大纲版数学理科高考总复习8-2双曲线

在该双曲线上，则P→F1·P→F2等于( )
A．－12
B．－2
C．0
D．4
解析：根据双曲线的渐近线方程可求出双曲线方 程为x22－y22＝1，则左、右焦点坐标分别为 F1(－2,0)、
F2(2,0)．再将点 P( 3，y0)代入双曲线方程可求出 P( 3， ±1)，则可得P→F1·P→F2＝0.
• 答案：C
则△PF1F2 的面积等于( )
A．24
B．36
C．48
D．96
(2)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点
为顶点的四边形中，有一个内角为 60°，则双曲线 C
的离心率为________．
【解析】 (1)解法一：由题意知 a＝3，b＝4，c ＝5.
如图所示，
设 P(x0，y0)，由双曲线的定义得|PF2|＝acx0－a＝53 x0－3.
ba＝32
①
∴2ca2＝161313 ②
又 a2＋b2＝c2
③
联立①、②、③解得 a2＝16，b2＝36 ∴双曲线方程为1x62 －3y62 ＝1
②当双曲线焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
ab＝32 同理可得2ca2＝161313
a2＋b2＝c2
解析：由题意知 a＝2，b＝4 2，则 c＝ a2＋b2＝ 6，所以右准线为 x＝ac2＝32，由双曲线的第二定义知 x02－x023＝e＝3,2x0＝3x0－2，故 x0＝2. 答案：2
题型一 双曲线的定义
典例 1 (1)已知双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左、右焦
点分别为 F1、F2，P 为 C 的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，
设等腰三角形 PF1F2底边 PF1上的高为 F2D.
则|F2D|＝ |F2P|2－|DP|2＝ 100－64＝6，
S
△
PF1F2
＝
1 2
|PF1|×|F2D|＝
1 2
×16×6
＝
48.
故选 C.
(2)设两焦点为 F1、F2，虚轴两端点为 B1、B2，
则可知四边形 F1B1F2B2 为菱形，由 OF2＝c>b＝OB2
得，∠B1F2B2＝60°，则∠OF2B2＝30°，tan∠OF2B2
＝ 33＝OOFB22＝bc，b＝ 33c，a＝ c2－b2＝ 36c，故双曲
线的离心率为
e＝ac＝
6 2.
【答案】
(1)C
6 (2) 2
• 【方法技巧】 双曲线的定义是研究 双曲线问题的基础，紧扣双曲线的定
义是解答问题的必要途径，更是一种 解题时尚．
A．( 22，0)
B．( 25，0)
C．( 26，0)
D．( 3，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为 x2－y12＝1， 2
∴a2＝1，b2＝12， ∴c2＝a2＋b2＝32， ∴c＝ 26，故右焦点坐标为( 26，0)． 答案：C
2．(2010 年北京海滨区期末)已知双曲线 x2－y32＝
1，那么它的焦点到渐近线的距离为( )
变式 2 已知双曲线的渐近线方程为 3x±2y＝0， 两条准线间的距离为161313，求双曲线的方程．
解：解法一：由已知双曲线中心在原点，对称轴为 坐标轴
①当双曲线焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0) ∵双曲线渐近线方程为 y＝±32x
两准线间距离为161313
点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲
线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
(2)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为 F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点 P，使 得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 ________．
解得 a2＝694，b2＝28516 ∴双曲线方程为96y42－8215x62＝1 综上可知所求双曲线方程为1x62 －3y62 ＝1 或96y42－8215x62＝1
解法二：设双曲线方程为4xλ2 －9yλ2 ＝1(λ≠0)， ①若 λ>0，则 a2＝4λ，b2＝9λ， 准线方程为 x＝±4 1133λ， 由已知得8 1133λ＝161313， 解得 λ＝4；
• 【方法技巧】 (1)求双曲线方程的步 骤为：①由题设确定双曲线的中心位 置，焦点位置；②设其方程；③求基 本量a、b、c.
• (2)涉及到双曲线上的点到其焦点或准 线距离时，应首先运用双曲线定义．
• (3)根据双曲线的某些几何性质求双曲 线方程，一般用待定系数法转化为解 方程(组)，但要注意焦点的位置，从而 正确的选择方程的形式，要善于利用
②若 λ<0，则 a2＝－9λ，b2＝－4λ， 准线方程为 x＝±9 －1313λ， 由已知得18 1－3 13λ＝161313， 解得 λ＝－6841. 综上，所求双曲线方程为1x62 －3y62 ＝1 或96y42－8215x62＝1.
题型三 双曲线的几何性质
典例 3 (2010 年辽宁高考)(1)设双曲线的一个焦
•
第2课时 双曲线
• 1．掌握双曲线的定义、标准方程和双 曲线的简单几何性质．
• 2．本节可类比椭圆来学习双曲线，应 着重注意两者的不同点，有关轨迹问 题、与直线的位置关系问题和双曲线 的性质研究是高考命题的重点内容．
பைடு நூலகம்
• 1．双曲线的定义 • (1)第一定义平：面内，与两个定点F1、F2的距离之 • 差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 • 叫做双曲线 ． • (2)第二定义：平面内，到一个定点F的距离和到一 • 条定直线l的距离比是常数e(e>1)的点的轨迹 • 叫做双曲线 ．
【解】 (1)证明：右准线为 x＝ac2， 由对称性不妨设渐近线 l 为 y＝abx，则 P(ac2，acb)．又 F(c,0)．∴kPF＝aaccb2－－c0＝－ab.
又∵k1＝ab，
∴kPF·k1＝－ba·ab＝－1， ∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的长即 F(c,0)到 l：bx－ay＝0 的距离， ∴ a|b2＋c| b2＝3，即 b＝3. 又 e＝ac＝54，∴a2＋a2b2＝2156. ∴a＝4，故双曲线的方程为1x62 －y92＝1. (3)PF 的方程为 y＝－ba(x－c)．又 x＝－ac2， ∴M(－ac2，aa2b＋c c2)．
∵|PF2|＝|F1F2|＝10， ∴53x0－3＝10，x0＝359.代入双曲线方程得
|y0|＝
16253×92 9－1
＝
48 5
，
∴
S△
PF1F2
＝12
|F1F2|·|y0|
＝12×10×458＝48.
解法二：由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝|PF2|＋6＝|F1F2|＋6＝10＋6＝16.
A．1
B. 3
C．3
D．4
解析：依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)，
一条渐近线方程是 y＝ 3x，即 3x－y＝0，因此焦点
到渐近线的距离为
23 ＝ 32＋1
3，选 B.
答案：B
3．已知双曲线x22－by22＝1(b>0)的左、右焦点分别
为 F1、F2，其一条渐近线方程为 y＝x，点 P( 3，y0)
【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1， 设 F(c,0)，B(0，b)，kBF＝－bc，双曲线渐近线的斜 率 k＝±ab. ∵BF 与一条渐近线垂直， ∴－bc·ba＝－1，∴b2＝ac， 又 a2＋b2＝c2，∴c2－ac－a2＝0，∴e2－e－1＝0， ∴e＝1±2 5(舍负值)∴e＝ 52＋1，故选 D.
P
到
x
轴的距离为|y0|＝
6 2.
解法二：由双曲线中焦点三角形面积公式得 S△
F1PF2＝b2cotθ2＝1×cot30°＝ 3，设点 P 到 x 轴的距
离为 h，
则由
S
△
F1PF2
＝
1 2
×|F1F2|×h
＝
1 2
×2
2 ×h ＝
3，
得 h＝ 26，选 B
答案：B
题型四 双曲线的综合问题 典例 4 已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右准线 l2 与一条渐近线 l 交于点 P，F 是双曲线的右焦点． (1)求证：PF⊥l； (2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率 e＝54，求该双曲 线的方程； (3)延长 FP 分别交双曲线左准线 l1 和左支于点 M， N，若 M 为 PN 的中点，求双曲线的离心率．
• 解析：(1)根据双曲线定义有|MF2|－ |MF1|＝2a，
• |NF2|－|NF1|＝2a， • 两式相加得|MF2|＋|NF2|－|MN|＝4a
＝8.
• (2)注意到P点在双曲线的右支上，且双 曲线右焦点为F1(4,0)，
• 于是由双曲线性质|PF|－|PF1|＝2a＝4， • 而|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝5，
• 2．双曲线的标准方程和几何性质
3.①与双曲线ax22－by22＝1 有共同渐近线的双曲线 的方程都可以写为ax22－by22＝λ(λ≠0)
②以直线ax±by＝0 为渐近线的双曲线方程都可 以写为ax22－by22＝λ(λ≠0)
1．(2010 年安徽高考)双曲线方程为 x2－2y2＝1，
则它的右焦点坐标为( )
4．(2010 年上海春季高考)已知双曲线 C 经过点(1,1)， 它的一条渐近线方程为 y＝ 3x，则双曲线 C 的标准 方程是________．
解析：设双曲线的方程为：3x2－y2＝λ(λ≠0)