4.5一元二次方程 的判别式
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
《4.5一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学青岛版12九年级上册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一元二次方程根的判别式的理解与运用。
通过完成本次作业，学生能够准确运用判别式确定一元二次方程的根的性质，并能根据题目情境灵活选择适当的判别式公式。
二、作业内容本节作业的内容包括以下几个方面：1. 基础知识的掌握：复习一元二次方程的判别式公式，了解其应用范围及方法。
2. 理解判别式的三种情况：Δ>0，Δ=0，Δ<0，并能够根据方程的系数判断其根的情况。
3. 实际应用：通过例题和练习题，让学生运用判别式解决实际问题，如判断方程的根是实数还是虚数，以及实数根的个数等。
4. 拓展延伸：通过一些具有挑战性的题目，引导学生深入理解判别式的内涵及其在数学中的应用。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应首先复习一元二次方程的判别式公式，确保对公式的理解准确无误。
2. 学生在解题过程中，应按照判别式的三种情况进行分类讨论，准确判断一元二次方程的根的性质。
3. 学生需注意审题，明确题目要求，如有的题目要求求出具体根的值，有的题目只要求判断根的情况。
4. 在完成练习题时，学生应注重解题步骤的完整性和规范性，注意每一步的逻辑关系和数学表达式的正确性。
5. 学生在遇到难题时，应先尝试独立思考，若无法解决再寻求老师或同学的帮助。
四、作业评价1. 评价标准：作业的评价主要依据学生对判别式公式的理解程度、应用能力以及解题步骤的规范性。
对于正确运用判别式并得出正确答案的学生给予肯定；对于解题步骤不完整或错误的学生，指出其错误之处并给出正确解答。
2. 评价方式：采用教师批改和同学互评相结合的方式。
教师批改主要关注学生的解题思路和步骤，同学互评则可促进学生之间的交流和学习。
五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，对共性问题进行讲解和总结，帮助学生查漏补缺。
2. 对于个别学生的问题，教师可通过面批或课后辅导的方式进行个别指导。
3. 鼓励学生将作业中遇到的问题记录下来，与同学或老师交流讨论，以提高解决问题的能力。
一元二次方程的解的判别
一元二次方程的解的判别一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解方程的过程主要是通过判别式的值来确定方程有几个实根或者虚根。
本文将介绍一元二次方程解的判别式以及相应的结果。
1. 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式是指根据方程的系数计算得到的一个值，用Δ表示（读作“delta”），计算公式为Δ=b^2-4ac。
2. 判别式的含义及结果根据判别式的值可以确定方程的解的情况，具体如下：（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
根据求根公式，实根可表示为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a。
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
实根可以表示为x=-b/2a。
（3）当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根（虚根）。
虚根的表示形式为x1=(-b+√(-Δ)i)/2a和x2=(-b-√(-Δ)i)/2a，其中i是虚数单位。
3. 解方程的步骤解一元二次方程的步骤如下：（1）计算判别式Δ=b^2-4ac的值。
（2）根据Δ的值判断方程的解的情况。
（3）根据判别式的结果，使用相应的公式计算方程的根。
4. 举例说明以方程2x^2-5x+2=0为例，计算该方程的解。
（1）计算判别式Δ=(-5)^2-4*2*2=25-16=9。
（2）由于Δ=9>0，根据判别式的结果可知方程有两个不相等的实根。
（3）根据求根公式，计算实根：x1=(-(-5)+√9)/(2*2)=7/4，x2=(-(-5)-√9)/(2*2)=1/2。
因此，方程2x^2-5x+2=0的解为x1=7/4，x2=1/2。
5. 总结一元二次方程的解的判别是通过计算方程的判别式来确定方程的解的性质。
根据判别式的值可以判断方程有几个实根或虚根。
通过求根公式，可以计算出方程的根。
理解和掌握一元二次方程解的判别式对于解决相关的数学问题具有重要意义。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程式的判别式
一元二次方程式的判别式1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一元二次方程的判别式，这听起来可能有点学术，但其实就像吃饭时的调味料，适量的时候能让你品尝到更丰富的味道，太多了就糟糕了。
你知道一元二次方程吗？就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，( a ) 不能为零，咱们可不能让它自爆哦！那么，这个判别式又是什么鬼呢？别急，我这就来给你讲讲。
2. 判别式的基本概念2.1 判别式的定义判别式其实就是用来判断方程根的性质的，简单来说，就是告诉我们方程有没有解，解有多少，以及解的性质。
它的公式是 ( D = b^2 4ac )。
没错，这个小家伙一出现，整个方程的命运就揭晓了，简直就像一张命运的卡片，翻开它，你就知道未来会怎样。
2.2 判别式的意义那么，判别式 D 的值大致可以分为三种情况。
第一种，如果 D 大于零，那就说明这个方程有两个不同的实数解，就像一对好朋友，互相支持，各自有各自的路；第二种，D 等于零，那就说明这个方程有一个双重根，换句话说，就是有个朋友，有点儿“单身贵族”的意思，既有伴儿又有点孤独；最后，D 小于零，那就是没戏了，方程没有实数解，只有虚数解，仿佛你在追求一个遥不可及的梦，真是太悲伤了。
3. 判别式的计算与应用3.1 实际计算说了这么多，咱们来实际计算一下吧！假设我们有一个方程 ( 2x^2 + 4x + 2 = 0 )，那你首先要确定 ( a = 2 )、( b = 4 )、( c = 2 )。
接着，把这些值代入判别式公式，算一下 D 的值：( D = 4^2 4 times 2 times 2 = 16 16 = 0 )。
哎呀，这下我们知道了，这个方程有一个双重根，像极了那种你永远不知道他到底是喜欢你还是不喜欢的心情。
3.2 应用场景那么，判别式在生活中有什么用呢？其实，它就像是一个智慧的向导，帮助你在选择时作出明智的决定。
3.一元二次方程的判别式与根系关系(教师)
一元二次方程的判别式与根系关系模块一 一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根bx x a12==-2．③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 模块二 一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca <0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba -<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca >0时，方程的两根同正或同负．①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba -<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．模块一 一元二次方程的判别式例1、（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1③x x 2+7+15=0 ④()mx m x 2-+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．例2、（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21-1+-=04有实根，则k 的取值范围为______．（2）关于x的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______． （3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？ 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0⎩，解得≤k -1<2且k 1≠2；（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1=-2．【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把判别式和平方的非负性结合起来考查．例3、已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a 21-2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．例4、在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫-42-=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2，∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==-1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22=-5，原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375．【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．模块二 一元二次方程的根与系数的关系 例5、（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-． 【解析】（1）-4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2⋅=3-2⨯1=7，()()()x x x x x x 121212-2⋅-2=⋅-2++4=1-2⨯3+4=-1，()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+-⋅=9-1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212-=+-4⋅=3-4⨯1=5，∴x x 12-=∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3⨯=x x x x x x 21121211--=== 【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．例6、（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值． （2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54． 【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 74．由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=-2-3⎧⎪⎨⋅=-3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意．当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或-2．（2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0，由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4，所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=-24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215-2⋅-2=4．【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．例6、（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________． 【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0，则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1 ()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．例7、（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________． （2）已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3-24-10⎪⎪2-3⎨<0⎪⎪-1⎪>0⎩-≥,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪-4-⨯-2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪-2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3．【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子． 课后作业 1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________．A ．k 1≥4B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________． 3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>-3．又≥≤m m 1-0⇒1，故≤m 1-<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2-4=和m 2-4≠0，两种情形讨论：当m 2-4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2-4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1-4-4=8+20∆0，解得m 5≥-2．∴当m 5≥-2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥-2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长． 【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1-42-2=-30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2-3=0，k =3，此时方程为x x 2-4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2-5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根 D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =-1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2-40， ∴b ac 2-2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根， ∴αβ+=-3，αα2+3-7=0，∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7-3=4，故答案为：4．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+-=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=-2+2⎧⎪=-5⎪⎨+-=16⎪⎪∆=4+2-4-5≥0⎩，解得：m =-1或m =-15且m 9≥-4， ∴ m =-1．。
4.5一元二次方程根的判别式
4.5一元二次方程根的判别式●学习目标1．理解并记住一元二次方程根的判别式。
2．能够判断一元二次方程根的情况。
3．能证明字母系数方程有无实数根。
4．根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
●重点难点：重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值范围●学习过程：一、温故知新：用公式法解方程：（1）x2＋3x－1＝0；（2）4x2＋4x＋1＝0；（3）x2－x＋1＝0(通过以上问题的解决，你发现了根的情况与什么有关？)二、自主探究：通过对课本142-143页材料的阅读，你是否掌握以下知识？1.由于一元二次方程根的个数由代数式______________的符号决定，因此把______________叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母______表示。
即______________。
2. 一元二次方程根的情况与判别式Δ=b2-4ac的关系：（1）当b2-4ac>0时，方程______________。
（2）当b2-4ac=0时，方程______________。
（3）当b2-4ac<0时，方程______________。
（1）、（2）、（3）的逆命题是 __________________________________________ ____________________________ 他们正确吗？三、合作交流：1、不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+x-4=0 (2)4y2+9=12y(3)5(t2+1)-6t=0 (4) x2-kx+k-1=0 (5) x2-kx+k-2=0观察思考：（1）当方程不是一般形式时应怎么处理？为什么？（2）当方程中含有字母系数时，是根据平方式的哪一性质判断正负？2、求证：关于x的方程x2-mx+m-3=0一定有两个不相等的实数根归纳总结解此类题目的一般步骤：______________________________________.2．（1）.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+ m=0.当 m取什么值时①方程有两个不相等的实数根? ②方程有两个相等的实数根? ③方程没有实数根? .（2）已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值（3）若方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有实数根，求k的取值范围。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
《4.5一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学青岛版12九年级上册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节作业的目标是使学生能够：1. 理解一元二次方程根的判别式的基本概念。
2. 掌握判别式的计算方法并能熟练运用。
3. 学会通过判别式判断一元二次方程的根的情况。
二、作业内容作业内容主要围绕一元二次方程根的判别式展开，具体包括以下方面：1. 判别式的基本概念：介绍判别式的定义，使学生明确其在一元二次方程中的重要性。
2. 判别式的计算方法：详细讲解如何通过给定的一元二次方程的系数计算出判别式的值。
3. 判别式与根的关系：讲解判别式的值与一元二次方程根的关系，包括有两个实根、两个虚根或无实根等不同情况。
4. 实例分析：选取几个典型的一元二次方程，让学生根据判别式判断其根的情况，并计算判别式的值。
5. 练习题：布置适量的练习题，包括计算判别式的值和判断一元二次方程的根的情况。
三、作业要求1. 学生需熟练掌握判别式的计算方法，并能准确判断一元二次方程的根的情况。
2. 在计算判别式的值时，要求学生注意公式的正确性和运算的准确性。
3. 在实例分析和练习题中，要求学生运用所学知识，独立完成任务，并注意解题思路的清晰和解题步骤的规范。
4. 学生在完成作业后，需自行检查答案，确保准确无误。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的情况，评价其对于判别式概念的理解、计算方法的掌握以及运用能力。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评和自我评价相结合的方式，以全面了解学生的学习情况。
3. 反馈方式：教师根据批改情况，给予学生及时的反馈，指出学生在作业中存在的问题，并给出改进建议。
五、作业反馈1. 对于计算错误的学生，教师应指导其检查计算过程，找出错误原因，并加以纠正。
2. 对于理解不深的学生，教师可通过课堂讲解、辅导等方式，帮助学生加深对判别式概念和计算方法的理解。
3. 对于表现优秀的学生，教师应给予肯定和鼓励，并引导其进一步拓展相关知识，提高解题能力。
4. 教师可根据学生的整体表现，调整教学计划，优化教学方法，以提高教学效果。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
4.5 一元二次方程根的判别式
(2)有两个相等的实数根，
∴ 9 4k 04
(3)没有实数根.
∴
k 9k 3 44
(4)有实数根，
3 ∵ kx2 3x 1 0 是一元二次方程
∴k 0k .
∴k
4
的取值范围是 k
9 4
且k
0
练习14页6、7题
跟踪训练
1.关于x的一元二次方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，
则a满足（ CA ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
2.已知关于x的方程 mx2+mx+5=m 有两个相等的实数根,求m的值。
5m(m-4)=0
m=0 (舍去)
m=4
课本145页习题第5题
15
一元二次方程的根的情况：
1.当 2.当 3.当
b2 4ac 0 时，方程有 两个不相等的实数根 b2 4ac 0 时，方程有 两个相等的实数根 b2 4ac 0 时，方程 没有实数根
4.5 一元二次方程 根的判别式
1.通过观察、分析、讨论，探究并了解一元二次方程根的判别式 的意义；
2.理解一元二次方程根的判别式，并学会不解方程能判定一元二 次方程根的情况；
3.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般及 分类讨论的数学思想.
探究新知
用公式法解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0) 思考：究竟谁决定了一元
反过来：
1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
一元二次方程的判别式
一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式是指利用方程的系数来判断方程的根的性质的一个数学工具。
在解一元二次方程时，判别式可以帮助我们判断方程是否有实根、有几个实根，以及实根的性质。
一元二次方程一般的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据判别式的定义，一元二次方程的判别式D可以通过以下公式求得：D = b^2 - 4ac在解释一元二次方程判别式之前，首先要了解判别式的几种可能情况及其意义：1. 若D > 0，则方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标平面上有两个交点，也就是说，方程对应的抛物线与x轴有两个交点。
2. 若D = 0，则方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标平面上与x轴相切，也就是说，方程对应的抛物线与x轴有一个交点。
3. 若D < 0，则方程没有实根。
这意味着方程在坐标平面上不与x轴相交，也就是说，方程对应的抛物线与x轴没有交点。
现在，我们来通过几个实例来说明一元二次方程判别式的应用。
1. 定义一个一元二次方程为x^2 + 2x - 3 = 0。
首先，我们可以计算出这个方程的判别式D：D = b^2 - 4ac= 4 + 12= 16由于D > 0，所以这个方程有两个不相等的实根。
我们可以进一步求解得到：x1 = (-b + √D) / 2a= (-2 + √16) / 2(1)= (-2 + 4) / 2= 2 / 2= 1x2 = (-b - √D) / 2a= (-2 - √16) / 2(1)= (-2 - 4) / 2= -6 / 2= -3因此，该方程的两个实根为x = 1和x = -3。
2. 定义一个一元二次方程为2x^2 + 4x + 2 = 0。
我们计算出这个方程的判别式D：D = b^2 - 4ac= 16 - 16= 0由于D = 0，所以这个方程有两个相等的实根。
我们可以进一步求解得到：x1 = x2 = (-b) / 2a= (-4) / 2(2)= -4 / 4= -1因此，该方程的两个实根为x = -1。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理一知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0a 、b 、c 属于R,a≠0根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程组,解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用;韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用;1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ 1当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 2当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 3当Δ< 0时⇔方程没有实数根,无解； 4当Δ≥0时⇔方程有两个实数根5根的判别式△＝b 2－4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围;2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理：1若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根,那么：a b x x -=+21,ac x x =⋅21 2以两个数21,x x 为根的一元二次方程二次项系数为1是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： 1已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值; 2不解方程,求某些代数式的值;3已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程; 4已知两数和与积,求这两个数; 5二次三项式的因式分解;注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时,关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根;例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根;例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
4.5 一元二次方程根的判别式 (共11张PPT)
3：你还有什么疑问需要大家讨论解决？
4.5 一元二次方程根的判别式
潘庄中学 闫清玲
教学目标
1.经历一元二次方程的根的判别式的探索过程； 2.会运用根的判别式判别一元二次方程中是否有实根和 两个根是否相等 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围
《高效课时通》
公式法解下列方程：
（1）x2+4＝4x （2）x2+2x＝3 （3）x2－x＋2＝0
（1） 2x2
+
x - 4= 0
（2）4y2+9=12y
(3)5(t2+1)-6t=0 提示（1）先把方程化为一般形式，找出a b c （2）求出 b2 4ac 跟踪练习：下列方程有两个不相等实根的是（ D） A X2+X+3=0 B X2+2X+1=0 C X2+1=0 D X2+3x=0
例2：已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0有两个不相 等的实数根．
k＜3/4 k＞3/4 且 k≠1
k=3/4
温馨提示：注意考虑判别式的运用及二次项系数不为0
《高效课时通》
达标测试；
（1）一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式为 （ -8
所以该方程根的情况是 （ 无实根 ) (2) (2016.福州中考）若 一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a(B ) A a=o B a=2或a=-2 C a=2 D a=2 或 a=o
观察以上方程根的情况，你发现了 什么?
《高效课时通》
我们把 b2 4ac 叫作一元二次方程
2 ax +bx+c = 0(a≠0) 的根的判别式，记作“Δ ”
4.5一元二次方程根的判别式
执教人 学科 数学 编号 使用时间 自主质疑 1 课时 1 课时
课题 名称
4.5 一元二次方程根的判别式
自主预习学案
课时规划 练习内化
课堂观察记录
A 段：自学教材 任务一:一元二次方程根的判别式 2 1.一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数 a、b、c 满足条 2 件 b －4ac___0 时才有实数根。 观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 2 ① 当 b －4ac＞0 时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根； （填相等或不 相等） 2 ② 当 b －4ac＝0 时， 方程有＿＿个＿＿＿的实数根； x1＝x2＝＿＿＿ ＿＿＿＿＿ 2 ③ 当 b －4ac＜0 时，方程＿＿实数根. 总结:这里的 b －4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△” 来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方 2 2 程 x －x＋1＝0，可由 b －4ac＝＿＿0 直接判断它＿＿＿＿实数根； B 段：进阶深学 【自学检测】 例 1．不解方程，判定方程根的情况 2 2 （1）16x +8x=-3 （2）9x +6x+1=0 2 2 （3）2x -9x+8=0 （4）x -7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b-4ac 的值大于 0、 小于 0、等于 0•的情况进行分析即可．
2
自 主 质 疑 阶 段
【进阶训练】
不解方程判定下列方程根的情况: （1）x2+10x+26=0
3 （2）x2-x- =0 4
（3）3x2+6x-5=0
（4）4x2-x+
1 =0 16
（5）x2- 3 x-
4.5一元二次方程根的判别式
1254.5一元二次方程根的判别式一、 学习目标1.了解什么是一元二次方程根的判别式；（重点）2.掌握一元二次方程根的判别式的应用。
（难点,考点）二、 学习过程预习导学阅读教材142--144页内容，完成下面问题1.请用公式法求解下列方程：222(1)3250;(2)(2)0;(3)20;x x x x x --= -= ++=1．进一步观察一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠（1）当24b ac ->0时，12x x = =（2）当24b ac -=0时，12x x == （3）当24b ac -<0时，方程 .自主学习1．定义：把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，即∆=24b ac -，一般地，方程20(0)ax bx c a ++= ≠ 当∆>0时：当∆=0时：当∆<0时：反过来，同样成立，即2.合作探究探究一 不解方程，判别下列方程根的情况： 222(1)210;(2)210;(3)230x x x x x x -+= --= -+=126探究二m 为何值时，关于x 的一元二次方程22(21)410mx m x m -++-=；(1)有两个相等实数根； (2)有两个不相等的实数根； (3)无实数根。
探究三 求证:关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根?探究四 若关于x 的方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根,试求正整数a 的值?三、归纳总结 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）只有当系数a 、b 、c 满足条件 b 2－4ac 0时才有实数根。
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） 12x x = =② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根；x 1＝x 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿实数根.四 当堂达标1.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0127C. x 2+2x ＋3＝0D. 4x 2-4x ＋1＝02.若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 3.关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ） A.k ＜21 B.k ＞21 C. k ≤21 D. k ≥21 4.ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.5.说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.五、反思提升1．方程x 2-ax+9=0有两个相等的实数根，则a=________128 2．关于x 的方程(m+1)x 2-2x-(m-1)+0 的根的判别式等于４，m=_________3．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且一元二次方程(a-b)x 2+2(a-b)x-(b-c)=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状 .4．当m 为何值时，（1）关于x 的方程mx 2+(2m-3)x+(m+2)=0有两个实数根。
一元二次方程的解与判别式
一元二次方程的解与判别式一元二次方程是代数中常见的一种方程形式，其一般表达式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的主要方法是利用判别式，而判别式则决定了方程的解的性质。
1. 判别式的计算一元二次方程的判别式D可以通过以下公式计算得到：D = b^2 - 4ac2. 判别式的意义与解的情况判别式D的正负与方程的解之间存在着密切的关系，主要有以下几种情况：情况1: D > 0当判别式大于0时，即D > 0，方程存在两个不相等的实数解。
此时，方程的解可以表示为：x1 = (-b + √D) / (2a)x2 = (-b - √D) / (2a)情况2: D = 0当判别式等于0时，即D = 0，方程存在两个相等的实数解。
此时，方程的解可以表示为：x1 = x2 = -b / (2a)情况3: D < 0当判别式小于0时，即D < 0，方程没有实数解，而有两个共轭复数解。
此时，方程的解可以表示为：x1 = (-b + i√|D|) / (2a)x2 = (-b - i√|D|) / (2a)3. 解与判别式的关系通过解与判别式的关系可以看出，判别式D的正负决定了方程解的性质，具体有以下几点：- 当D > 0时，方程的解为两个不相等的实数解，且方程的图像与x 轴有两个交点；- 当D = 0时，方程的解为两个相等的实数解，且方程的图像与x轴有且仅有一个交点；- 当D < 0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解，且方程的图像与x轴没有交点。
在解一元二次方程时，判别式的值不仅能够告诉我们方程存在的解的情况，还可以进一步解释方程的图像与x轴的关系。
当判别式的值为0时，方程图像与x轴有一个切点；当判别式的值大于0时，方程的图像与x轴有两个交点；当判别式的值小于0时，方程的图像与x轴没有交点。
综上所述，一元二次方程的解与判别式之间存在着紧密的联系，判别式的正负决定了方程解的性质及方程图像与x轴的关系。
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一元二次方程的根的情况：
1.当 b
2Байду номын сангаас
4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
2.当 b 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
2
3.当 b 4ac 0时，方程没有实数根
2
反过来：
2 b 4ac 0 1.当方程有两个不相等的实数根时，
2
(8m 1) x 8m 0 ，
问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax 5 x 5 0 。
2
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变 为： 5 x 5 0
当 a≠0 时， 方程为一元二次方程， 再利用△确定方程的根的个数， 用 求根公式求出解。
跟踪练习
1 ：求方程 x 3 x 2 0 的最
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。
2 2 mx 8m( x 1) x ， 二次方程 当 m 为何值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
提示： 先把方程变形：2mx 再看△。
2
小根的倒数。
提示：可以先换元：令 t=|x| ，转化为关于 t 的一 元二次方程，求 t，再求 x 。
跟踪练习
2 ：方程 x
2
ax b 0
与x
2
bx a 0
只有一个相等的实数根，求此根。
提示：先降幂，将一元二次方程转化为一元 一次方程，再求 x 。
跟踪练习
3 ：若方程 3x 4 x k 1 0 无实数根，化简 ：
2 b 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时，
2 3.当方程没有实数根时， b 4ac 0
典例分析
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2 x （2） 3x
2
5x 7 0 ；
2
x 0；
2 x 4kx 2k 3 。 （3）
b 4ac
2
叫 做 一 元 二 次 方 程
ax 2+ bx +c=0 的根的判别式，通常用“△”
当 △>0 时，方程有两个不等的实数根； 表示。
当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
当△<0 时，方程没有实数根。
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
2
二次项系数 a ，一次项系数 b，常数项 c.
解一元二次方程的方法： 直接开平方法
因式分解法 配方法 公式法
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 一定有解吗？
2
2 b b 用配方法变形上述方程得到： a ( x ， )2 c 2a 4a
2
提示：先利用判别式求 k 的范围，再化简。
2 1 1 k k 2k 。. 3 9 3
2
跟踪练习
动不如
动
4. 已 知 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
mx 3(m 1) x 2m 3 0 (m为实数)
2
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的 值.
4.5 一元二次方程根的判别式
莘县棉纺织厂学校 赵章立
教学目标：
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。 2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理 论证。 3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。
教学重点 教学难点
用根的判别式判别方程根的情况 用根的判别式求一元二次方程中系数的范围