结构力学I-第章位移法_图文

1st:取一个杆件分析
FNi
EAi li
ui
刚度方程
刚度系数
2nd:综合成结 构
ui sini
3rd:结点B的平衡条件
5
FNi sini 0
i1
位移法基本方程：
5
i1
EAi li
sin2 i
FP
5 i1
FP
EAi li
sin 2
i
关键的一步！
各杆的轴力：
FNi
EAi li
sin i
P
A
B
MAB0 MBA0
P
A QAB0
B QBA0
(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端在垂直
于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使杆件顺时针转
动为正,反之为负。
2015-12-21
A
B
A
θA
B
θB
AB
§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
等截面梁的形常数
为给位移法计算刚架作准备——等截 面杆件！
先拆散：每个刚结点处只规定了一个转角，因此刚结点处的各 杆杆端转角彼此相等——结点处的变形连续条件。
后组装： 1. 在结点处各个杆件的变形要协调一致； 2. 装配好的结点要满足平衡条件。
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§7-3 位移法解无侧移刚架
例题：试作图所示刚架的弯矩图。
解：
1. 基本未知量
2015-12-21
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未 知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移法方程 ——求出未知位移——利用位移与内力之间确定的关系 计算相应的内力。
v 0 h 0
基本未知量
杆的伸长 ui 杆端力为 FNi
只需增加一根链杆，1个独立的线位移
Z1
Z1
F1
ห้องสมุดไป่ตู้
C
D
C D
F2
B
B Z2
E Z2
E
A
F
A
F
Z1
Z1
F1
C
D
C
D
F2
B
B Z2
E Z2
E
A
F
A
F
结构有四个刚结点——四个结点角位移。 需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。 需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件，变形后两端 之间的距离不能看作是不变的。
用力法求解杆端内力： 取简支梁基本结构
FP
x
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1 2
A B
y
11
22
l 3EI
12
21
l 6EI
1
2
AB l
解出 作出 M 1 、 M 2 、 R （略）
X1
4EI l
A
2EI l
B
6EI l2
AB
X2
2EI l
A
4EI l
B
6EI l2
AB
5 i1
EAi li
sin2 i
FP
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
由上面的简例，可归纳出位移法的要点如下：
一、位移法的基本未知量
1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移
结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。 铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算 杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。
2 62 8
9 kN m
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M AB 2iB 15kN m
M BA
4iB
15 kN
m
M BC 3iB 9 kN m
§7-3 位移法解无侧移刚架
M B =0， M AB +M BC =0
位移法的基本方程
7iB 6 kN m 0
位移法的基本作法：
B
6
kN m 7i
刚度系数
M M
AB BA
4i 2i
FQAB 6i / l
2i 4i 6i / l
6i / l A
6i
/
l
B
12i / l2
弯曲杆件的刚度方程
刚度系数是只与杆件的长度、截面尺寸和材料材料性质有关的常 数，又称为形常数。
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
A
B
两端固定梁
A
B
一端固定、一端铰支梁
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材 料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(7-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为载常数。列于表(7-1) 。
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
1. 两端固定的等截面直杆
M M
AB BA
= 4i A = 2i A
2iB 4iB
6i 6i
/ /
l l
M M
F AB
F BA
杆端剪力的一般公式为：
FQAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF QAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF QBA
§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
注意：在可忽略直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的 距离保持不变。
2. 确定独立结点线位移的方法—— 观察法、换铰 法。
观察法
结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点角 位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。
对于不易观察的结构用换铰法。
先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点， 从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不 变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的 数目。
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
由平衡条件求出杆端剪力：
FQAB
=FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
转角位移方程：
M M
AB BA
= 4i A = 2i A
2iB 4iB
6i 6i
/ /
l l
（1）
思考：用力法 （2） 怎么计算？
为紧凑起见，写成矩阵的形式：
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB i A
M BA
i A
§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
由荷载求固端内力——载常数
两端固定的等截面直杆
记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为：
M
F AB
M
F BA
杆端剪力分别为：
FF QAB
MAB
F
A A
EI
A B
FSAB
l
B AB
MBA FS AB
由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。
杆端弯矩的一般公式：
M AB
4iAB A
2i AB B
6iAB
ΔAB l
M
F AB
M BA
2iAB A
4iABB
6iAB
ΔAB l
M
F BA
FQAB
6iAB l
FF QBA
因为只与荷载形式有关，所以又
称为载常数。
M
F AB
FPi ai
l ai l2
2
l qaal a2
0
l2
da
M
F BA
FPi ai2
l ai l2
2
l qaa2 l a
0
l2
da
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位 移，则根据叠加原理，杆端弯矩的一般公式为：
2015-12-21
§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
不同支座时的刚度方程：
M M
AB BA
= 4i A = 2i A
2iB 4iB
6i 6i
/ /
l l
B 0
M AB =4iA 6i / l
M
BA
=2i
A
6i
/
l
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度 改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结 果。
FP x
y
§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支
座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉 纤维一侧。剪力的规定同前.
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位移法是计算超静定结构的基本方法之一。