高二数学(直线与椭圆的位置关系(2))

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2019-2020年高中数学直线与椭圆的位置关系教案(高二)

2019-2020年高中数学直线与椭圆的位置关系教案（高二）知识点归纳1、椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=，==e ；（2）,；（3）焦半径：， . 2、直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与椭圆的相交问题要用好化归思想和等价转化思想 3、涉及直线与椭圆相交弦的问题：主要有这样几个方面：有弦长,弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决） 4、涉及到椭圆焦点弦的问题：可以利用椭圆的焦半径公式（即椭圆的第二定义） 5、韦达定理的运用：由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 6、弦长公式：若直线与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=；若直线与椭圆交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(y y m AB -+=7、椭圆的参数方程的参数方程为：，的参数方程为：典型示例：【例1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得，即．设椭圆上的点到点的距离为，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d 49sin 3sin 34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果，即，则当时，（从而）有最大值．由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立．于是当时（从而）有最大值．由题设知，∴，．∴所求椭圆的参数方程是．由，，可得椭圆上的是，．【变式】求椭圆上的点到直线的距离的最小值．解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd ．当时，．【例2】已知椭圆，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；③求过点且被平分的弦所在的直线方程．解：设弦的两端分别为、，的中点为，则，，两式相减并除以得：0)(212121212=--⋅+++x x y y y y x x而，（*）①将代入（*）式，得所求的轨迹方程为（椭圆内部分） ②将代入（*）式，得所求的轨迹方程为（椭圆内部分） ③将，代入（*）式，得：，故所求的直线方程为【变式】求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程. 解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，则221(2)185y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去得222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=，∴，又∵为弦的中点，∴，即， ∴，从而直线方程为．（法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，则，得：222221215()8()0x x y y -+-=， ∵为中点，∴，， ∴，即，所以，直线方程为．（2）AB 中点【例4】已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在，设，由已知条件得，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得．解之得或． ①另一方面． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在【变式】已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4 所以b ==3.故椭圆方程为=1.（Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=. 因为椭圆右准线方程为x =，离心率为根据椭圆定义，有|F 2A |=（－x 1），|F 2C |=（－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得（－x 1）+（－x 2）=2× 由此得出x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）则x 0==4. 【例5】（xx 天津文数）（21）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为。

直线和椭圆的位置关系

2
2
总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
2
2
y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2

练习 x y 3. 已知椭圆 1, 过右焦点F2的直 5 4 16 5 线l交椭圆于A, B两点，若 AB ， 5 求直线l的方程。
2 2
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系，将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点；判 △＝０：相切；别 △＜０：相离．式
2
2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
1、直线l：y=x+n与椭圆数n的取值范围。 2、在椭圆
x2 y2 1 没有交点，求实 3 2
x y 1 上求一点P使得该点到直线 3 2
2
2
l：y=x+4的距离最近。

所以： m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5 时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
思考
直线与椭圆相交时
如何求其弦长？
例2、已知直线 l：y=x+1与椭圆
x + y2 =1相交于A、B两点，求弦AB的长。 4
2
分析：先求出交点，再用两点间距离公式。
直线与椭圆的位置关系

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上．小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：据此，可推断抛物线的方程为_____________．【答案】【解析】：由题意可知：点是椭圆的短轴的一个端点，或点是椭圆的长轴的一个端点．以下分两种情况讨论：①假设点是椭圆的短轴的一个端点，则可以写成经验证可得：若点在上，代入求得，即，剩下的4个点中也在此椭圆上．假设抛物线的方程为，把点代入求得p=2，∴，则只剩下一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上满足条件．假设抛物线的方程为y2=-2px，经验证不符合题意．②假设点是椭圆的长轴的一个端点，则可以写成，经验证不满足条件，应舍去．综上可知：可推断椭圆的方程为．【考点】椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．2.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：（I）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设：，解得：，故所求椭圆的方程为．（II）设存在直线符合题意，直线方程为，代入椭圆方程得：，设，为弦的中点，则由韦达定理得：，，因为不符合，所以不存在直线符合题意．【考点】(1)椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题．3.椭圆的焦距是（）A．3B．6C．8D．10【答案】B【解析】由椭圆的方程知，∵a2=25，b2=16，∴c=∴的焦距2c=6．故选B．【考点】椭圆的性质．4.已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得然后求解，代入即可；（2）由题干“过点的直线与椭圆交于不同的两点”．设直线的方程为，由得，设，的坐标分别为，，然后利用根与系数的关系，代换出，注意：k的范围.试题解析：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得. 直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．的范围为．【考点】椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用.5.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且||=2，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于A，B两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）椭圆C的方程是 4分（2）当直线轴时，可得的面积为3，不合题意。

高中数学破题致胜微方法(直线与椭圆的位置关系)代数法判断直线与椭圆的位置关系含解析

今天我们研究代数法判断直线与椭圆的位置关系，即直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系.直线方程与椭圆方程联立,消去y或x得到关于x或y的一元二次方程,则（1）直线与椭圆相交0⇔∆>；(2）直线与椭圆相切⇔∆=；（3）直线与椭圆相离0⇔∆<.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具. 先看例题:例:直线0x y m--=与椭圆2219xy+=只有一个公共点,则m=________解:由题意，将直线方程与椭圆方程联立，得：221018990x mx m-+-=因为直线与椭圆只有一个公共点，即22(18)40(99)0m m∆=--=解得210m=,进而求得10m=±规律整理：直线与椭圆位置关系的判定方法:将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：∆>，方程有两个不同的解，直线与椭圆相交；∆=，方程有两个相等的解，直线与椭圆相切;∆<，方程有无解，直线与椭圆相离；注意：讨论的基础应该为二次方程，所以在二次项系数要求不为零。

再看一个例题，加深印象例：判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系. 解：直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y可得：02024)14(22=+++kx x k ，)516(162-=∆∴k ，（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交；（2)当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切；(3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离。

（3）直线与椭圆相离0<∆⇔。

2。

第13讲直线与椭圆的位置关系(2)

高三数学复习：直线与椭圆的位置关系（2）班级姓名1.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53 B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 2. 经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝ ( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±133.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________4.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0 所截得的弦长|AB |＝__________ 6.已知椭圆x 28＋y 22＝1过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)．(1)当m ＝3时，判断直线l 与椭圆的位置关系；(2)当m ＝3时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值．7.直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．8.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？【选做题】点P 在椭圆22221(0)xy a b a b+=>>上，两个焦点为21,F F ，且.314||,34||,21211==⊥PF PF F F PF ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程.。

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

解：
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法：弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系

题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1

x2

2b ab
0)
y x1
由

x2 2

y2

1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2

0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1

x2
)2

4 x1 x2

=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2

7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2

6
11 7
练习：已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，

2020届高三理数一轮讲义：9.5.2-直线与椭圆的位置关系(含答案)

第2课时直线与椭圆的位置关系考点一直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. 规律方法研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【训练1】直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A考点二中点弦及弦长问题多维探究角度1 中点弦问题【例2－1】已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，② ①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0. 规律方法弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2 弦长问题【例2－2】 (2019·孝义模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ，由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1，得|m |< 2. |AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 【训练2】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝553. 法二由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，y ＝3x ＋7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1.设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21b 2＋4＋x 21b 2＝1， ①y 22b 2＋4＋x22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2，又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.答案 (1)553 (2)D 考点三最值与范围问题易错警示【例3】 (2019·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.规律方法最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练3】已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63解析由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2＝x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 A[思维升华]1.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系.2.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数. [易错防范]1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0.3.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析法一设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ，由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二 (点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212px 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x类型2 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】 (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________. (2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.解析 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0. 综上，k 的取值范围为(－2，2). 答案 (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)类型3 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0 【例3】人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3 B 组第4题：已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.解析法一由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1. 所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案 8基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±2解析由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32. 答案 A3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－94解析设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.答案 A4.(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60°B.90°C.120°D.150°解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.答案 B5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋12）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号). 答案 C 二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.解析因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案 y 24＋x 2＝17.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.解析不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.答案 2558.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.解析由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k 2＝1，解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝0 三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7. (1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋ya ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b2＝2217，a >b >0，计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c b x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( ) A.12 B.32C.1D.2解析联立方程可得⎩⎨⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1. 答案 C13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0＜e 2≤45，又由0＜e ＜1，解得0＜e ≤255.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 14.(2019·咸阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值. 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.。

2.2.2 椭圆的几何性质(2)——直线与椭圆的位置关系

2
点与椭圆
1.点与椭圆的位置关系：椭圆上、椭圆外、椭圆内
2.判断方法：
已知点M ( x0 ,
y0
)及椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（1）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆上
（2）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆外
y
F1 O
M (x0 , y0 )
F2
x
（3）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆内
解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 将y=x+1代入椭圆方程，得4x2+(x+1)2=8 y
整理得 5x2+2x-7=0
y P1 (x1,y1)
4 4 • 5 • (7) 0
F2
直线y = x 1与椭圆4x2 y2 8相交
解得x1
1, x2
7 5
P2(x2,y2)
2、点差法：
设直线与椭圆交点A( x1, y1), B( x2 , y2 )，将两点坐标代入
椭圆方程，并两式作差，构造一个关于中点( x0 , y0 )和
斜率k AB的式子：k AB
y1 x1
y2 x2
b2 a2
y2 x2
y1 x1
b2 a2
y0 x0
【例5】点M ( x, y)与定点F((c4,,00))的距离和它到直线
| P1P2 || y1 y2 |
1 1 k2
(1
1 k2
)[( y1
y2 )2
4 y1y2 ](k
0)
另：要注意在处理相交问题时 “设而不求”的解题思路

重难点01直线与椭圆的位置关系(课件)高二数学精品课堂(北师大版2019选择性)

解:(1)由
4x2
y2
1,
得
5x2+2mx+m2-1=0,
y x m,
因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,
解得- 5 ≤m≤ 5 .
2
2
(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0,所以 x1+x2=- 2m ,x1x2= 1 (m2-1),
3
3
解析:由
x2 3
y2
1,
消去
y
得(1+3k2)x2-3=0,
y kx,
设直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
则
x1+x2=0,x1·x2=-
1
3 3k
2
,
|AB|=
1 k2
(x1 x2 )2 4x1x2 =
12(1 k 2) = 1 3k 2
6.
重难点01：直线与椭圆的位置关系
温故知新
1. 椭圆的定义： ① PF 1 PF 2 2a F 1F 2 方程为椭圆；
② PF 1 PF 2 2a F 1F 2 无轨迹;
③ PF 1 PF 2 2a F 1F 2 线段F1F2 .
y
B2 P
A1 F1 o
A2
F2
x
B1
2. 椭圆的方程：
1
2m 2k
2
,
得 AB 中点 M（- 2km , m ）, 1 2k 2 1 2k 2
则直线 OM 与直线 l 斜率乘积为
m
1 2k 2 ·k=- m ·k=- 1 ,即定值.

椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52

4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25

y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆

1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交

3.1.2椭圆的简单几何性质第二课时(直线与椭圆的位置关系和点差法解决中点弦长)课件-高二上学期数学

又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离

高二数学直线与椭圆的位置关系(新课标高中数学1-1或2-1使用)

习题课:
直线与椭圆的位置关系
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
一、直线与圆的位置关系:
位置关系：
(1) 相离 (2) 相切 (3) 相交
判断方法:
(1) 利用距离公式
(2) 利用判别式
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
二、直线与椭圆的位置关系: 位置关系：
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过点A(2,1)的直线l与椭圆相交,求直线l被
截得的弦的中点轨迹方程;
（3）过点P ( 1 , 1 ) 且被点P平分的弦所在直线的
方程.
22
高二数学
【练习】已知椭圆x2+4y2=16,求以P(2,-1) 为中点的弦所在直线方程.
变式题:已知过点(1,1)的直线与椭圆 4x2+9y2=36交于A,B两点,求A,B中点的轨迹方程.
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
五、求弦中点轨迹问题:
【例4】已知椭圆x2+2y2=2
求过椭圆焦点的弦长常用的有两种方法: (1)利用 |A| B 1 k 2•(x 1 x 2 )2 4 x 1 x 2 (2)利用 |A| B 2 a e (x 1 x 2)
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
三、直线与椭圆相交弦长问题:
【练习】已知椭圆x2+9y2=9过左焦点F作倾斜角为30。的直线交椭圆于A,B两点,求AB 的弦长.
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
四、弦所在直线方程的求法:
【例3】直线l与椭圆4x2+9y2=36交 A,B两点,并且线段AB的中点坐标为 (1,1),求直线l的方程.

高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲(人教版)

高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e cae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a yba b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x ac=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a yb a b P x y 222102+=>>()() 左焦半径∴·左左r x a cc ar e x c a a c ae x 02020+==+=+ 右焦半径右右r acx ca r a e x 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕO x O A 参数。

那么∴xO N O A yN M O B xa yb ======⎧⎨⎩||c o s ||s i n c o s s i n ()ϕϕϕϕ1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

【高中数学】3.1.2 第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用高二数学新教材配套学案(人教A

3.1.2 第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用【学习目标】1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔ ；点P 在椭圆内部⇔ ；点P 在椭圆外部⇔ 2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．(1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 29＝1的内部．( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2＋y 22＝1相交．( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦．( )(5)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (6)直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交． ( )【经典例题】题型一点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________． [跟踪训练]1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．题型二直线与椭圆的位置关系代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．题型三弦长和中点弦问题1.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ⇔x 22a 2＋y22b 2＝1，⇔由⇔－⇔，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.2．求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫或|P 1P 2|＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．例3 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．[跟踪训练]3 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．题型四与椭圆有关的综合问题例5 椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【当堂达标】1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43 2．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±23．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝05．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．136．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．7．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．【参考答案】【自主学习】x 20a 2＋y 20b 2＝1 x 20a 2＋y 20b 2<1 x 20a 2＋y 20b 2>1. 两 Δ>0 一 Δ＝0 无 Δ<0 【小试牛刀】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√ 【经典例题】例1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－332⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞解析依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332. [跟踪训练]1 9 解析依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋nm ≥5＋24m n ·nm ＝9，当且仅当n ＝2m 时等号成立，故m ＋n 的最小值为9.例2 [解] 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx＋2m 2－4＝0 ⇔.方程⇔的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程⇔有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程⇔有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程⇔没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．[跟踪训练]2 解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.例3 解设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，⇔c ＝a 2－b 2＝3， ⇔F (3，0)，⇔直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0，⇔x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，⇔|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·832－4×5×85＝85.例4 解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，⇔x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.⇔M (2,1)为线段AB 的中点，⇔x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ⇔y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )． ⇔A ，B 两点都在椭圆上，⇔⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝16， ⇔4－x 2＋42－y 2＝16. ⇔ ⇔－⇔，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.[跟踪训练]3 [解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k 4k 2＋1.又M 为AB 的中点，⇔x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．又M (2,1)为AB 的中点，⇔x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ⇔y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，⇔x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， ⇔|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5. 例5 [解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2. 由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2.⇔所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m,0)，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°，则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2.等价于k 1＋k 2＝0. 依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0，化简得，8m －12k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得⇔PQM ＋⇔PQN ＝180°. 【当堂达标】1.B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2. B 解析因为椭圆x 2＋y210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.3. C 解析联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.4. A 解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎨⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.5.A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ⇔圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，⇔b a ＝13，⇔e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.6.35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.⇔弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝54[x1＋x22－4x1x2]＝544＋24＝35.]7.解过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.⇔x1＋x2＝3，x1x2＝－8.⇔|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1625·9＋32＝415.8. [解](1)将(0,4)代入C的方程，得16b2＝1，⇔b＝4.由e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，⇔a＝5，⇔椭圆C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－65.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

人教A版新课标高中数学选修2-1——直线与椭圆的位置关系(新授课)

解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例2：已知椭圆 1，直线l：x - 5 y 40 0.椭圆上是 4 25 9 否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ y
直线m为：x 5 y 25 0 4
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近. 15 且d 41 42 52 41 40 25
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
∴ S F1 AB
0 ( 1) 1 2
4 2 3
= 2
1 1 4 4 d AB = 2 2= . 2 2 3 3
Ax By C 0 由方程组 x 2 y 2 2 2 1 b a
消去y
mx 2 nx p 0(m 0)
△=n 4mp
2
相离
相切
相交
(没有交点) (一个交点) (两个交点)
△ 0 △=0 △ 0
题型一：直线与椭圆的位置关系
1 例1：已知直线 y x 与椭圆 x2 4 y 2 1 ， 2
即m 5时，直线与椭圆相切
当 80 16m2 0 即m 5或m 5时，直线与椭圆相离
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例2：已知椭圆 1，直线l：x - 5 y 40 0.椭圆上是 4 25 9 否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
题型二：弦长问题
设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AB的方程为y=kx+b．
AB ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
弦长公式

【高中数学】第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用

第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系 1.直线y=x+1与椭圆x 25+y 24=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定3.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y 22=1有且只有一个交点,则斜率k 的值是 ( )A.√63B.-√63C.±√63D.±√334.已知直线y=kx+1和椭圆x 2+2y 2=1有公共点,则k 的取值范围是( ) A.k<-√22或k>√22 B.-√22<k<√22C.k ≤-√22或k ≥√22D.-√22≤k ≤√22题组二直线与椭圆的相交弦问题 5.过椭圆x 2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.766.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得线段的中点的坐标是()A.(23,53)B.(43,73)C.(-23,13)D.(-132,-172)7.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.-13或-3D.±138.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .9.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e 为√32,短轴长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(2,1)作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长.题组三直线与椭圆位置关系的综合运用 11.设椭圆C:x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P,则直线PF 1的斜率为( ) A.13B.12C.√33D.√3212.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x 28+y 22=1上一点,Q,R,S 分别为P 关于y 轴,原点,x 轴的对称点.(1)求四边形PQRS 面积的最大值;(2)当四边形PQRS 面积最大时,在线段PQ 上任取一点M(不与端点重合),若过M 的直线与椭圆相交于A,B 两点,且AB 中点恰为M,求直线AB 斜率k 的取值范围.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题 1.()已知椭圆x 2+y24=1 和点A (12,12),B (12,1),若椭圆的某弦的中点在线段AB 上,且此弦所在直线的斜率为k,则k 的取值范围为( ) A.[-4,-2] B.[-2,-1]C.[-4,-1]D.[-1,-12]2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+33.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为 .4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为√32.(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x 轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y24=1的交点的个数为()A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为()A.√55B.√33C.√105D.3√3108.(多选)()已知椭圆C:x 24+y 22=1的左,右两个焦点分别为F 1,F 2,直线y=kx(k ≠0)与C交于A,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E,直线BE 与C 的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB>90°9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P 到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1作斜率为12的直线l 与C 交于A,B 两点,若|OF 1|=|OA|,则椭圆C 的离心率为 . 11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且过点(1,√22)和(√22,√32).(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点,AF 2的延长线与椭圆交于点B,AO 的延长线与椭圆交于点C,求△ABC 面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC 的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≥x 2)两点. (i)求|AF 2|·|BF 2|的最小值;(ii)点Q 是直线l 上异于F 2的一点,且满足|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,求证:点Q 在一条定直线上.13.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22,过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线m 与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦长为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析基础过关练1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.解法二:联立直线与椭圆的方程,得{y =x +1,x 25+y 24=1,消去y 得,9x 2+10x-15=0,Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.3.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y 并整理,得(2+3k 2)x 2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k=±√63,故选C.4.C 由{y =kx +1,x 2+2y 2=1,得(2k 2+1)x 2+4kx+1=0. ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=16k 2-4(2k 2+1)≥0, 解得k ≤-√22或k ≥√22.5.B 设直线AB 的方程为y=kx+b(k ≠0),易求直线AB 的方程为y=√3(x+√2).由{y =√3(x +√2),x 2+2y 2=4,消去y 并整理,得7x 2+12√2x+8=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-12√27,x 1x 2=87.由弦长公式,得|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+(√3)2×√(-12√27)2-4×87=167.6.C 联立方程,得{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),中点M(x 0,y 0). ∴x 1+x 2=-43,x 0=x 1+x 22=-23,y 0=x 0+1=13,∴中点坐标为(-23,13). 7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0). 不妨设直线l 过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l 的方程为y=x-1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x-1)2-2=0,即3x 2-4x=0.设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=1-43=-13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0-13=-13.8.答案 -12解析设弦两端点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为(4,2)是线段AB 的中点,所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,将A,B 两点代入椭圆方程,得{x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得x 22-x 1236+y 22-y 129=0,整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 14(y 2+y 1),即k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-12.9.答案 53解析由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x 2-5x=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=53,x 1x 2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d=2=2√55.所以S △OAB =12|AB|·d=12×5√53×2√55=53.10.解析 (1)由e=ca=√32可设,a=2t,c=√3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,所以椭圆的标准方程为x 216+y 24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,将A,B 两点坐标分别代入椭圆的方程得{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减可得,(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, ∴4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0, ∴弦所在直线的斜率k=y 2-y 1x 2-x 1=-12,∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0, 联立椭圆的方程得x 2-4x=0,解得x=0或x=4, 因此弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√5. 11.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5,因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5.由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55),又F 1(-√5,0), ∴斜率k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B.12.答案 6解析由x 24+y 23=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x ≤2,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y), 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+x+y 2=x 2+x+3·(1−x 24)=14x 2+x+3=14(x+2)2+2, 当且仅当x=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 13.解析 (1)由P 在椭圆上得m 28+n 22=1,∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m 28+n 22≥2×√×√=mn 2,当且仅当m 28=n 22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S 四边形PQRS =2m×2n=4mn ≤8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS 的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M 的坐标为(t,1),其中-2<t<2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有{x 128+y 122=1,x 228+y 222=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)8=-(y 1-y 2)(y 1+y 2)2(*),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 1+x 22=t,y 1+y 22=1, ∴(*)化为(x 1-x 2)t 4=-(y 1-y 2),∴k=-t4,故k ∈(-12,12).能力提升练1.A 设椭圆x 2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),中点为M(x 0,y 0),则{x 12+y 124=1,①x 22+y 224=1,②①-②,得(x 12-x 22)+14(y 12-y 22)=0,即k=y 1-y 2x 1-x 2=-4(x 1+x 2)y 1+y 2=-4x0y 0.∵点M 在线段AB 上, ∴x 0=12,12≤y 0≤1,∴k=-4x 0y 0=-2y 0,2≤2y 0≤4,故-4≤-2y 0≤-2,则k ∈[-4,-2],故选A.2.ACD 直线y=2x-3与直线l 关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l 关于x 轴对称,直线y=-2x+3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD.3.答案y 275+x 225=1解析设椭圆方程为y 2a2+x 2b2=1(a>b>0),则a 2=b 2+c 2=b 2+50.① 设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{b 2y 12+a 2x 12=a 2b 2,b 2y 22+a 2x 22=a 2b 2,∴b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)+a 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. 又x 1+x 2=2×12=1,y 1+y 2=2×(-12)=-1,y 1-y2x 1-x2=3, ∴b 2×3×(-1)+a 2×1=0,即a 2=3b 2.② 联立①②得,a 2=75,b 2=25. 故该椭圆的方程为y 275+x 225=1.4.解析 (1)因为离心率e=ca=√32,所以c 2=34a 2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a 2-b 2=c 2,所以a 2=16,b 2=4, 即椭圆方程为x 216+y 24=1,因此, {x 216+y 24=1,y =x +m ⇒5x 2+8mx+4m 2-16=0,因为直线y=x+m 与椭圆有公共点,所以Δ=64m 2-4×5×(4m 2-16)≥0,即m 2≤20,解得-2√5≤m ≤2√5.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),联立方程{y -1=k(x -2),x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8k ·(1-2k)x+16k 2-16k-12=0,所以x 1+x 22=4k(2k -1)4k 2+1=2,解得k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.解法二:x 216+y 24=1⇒x 2+4y 2=16,{x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16⇒(x 1-x 2)(x 1+x 2)+4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0⇒y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2-4(y 1+y 2)=-12, 所以斜率k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.5.解析 (1)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知得{x p =x,y p =54y,因为P 在圆上,所以x 2+(54y)2=25,即点M 的轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y=45(x-3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,整理得x 2-3x-8=0,所以x 1+x 2=3,x 1x 2=-8,所以|AB|=√1+(45)2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=415.6.B 因为直线mx+ny=4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√22>2,所以m 2+n 2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B.7.A 设F 1的坐标为(-c,0),F 2的坐标为(c,0),故过F 1且与x 轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b 2a .可设A (-c,b 2a),C(x,y),由题意可得△ABF 2的面积是△BCF 2的面积的2倍,故AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即有(2c,-b 2a )=2(x-c,y),即{2c =2x -2c,-b2a=2y,则{x =2c,y =−b 22a,代入椭圆方程可得4c 2a2+b 24a2=1,即4c 2a2+a 2-c 24a 2=1,∴4e 2+14-14e 2=1,解得e=√55(负值舍去).故选A.8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确;∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°,又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k>0,则A (√2√2),B (2√2,2k√2),E (2√2,0),∴k BE =√1+2k 222+22=12k,故C 正确;取k=2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-89,49),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-209,-209), ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC.9.答案 (-4,95)解析设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c ≠40). 由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx+c 2-225=0, 令Δ=(8c)2-4×25×(c 2-225)=0得, c 2=625,解得c=±25.结合图形(图略)取c=25,此时,x 2+8x+16=0⇒x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,∴P (-4,95).10.答案√53解析如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA|=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF 2|=2√55c.因此,2a=|AF 1|+|AF 2|=6√55c ⇒e=ca=√53.11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得{1a 2+12b 2=1,12a 2+34b 2=1,解得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由A 在x 轴上方,可知直线AF 2的斜率不为0,所以设直线AF 2的方程为x=ty+1,联立{x 22+y 2=1,x =ty +1⇒(t 2+2)y 2+2ty-1=0,得{y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,所以|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=2√2(1+t 2)t 2+2. 设原点到直线AF 2的距离为d,则d=√2,所以S △ABC =2S △OAB =2×12×|AB|×d=2√2(1+t 2)t 2+2=2√2√1+t 2+12≤√2,当且仅当2=1√2,即t=0时,等号成立,此时直线AB 的方程为x=1,所以A (1,√22),B (1,−√22),C (-1,-√22),所以此时直线BC 的方程为y=-√22.12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,所以半焦距c=1. 因为离心率为√22,所以a=√2,所以b=1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,−√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y=k(x-1).联立方程{x 22+y 2=1,y =k(x -1),消去y,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x 1-1|,|BF 2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|.所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1| =(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m,k(m-1)). 因为|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11−x 2,即(m+1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m=0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2-2(2k 2-2)1+2k 2-2m=0.化简得m=2.所以点Q 的坐标是(2,k). 因此点Q 在定直线x=2上.13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m 的距离为√b 2-(√32)2,由直线m 的倾斜角为30°得√b 2-(√32)2=c 2,由e=ca=√22得a 2=2c 2,即b 2+c 2=2c 2,∴b 2=c 2,将其与√b 2-(√32)2=c2联立,得b=c=1,∴a=√2,∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)存在.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).①若直线l 垂直于x 轴,l 与椭圆交于(0,1),(0,-1), 取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.②若直线l 不垂直于x 轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x 22+y 2=1整理得,(2k 2+1)x 2+12kx+16=0,令Δ=16k 2-64>0,则k<-2或k>2,x 1+x 2=-12k2k 2+1(*),x 1x 2=162k 2+1(**),对于|PA|=2|AB|,包含两种情况: (i)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 2-x 1,y 2-y 1), ∴x 1=2(x 2-x 1),即x 2=32x 1,代入(*)(**)得{52x 1=-12k 2k 2+1,32x 12=162k 2+1,消去x 1得32(25×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,解得k=±52,∴l 的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 1-x 2,y 1-y 2),∴x 1=2x 2, 代入(*)(**)得{3x 2=-12k 2k 2+1,2x 22=162k 2+1,消去x 2得,2(13×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,有2k 2=2k 2+1,无解. 综上,l 的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

(整理)椭圆的第二定义参数方程直线与椭圆的位置关系-高中数学

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一. 教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e ca e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x a c ca r ex c a a ca ex 0202+==+=+右焦半径右右r a cx car a ex 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

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高二数学椭圆第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ecae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xayba b F c22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacF c xac=-=-212()②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xayba b P x y222102+=>>()()左焦半径∴·左左rxaccar excaaca ex202+==+=+右焦半径右右racxcar a ex2-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay bx a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=cos sin ϕϕ22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充名称方程参数几何意义直线x x t y y t t =+=+⎧⎨⎩00cos sin ()αα为参数 P x y 000()，定点，α倾斜角,t P P =0，P （x ，y ）动点圆x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin ()θθθ为参数 A （a ，b ）圆心，r 半径，P （x ，y ）动点，θ旋转角椭圆 x a y b ==⎧⎨⎩cos sin ()ϕϕϕ为参数 a 长半轴长，b 短半轴长ϕ离心角不是与的夹角()OM Ox一般地，θϕπ、取，[]025. 直线与椭圆位置关系：（1）相离xayby kx b22221+==+①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪xayby kx b22221②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）③关于直线的对称椭圆。

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