2019高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法课后训练新人教B版选修

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高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课件2 新人教B版选修2-2

证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+___2_k______个区域.
1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 > 3 , 234567 2
1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 >2 2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
K12课件
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例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
K12课件
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人教版2019高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修2_2

2.2.1 综合法与分析法1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目．2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目．3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法有三个特点：(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论；(3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．【做一做1－1】综合法是( )．A ．执果索因的逆推法B ．由因导果的顺推法C ．因果互推的两头凑法D ．以上均不对【做一做1－2】设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则A 与B 的大小关系为( )．A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B2．分析法一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．用分析法证明的逻辑关系是：B (结论)B 1B 2…B n A (已知)．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．分析法的特点：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。

【做一做2】分析法是( )．A ．执果索因的逆推法B ．由因导果的顺推法C ．因果分别互推的两头凑法D ．逆命题的证明方法证明与推理有哪些联系与区别？剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．题型一综合法【例题1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn 为等差数列．分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P 0(已知)P 1P 2P 3…P n (结论)．题型二分析法【例题2】如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．题型三易错辨析易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．【例题3】求证：3＋6＜4＋ 5. 错证：由不等式3＋6＜4＋ 5.① 平方得9＋62＜9＋4 5.②即32＜2 5.③则18＜20.④因为18＜20，所以3＋6＜4＋ 5.1函数f (x )＝ln(e x ＋1)－x2( )．A ．是偶函数，但不是奇函数B ．是奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数2已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )．A ．aB ．－bC ．1bD ．－1b3已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则当xy 取最小值时x ，y 的值分别为()． A ．5,5 B ．10,52C ．10,5D ．10,104已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC .其中正确的命题是________(填序号)．5若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________．答案：基础知识·梳理1．定义公理定理【做一做1－1】B【做一做1－2】C ∵x ＞0，y ＞0，x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y. 2．充分分析法充分【做一做2】A典型例题·领悟【例题1】证明：(1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴an ＋1an ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． (2)∵b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n N ＋且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2bn －1bn －1＋3b n b n －1＋3b n ＝3b n －11bn －1bn －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn 是首项为1，公差为13的等差数列．【例题2】证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．所以AF ⊥SC . 【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A ，则B ”为例：欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立，只需证命题B 2成立……，只需证A 为真．由已知A 真，故B 必真．正确证法：欲证不等式3＋6＜4＋5成立，只需证3＋218＋6＜4＋220＋5成立，即证18＜20成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故3＋6＜4＋ 5.随堂练习·巩固1．A 函数的定义域为R ，f (－x )＝ln(e －x ＋1)－－x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ex ex ＋x 2＝ln(e x ＋1)－ln e x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－x 2＝f (x )．∴f (x )＝ln(e x ＋1)－x 2为偶函数． 2．B ∵f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－b . 3．B 由x ＋4y ＋5＝xy ，得24xy ＋5≤xy ，即4xy ＋5≤xy .再利用二次函数求xy的最小值，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝xy 时，xy 取到最小值，求得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝52.故选B.4．① 由三视图知在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC .故命题①正确，由已知推证不出②③命题．5．a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b)2(a ＋b)＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .。

2019版高中数学人教B版选修2-2：第二章推理与证明检测含解析

1n)共有(n+1)项,当n=2时,S(2)=12+13+14n)共有(n2-n)项,当n=2时,S(2)=12+13+14n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,S(2)=12+13+14解析：从n到n2共有(n2-n+1)个自然数,即S(n)共有(n2-n+1)项.答案：D2某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时的走法f(n)等于( )3A.104①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;ac bc =ab”类比得到“a·cb·c=ab”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )B.2D.45A.不存在6+1综合法 B.分析法反证法 D.以上都不是解析：从已知条件出发进行推证,为综合法.答案：A7“因为指数函数y=a x是增函数(大前提),而y=()x是指数函数(小前提),所以y=(13)x是增函数(结论)”,上面推理的错误是( )大前提错误导致结论错误小前提错误导致结论错误推理形式错误导致结论错误8A.p≥9给出下列三个命题△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.其中真命题的个数为( )B.1C.2D.3解析：①当点C在线段AB上时,可知||AC||+||CB||=||AB||,故①是正确的.②取A(0,0),B(1,1),C(1,0),则||AC||2=1,||BC||2=1,||AB||2=(1+1)2=4,故②是不正确的.③取A(0,0),B(1,1),C(1,0),可证明||AC||+||CB||=||AB||,故③不正确.故选B.答案：B10已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是( ))>f(0)∴选项C 即(1+a )<f (a )⇔1+a <a⇔1+a‒a =1+a <0,∴选项C 成立,对于选项D,a>2时,a-3的符号不确定有f (3a -11+a )<f (2)⇔3a -11+a ‒2=a -31+a <0,由于.∴a -31+a <0未必成立答案：D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算,即a*b=a +b 2,则两边均含有运算符号“∗”和“+”,且对于任意3个实数a ,b ,c 都能成立的一个等式可以. 解析：答案不唯一.因为a+(b*c )=a(a+b )*(a+c )+b +c 2=2a +b +c 2,又121+213设N=2n(n∈N+,n≥2),将N个数x1,x2,…,x N依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的和后N2个位置,得到排列P1=x1x3…xN‒1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段N2个数,并对每段作C 变换,得到P2;当22时,将P i分成2i段,每段N2i个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置当N=16时,x7位于P2中的第个位置;当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第个位置.解析：由题意知,当N=16时,P0=x1x2x3x4x5…x16,P1=x1x3x5…x15x2x4…x16,则P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,此时x7位于P2中的第6个位置.第(2)小问可由推理得出答案：(1)6　(2)3×2n-4+1114①∠15式16(8分)用分析法和综合法证明1log 519+1log 319+1log 219<2.证法一(分析法)要log 1930<log 19192,即证30<192,证1log 519+1log 319+1log 219<2,只需证∵30<192恒成立,∴原不等式成立.证法二(综合法)1log 519+1log 319+1log 219=log 195+log 193+log 192=log 1930<log 19192=2.17(8分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,3S n =(n+2)a n ,则是否存在实数a ,b ,c ,使得a n =an 2+bn+c 对一切n ∈N +都成立?若存在,求出a ,b ,c ;若不存在,说明理由.n=k+1时,结论也成立.综合(1)和(2),知存在实数a a n =an 2+bn+c 对一切n ∈N +都成立=12,b =12,c =0使得18(9分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N +.证明:数列{a nn}是等差数列;设b n =3n ·a n ,求数列{bn }的前n 项和Sn .证明由已知可得a n +1n +1=a nn +1,即a n +1n +1‒a n n =1.所,1为公差的等差数列.以{a nn }是以a 11=1为首项解由(1)·1=n ,所以a n =n 2.得a nn =1+(n ‒1)。

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学业分层测评新人教B版选修22

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法学业分层测评新人教B 版选修22(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2 θ＋sin 2 θ)(cos 2 θ－sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0，只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d ⊗(a ⊕c )等于( ) A ．a B ．b C ．cD ．d【解析】由⊕运算可知，a ⊕c ＝c ， ∴d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c .由⊗运算可知，d ⊗c ＝a .故选A. 【答案】 A4．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】 ∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.故选C. 【答案】 C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β 【解析】因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，若π2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，因为cos α>0，cos β>0.所以cos α＋cos β>cos (α＋β)．若0<α＋β<π2，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β，所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β. 【答案】 D 二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】该证明方法是“由因导果”法．【答案】综合法7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________．【解析】要使a a >b b ，只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2，即a >b >0. 【答案】 a >b >0 8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：05410046】【解析】若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103.由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.(2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝433. 10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S .【证明】要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14【解析】 3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 【答案】 B2．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2. 因为其图象开口向上，由题意可知f (1)<0，即f (1)＝1＋(k －3)＋k 2＝k 2＋k －2<0，解得－2<k <1. 【答案】 B3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________.【导学号：05410047】【解析】 a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．已知α，β≠k π＋π2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2 α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 【证明】要证1－tan 2α1＋tan 2 α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立，即证1－sin 2αcos 2 α1＋sin 2 αcos 2 α＝1－sin 2 βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2 β. 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1，因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确.。

高中数学第2章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法讲义新人教B版选修2-2-新人教B版高二选

2.2.1 综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案] 6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －bab>1，即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) [证明] 法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b . 法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

高中数学第二章推理与证明2_2_1综合法与分析法课堂探究新人教B版选修22

高中数学第二章推理与证明综合法与分析法课堂探究新人教B版选修2-2探究一综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3. 【典型例题2】在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C，所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin A ＋B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C ＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A －B sin C＝右边，故原等式成立．探究二分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2. 思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f a ＋f b2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即证12[(a 2＋3)＋(b 2＋3)]＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3，只需证a 2＋b 2＋6＞a ＋b 22＋6，只需证a 2＋b 2＞a ＋b 22，因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β. 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明．证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β，只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β，只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β，只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥b ＋1c ＋1，即证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b，则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可，即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。

人教版2019高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课后训练新人教B版选修2_2

2.1.1 合情推理课后训练1．根据下图给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111……A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1132．下面使用类比推理恰当的是( )．A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“=a b a b c c c ++(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”3．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律继续往下排，那么第36颗珠子应是什么颜色的( )．A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)，则第n 个正方形数是( )．A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．在立体几何中，为了研究四面体的性质，可以把平面几何中的( )作为类比对象．A ．直线B ．三角形C ．正方形D ．圆6．由f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得3(2)=2f ，f (4)＞2，5(8)>2f ，f (16)＞3，7(32)>2f .推测当n ≥2时，有__________． 7．类比平面几何中的三角形中位线定理：△ABC 中，若DE ∥BC ，则有S △ADE ∶S △ABC ＝DE 2∶BC 2.若三棱锥ABCD 中有截面EFG ∥面BCD ，则截得三棱锥的体积与原来三棱锥的体积之间的关系式为：__________________.8．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．9．若a 1，a 2为正实数，则有不等式222121222a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．10．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何(空间)中相应的特性(至少写出5条)．参考答案1. 答案：B 由数塔猜测结果应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.2. 答案：C3. 答案：A 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7……1，∴第36颗珠子的颜色与第1颗相同，为白色．4. 答案：C5. 答案：B 四面体底面有三条边三个角，与三角形具有一定的相似性．6. 答案：f (2n )＞22n + 7. 答案：V AEFG ∶V ABCD ＝EF 3∶BC 38. 答案：38a 9. 答案：分析：可从个数上推广，可从指数上推广，也可全面考虑，同时推广．解：可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广，第一类型：222212312333a a a a a a ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 222221234123444a a a a a a a a ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ……2222121244n n a a a a a a ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；第二类型： 333121222a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 444121422a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， …… 121222nn n a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. ……第三类型：333312312333a a a a a a ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ……1212m m m m n n a a a a a a n n ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 上述a 1，a 2，…，a n 为正实数，m ，n 为正整数．10. 答案：解：(1)从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个半平面的距离之比为定值；(2)从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；(3)在空间中，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值；(4)在空间中，射线OD 上任意一点P 到射线OA ，OB ，OC 的距离之比为定值；(5)在空间中，射线OD 上任意一点P 到平面AOB ，BOC ，COA 的距离之比为定值．。

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课标人教b版《选修二》《选修2-2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课程标准人民教育B版《选修二》、《选修2-2》、《第二章推理与证明》优秀课后专项练习[6]（含答题和分析）班级:___________姓名：___________分数：___________1.当用反证法证明一个数学命题时，我们应该首先做出与命题结论相矛盾的假设，当否定“自然数是偶数”时，正确的反比是a.自然数B.自然数C.自然数D.自然数【答案】d【考点】高中数学知识点“推理与证明、数系扩展与复数”推理与证明“直接证明与间接证明【分析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：d．考点：命题的否定.中侨油都是奇数都是偶数中至少有两个偶数中至少有两个偶数或都是奇数2.下列命题：（1）如果向量，则与的长度相等且方向相同或相反；而且方向和；（2）对于任何非零向量，如果（3）非零向量与非零向量满足（4）向量（5）若还有，还有是共线向量，则，则，则向量与方向相同或相反；四点共线；正确号码：（）a.0【答案】c【考点】高中数学知识点集与常用逻辑术语命题及其关系【分析】试题分析：由于与可能为零向量，而零向量的方向是任意的，所以（1）若向量与的长度相等且方向相同或相反；不正确。

由相等向量的定义知，（2）对于任意非零向量若而且方向和；正确。

然后b．1c．2d．3根据共线向量的定义，（3）非零向量和非零向量满足正确的要求。

，则向量与方向相同或相反；向量（5）如果与是共线向量，意味着两向量方向相同或相反，说，且然后四点共线；不正确。

.总之，选择C。

，不正确，因为，为零向量时，不一定向量的概念：平面的公共线。

高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法预

高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法预习导航新人教B 版选修2-21．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)．点拨综合法证题的特点：(1)从“已知”看“需知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件．(2)用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹．并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．(3)由于综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为：故要从A 推理到D ，由A 推理出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2能推理出的进一步的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等．最终，能有一个(或多个)可推理出结论D 即可．3．分析法(1)定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(2)符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)点拨分析法证题的特点(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件．(2)分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．(3)用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C1、C2等，再寻求C、C1、C2的论据，如B、B1、B2、B3、B4等，继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，则命题得证．(4)分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．。

高中数学第二章推理与证明2_2_1综合法与分析法学案新人教B版选修1-2

2.2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.1.综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B ＝π3，③ 由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C .探究点二分析法思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.思考2 证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.小结一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法.思考3 综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.例2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3). 证明方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3).方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3>0，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.跟踪训练2 求证：3＋7<2 5.证明因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立.探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证.例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且 sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β.证明因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1. ③ 另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证.反思与感悟用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).证明由tan(α＋β)＝2tan α，得sin α＋βcos α＋β＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式.所以，命题成立.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y 答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2B.(2－6)2<(3－7)2C.(2＋7)2<(3＋6)2D.(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，即证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________. 答案分析法4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1， ∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.[呈重点、现规律]1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.。

2019高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法课后训练新人教B版

2.2.1 综合法与分析法课后训练1．已知52x ≥，则245()=24x x f x x -+-有( )． A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过x (x ∈(0，＋∞))年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致应为图中的( )．3．设a ，b ∈R ，已知p ：a ＝b ；q ：22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则p 是q 成立的( )． A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( )．A ．PA PB +=0 B ．PC PA +=0C ．PB PC +=0D ．PA PB PC ++=05．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，22log2c a b p +=，2log c q =，则p ，q 的大小关系是( )．A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ＝qD ．p ≥q6．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是________．7．下列说法中正确的序号是________．①若a ，b ∈R ，则2b a a b+≥②若a ，b ∈R ，则lg a ＋lg b ≥③若x ∈R ，则4x x +＝|x |＋4||x ≥ 4 ④2y =的最小值是28．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③αβ以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写命题，则你认为正确的命题是________．9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.10．已知数列{a n }，S n 是它的前n 项和，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设2n n n a c =(n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．参考答案1. 答案：D f (x )＝22122x x (-)+(-)＝22x -＋122x (-)，设x －2＝t ≥12，∴1122t t +≥=. 当且仅当t ＝1，即x ＝3时，f (x )min ＝1.2. 答案：D 因为f (0)＝1，排除选项B ，平均增长率问题属指数函数型，故选D.3. 答案：B 当a ＝b 时，22=2a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222a b a +=，∴p q .当22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭时，a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号，∴q p . 4. 答案：B ∵BC ＋BA ＝2BP ，由向量加法的平行四边形法则知P 为AC 中点．如图．∴PC ＋PA ＝0.5. 答案：B ∵222a b +≥ab ＝1，∴p ＝log c 222a b +＜0. 又q ＝log c 2＝log ＞log ＝log c 14＞0.∴q ＞p .故选B. 6. 答案：a 2＞b 2＋c 2由cos A ＝2222b c a bc ++＜0，知b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2. 7. 答案：③ 当a ＝－1，b ＝1时，①错．当lg a ，lg b 均为负数时，②错．③x 与4x 同号，∴444||x x x x +≥＝＋，正确．④2y ≥2，当且仅当x 2＋2＝1，即x 2＝－1时等号成立，显然错．8. 答案：①③② ∵αβ＞0，|α|β∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ＞8＋8＋2×8＝32＞25.∴|α＋β|＞5.9. 答案：分析：应用分析法找证题思路，根据综合法写出证明过程．证法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证113a b b c a b c ==++++，=3a b c a b c a b b c +++++++，=1c a a b b c+++，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，只需证b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，只需证B ＝60°.因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证法二：(综合法)因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，即c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )．两边除以(a ＋b )(b ＋c )，得=1c a a b b c+++. 所以11=3c a a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即113=a b b c a b c +++++. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.10. 答案：分析：按等差(比)数列的定义证明即可．(1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得，S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，∴a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1，得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3，故b n ＝3·2n －1，∵2n n n a c =，∴c n ＋1－c n ＝1122n n n n a a ++-＝1122n n n a a ++-＝12n n b +，将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)，由此可知，数列{c n }是公差为34的等差数列，其首项11122a c ==，故3144n c n -＝. (3)解：∵3131444n n c n -=-=，∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)×2n －2. 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合此公式，所以{a n }的前n 项和S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

人教版2019高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课后训练新人教B版选修2_2

2.2.2 反证法课后训练1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )．A ．无解B ．有两个解C ．至少有两个解D ．无解或至少有两个解2．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )．A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解3．用反证法证明命题“如果a ＞b>( )． A=<C=<=4．设a ，b ，c 为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．有下列叙述：①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y ，或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的假设为________，得出的矛盾为________．7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．8．已知数列{a n }满足：112a =，11312111n n n n a a a a ++(+)(+)=--，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝221n n a a +-(n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．参考答案1. 答案：D “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有”或“至少有两个”．2. 答案：C “至多有两个”包括“0个，1个，2个”，其否定应为“至少有三个”．3. 答案：D 三个方面的关系，.4. 答案：C5. 答案：B ①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．6. 答案：p ＋q ＞2 (q －1)2＜0 假设p ＋q ＞2，则p ＞2－q ，∴p 3＞(2－q )3＝8－12q ＋6q 2－q 3.将p 3＋q 3＝2代入，得6q 2－12q ＋6＜0，∴(q －1)2＜0.这是错误的．∴p ＋q ≤2.7. 答案：分析：(1)充分利用已知条件中函数的单调性并结合不等式的性质推证，用综合法证明．(2)写出逆命题后，看一看能不能直接证，若不能，则可考虑用反证法．证明：(1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性，得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0b ≥－a f (b )≥f (－a )．两式相加，得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b ＜0，那么0a b a b f a f b a b b a f b f a +<⇒<-⇒()<(-)⎫⎬+<⇒<-⇒()<(-)⎭f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故有a ＋b ≥0.逆命题得证．8. 答案：解：(1)由题意可知，22121(1)3n n a a +-=-，令2=1n n c a -，则123n n c c +=，又2113=14c a -=，则数列{c n }是首项为134c =，公比为23的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故1232143n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.又a 1＝12＞0，a n a n ＋1＜0，故a n ＝(－1)n －b n ＝221n n a a +-＝32143n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－132143n -⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝11243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.(2)用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以3t －121－r 化简，得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾，假设不成立，故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法第1课时综合法及其应用课件新人教B版选修1_2

因为 0°<B<120°，所以 30°<B＋30°<150°，所以 B＋30°＝90°，即 B＝60°，所以 A＝B＝C＝60°. 即△ABC 为等边三角形．
证明三角等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式． (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．
1．求证：3－2cos2α＝3ttaann22αα＋＋11.
2sin2α
[证明]
原
式
右边
＝
3ttaann22αα＋＋11＝
1
＋
cos2α csoins22αα＋1
＝
1
＋
2sin2α
＝1
＋
2(1－cos2α)
＝3－2cos2α＝左边．
所以原式成立．
用综合法证明几何问题
【例 2ห้องสมุดไป่ตู้ 如图，在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，E， F 分别是 AB，BD 的中点．求证：
[答案] ①③④
合作探究提素养
用综合法证明三角问题【例 1】在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求证：A 的大小为 60°； (2)若 sin B＋sin C＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形． [思路探究] (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求 A. (2)结合(1)中 A 的大小利用三角恒等变形证明 A＝B＝C＝60°.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是由因导果的顺推证法． (2)综合法证明的依据是三段论． (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．

2019高中数学第2章推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案新人教B版选修2-2

2.2.1 综合法与分析法1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目． 2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目． 3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法有三个特点：(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论； (3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．【做一做1－1】综合法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法 C ．因果互推的两头凑法 D ．以上均不对【做一做1－2】设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )．A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B 2．分析法一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．用分析法证明的逻辑关系是：B (结论)B 1B 2…B n A (已知)．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．分析法的特点：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。

【做一做2】分析法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法C ．因果分别互推的两头凑法D ．逆命题的证明方法证明与推理有哪些联系与区别？剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．题型一综合法【例题1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列．分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P 0(已知)P 1P 2P 3…P n (结论)．题型二分析法【例题2】如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．题型三易错辨析易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．【例题3】求证：3＋6＜4＋ 5. 错证：由不等式3＋6＜4＋5.① 平方得9＋62＜9＋45.② 即32＜25.③ 则18＜20.④因为18＜20，所以3＋6＜4＋ 5.1函数f (x )＝ln(e x＋1)－x2( )．A ．是偶函数，但不是奇函数B ．是奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数2已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )．A ．aB ．－bC ．1bD ．－1b3已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则当xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )．A ．5,5B ．10,52C ．10,5D ．10,104已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中正确的命题是________(填序号)．5若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________．答案：基础知识·梳理1．定义公理定理【做一做1－1】B【做一做1－2】C ∵x ＞0，y ＞0，x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y.2．充分分析法充分【做一做2】A 典型例题·领悟【例题1】证明：(1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． (2)∵b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n N ＋且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3b n b n －1＋3b n ＝3b n －11b n－1b n －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列．【例题2】证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．所以AF ⊥SC .【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A ，则B ”为例：欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立，只需证命题B 2成立……，只需证A 为真．由已知A 真，故B 必真．正确证法：欲证不等式3＋6＜4＋5成立，只需证3＋218＋6＜4＋220＋5成立，即证18＜20成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故3＋6＜4＋ 5.随堂练习·巩固1．A 函数的定义域为R ，f (－x )＝ln(e －x＋1)－－x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e xe x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－ln ex＋x2＝ln(e x＋1)－x2＝f (x )．∴f (x )＝ln(e x＋1)－x2为偶函数．2．B ∵f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .3．B 由x ＋4y ＋5＝xy ，得24xy ＋5≤xy ，即4xy ＋5≤xy .再利用二次函数求xy 的最小值，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝xy 时，xy 取到最小值，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝52.故选B.4．① 由三视图知在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC .故命题①正确，由已知推证不出②③命题．5．a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .。

高中数学第2章推理与证明221综合法与分析法课件新人教B版选修2

休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
又需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即 c2＋a2＝b2＋ac，又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝12，所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．法二：(综合法)因为△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos60°，即 c2＋a2＝ac＋b2，
法二：(综合法) a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ ab. 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＞0，所以(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．所以 a3＋b3＞a2b＋ab2.
2．在某两个正数 x，y 之间插入一个数 a，使 x，a，y 成等差
两边同时加 ab＋bc，得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边除以(a＋b)(b＋c)，得a＋c b＋b＋a c＝1.所以(a＋c b＋1)＋ (b＋a c＋1)＝3，即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 Q，若由 Q 可以推出 P 成立，就可证明结论成立．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( × ) (2)分析法就是从结论推向已知．( √ ) (3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )