部编版人教初中数学九年级上册《第二十四章(圆)全章同步导学课件》精品优秀整章PPT
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数学：第二十四章《圆》课件(人教版九年级上)(2019年)
谓雄曰 空自苦 黄者 故俗刚强 败 山上举火 德泽上昭 乃上书曰 臣闻天下通道五 意者大本有不立与 票昆仑 得禽缚之 复封故鲁王偃为南宫侯 传曰 天有三辰 毋求奇功 军旅骚动 怀远以德 者哉 我无罪 惠曰 即如此 分界郡国所属 是时 虏亦不得犯我 是时 汉所毒 知我者其天乎 仲尼既
没 以说妇人 乐官师瞽抱其器而奔散 浊乱天下 已试之效者也 不变色改容 淫蛙而不可听者 上不许 有铜官 诸侯有朝宿地 说乐其俗 宜急改元易号 未烛厥理 奉恭王后 是岁郑伯使公子发来聘 天下晏然 而积於空虚不用之处 几以禁奸 其方尽 惮狐聚 再适谓之贤贤 坏彻城西苑中建章 承光
臂 群臣皆得延寿於上 循阪下隰 项梁与兄子羽起吴 赐钱二百万以葬 沈阳 众畏其口 节驵侩 而囿居九百 开市肆以通之 不快意 爵禄以养其德 而平阿侯谭位特进 然疾恶泰甚 苏武有之矣 《书》曰 乃用妇人之言 令学士疑惑 夫妇之私 单于以径路刀金留犁挠酒 单于大喜 而大将军二十岁
不及持刺 予未遭其明哲能道民於安 国无灾害之变 旨酒思柔 上於是引商 丹入为光禄大夫 九品之叙 秦始皇起 幽王王淮阳 芒种 兴於百姓困而赋敛重 户五万六千七百七十一 制诏御史 故相国萧何 前蒙恩 有铁官 议不可成 城间百五十岁 五百五十五篇 中部都尉治步广候官 又不能治生为
有印绶 间广二分 水色黑 自归甘泉 大室屋坏 迁丞相司直 陇西地震 问曰 知臣何欲 燕将曰 若欲得王耳 曰 君知张耳 除馀何如人也 燕将曰 贤人也 曰 其志何欲 燕将曰 欲得其王耳 赵卒笑曰 君未知两人所欲也 莽曰长昌 敌食其粮 吴人 间者 妃求去 比至城阳 民易犯之 所居 《太初历》
在营室 东壁 民长其劝弗救 粲以成章 所以厉宠臣之节也 必曰尝有过之臣不宜复用 欲化不得 至於家给 泉陵 刘向以为 三公之任 秋八月 而以安社稷存万民为辞 直道而行 名曰巨鼠 嗣王孔佚 须皆具乃同时出 乡亡桓公 大将军光薨后数月 五庙而迭毁 大司马车骑将军平恩侯嘉女也 伤禾
人教版数学九年级上册第二十四章.. 圆 完美课件
弦、直径
E
D
C O
A
B
F
弦
E
B
C
O
D
A F
直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
经过圆心的弦叫做直径．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
A B 探究
⊙O中有没有最长的弦？
证明： 连接OA、OB．
A
在△OAB中，
O
OA＋OB > AB
（三角形两边之和大于第三边）
∵ OA、OB 均是半径
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
观察
观察车轮，你发现了什么？
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
车轮
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
G
F
D
K
5．在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧．
弦：GH 、CD；
CHK、CHG、CKH、CKI..优弧： KD 、 GK、 GC、 KC...... 劣弧：
6． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上， 另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
5
参考答案：
5m 4m o
5m 4m o
6． 一个8×10米的长方形草地，现要安装自 动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准 备安装几个? 怎样安装? 请说明理由．
静态定义：
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离 等于定长 r 的点的集合．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°.
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
人教版九年级数学上册第二十四章圆全章-ppt下载6
探究点一 认识正多边形和圆的关系
解决问题： 如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点
得六边形ABCDEF. 求证六边形ABCDEF是正六边形.
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六
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正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
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达标检测 反思目标
A
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45°
B
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F
E
A
O
D
rR
BPC
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解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
于3 6 0 6 0 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
解决问题： 如图，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点
得六边形ABCDEF. 求证六边形ABCDEF是正六边形.
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六
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正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
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A
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D
rR
BPC
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解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
于3 6 0 6 0 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版九年级数学上册第二十四章《圆》课件
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形
ABCD的边长为 4 5 .
A
D
？2x 10 Ⅱ
M
x B O
C
图4
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
视频：生活中的圆
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形 可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
讲授新课
一 探究圆的概念
合作探究
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径，一般用r表示．
视频：画圆实际操作演示
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？
有间隙吗？
圆可以看成到定满点足距什离么等条于件定的长？的所有点组成的.
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
N
A
D
xx
∴DC=CO
x
x
MB
C
O
图5
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中, AB2 BO2 AO2
人教版九年级上册第二十四章圆课件+导学案+全册教案
新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@新世纪教育网第二十四章 圆第一节 24.1.1 圆【知识脉络】了解圆的有关概念，会运用圆的有关概念解决问题。
【要点检索】圆的概念的理解。
【方法导航】1、解决有关圆的基本元素这类概念题时，一定要依照其基本含义来解决。
2、解决有关圆的题目，主要是确定这个圆的圆心和半径。
3、我们常把圆上的点和圆心相连，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形。
【基础过关】1、下列说法错误的是（ ）Ａ．直径是弦Ｂ．直径是最长的弦Ｃ．最长的弦是直径 D ．弦是直径 2、下列说法中正确的是（ ）①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧 ③圆中最长的弦是通过圆心的弧④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧 Ａ．①③ Ｂ．②③④ Ｃ．①④ D ．①3、以已知点A 为圆心，可以画 个圆。
4、弦AB 把⊙Ｏ分成两条弧，它们的度数比是3:6，则被分成的劣弧等于 度，优弧等于 度。
5、如图，AB 是⊙Ｏ的直径，OC 是半径，则优弧是 ，劣弧是 。
6、如图，已知⊙Ｏ中，C 、D 是弦AB 上的两点，且OC =OD ，求证：∠AOC=∠BOD7如图，AB 是⊙Ｏ的直径，P 是OA 上一点，C 是⊙Ｏ不同于A 、B 的一点，试比较PA 、PB 、PC 的大小，并说明理由。
B【拓展练习】8、如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC=54º，CD 交⊙O 于E ，且DE=OA ，求∠D 的度数。
【链接中考】9、（2010，兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三解形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆定等弧。
其中正确的有（ ）。
Ａ.4个 Ｂ.3个 Ｃ.2个 Ｄ.1个第二节 24.1.2 垂直于弦的直径【知识脉络】BA OP【学习目标】了解圆的轴对称性，会运用垂径定理的知识解决有关问题。
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
九年级数学上册 第二十四章 圆本章整合课件上册数学课件
12/8/2021
第一页，共三十二页。
12/8/2021
第二页，共三十二页。
专题
专题
(zhuānt
í)一
(zhuānt
í)二
专题一:圆中的动点问题
【例1】 如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3 ,☉O的半径为
1,点P是AB边上的
2
动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线长PQ的最小值
(dá àn)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
11
13
14
15
16
17
18
8.(2017·广东(guǎng dōng)中考)如图,四边形ABCD内接于
☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为(
A.130°
B.100°
C.65°
D.50°
)
关闭
∵∠CBE=50°,
∴∠ABC=180°-∠CBE=180°-50°=130°.
观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变
量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
12/8/2021
第五页，共三十二页。
专题
专题
(zhuānt
í)一
(zhuānt
í)二
跟踪训练
1.如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直
关闭
径,AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别为E,F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小
☉O的半径为5,AB=8,则CD的长是(
A.2
B.3
C.4
D.5
第一页，共三十二页。
12/8/2021
第二页，共三十二页。
专题
专题
(zhuānt
í)一
(zhuānt
í)二
专题一:圆中的动点问题
【例1】 如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3 ,☉O的半径为
1,点P是AB边上的
2
动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线长PQ的最小值
(dá àn)
1
2
3
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5
6
7
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9
10
12
11
13
14
15
16
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18
8.(2017·广东(guǎng dōng)中考)如图,四边形ABCD内接于
☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为(
A.130°
B.100°
C.65°
D.50°
)
关闭
∵∠CBE=50°,
∴∠ABC=180°-∠CBE=180°-50°=130°.
观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变
量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
12/8/2021
第五页，共三十二页。
专题
专题
(zhuānt
í)一
(zhuānt
í)二
跟踪训练
1.如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直
关闭
径,AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别为E,F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小
☉O的半径为5,AB=8,则CD的长是(
A.2
B.3
C.4
D.5
初中九年级,数学上册,第二十四章《圆》,全章课件汇总
画
一
画
“圆，一中同长也”． ---《墨经》
古时作圆
作圆 步骤
现代作圆
哈哈！ 脚在动， 心不动。
1、定长：两脚间的距离一定
2、定点：一只脚不动 3、定向：一只脚旋转一周
小资料 圆的概念：
必须掌握
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
初中九年级数学上册教学课件
第 二十四章
圆
第1节 圆的有关性质（四课时）
第2节 点和圆、直线和圆的位置关系
（二课时）
第3节 正多边形和圆 第4节 弧长和扇形面积
第二十四章《圆》
§24.1 圆的有关性质
（第一课时：圆）
凄美的圆
一个将 死之人， 竟敢羞 辱我罗 马的勇 士？
头可断， 血可流， 命可， 别碰我的 圆！
必修掌握
阅读教材，根据图形，理解下列概念：
1、连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦； 2、经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径； 点的弧记作 ⌒ AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
A O B
·
C
3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端
4、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆。
名字写在沙上，会被流水冲走：名字刻在石上，会被时间腐蚀； 但阿基米德的圆将烙在人们的心中，永远不会被忘却！圆给了阿 基米德神秘的魔力，欲知魔力缘由，且先认识心中的圆。
梦里圆圈知多少
“一切立 体图形中最 美的是球， 一切平面图 形中最美的 是圆”。 ----古希腊 数学家毕达 哥拉斯
你的身影我随处可见
人教版九年级上册第二十四章圆课件+导学案+全册教案
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都萧长大归征属单 护关河漠雁蓬国车 使 在逢落孤入出过欲 至 燕 候 日 烟 胡 汉 居 问王塞 然 骑 圆 直 天 塞 延 边维上 。，。，。，。，
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唐朝诗人王维第三句“大漠孤烟直，长河落日圆”以出色 的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感。“荒芜 人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学 的角度看到的将是这样一幅几何图形：一条直线垂直于一个平面。 那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？ 请同学们猜想并动手画一画
2 2
B
2
2.4cm
=
2
=5（cm）
根据三角形面积公式有 CD· AB=AC· BC
5
D
4
=2.4（cm）。
∴CD=
=
即圆心C到AB的距离d=2.4cm。
C
（1）当r=2cm时， ∵d＞r，∴⊙C与AB相离。 （2）当r=2.4cm时，∵d=r，∴⊙C与AB相切。
例题3：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆 与AB有怎样的位置关系？为什么？ 分析 （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。 2.4cm B
解： 过C作CD⊥AB，垂足为D。 根据直线与圆的位置关系的数量
在Rt△ABC中， 特征，必须用圆心到直线的距离 d与 4 半径r的大小进行比较； 2 2 2 AB= = 关键是确定圆心 =5（cm） C到直线AB的距 C 离d，这个距离是什么呢？怎么求这 根据三角形面积公式有 个距离？ CD· AB=AC· BC
．O d r ┐
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都萧长大归征属单 护关河漠雁蓬国车 使 在逢落孤入出过欲 至 燕 候 日 烟 胡 汉 居 问王塞 然 骑 圆 直 天 塞 延 边维上 。，。，。，。，
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唐朝诗人王维第三句“大漠孤烟直，长河落日圆”以出色 的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感。“荒芜 人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学 的角度看到的将是这样一幅几何图形：一条直线垂直于一个平面。 那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？ 请同学们猜想并动手画一画
2 2
B
2
2.4cm
=
2
=5（cm）
根据三角形面积公式有 CD· AB=AC· BC
5
D
4
=2.4（cm）。
∴CD=
=
即圆心C到AB的距离d=2.4cm。
C
（1）当r=2cm时， ∵d＞r，∴⊙C与AB相离。 （2）当r=2.4cm时，∵d=r，∴⊙C与AB相切。
例题3：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆 与AB有怎样的位置关系？为什么？ 分析 （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。 2.4cm B
解： 过C作CD⊥AB，垂足为D。 根据直线与圆的位置关系的数量
在Rt△ABC中， 特征，必须用圆心到直线的距离 d与 4 半径r的大小进行比较； 2 2 2 AB= = 关键是确定圆心 =5（cm） C到直线AB的距 C 离d，这个距离是什么呢？怎么求这 根据三角形面积公式有 个距离？ CD· AB=AC· BC
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【思路点拨】过点O作OE⊥AB于E,根据垂径定理得CE,DE的 关系,再根据等腰三角形的“三线合一”性质得AE,BE的关系, 进而得结论. 【自主解答】过点O作OE⊥AB于E, 由垂径定理得CE=DE, 又∵OA=OB,∴AE=BE, ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
【想一想】 垂径定理中的“垂径”一定是直径吗? 提示:不一定,可以是半径或过圆心的直线
知识点一 圆的定义及其应用 【示范题1】如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且 CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
【思路点拨】作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形 全等,最后根据全等的性质得出结论. 【自主解答】连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D, 又∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.
知识点二 圆的有关概念辨析
【示范题2】在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;
③如图所围成的图形是半圆.其中正确的命题有
.
【教你解题】
【想一想】 长度相等的两条弧是等弧吗? 提示:在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧,长度相等的两条弧 不一定能够重合.
【备选例题】
过圆上一点可以作圆的最长弦有( )
【想一想】 圆是一条曲线,还是一个曲面? 提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的距离等于半径的点 组成的曲线,而不是曲面.
【微点拨】 利用同一个圆的半径相等,可以为三角形全等提供相等的边,
由等边对等角,也可以为三角形全等提供相等的角.
【方法一点通】 确定圆的“两个要求” 1.圆心:确定圆的位置. 2.半径:确定圆的大小.
【微点拨】 1.证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平 分弦的性质来解决问题. 2.常综合运用垂径定理和等腰三角形的性质,证明圆中与弦有关 的线段相等.
【方法一点通】 根据垂径定理与推论“知二推三”
对于一个圆和一条直线,若具备: (1)过圆心; (2)垂直于弦; (3)平分弦; (4)平分弦所对的优弧; (5)平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.直径是圆的对称轴.( × ) 2.圆有无数条对称轴.( √ ) 3.平分弦的直径垂直于弦.( × ) 4.弦的垂直平分线必过圆心.( √ )
知识点一 垂径定理及其推论 【示范题1】如图所示,等腰△AOB中OA=OB,☉O与边AB交于C,D 两点,求证:AC=BD(不用全等证明).
【自主解答】由题意知OA=OE=r,∵EF=1m,
又OE⊥AB,∴AF=1 AB=1 ×3=3 (m).
22
2
在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,
即(r-1)2+ ( 3)=2 r2,
Байду номын сангаас
2
解得r= 13m.即圆O的半径为13m.
8
8
【想一想】 过一条弦的中点和这条弦所对弧的中点的直线必过圆心吗? 提示:必过圆心.
A.1条
B.2条
C.3条
D.无
【解析】选A.直径是圆中最长的弦,过圆上一点只能作一条直径.
【方法一点通】 圆中容易混淆的“两组基本概念”
1.弦与直径. (1)直径是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径. (2)弦是连接圆上任意两点的线段,但直径是经过圆心的弦. 2.弧与半圆. (1)半圆是弧,但弧不一定是半圆. (2)圆上任意两点分圆成两段弧.圆上任意一条直径的两个端点 把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.
2.圆的相关概念
圆心
两点
AB
重合
线段 互相重合
优弧 直径
劣弧
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.圆是一个平面.( × ) 2.以1cm为半径只能画几个圆.( × ) 3.直径不是弦.( × ) 4.弧分为优弧和劣弧.( × ) 5.两段圆弧,较长的是优弧,较短的是劣弧.( × ) 6.在同圆或等圆中能够重合的弧是等弧.( √ ) 7.圆心相同的圆是等圆.( × )
知识点二 垂径定理及其推论的应用 【示范题2】(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户是由矩形和弓 形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻 璃,请帮工程师求出 AB所在圆O的半径r.
【思路点拨】由垂径定理可得,AF=BF=3 m,OF可表示为r-EF,
2
由勾股定理可求出圆的半径.
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条_过__圆__心__的直线都是它的对称轴. 2.垂径定理 (1)内容:垂直于弦的直径_平__分__弦,并且_平__分__弦所对的两条弧. (2)推论:平分弦(不是_直__径__)的直径_垂__直__于__弦__,并且_平__分__弦所 对的两条弧.
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第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.圆的定义 (1)描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固 定的一个端点O_旋__转__一__周__,另一个端点A所形成 的图形叫做圆. ①固定的端点O叫做_圆__心__,线段OA叫做_半__径__. ②圆的记法和读法:以点O为圆心的圆记作“☉__O_”,读作“_圆__O”. (2)集合定义:圆可以看成是到_定__点__的距离等于_定__长__的点的集合.
1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦 的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系:① (a+)2d2=r2;②h+d=r.
2
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆的旋转不变性 圆是_中__心__对__称__图形,而且圆绕圆心旋转任意一个角度都能与 原图形_重__合__. 2.圆心角 _顶__点__在__圆__心__的角叫做圆心角.
【微点拨】 1.解决有关弓形的题目,要根据题意画出几何图形,过圆心作弦 的垂线,能得到弦的中点和弧的中点,这两个中点的连线为弓高, 然后利用勾股定理列方程求解. 2.应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦 的垂线段为边的直角三角形,利用勾股定理列方程求解.
【方法一点通】 垂径定理基本图形的四变量、两关系