1541提公因式法

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提公因式法口诀

提公因式法口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《提公因式法口诀一》
一提二看要记清，公因式它要找明。

首先观察多项式，相同部分就是它。

就像寻找好朋友，手牵手儿一起走。

提取出来放前面，后面式子再化简。

大家快来一起练，提公因式不再难。

《提公因式法口诀二》
一提公因式别着急，先把各项仔细瞧。

数字系数也有份，字母相同要抓牢。

指数最小不能忘，如同宝藏要找到。

找到之后提出来，式子变得更美妙。

小朋友们认真学，数学知识轻松搞。

《提公因式法口诀三》
公因式呀要寻找，一找系数公因数，二找字母共有的，三看指数最低的。

就像猎人寻猎物，一个一个不马虎。

找到之后往外提，式子简化真有趣。

学会这个小窍门，数学成绩往上提。

《提公因式法口诀四》
提公因式有妙招，一步一步要记牢。

一看系数能约分，二瞧字母都含啥。

然后确定最低次，公因式就被找到啦。

好像拼图找关键，一块一块拼整齐。

努力练习多尝试，数学难题都跑光。

《提公因式法口诀五》
要想学好提公因式，这个口诀要牢记。

一找公因第一步，相同部分不能漏。

二把公因提出来，剩下式子接着来。

如同拆礼物般妙，层层揭开见分晓。

小朋友们加油干，数学之路光闪闪。

原创不易，请尊重原创，谢谢!。

154提公因式法分解因式

注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽，
还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
(5)6 x 2 y- 8 xy 2
课堂练习2：
下列各多项式的公因式是什么？并将它们因式分解。
（1） 2a(b+c) -3(b+c)
（2） p(a2 b2 ) q(a2 b2 )
（3）4(m n)2 8(m n)
（4） 2a(x y) 3b( y x)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积
X2-1
因式分解整式乘法
(x+1)(x-1)
X2-1
=
(x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
这个多项式有什么特点？
ma mb mc
相同因式m
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
3
系数：最大公约数。
（1）公因式要提尽；（2）某想提出莫漏1;
（3）提出负号时,要注意变号.
例2 把 12b(a-b)2 – 18(b-a)2 分解因式解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 [2b+3(a-b)] =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)

《提公因式法》

03
需要注意的事项
在应用提公因式法时，需要注意多项式的系数和字母的变化情因式法在数学中的重要性
在数学中的地位
提公因式法是数学中重要的基础方法之一，对于代数、解析几何
等领域都有广泛的应用。
对后续学习的影响
掌握提公因式法对于后续学习其他因式分解方法、解方程、求导等数学内容都有重要的帮助。
公因式的识别
识别公因式是提公因式法的基础，可以通过将多项式进行分组，找到可以使得每组都相等的那个因式。
公因式的重要性
01
02
03
简化多项式
通过提取公因式，可以将多项式简化为更容易处理的形式，从而降低问题的复杂性。
便于计算
在因式分解或求多项式的值时，提取公因式可以使得计算过程更加简便。
练习题二：提取分式的公因式
总结词
分式的分子与分母的公因式
详细描述
在分式中，找出分子与分母的公因式，将公因式提取出来简化分式。首先，观察分式的分子和分母，找出它们的公共因式，然后将其提取出来。例如， $\frac{4a^{2}b}{8ab^{2}}$ 的公因式是 $4ab$，提取公因式后得到 $\frac{4ab(1 - 2b)}{8ab^{2}}$。
02
提公因式法的应用
提取多项式的公因式
确定多项式中的各项系数
首先需要确定多项式中各项的系数，包括整数和分数。
提取公因式
将找到的最大公约数或公因式提取出来，并对多项式进行因式分解。
寻找最大公约数
将多项式中的各项系数找出来，并计算它们的最大公约数。
因式分解
将多项式分解成若干个因式，便于化简和计算。
寻找根式之间的公因式
首先需要确定根式的被开方数和指数，包括各项的系数和次数。

初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1

(2)你能尝试将多项式 2x2 6x3 因式分解吗？
(3)多项式2x2 y 6x3 y2 中各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？
结论:
(1)各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； (2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； (3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
8
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有
58 8 8
相同的因数吗？
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
如图：两个长和宽分别为a和m，b和 m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
ma mb ma b
认真观察等式两边各有什么特点？
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
例: 找 2 x 2 + 6 x3 的公因式。
2
定系数
x
2 定指数
定字母
所以，公因式是 2 x 2
2
X2+
6
x3
=
2
2
X
(1
+3
X)
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
提公因式法
一、因式分解的概念把一个多项式化为几
个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
二、整式乘法与分解因式之间的关系
互为逆运算
初中数学《提公因式法》经典课件北师大版1
计算：5 15 - 5 9 5 2 8 88
解： 515 - 5 9 5 2 8 88

新疆石河子市第八中学八年级数学《1541 因式分解—提公因式法》教案

一、教学目标㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。

㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。

㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。

二、教学重点和难点重点：因式分解的概念及提公因式法。

难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

教学环节教师活动预设学生行为设计意图活动1：复习引入看谁算得快：用简便方法计算：（1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2= ；（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= ；（3）992–1= 。

学生在计算是分为两类：一是正确应用因数分解的办法进行简便计算；二是不懂正确应用因数分解的办法进行简便计算，而采取实实在在计算办法进行计算。

如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公五、学生学习活动评价设计在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。

提公因式的一堆技巧，总有一款适合你！

提公因式的一堆技巧，总有一款适合你！心态指导|学习方法| 家教知识 | 学习资料因式分解一直是初中数学的一个难点，稍微复杂的题目，就会有同学不知道怎样下手. 在因式分解中，第一步就是考虑提公因式，这一步也常常是一个难点，许多同学找不到公因式或者是找不全公因式. 小编现在把常见的提公因式的方法列举出来，供大家学习时参考.一、先排序先观察一个式子的字母顺序是否正常，多项式各项字母应当按26个字母的顺序排列，具体情况是：1、不同的字母，按它们在字母表中的顺序排列.如：-b+a+c，要重新排成：a-b+c.2、同一个字母，要按次数的高低排序，从高到低排.如：a-a²+a³，要重新排成：a³-a²+a.3、综合排序.如果一个式子里既有不同的字母，同一字母又有不同的次数，则先按字母顺序排，再按次数顺序排.如：ab²-a²b+b +a，要重新排成：-a²b+ab²+a+b.这里，先按a的次数从高到低排有a的项，所以-a²b要排在ab²前面，a要排在b前面；排好后，按b的次数高低排有b的项，所以ab²排在a前面.4、单独的数字排在最后.因为数字里面没有字母，相当于是字母的0次方，所以应当排到最后.如: x²+2x+3.这里的3可以看作是3x0=3×1=3.所以这个式子本质上是：x²+2x1+3 x0.5、排序异常即题眼.一般的多项式，字母的顺序都是出题人排好的，基本不用重排.如果你发现有哪个地方，字母的顺序颠倒了，这个地方的式子一般就要被提出来.例1 分解因式：(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).你会发现，第二项有个（b-a），这个式子的顺序异常，被提出来的可能性极大. 现在我们重新排一下字母顺序：解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y).你会发现，两个式子中都有a-b，这个式子恰好就是要提出来的因式. 继续往下做就是：解：原式=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)[(x-y)+(x+y)]=2x(a-b).（注意最后结果里书写的顺序，在同一项里，数字、字母、式子按从左到右的顺序写.）二、排序之后找负号如果提公式时，第一项有负号，就要先把负号提出来.分解因式的特点是，提完公因式以后，如果再继续分解，就要用到乘法公式.而乘法公式的第一项系数都是正的，所以，为了使得后面用到乘法公式时，容易看出来，并且容易分解，我们第一步就是先把第一项的负号给提出来.例2 分解因式﹣y2+6y﹣9 .解：原式=-( y2-6y+9)=-(y-3)².三、提完负号找公因式找公因式的方法是：先找数字，再找字母，最后找式子.1、先找数字.各项系数绝对值的最大公因数就是要提出来的数字.例3 分解因式18x²-36xy+12y.这三项的系数分别为：18、-36、12 ,我们找18、36、12三个数的最大公因数，为6.所以有：解：原式=6(3x²-6xy+2y).2、再找字母.找到各项都有的字母，这些字母中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应字母的次数都要相应的降低.例4 分解因式a²b²-3ab²c+ab³.这里面，字母a和b都在各项里出现了，所以这两个字母都要提出来.其中跟a有关的是：a²、a、a，所以提出来a；跟b有关的是b²、b²、b³，所以提出来b².所以有：解：原式=ab²(a-3c+b).3、最后找式子.（1）找到各项都有的式子，这些式子中，次数最低的那个就是要提出来的. 提出来后，每一项对应式子的次数都要相应的降低.例5 分解因式 (x﹣y)2+5x(x﹣y).这里面都有x-y，而且相应的式子为：(x-y)²、x-y，所以应当提出来x-y.解：原式= (x-y)[ (x-y) -5x]=(x-y)(-4x –y).（2）只有一个式子，另一个式子在哪儿？1°式子中有什么字母和数字，就在式子外找对应的字母和数字，然后给它们加上括号.例6 分解因式 2(a-3)²-a+3.这儿就发现一个式子a-3，而且还在平方里面，要想分解因式，需要找到另外一个a-3.观察这个式子，后面有-a+3，给这儿加括号，一种是把a前面的负号放在括号里面，变成(-a+3)，这个不行；另一种是把a前面的负号放在括号外面，变成-(a-3)，我们会发现，此时a-3出现了.解：原式=2(a-3)² -(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-1]=( a-3)(2a-6-1)=( a-3)(2a-7).2°直接找不到，先找到含有对应字母和数字的项，局部提公因式后再观察.例7 分解因式 2(a-3)²-ab+3b.这儿，后面两项可以提公因式 . 先提公因式，再找相应的式子.解：原式=2(a-3)² -b(a-3)=( a-3)[2 (a-3)-b]=( a-3)(2a-b -6).四、某项提净用1占位例8 分解因式a²+ab²+a.这个式子的第三项是a，把a提出来后，我们会发现这一项没有了. 此时我们用1来占位.原因是，a相当于1·a，其实它有个系数1.所以有：解：原式=a(a+b²+1).现在我们来看两个综合点的例题.例9 ﹣3xy2+18xy﹣27x.解：原式=-(3xy2-18xy+27x)=-3(xy2-6xy+9x)=-3x(y2-6y+9)=-3x(y-3)².例10 9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x).解：原式=9a2(x﹣y)-4b2(x﹣y)=(x-y)( 9a2-4b2)=(x-y)( 3a+2b)(3a-2b).。

01因式分解公因式提公因式法公式法

因式分解、公因式、提公因式法、公式法
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（factorization），也叫做把这个多项式分解因式．
公因式：
提公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法，如ma＋mb ＋mc＝m(a＋b＋c)．
公式法：
将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法．
例如1，乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来就是
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
用文字语言来表达就是：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
例如2，乘法公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，反过来就是
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，
用文字语言来表达就是：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．。

14-3-1提公因式法-2021年初中八年级《数学》(福建专版)-配套课件第14章整式的乘法与因式分

关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解轻松尝试应用
3
4
5
6
7
2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( ). A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2
关闭
B
答案
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解轻松尝试应用
3
4
5
6
7
3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部分是 ( ). A.m+1 B.2m C.2 D.m+2
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解轻松尝试应用
3
4
5
6
7
4.(2020·山东聊城中考)分解因式:x(x-2)-x+2=
.
(x-2)(x-1)
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解轻松尝试应用
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
6
7
5.若a-b=6,ab=7,则a2b-ab2的值为
.
关闭
42
答案
快乐预习感知
1
2
互动课堂理解轻松尝试应用
来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因
式的方法叫做提公因式法
.
快乐预习感知互动课堂理解轻松尝试应用
提公因式法分解因式【例题】分解因式: (1)3x2y2+6xy3; (2)x(m-n)+y(n-m). 分析:(1)中的公因式为3xy2;(2)中看上去没有公因式,但仔细观察, 发现(m-n)与(n-m)互为相反数,如果把其中一个提出“-”号,那么就可以出现公因式. 解:(1)3x2y2+6xy3 =3xy2(x+2y). (2)x(m-n)+y(n-m) =x(m-n)-y(m-n) =(m-n)(x-y).

1541提公因式法

15.4.1提公因式法
周节次：执笔人：王艳授课人：
教学目标：
【知识与技能】明确因式分解与整式乘法之间的关系，理解因式分解过程，发现因式分解的基本方法，会用提公因式法将多项式因式分解。

【过程与方法】
学会用提公因式法将多项式因式分解，通过逆变形探索新知识——因式分解，运用引导、观察、讨论、交流来明确提公因式的方法。

【情感态度与价值观】
通过“回忆”温习旧知识，发现新知识，从而激发学生探究新知识的兴趣与热情，体会数学知识互相联系的辩证唯物主义思想。

教学重难点：
【重点】
因式分解的意义及提公因式法。

【难点】
正确找出多项式中各项公因式及因式分解与整式乘法的异同。

教学过程
一．板书课题，揭示目标
明确因式分解与整式乘法之间的关系，理解因式分解过程，发现因式分解的基本方法，会用提公因式法将多项式因式分解。

二.指导自学
认真看课本P165-167页内容，思考：
1.完成165页探究，你能说说什么叫因式分解？因式分解与整式乘法之间有什么关系？
2.什么叫公因式？你能用提公因式法分解因式吗？
3.认真阅读例3，你能说说因式分解要注意什么吗？
10分钟之后，比比谁能用所学的知识完成练习。

三.学生自学
1.教师巡视，确保人人学的紧张高效。

2.检查自学效果。

完成P167页练习1.2.3.请四个同学板演第1题。

四.讨论更正
教师对错误多的进行详细讲解。

五.当堂检测（附后）
六.布置作业习题15.4 1.6.
教学反思。

因式分解法

因式分解法提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a+b=(a+b)(a-ab+b)；立方差公式：a-b=(a-b)(a+ab+b)；完全立方公式：a±3ab+3ab±b=(a±b)．其他公式：(1)a+b+c+3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例如：a+4ab+4b=(a+2b)。

待定系数法例如，将ax+bx+c(a,b,c是常数，ab≠0)因式分解，可令ax+bx+c=0，再解这个方程。

如果方程无解，则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根(设为m)，则原式可以分解为(x-m)如果方程有两个不相等的实数根(分别设为m，n)，则原式可以分解为(x-m)(x-n)。