2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)

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立体几何

热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算

空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.

π

【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.

(1)求证：平面PBD⊥平面COD；

(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.

(1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝

π

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，

ππ

∴∠OCB＝，∴∠BOC＝.

∴CO⊥AB.

又PO⊥平面ABC，

OC⊂平面ABC，∴PO⊥OC.

又∵PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，

∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB.

又CO⊂平面COD，

∴平面PDB⊥平面COD.

(2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

⎪ →·n ⎪

则 sin θ＝⎪ ⎪|PD||n|⎪

PD BC BD BC BD ＝⎪ ⎪＝

02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32

⎪ 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1）

设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1.

则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)，

∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1).

设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)，

⎧⎪n·→＝0， ⎧2x －2y ＝0， ∴⎨ ∴⎨

⎪⎩n·→＝0， ⎩－3y ＋z ＝0，

令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3).

设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ，

⎪ PD ⎪

→ ⎪

⎪

⎪ ⎪ 2 22

.

即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11

.

【类题通法】利用向量求空间角的步骤

第一步：建立空间直角坐标系.

第二步：确定点的坐标.

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.

第四步：计算向量的夹角(或函数值).

第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.

第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方

1 1 1

1 1 1 1

形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F.

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1 1

(1)证明：EF∥B C.

1

(2)求二面角 EA D B 的余弦值.

1

1

(1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行

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1 1

1 1

AA ＝AB ＝AD.以 A 为原点，分别以→，→，AA 为 x 轴，y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示 AB AD

⎝2 2 ⎭

设平面 A DE 的一个法向量 n ＝(r ，s ，t )，而该面上向量→

＝⎛1，1，0⎫，→ ＝(0，1，－

⎝2 2 ⎭ ⎧1r ＋1s ＝0，

n ⊥ → 得 r ，s ，t 应满足的方程组⎨2

2 ⎩s －t ＝0，

＝ ＝ . |n |·|n | 3× 2 3

A E

B A D

四边形，从而 B C∥A D ，又 A D ⊂ 面 A DE ，B C 面 A DE ，于是 B C∥面 A DE.又 B C ⊂ 面 B CD ，

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

面 A DE∩面 B CD ＝EF ，所以 EF∥B C.

1

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1

1

(2)解 因为四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方形，所以 AA ⊥AB，AA ⊥AD，AB ⊥AD 且

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1 1 1 1

→

1

1

的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A (0，0，1)，

1

⎛1 1 ⎫

B (1，0，1)，D (0，1，1)，而 E 点为 B D 的中点，所以 E 点的坐标为 ， ，1⎪. 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1)，由 n ⊥ →

，

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1

1

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1

1

1

1

1

(－1，1，1)为其一组解，所以可取 n ＝(－1，1，1).

1

设平面 A B CD 的一个法向量 n ＝(r ，s ，t )，而该面上向量A → ＝(1，0，0)， → ＝(0，1，

1 1

2 2 2 2 1 1 1

－1)，由此同理可得 n ＝(0，1，1).

2

所以结合图形知二面角 EA D B 的余弦值为

1

1

|n ·n | 2 6

1 2 1

2

热点二 立体几何中的探索性问题

此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计

算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：

(1)根据条件作出判断，再进一步论证；

(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.

【例 2】如图，在四棱锥 P －ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD ，PA⊥PD，PA ＝PD ，AB⊥AD，AB

＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.