四川省成都市新都区香城中学学年高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)

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高一下学期第一次月考数学试卷 (20)

高一学年三月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2} 2.下列函数为奇函数的是 ( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x3.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝ ( )A ．－1213B ．－513 C.513 D .12134.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则 ( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b5.向量a ＝(1，－1)，b ＝ (－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝ ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 6.已知三角形ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，4b =，则a = （）A ．2B ．C ．．7.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b = （）A ．2 C ．．3 8.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ( ) A ．8B ．10C ．12D ．149. 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ． (1)2n n -10.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =，则ABC ∆是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．12D ．1312. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.15.设数列n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=__________.16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．18.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且4a =，c =，sin 4sin A B =.（1）求边b的长；（2）求角C的大小.19.（本题满分12分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,cos,4b c A-==-（I）求a和sin C的值;（II）求πcos26A⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.（本题满分12分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4Aπ=，22b a-=122c.（1）求tan C的值；（2）若ABC∆的面积为3，求b的值.21.（本题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为12，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.(1)求数列{a n}，{b n}的通项a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22.（本题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0， 3422+=+n n n S a a . （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。

四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题数学（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则必有（）A.AD CB= B.DO OB= C.AC DB= D.OA OC= 【答案】B 【解析】【分析】根据AB DC =，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．【详解】四边形ABCD 中，AB DC =，则//AB DC 且AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形；则有AD CB =-，故A 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =，B 正确；由图可知AC DB≠，C 错误；由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-，D 错误．故选：B ．2.下列说法正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】【分析】A.由0b =判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A.,a b b a --B.21,2a b a b++ C.23,64b a a b-- D.,a b a b+- 【答案】D 【解析】【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.B 选项，1222a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.C 选项，()64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --共线，不能作为基底.D 选项，易知a b a b +-，不共线，可以作为基底.故选：D4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π=B.6x π=-C.3x π=-D.12x π=-【答案】B 【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13y x π=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移3π个单位，得到2cos[2()]12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26k x ππ=-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6x π=-，其他选项不符合.故选：B5.设a ，b 是非零向量，“a a bb =”是“a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由a a b b =表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =，由a b =表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a bb =”是“a b =”的必要而不充分条件.故选：B6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．7.已知sin α＝5，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.4π B.34π C.3π D.23π【答案】B 【解析】【分析】先求出tan α12=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.【详解】sin α，且α为锐角，则cos α5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝13211(3)2--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34π.故选：B8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒【答案】D 【解析】【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =米，如下示意图，由已知可得12,4OA OB OP OP ====，所以1111cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11PP 时高度不低于4米，转动的角速度为360660︒=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120206=秒，故选：D.二、多选题9.已知函数()cos f x x x =+，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A选项，ππ2sin 63f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当π2π33x -<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，D 错.故选：BC.10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0A >，0ω>），其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）A.π6ω=B.最高水位为12mC.该港口从上午8点开始首次限制船只出入D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可求得6π=ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意π62T ω==，所以6π=ω，故A 正确；对于B ，当12x =时，ππcos 126863y A ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，解得4A =，所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知ππ4cos 663y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题12.设e为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3时，a 在e 上的投影向量为______.【答案】e【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π21cos 31a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120，若()()2ka b a b -⊥+ ，则k =________.【答案】45##0.8【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.因为()2ka b -⊥()a b +r r ，所以()()()()222222521610215120ka b a b kab k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=，解得45k =.故答案为：45.14.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2四、解答题15.已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．（1）求()a b a +⋅的值；（2）求2a b -的值【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算2b，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为22||1,||||cos 451122a a a b a b ==⋅=︒=⨯=所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=【小问2详解】因为22||2b b ==，所以2222|2|(2)444242a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=所以|2|a b -=16.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭且()85f θ=-，求cos 2θ的值.【答案】（1）π（2）410-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】()2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2AD DB = ，3CE EA =，F 为BC 中点.（1）若DE AB AC λμ=+，求实数λ，μ的值；（2）若8AF DE ⋅=-，求边BC 的长.【答案】（1）23λ=-，14μ=.（2）8【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-，从而求得BC 的长.【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23λ=-，14μ=.【小问2详解】12AF BF BA BC BA =-=- ，()1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，221115668824212AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．【答案】（Ⅰ）定值为3；（Ⅱ）min ()1f θ=-；【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=+++，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-++-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y xθθθθθθ+--++--++2222222221113x y r y r x r x y+--⇒++=++=；（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =。

成都市新都香城中学高级高三“一诊”模拟考试数学试卷（理科）

数学试卷（理科）一、选择题: 本大题共12题，每小题5分，共60分. 1．若集合}0|{}|||{2>-===x x x B x x x A ，，则A∩B= （）A ．[0，1]B ．]0,(-∞C ．（1，+∞）D ．（－∞,－1）2．设t 是实数，且23131i it-+-是实数，则t= （）A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知函数)()()10(log 2)(1x f x fa a x x f a 是，，且-≠>+=的反函数，若)(1x f-的图象过点（6，4），则a 等于（）A ．3B ．33C ．6D ．24．从4名女生和3名男生中选出3人分别参加三个培训班，若这3人中至少有1名男生，则不同的选派方案共有（） A ．108种 B ．186种 C ．216种 D ．270种 5．若将函数cos()3y x π=-的图象按向量a 平移后得到函数sin y x =的图象，则a 可以为A ．(,0)6π-B ．(,0)6πC ．5(,0)6π-D ．5(,0)6π 6．等比数列{}n a 的公比为(0||1),n q q S <<为其前n 项和，若lim n n S S →∞=，且2n n S S a =+则q =A ．23-B ．23C ．13D ．13-7．已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．设γβα、、为互不相同的三个平面，l 、m 、n 为不重合的三条直线，则β⊥l 的一个充分条件是（）A ．l =⋂⊥⊥γαγβγα,, B ．m l m ⊥=⋂⊥,,βαβαC ．αβα⊥⊥⊥l m m,, D ．αγβγα⊥⊥⊥l ,,9．已知曲线x x y ln 3412-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（） A ．3B ．2C ．1D ．2110．设250cos 113tan 113tan 26sin 236cos 212︒-=︒+︒=︒-︒=c b a ，，则有（）A ．a >b>cB ．a <b<cC ．a <c<bD ．b<c<a11、定义一种运算：()()g g h g h h g h ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()21x f x =⊗，那么函数y=(1)f x -的大致图象是（）12．设22(),1x f x x =+()52(0),g x ax a a =+-> 若对于任意[]10,1,x ∈总存在[]00,1,x ∈使得 01()()g x f x =成立，则a 的取值范围是( )A ．5[,4]2B ．[4,)+∞C ．5(0,]2D ．5[,)2+∞二、填空题:13．10)1(xx +展开式中的第四项为 .14.设21e e ，是两个互相垂直的单位向量，λλ，则，若，b a e e b e e a ⊥-=+-=2121)2(的值为 . 15．正三棱锥S —ABC 内接于球O ，且球心O 在平面ABC 上，若正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，则该三棱锥的体积是 . 16、已知()f x =2|2|()x ax b x R -+∈，给出下列命题：A 、()f x 不可能是偶函数；B 、当(0)(2)f f =时，()f x 的图象关于x=1对称xy1 10 Axy 11Bxy 1-10 C xy1-1 0DC 、若20a b -≤，则()f x 在[,)a +∞上是增函数；D 、()f x 有最大值2||a b - ；E 、()f x 有最小值2b a -，其中正确的是。

2014-2021学年四川省成都市新都区香城中学高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析

2022-2021学年四川省成都市新都区香城中学高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题有且只有一个选项是正确的，共60分）1．12，13，16，21，（），37．A．25 B．26 C．28 D．312．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．3．已知向量，则•=（）A．﹣1 B．0 C．﹣2m D．1﹣m24．cos32°sin62°﹣sin32°sin28°=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，已知a=4，b=3，A=30°，△ABC的解的个数为（）A．1 B．0 C．2 D．不确定6．若α+β=，则（tanα+1）•（tanβ+1）=（）A．1 B．2 C．3 D．67．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11=121，则a6=（）A．1 B．110 C．11 D．1328．已知sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．9．数列{a n}中，a1=1，若a n+1=a n+2n+1，n∈N*，则数列{a n}的第k项a k=（）A．k2B．k2﹣k+1 C．k2+k D．2k﹣110．sin75°（1﹣tan15°）=（）A．1 B．C．D．11．在△ABC中，b2cosC+bccosB=a2，则△ABC的外形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形12．在△ABC中，角A，B，C成单调递增的等差数列，a，b，c是的△ABC 三边，，则c﹣a的取值范围是（）A．B．C．D．（，）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}前五项为0.125，0.125，0.25，0.75，3，则a8=．14．若tanα=，则α+β=．15．sinα+cos（α+）=，则sin（α+）=．16．已知函数f（x）=，（e=2.71828…），则f（﹣10）+f（﹣9）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+…+f （9）+f（10）=．三、解答题（17-21题每题12分，第22题是三选二，10分，共70分）17．已知sinβ+cosβ=，β∈（0，π）（1）求sin2β的值；（2）求tanβ的值．18．△ABC中，sinA=（1）若△ABC中b=3，求边a的长；（2）求cosC的值．19．已知数{a n}的前n项和S n=n2﹣n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的第n项b n=a n+1，n∈N*，求T n=++…+．20．已知向量，函数f（x）=，x∈R．（1）若f（x）=，求的值；（2）△ABC的内角A满足：f（A）=，若b=，c=1，求△ABC外接圆的面积．2）看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是自然的等差数列．任凭框选9个数，如图1，可以发觉12等于四周8个数之和的八分之一．请用所学数学学问对此作出简要的说明．（2）如图2，在框选出4×4的方框中，第一行的四个数字依次为4，5，6，7．甲乙丙三人从这16个数中各选择出一个数字，甲选中的数字是18，并删去18所在的行和列；乙在5与12这两个数中任意选择一个数，记为x，再删去x所在的行和列；丙在27与28这两个数中任意选择一个数，记为y，再删去y所在的行和列；最终剩下的一个数记为w，试列式计算以说明这四个数18，x，y，w之和是一个定值．请在所给三个小题中任选两个完成证明，每小题5分，本小题满分10分22．求证：．23．求证：S△ABC=2R2sinAsinBsinC．（注：R是△ABC外接圆的半径）2021春•新都区校级月考）等差数列{a n}的首项是a1，公差为d，m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q．证明：a m+a n=a p+a q．。

高一数学第一次月考试卷(含答案)

高一数学第一次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、函数1y x=+ D ） A. [)4,-+∞ B ．()()4,00,-+∞ C ．()4,-+∞ D. [)()4,00,-+∞2、若集合{}{}21,02,A x x B x x =-<<=<<则集合A B 等于（D ）A 、{}11x x -<<B 、{}21x x -<<C 、{}22x x -<<D 、{}01x x <<3、若集合{}2228x A x Z +=∈<≤，{}220B x R x x =∈->，则()R A C B 所含的元素个数为（ C ）A 、0B 、1C 、2D 、34、函数1()f x x x=-的图像关于（ C ）。

A. y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D.直线y x =对称5、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -＝ (D) A.2 B.1 C.0 D.-26、若)(x f 是偶函数，其定义域为),(+∞-∞，且在[)+∞,0上是减函数，则)23(-f 与)252(2++a a f 的大小关系是（ C ） A 、)252()23(2++>-a a f f B 、)252()23(2++<-a a f f C 、)252()23(2++≥-a a f f D 、)252()23(2++≤-a a f f 7、若)(x f ，)(x g 都是奇函数，且2)()()(++=x bg x af x F 在),0(+∞上有最大值8，则)(x F 在)0,(-∞上有（ D ）A 、最小值8-B 、最大值8-C 、最小值6-D 、最小值4-8、设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则,,a b c 的大小关系是 ( A ) A 、a c b >> B 、a b c >> C 、c a b >> D 、b c a >>9、函数1()(0,1)x f x a a a +=>≠的值域为[)1,+∞，则(4)f -与(1)f 的关系是（ A ）A 、(4)(1)f f ->B 、(4)(1)f f -=C 、(4)(1)f f -<D 、不能确定10、若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范（ B ）A. 3(,3)2 B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. (]0,3 D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知[]1,1-∈x 时，02)(2>+-=a ax x x f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ A ） A.（0，2） B.），（∞+2 C. ），（∞+0 D.（0，4） 12、奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f += （ D ） A 、2- B 、1- C 、0 D 、1二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设集合{}{}21,1,3,2,4,A B a a =-=++{}3A B =，则实数a 的值为_1____ 。

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷(含解析)

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024B．﹣2024C．D．2．（4分）提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为（）A．19×108B．1.9×109C．0.19×1010D．1.9×1084．（4分）下列各式计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（2x2）3＝6x6C．4x3÷2x＝2x2D．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，4）B．（0，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）6．（4分）2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史•吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（）A．80，79B．80，78C．78，79D．80，807．（4分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：DE＝1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝4，AF＝6，则▱ABCD的周长为（）A．21B．34C．48D．608．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①当x＜0时，y随x增大而增大；②该抛物线一定过原点；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0；⑤b＞0．其中结论正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝．10．（4分）如图，直线：y＝2x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则方程组的解为．11．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有个．12．（4分）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，当S△ABC＝2时，k的值为．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝2，则△ACD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．15．（8分）为提升同学们的综合素质，丰富课余生活，某校举行了“爱新都”为主题的视频制作评比活动．某兴趣小组同学积极参与，计划制作有代表性景点的城市宣传短片，现抽样调查了部分学生，从A锦门民国小镇，B桂湖公园，C宝光寺，D新繁东湖，E泥巴沱公园五个景点中，选出最具有新都代表性的地方，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人，扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于度，并把条形图补充完整；（2）该校学生共计1500人，请估算出该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数；（3）该兴趣小组准备从校内四位“优秀共青团员”（两男两女）中，挑选两人作为宣传片中的讲解员，请利用列表或画树状图的方法，求所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率．16．（8分）某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）17．（10分）如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且．（1）求证：∠ABE＝∠ADG；（2）若，，，求EG的长．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A （3，m），B两点．（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD 恰好为平行四边形，求k的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）满足的整数x有个．20．（4分）x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣3x1x2＝．21．（4分）将抛物线C1：y＝x2向左平移a（a＞0）个单位长度后，再向下平移b个单位长度，得到新的抛物线C2，若A（﹣a﹣2，y1），B（﹣a+1，y2），C（﹣a+3，y3）为抛物线C2图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系 .（请用“＜”表示）22．（4分）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，＝称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD 的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，＝称为“白银比率”，则该比率为；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且∠MBN ＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM′，连接CM′．当线段CM′的长度最小时，∠MM'C的度数为度．24．（10分）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米，点A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．O位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与OA的水平距离为1米时，喷出的水柱可以达到最大高度3米．（1）求出该抛物线的函数表达式；（2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若三角形BOM是以OM为底的等腰三角形，试求出此时点B的横坐标；（3）若BA⊥CA，探究直线BC是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．26．（10分）如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．（1）求CE的长度；（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．①当DG∥AB时，试求AD的长度；②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．3．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.9亿＝190000000＝1.9×108，故选：D．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项A错误，不符合题意；（2x2）3＝8x6，故选项B错误，不符合题意；4x3÷2x＝2x2，故选项C正确，符合题意；x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．6．【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为74，76，78，78，80，80，80，85，所以这组数据的众数为80，中位数为＝79，故选：A．【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．7．【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，得到△FAE∽△CDE，推出FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD＝12，由AE＝4，AE：DE＝1：2求出DE＝8，得到AD＝AE+ED＝12，即可求出▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝48．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，∴△FAE∽△CDE，∴FA：CD＝AE：DE＝1：2，∵FA＝6，∴CD＝12，∵AE＝4，AE：DE＝1：2，∴DE＝8，∴AD＝AE+ED＝12，∴▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（12+12）＝48．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，得到FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD的长．8．【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；②根据对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，便可判断；③根据由函数图象可知，与x轴有两个交点；④根据当x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断；⑤根据开口方向和对称轴的位置解答即可．【解答】解：①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，则此小题结论错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），∴另一个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，则此小题结论正确；③∵由函数图象可知，与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；则此小题结论正确；④由函数图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，则此小题结论错误；⑤∵开口向下，∴a＜0，对称轴为直线x＝﹣2，∴b＜0，则此小题结论错误；故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a3﹣12a＝3a（a2﹣4），＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．【分析】首先利用待定系数法求出m的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x+4经过点P（1，m），∴m＝2+4＝6，∴P（1，6），∴方程组的解为．故答案为：．【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．11．【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：设箱内粉球有x个，由题意得：＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，即箱内粉球有6个，故答案为：6．【点评】此题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．12．【分析】根据反比例函数图象的对称性可得出A，B两点关于点O对称，进而得出△AOC 与△BOC的面积相等，据此可解决问题．【解答】解：因为反比例函数是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，所以点A和点B关于点O对称，则OA＝OB．又因为S△ABC＝2，所以．因为AC⊥x轴，所以，则x A y A＝2，所以k＝x A y A＝2．故答案为：2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知反比例函数图象的对称性是解题的关键．13．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABC即可解决问题．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴AC＝AB＝2．∴△ACD的面积＝S△ABC＝××2×2＝，故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂计算；（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．【解答】解：（1）原式＝3×﹣﹣×+1＝﹣2﹣1+1＝﹣；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键》15．【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次被调查的学生人数；用360°乘以本次调查中选择A景点的人数所占的百分比，可得扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数；求出选择D景点的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1500乘以样本中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生有18÷22.5%＝80（人）．扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于360°×＝72°．故答案为：80；72．选择D景点的人数为80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（人）．补全条形统计图如图所示．（2）1500×＝375（人）．∴该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数约375人．（3）将2名男生分别记为甲，乙，2名女生分别记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共8种，∴所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．16．【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝20m，DE＝CN＝BM＝1.4m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝20+x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，则BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，ED＝BM，设AE＝xm，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝xm，∵BC＝20m，∴BE＝x+20，在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，∴tan22°＝，∴0.40＝，解得：x≈13.33，∴ED＝BM＝1.4m，∴AF＝13.33+1.4＝14.73≈14.7（m）．答：古城门最高点A距离地面的高度约为14.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．17．【分析】（3）利用同角的余角相等可得∠BAE＝∠DAG，结合条件即可证明△ABE∽△ADG，以此即可得证；（2）易得∠ADB＝∠CBD，结合（1）中结论并根据等角加等角相等得∠EDG＝90°，再由勾股定理求得BD的长，于是得出BE的长，由△ABE∽△ADG可求出DG的长，最后再利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG．（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，在Rt△ABD中，AB＝，AD＝，∴＝＝，∴BE＝BD＝，DE＝，由（1）知，△ABE∽△ADG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴，∴DG＝，在Rt△DEG中，EG＝＝＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解题关键：（1）由同角的余角相等得到∠BAE＝∠DAG；（2）根据角之间的关系推理证明∠EDG＝90°．18．【分析】（1）将A（3，m）代入直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝，可得答案；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，根据平行线分线段成比例得，可得N（﹣4，﹣3），从而得出直线AM的解析式为y＝x+1，M（﹣1，0），再计算S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM即可；（3）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，可得C（t，0），则D（t﹣3，2），过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，则DG∥EF，可得△CEF∽CDG，利用相似三角形的性质得，可得出EF＝，OF＝t﹣1，则E（t﹣1，），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得t＝，即可解决问题．【解答】解：（1）将A（3，m）代入反比例函数y＝得，m＝4，∴A（3，4），将点A（3，4）代入y＝﹣x+b得，b＝6，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，联立直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝得，，解得，∴点B的坐标为（6，2）；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，∴MP∥NQ，∴，∵A（3，4），∴AP＝4，∴PQ＝3，∴N（﹣4，﹣3），设线AM的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，∴M（﹣1，0），∵直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，令y＝0，则x＝9，∴H（9，0），∴S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM＝×4×（1+9）﹣×2×（1+9）＝10；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，令y＝0，则x＝t，∴C（t，0），∵A（3，4），B（6，2），∴D（t﹣3，2），∵DE＝2EC，∴，过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，∴DG∥EF，∴△CEF∽CDG，∴，∴，，∴EF＝，OF＝t﹣1，∴E（t﹣1，），∵D，E都在另一条反比例函数（k＞0）的图象上，∴k＝（t﹣1）＝2（t﹣3），∴t＝，∴k＝×（×﹣1）＝2．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】求出﹣，的取值范围，进而可得出答案．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，∴满足＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2共4个，故答案为：4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定﹣，的取值范围．20．【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再求出x1+x2与x1•x2的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0可化为3x2﹣x﹣1＝0，∵x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，∴x1+x2﹣3x1x2＝﹣3×（﹣）＝+1＝．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．21．【分析】求出A，B，C三个点离抛物线对称轴的远近，结合抛物线的开口方向即可解决问题．【解答】解：由题知，平移后的抛物线函数解析式为：y＝（x+a）2﹣b，则此抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，且开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小．因为﹣a﹣（﹣a﹣2）＝2，﹣a+1﹣（﹣a）＝1，﹣a+3﹣（﹣a）＝3，且1＜2＜3，所以y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．22．【分析】根据“白银矩形”的定义，列出方程即可求出“白银比率”，再利用求出的“白银比率”即可解决问题．【解答】解：令BC＝x，由得，，解得AE＝（舍负），所以AB＝2x+AE＝，则“白银比率”为：．如图所示，，x＝，经检验x＝是原方程的解，且符合题意．所以该“白银矩形”的面积为：．故答案为：，．【点评】本题考查矩形的性质及黄金分割，理解题中所给定义是解题的关键．23．【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABM≌△EBM′，再由当CM⊥EF时，CM'有最小值，可得△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，再证明△ABM为等腰直角三角形，△MBM是等边三角形，进而得到∠EM'B＝∠AMB＝60°，最后当CM′⊥EF于H时，CM′有最小值，由此可以求出∠MM'C ＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°．【解答】解：将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，设EM交BC于G点，如下图所示：在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，根据折叠可知，∠MBM'＝60°，BM＝BM'，∴∠ABM＝∠ABE﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∠EBM'＝∠MBM'﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∴∠ABM＝∠EBM′，∵BA＝BE，BM＝BM′，∴△ABM≌△EBM′（SAS），∵AM＝EM′，∠E＝∠A＝90°，∵∠EBG＝90°﹣60°＝30°，∴∠BGM'＝∠EBG+∠BEG＝90°+30°＝120°，∴∠EGC＝120°，∴∠CGM'＝∠EGB＝180°﹣120°＝60°，∴点M在EF上，∵垂线段最短，∴当CM′⊥EF时，CM′有最小值，∴△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，设EG＝x，BC＝2y，则BG＝2EG＝2x，CG＝BC﹣BG＝2y﹣2x，，∴，∵BC＝2AB，，∴EM′＝AB，∵AM＝EM′，∴AB＝AM，∴△ABM为等腰直角三角形，∴∠EM′B＝∠AMB＝45°，∵∠MBM'＝60°，BM＝M′B，∴△MBM是等边三角形，∴∠BM'M＝60°，∴∠EM'M＝∠BM'M﹣∠EM'B＝60°﹣45°＝15°，∴∠MM'C＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．24．【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（1，3），用顶点式设出抛物线解析式，把点A 的坐标代入可得抛物线二次项系数的值，即可求得抛物线的解析式；（2）水流落回水面，即抛物线与x轴相交，那么纵坐标为0求得符合题意的x的值，再加上预留的一米即为该圆形喷水池的半径最少的米数．【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，3）．∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）．∵抛物线经过点（0，2），∴a+3＝2．解得：a＝﹣1．∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∵水流落回水面，∴抛物线与x轴相交．∴﹣（x﹣1）2+3＝0．（x﹣1）2＝3，x﹣1＝，x﹣1＝﹣．∴x1＝+1，x2＝1﹣（不合题意，舍去）．∴该圆形喷水池的半径至少设计为：+1+1＝（+2）米．答：该圆形喷水池的半径至少设计为（+2）米．【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意设出符合题意的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数有顶点坐标，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）计算比较简便．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出OM中垂线表达式中的k值为﹣，得到直线OM中垂线的表达式，即可求解；（3）证明tan∠ACN＝tan∠BAM，得到，整理得：mn＝﹣1，进而求解．【解答】解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣1；（2）由点O、M的坐标得，直线OM的表达式为：y＝x，则OM中垂线表达式中的k值为﹣，OM的中点坐标为：（1，），则直线OM中垂线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+，联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣1＝﹣（x﹣1）+，解得：x＝，即点B的横坐标为：；（3）直线BC过定点（0，0），理由：过点A作x轴的平行线交过点B和y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，设点B（m，m2﹣1）、C（n，n2﹣1），∵BA⊥CA，∴∠BAM+∠CAN＝90°，∵∠ACN+∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠BAM，∴tan∠ACN＝tan∠BAM，即，即，整理得：mn＝﹣1，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣1＝（m+n）x﹣mn ﹣1＝（m+n）x，当x＝0时，y＝（m+n）x＝0，即直线BC过定点（0，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、中垂线的性质，数据处理是本题的难点，题目有一定的综合性，难度适中．26．【分析】（1）取AB的中点为H，连接EH、HC，证明△BCF是等腰直角三角形，∠BCF ＝45°，得BF＝CF＝，再证明△AEB是等腰直角三角形，得∠ABE＝45°，然后证明∠BAC＝∠BEF，即可解决问题；（2）①过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，证明△CMD是等腰直角三角形，得CD＝DM，再证明△DBC∽△GBF，得∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，进而证明△BKD是等腰直角三角形，得DK＝BK，然后证明DK＝AB，求出DK＝，即可解决问题；②过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，即N与①中的D重合，由等腰直角三角形的性质得AE＝，再由锐角三角函数定义得sin∠ENA＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，然后证明∠HEF＝∠EAN，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，取AB的中点为H，连接EH、HC，设AC交BE于点N，∵AC＝2BC＝4，∴BC＝2，∵∠F＝90°，BF＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，∴BF＝CF＝BC＝×2＝，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵BE⊥AE，AE＝BE，∴△AEB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABN＝∠NCE，∵∠ANB＝∠CNE，∴∠BAC＝∠BEF，∴tan∠BAC＝tan∠BEF，∵tan∠BAC＝＝＝，∴tan∠BEF＝＝，∴EF＝2BF＝2，∴CE＝EF﹣CF＝2﹣＝；（2）①如图2，过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，则∠DMG＝90°，由（1）得：∠ACE＝45°，∴△CMD是等腰直角三角形，∴CD＝DM，∵△BCF、△BGD都是等腰直角三角形，∴DG＝BG，∠BGD＝90°，∠DBG＝∠CBF＝45°，＝＝，∴∠DBG﹣∠CBG＝∠CBF﹣∠CBG，即∠DBC＝∠GBF，＝，∴△DBC∽△GBF，∴∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，∴CD＝FG，∴DM＝FG，∵∠BFE＝90°，∴点G在EF上，∵DG∥AB，∠BGD＝90°，∴∠GBA＝90°，∵∠ABE＝45°，∠DBG＝45°，∴D在BE上，∵tan∠BAC＝，∴＝，∴AK＝2DK，∴AD＝＝＝DK，∵DK⊥AB，∠ABE＝45°，∴△BKD是等腰直角三角形，∴DK＝BK，∵AK＝2DK，AB＝AK+BK，∴DK＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴DK＝AB＝×2＝，∴AD＝DK＝×＝；②HG存在最小值，理由如下：如图3，过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得：点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，则N与①中的D重合，由①得：AN＝，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝×2＝，∵点H为AB的中点，∴EH＝AB＝×2＝，∠BEH＝45°，∴sin∠ENA＝＝＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，∵∠EAN＝∠ABE+∠BAC＝45°+α，∴∠HEF＝∠EAN，在Rt△PEH中，PH＝EH•sin∠HEF＝EH•sin∠ETA＝×＝，∴HG的最小值为．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。

四川省成都市新都香城中学2022-2023学年高一下学期4月测试数学试题

2023年春季高2022级四月测试数学（学科）试题满分：150分时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须用2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与1050-︒终边相同的最小正角是（）A ．30-︒B ．60︒C ．30︒D ．60-︒2．已知角α的终边经过点()2,1P -，则α2cos 的值为（）A ．5B ．53C ．D ．3．在ABC 中，角,,A B C的对边分别为,,a b c ，已知60a b B ===︒，则A =（）A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．60°或120°4．在ABC 中，设3AD DB = ，CA a = ，→→=b CB ，则CD = （）A ．1344a b+ B ．1344a b-C ．1233a b+D ．1233a b-5．已知ππ2α<<）A ．sin cos αα-B ．sin cos αα+C ．sin αD ．cos α-6．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=-，点P 是边CD 的一个四等分点（靠近C 点），则PA PB ⋅的值是（）A ．－2B ．－1C ．1D ．27．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A ．2B ．3C ．92D ．58．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB ，高约为50m ，在它们之间的地面上的点Q （B ，Q ，D 三点共线）处测得A 处、泰姬陵顶端C 处的仰角分别是45°和60°，在A 处测得泰姬陵顶端C 处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD 为（）A ．75mB ．m C ．m D ．80m二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学第一次月考试卷

高一数学第一次月考试题时量：120分钟总分：150分姓名：班级：得分：一、选择题（5×10=50分）1．集合},{b a 的子集有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （）A ．(4,3)-B ．(4,2]-C ．(,2]-∞D ．(,3)-∞3．图中阴影部分所表示的集合是（）A.B ∩［CU(A ∪C)］B.(A ∪B) ∪(B ∪C)C.(A ∪C)∩(CUB)D.［CU(A ∩C)］∪B4．下列对应关系：（）①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根②,,A R B R ==f ：x x →的倒数③,,A R B R ==f ：22x x →-④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方其中是A 到B 的映射的是A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③5. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t （小时）的函数表达式是（）A ．s=60tB ．s=60t+50tC ．s=D ．s= 6. 函数y=xx ++-1912是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数7.已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（） ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t ⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tA ．-2B ．2或52-C ． 2或-2D ．2或-2或52- 8．下列函数中，定义域为[0，+∞）的函数是（）A ．x y =B ．22x y -=C ．13+=x yD ．2)1(-=x y9．下列图象中表示函数图象的是（）（A ） (B) (C ) (D)10. 若偶函数 f(x)在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A. B.C. D. 二、填空题（5×5=15分）11．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是．12．已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝．13．设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是 .14. 设奇函数f （x ）的定义域为[-5,5]，若当时，f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .15．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共75分）16．集合A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2x －8＝0｝．(12分) （Ⅰ）若A ＝B ，求a 的值；(6分)（Ⅱ）若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．（6分）x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 (]1,-∞-)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f [0,5]x ∈17、设U={2,3，a 2+2a-3},A={b,2},U ⊇A ，C U A={5},求实数a 和b 的值。

四川省成都2023-2024学年高一下学期7月月考试题数学含答案

成都2023-2024高一下期7月月考数学（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数31i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若直线l⊥平面α，则下列说法正确的是（）A.l 仅垂直平面α内的一条直线B.l 仅垂直平面α内与l 相交的直线C.l 仅垂直平面α内的两条直线D.l 与平面α内的任意一条直线垂直3.已知向量,a b 满足2= a ，且3a b ⋅=- ，则()2a b a +⋅ 的值为（）A.1B.3C.5D.74.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，2b =，3cos 4C =，则c =（）A.2B.C.D.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1D C 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π26.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为π2，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC.D.7.如图，三棱锥D-ABC 中，DC ⊥平面ABC ，DC=1，且ABC ∆为边长等于2的正三角形，则DA 与平面DBC 所成角的正弦值为A.5B.5C.5D.258.在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[]1,4- D.1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，复数34i z =-+，则下列说法正确的是（）A.复数z 的实部为3B.复数z 的虚部为4C.复数z 的共轭复数为34i +D.复数z 的模为510.下列化简正确的是（）A .sin 45cos 451︒︒= B.22ππcos sin 12122-=C.1sin 40cos 40sin8022︒+︒=︒ D.2tan 22.511tan 22.52︒=-︒11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是对角线AC 1上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点C 1的过程中，下列结论中正确的有（）A.二面角P ﹣A 1D ﹣B 1的取值范围是[0,2π]B.直线AC 1与平面A 1DP 所成的角逐渐增大C.存在一个位置，使得AC 1⊥平面A 1DP D.存在一个位置，使得平面A 1DP ∥平面B 1CD 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()1,,3,2a m b =-= ，若a b ⊥ ，则m =______．13.已知三棱锥A BCD -，AB ⊥底面BCD ，90CBD ∠=︒，5AB =，3BC =，4BD =，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为______.14.在四面体ABCD 中，且7,3,10AB CD AC BD AD BC ======，点,P Q 分别是线段AD ，BC 的中点，若直线PQ ⊥平面α，且α截四面体ABCD 形成的截面为平面区域Ω，则Ω的面积的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求2a b -．16.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1PA AB BC ===，2AD =，E 为PD 的中点.（1）求证：CE ∥平面PAB （2）求证：平面PAC ⊥平面PDC17.正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长为2,D 为BC 的中点；13AA =．（1）求证：1AD C D ⊥；（2）求C 到平面1AC D 的距离.18.已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求()0f 的值；（2）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =在[]0,m 上有且仅有两个零点，求m 的取值范围.19.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为)222,,,2sin sin sin 3sin sin sin a b c A B C B C A=+-（1）求A ；（2）奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．①用向量证明二维柯西不等式：()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++②已知三维分式型柯西不等式：()2222123312123123123,,R ,x x x x x x y y y y y y y y y +++∈++≥++，当且仅当312123x x x y y y ==时等号成立．若2,a P =是ABC 内一点，过P 作,,AB BC AC 垂线，垂足分别为,,D E F ，求4AB BC AC T PDPEPF=++的最小值．成都2023-2024高一下期7月月考数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数31i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论.【详解】由题意知231i 33i 33i 33i 1i 1i 1i 222z ---=⋅===-+--，所以31i z =+在复平面内对应的点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限，故选：D.2.若直线l⊥平面α，则下列说法正确的是（）A.l 仅垂直平面α内的一条直线B.l 仅垂直平面α内与l 相交的直线C.l 仅垂直平面α内的两条直线D.l 与平面α内的任意一条直线垂直【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可【详解】因为若直线l⊥平面α，则l 与平面α内的任意一条直线都垂直．所以ABC 错误，D 正确，故选：D3.已知向量,a b 满足2= a ，且3a b ⋅=- ，则()2a b a +⋅ 的值为（）A.1B.3C.5D.7【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件直接化简()2a b a +⋅求解即可.【详解】因为向量,a b 满足2= a ，且3a b ⋅=- ，所以()22222235a b a a b a +⋅=+⋅=⨯-= .故选：C.4.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，2b =，3cos 4C =，则c =（）A.32B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-可得22231221224c =+-⨯⨯⨯=，即c =故选：B5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1D C 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】将1D C 平移到与1A D 相交，求所成的角，即异面直线所成的角.【详解】正方体中，11//A B D C ，所以1A D 与1A B 所成的角即异面直线1A D 与1D C 所成的角，因为1A BD 为正三角形，所以1A D 与1A B 所成的角为π3，所以异面直线1A D 与1D C 所成的角为π3.故选：C.6.若一个圆锥的体积为3，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为π2，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.【答案】C 【解析】【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积．【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，由轴截面三角形的顶角为π2，得r h =，所以圆锥的体积为231ππ333V r h r ===，解得r =所以圆锥的母线长为2l ==，所以圆锥的侧面积为ππ2S rl ===侧．故选：C ．7.如图，三棱锥D-ABC 中，DC ⊥平面ABC ，DC=1，且ABC ∆为边长等于2的正三角形，则DA 与平面DBC 所成角的正弦值为A.5B.5C.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先过A 点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．【详解】过点A 作垂直于平面BCD 的直线，垂足为O ，利用等体积法求解AO．01111V DC S 60221V AO S 33233D ABC ABC A BCD BCD sin --=⨯=⨯⨯⨯⨯===⨯，由此解得AO =，DA 与平面DBC 所成角为ADO ∠，所以sin ADO 5AO AD ∠==,故选B 【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．8.在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[]1,4- D.1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，复数34i z =-+，则下列说法正确的是（）A.复数z 的实部为3B.复数z 的虚部为4C.复数z 的共轭复数为34i+ D.复数z 的模为5【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念及模的运算判断各项正误.【详解】由题设z 的实部为3-，虚部为4，共轭复数为34i --5=.故选：BD10.下列化简正确的是（）A.sin 45cos 451︒︒= B.22ππ3cos sin 12122-= C.13sin 40cos 40sin8022︒+︒=︒ D.2tan 22.511tan 22.52︒=-︒【答案】BCD 【解析】【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】A ：因为()111sin 45cos 45sin 245sin 90222︒︒=⨯︒=︒=，所以本选项不正确；B ：因为22ππππ3cos sin cos 2cos 12121262⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，所以本选项正确；C ：因为()()1sin 40cos 40cos60sin 40sin 60cos 40sin 6040sin 18080sin80,22︒︒︒︒+︒=︒+︒=+︒=︒-︒=︒所以本选项正确；D ：因为()2tan 22.5111tan 222.5tan 451tan 22.5222︒=⨯︒=︒=-︒，所以本选项正确，故选：BCD11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是对角线AC 1上一动点，在点P 从顶点A 移动到顶点C 1的过程中，下列结论中正确的有（）A.二面角P ﹣A 1D ﹣B 1的取值范围是[0,2π]B.直线AC 1与平面A 1DP 所成的角逐渐增大C.存在一个位置，使得AC 1⊥平面A 1DP D.存在一个位置，使得平面A 1DP ∥平面B 1CD 1【答案】ACD 【解析】【分析】根据二面角、线面角的求解，以及线面垂直，面面平行的判定，结合点P 的位置，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：当P 与A 重合时，二面角A ﹣A 1D ﹣B 1为90°，点P 由A 点移动到AC 1中点的过程中，二面角P ﹣A 1D ﹣B 1逐渐减小至0，由对称性可知，当P 由AC 1中点移动到点C 1的过程中，二面角P ﹣A 1D ﹣B 1由0逐渐增大至90°，即A 正确；B ：当点P 与A 重合时，∠C 1AD 1即为所求，此时有tan ∠C 1AD 1＝11122C D AD =，当P 与C 1重合时，连接AD 1，A 1D 相交于点M ，则∠AC 1M 即为所求，此时有tan ∠AC 1M 13232AM C M ==<，所以∠AC 1M <∠C 1AD 1，即直线AC 1与平面A 1DP 所成的角并不是逐渐增大，所以B 错误；C ：当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点时，连接AD 1，则A 1D ⊥AD 1，又因为C 1D 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以A 1D ⊥C 1D 1，又C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1,AD 1⊂平面AC 1D 1所以A 1D ⊥平面AC 1D 1，又AC 1⊂平面AC 1D 1所以AC 1⊥A 1D ．同理可得，AC 1⊥A 1B ．因为A 1D ∩A 1B ＝A 1，A 1D ⊂平面A 1DP ，A 1B ⊂平面A 1DP ，所以AC 1⊥平面A 1DP ，即C 正确；D ：当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点时，因为BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面B 1CD 1，B 1D 1⊂平面B 1CD 1，所以BD ∥平面B 1CD 1，同理可得，A 1B ∥平面B 1CD 1，又因为BD ∩A 1B ＝B ，BD ⊂平面A 1DP ，A 1B ⊂平面A 1DP ，所以平面A 1DP ∥平面B 1CD 1，即D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查空间立体几何的综合问题，包含二面角、线面角与线面位置关系等，知识面比较广，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()1,,3,2a m b =-= ，若a b ⊥ ，则m =______．【答案】32【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算即得.【详解】向量()()1,,3,2a m b =-= ，由a b ⊥ ，得320a b m ⋅=-+= ，所以32m =.故答案为：3213.已知三棱锥A BCD -，AB ⊥底面BCD ，90CBD ∠=︒，5AB =，3BC =，4BD =，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为______.【答案】50π【解析】【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，由题意可得长方体的对角线，而长方体的对角线与其外接球的直径相同，进而求出外接球的表面积．【详解】解：因为三棱锥A BCD -，AB ⊥底面BCD ，90CBD ∠=︒，5AB =，3BC =，4BD =，所以将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同，，由长方体的体对角线的其外接球的直径2R ，所以22(2)R =，即2450R =，所以外接球的表面积2450S R ππ==，故答案为：50π．14.在四面体ABCD 中，且3,AB CD AC BD AD BC ======，点,P Q 分别是线段AD ，BC 的中点，若直线PQ ⊥平面α，且α截四面体ABCD 形成的截面为平面区域Ω，则Ω的面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，将四面体ABCD 置于长方体中，使,,AB AC AD 分别为面对角线，再利用线面垂直和性质、面面平行的性质确定平面区域Ω形状，结合三角恒等变换及三角形面积公式列式，借助基本不等式求出最大值.【详解】依题意，四面体ABCD拓展为长方体，3,AB AC AD===，如图，设111,,A C a AB b AA c===，则有2222221079a bb cc a⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2,a b c===由点,P Q分别是线段,AD BC的中点，得1//PQ AA，而1AA⊥平面1A BC，则PQ⊥平面1A BC，又直线PQ⊥平面α，于是//α平面1A BC，设平面α与ABC ACD ABD BCD､､､的交线分别为,,,MF MH FG GH，平面BCD与平面1,A BCα 分别交于,GH BC，则//GH BC，同理//FM BC，因此//GH FM，同理//FG HM，即四边形FGHM为平行四边形，且1FGH A QC∠=∠，在1Rt A BC△中，1111sinA B ACACB ACBBC BC∠==∠==，()11111sin sin2sin22sin cos5A QC A CB A CB A CB A CBπ∠=-∠=∠=∠∠=，则1sin sin5FGH A QC∠=∠=，设BG k=，则3GD k=-，由//GH BC，得3,3GH GD kGHBC BD-==//GF AD，同理得3kGF=因此GF GH+=，平行四边形FGHM围成一个平面区域Ω，其面积为S，22626sin()552GF GHS GF GH FGH GF GH+=⋅⋅∠=⋅≤=，当且仅当2GF GH==时取等号，所以Ω.【点睛】关键点点睛：根据给定条件，把四面体置于长方体，借助长方体的结构特征是求解的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求2a b -．【答案】（1）5（2）5【解析】【分析】（1）根据条件，利用数量积的坐标运算，即可求出结果；（2）根据条件，利用向量的坐标运算，得到2(3,4)a b -=-，再根据模长的计算公式，即可求出结果.【小问1详解】因为(1,3),(1,2)a b =-= ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=.【小问2详解】因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=- ，所以25a b -= .16.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1PA AB BC ===，2AD =，E 为PD 的中点.（1）求证：CE ∥平面PAB （2）求证：平面PAC ⊥平面PDC 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据中点关系可证明四边形MECB 是平行四边形，即可根据线线平行求证,（2）根据勾股定理可证明DC AC ⊥，根据线面垂直的性质可得PA DC ⊥，即可根据线面垂直的判定求解.【小问1详解】取PA 的中点M ，连接,BM ME ，由于M ，E 为中点，则ME AD ∥且12ME AD =．∵BC AD ∥且12BC AD =，∴ME BC ∥且ME BC =，∴四边形MECB 是平行四边形，∴BM CE ∥.又CE ⊂平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，∴CE ∥平面PAB ．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA DC ⊥，又()2222222,2AC AB BC CD AB AD BC =+==+-=,故222AC CD AD +=，∴DC AC ⊥．∵AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ,∴DC ⊥平面PAC ，又DC ⊂平面PDC ，∴平面PAC ⊥平面PDC ．17.正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长为2,D 为BC 的中点；13AA =．（1）求证：1AD C D ⊥；（2）求C 到平面1AC D 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得答案；（2）利用体积相等可得答案.【小问1详解】因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，D 为BC 的中点，AD BC ⊥，又1CC ⊥平面,ABC AD ⊂平面ABC ，1CC AD ∴⊥，11,,CC BC C CC BC =⊂ 平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ，1C D ⊂ 平面11BCC B ，1AD C D ∴⊥；【小问2详解】2,sin603BC AD AB === ，故11313222ADC S AD DC =⋅=⨯=，111113333322A CC D C CAD ADC V V S CC --==⋅=⨯=，又2211,3110AD C D C D ⊥=+=，所以111130310222ADC S AD C D =⋅==，设点C 到平面1AC D 的距离为d ，则11C AC D C CAD V V --=即1322d ⨯=．解得10d =，所以点C 到平面1AC D 的距离为10．18.已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求()0f 的值；（2）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =在[]0,m 上有且仅有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）2；（2）π；3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Z k ∈；（3）71388m ππ≤<.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入0x =，求出结果；（2）根据最小正周期的公式即可计算出周期，令222242k x k πππππ-≤+≤+可解出单调递增区间；（3）先求出()g x 解析式，则该题等价于在[0,]m 210x +=，结合函数图象即可求出m 范围.【详解】（1）∵函数()22sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∴()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故()0124f π=+=（2）由函数的解析式为()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可得，它的最小正周期为22ππ=.令222242k x k πππππ-≤+≤+，求得388k x k ππππ-≤≤+，可得它的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（3）将函数()y f x =的图象向右平移8π个单位，得到函数()212144y g x x x ππ⎛⎫==-++=+ ⎪⎝⎭的图象，若函数()y g x =在[]0,m 上有且仅有两个零点，则在[0,]m210x +=，即sin 22x =-.在[0,]m 上，[]20,2x m ∈，∴713244m ππ≤<，求得71388m ππ≤<.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点问题，属于中档题.19.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为)222,,,2sin sin sin sin sin sin a b c A B C B C A=+-（1）求A ；（2）奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．①用向量证明二维柯西不等式：()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++②已知三维分式型柯西不等式：()2222123312123123123,,R ,x x x x x x y y y y y y y y y +++∈++≥++，当且仅当312123x x x y y y ==时等号成立．若2,a P =是ABC 内一点，过P 作,,AB BC AC 垂线，垂足分别为,,D E F ，求4AB BC AC T PDPE PF=++的最小值．【答案】（1）π3（2）①证明见解析，②3【解析】【分析】（1）根据条件，边转角得到sin A =（2）①利用数量积的定义，得到||||||a b a b ⋅≤⋅，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用2ABC c PD a PE b PF S ++=，得到2T ≥令4t b c =++，得到2231281T t t≥-+，再求出t 的范围，即可求出结果.【小问1详解】由正弦定理得)2222sin bc A b c a =+-即222sin 3·2b c aA bc+-=由余弦定理有sin A A =，若cos 0A =，等式不成立，则cos 0A ≠，所以tan A =因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】①设()()1122,,,a x y b x y == ，由||||cos ,a b a b a b ⋅=〈〉，得||||||a b a b ⋅≤ ，从而1212x x y y +≤()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++②222444AB BC ACc a b c a b T PD PE PF PD PE PF c PD a PE b PF=++=++=++.又111,,,,222PAB PBC PAC PAB PBC PAC ABC S c PD S a PE S b PF S S S S ===++= 2ABC c PD a PE b PF S ∴++= .由三维分式型柯西不等式有22222Δ42(4)2ABC c b b c T c PD a PE b PF S ⨯++=++≥=.当且仅当121PD PE PF==即22PE PD PF ==时等号成立.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc =+-，所以2()43b c bc +-=即2()43b c bc +-=，则2224)()4b c T b c ++≥=+-，令4t b c =++，则222128(4)41T t t t≥=---+.因为22()4322b c b c bc b c a ⎧+-+⎛⎫=≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+>=⎩，得24b c <+≤，当且仅当b c =时等号成立，所以68t <≤，则11186t ≤<，令2212811111233y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭；则21111233y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在111,86t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，当118t =即2b c ==时，y 有最大值316，此时T有最小值3.。

高一数学下学期第一次月考试题PDF

一中2021—2021学年度第二学期第一次月考参考答案一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕1、解:{}8,5,2,1,4B =---,{}1A B ∴=.选A2、解：()()112122f f -=-==.选B 3、解：sin 26y x π⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故向左移6πC4、解：由正弦定理得2sin sin 30sin 2oB B =⇒=，b a >，故B A >，60oB ∴=或者120o，选C5、解：由韦达定理得：374a a +=，19374a a a a ∴+=+=，()1999182a a S +∴==.选B 6、解：222222122a b c a b c ab ab +-+-=⇒=，即1cos 2C =，60o C =，113sin 602224o ABC S ab ∆∴===.选D 7、解：()()232222222212121266121612a q a q a q q q q q q q q +=+⇒+=+⇒+=+⇒=44626296a a q ∴==⨯=.选A8、解：()()21444412cos 40cos 2a b b a b b ab b θθ+⊥⇒+=+=⨯⨯⨯+=⇒=-120o θ=.选C9、解：()cos 1AB BC ca B π⋅=⋅-=，222cos 112a c b ac B ac ac +-∴=-⇒⋅=-22222323a a a +-=-⇒=⇒=选A10、解：1133b a d b a d -=-⇒=，2244b ad b a d -=-⇒=，那么21121243x x d y y d -==-.选B11、解：3334544333a a a a a πππ=⇒=⇒=，)77312747143233a a a a πππ===⨯=，14sin 3π∴=选D 12、解：()1y f x =+是偶函数，()1y f x ∴=+的对称轴是y 轴，那么()y f x =的对称轴为1x =，可知()f x 在()1,+∞单调递减，在(),1-∞单调递增，10211x x -≤≤⇒-≤-≤-，()()max 11f x f ∴-=-()()+21f m f x ≥-在[]1,0-上恒成立⇔()()+21f m f ≥- 12331m m ∴-≤+≤⇒-≤≤.应选A二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13、解：246135336a a a a a a d ++=+++= 14、解：由正弦定理得：6030sin15sin30o oPBPB =⇒=,树高sin 4530302oh PB =⋅=⋅=〔m 〕. 15、以AB 、AD 所在的边为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，可得()0,0A ,()4,0B ,()4,4C ,()0,4D ,()4,2F ;3DE EC =,()3,4E ∴,()3,4AE =,()4,2AF =344220AE AF ⋅=⨯+⨯=16、()()()2015120201512200a AC AB bCA cAB a b AC c a AB -++=⇒-+-=42015031220053b a a b c a c a ⎧=⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故最小角为A ，2221625499cos 455233a a a A a a+-==⨯⨯三、解答题17.〔本小题满分是10分，每个5分〕〔1〕原式=()21log 33341lg1002241522316-+⋅=-+++⨯= (5)分〔2〕原式=3sin cos 3sin sin 22sin sin παααααα⎛⎫-+- ⎪-+⎝⎭==--.....................................5分18.〔本小题12分〕〔1〕设(),D x y ，()1,5AB =-，()4,y 1CD x =--()()1,54,y 1AB CD x =⇒-=--145514x x y y =-=⎧⎧⇒⎨⎨-=-=-⎩⎩，()5,4D ∴-................................................................3分 ()4,716AD AD ∴=-⇒==.............6分〔2〕()1,5a AB ==-，()2,3b BC ==()2,53ka b k k -=---，()37,4a b +=..................................................10分()ka b -//()3a b +,()()1427533k k k -=--⇒=-......................................12分 19. 〔本小题12分〕〔1〕sin cos sin sin cos b A B B A A B ⋅=⇒=sin tan B B B ∴=⇒=3B π=..................................................................................6分〔2〕1sin 824ABC S ac B ac ac ∆====........................................8分22121cos 22a c B ac +-== (9)分2220a c += ...............................................................10分()2222366a c a c ac a c ∴+=++=⇒+=.........................................................12分20.〔本小题12分〕解：〔1〕当1n =时，112a S ==当2n ≥时，22122(1)42,n n n a S S n n n -=-=--=- 验证14122a =⨯-=与12a =相符合故数列}{n a 的通项公式为*42,n a n n N =-∈.........................................3分由1122a b ==，得11b =，由2431()b a a b -=得1,qd =所以14q = 所以1*1(),4n n b n N -=∈...............................................................6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得4212141log ()214n n n n c n ---=+=+-...........................8分所以3521(222...2)(123...)n n T n n -=+++++-++++222(12)(1)122n n n n -+=+--2(1)(41)32n n n n +=-+-...................................................................12分 21. 〔本小题12分〕解：〔1〕()2sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ 111sin 2cos2222x x =-+1242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭..............................................................3分令322224288k x k k x k πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+.............................5分∴单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦......................................................6分〔Ⅱ〕()121242f A x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭sin 242A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 244A ππ∴-=或者3244A ππ-=4A π⇒=或者2A π=..............................................8分①当4A π=时，22cos 5A a a ==⇒=⇒=分②当2A π=时，222211a b c a a =+⇒=⇒=故a =或者..........................................................12分22. 〔本小题12分〕解：〔1〕11221n n n a S ++=+- 当2n ≥时1221nn n a S -=+-两式相减得()1322nn n a a n +=+≥...................................................2分从而111123223323n n n n n n n n n b a a a b ++++=+=++=+⋅= ..............................4分222122221529a S b a =+-=⇒=+=，1123b a =+=，213b b ∴= ...........5分故()*13nn b n N b -=∈，{}n b ∴是公比为3，首项为3的等比数列 ............................6分〔Ⅱ〕由〔1〕知1333n n n b -=⋅=，由2n n n b a =+ 得32n nn a =-)21)(21(2)31)(31(2111+++++=-+-+=∴n n nn n n n n n a a c 那么11211211)21)(21(2+++-+=++=n n n n n n c ............................................................8分2341111111111121212*********n n n n T ++=-+-+-=-+++++++......................10分1111110,123123n n ++>∴-<++ ................................................................11分n T 是单调递增的，故()()1min 215n T T ==故nT 的取值范围是21,153⎡⎫⎪⎢⎣⎭. ..................................................................12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学学期第一次月考试卷(附答案)

高一数学学期第一次月考试卷(附答案)选择题1. 下列哪一个选项不是数学中常用的数集？A. 自然数集B. 实数集C. 正整数集D. 有理数集答案：C2. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = ?A. {2, 3}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {4}答案：A3. 简化：$3 \times a \times 5$答案：$15a$填空题1. 若 $\frac{5}{6} x - \frac{1}{4} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{2}$，则x = ?答案：$\frac{9}{20}$2. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx - c$ 的图像开口朝上，且在x = 2处有最小值-3，则a = ?, b = ?, c = ?答案：a = 1, b = -8, c = -13解答题1. 解方程 $\frac{3}{5} (2x - 1) = \frac{1}{3} (4 - x)$解答：首先两边同时乘以15消去分数，得到：$9(2x - 1) = 5(4 - x)$ 进行分配和合并：$18x - 9 = 20 - 5x$移项：$23x = 29$最后得到解答：$x = \frac{29}{23}$2. 若正方形ABCD的边长为3cm，点E为AB边的中点，连线DE与BC交于点F，求线段DF的长度。

解答：由于ABCD是正方形，所以AD平行于BC。

由于E是AB边上的中点，所以AE = EB = 1.5cm。

由三角形相似性质可知，$\frac{AE}{AD} = \frac{DF}{DC}$。

将已知值代入，得到：$\frac{1.5}{3} = \frac{DF}{3}$化简得到：$DF = 1.5$cm以上为高一数学学期第一次月考试卷及答案。

四川省成都市新都区第二中学高一数学理月考试卷含解析

四川省成都市新都区第二中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是（）.A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)参考答案：C2. 方程的三根,,，其中<<，则所在的区间为A．B．（0 , 1 ）C．（1, ）D．（ , 2）参考答案：B3. 下列四个命题中，正确的是 ( )A.第一象限的角必是锐角 B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等 D．第二象限的角必大于第一象限的角参考答案：B4. （3分）二次函数y=ax2+bx与指数函数在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：指数函数的图像与性质；二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．解答：根据指数函数的解析式为，可得＞0，∴﹣＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣位于y轴的左侧，故排除B、D．对于选项C，由二次函数的图象可得 a＜0，且函数的零点﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故C 不正确．综上可得，应选A，故选A．点评：本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于基础题．5. 若角α=600°的终边上有一点(a,－2)，则a的值是（）A. B. C. D.参考答案：D6. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（）A． B． C ． D．参考答案：D略7. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，则BC＝( )参考答案：A8. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】要求树的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，答：树的高度为（30+30）m．故选A9. “”是“2x﹣1≤1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别解不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由，解得：0＜x≤1，由2x﹣1≤1，解得：x≤1，故“”是“2x﹣1≤1”成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．10. 设点M是线段BC的中点，点A在BC外，，，则（）A．2 B．4 C．8 D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一长为10m 的斜坡，它的倾斜度是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30°，则坡底要延伸_____m ．参考答案：【分析】画出图形，利用正弦定理即可求出. 【详解】解：如图，中，设，由正弦定理可知【点睛】本题考查了三角函数的简单运用，解答本题的关键是找到边角关系，列出等式求得即可.12. 计算： =__________.参考答案：略13. 不等式(2+1)()0的解集是____________________________.参考答案：14. 直线被圆所截得的弦长为参考答案：略15. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_____________.（从小到大排列）参考答案：1,1,3,3由已知不妨假设，则，又因为标准差等于，所以，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：1，1，3，3．16. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，则乙获胜的概率为__________；乙不输的概率为__________．参考答案：0.5 0.8【分析】甲获胜，乙获胜，两人和棋是三个互斥事件，它们的和是一个必然事件．【详解】由于一局棋要么甲获胜，要么乙获胜，要么两人和棋，因此乙获胜的概率为，乙不输的概率为（或）故答案为0.5；0.8．【点睛】本题考查互斥事件的概率，属于基础题．17. 不等式的解为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

下学期高一年级第一次月考数学试卷(2021附答案)

下学期高一年级第一次月考数学试卷（2021附答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、下列表述正确的是：（）Ａ、+∈N 0 Ｂ、R ∉π Ｃ、Q ∉1 Ｄ、Z ∈0 2、下列四个集合中，表示空集的是：（）Ａ、}0{ Ｂ、},,),{(22R y R x x y y x ∈∈-= Ｃ、},,5{N x Z x x x ∉∈= Ｄ、},0232{2N x x x x ∈=-+ 3、函数b x k y ++=)12(在R 上是减函数，则（）Ａ、5.0>k Ｂ、5.0<k Ｃ、5.0->kＤ、5.0-<k4、函数）x f y (=的图像与直线a x =的交点共有（）Ａ、0 个Ｂ、1 个Ｃ、0个或1个Ｄ、可能多于1个5、已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+= 关系的韦恩图是（）6、设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则B C A U ⋂= ( )A 、{|01}x x ≤<B 、{|01}x x <≤C 、{|0}x x <D 、{|1}x x >7、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( )A 、0B 、1C 、2D 、48、已知)(x f 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是：（）Ａ、)1,(-∞ Ｂ、),1(+∞ Ｃ、)1,0()0,(⋃-∞ Ｄ、),1()0,(+∞⋃-∞二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满分35分，请将正确的答案填在横线上。

）9、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__ 10、已知函数23)1(+=+x x f ，则)(x f 的解析式为：__11方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 . 12. 已知函数2(4)()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩, 则(5)f _____________13．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 . 14、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在),(b a 上是 __函数（增、减性）15、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个答卷一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：9．__________________10．__________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．__________________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)设集合}32,3,2{2-+=a a U ，}2|,12{|-=a A ，}5{=A C U ，求实数a 的值.17．(本小题满分12分)用定义证明：函数4()f x x x=+在[)2,x ∈+∞上是增函数18．(本小题满分12分)已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2－ax+3a －5=0},若A ∩B=B ，求实数a 的值．19．(本小题满分13分)已知)(x f 为二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，求)(x f 的表达式.20．(本小题满分13分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（1）设AN 的长为x 米，用x 表示矩形AMPN 的面积？（2）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ABCDMNP21．(本小题满分13分) 已知数集1212{,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的,(1)i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A 。

2021-2022学年成都市新都一中高一数学下学期周测试卷8附答案解析

2021-2022学年成都市新都一中高一数学下学期周测试卷8一、单选题1．22cos 18π-=（）A ．12B ．12-C ．22D ．22-2．将函数()sin()4f x x π=-图象上的所有点向左平移4π个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A ．sin y x=B ．cos y x=C ．sin y x =-D ．cos y x=-3．若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（）A．410-B．410CD．310+4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推，今年是壬寅年，也是中国社会主义青年团成立100周年，则中国社会主义青年团成立的那一年是（）A ．辛酉年B ．辛戎年C ．壬酉年D ．壬戌年5．已知不共线平面向量a ，b 在非零向量c上的投影向量互为相反向量，则（）A ．()a b c +⊥ B ．()a b c -⊥C ．()//a b c+D ．()//a b c- 6．正项等比数列{}n a 中，312,,a a a -成等差数列，且存在两项*,(,N )m n a a m n ∈使得14a =，则15m n+的最小值是（）A ．2B ．74C．13+D ．不存在7．如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n 个正方形，设这n 个正方形的面积之和为n S ，则5S =（）A ．1716B ．3116C ．6332D ．33328．已知数列{}n a 中，114a =，112121n n n n a a a a n ++-=++，则满足11000n a >的n 的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．99．如图在△ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，2CE =，4CB =，6AB =，则EA EB ⋅=（）A ．0B ．1C ．1-D ．210．“二七纪念塔”位于河南省郑州市二七广场，建于1971年，钢筋混凝土结构，是中国建筑独特的仿古联体双塔，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，2006年被列为全国重点文物保护单位.某同学为测量二七纪念塔的高度，在塔底共线的三点A ，B ，C 处测得塔顶的仰角分别为30°，45°，60°，且51.45m AB BC ==，则二七纪念塔的塔高约为（）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45≈）A ．59.39mB ．63.00mC ．68.57mD ．72.74m11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭．根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2222b c a +-=，则△ABC 的面积为（）A ．24B ．34C ．22D ．3212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．已知数列{}n a 满足12a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2022S =（）A ．249B ．499C ．749D ．999二、填空题13．平面向量a 与b的夹角为60°，(2,0)a = ，1b = ，则2a b -= ___________.14．在ABC 中，A B ，为锐角，且1tan 1tan 2()()A B －－＝，则cos C ＝________15．已知n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且()*31,1n n S n n N T n +=∈+，则1011318615a a b b b b +=++______．16．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为___________．①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为3π；③()f x 的图象关于直线6x π=对称；④若1x ，2(,63x ππ∈-且()()12f x f x =，则()12f x x +=三、解答题17．设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12e e e n a a a ++⋅⋅⋅+．18．已知平面向量,a b满足2,1a b == .(1)若()0a b b +⋅= ，求向量a 与b的夹角；(2)若a b ⋅= ()sin cos f x x a x b =⋅+⋅ 的最小值.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，211n n n S S a +++=，数列{}n b 满足12n an n b b +⋅=且12b =.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n T .20．ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c cos sin B b C =+.(1)求C 的大小；(2)若2c =，求ABC 面积的最大值.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，6b =．(1)若4cos 5B =-，求A ；(2)若ABC 的面积S =c ．22．已知数列{}n a 中11a =，它的前n 项和n S 满足11221n n n S a +++=-．(1)证明：数列23n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)求1232n S S S S ++++ ．四川省成都市新都一中2021-2022学年高一下学期数学周测08参考答案1．C解：由题得22cos 18π-=cos4π=.故选：C 2．A解：将函数()sin()4f x x π=-图象上的所有点向左平移4π个单位长度，则所得图象的函数解析式是()sin()sin 44f x x x ππ=-+=.故选：A3．D 解：因为2απ<<π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，所以sin()sin cos cos sin 333αααπππ-=-＝314525⨯+.故选：D ．4．D由壬寅年，十天干中壬排第9位，十二地支中寅排第3位，而青年团成立100周年，所以1001010=⨯，则青年团成立的那一年天干为壬；1001284=⨯+，则青年团成立的那一年地支为戌；所以中国社会主义青年团成立的那一年是壬戌年.故选：D 5．A根据题意得，向量a 在向量c上的投影为：cos ,a c a c a a c a a c c ⋅⋅⨯=⨯=，向量b 在向量c上的投影为：cos ,b c b c b b c b b c c⋅⋅⨯=⨯=，又因为不共线平面向量,a b 在非零向量c上的投影向量互为相反向量，所以0a c b c c c⋅⋅+=，即0a c b c ⋅+⋅=，即()0a b c +⋅= ，所以()a b c +⊥ .故选：A.6．B由题设1322a a a =-，若{}n a 公比为0q >且0n a >，则22(1)(2)0q q q q --=+-=，所以2q =，14a =，则2221116m n a qa +-=，故2216m n +-=，可得6m n +=，所以15115151()()(6)(6)16663n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+，而*1455N 2n ==∉，故等号不成立，又1455(3,4)2-∈，故当3,3n m ==时152m n +=，当4,2n m ==时1574m n +=，显然724>，故4,2n m ==时15m n +最小值为74.故选：B7．B依题意，从第2，而所有正方形都相似，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的12，因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列{}n a ，其首项11a =，公式12q =，所以5511(31211612S -==-.故选：B 8．B根据题意，()()111212n n n n n a n a a a +++-+=+化简得，()122n n a n a n +=+()()12121121,,22+1223n n n n a a a n n n a n a n a -----∴===≥⨯ 运用累乘法计算得()()()()21123211····,221221242321n n a n n n n a n n n n n ----==≥+-⨯⨯⋅+ ，且114a =，()1,221n na n n n ∴=≥⋅+，114a =符合该式，11000n a >时，()211000nn n ⋅+<5n =时，()219601000n n n ⋅+=<；6n =时，()2126881000nn n ⋅+=>所以满足条件的n 的最大值为5.故选：B.9．A因为2211355255EB EC CB FC BC BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=-=--=-- ⎪⎝⎭，4355EA EB BA BA BC =+=- ，所以221343499·5555252525EB EA BA BC BA BC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49361602525=-⨯+⨯=.故选：A 10．B用EF 表示塔身，如图，设EF h =，由题意得3FC h =，FB h =，FA =，记AB BC a ==，由cos cos 0FBC FBA ∠+∠=得222222133022h a h h a h ha ha+-+-+=，化简得h ，所以 2.4551.4563.02h ≈⨯≈．故选：B ．11．A由正弦定理边角互化可知cos ()cos 0a B b A +=化简为()sin cos sin cos 0A B B C A +=，sin cos sin cos cos A B B A C A+=即()sin sin cos A B C C A+==sin 0C ≠，cos A ∴=,222222cos 2222b c a A bc bc +-===，解得：1bc =，根据面积公式可知4S ===.故选：A 12．A由2145n n n a a a +++=，得()2114n n n n a a a a +++-=-，又213a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以3为首项，4为公比的等比数列，则1134n n n a a -+-=⋅①；由2145n n n a a a +++=得，21144n n n n a a a a +++-=-，又2143a a -=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，则121443n n a a a a +-=-=-②，由①②联立可得141n n a +=+；因为44124n n n <+<⨯，所以222log 4log 41)log (24)n n n<+<⨯（即：22log (41)21n n n <+<+所以[]()212log log 412n n n b a n +⎡+⎤⎣⎦===，故110001000112502211n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭（），所以202211111125012501223202220232023S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎥⎣⎝⎤⎢⎭⎦，则[]2022249S =．故选：A13因为(2,0)a =，所以2a = .因为a 与b 的夹角为60°，1b = ，所以1cos602112a b a b ⋅=⨯⨯︒=⨯⨯= .所以2a b -====14．22∵A B ，为锐角，且1tan 1tan 2()()A B －－＝，即tan tan tan tan 1A B A B ＋＝－，∴tan tan t 1()an 1tan tan A BA B A B+=--＋＝.∵()0A B π∈＋，，则34A B π＋＝，∴4C π＝.∴cos 22C ＝.故答案为：22.15．6120因为{}n b 为等差数列，所以318615b b b b +=+，所以()()1201010111202011318615615202020111203201612120120202a a a a a a a S ab b b b b b b b T b b ⨯⨯⨯++======+++++++++⨯⨯.故答案为：612016．①④由图象知最小正周期是ππ2[()]π36T =⨯--=，①正确；由图象知点π(,0)3向左平移π6个单位变为点π(,0)6，相应()f x 的图象只要向左平移π6个单位所得图象的一个对称中心就是(,0)6π，②错；由图象看出其一个对称轴是1πππ()26312x =⨯-+=，π6x =不是()f x 的图象对称轴，③错；若1x ，2(,)63x ππ∈-且()()12f x f x =，则12ππ2126x x +=⨯=，由πT =知2π2πω==，ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈，又||2ϕπ<，所以π3ϕ=，π()2sin(2)3f x x =+，12ππ2π()2sin(2)2sin 633f x x +=⨯+==17．(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，则231235ln 2a a a d +=+=，解得ln 2d =，所以ln 2n a n =；(2)解：因为ln 2ln 2e e e 2nn a n n ===，所以()1221212e e e 2222212n n a a a nn +⨯-++⋅⋅⋅+=+++==-- .18．(1)设向量a 与b的夹角为θ，由题意()0,2,1a b b a b +⋅=== ，可得()2cos ||2cos 10a b b a b b θθ+⋅=⋅+=+= ，则1cos 2θ=-，由于[]0,θπ∈，故23πθ=.(2)由题意a b ⋅ ()sin cos f x x a x b =⋅+⋅=，即()f x ===≥3sin 4cos 4ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即函数()f x 的最小值为2.19．(1)解：因为211n n n S S a +++=，①当1n =时，1222S S a +=，即22122a a a +=，又11a =，所以22a =或21a =-（舍去）当2n ≥时，21n n n S S a -+=，②所以①-②，()()111n n n n n n a a a a a a ++++=+-，因为0n a >，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =，所以122n a nn n b b +⋅==，当1n =时，2122b b ⋅=，又12b =，所以22b =，当2n ≥时，112n n n b b --⋅=，两式相除可得112n n b b +-=，所以当n 为奇数时，1122222n n nb -+=⨯=，当n 为偶数时，1122122nnnb --=⨯=,12122,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，(2)解：当n 为偶数时，()()13124......n n n T b b b b b b -=+++++++2222121123231212n nn⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=⨯---；当n 为奇数时，11122213232523n n n n n nT T b -+--=+=⨯-+=⨯-所以212323,523,nn n n T n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为偶数为奇数.20．(1)cos sin B b C =+及正弦定理可得()sin sin sin cos sin B C B C A B C B C B C ==+，所以，sin sin cos B C B C =，因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >sin 0C C =>，则tan C =3C π=.(2)解：由余弦定理可得2222242cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab ==+-=+-≥-=，当且仅当2a b ==时，等号成立，则1sin 2ABC S ab C ab =△因此，ABC21．(1)因为4cos 5B =-，则,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5B ==由正弦定理，得sin sin a b A B =，即510sin A =，即1sin 2A =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=；11(2)由in 12s S ab C =，得224sin 56S C ab ===⨯，3cos 4C ==±．当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=；当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭．所以，4c =或c =22．(1)由()112211n n n S a n +++=-≥①，得()12212n n n S a n -+=-≥②，由①－②，得()122nn n a a n ++=≥，得()111222233n n n n n n n a a a a n +++⎛⎫=-+⇒-=--≥ ⎪⎝⎭，又当1n =时，由①得222122133a a a ⎛⎫=⇒-=-- ⎪⎝⎭，所以对任意的*n N ∈，都有112233n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故23n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，1-为公比的等比数列．(2)由（1）知()()111212333n n n n n n a a ---+--=⇒=，所以()11213n n n a +++-=，代入①，得()1121362nn n S +-=--，所以()()()()222321122112222111362n n n nS S S +⎡⎤+++=+++--+-++--⎣⎦ 2222212223403123n n n n ++⎛⎫--+=--= ⎪-⎝⎭．。

四川省香城中学09-10学年高一数学下学期开学考试人教版【会员独享】

香城中学2010届高三下学期开学考试数学试卷一、选择题（每小题四个选项中只有一个正确选项。

每小题5分，共60分）1、（理科）复数2(2)(1)12i i i+--的值是（）A ．2i B.—2i C. 2 D.—2（文科）．若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能．．．是（） A ．{}2y y x = B ．{}2x y y =C ．{}lg y y x =D ．∅ 2、已知0)3(:,1|32:|<-<-x x q x p ，则p 是q 的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、下列各选项中，与tan2008°最接近的数是（）A ．12-B ．13-C ．13D ．124.一个与球心距离为l 的平面截球所得截面的面积为π，则球的体积为（）A ．4πB ．8πC ．43πD．35、在ABC ∆中,已知B C B C cos )sin(2sin ⋅+=,那么ABC ∆一定是（） A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形6、（理科）12312342222234lim n n n nC C C C C C C C -→∞++++=++++（）A ．0 B.1 C.2 D.21（文科）不等式111x ≥+的解集是（） A.{|0}x x ≤ B.{|1}x x >- C.{|01}x x ≥>- D.{|1x x x <-≥或0}7、已知定义在R 上函数)(x f 是偶函数，对R x ∈都有(2)(2)f x f x +=-，当(2)2f -=- 时(2010)f 的值为（）A ．2B ．－2C ．4D ．－48、在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A ．201 B ．151C ．51 D ．619、已知向量1(,),(1,2),2n n m a n n N +==-∈，若m n ⊥，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A.12n -；B.21n -；C.121n +-；D.121n --；10、若椭圆14222=+my x 的一条准线经过抛物线x y 162=的焦点，则椭圆的离心率e 的值为A ．22B ．23C ．31D ．2111、如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（） A ．22B ．515C ．46D ．3612、某仪表显示屏上有一排7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个小孔，且相邻的两个小孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示不同信号的种数为（） A ．45B ．48C ．64D ．80二、填空题：（每小题4分共16分）13、设1,0≠>a a ，函数)32(log )(2+-=x x x f a 有最小值，则不等式0)1(log >-x a 的解集为.14、（理科）已知232012(1)(1)(1)(1)++++++++=++++n n n x x x x a a x a x a x ,且01126+++=n a a a ,那么二项式1(3)-n x x的展开式中常数项为。

成都市新都香城中学高一数学模拟试卷

成都市新都香城中学高一数学模拟试卷寒窗苦读，为的就是在考试中展现出自己最好的水平，大家更应该加把劲，努力学习，仔细总结知识点，少量做题，从中找出自己的缺乏。

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填空题(4分4=16分)13、点(x,y)在映射f下的象是(2x-y,x+2y),那么点(3，4)的原象是_________。

14、假设，用p,q表示 =_________。

15、设函数的定义域是，那么函数的定义域是_________。

16、试把以下函数的简图填到列表中相应的位置里函数图形解答题(共76分)17、解方程( 7分2=14分)18、集合，是从定义域A到值域B的一个函数，务实数a、k的值。

(12分)19、，求证a=b或M=N。

(12分)20、是一个定义域在R上的函数，求证：(1) 是偶函数(2) 是奇函数(3)你能发现三者之间的关系吗?(12分)21、假定不等式，当时恒成立，务实数a的取值范围。

(12分)22、我们知道：人们对声响有不同的觉得，这与它的强度有关系，声响的强度I用瓦/米2(W/m2)表示，但在实践测量时，常用声响的强度水平表示，它们满足以下公式： (单位为分贝，。

这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的末尾) 回答以下效果：(1)树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试区分求出它们的强度水平。

(2)在某一新建的安静小区规则：小区内公共场所的声响的强度水平必需坚持在50分贝以下，试求声响强度I范围为多少?(12分)小编为大家整理了成都市新都香城中学高一数学模拟试卷，希望对大家有所协助。

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高一第一次月考数学试卷及答案

高一第一次月考数学试卷及答案第I 卷选择题（共60分）一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分） 1、已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =（）.{5}A .{1,3}B .{1,3,4,5C .D Æ2、已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ì-?ï=í+->ïî则1()(2)f f 的值为（） 71.36A .6B 7.4C 11.9D 3、设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+?=-?，则集合A 和集合B 的关系为（）.A A B = .B B AÍ .C A B Í .D A B Ú 4、已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =（） .3A 29.9B 23.9C 1.3D5、已知集合12{|},{3,4}2A a N NB a =挝=-，集合C 满足B C A 屯，则所有满足条件的集合C 的个数为（）.8A .16B .15C .32D 6、已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x 的定义域为（）.(,1)(2,)A -?+? .[6,1)(2,3]B --.[,1)(2,5]C -- .[2,1)(2,D -- 7、已知函数()f x =，则(2)f x -的单调递增区间为（）1.(,)2A +? 1.(,2)2B 1.(1,)2C - 3.(,3)2D8、已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21f xg x x x +=--+，则(2)f =（）2.3A -7.3B .3C - 11.3D 9、已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N Î，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+?上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=（） .2A .3B .4C .5D10、已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（）.4Am < 1.42B m -<< 7.42C m << 17.22D m -<< 11、已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ì-+?ï=íï-+-+<î对任意12,x x R Î且12x x ¹时，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）5.22A a <?135.62B a ＃.2C a < 13.6D a < 12、设函数2()(),[,](),1||xf x x R M a b a b x =-?<+集合{|(),},N y y f x x M ==?则使得M N =成立的实数对(,)a b 有（）.0A 个 .1B 个 .2C 个 .D 无数多个第II 卷非选择题（共90分）二、填空题.（每小题5分，共4小题，共20分）13、已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y ?-，则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_________.14、已知函数()f x 是定义域为R ，且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-?上是单调递增的，则不等式1(21)()3f x f ->的解集为___________.15、已知函数2()410f x x x =-+（[,]x m n Î）的值域为[3,3]m n ，则2____.m n +=16、设函数222,0(),20x x f x xx ì³ï=í-<ïî不等式(3)3)f x f x -?的解集为_____________. 三、解答题（第17题10分，18—22题每题12分，共70分）17、（满分10分）已知集合2{|3100}A x x x =-++?，集合23{|0}1x B x x -=?+，则（1）求A B （2）求()R C B A18、（满分12分）已知函数12)32f x x=++，函数()12g x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()g x 的值域.19、（满分12）已知集合{|13}A x x =-<<，集合22{|(1)620,}B x x a x a a aR =++--Ｎ，则（1）若1a =时，求()()R R C A C B（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。