形 ④五边形 ⑤正五边形 ⑥正六边形三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆2224420C x y x y +---=：相交于两点.(1)求两圆的公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长.18．（本小题12分）如图所示，在空间四面体ABCD 中，,E F 分别是AB ，CD 的中点，,G H 分别是BC ，CD 上的点，且11,33CG BC CH DC ==.求证：（1）,,,E F G H 四点共面； （2）直线FH EG AC ，，共点.19．（本小题12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点. （1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （2）当点C 是弧的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，、分别为、中点，．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．21．（本小题12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =12AA =，113BAA CAA π∠=∠=，D ，E 分别为AB ，1A C 中点．（1）求证：DE ∥平面11BB C C ；（2）求证：1AA ⊥面1A BC ，并求AB 与面1A BC 所成的角； （3）若11AA =，6BC =111A BCC B -的体积．22．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．数学（理）参考答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 二、填空题13．内切. 14．38 15．2 16． ②⑤ 三、解答题17．（1）210x y +-=； （2）25(1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 的坐标满足方程组222228804420x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+---=⎩两式相减得210x y +-=.弦所在直线的方程为210x y +-=………………..5分(2)圆C 1可化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆C 1的圆心为1(1,4)C --,半径长15r =.1(1,4)C --)到直线210x y +-=的距离10255d ==.则弦长221225AB r d =-=……………….10分18、（1）连接EF ，GH ，……………..1分E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥..3分又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面…………6分（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH AC M ⋂=，………….8分则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC .∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈ ∴直线FH EG AC ，，共点………….12分 19．（1）见解析；（2）23π. （1） AB 为底面圆的直径，∴ AC BC ⊥….1分又 母线1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥且1A A AC A ⋂=，BC ⊥平面1AA C ……..4分∴1A BC ⊥平面1A AC ；…………..5分（2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，∴=柱V 2r h π，……….7分=∴ABC -A 1V 221133r h r h ⨯⨯=，=ABC -C B A 111V 2r h ………….10分=∴111B BCC -A V 2221233r h r h r h -=……11分=∴柱B BCC -A V ：V 11123π．…………12分20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在；说明见（Ⅰ）连接四边形为正方形为中点又为中点平面…………………..3分（Ⅱ）如图建立直角坐标系 则，，，设平面的法向量又，，即，令，则，即二面角的正弦值为：……….8分（Ⅲ）令，若平面，则，又，方程无解棱上不存在一点，使平面…….12分21．（1）见解析；（2）6π；（3）1 (1)连11,AC BC ,在三棱柱111ABC A B C -中， 四边形11ACC A 是平行四边形,∴1AC 过1A C 的中点E ,又D 是AB 中点, ∴DE 是1ABC ∆的中位线,所以1//DE BC , ∴DE ∥平面11BB C C …………4分(2)在1ABA 中112,3AB AA BAA π=∠=,由余弦定理得11A B ,所以11AA A B ⊥, 同理: 11AA A C ⊥,又 111A C A B A =⋂∴1AA ⊥面1A BC ,∴AB 与面1A BC 所成的角为16ABA π∠=….8分(3)由(2)知111A B AC ==,132A BCS =1AA 是三棱锥1A A BC -的高, 112A A BC V -=,即112A ABC V -=,11132A B C ABC V -= 11131122A BBC C V -=-=……….12分22．（1）1y =+（2）3215m n +=（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，圆心O 到直线l 的距离d =，因为AB =AB ==k =所以直线l 的方程为1y =+． …4分 . （2）当l 的斜率不存在时，设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =，NB nMB =，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-， 所以43m =，45n =，所以3215m n +=． ………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， l ：1y kx =+， 因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k-．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+；因为NA mMA =，NB nMB =，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151kx x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+ 综上，3215m n +=．………….12分。
高二第一次月考数学试卷
1、一个数的三分之一加上5等于16，这个数是多少？A. 36B. 33C. 45D. 30（答案：A）2、如果一个矩形的长度是8厘米，宽度是3厘米，则它的周长是多少？A. 30厘米B. 22厘米C. 24厘米D. 20厘米（答案：B）3、在一个等边三角形中，每个角的度数是多少？A. 45度B. 60度C. 75度D. 90度（答案：B）4、某班有40名学生，男生占三分之二，男生有多少人？A. 20人B. 25人C. 30人D. 28人（答案：C）5、一辆车以每小时60公里的速度行驶，3小时能行驶多远？A. 180公里B. 150公里C. 200公里D. 180米（答案：A）6、一个立方体的边长是4厘米，则它的体积是多少立方厘米？A. 16B. 32C. 48D. 64（答案：D）7、在一个排列中，数字1到5的排列组合中，有多少种不同的排列方式？A. 60B. 120C. 100D. 80（答案：B）8、如果一个圆的半径是7厘米，那么它的面积大约是多少平方厘米？（取π为3.14）A. 150.86B. 140.00C. 120.56D. 120.88（答案：A）9、一个角的补角是30度，这个角是多少度？A. 60度B. 90度C. 120度D. 150度（答案：A）10、在一次班级测验中，平均分数为75分，如果全部学生人数是20人，那么总分数是多少？A. 1500B. 1600C. 1700D. 1800（答案：A）。
2023-2024学年全国高中高二下数学苏教版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，复数满足＝，则复数对应的点位于复平面内的（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合＝，集合＝，则＝（ ）A.B.C.D.3. 已知直线经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为 ，是椭圆的右焦点，且 ，则椭圆的方程为()A.B.C.D.i z (1+2i)z 4+3i z M {x |−5x +6<0}x 2N {x |x >0}M ∪N {x |x >0}{x |x <3}{x |x <2}{x |2<x <3}2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1M y N F 2|MN|=|M |F 2+=1x 240y 24+=1x 25y 2+=1x 210y 2+=1x 29y 25抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A.B.C.D.5. 已知平面向量,,若，则( )A.B.C.D.6. 规定：若双曲线与双曲线 的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线 与双曲线 为”等渐双曲线”，且双曲线 的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.7. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数的值是（ ）A.B.C.D.=8x y 21248a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →⊥a →b →k =8−8434−434C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260=4x y 22–√−=1x 2y 2mm 12348. 已知椭圆的离心率，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是A.存在，使得的倾斜角为B.对任意的，与都有公共点C.对任意的，与都不重合D.对任意的，与都不垂直11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）A.B. C.+=1x 24y 2m e >2–√2m (0,1)∪(2,+∞)(0,2)∪(8,+∞)(−∞,2)(−∞,2)∪(8,+∞)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√:x −y −1=0l 1:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2()k l 290∘k l 1l 2k l 1l 2k l 1l 2+(x −a)2(y −b)2−−−−−−−−−−−−−−−√A (x,y)B (a,b)|−|+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√=223–√33–√6−23–√3–√D.12. 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于，则以下结论正确的是( )A.B.为的中点C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线的准线方程为________.14. 直线的斜率为________．15. 设点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，，为两焦点，动点满足，则动点的轨迹方程为________.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点.若点的坐标为，求双曲线的方程；设，分别为双曲线的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．18. 已知点，圆．（1）若直线＝与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．19. 已知函数，，．−3–√6C ：=10x y 2F F 60∘l C A B AD |AF|=10F AD 2|BD|=|BF||BF|=83y =8x 2y =−5x +9Q +=1x 236y 29F 1F 2P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→P −=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)，F 1F 2F 1+=x 2y 2a 2M ∠M =F 1F 2π4C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b22A C (1)A (−2,3)C (2)B F C λ∠AFB =λ∠ABF λM(3,1)+=4C :(x −1)2(y −2)2ax −y +40C A B AB 23–√a M C =(2sin x,sin x −cos x)a →=(cos x,cos x +sin x)b →3–√f (x)=⋅a →b →0,]π求的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；若，，求的值．20. 已知抛物线，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点.求抛物线的方程；若，求直线的斜率，并求的取值范围． 21. 已知过点的曲线的方程为.求曲线的标准方程；已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，，求的最大值． 22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．求双曲线方程；若点在此双曲线上，求．(1)f (x)f (x)[0,]π2(2)f ()=x 065∈[,]x 0π4π2cos 2x 0C :=2px y 2F Q (1,y)(y >0)C |FQ|=2Q C l 1P (,)x 0y 0l 1Q P l 2C A B (1)C (2)|PQ =|PA|⋅|PB||2l 2x 0P (1,)32C +=2a +(x −1)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x +1)2y 2−−−−−−−−−−−√(1)C (2)F (1,0)A x =4F AF C BD |BD||AF|F 1F 2y =x (4,−)10−−√(1)(2)M(3,m)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】由＝，得，则复数对应的点的坐标为，位于复平面内的第四象限．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】可求出集合，然后进行并集的运算即可．【解答】∵＝，＝，∴＝．3.【答案】z z (1+2i)z 4+3i z ====2−i 4+3i 1+2i (4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)10−5i 5z (2,−1)M M {x |2<x <3}N {x |x >8}M ∪N {x |x >0}D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，直线与轴的交点为，又直线过椭圆的左焦点 ，∴，即，∵直线与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，且，∴，即，又由，∴椭圆的方程为.故选.4.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】本题主要考查抛物线的基本性质．【解答】解：，∴抛物线的焦点到准线的距离是.故选.5.【答案】D【考点】2x −y +4=02–√2–√x (−2,0)2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1(−2,0)F 1c =22x −y +4=02–√2–√M y N(0,4)2–√|MN|=|M |F 2|M |+|M |=|N|=2a F 1F 2F 1a =|N|==312F 112+(4222–√)2−−−−−−−−−−√=−=9−4=5b 2a 2c 2+=1x 29y 25D ∵2p =8，∴p =4=8x y 24C数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由,,得.若，则，解得.故选.6.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知， ，a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →=b →−(−2)a →a →b →2=(−4,3)−(k,−6)2=(,)−4−k 292⊥a →b →⋅=(−4,3)⋅(,)a →b →−4−k 292=8+2k +=0272k =−434D =,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2,(a +c))–√,−(a +c))–√由分析知，点坐标为 或 ，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线 的标准方程是 .故选7.【答案】A【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】答案未提供解析．【解答】解：，M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.e =>1−b 2a 2−−−−−−√2–√22，当时，或，∴或．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.故选.10.【答案】∴<b 2a 212∴m >0<m 412<4m 120<m <2m >8B A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F2F2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2aa >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a=|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACDA,B,D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知动直线 ，当时，斜率不存在，其倾斜角为，选项正确；联立，可得，此方程有解，即两直线存在交点，选项正确；当时，动直线成立，此时两直线重合，选项错误；当时，，与不垂直，当时，，即对任意的，与都不垂直，选项正确.故选.11.【答案】A,C【考点】双曲线的应用双曲线的定义点到直线的距离公式【解析】【解答】解：由，得，其几何意义为平面内一点与两定点，距离之差的绝对值为．平面内与两定点，距离之差的绝对值为的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为，，:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2k =090°A {x −y −1=0(k +1)x +ky +k =0(2k +1)x =0B k =−12:==l 2k +11k −1k −1C k =0：x =0l 2l 1k ≠0⋅=1×=−1−≠−1k l 1k l 2k +1−k 1k k l 1l 2D ABD |−|=2+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√|−|=2+(x +2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√+(x −2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x,1)(−2,0)(2,0)2(−2,0)(2,0)2−=1(a >0x 2a 2y 2b 2b >0)则 解得，．所以该双曲线的方程是．联立方程组 解得．故选．12.【答案】A,B【考点】抛物线的性质直线的倾斜角解三角形抛物线的定义【解析】无【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线与轴交于点，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，正确；因为，，所以点为的中点，正确；2a =2，c =2，=+，c 2a 2b 2a =1b =3–√−=1x 2y 23y =1，−=1，x 2y 23x =±23–√3AC A B C m E M m x P |PF|=5l 60∘AE//x |AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=10A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE因为，所以，所以，错误；，错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．【解答】解：∵抛物线，可化为，∴，即，∴抛物线的准线方程为．故答案为：.14.【答案】【考点】直线的斜截式方程直线的斜率【解析】根据直线的斜截式方程，结合题中的数据即可得到已知直线的斜率值．【解答】∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BF|=|DF|=|AF|=1313103D AB y =−132y =8x 2=y x 2182p =18p =116y =−132y =−132−5解：∵直线中，一次项系数，∴直线的斜率为.故答案为：.15.【答案】【考点】轨迹方程椭圆的标准方程【解析】设， ，由，可得，，利用在椭圆上，即可求解．【解答】解：设，，又，，，，，，∵动点满足，则，，，即．故答案为：．16.【答案】【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设切点为，连接，作作，垂足为，y =−5x +9k =−5y =−5x +9−5−5+=1(x ≠±2)x 24y 2P (x,y)Q (,)x 0y 0++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0Q (,)x 0y 0P(x,y)Q(,)x 0y 0(−c,0)F 1(c,0)F 2(≠±6)x 0=(−c −x,−y)PF 1−→−=(c −x,−y)PF 2−→−=(−x,−y)PQ −→−x 0y 0P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0∴+=19x 2369y 29+=1(x ≠±2)x 24y 2+=1(x ≠±2)x 24y 23–√N ON F 2A ⊥MN F 2A由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，∴，∴.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又 ，|ON|=a ON △A F 1F 2A =2a F 2N =F 1−c 2a 2−−−−−−√|A|=2b F 1M A F 2|M |=2a F 22–√|M |=2b +2a F 1|M |−|M |=2b +2a −2a =2a F 1F 22–√b =a 2–√c ==a +a 2b 2−−−−−−√3–√e ==c a3–√3–√(1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率双曲线的应用双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又 ，=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF (1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．18.【答案】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．【考点】圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线＝的距离，结合点到直线的距离公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50ax −y +40d d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a 2O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．19.【答案】解：，其最小正周期为.又，，，．，，又，，，．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：，其最小正周期为.又，x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2，，．，，又，，，．20.【答案】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以 （由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.【考点】圆锥曲线的综合问题∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y1y 01+m 2−−−−−−√y2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0抛物线的标准方程抛物线的定义【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以 （由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.21.【答案】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x 0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y 1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x 0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y 1y 01+m 2−−−−−−√y 2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x 0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）将点的坐标代入曲线的方程可求出的值，再由曲线方程的几何意义即可求出曲线的方程；设，设直线的方程为，令即可求出点坐标，再由两点间距离公式即可求出，将直线的方程为与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，由弦长公式的最小值即可．【解答】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF |1.P C 4C C (2)B (,)D (,)x 1y 1x 2y 2BD x =my +1x =4A |AF |BD x =my +1C x +,y 1y 2y 1y 2(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为22.【答案】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF | 1.(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−=0−→−−−→−−故．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程平面向量数量积坐标表示的应用【解析】（1）设双曲线方程为，，由双曲线过点，能求出双曲线方程．（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．故．⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−−=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√M(3,m)m =±3–√⋅MF 1−→−−MF 2−→−−(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
四川省自贡市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题含解析
自贡高2025届高二上期12月月考数学试题（答案在最后）卷Ⅰ（选择题共0分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的）．1.直线10x y +-=的倾斜角是（）A.45°B.135°C.120°D.90°【答案】B 【解析】【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】由10x y +-=得1y x =-+，故斜率为1-，则倾斜角为135°，故选：B 2.双曲线2248xy -=-的渐近线方程为（）A.2y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x =±【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程结论求解即可【详解】双曲线2248x y -=-的渐近线方程为2240x y -=，即12y x =±.故选：B3.已知点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则对称点的坐标为（）A.()0,1- B.()0,2- C.()1,1- D.()2,1-【答案】A 【解析】【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.【详解】设对称点坐标(),Q a b ，由题意知直线QP 与1y x =+垂直，结合1y x =+的斜率为1，得直线QP 的斜率为-1，所以112ba-=---，化简得10a b ++=，①再由QP 的中点在直线1y x =+上，12122b a +-=+，化简得10a b --=，②联立①②，可得0,1a b ==-，所以对称点Q 的坐标为()0,1-.故选：A.4.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=距离的最小值为（）A.36B.18C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断直线与圆的位置关系，则圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径为所求．【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为，圆心到直线x +y ﹣14＝0=，故圆上的点到直线的最小值是-=，故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，属于基础题．5.如图空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =（）A.121232a b c -+ B.211322a b c-++C.111222a b c ++ D.221332a b c ++ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解.【详解】由题意可得：2121()3232MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=-++=-++-211211.322322OA OB OC a b =-++=-++故选：B.6.已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，其右焦点为F （4，0），过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为（）A.2214536x y += B.221124x y +=C.221248x y += D.221189x y +=【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法求解即可．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减可得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．由12122,2x x y y +=+=-，1212y y x x -=-101143--=-，代入上式可得：222213a b -+⨯＝0，化为223a b =．又4c =，222c a b =-，联立解得2224,8a b ==．∴椭圆的方程为：221248x y +=．故选：C ．7.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A.若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥B.若,m n αβ⊂⊂，且//,//m n βα，则//αβC.若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥D.若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】【分析】在A 中α与β相交或平行；在B 中a 与β相交或平行；在C 中由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥；在D 中m 与n 相交，平面或异面.【详解】由,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，知：在A 中，若,m a n β⊥⊂，且m n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若,m a n β⊂⊂，且//,//m n a β，则a 与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥则由线面垂直和面面垂直的性质定理得m n ⊥，故C 正确；在D 中，若//,//m n αβ，且//αβ，则m 与n 相交，平面或异面，故D 错误.故选：C【点睛】本题考查线面垂直和线线垂直及面面垂直的转化关系，考查概念辨析，属于基础题.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，使得线段1PF 被直线3y x =-垂直平分，则椭圆C 的离心率为（）A.12+ B.2C.1D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设右焦点为2F，直线3y x =-交1PF 于A ，连接2,OP PF ，因为线段1PF被直线3y x =-垂直平分，所以12OF OP OF ==，1OA PF ⊥，所以12PF F △是以12F F 为斜边的直角三角形，由直线3y x =-的方程可知该直线的斜率为3-，所以该直线的倾斜角为5π6，即212215πππ636AOF PF F PF F ∠=⇒∠=⇒∠=，在12PF F △中，由正弦定理可知：21121221212121212121sin sin sin sin sin sin F F PF F P PF F P F F F PF PF F F F P PF F F F PF PF +==⇒=∠∠∠∠+∠∠πsin 22221πππππ213sin sin sin sin sin 6326322ac c e a ⇒=⇒=⇒=++，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理和比例的性质以及运用直角三角形的判定方法.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不选或错选得0分，少选得2分．）9.圆M ：22430x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A.点()3,2在圆内B.圆M 关于直线240x y +-=对称C.圆M 的半径为2D.直线0x +=与圆M 相切【答案】BD 【解析】【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切.【详解】将圆M ：22430x y x +-+=化成标准方程：22(2)1,x y -+=知圆心坐标为(2,0),M 圆的半径为1.A 项中，由点()3,2到圆心的距离：1d ==>知点()3,2在圆外，A 项错误；B 项中，因圆心(2,0)M 在直线240x y +-=上，而圆是轴对称图形，故圆M 关于直线240x y +-=对称，B 项正确；C 项中，显然错误，C 项错误；D 项中，由圆心(2,0)M 到直线0x +=的距离为：1d ==知直线0x +=与圆M 相切，D 项正确.故选：BD.10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别在1,A D AC 上，且1121,33A E A D AF AC ==，则正确的选项为（）A.EF 至多与1,A D AC 之一垂直B.1,EF A D EF AC ⊥⊥C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 平行【答案】BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.【详解】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为3，则()()()()()()()()111,0,1,2,1,0,3,0,3,3,0,0,0,3,0,0,0,0,3,3,0,0,0,3E F A A C D B D ；1(1,1,1),(3,3,0),(3,0,3)EF AC A D ∴=-=-=--，10,0EF AC EF A D ⋅=⋅=，1,EF AC EF A D ∴⊥⊥，B 正确，A 错误；由111(3,3,3),3BD EF BD =--=-，故D 正确，C 错误．故选：BD.11.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若C 为椭圆，则13t <<，且2t ≠B.若C 为双曲线，则3t >或1t <C.若2t =，则曲线C 表示圆D.若C 为双曲线，则焦距为定值【答案】ABC 【解析】【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.【详解】A ：C 为椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得13t <<，且2t ≠，正确；B ：C 为双曲线，则(3)(1)0t t --<，可得3t >或1t <，正确；C ：2t =时，方程为221x y +=，即曲线C 表示圆，正确；D ：若C 为双曲线，则242,13124,3t t c t t t t -<⎧=-+-=⎨->⎩，显然焦距不为定值，错误.故选：ABC12.已知曲线:C 22221)(1)6x y x y +++-+=(，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，()1,1M -，P 为曲线C 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F △的周长为6B.12PF F △的面积的最大值为C.存在点P ，使得12PF PF ⊥D.1PM PF +的最大值为7【答案】BD 【解析】【分析】先利用椭圆的定义求得曲线C 的标准方程，再利用椭圆的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为曲线:C 6=，1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以121262PF PF F F +=>=，所以曲线C 是椭圆，其中3,1a c ==，则2228b a c =-=，所以曲线C 的标准方程为22:198x y C +=，对于A ，12PF F △的周长为1212628PF PF F F ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，点P 到边12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大，则12PF F △最大面积122S =⨯=B 正确；对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯，即12F PF ∠为锐角，所以不存在点P 使得12PF PF ⊥，故C 错误；对于D ，如图，()21,0F ，()1,1M -，所以21MF ==，所以12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，当且仅当P 在2MF 的延长线上时，等号成立，故D 正确．故选：BD.卷Ⅱ（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小巫5分，共20分把答案填在题中横线上）．13.已知两条直线20ax y --=和()210a x y +-+=互相垂直，则a 等于________．【答案】1-【解析】【分析】根据两直线垂直的结论求解即可.【详解】由题意得，()()()2110a a ++-⨯-=，解得1a =-.故答案为：1-.14.已知双曲线22221x y a b-=的离心率54e =，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________.【答案】221169x y -=【解析】【分析】由离心率求出c ，再由222c a b =+求出b 可得双曲线方程．【详解】由已知可得222544c a a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,即得3b =,所以双曲线方程为:221169x y -＝.故答案为:221169x y -=.15.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．【答案】()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=【解析】【分析】由题意可得所求的圆的方程为()()222x a y a a -+-=，0a >，再把点()1,2代入，求得a 的值，得出答案.【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，0a >，则半径为a .故圆的方程为()()222x a y a a -+-=，再将点()1,2代入，得2650a a -+=，求得5a =或1故要求的圆的方程为()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．故答案为：()()22111x y -+-=或()()225525x y -+-=．16.如图，在坡面α与水平面β所成二面角为60︒的山坡上，有段直线型道路AB 与坡脚l 成30︒的角，这段路直通山顶A ，已知此山高米，若小李从B 沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶A 需要的时间是_____分钟.【答案】18【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得AC ⊥直线l ，从而在Rt AOC 与Rt ABC △中求得AB ，由此求得小李到达山顶所需时间.【详解】过点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OC ⊥直线l ，垂足为C ，连接AC ，如图，.因为AO ⊥平面β，l β⊂，所以l AO ⊥，又l OC ⊥，,,AO OC O AO OC ⋂=⊂面AOC ，所以l ⊥面AOC ，又AC ⊂面AOC ，所以AC ⊥直线l ，由题意可知60ACO ∠=︒，AO =，所以在Rt AOC 中，1353270sin sin 60AO AC ACO ===∠︒，在Rt ABC △，30ABC ∠=︒，所以2540AB AC ==，因为小李行进速度为每分钟30米，所以他到达山顶A 需要的时间是5403018÷=（分钟）.故答案为：18.四、解管题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（1）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A B 、两点，求直线与圆截得的弦长||AB 【答案】（1）3470x y +-=（2）25【解析】【分析】（1）先求出交点坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解；（2）利用垂径定理求解弦长.【小问1详解】由21012101x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以()1,1P ，令1:340l x y m ++=，将(1,1)P 代入得：1:3470l x y +-=.【小问2详解】圆心(0,0)O 到直线1:3470l x y +-=的距离75d =，所以25AB =18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA AC BC ===，D ，E 分别为1CC ，1A B 的中点．（1）证明：//ED 平面ABC ；（2）求直线1CC 与平面1A BD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()0,2,0B ，()12,0,2A ，()1,1,1E ，()10,0,2C ，所以()1,1,0DE = ，因为111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，因此平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，所以0DE n ⋅=uuu r r ，即DE n ⊥ ，又ED ⊄平面ABC ，所以//ED 平面ABC ；【小问2详解】因为()10,0,2CC = ，()0,2,1BD =- ，()12,2,2BA =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z = ，则1202220m BD y z m BA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令2z =，得()1,1,2m =- ，设直线1CC 与平面1A BD 所成角为θ，则11sin 3m CC m CC θ⋅===⋅ ，所以cos 3===θ.19.已知圆C 的方程22240x y x y m +-+-=.（1）若点(),2A m -在圆C 的内部，求m 的取值范围；（2）4m =时，设(),P x y 为圆C 上的一个动点，求22(4)(2)x y -+-的最小值.【答案】（1）14-<<m （2）4【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程可得5m -<,再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，由此求得m 的范围，（2）()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，继而可得5HC =，求出最小值.【小问1详解】解：圆C 的方程即()()22125x y m -++=+，所以5m -<，再根据点(),2A m -在圆C 的内部，可得()()221225m m -+-+<+，求得14-<<m .【小问2详解】当4m =时，圆C 的方程即()()2212549x y -++=+=，而()()2242x y -+-表示圆C 上的点(),P x y 到点()4,2H 的距离的平方，由于()()2241225HC =-++=，故()()2242x y -+-的最小值为()2534-=.20.已知两定点())122,0,2,0F F ，满足条件212PF PF -= 的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两个不同的点．（1）求曲线E 的方程；（2）求实数k 的取值范围；【答案】（1）221(0)x y x -=<（2）()2,1--【解析】【分析】（1）首先根据曲线的定义判断出曲线E 是双曲线的左支，a 和c 已知，则可求得b ，曲线E 的方程可得；（2）设出A ，B 的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y ，进而根据直线与双曲线左支交于两点A ，B ，联立不等式求得k 的范围；【小问1详解】由双曲线的定义可知，曲线E 是以12(2,0),2,0)F F -为焦点的双曲线的左支，且1c a ==，则1b ==，故曲线E 的方程为221(0)x y x -=<．【小问2详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意建立方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩，消去y ，得22(12)20k x kx --=+，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有22212212210Δ(2)8(1)0201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩，解得1k <<-．所以k的取值范围是()1-．21.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且2AD DC AC ==，四边形ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且AF AD =.（1）求证：AD ⊥平面EDC ；（2）求平面BEF 与平面CDE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的性质定理，证得EC ⊥平面ABCD ，得到EC AD ⊥，再由勾股定理，证得AD DC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面EDC 和平面BEF 的法向量(0,1,0)m = 和()1,1,1n =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，且EC AC ⊥，EC ⊂平面ACEF ，所以EC ⊥平面ABCD ，又因为AD ⊂平面ABCD ，所以EC AD ⊥，因为2AD DC AC ==，可22222))22AD DC AC AC AC +=+=，所以AD DC ⊥，又因为EC DC C = ，且,EC DC ⊂平面EDC ，所以AD ⊥平面EDC .【小问2详解】解：因为//AF CE 且EC ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，以A 点为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设AC =，则1AD DC AF ===，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，()0,0,1F ，则()0,1,1BE = ，()1,0,1BF =- 由（1）知，AD ⊥平面EDC所以平面EDC 的一个法向量为(0,1,0)m AD ==，设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BE y z n BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以()1,1,1n =-，设所求的锐二面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅===- ，又因为平面BEF 与平面CDE 所成夹角为锐角，所以平面BEF 与平面CDE所成夹角的余弦值为3.22.已知C 为圆()22112x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点()1,0M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于E ，F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）163,1633⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）由线段MP 的垂直平分线，得到3QC QM +=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，分别求得2AB EF ⋅；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，结合弦长公式，求得AB 和2EF ，进而求得2AB EF ⋅的值.【小问1详解】解：由线段MP 的垂直平分线，可得232CP QC QP QC QM CM =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，M 为焦点，焦距为2，长轴长为23所以3a =1c =，则222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知，椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1E ，()1,1F -，所以3AB =，24EF =，23AB EF ⋅=．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +==+，因为圆心()0,0O 到直线l 的距离d =所以()22222424211k k EF k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==⋅++++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20,k ∈+∞，所以23AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上可得，23AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．。
高二数学上学期第一次月考试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校潜山第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，那么A ∪B 等于()A.{x |x >0}B.{x |x >1}C.{x |1<x <2}D.{x |0<x <2}【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合B ，再由并集的定义即可求出． 【详解】因为集合{}02B x x =<<，A ＝{x |x >1}，所以{}0A B x x ⋃=>．应选：A ．【点睛】此题主要考察集合的并集运算，属于根底题．x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，那么角x 的最小正值为() A.56πB.53π C.116π D.23π 【答案】B【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 53sin cos 62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．应选：B ．【点睛】此题主要考察利用角的终边上一点求角，意在考察学生对三角函数定义的理解以及终边一样的角的表示，属于根底题．3.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，那么数列{a n }的公差d 等于〔〕 A.－1 B.－2C.－3D.－4【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质知，，所以，又，解得：，应选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．a >0，b >0，且ln (a ＋b )＝0，那么11a b+的最小值是() A.14B.1C.4D.8【答案】C 【解析】 【分析】先将对数式化指数式，再根据根本不等式即可求出． 【详解】由()ln0a b +=得1a b +=，所以()11112224b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12ab ==时取等号，故11a b+的最小值是4． 应选：C ．【点睛】此题主要考察对数的性质以及根本不等式中“1的代换〞的应用，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．以下说法正确的选项是() A.假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n B .假设m ⊥α，n ⊂α，那么m ⊥nC.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥αD.假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面关系的定义、性质、结论和断定定理对各项逐个判断即可． 【详解】对于A ，假设,mn αα，那么m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，所以A 错误；对于B ，根据线面垂直的定义可知，正确； 对于C ，假设,m m n α⊥⊥，那么n α或者n ⊂α，所以C 错误；对于D ，假设,m m n α⊥，那么n 可能垂直于α，也可能n⊂α，也可能n α，所以D 错误．应选：B ．【点睛】此题主要考察空间线线、线面关系的判断，意在考察学生的直观想象和逻辑推理才能，属于中档题． 〔1，1〕在圆()()224x a y a -++=的内部，那么a 的取值范围是〔〕A.11a -<<B.01a <<C.1a <-或者1a >D.1a =±【答案】A 【解析】因为点〔1，1〕在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，那么a 的范围是()A.a <－2或者a >23B.－23<a <2C.－2<a <0D.－2<a <23【答案】D 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为圆的HY 方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的HY 方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化HY 方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=〔其中2240D E F +->〕，圆心为(,)22D E--，半径2r =．8.点P 〔2，﹣1〕为圆〔x ﹣1〕2+y 2=25的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为〔〕 A.x+y ﹣1=0B.2x+y ﹣3=0C.x ﹣y ﹣3=0D.2x ﹣y ﹣5=0【答案】C【解析】试题分析：由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．解：∵AB是圆〔x﹣1〕2+y2=25的弦，圆心为C〔1，0〕∴设AB的中点是P〔2，﹣1〕满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0应选C考点：直线与圆相交的性质．9.一个算法：(1)m＝a.(2)假设b<m，那么m＝b，输出m；否那么执行第(3)步．(3)假设c<m，那么m＝c，输出m.假设a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A.3B.6C.2D.m【答案】C【解析】【分析】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，即可求解．【详解】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，故执行这个算法的结果是2.应选：C．【点睛】此题主要考察对算法语句以及算法功能的理解．C 的方程为22(2)(1)9x y -++=，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C 上到直线l 的间隔为10的点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：由22(2)(1)9x y -++=，可得圆心坐标为(2,1)C -，半径为3r =，那么圆心到直线的间隔为d ===，所以此时对应的点位于过圆心C 的直径上，所以满足条件的点有两个，应选B ． 考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的据公式和直线与圆位置关系的断定与应用，试题思维量和运算量较大，属于中档试题，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及数形结合思想的应用，此类问题平时需要注意方法的积累和总结．11.两点A 〔－2，0〕，B 〔0，2〕，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是〔〕A.3B.3C.3 【答案】A 【解析】 试题分析：圆C的HY 方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的间隔为2d ==，点C 到AB 的间隔的最小值为1-，AB =，所以ABC∆面积最小值为11)32S =⨯=．应选A ． 考点：点到直线的间隔．(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 A.20x y +-= B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两局部的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又P(1，1)，那么所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1，1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.应选A.第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.)13.函数的定义域为___________________________．【答案】()1,1- 【解析】 【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要210340x x x +>⎧⎨--+>⎩,解这个不等式获得交集即可. 【详解】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩得－1<x<1. 故答案为()1,1-.【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①假设函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出;②假设函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，那么C 的方程为__________．【答案】22(2)10x y -+=.【解析】 【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】此题主要考察圆的性质和圆的方程的求解,意在考察对根底知识的掌握与应用，属于根底题. 15.执行如图的程序框图，假设输入的ε的值是0.25，那么输入的n 的值_____.【答案】3. 【解析】根据运行顺序计算出11F 的值，当11F ≤ε时输出n 的值，完毕程序．由程序框图可知：第一次运行：F 1＝1＋2＝3，F 0＝3－1＝2，n ＝1＋1＝2，11F ＝13＞ε，不满足要求，继续运行； 第二次运行：F 1＝2＋3＝5，F 0＝5－2＝3，n ＝2＋1＝3，11F ＝15＝0.2＜ε，满足条件． 完毕运行，输出n ＝3.【此处有视频，请去附件查看】,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，那么b =__________．【答案】32【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 17.如下列图，底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开场由左至右挪动(与梯形ABCD 有公一共点)时，直线l 把梯形分成两局部，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边局部的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．【答案】221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩，程序框图和程序见解析． 【解析】 【分析】根据直线l 将梯形分割的左边局部的形状进展分类讨论，求出函数关系式，即可根据条件构造画出程序框图，并写出程序．【详解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .∵四边形ABCD 是等腰梯形，底角是45°，AB ＝2cm ，∴BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm .又BC ＝7cm ，∴AD ＝GH ＝3cm ，当02x ≤≤时，212y x =； 当25x <≤时，22y x =-； 当57x <<时，21(7)102y x =-+， 所以221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩． 程序框图如下：程序：INPUT “x ＝〞；xIFx >＝0ANDx <＝2THENy ＝0.5*x ^2ELSEIFx <＝5THENy ＝2*x -2ELSEy =-0.5*(x -7)^2+10ENDIFENDIFPRINTyEND【点睛】此题主要考察分段函数解析式的求法、程序框图的画法以及程序语句的书写，意在考察学生分类讨论思想和算法语句的理解和书写．xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,那么圆C 的方程为.【答案】22(3)(1)0.x y -+-= 【解析】【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知23610,y x x x =-+==±∴同时令x=0,得到函数与y 轴的交点坐标为〔0，1〕，那么利用圆的性质可知，与x 轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，设圆心为：(3,)t ，那么229(1)8t t +-=+，解得1t = 因此可知圆的方程为22(3)(1)0.x y -+-=，故答案为22(3)(1)0.x y -+-=．考点：本试题考察了抛物线与坐标轴的交点问题．点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于根底题．19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．〔1〕求PB 和平面PAD 所成的角的大小；〔2〕证明AE⊥平面PCD ．【答案】〔1〕45°；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先找出PB 和平面PAD 所成的角，再进展求解即可；〔2〕可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．〔1〕解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt△PAB 中，AB=PA ，故∠APB=45°．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．〔2〕证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因为PA⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD⊥PA．因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以AE⊥CD．由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ．因为E 是PC 的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD ．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的断定．()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.〔1〕求()f π的值；〔2〕当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】〔1〕4π-〔2〕4 【解析】【分析】〔1〕由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--， 再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，〔2〕由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：〔1〕由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.〔2〕由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-， 得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，那么()f x 44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，那么1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考察了函数性质的应用，重点考察了作图才能，属中档题.()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值． 【答案】〔Ⅰ〕π;〔Ⅱ〕最小值12-和最大值14． 【解析】 试题分析：〔1〕由利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；〔2〕由〔1〕得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由，有 ()f x 的最小正周期． 〔2〕∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2.(1)设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】(1)见解析；(2)a n=(3n−1)·2n−2.【解析】(1)由a1=1及S n＋1=4a n＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.∴a2=5，∴b1=a2−2a1=3.又①−②，得a n＋1=4a n−4a n−1，∴a n＋1−2a n=2(a n−2a n−1)．∵b n=a n＋1−2a n，∴b n=2b n−1，故{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n=a n＋1−2a n=3·2n−1，∴−=，故是首项为，公差为的等差数列．∴=＋(n−1)·=，故a n=(3n−1)·2n−2.。
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高二数学月考试题(Ⅰ卷)
一选择题（125=60分）
1，已知数列中，a=1, a=2 且（n）,则S=
A 2500
B 2600
C 2700
D 2800
2,已知数列满足a=0，a=（n），则a等于
A 0
B -
C D
3,在中，AB=,A=45,C=75,则BC=
A 3-
B
C 2
D 3+
4,已知数列是等差数列，a=10，其前10项的和S=70,则其公差d=
A -
B -
C D
5,已知x>0,y>0,x 、a、b、y成等差数列，x 、c、d 、y成等比数列，则的最小值是
A 0
B 1
C 2
D 4
6，不等式的解集是
A （-2，1）B（2，+）
C （-2，1）（2，+）D（-，-2）（1，+）
7如果不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是
A （1，3）
B （-，3）C（-，1）（2，+） D (-+)
8,设a、b、c是的3条边边长，对任意实数x，f(x)=b x+( b+ c- a)x+ c则有
A f(x)=0
B f(x)>0
C f(x)0
D f(x)<0
9,在中，B=60,最大边与最小边之比为（）：2，则最大角为
A 45
B 60
C 75
D 90
10，等比数列的各项为正数，公比q满足q=4，则的值为
A B 2 C D
11，数列的通项公式是=（n），若前n项的和为10，则项数为A 11 B 99 C 120 D 121
12，已知实数列-9，a、a、-1是等差数列，实数列-9，b、b、b、-1是等比数列，则
b（a-a）=
A 8
B -8
C 8 D
高二数学月考试题(Ⅱ卷)
二填空题（45=20分）
13，已知等腰的腰为底的2倍，则顶角A的余弦值是
14，定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且a=2，公和为5，那么a= ,这个数列的前n项和S的计算公式为
15，数列的前n项和S满足log( S+1)=n+1,则数列的通项公式为
16，已知x.>0,y>0,且2x+8y-xy=0则x+y的最小值为
三解答题（共70分）（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（10分），若正数x、y满足x+2y=1,求+的最小值。
18（12分）,解不等式
19（12分），解关于x的不等式（a-x）(x-x-2)>0, 其中常数a为实数。
20（12分），在数列中，a=2, a=2a+2(n2, n)，
(1),令b=,求证数列是等差数列。
(2),在(1)的条件下，设T=++……，求T
21（12分）, 在中,三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且
（1）,求证是直角三角形。
（2），设圆o过A、B、C三点，点P位于劣弧上，且PAB=60，求四边形ABCP的面积。
22（12分），设数列满足a+3 a+3a+……3a=( n)
(1) 求数列的通项.
(2) 设b=求数列的前n项和。
高二数学月考试题答案B B A D,D C A B,C D C B
13,14, 3 S=
15，a=16, 18
17题
当且仅当x=时取“=”号.
18题，
19题当a<-1时，解集是；当a=-1时，解集是；当-1<a<2时，解集是；当a=2时，解集是；
当a>2时，解集是。
20题，（1）略
（2），T=（利用裂项相消求和）
21题，（1）证明：根据正弦定理得
即sin2A=sin2B,2A=2B或者2A=.
又A B,2A=A+B=,C=
是直角三角形。
（2）由（1）可得a:b:c=3:4:5,又c=10, a=6,b=8
在Rt ABC中，sin cos
sin
S=S+S=18+8
22题,（1）a+3 a+3a+......3a=( n) (1)
a+3 a+3a+......3a+3a=( n) (2)
(2)-（1）得：3a=，经验证a=也适合，即a=
（2）b==n3
S=13+23+33+......+ n3 (1)
3S= 13+23+......+(n-1) 3+n3.. (2)
(1)-(2)得:-2 S=3+3+3+…….+ 3- n3
S=（利用错位相减法求和）。