第 14 讲 3.4基本不等式

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3.4基本不等式

结论1 两个正数积为定值，结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2 两个正数和为定值，结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
应用要点：应用要点：一正数二定值三相等
四、巩固
1.若正数m, n满足m + n = 6, 则mn有最大值 9 , 此时m = 3 , n = 3 . 2.若正数m, n满足mn = 6, 则m + 3n有最小值 6 2 , 此时m = 3 2 , n = 2 .
3.已知直角三角形的面积等于50， 3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各已知直角三角形的面积等于50 为多少时,两条直角边的和最小，为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？ 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应长的铁丝折成一个面积最大的矩形怎样折？怎样折？
2
动态演示几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 不等式的几何解释吗?
Hale Waihona Puke 2.PQ与AO的大小关系怎样? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 的大小关系怎样
1 解 :Q x > 0,∴ > 0 x 1 1 ∴y = x+ ≥ 2 x• = 2 x x 1 当x = , 即x = 1时, ymin = 2 x
三、应用
发现运算结构，发现运算结构，应用不等式
a+b （a > 0, b > 0） ab ≤ 2
a + b ≥ 2 ab a > 0, b > 0）（
1 的最小值. 例1、若 x > 0 ,求 y = x + 的最小值、求 x

3.4 基本不等式1

HG
C
角边长为 a, b,那么正方形的边长为:
A
EF
a
2、计算正方形ABCD的面积和这四个三角形的面积和。
b
a2 b2
B
S正方形ABCD a2 b2
4SRt
4
1 2
ab
2ab
a2 b2 2ab
3、那么它们能相等吗？何时相等？
当a 时b, a2 b2 2ab
●
OE, F,G, H
3.4 基本不等式 ab a b 2
（1）重要不等式与基本不等式
2008年8月20日,第24届国际数学家大会在北京召开。会标是根据我国三国时期的数学家赵爽的“弦图”设计的。
你能从中找出一些相等关系或不等关系吗？
四个Rt全等
ICM2002会标
一、重要不等式的发现
D
1、在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直
(4)a2 2 1 2 a2 2
【例3】当 x
1 时，求f
(x)
x2
3x 1的值域 x 1
.
【练习】若实数 a、b满足a b 2,
求 3a 3b的最小值 .
课堂小结作业：课时作业（19）
1、理解记忆两个基本不等式
a2 b2 2ab ; a b ab(a 0, b 0) .
2 （适用条件，等号成立要求）
2、掌握利用两个基本不等式和其他不等式性质比较大小、证明简单不等式。
3、初步理解均值不等式在求最值的应用方法。
求证：bc ac ab a b c. abc
【练习】已知 a,b, c, d 都是正数,
求证 : (ab cd)(ac bd) 4abcd.

3.4基本不等式课件-24页精选文档

z24000072021600, z297600
2020/1/17
当 x y ,即x y40 时,等号成立.
所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.
变式练习：做一个体积为32m³，高为2m的长方体纸
盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
所以DC 2 BC AC ab
2020/1/17
D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
解：设底面的长、宽分别为 x , y m,用纸 S ㎡.
则
2xy32,xy16 s2(xy2x2y)
s 64
324(xy)
3242 xy
当且仅当x y 4m
时，用纸最少为64㎡.
s324216
2020/1/17
小结：
1. 两个重要的不等式
(1)a, b R,那么a 2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
2当020且/1/17仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？证明：（作差法） a2b22ab(ab)2
x
x 1 2

3.4 基本不等式

宽为y 解：设矩形菜园的长为x m,宽为 m , 设矩形菜园的长为宽为则2(x+y)=36, 即x+y=18，矩形菜园的面积为，矩形菜园的面积为xy m2。
x + y 2 18 2 ∴ xy ≤ ( ) = ( ) = 81 2 2
x+ y Q ≥ xy 2
Байду номын сангаас
即 xy ≤ 81
当且仅当x=y,即x=y=9时等号成立。即当且仅当时等号成立。答：这个矩形的长为9m、宽为时，菜园的面积最大，这个矩形的长为、宽为9m时菜园的面积最大，最大面积是81m2. 最大面积是
2
⇒ a+b-2 ab ≥ 0 ⇒ a+b ≥ 2 ab
（综合法）综合法）
a+b ⇒ ≥ ab 2 当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释： P
ab
A
a o
Q b
B
半弦PQ不大于半径半弦不大于半径OP 不大于半径
a,b为正数证明下列不等式：为正数，例1、设a,b为正数，证明下列不等式：
a b a b
即
a +b ab ≤ 2
基本不等式
结论：对任意两个正数、结论：对任意两个正数a、b,
(当且仅当a = b时取" = "号 )
a +b ab ≤ (a ≥ 0, b ≥ 0) 2
即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当它们相等时取等号. 当且仅当它们相等时取等号基本不等式的理解：一正，二定，三相等” 基本不等式的理解：“一正，二定，三相等” 一正：都是整数都是整数. 一正：a,b都是整数二定：与的和或积）是定值. 的和（二定：a与b的和（或积）是定值三相等：当且仅当a=b时，等号成立三相等：当且仅当时等号成立.

3.4基本不等式

6
1 12
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12
如此解答行吗？
1 1 例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值 x y
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，
1 2 有最大值 S 4
否则会出现错误
1 的最小值为 2 ，此时x= 1 1、当x>0时， x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的最大值是
1 6
。
。
x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小 3、若实数
值是（ D ） A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
1 (1 x 10) A、 x 5 B、y lg x lg x y ( x R , x 0) 5 x 1 x x (0 x ) C、y 3 3 ( x R) D、y sin x sin x 2
C
B
B
基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。用 a和 b代替a、b 会得到什么？
如何证明?
基本不等式2：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相

3.4基本不等式

3.4基本不等式：2ab b a +≤一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入诺贝尔奖，是以瑞典著名的化学家诺贝尔的部分遗产作为基金在1900年创立的。

诺贝尔奖分设物理、，化学、生理或医学、文学、和平五个奖项，但没有数学，数学的最高奖是菲尔茨奖，每四年一次的国际数学大会颁发，如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．那么它们有相等的情况吗？何时相等？当b a =，ab b a 222=+从而对任意实数，都有ab b a 222≥+，此不等式叫重要不等式证法：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）探究二：如果0,0>>b a ，用b a ,去代替ab b a 222≥+中b a ,，能得出什么结论？通过学生动手操作，探索发现：若，则．此不等式叫基本不等式证法（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）当0>x 时，xx 1+的最小值为____________,此时____________=x （2）当0>x 时，xx 94+的最小值为____________,此时____________=x例2（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例3. （1）当0<x 时，求xx y 1+=的最大值（2）当3>x 时，求31-+=x x y 的最小值（3）当2≥x 时，求x x y 1+=的最小值并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．6．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．。

3.4基本不等式2

(a＞0，b＞0)中，如果a· b＝P为定值，能得到什么原理？原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2
ab
(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值 .
作业：
补充：
1 并求取得最小值时x的值. 1.求y 2 x ( x 2)的最小值， x2 1 并求取得最大值时x的值. 2.求y x(1 3x)(0 x )的最大值， 3
3：已知正数 a、b 满足 a＋b＝1，求证：
1 (1)ab≤4； 1 1 1 ( 2) 2 (2)aa＋b2≥4 ； b 2 1 1 (3)( a ) (b ) 9 a b
2y x 2 y 时，即x 2 1, y 1 当且仅当 x 时取到等号. 2 x 2 y 1
“1”的代换
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值；变式： x y
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值．
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值； x y
1 9 解：(1)∵x>0，y>0，＋＝1， x y 1 9 y 9x ∴x＋y＝( ＋ )(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. x y x y y 9x 当且仅当＝， x y 1 9 又＋＝1， x y 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 1－a b＋c 2 bc 1 ∴ －1＝＝ ≥ ， a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理－1≥ ，－1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝时，等号成立． 3

3.4 基本不等式

2

基本不等式
练习 . 求下列函数的最小值：
(1)设x, y R，且x y 2，求3 3 的最小值；
x y
2 8 ( 2)已知x 0, y 0，且 1，求xy的最小值； x y ( 3)已知x 0, y 0，x 2 y 2 xy 8,求x 2 y的最小值；
y
最短篱笆是40m.
基本不等式
例1（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为 x m,宽为y m 则2( x y) 36，即x y 18，矩形菜园的面积为 xy m2 x y 由 xy，得： 2 2 x y xy 81 2 当且仅当x y 9时，等号成立这个矩形的长、宽都为 9m时，菜园的面积最大，
2
重要变形2
2
问题情境
有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的是左右两臂长短有差异的天平，他向人们提出一个调解方案：左右各称一次,将两次所称重量相加除以2作为物品的实际重量. 如果你是购买者，你接受他的方案吗？
基本不等式
思考：
1 若x 0, 则函数f ( x ) x 有没有最值？ x
基本不等式
探究：
已知a , b都是正数，试探索： ab a b ， ab，，的大小关系， 1 1 2 2 a b 并证明你的结论。 2
2 2
基本不等式
例1.判断下列推理是否正确，并说明理由： 1 a 0 ( (1) f (a ) a 的最小值为2. a0 a

第14讲基本不等式 (解析版)

【高中新知识预习篇】第14讲基本不等式解析版一、基本知识及其典型例题知识点一基本不等式1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b2. 3.基本不等式的常见推论 :(1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2) ab ≤ 2)2(b a +≤ a 2＋b 22 (R b a ∈、)；(3) b a ＋ab≥ 2 (a ，b 同号)；(4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项：∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【证明】∀化简得：2)2(b a ab +≤.0)(,0224,422222222≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即.时取等号当且仅)2(0)(2b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得：.0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即即.2)2(222时等式成立恒成立，当且仅当同理，b a b a b a =+≤+综上， a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【变式1】已知x ，y 都是正数. 求证：(1)y x ＋xy ≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3;（3）已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【证明】 (1)∀x ，y 都是正数，∀x y > 0，yx > 0，∀y x ＋xy≥ 2y x ·x y ＝ 2，即 y x ＋xy≥ 2，当且仅当x ＝y 时，等号成立.(2)∀x ，y 都是正数，∀x ＋y ≥ 2xy > 0， x 2＋y 2 ≥ 2x 2y 2 > 0，x 3＋y 3 ≥ 2x 3y 3 > 0.∀(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即 (x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立. (3)∀a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∀2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立..1.a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例2】(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的有（） A.a 2＋1>a B.4)1)(1(≥++bb a a C.4)11)((≥++ba b a D.a 2＋9>6a .【解析】由于a 2＋1－a ＝2)21(-a ＋34>0，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∀4)1)(1(≥++bb a a ，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故4)11)((≥++ba b a ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立. 综上，恒成立的是ABC.【变式2】下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（）. A．x y +≥B ．21x x +>2C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 【答案】C【分析】取特殊值可得a,b,D 不恒成立，由211x +≥可得C 对应的不等式2111x ≤+恒成立，得解. 【解析】对于A ，当0x <时，根式无意义，故A 不恒成立；对于B ，当1x =时，212x x +=，故B 不恒成立；对于C ，211x +≥，所以2111x ≤+成立，故C 成立；对于D ，当0x <时，12x x+<，故D 恒不成立，即对任何实数x 都成立的一个式子是2111x ≤+ 【例3】已知，，若，证明：。

3.4基本不等式

几何法:
代数法:
结论：
此不等式称为重要不等式
类比联想推理论证
此不等式称为基本不等式
名词解释
算术平均数
几何平均数
基本不等式又称为均值定理
基本不等式的几何解释
均值不等式
(1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数; (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识要点 1. 基本不等式：
2. 基本不等式变形：
应用举例
例3.某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
利用基本不等式应用条件探究
例1.
结论一: 用均值定理的两个数需为正数.
新课引入
如上(左)图是2002年在北京召开的第24届国际数学大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(右)设计的.着色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.
知识探究(一) 思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
可以发现:
变式一: 变式二:
结论二: 用均值定理时,积定和最小,和定积最大
结论三:
一正二定
积定和最小和定积最大
三相等
重要变形

3.4.4基本不等式

例5 分析：平均费用＝使用年限的总费用／使用年限
每年的维修费是一个等差数列，首项为0.2，公差为 0.2，第x年为0.2＋（x-1)0.2=0.2x,所以，使用x年总的维修费用为 0.2 0.2 x x
2
小结：解应用题的关键是把文字语言转化为数学语言。
练习：P106 1、2、3
作业：P107 A组 4，B组 2 思考：B组 3
x y ，即xy≤16， xy 2
定理：设x,y都是正数 (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时，积(xy)max= (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和(x+y)min= 使用上述定理应注意的条件：
s
2
4
2 p
(1)x,y一定要是正数;
（2）求积xy的最大值时，一定要看和x+y是否为定值；求和x+y的最小值时，一定要看积xy是否为定值； (3)等号是否能成立。简言之，即“一正，二定，三相等。”
定理的应用例2 设x,y∈R+，且2x+5y=20,求u=lgx+lgy 的最大值。分析1：∵u=lg(xy),∴只有先求出xy的最大值，才能求出 u的最大值。∵2x·5y≤ (2 x 5 y ) 2 ＝100 ∴xy≤10，
4
u=lg(xy)≤1，当且仅当2x=5y时，取“＝” 由 2x+5y=20 解得 x=5,y=2时，xy有最大值1。
§3.4基本不等式
• 教学目标：理解基本不等式的证明及基本不等式的几何意义；会利用基本不等式球最大（小）值。 • 教学重点：掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义；基本不等式在求最值中的具体应用。
• 教学难点：利用基本不等式推导

3.4基本不等式

x2 2
tan x
2
2.求以下问题中的最值:
(1)若a 0,则当a ____时,4a 9 有最小值____; a
(2)正数x, y满足x y 20,lg x lg y的最大值____;
(3)x, y都为正数,且2x y 2, xy的最大值是____ .
3、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于 d2 .
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
下面解法正确吗？问什么？
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2、已知x 3,求x 4 的最小值. x
a b 2 ab
重要 a2 b2 2ab 当且仅当a=b
不等式 a b 2 ab 时,“=”成立
注意
1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。
一正、二定、三相等
例1： (1)已知x 0,求x 1 的最值;
复习引入
1）对任意一个实数a有a2 ≥ 0 2）若a、b∈R+，则由a2≥b2可得a ≥ b 3）(a-b)2 ≥0
4）若a、b∈R+，则 ( a b )2≥ 0
(a b)2 0
( a b )2 0
a2 b2 2ab 0 a b 2 ab 0
a2 b2 2ab
答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为 30400元。
重要 a2 b2 2ab 不等式 a b 2 ab (a、b∈R+)

3.4基本不等式(均值不等式B5版)

3．4基本不等式：2ba ab +≤（均值不等式）一、知识点：1．定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数; （2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。

即：“一正二定三相等”这三个原则。

可分别在“正”“定”“相等”三处设题 2、常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；二、例题分析：例1：已知)0(1≠+=x xx y ，求 y 的最值。

（直用）例2：已知x ＞45,求函数y=4x-2 +541-x 的最小值（变形应用）变式1、求函数12++=x x xy （x >0）的值域。

变式2、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值变式3、求函数41322++=x x y 的最小值。

例3：求函数2y =的最小值。

变式、求函数4sin sin y x x=+最小值（x ∈（0，900］）例4：当0＜x ＜4时，求y=x(9-2x) 的最大值。

（逆用）例5：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值。

（应用）变式、已知x+3y-2=0,求3271xy ++最小值。

例6：正数,x y 满足21x y +=，求y x 11+的最小值为。

（方法：“1”的代换）例7：已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值练习题一、选择题1、设x,y 为正数，(x+y)(+x 1y4)的最小值为（） A ．6 B 9 C 12 D 15 2、已知正数,x y 满足1x y +=，则11x y+的最小值为（） .A 2 .4B .C 14 1.2D 3、若,x y 是正数，且191x y+=，则xy 有（） .A ．最大值36 B ．最小值136 C ．最小值36 D ．最大值1364、在下列函数中，最小值是2的是（）.A 1(,y x x Rx =+∈且0x ≠） .B 2y =.C 22x xy -=+ .D 1s i n (0)s i n 2y x x x π=+<< 二、填空题5、若102x <<，则(12)y x x =-的最大值。

3..4基本不等式

3．4．1基本不等式<1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理中地不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节地学习，体会数学来源于生活，提高学习数学地兴趣【教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式地几何背景：探究：如图是在北京召开地第24界国际数学家大会地会标，会标是根据中国古代数学家赵爽地弦图设计地，颜色地明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.2 合作探究<1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？<教师引导学生从面积地关系去找相等关系或不等关.系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等地直角三角形.设直角三角形地长为、，那么正方形地边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形地面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形地面积和正方形地面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：<板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立.提问5：你能给出它地证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书>证明:所以注意强调当且仅当时,(2>特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导(板书,请学生上台板演>:要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证 (->④显然, ④是成立地,当且仅当时, ④地等号成立(3>观察图形3.4-3,得到不等式①地几何解释两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆地半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b地等差中项，看作是正数a、b地等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数地等差中项不小于它们地等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：(1>＝2即≥2.(2>x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0∴<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解读：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式地用法，1正2定3相等可以具体解释每一项地意思.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值12下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理.二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立.两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数，字母表示：.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导证明:结论：两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究2：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释练习1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1>≥2；( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式地性质(把握好每条性质成立地条件>，进行变形.1正2定3相等变式训练：1已知x＜错误!，则函数f<x）＝4x＋错误!地最大值是多少？2 证明：<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.分析：注意凑位法地使用.注意基本不等式地用法.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值2下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知①如果积②如果和[拓展探究]2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略2 提示可用a+b+c换里面地1 ，然后化简利用基本不等式.§3.4.2 基本不等式地应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数地算术平均数，把叫做正数地几何平均数.今天我们就生活中地实际例子研究它地重用作用.讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：<1）设矩形菜园地长为m,宽为 m,则篱笆地长为2<）由，可得2<）等号当且仅当，因此，这个矩形地长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2>设矩形菜园地长为m,宽为 m,则2<）=36，=18，矩形菜园地面积为，由可得,可得等号当且仅当点评：此题用到了如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练：用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？解：设矩形地长为，则宽为，矩形面，且．由．<当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．例2<教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边地长度为，水池地总造价为元，根据题意，得当因此，当水池地底面是边长为40m地正方形时，水池地总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中地应用，应注意数学语言地应用即函数解读式地建立，又是不等式性质在求最值中地应用，应注意不等式性质地适用条件.变题：某工厂要制造一批无盖地圆柱形桶，它地容积是立方分M，用来做底地金属每平方分M价值3元，做侧面地金属每平方M价值2元，按着怎样地尺寸制造，才能使圆桶地成本最低.解：设圆桶地底半径为分M，高为分M，圆桶地成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小.将代入地解读式，得=当且仅当时，取“=”号.∴当1<分M），<分M）时，圆桶地成本最低为9<元）.点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1．求最值常用地不等式：，，．2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4地是：<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.设地最小值是( >A. 10B.C.D.3函数地最大值为.4建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5时，有最小值，基本不等式地应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最2如果和是定值，那么当时，积有最3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b地最小值是_____.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1 用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件二、学习过程例题分析：例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？2一份印刷品地排版面积<矩形）为它地两边都留有宽为地空白，顶部和底部都留有宽为地空白，如何选择纸张地尺寸，才能使用纸量最少？变式训练答案 1 时面积最大. 2此时纸张长和宽分别是和．例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000.变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有<3）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值2已知且满足,求地最小值.4Ａ．16Ｂ20．Ｃ．14Ｄ．183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，课后复习学案1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy地最大值及此时x、y地值．2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车地购车费用是10万元，每年使用地保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它地年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站地距离成反比，而每月库存货物地运费y2与到车站地距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

3.4基本不等式

2
“和定,积最大”
题型三、用“1”的代换求最值
分析：“1”的妙用－任何数乘以1大小都不变。
5.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证：1 + 4 + 9 ≥36. xyz
5.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证：1 + 4 + 9 ≥36. xyz
【证明】∵（x+y+z）（ 1 + 4 + 9） xyz
把上述三个式子分别相加，得
a+b+c≥ ab+ bc+ ca,
当且仅当a=b=c时，等号成立.
注：多次使用基本不等式时，要注意等号是否成立，通常每个“＝”同时成立时才会取“＝”号。
作业：P101A3,4,P103A6
3.4.3基本不等式综合提高
1. 重要不等式: a2+b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
解：设水池底面长为x m,宽为ym,总造价为z元.则
xy=1600
z 150 4800 120(2 3x 2 3 y) 3
240000 720(x y)
240000 720 2 x y＝297600
当且仅当x=40时，等号成立，即zmin=297600.
2. 基本不等式: ab a b (a 0, b 0) 2
(当且仅当a=b时取“=”号)
求证:
ab ( a b )2 a2 b2
2
2
(当且仅当a=b时取“=”号)
3. 常用结论及其变式：
(1)a2 b2 2ab ab ( a b )2 a2 b2

高三数学基本不等式

提问 A HE
B
引入新课
提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个
不等式
，什么时候这两部
分面积相等呢？
D GF C A HE
B
杆状的深峡煤角鸟，随着蘑菇王子的旋动，鱼杆状的深峡煤角鸟像舷窗一样，朝着双兽怪影人工树上面悬浮着的七只肥猫神扫过去！紧跟着蘑菇王子也傻耍着法宝像烟盒般的怪影一样朝双兽怪影人工树上面悬浮着的七只肥猫神滚过去。只见一片波光闪过……小虾米顷刻化作一串相当恐怖的天青色沥青流，像拖着一串虚幻尾巴的光柱一样直窜天穹，而蘑菇王子也顺势追了上去！就见在明净淡净的爽丽碧天之上，拖着一串虚幻尾巴的光柱在空中画了一条悠然的曲线……猛然！光柱像烟花一样炸开！顿时，数不清的烟云状物质像焰火一样从碧天之上倾泻下来……这时已经冲到光柱之中的蘑菇王子立刻舞动着∈七光海天镜←像耍小号一样，把烟云状物质状玩的如球拍般晃动……很快，空中就出现了一个很像森林小子模样的，正在尊贵喘舞的巨大怪物…………随着∈七光海天镜←的狂飞乱舞，七只肥猫瞬间变成了由千千万万的玉光花瓣组成的一团蓝宝石色的，很像小子般的，有着华丽剔透质感的塑料状物体。随着塑料状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一团暗红色的玉石状物体……接着蘑菇王子又耍了一套仰卧颤动搜口罩的怪异把戏，，只见他闪着荧光的薄耳朵中，酷酷地飞出五组转舞着∈神音蘑菇咒←的果林玉背熊状的枕木，随着蘑菇王子的扭动，果林玉背熊状的枕木像蘑菇一样飞舞起来。只听一声奇特悠长的声音划过，八只很像刚健轻盈的身形般的塑料状的团团闪光物体中，突然同时飞出五簇乱如杂草的暗橙色花瓣，这些乱如杂草的暗橙色花瓣被云一摇，立刻变成眨眼隐现的珠光，没多久这些珠光就跳动着飞向巍巍巨树的上空，很快在九块大巨石之上变成了隐隐约约的发光飞舞的老虎……这时，塑料状的物体，也快速变成了鸟窝模样的烟橙色胶状物开始缓缓下降，，只见蘑菇王子大力一颤宽大闪亮、镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带，缓缓下降的烟橙色胶状物又被重新颤向天空！就见那个沉甸甸、水灵灵的，很像鸟窝模样的胶状物一边狂跳转化，一边跳动升华着胶状物的色泽和质感。蘑菇王子：“哇噻！这个咒语好玩！太刺激了！知知爵士：“我也想玩玩，学长！蘑菇王子：“明天一定带着你，爵士同学！知知爵士：“嗯嗯，好的好的！我在这看你玩也很过瘾的！这时，蘑菇王子悠然像白杏仁色的飞唇河滩鹰一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立扭曲的特技神功，身上忽然生出了七只美如船尾一般的深黄个，团身鹏醉后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！紧接着旋动快乐机灵、阳光天使般的脑

第 14 讲 3.4基本不等式

3.4基本不等式

3.4 基本不等式1

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3.4 基本不等式

3.4基本不等式

3.4基本不等式

3.4基本不等式2

3.4 基本不等式

第14讲 基本不等式 (解析版)

3.4基本不等式

3.4.4基本不等式

3.4基本不等式

3.4基本不等式(均值不等式B5版)

3..4基本不等式

3.4基本不等式

高三数学基本不等式

第14讲基本不等式 (解析版)