【推荐下载】资料分析答题技巧之二项式定理的应用(2)

二项式定理11种题型解题技巧

二项式定理知识点及11种答题技巧【知识点及公式】1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。

二项式定理解题技巧

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

二项式定理的应用(二)

通过本节课的学习你的收获是什么？
1.掌握二项式定理中二项展开式及通项的特征 2.掌握用二项式定理的正用、逆用以及变形应用，能用二项式定理求近似值，证整除性和求余数
作业：37页B组1.2
• 计算 • (1)(0.996)3的近似值(精确到0.001) • (2)(1.003)5的近似值(精确到0.001)
(r 0,1, 2,n)
n n n n n
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念 4.特殊地：1 x n 1 C1 x C 2 x2 C r xr C n x n （）令以x=1得
C C C C (1 1) 2
0 n 1 n 2 n n n n
(1)证明:9910-1能被1000整除
(2)证明:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除 (3)今天是星期日,再过290天是星期几? (4)11100-1末尾连续零的个数是 (一)
个 (3个)
3
n n
2
5( x 1)
0 n n
解(1):将原式变形
原式 C 1 C 1 .2 C 1 .2 C 2
2
1 n 1 n
2 n2 n
n n n
(1 2) 3
n
n
解:(2)原式 C
[( x 1) 1] 1
5
( x 1) C ( x 1) C ( x 1) 4 5 5 3 2 C5 ( x 1) C5 ( x 1)C5 C5
二项式定理的应用（二）
复习
1.二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n
2.通项：Tr 1

二项式定理的妙用

二项式定理的妙用苏改琴在数学中，有许多美妙的命名和定理。

二项式定理就是其中之一。

首先，看一看我们的二项式定理：（a+b ）n =)(*222110N n b C b a C b a C b a C a C n n n r r n r n n n n n n n ∈+⋯⋯++⋯⋯+++---.这个公式所表示的定理就是二项式定理。

其中右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，它一共有 n+1 项，且每项的次数都是 n 次，各项的系数 r n C (r=0、1、2……、n) 叫做二项式系数，r r n n r b a Cr T -+=1 叫做二项展开式的通项公式，在这里 r+1才是项数，第一位置的 a 按降幂排列，次数由n 次降到0 次，第二个位置的 b 按升幂排列，次数由0次升到 n 次， a 、b 可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征，通项公式，就有许多美妙的用处。

其次，谈谈二项式定理的妙用:1）若在二项式定理中，令a=1、b=1 就能得到 n n 210C C C C n n n +⋯⋯+++ =n 2 即各二项式系数之和等于n 2，也是含n 个元素的集合的所有子集有n 2个，其中非空子集、真子集都有n 2-1个,非空真子集有n 2-2个。

2）若令 a=1、b=-1 则可得0)11(13210=-=-+⋯⋯+-+-n n n n n n n n C ）（C C C C即131202-=⋯⋯++=⋯⋯++n n n n n C C C C ，也就是在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于12-n 。

3）在二项式定理中，若令a=1、b=x ，则得到公式n n n r r n n n n x C x C x C x C x +⋯⋯++⋯⋯+++=+2211)1( ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式。

4）充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项。

二项式定理及其应用

二项式定理及其应用
二项式定理是数论中一个非常重要的理论，它描述了给定集合中选择k个元素的方式数量，其公式为（n）k= n! /（k！*（n-k）！）。

它最初是用来解释组合学中k阶排列数量的，有时也被称为古典二项定理。

二项式定理有许多实际应用，其中一个例子是组合推断，这是一种表明一个考试的概率的方法。

考生可以使用它来计算出他们可能会得到给定数量正确选择的概率。

另一个应用是游戏分析，二项式定理可以用来分析不同概率情况下游戏的有效性，例如抽支筹码或投掷骰子。

再一个应用例子是解决统计学中的聚类问题。

聚类是一种将相似的元素分组的过程，二项式定理可以用来计算不同类别间特征之间的相关性，从而帮助确定最佳分组选择。

另外，二项式定理还可用于仿真建模，可以帮助科学家预测某个实际现象的演变趋势。

二项式定理还可用于优化算法，例如遗传算法，其中需要计算可能出现不同情况的概率。

总之，二项式定理是一个非常重要和有用的理论，它在组合学中有广泛的应用，涉及到统计、概率和优化等领域。

这些应用不仅可以帮助
我们解决具体问题，还可以提供有用的信息，指导我们研究解决问题的有效方法。

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广与应用二项式定理是代数中一个重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。

然而，二项式定理不仅限于展开二项式，还可以推广和应用于多项式、数列和概率等领域。

本文将介绍二项式定理的推广和应用，并探讨其在代数中的重要性。

首先，让我们回顾一下二项式定理的基本形式。

二项式定理陈述了如何展开一个形如(a + b)^n的二项式，其中a和b是任意的实数或复数，n是一个非负整数。

根据二项式定理，我们可以得到展开式的形式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n)a^0 b^n其中C(n, k)表示组合数，在数学中以“n choose k”表示，它表示从n个元素中选择k个元素的方式数。

这个公式是通过使用二项式系数来计算每个展开式中各项的系数。

然而，二项式定理不仅仅适用于展开二项式。

它可以推广到展开多项式。

当(a + b)^n 中的幂指数n大于2时，我们可以将其展开为三项、四项和更多项的和。

例如，当n等于3时，展开式为：(a + b)^3 = C(3, 0)a^3 b^0 + C(3, 1)a^2 b^1 + C(3, 2)a^1 b^2 + C(3,3)a^0 b^3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3这种推广可以应用于任意的幂指数n，从而生成展开式的所有项。

这在代数中有广泛的应用，例如多项式运算和多项式函数的近似计算。

除了在代数中的应用，二项式定理还可以用于数列的推导。

数列是一组有序的数的集合，它们之间有一定的规律。

二项式定理可以帮助我们找到数列中的模式，并进一步推导出数列中的第n项。

例如，考虑以下数列：1, 3, 6, 10, 15, ...我们可以看出，这个数列是一个递增的自然数序列。

使用二项式定理，我们可以得到该数列的通项公式。

二项式定理的综合应用(2)

选修2－3 第1章计数原理§1.5二项式定理的综合应用2（理科）（习题课）总第27教案一、【教学目标】1、正确理解二项式定理，会区分项的系数与项的二项式系数；2、熟练掌握二项式定理的通项公式及其应用。

二、【知识与方法】1、二项式定理及其特例：（1）11110)(----+++++=+n n nr r n r n n n n n n ab C b a C b a C a C b a ΛΛn n n b C +；（2）n r r n n n n x x C x C x C x ++++++=+ΛΛΛΛ2211)1(；2、二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1（r=0,1,2,……,n ）。

3、常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制。

4、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即n n n C C =0，11-=n n n C C ，22-=n n n C C ,……,r n n r n C C -=；（2）当n 为偶数时，n+1是奇数，中间项是第12+n 项，二项式系数中，以2n n C 最大，即中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，n+1是偶数，中间两项是第2321++n n ，项，二项式系数中以21-n nC 和21+n n C （两者相等）最大，即中间两项的二项式系数相等且最大。

二项式系数从两端向中间逐渐增大。

（3）二项式系数和等于n 2，即n nn n n n C C C C 2210=++++ΛΛ；（4）二项式系数中，偶数项的系数和等于奇数项的系数和，即ΛΛ+++531n n n C C C=14202-=+++n n n n C C C ΛΛ。

5、在使用通项公式r r n r n r b a C T -+=1时，要注意：（1）通项公式是表示第r+1项，而不是第r 项；（2）展开式中第r+1项的二项式系数r n C 与第r+1项的系数不同；（3）证明组合恒等式常用赋值法；（4）要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式。

二项式定理的应用

二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。

二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。

利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。

设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。

【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

二项式定理之应用

题组一
小结：求特征项问题（1）知识点：（2）易错点：
题组二
小结：抽屉法
（1）展开式中的每一项都是从每个抽屉中取1个元素乘积得到；（2）考察目标项，应如何选取；（3）机会均等，不重不漏。
小试身手
小结：抽屉法
（1）展开式中的每一项都是从每个抽屉中各取1个元素乘积得到；（2）考察目标项，应如何选取；（3）机会均等，不重不漏。
的展开式中 x3 项的系数.
5、(x+y+z)9含x4y2z3的项的系数是__________
6、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
小试身手
课堂练习：
1.
C n1

2C
2 n

4C
3 n

2 n1
C
n n
等于
（）
A. 3n B. 3n 1 C. 3n 1 D. 3n 1
2
2
2．在 x2 3x 2 5 的展开式中x的系数为（）
A．160 B．240 C．360 D．800
3.求 (1 x) (1 x)2 (1 x)16
题组三
小结：赋值法
（1）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．（2）令a，b取何值，应视具体情况而定，一般取 “1、－1或0”，有时也取其他值．
题组四：
(1 2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。
小结：待定系数法
方法：设第K项系数Ak最大，则然后解不等式组得到K的值。

二项式定理三种常见考题精妙解题方法

二项式定理三种常见考题精妙解题方法
大家好，我是青颜，从事教育领域已经有五年的时间！是一个永远热情洋溢永远乐观的内心十八的小姐姐！每日分享快速解题技巧、高考出题规律、高考咨询、志愿规划等，欢迎大家的交流哦！
二项式定理是高中数学的一个重要内容,题型比较稳定,主要围绕其展开式及其通项公式而展开,一般集中在求特殊项、二项式系数、整除、余数、近似值等问题上,试题较灵活.解决二项式定理问题,主要有三种方法。

青颜整理的63套常见常考基础考点的解题方法大全，关于二项式定理梳理了三种解题题型，求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等。

整个高中数学解题方法大全都一一将常见解题方法进行归纳了万能的解题模板，让大家通用学会！
全系列总共梳理了63套考点常见的解题方法！二项式定理的三种必考题型及解题模板作为独立一个专题来介绍！
类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
类型二二项式系数的性质与各项系数和
类型三二项式定理的应用。

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州22中学高洪武 325000二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

关注二项式定理常用的解题策略

教学参谋解法探究２０２０年１１月
关注二项式定理常用的解题策略
? 甘肃省武威第六中学张国文
二项式定理是近年高考中的常考点，主要以选择题和填空题的形式出现．具体解题时，关注常用解题策略的灵活运用，有利于迅速探求解题思路，顺利求解目标问题．
犪＋犫＝
．
解析：因为（１＋槡２）５＝１＋Ｃ１５·槡２＋Ｃ２５·（槡２）２＋
Ｃ３５·（槡２）３＋Ｃ４５·（槡２）４＋Ｃ５５·（槡２）５＝１＋５槡２＋２０
＋２０槡２＋２０＋４槡２＝４１＋２９槡２，所以由题设得４１＋
２９槡２＝犪＋犫槡２犪＝４１，犫＝２９犪＋犫＝７０．评注：本题求解的关键是利用二项展开式，对（１
常用策略一、运用“二项展开式”求解
注意：当狀∈犖时，（犪＋犫）狀＝Ｃ狀０犪狀犫０＋Ｃ狀１犪狀－１犫１＋…＋Ｃ狉狀犪狀－狉犫狉＋…＋Ｃ狀狀犪０犫狀，此等式的右边称作二项展开式．
特别地，（１＋狓）狀＝１＋Ｃ狀１狓＋Ｃ狀２狓２＋ … ＋Ｃ狉狀狓狉＋ … ＋Ｃ狀狀狓狀（狀 ∈ 犖）．
例１若（１＋槡２）５＝犪＋犫槡２（犪、犫为有理数），则
４．求特定项的个数
例６在（狓＋槡４３狔）２Fra bibliotek 的展开式中，系数为有理数
的项共有
项．
解析：因为犜狉＋１＝Ｃ狉２０·狓２０－狉·（槡４３狔）狉＝Ｃ狉２０·３狉４
狉
·狓２０－狉·狔狉，所以要使系数Ｃ狉２０·３４为有理数，则必须
使狉为４的倍数．
又注意到狉＝０，１，２，…，２０，从而只有当狉＝０，４，
．
解析：犜狉＋１＝Ｃ狉４·（狓槡狔）４－狉·（－狔槡狓）狉＝（－１）狉

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广与应用一、引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它在代数和组合数学中有着广泛的应用。

本文将介绍二项式定理的推广和应用，探讨它在不同领域中的具体应用案例。

二、二项式定理的推广二项式定理是将两个项相乘得到一个多项式的定理。

在二次和三次多项式中，它表达为：(x+x)^2=x^2+x^2+2xx(x+x)^3=x^3+x^3+3x^2x+3xx^2然而，二项式定理不仅适用于二次和三次多项式，它可以推广到更高次的多项式。

例如，对于阶数为x的多项式(x+x)^x，我们可以使用二项式定理的推广公式来展开：(x+x)^x=x(x,0)x^xx^0+x(x,1)x^(x−1)x^1+x(x,2)x^(x−2)x^ 2+...+x(x,x−1)x^1x^(x−1)+x(x,x)x^0x^x其中，x(x,x)表示从x个元素中选取x个元素的组合数。

三、二项式定理的应用1. 代数学中的应用二项式定理在代数学中具有广泛的应用，可以用来展开多项式并简化计算。

例如，当我们需要计算一个多项式的高次幂时，可以利用二项式定理的推广公式来展开，从而简化计算过程。

此外，二项式定理还可以用来证明一些重要的代数等式和不等式。

2. 组合数学中的应用组合数学是研究离散结构和组合对象的一个分支，而二项式定理中的组合数x(x,x)恰好是组合数学的基础概念之一。

组合数学在计算概率、计数问题、图论等领域中有着重要的应用。

通过应用二项式定理，我们可以解决一些复杂的组合问题，计算排列和组合的数量等。

3. 概率论中的应用概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的可能性。

二项分布是概率论中的一种常见分布，它描述了在若干次独立重复试验中，成功次数的概率分布。

二项式定理可以用来推导二项分布的概率公式，从而计算随机事件的概率。

4. 统计学中的应用统计学是研究数据收集、分析和解释的一门学科。

在统计学中，我们常常需要计算组合数和排列数，例如用于计算样本空间的大小、计算排列组合的可能性等。

二项式定理题型及解题方法(可打印修改)

项
C
r n
a
nr
b
r
的二项式系数是组合数
C
r n
，展开式的系数是单项式
C
r n
a
nr
b
r
的
系数，二者不一定相等.
如(a－b)n 的二项展开式的通项是 Tr1 (1)r Cnr anrbr ，在这里对应项的二项式系数都是 Cnr ，但项的
第 2 页共 12 页
系数是 (1)r Cnr ，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.
设 f (x) (ax b)n a0 a1x a2 x2 L an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2)令 x=1，则 a0 a1 a2 L an f (1) (a b)n
(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1；
(2)二项式系数：第
r+1
项的二项式系数为
C
r n
，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n．字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，
次数从 0 到 n，每一项中，a，b 次数和均为 n；
3.两个常用的二项展开式：
C51(4x3 )4 (3)
C52 (4x3 )3 (3)2
C53 (4x3 )2 (3)3
C54 (4x3 )(3)4
C55 (3)5 ]
1 (1024x15 3840x12 5760x9 4320x6 1620x3 243) 32 x10
32x5 120x2 180 135 405 243 . x x4 8x7 32x10

04二项式定理的应用

; 例9. (1) 求使2n－1能被7整除的所有正整数n; 解：设m是自然数，则是自然数， n=3m时当n=3m时， =7k+1， 2n=23m=8m=(7+1)m=7k+1，(k∈N) n=3m+1时当n=3m+1时， =2·8 =2·(7+1) 2n=23m+1=2 8m=2 (7+1)m =2(7k+1)=7(2k)+2， =2(7k+1)=7(2k)+2，(k∈N) n=3m+2时当n=3m+2时， =4·8 =4·(7+1) 2 n=23m+2=4 8m=4 (7+1)m =4(7k+1)=7·(4k)+4 (4k)+4， =4(7k+1)=7 (4k)+4，(k∈N) 当且仅当n=3m(m∈N) n=3m(m∈N)时能被7整除。 ∴当且仅当n=3m(m∈N)时，2n-1能被7整除。
分析：利用构造法，构造一个与正数7 分析：利用构造法，构造一个与正数7有关的二项式8 关的二项式8n =(7+1)n，利用它的展开式来分析被7的整除性。所以，展开式来分析被7的整除性。所以，把自然数n按照被3 把自然数n按照被3整除的余数进行分类， n=3m、n=3m+1、分类，即n=3m、n=3m+1、 m=3m+2(m∈N)三种情况三种情况。 m=3m+2(m∈N)三种情况。
(其中r=0，1，2，…，10)；其中r=0， r=0 ，10)；
1 )r的通项公式为而二项式(x+ 而二项式(x+ 2 x
其中k=0 k=0， Tk+1=Crkxr－3k (其中k=0，1，2，…，r)；，r)；

二项式定理的应用教案

二项式定理的应用（二）高二邓志钊一、教学目标：1.知识与技能：能利用二项式定理求余数问题，能利用二项式定理证明整除问题，利用“赋值法” 求展开式部分项系数及二项式系数和。

2.过程与方法：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。

二、本节内容分析及命题趋势：高考对本单元的特点是基础和全面，每年对本单元知识点的考查都没有遗漏。

估计每年一道排列组合题，一道二项式定理题是不会变的，试题难度仍然回维持在较易到中等的程度。

二项式定理的试题是多年来最缺少变化的试题，今后也很难有什么大的改变。

而整除问题及“赋值法”是考试的热点。

三、教学过程：（1）复习回顾1、二项展开式+++=+--222110)(b a C b a C a C b a n n n n n n n ……++-r r n r n b a C ……+n n n n n n b C ab C +--112、二项展开式的通项=+1r T r r n r nb a C - （r=0,1,2,……,n ） 3、二项式定理应用（一）直接利用展开式求指定项、特定项、者有理项。

(2)创设情景，引入新课今天是星期三，则今天后的第351 天是星期几？（学生思考）思路分析：351 =2717=（28-1）17+-16117170172828C C ……+17171617)1(28C C +-⋅=28[+-15117160172828C C ……+)1(1617-⋅C ]+1 前面是7的整数倍，所以再过351天是星期四。

如果题目改为：351除7的余数是多少呢？评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系。