第四章 线性系统的能控性和能观测性-wyz

结论4.3 [能控性PBH秩判据]
证明：只证必要性，反证法
设存在某个特征值i , 使得 Rank[i I - A，B] n， 则 [i I - A，B]的行向量线性相关。从而，存在 0 R n，使得
T [i I - A，B] 0.
T A T， T B 0 i
4 6 7
2 2 0 1 x 0 1 u 1 1 1
2 0 4 det 0 1 1 0, rankQc 3，系统完全能控。 1 1 1
PBH秩判据
Popov, Belevitch, Hautus
定义4.5[一致完全能控/能达]
对线性时变系统 ：x A(t ) x B(t )u， 则称系统为一致能控 / 能达。 tJ
若对任意初始时刻t0 J , 系统均是完全能控 / 能达的，
注：一致完全能控/能达是时变系统的一种特性。 对线性定常系统，系统完全能控/能达一定 一致完全能控/能达。
i 0,1, 2,...n -1
由凯莱-哈密顿定理：
An , An 1 , ...均可由I , A, A2 ,..., An 1来表示，从而
T Ai B 0，
i 0, 1, 2, ...
由此可知： T
Ai t i B 0, t [0, t1 ], i 0,1, 2,... i! 0 T [ I - At 1 22 1 33 A t - A t ...]B T e - At B, t [0, t1 ] 2! 3!
4.5 对偶性原理 4.6 能控规范形和能观测规范形：单输入单输出 4.7 能控规范形和能观测规范形：多输入多输出 4.8 连续时间线性时不变系统的结构分解
4.3 连续时间线性时不变系统的能观测性判据
格拉姆矩阵判据
秩判据 PBH秩判据 约当规范形判据
能观测性指数
格拉姆矩阵判据
Q [b1 , b2 ,..., bp | Ab1 , Ab2 ,..., Abp | ... | A 1b1 , A 1b2 ,..., A 1b p ] 中从左开始搜索n个线性无关的列，并如下排列 b1，Ab1，...,A1 1b1 ; b2，Ab2，...,A2 1b2 ; ... br，Abr，...,Ar 1br 这里，1 2 ... r n.
由此得
T [ B | AB | A2 B | ... | An -1B ] T Qc 0.
这与 rankQc n 矛盾。
下证必要性，反证法
假设 rankQc n, 即行向量线性相关. 从而，0 R n , 使得
T Qc T [ B | AB | | An-1 B] 0 T Ai B 0,
系统完全能控 Wc [0, t1 ]非奇异 系统完全能达
秩判据
结论4.2 [能控性秩判据]
证：先证充分性，反证法
假设系统不完全能控，则对任意时刻t1 Wc [0, t1 ] e
0 t1 At
BB e
T AT t
dt 为奇异阵。
从而， 0 R n，使得 0 Wc [0, t1 ] e
• 充分性的证明由于要用到后面章节的知识，所以 在后续章节的学习中将会对充分性证明进行讲解； • 但充分性证明中给出一个结论：对状态方程作非 奇异变换，不改变系统的能控性。
约当规范形判据
结论4.4 [能控性约当规范形判据1]
证明：对系统的约当规范性，可以组成PBH秩判别矩阵：
s 1 s 2 . [ sI A, B] . . s n
例 2：
若有x(t0)=0, 无论如何选取u(t), 对所有t>=t0,x(t)恒为0； 若u(t)=0,无论初始状态x(t0)取 多少，对所有t>=t0,y(t)恒为0。
• 上述对能控性和能观测性的讨论，只是对这两个 概念的一种直观和不严密的说明； • 只能用于解释和判断非常直观、非常简单系统的 能控性和能观测性； • 为了揭示能控性和能观测性的本质，实现复杂系 统的分析，必须要给出严格的定义。
类似可定义：一致完全能观测
第4章 线性系统的能控性和能观测性
4.1 能控性和能观测性的定义
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
4.3 连续时间线性时不变系统的能观测性判据
4.4 连续时间线性时变的能控性和能观测性
4.5 对偶性原理 4.6 能控规范形和能观测规范形：单输入单输出 4.7 能控规范形和能观测规范形：多输入多输出 4.8 连续时间线性时不变系统的结构分解
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
格拉姆矩阵判据
秩判据
PBH判据
约当规范形判据
能控性指数
格拉姆矩阵判据
证：1).充分性
对任意x0 0，因为Wc [0, t1 ]可逆，可构造 u (t ) - B e
T AT t
Wc 1[0, t1 ]x0， t [0，t1 ]
在u (t )作用下，x(t )在t1时刻为： x(t1 ) e x0 e A(t1 ) Bu ( )d
At1 0 t1
e x0 e { e
At1 At1 0
t1
A
BB e
T
AT
d }Wc 1[0, t1 ]x0
e At1 x0 e At1Wc [0, t1 ] Wc 1[0, t1 ]x0 e At1 x0 e At1 x0 0. 由定义，系统完全能控。
这表明： Wo [0, t1 ]非奇异下，可由系统的输出来得到系统的 在 初始状态x0 0，由x0的任意性，系统完全能观测。
必要性（反证法）
若Wo [0, t1 ]奇异，则存在非零向量x0 （选为初始状态），使得
T B 0， T AB= T B=0， ... T An-1B=0 i
T [B AB A n-1B] T Q c 0 rankQ c n.
又注意到：在复数域上，除特征根i外，对所有的s均有 rank[sI - A] n 另一式子成立。
能观测性的定义 定义4.6 [一个状态不能观测]
y (t )
0
t0 t1
t
由于输入u的等价状态可以等同于初始状态，并且 能观测性只讨论状态由输出的可反映性，所以状 态方程、输出方程中均将 u的相关项去掉。 直观上，不能观测状态x0具有：输出 y(t)对以x0为 初始状态的运动响应x0u(t)具有过滤作用；
4.1 能控性和能观测性的定义
能控性和能观测性的直观讨论
能控性的定义
能观测性定义
能控性和能观测性的直观讨论
动态系统数学模型
• 如果系统内部每个状态变量都可由输入完全影响， 则系统的状态为完全能控； • 如果系统内部每个状态变量都可由输出完全反映， 则系统的状态为完全能观测。
例 1：
定义4.10 [能控性指数]
当 k=n时，Qk即为前面讲到的能控性判别矩阵。
结论4.8 [能控性判据]
能控性指数集：
考虑完全能控系统
x Ax Bu， Rn , u R p x
设 rankB r , B [b1 , b2 ,..., bp ]且b1 , b2 ,..., br 线性无关. 在
证：先证充分性
已知Wo [0,t1 ]非奇异，对区间[0,t1 ]上的任意输出y(t ),构造 W [0, t1 ] e C y (t )dt W [0, t1 ] e C T Ce At x0 dt
-1 o AT t T 0 -1 o AT t 0 t1 t1
Wo-1[0, t1 ]Wo [0, t1 ]x0 x0
t1
AT t
x0 ]dt 0
这与x0 0矛盾， 所以存在时刻t1，使得 Wc [0, t1 ] 非奇异。
注：对线性定常系统
系统完全能控 Wc [0, t1 ]非奇异 系统完全能达
注 1)此判据的意义在于理论分析和推导，不 在于具体判别中的应用； 2)对完全能控连续时间线性时不变系统， 给出了使任意非零初态在有限时间内转移到 原点的控制输入的构造关系； 3)对线性定常系统：
T 0
t1
AT t
x0 ] [ B e
T
T
AT t
x0 ]dt = || B e
0
x0 ||2 dt
B e
T
AT t
x0 0
另一方面，系统完全能控，对上述x0存在控制u (t )和时刻t1， 使得 x(t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu (t )dt 0

b1

b2 . . .

bn

对s i , i [1,2,... n], rank[ sI A, B ] n成立，当且仅当b i 0, i [规范形判据2]
pn
能控性指数
At1 0 t1
x0 e At Bu (t )dt
0
t1
由此可知
|| x0 || x x0 [ e At Bu (t )dt ]T x0
2 T 0 0 t1
{ u (t ) B e
T T 0
t1
AT t
dt}x0
= u (t )[ B e
T T 0
结论：
max{ 1 , 2 ,..., r }. { 1 , 2 ,..., r }称为系统的能控性指数集。
第4章 线性系统的能控性和能观测性
4.1 能控性和能观测性的定义
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据