湖北省三校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)

高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为（-1，1），则（）A. z-1是实数B. z-1是纯虚数C. z-i是实数D. z+i是纯虚数2.设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈（∁U A）∩（∁U B）”是“x∈∁U（A∪B）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知，则a，b，c的大小为（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. a＞c＞b4.命题“若a2+b2=0则a=0且b=0”的否定是（）A. 若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0B. 若a2+b2=0，则ab≠0C. 若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0D. 若a2+b2=0，则a2+b2≠05.如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则=（）A. sin（α-β）B. sin（α+β）C. cos（α-β）D. cos（α+β）6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）.A.B. 16C.D. 327.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的结果为（）A. 15B. 31C. 63D. 1278.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A. m1＞m2，s1＞s2B. m1＞m2，s1＜s2C. m1＜m2，s1＜s2D. m1＜m2，s1＞s29.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A. B. C. （1，2） D. （1，-2）10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A. B. C. D.11.在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ：将点（x，y）变换为点（a，b），使得其中．这样变换σ就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系aOb内的曲线．则四个函数y1=2x（x＞0），，，y4=ln x（x＞1）在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）依次是（）A. ②，③，①，④B. ③，②，④，①C. ②，③，④，①D. ③，②，①，④12.已知直线l：ax+by+1=0（a2+b2≠0）与⊙O：x2+y2=100有公共点，并且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线共有（）条．A. 60B. 66C. 72D. 78二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若展开式的二项式系数之和为8，则展开式中含x项的系数为______．14.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f（4x）图象的对称中心为______．15.若任取实数对（x，y）（0≤x≤1，0≤y≤1），则“”的概率为______．16.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，PB=，点E为线段PD上一点，且PE=2ED，则点P到平面ACE的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，PA=AD=2，AB=BC=1，点M，E分别是PA，PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长．19.在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”成为人们交流的一种主要方式，某机构通过网络平台对“使用微信交流”的态度进行调查，有数万人参与（全部参与者年龄均在[15，65]之间），现从参与者中随机选出200人，经统计这200人中使用微信交流的占．将这些使用微信交流的人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人参加网络春晚活动，求至少有1人年龄在[35，45）的概率；（2）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不使用微信交流的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为“使用微信交流”与年龄有关？参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．20.如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，F为椭圆C的右焦点，A（-a，0），|AF|=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，P为椭圆C上一点，AP的中点为M，直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E．求证：∠ODF=∠OEF．21.已知函数f（x）=x2+2x-2xe x．（1）求函数f（x）的极值．（2）当x＞0时，证明f（x）-2x+x2+x3＜-2e ln x．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），且过点M（0，1）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求直线l的参数方程（设t为参数）与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l经过点（1，0），且与曲线C相交于A，B两点，求+的值．23.已知函数f（x）＝|x＋m|＋2|x-1|（m＞0）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≤8的解集；（2）若不等式f（x＋1）＜3的解集为∅，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意，z=-1+i，则z-1=-2+i，故A，B错误；z-i=-1为实数，故C正确；z+i=-1+2i不是纯虚数，故D错误．故选：C．由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵（∁U A）∩（∁U B）=∁U（A∪B），∴“x∈（∁U A）∩（∁U B）”是“x∈∁U（A∪B）”的充要条件，故选：C．根据集合的基本运算关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合集合的基本关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：，，；∴b＞a＞c．故选：C．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数的单调性，分数指数幂的运算，对数的运算．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了四种命题之间的关系的应用问题，是基础题目．根据命题的否定直接写出即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否定是“若a2+b2=0，则a≠0或b≠0，则a2+b2≠0.故选：D．5.【答案】C【解析】解：根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则有=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）；故选：C．根据题意，由任意角三角函数的定义可得A、B的坐标，由数量积的计算公式可得=cosαcosβ+sinαsinβ，由和差公式分析可得答案．本题考查三角函数中和差公式的应用，涉及向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，然后由棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，∴该四面体的体积是V=,故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=-1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为63，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，v=1，x=2，i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3，i=3满足条件i≥0，执行循环体，v=7，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=15，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=31，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=-1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．故选：C．8.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得：甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10=0.35，[60，70）的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+=66，甲地区的平均数S1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=6 7．乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10=0.25，[70，80）的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+×10≈77.1，乙地区的平均数S2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故选：C．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，故选：A．10.【答案】A【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n-1=255，∴n=8，∴最小正方形的边长为×（）7=．故选：A．正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．11.【答案】A【解析】解：由可得，对于y3=e x（x＞0），显然y3＞1，∴b=arctan y3＞，∴y3对应的图象为①；对于y4=ln x（x＞1），a=arctan x＞arctan1=，∴y4对应的图象为④；对于y1和y2，当0＜x＜2时，2x＞x2，∴arctan2x＞arctan x2，即当0＜a＜arctan2时，∴arctan y1＞arctan y2，∴y1对应的图象为②，y2对应的图象为③．故选：A．用x，y表示出a，b，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a，b的范围及大小关系，从而得出答案．本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：在圆x2+y2=100上横坐标，纵坐标都是整数的点共有12个点，它们是（（0，10），（0，-10），（10，0），（-10，0），（6，8），（6，-8），（-6，8），（-6，-8），（8，6），（8，-6），（-8，6），（-8，-6），（1）这12个点中的两个点可作C=66条直线，其中过原点的直线有6条不合题意舍去，剩下60条直线符合题意；（2）过这12个点中的每个点作圆的切线，可得12条切线也符合题意；综上符合题意的直线共有72条．故选：C．先列出圆上的12个整点，再过其中2个点作直线可得66条，舍去过原点的6条，剩下60条；再过其中每个点作圆的切线共12条均符合题意．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．13.【答案】3【解析】解：由展开式的二项式系数为2n，则有2n=8，则n=3，由（x3）3展开式的通项T r+1=（x3）3-r（-）r=（-1）r x9-4r，令9-4r=1，解得r=2，即展开式中含x项的系数为（-1）2=3，故答案为：3．由二项式定理及其二项式系数得：展开式的二项式系数为2n，得n=3，由（x3）3展开式的通项T=（-1）r x9-4r，令9-4r=1，解得r=2，即展开式中含x项的系数为（-1）r+12=3，得解．本题考查了二项式定理及其二项式展开式的二项式系数，属中档题．14.【答案】（，1），（k∈Z）【解析】【分析】本题主要考查的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．结合函数的对称性是解决本题的关键．根据图象先求出A，B的值，结合周期以及五点对应法求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．【解答】解：由图象知A+B=3，-A+B=-1，得A=2，B=1，则f（x）=2sin（ωx+φ）+1，=2=，即T=，即=，得ω=，由五点对应法得×+φ=，得φ=0，即f（x）=2sin（x）+1，则f（4x）=2sin（3x）+1，由3x=kπ，得x=，即函数的对称中心为（，1），k∈Z，故答案为：（，1）15.【答案】【解析】解：满足的平面区域的面积为1；满足的平面区域如图：则阴影部分的面积为=．由测度比是面积比可得：任取实数对（x，y）（0≤x≤1，0≤y≤1），则“”的概率为．故答案为：．由题意画出图形，利用定积分求出阴影部分的面积，再由测度比的面积比得答案．本题考查几何概型，考查定积分的求法，是中档题．16.【答案】【解析】解：连结AC，BD，交于点O，连结OP，以OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2a，则OA=a，OB=，∵PA2-OA2=PB2-OB2，∴1-a2=2-3a2，解得a=，∴A（0，-，0），C（0，，0），P（0，0，），D（-，0，0），E（-，0，），=（-，，），=（0，，0），=（0，，），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，2），∴点P到平面ACE的距离d===．故答案为：．连结AC，BD，交于点O，连结OP，以OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ACE的距离．本题考查空间线面的位置关系、向量法求点到平面的距离，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，是中档题．17.【答案】解：（1）在△，∴，……………………………………（2分）………………………（4分）∴，∴…………（6分）（2）a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc，又a=2，∴4=b2+c2-bc…………………………………………………（8分）又b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时等号成立，∴bc≤4……………………………………………………………（10分）∴△ABC面积的最大值………………（12分）【解析】（1）利用正弦定理以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．（2）利用余弦定理以及基本不等式求出bc的范围，然后求解三角形的面积的最值．本题考查正弦定理以及余弦定理以及同角三角函数基本关系式以及三角形面积的求法，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】（Ⅰ）证明：连接BM，ME，因为点M，E分别是PA，PD的中点，所以，ME∥AD，所以BC∥ME，BC=ME，所以四边形BCEM为平行四边形，所以CE∥BM．又因为BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点建立空间坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）所以，，设，0≤λ≤1，又，所以设1+λ=t，则1+λ=t，t∈[1，2]，所以，，当且仅当，即l=时，取得最大值，即直线CQ与DM所成角最小时此时BQ=．【解析】（I）连接BM，ME，证明四边形BCEM为平行四边形，可得CE∥平面PAB；（II）PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，以A为坐标原点建立空间坐标系O-xyz，利用向量求解直线CQ与DM所成角最小值，可得线段BQ的长．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解（1）10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）=1得a=0.035，……………（2分）所以第1，2，3组人数分别为16，24，56，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取人数分别为2，3，7，……………………………………（4分）设从12人中随机抽取3人至少有1人年龄在[35，45）为事件A，则．…………………………………………………………（6分）22×2………………………………………………………………………………………（8分），……………………………………（10分）所以有99%的把握认为春节期间打算燃放烟花爆竹与年龄有关．……………………（12分）【解析】（1）根据对立事件的概率公式可得；（2）计算出观测值，根据临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c=2，得出c=1，易知，点F的坐标为（1，0），|AF|=a+1=3，所以，a=2，则，因此，椭圆C的方程为；（2）证明：由（1）得A（-2，0）．设M（x0，y0），P（x1，y1）．由题意可知，直线AP的斜率存在且不为0，故设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．将其代入椭圆方程，并整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，∴-2+x1=，即，直线OE的方程是y=kx．令x=4，得E（4，4k）．由F（1，0），得直线EF的斜率是，故EF⊥OM，记垂足为H．∵直线DF的斜率是，∴DF⊥OE，记垂足为G．在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余，∴∠ODF=∠OEF．【解析】（1）根据题中条件求出a和b的值，即可得出椭圆C的方程；（2）设点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），将该直线方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理求出点P的坐标，于是得出点M的坐标，由直线OE的方程与直线x=4的方程联立求出点E的坐标，由斜率关系得出OE⊥DF，由∠ODF和∠OEF都与∠EOD互余得出∠ODF=∠OEF．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查利用斜率关系转化直线与直线的位置关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题．21.【答案】（1）解：∵函数f（x）=x2+2x-2xe x．（x∈R）∴f′（x）=2x+2-2e x-2xe x=（2x+2）（1-e x），由f′（x）=0，得x=-1或x=0，列表讨论，得：∴当x=-1时，f（x）极小值=f（-1）=1-2+2×=，当x=0时，f（x）极大值=f（0）=0．（2）证明：要证明f（x）-2x+x2+x3＜-2e ln x．及证明2e x-x2-2x＞2e ln x，（x＞0）令g（x）=2e x-x2-2x，（x＞0），h（x）=，（x＞0）．g′（x）=2（e x-x-1），g″（x）=2（e x-1）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）单调递增，g′（x）＞g′（0）=0．∴g（x）在（0，+∞）单调递增，g（x）＞g（0）=2，h′（x）=，可得h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∴h（x）≤h（e）=2，又g（x）与h（x）取最值点不同，∴g（x）＞h（x）在（0，+∞）恒成立，故及证明2e x-x2-2x＞2e ln x，（x＞0）恒成立．∴当x＞0时，f（x）-2x+x2+x3＜-2e ln x恒成立．【解析】（1）求得f′（x）=2x+2-2e x-2xe x=（2x+2）（1-e x），由f′（x）=0，得x=-1或x=0，列表讨论，得f（x）极小值=f（-1）=1-2+2×=，f（x）极大值=f（0）=0．（2）要证明f（x）-2x+x2+x3＜-2e ln x．即证明2e x-x2-2x＞2e ln x，（x＞0）令g（x）=2e x-x2-2x，（x＞0），h（x）=，（x＞0）．利用导数可得g（x）＞g（0）=2，h（x）≤h（e）=2，即可证明．本小题主要考查函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想．考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（α为参数），由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ，得曲线C的直角坐标方程为：y2=4x．（2）若直线经过（1，0），M（0，1）则直线的斜率k==-1，倾斜角为，∴直线l的参数方程为，将其代入y2=4x得t2+6t+2=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2，∴+=+====3．【解析】（1）直线l的参数方程为（α为参数），由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ，得曲线C的直角坐标方程为：y2=4x（2）若直线经过（1，0），M（0，1）则直线的斜率k==-1，倾斜角为，∴直线l 的参数方程为，然后利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当m=2时，f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≤8，得-3x≤8，解得：x≥-，即-≤x<-2，当-2≤x≤1时，f（x）≤8，得-x+4≤8，解得：x≥-4，即-2≤x≤1，当x＞1时，由f（x）≤8，得3x≤8，解得：x≤，即1＜x≤，综上，不等式f（x）≤8的解集是{x|-≤x≤}；（2）由f（x+1）＜3得|x+1+m|+2|x|＜3，令g（x）=|x+1+m|+2|x|=，若不等式f（x+1）＜3的解集是空集，则不等式f（x+1）≥3的解集是R，即g（x）min=g（0）=1+m≥3，解得：m≥2，故实数m的范围是[2，+∞）．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于基础题．（1）代入m的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）令g（x）=|x+1+m|+2|x|，问题转化为g（x）min=g（0）=1+m≥3，解出即可．。