小专题(八) 与角有关的计算
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 两外角平分线问题(解析版)
两外角平分线问题类型一三角形两外角平分线问题1．如图所示在△ABC中分别延长△ABC的边AB AC到D E △CBD与△BCE的平分线相交于点P 爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：①若△A＝50° 则△P＝65°＝90°－502︒；②若△A＝90° 则△P＝45°＝90°－902︒；③若△A＝100° 则△P＝40°＝90°－1002︒.(1)根据上述规律若△A＝150° 则△P＝________；(2)请你用数学表达式写出△P与△A的关系；(3)请说明(2)中结论的正确性．【答案】（1）15°；（2）△P＝90°－12△A；（3）见解析.【解析】【详解】【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质证明.【试题解析】(1) △P＝90°－1502︒=15°；(2)△P＝90°－△A；(3)因为△DBC是△ABC的一个外角所以△DBC＝△A＋△ACB.因为BP 是△DBC 的平分线所以△PBC ＝△A ＋△ACB.同理可得△PCB ＝△A ＋△ABC.因为△P ＋△PBC ＋△PCB ＝180°所以△P ＝180°－(△PBC ＋△PCB)＝180°－＝180°－＝90°－△A.【方法点睛】本题目是一道规律探究题 先猜想后证明 主要利用外角的性质 三角形的内角和来证明. 2．如图 BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线 若60P ∠=︒ 则A ∠的大小为（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据三角形内角和与△P 得出△PBC+△PCB 然后根据角平分线的性质得出△ABC 和△ACB 的外角和 进而得出△ABC+△ACB 即可得解.【详解】△60P ∠=︒△△PBC+△PCB=180°-△P=180°-60°=120°△BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线△△DBC+△ECB=2（△PBC+△PCB ）=240°△△ABC+△ACB=180°-△DBC+180°-△ECB=360°-240°=120°△△A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用熟练掌握即可解题.3．如图在△ABC中△ABC和△ACB的外角平分线交于点O设△A=m则△BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和可得△ABC+△ACB根据角的和差可得△DBC+△BCE根据角平分线的定义可得△OBC+△OCB根据三角形的内角和可得答案．【详解】解：如图：由三角形内角和定理得△ABC+△ACB=180°-△A=180°-m由角的和差得△DBC+△BCE=360°-（△ABC+△ACB）=180°+m由△ABC和△ACB的外角平分线交于点O得△OBC+△OCB=12（△DBC+△BCE）=90°+12m由三角形的内角和得△O =180°-（△OBC +△OCB ）=90°-12m ．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理 利用三角形内角和定理 角的和差 角平分线的定义是解题关键． 4．如图 已知在ABC ∆中 B 、C ∠的外角平分线相交于点G 若ABC m ∠=︒ ACB n ∠=︒ 求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】 运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：△B 、△C 的外角平分线相交于点G在BCG ∆中△BGC=180°-（12△EBC+12△BCF ）=180°-12（△EBC+△BCF ）=180°-12（180°-△ABC+180°-△ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．5．如图 点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点 延长BP 交AC 于G 请写出A ∠和CPG ∠【答案】1902CPG A ∠=︒+∠ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含A ∠的式子表示出CBP ∠和BCP ∠的和 再利用三角形外角的性质即可得到A ∠和CPG ∠的数量关系.【详解】解：△180ACB ABC A ∠+∠=︒-∠,△1802(180)180ECB FBC A A ∠+∠=︒⨯-︒-∠=︒+∠,△点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点△CBP ∠+BCP ∠＝11(180)9022A A ︒+∠=︒+∠ 又△CPG ∠＝CBP ∠+BCP ∠ △1902CPG A ∠=︒+∠. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.6．如图 已知射线OE ⊥射线OF B 、A 分别为OE 、OF 上一动点 ABE ∠、BAF ∠的平分线交于C 点.问B 、A 分别在OE 、OF 上运动的过程中 C ∠的度数是否改变？若不变 求出其值；若改变 说明理由.【答案】不变 45C ∠=︒.【解析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到△C=90°-12△O ． 【详解】解：△C 的度数不会改变．△△ABE 、△BAF 的平分线交于C △△CAB=12△FAB △CBA=12△EBA △△C=180°-（△CAB +△CBA ）=180°-12（△ABE+△BAF ） =180°-12（△O+△OAB+△BAF ） =180°-12（△O+180°） =90°-12△O=45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理 角平分线的定义 三角形外角的性质定理 熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型二 多边形两外角平分线问题7．如图 已知点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点．若149A ∠=︒ 91B ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】60°【解析】【分析】根据四边形的内角和公式即可求出120BCD CDA ∠+∠=︒ 然后根据平角的定义即可求出240CDE DCF ∠+∠=︒ 再根据角平分线的定义即可求出120CDP DCP ∠+∠=︒ 最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：因为360A B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=︒ 149A ∠=︒ 91B ∠=︒所以120BCD CDA ∠+∠=︒．因为180CDE CDA ∠+∠=︒ 180BCD DCF ∠+∠=︒所以240CDE DCF ∠+∠=︒．因为点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点 所以12CDP CDE ∠=∠ 12DCP DCF ∠=∠． 所以120CDP DCP ∠+∠=︒所以()18060P CDP DCP ∠=︒-∠+∠=︒．【点睛】此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义 掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．8．如图 五边形ABCDE 中 BCD ∠、EDC ∠的外角分别是FCD ∠、GDC ∠ CP 、DP 分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P 若140A ∠=︒ 120B ∠=︒ 90E ∠=︒ 则P ∠=__________︒．【答案】95【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：()2180-︒n 可得出△BCD 、△EDC 的和 从而得出相邻两外角和 然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：多边形的内角和定理可得五边形ABCDE 的内角和为：()52180-︒=540°△△BCD+△EDC=540°-140°-120°-90°=190°△△FCD+△GDC=360°-190°=170°又△CP 和DP 分别是△BCD 、△EDC 的外角平分线 △()170851122PCD PDC FCD GDC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒根据三角形内角和定理可得：△CPD=180°-85°=95°．故答案为：95．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理 熟悉相关性质是解题的关键． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角 如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒由此可得1∠ 2∠与A ∠ D ∠的数量关系是______；（2）知识应用：如图② 已知四边形ABCD AE DE 分别是其外角NAD ∠和MDA ∠的平分线 若230B C ∠+∠=︒ 求E ∠的度数； （3）拓展提升：如图③ 四边形ABCD 中 90A C ∠=∠=︒ CDN ∠和CBM ∠是它的两个外角 且14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ 求P ∠的度数．【答案】（1）1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）65°；（3）45°【解析】【分析】（1）根据平角的定义即可解答；（2）根据（1）的结论求出MDA NAD ∠+∠ 再根据角平分线的定义求出ADE DAE ∠+∠ 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解；（3）由四边形内角和定理得180ABC ADC ∠+∠=︒ 可求得180MBC NDC ∠+∠=︒ 再由14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠可求得45PBC PDC ∠+∠=︒ 最后利用四边形内角和定理求出P ∠． 【详解】解：（1）如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒△1∠+2∠=A ∠+D ∠故答案为：1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）△230B C ∠+∠=︒△=230MDA NAD ∠+∠︒△AE 、DE 分别是△NAD 、△MDA 的平分线△△ADE =11,22MDA DAE NAD ∠∠=∠ △11()23011522ADE DAE MDA NAD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △180()18011565E ADE DAE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒;（3）△90A C ∠=∠=︒△180ABC ADC ∠+∠=︒△180MBC NDC ∠+∠=︒ △14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ △()111804544CDP CBP CDN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △18045225ABP ADP MBC CBP NDC CDP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒△360()3609022545P A ABP ADP ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质 四边形的内角和定理 角平分线的定义 熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．10．已知如图 四边形ABCD BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC 若△BAD ＝α △BCD ＝β （1）如图1 若α+β＝150° 求△MBC +△NDC 的度数；（2）如图1 若BE 与DF 相交于点G △BGD ＝45° 请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2 若α＝β 判断BE 、DF 的位置关系 并说明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行 理由见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：（1）在四边形ABCD 中 △BAD +△ABC +△BCD +△ADC ＝360°△△ABC +△ADC ＝360°﹣（α+β）△△MBC +△ABC ＝180° △NDC +△ADC ＝180°△△MBC +△NDC ＝180°﹣△ABC +180°﹣△ADC ＝360°﹣（△ABC +△ADC ）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β △α+β＝150°△△MBC +△NDC ＝150°（2）β﹣α＝90°理由：如图1 连接BD由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBG＝12△MBC△CDG＝12△NDC△△CBG+△CDG＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）在△BCD中在△BCD中△BDC+△DBC＝180°﹣△BCD＝180°﹣β 在△BDG中△BGD＝45°△△GBD+△GDB+△BGD＝180°△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD＝180°△（△CBG+△CDG）+（△BDC+△CDB）+△BGD＝180°△12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°△β﹣α＝90°（3）平行理由：如图2 延长BC交DF于H由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBE＝12△MBC△CDH＝12△NDC△△CBE+△CDH＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）△△BCD＝△CDH+△DHB△△CDH＝△BCD﹣△DHB＝β﹣△DHB△△CBE+β﹣△DHB＝12（α+β）△α＝β△△CBE+β﹣△DHB＝12（β+β）＝β△△CBE＝△DHB△BE△DF．【点睛】此题是三角形综合题主要考查了平角的意义四边形的内角和三角形内角和三角形的外角的性质角平分线的意义用整体代换的思想是解本题的关键整体思想是初中阶段的一种重要思想要多加强训练．类型三综合解答11．如图点M是△ABC两个内角平分线的交点点N是△ABC两外角平分线的交点如果△CMB：△CNB＝3：2 那么△CAB＝_________．【答案】36°【解析】【详解】试题分析：由题意得：△NCM=△MBN=12×180°=90°△可得△CMB+△CNB=180°又△CMB：△CNB=3：2 △△CMB=108°△12（△ACB+△ABC）=180°-△CMB=72°△△CAB=180°-（△ACB+△ABC）=36°．考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．12．如图 在△ABC 中 △ABC △ACB 的平分线交于点O D 是△ACF 与△ABC 平分线的交点 E 是△ABC 的两外角平分线的交点 若△BOC =130° 则△D 的度数为 （ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义和平角定义可得△OCD ＝△ACO ＋△ACD ＝90° 根据外角的性质可得BOC OCD D ∠=∠+∠ 继而即可求解．【详解】解：△CO 平分ACB ∠ CD 平分ABC ∠的外角 △12ACO ACB ∠=∠ 12ACD ACF ∠=∠ △180ACB ACF ∠+∠=︒ △()1902OCD ACO ACD ACB ACF ∠=∠+∠=∠+∠=︒ △BOC OCD D ∠=∠+∠△1309040D BOC OCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选择C ．【点睛】本题考查角平分线的定义 平角定义 三角形的外角性质 解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得△OCD＝90° 根据外角的性质求得BOC OCD D∠=∠+∠．13．如图在△ABC中△A=60° BD、CD分别平分△ABC、△ACB M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上BE、CE分别平分△MBC、△BCN BF、CF分别平分△EBC、△ECQ 则△F=________．【答案】15°【解析】【分析】先由BD、CD分别平分△ABC、△ACB得到△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB 在△ABC中根据三角形内角和定理得△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=60° 则根据平角定理得到△MBC+△NCB=300°；再由BE、CE分别平分△MBC、△BCN得△5+△6=12△MBC △1=12△NCB 两式相加得到△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150° 在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出△E=30°；再由BF、CF分别平分△EBC、△ECQ得到△5=△6 △2=△3+△4 根据三角形外角性质得到△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E 利用等量代换得到△2=△5+△F 2△2=2△5+△E再进行等量代换可得到△F=12△E．【详解】解：△BD、CD分别平分△ABC、△ACB △A=60°△△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB△△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=12×（180°-60°）=60°△△MBC+△NCB=360°-60°=300°△BE、CE分别平分△MBC、△BCN△△5+△6=12△MBC △1=12△NCB△△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150°△△E=180°-（△5+△6+△1）=180°-150°=30°△BF 、CF 分别平分△EBC 、△ECQ△△5=△6 △2=△3+△4△△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E即△2=△5+△F 2△2=2△5+△E△2△F=△E △△F=12△E=12×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．14．已知BM 、CN 分别是△1A BC 的两个外角的角平分线 2BA 、2CA 分别是1A BC ∠ 和1A CB ∠的角平分线 如图①；3BA 、3CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的三等分线（即3113A BC A BC ∠=∠ 3113A CB ACB ∠=∠） 如图②；依此画图 n BA 、n CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的n 等分线（即11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n ∠=∠） 且n 为整数． 2n ≥（1）若1A ∠=70︒ 求2A ∠的度数；（2）设1A α∠= 请用α和n 的代数式表示n A ∠的大小 并写出表示的过程；（3）当3n ≥时 请直接写出n MBA ∠+n NCA ∠与n A ∠的数量关系．【答案】（1）02125A ∠=；（2）001=180(180)n A nα∠-- 过程见解析； （3）02()(2)=180n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-∠【解析】【详解】（1）先根据三角形内角和定理求出11A BC A CB ∠+∠ 根据角平分线求出22A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理求出2A ∠即可；（2）先根据三角形内角和定理求出1A BC ∠+1A CB ∠ 根据n 等分线求出n n A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理得出180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠ 代入求出即可（3） 试题分析：试题解析：（1）1=70A ∠︒1118070110A BC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒ △2BA 、2CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的角平分线 △221110552A BC A CB ∠+∠=⨯︒=︒ △218055125A ∠=︒-︒=︒.（2）在△1A BC 中 1A BC ∠+1180ACB α∠=︒-11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n∠=∠ ()()1111180n n A BC A CB A BC ACB n n α∴∠+∠=∠+∠=︒- 180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠()1180180n A nα∴∠=︒-︒- （3）()()22180.n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-⋅∠=︒点睛：本题以三角形为载体主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是180 的性质熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.。
部编数学八年级上册专题08内外角平分线问题(解析版)含答案
专题08 内外角平分线问题类型一一内一外求角1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．（1）求∠E的度数；（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行解答即可；（2）根据（1）中的推导过程进行推论即可．【详解】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,∴∠A =2∠E ，∵∠A =40°，∴∠E =20°.（2）∠A =2∠E .理由如下：∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACD =2∠DCE ，由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠DCE =∠E +∠CBE ，∴∠A +∠ABC =2（∠E +∠CBE ）,∴∠A =2∠E ，【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．2．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到12Ð=Ð，34Ð=Ð，再根据三角形外角性质得1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，13D Ð=Ð+Ð，则2123A Ð=Ð+Ð，利用等式的性质得到12D A Ð=Ð，然后把A Ð的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC Ð的平分线与ACE Ð的平分线交于点D ，∴12Ð=Ð，34Ð=Ð，∵ACE A ABCÐ=Ð+Ð，即1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，∴2123AÐ=Ð+Ð，∵13DÐ=Ð+Ð，∴11301522D AÐ=Ð=´°=°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________．【答案】80°.【解析】【详解】试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，然后整理得到∠PCD=12∠A，再代入数据计算即可得解．在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，∴∠P+∠PCB=12（∠A+∠ABC）=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠PCB，∴∠PCD=12∠A，∴∠BPC=40°，∴∠A=2×40°=80°，即∠BAC=80°．考点：三角形内角和定理．4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D 的度数为（）A．90°+12m°-12n°B．90°-12m°+12n°C．90°-12m°-12n°D．不能确定【答案】C【解析】【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=12m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=12∠ACE=()111809022-=-o o o on n在△BCD中，∠DBC=12m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=1902+o o n，∴∠D=1111180DBC BCD=180********æö-Ð-Ð--+=--ç÷èøo o o o o o o o m n m n 故选C.【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.5．如图，在ABC V 中，点D 在边BA 的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点M ，若∠BAC ＝80°，∠AB C ＝40°，则∠M 的大小为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】【分析】先由80,BAC Ð=° 结合角平分线求解,,MAC MAB ÐÐ 再利用角平分线与40,ABC Ð=°求解ABM Ð，利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠BAC=80°，∴100,DAC Ð=°AM Q 平分,DAC Ð150,2MAC DAC \Ð=Ð=° 130,BAM BAC MAC \Ð=Ð+Ð=°Q ∠ABC=40°，BM 平分ABC Ð，∴∠ABM=20°，∴∠M=1802013030,°-°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和概念是解题的关键．6．如图，已知BD 为ABC V 中ABC Ð的平分线，CD 为ABC V 的外角ACE Ð的平分线，与BD 交于点D ．若∠ABD =20°，50ACD Ð=°，则A D Ð+Ð=（ ）A ．70°B ．90°C ．80°D ．100°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠DCE 、∠ACE 、∠DBC ，根据三角形外角性质求出∠A 、∠D ，即可求出答案．【详解】解：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于D ，∠ABD =20°，∠ACD =55°，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =20°，∠ACD =∠DCE =12∠ACE =50°，∴∠ABC =40°，∠ACE =100°，∴∠A =∠ACE -∠ABC =60°，∠D =∠DCE -∠DBC =50°-20°=30°，∴∠A +∠D =90°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．如图所示，在Rt ABC △中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB=（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【答案】B【解析】【分析】过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，∴BE ，CE 是角平分线，∴ED EH =，ED EF =．∴EH EF =．∵EH AB ^，EF AC ^，∴AE 是BAF Ð的角平分线．∵60CAB Ð=°，∴30CBA Ð=°，60=°∠BAE ，∴75ABE Ð=°，由三角形内角和可得：45AEB Ð=°．故答案为：45．【点评】本题考查的知识点是角平分线性质，综合利用角平分线的性质是解此题的关键．8．如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2，⋯，∠A 3BC 与∠A 3CD 的平分线相交于点A 4，得∠A 4，则∠A 4的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知11118022A A Ð=Ð=´°，212118022A A Ð=Ð=´°，¼，依此类推可知4A Ð的度数【详解】解：ABC ÐQ 与ACD Ð的平分线交于点1A ，11118022A ACD ACB ABC \Ð=°-Ð-Ð-Ð，11180()(180)22ABC A A ABC ABC =°-Ð+Ð-°-Ð-Ð-Ð，11804022A =Ð=´°=°，同理可得，21211802022A A Ð=Ð=´°=°，¼4480521A \Ð=´°=°．故选：A ．【点睛】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．类型二 内外角分线进阶9．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的邻补角的平分线相交于点P ，且∠D +∠C ＝210°，则∠P ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】【分析】利用四边形内角和是360°可以求得150DAB ABC Ð+Ð=°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 PAB ABP Ð+Ð的度数，所以根据ABP D 的内角和定理求得P Ð的度数即可．【详解】解：210D C Ð+Ð=°Q ，360DAB ABC C D Ð+Ð+Ð+Ð=°，150DAB ABC \Ð+Ð=°．又DAB ÐQ 的角平分线与ABC Ð的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC \Ð+Ð=Ð+Ð+°-Ð=°+Ð+Ð=°，180()15P PAB ABP \Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．10．如图，在V ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠DOC ＝48°，则∠D ＝_____°．【答案】42【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝12∠ACE ，∵∠ACB +∠ACE ＝180°，∴∠OCD ＝∠ACO +∠ACD ＝12（∠ACB +∠ACE ）＝12×180°＝90°，∵∠DOC ＝48°，∴∠D ＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角．11．如图，等腰ABC V 中，顶角42A Ð=°，点E ，F 是内角ABC Ð与外角ACD Ð三等分线的交点，连接EF ，则BFC Ð=_________°．【答案】14【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC 和∠ACB ，再根据三角形外角的性质可求∠ACD ，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC 和∠BCF ，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC ．【详解】解：∵等腰△ABC 中，顶角∠A=42°，∴∠ABC=∠ACB=12×（180°-42°）=69°，∴∠ACD=111°，∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，∴∠FBC=13×69°=23°，∠FCA=23×111°=74°，∴∠BCF=143°，∴∠BFC=180°-23°-143°=14°．故答案为：14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．【答案】 48°， 24°， 96°×1 (2n【解析】【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝96°，∴∠A1＝48°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝2×2∠A2＝96°，∴∠A2＝24°，∴∠A＝2n n AÐ，∴1962nnAæöÐ=°´ç÷èø．故答案为48°，24°，96°×1 ()2n．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数【答案】∠P=25°．【解析】【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．【详解】解：延长ED，BC相交于点G．在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=12（∠DCB-∠CDG）=1 2∠G=12×50°=25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．类型三综合解答14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．【答案】不变，45°【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【详解】解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠4＝12∠ABY＝12（90°+∠OAB）＝45°+12∠OAB，即∠4＝45°+∠1，又∵∠4＝∠C+∠1，∴∠C＝45°．【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.（1）∠DBE 的度数;（2）若∠A=70,求∠D 的度数;（3）若∠A=a ,求∠E 的度数(用含a 的式子表示).【答案】（1）90DBE Ð=°；（2）35D Ð=°；（3）1902E a Ð=°-【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð 再根据平角的定义可得出结论；（2）根据角平分线的定义可得11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð 再根据三角形外角的性质可推出2A D Ð=Ð则可求出∠D 的度数；（3）由第（2）问的结论可知1122D A a Ð=Ð=，再加上第（1）问的结论90DBE Ð=°，则可表示出∠E 的度数.【详解】（1）∵BD 平分ABC Ð，BE 平分,FBC Ð∴11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð∵180ABF Ð=°∴1()902DBE DBC EBC ABC FBC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°（2）∵CD 平分ACG Ð, BD 平分ABCÐ∴11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð∵ACG A ABC Ð=Ð+Ð∴22DCG A DBCÐ=Ð+Ð∵DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴222DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴2A DÐ=Ð∴11703522D A Ð=Ð=´°=°（3）由（2）知1122D A a Ð=Ð=∵90DBE Ð=°∴1902E a Ð=°-【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.16．已知，在四边形ABCD 中，∠F 为四边形ABCD 的∠ABC 的平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A ＝α，∠D ＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F ＝____（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F ，且∠F ＝___（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件___时，不存在∠F ．【答案】（1）12（α+β）﹣90°；（2）90°﹣12（α+β）；（3）α+β＝180°．【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．【详解】解：（1）如图：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠DCE，∴∠F+∠FBC＝12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝12（∠A+∠D）+12∠ABC﹣90°，∴∠F＝12（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝12（α+β）﹣90°；（2）如图3，由（1）可知，∠BCD ＝360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ，∴∠DCE ＝180°﹣（360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ）＝∠A+∠D+∠ABC ﹣180°，∴∠FCE ＝∠F+∠FBC ，∵∠FBC ＝12（360°﹣∠ABC ），∠FCE ＝180°﹣12∠DCE ，∴∠F=∠FCE ﹣∠FBC=180°﹣12（∠A+∠D+∠ABC ﹣180°）﹣12（360°﹣∠ABC ），∴∠F=90°﹣12（∠A+∠D ）∴∠F ＝90°﹣12（α+β）；（3）当α+β＝180°时，∴∠F ＝90°﹣118002´°=，此时∠F 不存在．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．17．如图，90MON Ð=°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，BC 是ABN Ð的平分线，BC 的反方向延长线与BAO Ð的平分线交于点D ．①若60BAO Ð=°，则D Ð为多少度？请说明理由．②猜想：D Ð的度数是否随A 、B 的移动发生变化？请说明理由．（2）如图2，若13ABC ABN Ð=Ð，13BAD BAO Ð=Ð，则D Ð的大小为 度（直接写出结果）；（3）若将“90MON Ð=°”改为“MON a Ð=（0180a °<<°）”，且1ABC ABN n Ð=Ð，1BAD BAO n Ð=Ð，其余条件不变，则D Ð的大小为 度（用含a 、n 的代数式直接表示出米）．【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D 的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3）a n【解析】【分析】（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=12∠ABN=75°、∠BAD=12∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D 度数；②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=n a +β，由∠D=∠ABC-∠BAD 得出答案．【详解】解：（1）①45°∵∠BAO=60°，∠MON=90°，∴∠ABN=150°，∵BC 平分∠ABN 、AD 平分∠BAO ，∴∠CBA=12∠ABN=75°，∠BAD=12∠BAO=30°∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，②∠D 的度数不变．理由是：设∠BAD=α，∵AD 平分∠BAO ，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，∵BC 平分∠ABN ，∴∠ABC=45°+α，∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；（2）设∠BAD=α，∵∠BAD=13∠BAO，∴∠BAO=3α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，∵∠ABC=13∠ABN，∴∠ABC=30°+α，∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；（3）设∠BAD=β，∵∠BAD=1n∠BAO，∴∠BAO=nβ，∵∠AOB=α°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，∵∠ABC=1n∠ABN，∴∠ABC=an+β，∴∠D=∠ABC-∠BAD=an+β-β=an.【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．。
人教版初中八年级上册数学方法技巧专题练习：三角形中有关角度的计算
方法技巧专题：三角形中有关角度的计算——全方位求角度，一网搜罗◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．◆类型二综合内、外角的性质求角度5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．◆类型三在三角板或直尺中求角度8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°第8题图第9题图9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX 的大小．◆类型四与平行线结合求角度12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()A．60°B．25°C．35°D．45°第12题图第13题图13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．◆类型五与截取或折叠结合求角度14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于()A．42°B．66°C．69°D．77°第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()A．120°B．180°C．240°D．300°16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．参考答案与解析1．A 2.67.5° 3.90604．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－∠C＝18°.5．C6．解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝12∠2＝35°，∴∠BAC＝∠1＋∠3＝105°.7．(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD －∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.(2)解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°.在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，即3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.8．D9.C10.C11．解：(1)150°90°(2)不变化．因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°.因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°，所以∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.12．C13.70°14.C15．C解析：因为∠1＝180°－∠AMN，∠2＝180°－∠ANM，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN)．又因为∠ANM＋∠AMN＝180°－∠A＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.16．40°解析：由折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.因为∠1＋∠A′EA＝180°，∠2＋∠A′DA＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，所以∠AED＋∠ADE＝140°，所以∠A＝40°.【变式题】解：如图，因为∠A＝65°，∠B＝75°，所以∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF＋∠CFE＋∠C′EF＋∠C′FE)－∠1＝360°－280°－20°＝60°.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
经纬度计算距离和方位角
经纬度计算距离和方位角方位角（azimuthangle）：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。
（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。
（1）真方位角。
某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。
由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。
通常在精密测量中使用。
（2）磁方位角。
地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。
在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。
由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Aｍ表示。
（3）坐标方位角。
由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。
不同的方位角可以相互换算。
军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。
换算作：360度=6000密位。
（二）三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角。
同一直线的三种方位角之间的关系为：Ａ＝Ａｍ＋δＡ＝a＋γa＝Ａｍ＋δ－γ（三）坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角每条直线段都有两个端点，若直线段从起点1到终点2为直线的前进方向，则在起点1处的坐标方位角a12称为直线12的正方位角，在终点2处的坐标方位角a21称为直线12的反方位角。
a反=a正±180°式中，当a正＜180°时，上式用加180°；当a正＞180°时，上式用减180°。
2．坐标方位角的推算实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。
北师大版 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第二单元“角”篇【十二大考点】(原卷版+解
篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。
于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？在结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。
《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第二单元“角”篇【十二大考点】（原卷版）专题解读本专题是第二单元“角”篇。
本部分内容主要是角的认识及分类，量角器的使用，画角的方法以及角度计算问题等，知识涵盖较广，考点和题型划分较多，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。
目录导航目录【考点一】角的认识 (3)【考点二】数角 (4)【考点三】量角器的认识与使用 (6)【考点四】用量角器量角 (10)【考点五】用量角器画角 (11)【考点六】用三角尺画角 (12)【考点七】角的分类 (13)【考点八】角度计算问题其一：直接求角的度数 (14)【考点九】角度计算问题其二：图形中角的度数 (15)【考点十】角度计算问题其三：折叠图形中角的度数 (16)【考点十一】角度计算问题其四：三角尺中角的度数 (17)【考点十二】角度计算问题其五：钟表中角的度数 (19)典型例题【考点一】角的认识。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 三角形折叠求角(解析版)
三角形折叠求角类型一 三角形折叠1．如图 在折纸活动中 小明制作了一张三角形纸片(即ABC ∆) 点D 、E 分别在边AB 、AC 上 将ABC ∆沿着DE 折叠压平后点A 与'A 重合 若75A ∠=︒ 则12∠+∠= ( )A ．150︒B ．210︒C ．105︒D ．75︒【答案】A【解析】【分析】 连接A A ' 根据折叠的性质可得∠EA D '=∠EAD=75° 然后根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：连接A A '由折叠的性质可得∠EA D'=∠EAD=75°∠∠1和∠2分别为∠EA A'和∠DA A'的外角∠∠1=∠EA A'＋∠EAA'∠2=∠DA A'＋∠DAA'∠∠1＋∠2=∠EA A'＋∠EAA'＋∠DA A'＋∠DAA'=（∠EA A'＋∠DA A'）＋（∠EAA'＋∠DAA'）=∠EA D'＋∠EAD=150°故选A．【点睛】此题考查的是三角形中的折叠问题掌握折叠的性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．2．如图把△ABC纸片沿DE折叠当A落在四边形BCDE内时则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】本题问的是关于角的问题当然与折叠中的角是有关系的∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∠∠ABC纸片沿DE折叠∠∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°∠∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2)∠∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]= 12(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2 故选择B项.【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质 解题的关键是掌握折叠的性质.3．已知：如图所示 将△ABC 的∠C 沿DE 折叠 点C 落在点C '处 设,C α∠= ∠AEC ′=β ∠BDC '=γ 则下列关系式成立的是（ ）A ．2α=β+γB ．α=β+γC ．α+β+γ=180°D ．α+β=2γ【答案】A【解析】【分析】 通过平角关系用∠CEC ′、∠CDC ′表示出β、γ 通过三角形的内角和用∠CEC ′、∠CDC ′表示出∠C 、∠C ′ 计算可得结论．【详解】解：由折叠的性质知：∠C =∠C ′=α．∠∠AEC ′+∠CEC ′=180° ∠BDC ′+∠CDC ′=180°∠β=180°-∠CEC ′ γ=180°-∠CDC ′．∠β+γ=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠∠C +∠CEC ′+CDC ′+∠C ′=360°∠2α=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠β+γ=2α．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和 掌握折叠的性质 用含∠CEC ′、∠CDC ′表示出α、β、γ是解决本题的关键． 4．如图,将∠ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数 进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∠1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∠11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒ ∠180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理 掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 5．如图 三角形纸片ABC 中 ∠A ＝65° ∠B ＝75° 将∠C 沿DE 对折 使点C 落在∠ABC 外的点C′处 若∠1＝20° 则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C【解析】【分析】 先根据平角的定义和翻折变换的性质求出∠DEC 再根据三角形内角和定理求出∠CDE 即可得出答案.解：∠A=65° ∠B=75° ∠1＝20°∠∠C=∠C′ =180°-∠A -∠B=40°由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DE C′∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DE C′-∠1=180°∠∠DEC=100°∠∠CDE=∠ED C′=180°-∠C -∠DEC=40°∠∠2=180°-∠CDE -∠ED C′=100°.故选C.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质与三角形内角和定理 解题关键是准确识图 理清题目中角的关系. 6．如图 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 当点A 落在四边形BCED 的外部时 测量得∠1＝70° ∠2＝132° 则∠A 为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°【答案】B【解析】【分析】 利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∠1=70∠︒ 2=132∠︒∠3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选：B ．本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理 关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．7．如图所示 把ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE ' 如果36A EC '∠=︒ 那么AED =∠___度．【答案】72【解析】【分析】根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变 只是位置改变 对应边和对应角相等 可以得到AED A ED '∠=∠ 再根据平角的定义即可求解．【详解】 ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE '∴AED A ED '∠=∠180AED A ED A EC ''∠+∠+∠=︒ 36A EC '∠=︒∴18036722AED ︒-︒∠==︒． 故答案为：72．【点睛】本题考查了折叠的性质 三角形折叠中的角度问题 它属于轴对称 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图 把ABC 纸片沿DE 折叠 使点B 落在图中的B '处 设'B ∠EC ∠= 1 'B ∠DA ∠=2.若B ∠=25︒ 则∠2∠-1=______︒【答案】50【解析】【分析】由折叠性质求得'25B ∠=︒ 由三角形的外角性质 用1∠表示 2∠ 进而求得21∠-∠．【详解】解：25B ∠=︒'25B B ∠∠∴==︒31'125B ∠∠∠∠=+=+︒2312525B ∠∠∠∠=+=+︒+︒2150∠∠∴-=︒故答案为50．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质 折叠的性质 关键是根据三角形的外角的性质表示出1∠与2∠的关系式．类型二多边形折叠9．如图将四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处若∠1+∠2＝90°则∠A的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】A【解析】【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∠四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处∠∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2）∠∠1+∠2=90°∠∠3+∠4=180°-12×90°=180°-45°=135°在∠AEF中∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理翻折变换的性质平角的定义熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键．10．如图所示在四边形纸片ABCD中∠A=80° ∠B=70° 将纸片沿着MN折叠使C D分别落在直线AB 上的C'D处则∠AMD'+∠BNC'等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】【分析】 首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210° 再利用折叠性质可得∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C 即∠'MD B +∠'NC A =210° 从而得出∠'MD A +∠'NC B =150° 最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】∠∠A=80° ∠B=70°∠∠D+∠C=360°−∠A −∠B=210°由折叠性质可得：∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C∠∠'MD B +∠'NC A =210°∠∠'MD A +∠'NC B =360°−(∠'MD B +∠'NC A )=150°∠∠'AMD +∠'BNC =360°−(∠'MD A +∠'NC B )−(∠A +∠B )=60°故选：B .【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质 熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图所示 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 使点B 落在点B ′处 若EB ′恰好与BC 平行 且∠B ＝80° 则∠CDE ＝_____°．【答案】130【解析】【分析】先求出∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE根据平行线的性质得到∠B′DC=80° 进而得到∠BD B′=100° ∠BDE=50° 即可求出∠CDE＝130°．【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE∠EB′∠BC∠∠B′=∠B′DC=80°∠∠BD B′=180°-∠B′DC=100°∠∠BDE=∠B′DE=50°∠∠CDE＝180°-∠BDE=130°．故答案为：130【点睛】本题考查了折叠的定义平行线的性质邻补角的定义等知识熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．12．如图△ABC中将边BC沿虚线翻折若∠1+∠2=102°,则∠A的度数是______．【答案】51°【解析】【分析】延长折叠后的直线交于A’ 根据折叠的性质及内角和即可求解.【详解】如图延长折叠后的直线交于A’由于折叠∠∠1+2∠3=180° ∠2+2∠4=180°∠∠1+∠2=102° ∠1+2∠3+∠2+2∠4=360°∠2∠3+2∠4=258°∠∠3+∠4=129°∠∠A=∠A’=180°-（∠3+∠4）=51°【点睛】此题主要考查折叠的性质 解题的关键是根据折叠作出辅助线进行求解.13．将一张纸如图所示折叠后压平 点F 在线段BC 上 EF 、GF 为两条折痕 若∠1＝57° ∠2＝20° ∠3的度数_____度【答案】23【解析】【分析】根据折叠的性质可知 1EFB '∠=∠ 3GFC '∠=∠ 然后对123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒计算求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知 157EFB '∠=∠=︒ 3GFC '∠=∠∠123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒ ∠1805757203232︒-︒-︒-︒∠==︒ 故答案为：23°．【点睛】本题考查了折叠的性质 角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．14．利用折纸可以作出角平分线 如图1则OC 为AOB ∠的平分线 如图2、图3 折叠长方形纸片 OC OD 均是折痕 折叠后 点A 落在点'A 点B 落在点'B 连接'OA ．①如图2 若点'B 恰好落在'OA 上 且32AOC ∠=︒ 则BOD ∠=__________；②如图3 当点'B 在'COA ∠的内部时 连接'OB 若44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒ 求''A OB ∠的度数为__________．【答案】 58︒ 30【解析】【分析】①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 计算求解即可；② 由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 求出A OD '∠的值 进而根据A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠计算求解即可．【详解】解：①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 32AOC ∠=︒∠58BOD ∠=︒故答案为：58°．②由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒∠1802446131A OD '∠=︒-⨯︒-︒=︒∠30A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．类型三 多次折叠15．如图所示 把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后 3个顶点不重合 那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A．180°B．270°C．360°D．无法确定【答案】C【解析】【详解】由题意知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'∠∠B=∠B' ∠C=∠C' ∠A=∠A'∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360° 故选C．16．如图将∠ABC沿DE、HG、EF翻折三个顶点均落在点O处若∠1＝131° 则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°【答案】A【解析】【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．【详解】由折叠得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C∠∠A+∠B+∠C＝180°∠∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°∠∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°∠∠1+∠2＝180°∠∠1＝131°∠∠2＝180°﹣131°＝49°故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和解题的关键是掌握折叠的性质、三角形内角和.17．如图a是长方形纸带∠DEF=25° 将纸带沿EF折叠成图b 再沿BF折叠成图c 则图c中的∠CFE的度数是____________°．【答案】105°【解析】【详解】由图a知∠EFC=155°.图b中∠EFC=155° 则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中∠GFC=130° 则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中因为有平行线和角平分线所以存在一个基本的图形等腰三角形即图b中的等腰∠CEF其中CE=CF这个等腰三角形是解决本题的关键所在.18．如图1 ∠ABC中沿∠BAC的平分线AB1折叠剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠点B n与点C重合无论折叠多少次只要最后一次恰好重合我们就称∠BAC是∠ABC的好角.（1）如图2 在∠ABC中∠B>∠C 若经过两次折叠∠BAC是∠ABC的好角则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20° 则此三角形的最大角为______时该三角形的三个角均是此三角形的好角．【答案】 B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ∠AA 1B 1=∠B 由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C 根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时 ∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C 进而可得经过n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n∠C 因为最小角是20º 是△ABC 的好角 根据好角定义 设另两角分别为20mº 4mn° 由题意得20m+20mn+20=180° 所以m(n+1)=8 再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子 从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1 ∠A 1B 1B 2=∠C∠∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C∠∠B=2∠C故答案为∠B=2∠C（2）如图：∠根据折叠的性质知 ∠B=∠AA 1B 1 ∠C=∠A 2B 2C ∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2∠根据三角形的外角定理知 ∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∠根据四边形的外角定理知 ∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B -2∠C=180°根据三角形ABC 的内角和定理知 ∠BAC+∠B+∠C=180°∠∠B=3∠C ；∠当∠B=2∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；当∠B=3∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角 则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B=n∠C ； ∠最小角为20°∠设另两个角为20m°和20mn°∠20°+20m°+20mn°=180° 即m(1+n)=8∠m 、n 为整数∠m=1 1+n=8；或m=2 1+n=4；或m=4 1+n=2.解得：m=1 n=7；m=2 n=3 m=4 n=1∠另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°∠此三角形最大角为140°、120°或80°时 三个角均是此三角形的好角.故答案为140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．19．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 点A 在射线OP 上运动 点B 在射线OM 上运动 连接AB ．（1）如图1 已知AC BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线①点A B 在运动的过程中 ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化 请说明理由；若不发生变化 试求出ACB ∠的大小．②如图2 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 记作点C ' 则ABO ∠=_______︒；如图3 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线MN 上 记作点C '' 则ABO ∠=________︒．（2）如图4 延长BA 至G 已知BAO ∠ OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E F 在AEF ∆中 如果有一个角是另一个角的32倍 求ABO ∠的度数． 【答案】（1）∠ACB 的大小不会发生变化 ∠ACB =45°；（2）30 60；（3）60°或72°．【解析】【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 得到∠AOB=90° 根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270° 根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM 于是得到结论；②图2中 由于将∠ABC 沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 得到∠CAB=∠BAQ 由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB 根据三角形的内角和即可得到结论；图3中根据将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上得到∠ABC=∠ABN 由于BC平分∠ABM 得到∠ABC=∠MBC 于是得到结论；（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ 进而得出∠E的度数由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90° 在∠AEF中由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答．【详解】（1）①∠ACB的大小不变∠直线MN与直线PQ垂直相交于O∠∠AOB=90°∠∠OAB+∠OBA=90°∠∠PAB+∠ABM=270°∠AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线∠∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM∠∠BAC+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°∠∠ACB=45°；②∠图2中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线PQ上∠∠CAB=∠BAQ∠AC平分∠PAB∠∠PAC=∠CAB∠∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°∠∠AOB=90°∠∠ABO=30°∠图3中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上∠∠ABC=∠ABN∠BC平分∠ABM∠∠ABC=∠MBC∠∠MBC=∠ABC=∠ABN∠∠ABO=60°故答案为：30 60；（2）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E∠∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线∠∠EAF=90°．在∠AEF中∠有一个角是另一个角的32倍故有：①∠EAF=32∠E ∠E=60° ∠ABO=120°（不合题意舍去）；②∠EAF=32∠F ∠E=30° ∠ABO=60°；③∠F=32∠E ∠E=36° ∠ABO=72°；④∠E=32∠F ∠E=54° ∠ABO=108°（不合题意舍去）；．∠∠ABO为60°或72°．【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候一定要注意外角与内角之间的联系不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.。
专题08 立体几何解答题常考全归类(精讲精练)(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。
20 专题二十：角度的计算(8)——折叠问题(方法专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)
专题二十：角度的计算（8）——折叠问题专题导入如图，将长方形ABCD折叠，使得点D与点B重合。
思考：①∠BEF与∠DEF的关系；②∠CFE与∠D’FE的关系。
方法点睛折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形是“一样的”，所以有以下两个常用结论：①对应角相等；②对应边相等。
在折叠的图形中计算角度，必然用上对应角相等的性质。
典例精讲1．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，若EA′恰好平分∠FEB．（1）判断∠FEA与∠A′EB的大小关系，并说明理由；（2）求∠FEB的度数．举一反三2．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF ＝75°，则∠AED′等于多少？3．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）图中有哪几条角平分线，他们各是哪个角的平分线？（2）如果射线NA′平分∠DNE，那么射线CB′平分∠ECF吗？为什么？专题过关4．如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且∠MFB=1 2∠MFE．则∠AEN＝（）A．30°B．36°C．45°D．72°5．如图所示，把一张长方形的纸片按折痕EF那样折叠后，C、D两点分别落在N、M点处，若∠AEM＝80°，则∠DEF的度数为．6．如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点B落在B′处，顶点A落在A′处，EC、ED为折痕，并且点E、A′、B′在同一条直线上．若∠BED＝32°，求∠CED和∠AEC 的度数．7．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点A'处，BC为折痕．（1）如图1，若∠1＝25°，求∠A'BD的度数；（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA'重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．8．如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，M、N分别在射线BC和射线AD上，连接EM，EN，将三角形MBE沿EM折叠（把物体的一部分翻转和另一部分贴拢），点B落在点B′处；将三角形NAE沿EN折叠，点A落在点A′处．（1）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，用直尺、量角器画出射线EB′与EA′；（2）若∠MEB＝30°，∠NEA＝45°，求∠A'EB'的度数；（3）若∠MEB＝α，∠NEA＝β，用含α、β的代数式表示∠A'EB'的度数．9．把一长方形（四个角为90°）纸片ABCD的一角折起来，折痕为AE，使∠EAB′＝∠DAB′，如图1．（1）求∠EAD；（2）再沿AC对折长方形ABCD，使B点落在F点上，如图2．若∠EAF＝80°，求∠CAB′．10．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝°，∠AEN＝°，∠BEC+∠AEN ＝°．（2）若∠BEB′＝m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．11．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．【参考答案】1．解：（1）∠FEA＝∠A′EB，理由如下：由翻折的对称可得：∠FEA＝∠FEA'，∵EA′恰好平分∠FEB，∴∠FEA'＝∠A′EB，∴∠FEA＝∠A′EB；（2）由（1）可知，∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'，又∵∠FEA+∠A′EB+∠FEA'＝180°，∴∠FEA＝∠A′EB＝∠FEA'＝60°，∴∠FEB＝∠FEA'+∠A′EB＝60°+60°＝120°；2．解：由折叠可得，∠DEF＝∠D'EF＝75°，∴∠DED'＝150°，∴∠AED'＝180°﹣∠DED'＝30°．3．解：（1）由翻折可得∠AEN＝∠A′EN，∠ANE＝∠A′NE，∠BCE＝∠B′CE，∠BEC＝∠B′EC，所以，NE是∠AEA′和∠ANA′的平分线，CE是∠BEB′和∠BCB′的平分线；（2）射线CB′平分∠ECF．理由如下：∵射线NA′平分∠DNE，∴∠DNA′＝∠A′NE，∴∠ANE=13×180°＝60°，在Rt△ANE中，∠AEN＝90°﹣∠ANE＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC=12（180°﹣30°×2）＝60°，在Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣60°＝30°，∴∠B′CD＝90°﹣30°×2＝30°，∴∠B′CD＝∠B′CE，∴射线CB′平分∠ECF．4．B．5．50°．6．解：∵EC和ED是折痕，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴2（∠2+∠3）＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠CED＝90°．又∠2＝∠1＝32°，∴∠4＝∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣32°＝58°，即∠AEC＝58°．7．解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，∴∠1＝∠ABC＝25°．∴∠A'BD＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）由折叠性质得∠1＝∠ABC=12∠ABA′，∠2＝∠DBE=12∠A'BD，∴∠1+∠2=12∠ABA′+12∠A'BD=12（∠ABA'+∠A'BD）=12×180°＝90°．即∠CBE＝90°．8．解：（1）图形如图1中所示：（2）与翻折可知：∠AEA′＝2∠AEN＝90°，∠BEB′＝2∠BEM＝60°，∴∠A′EB′＝180°﹣90°﹣60°＝30°．（3）当α+β≤90°时，∠A′EB′＝180°﹣2（α+β），当α+β＞90°时，∠A′EB′＝2（α+β）﹣180°．9．解：（1）根据折叠可得：∠BAE＝∠EAB′，∵∠EAB′＝∠B′AD，∴∠BAE＝90°÷3＝30°，∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°；（2）根据折叠可得：∠BAC＝∠F AC，∵∠EAF＝80°，∴∠BAF＝80°+30°＝110°，∴∠BAC＝55°，∴∠CAB′＝60°﹣55°＝5°．10．解：（1）55，35，90．（2）不变．由折叠的性质可得：∠BEC＝∠B'EC，∠AEN＝∠A'EN，∵∠BEB′＝m°，∴∠AEA'＝180°﹣m°，可得∠BEC＝∠B'EC=12∠BEB′=12m°，∠AEN＝∠A'EN=12∠AEA'=12（180°﹣m°），∴∠BEC+∠AEN=12m°+12（180°﹣m°）＝90°，故∠BEC+∠AEN的值不变；（3）由折叠的性质可得：∠B'CF＝∠B'CE，∠B'CE＝∠BCE，∴∠B'CF＝∠B'CE＝∠BCE=13×90°＝30°，在Rt△BCE中，∵∠BEC与∠BCE互余，∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠B'EC＝∠BEC＝60°，∴∠AEA'＝180°﹣∠BEC﹣∠B'EC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AEN=12∠AEA'＝30°，∴∠ANE＝90°﹣∠AEN＝90°﹣30°＝60°，∴∠ANE＝∠A'NE＝60°，∴∠DNA'＝180°﹣∠ANE﹣∠A'NE＝180°﹣60°﹣60°＝60°．11．解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF=12∠AEF，∠MEF=12∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF=12∠AEF+12∠BEF=12（∠AEF+∠BEF）=12∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN=12×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF=12∠AEF，∠MEG=12∠BEG∴∠NEF+∠MEG=12∠AEF+12∠BEG=12（∠AEF+∠BEG）=12（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG=12（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α．。
七年级数学下册9多边形专题课堂(八)多边形中的角度计算习题课件华东师大版
(∠CDE ＋∠CED)＝220°－140°＝80°. 因为∠1 ＝20°(已知) ，所
以∠2＝80°－∠1＝80°－20°＝60°
10．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°， ∠E＝80°，试求∠F的度数． 解：延长FA，CB交于点G.因为CD∥AF，所以∠C＋∠G＝180°， 所以∠G＝180°－∠C＝60°，因为AB⊥BC，所以∠BAF＝∠G＋
6．已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍． (1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，求它的一个外角的度数．
解：(1)设这个多边形的边数为n，则有(n－2)·180°＝360°×5， 解得n＝12.即这个多边形的边数为12 (2)因为这个多边形是正多边
形，所以它的每个外角都相等 ，设它的每个外角为x°，则有12x ＝
(3)错把外角当内角加在一起的那个外角的度数你能求吗？是多
少度呢？
解：(1)因为多边形的内角和是 180°整数倍，而 2018°不是 180° 的整数倍，所以小明说不可能 (2)设多边形的边数为 n，根据题意，得 0°＜2018－(n－2)·180° 19 19 ＜180°.解得 12 ＜n＜13 .又因为 n 为整数，所以 n＝13.即小华求的 90 90 是十三边形的内角和 (3) 十三边形的内角和是 (13 － 2) × 180 °＝ 1980 °，所以错把外角当内角的那个外角的度数是 2018° －1980° ＝38°
【对应训练】 1．(2017· 无锡模拟)八边形的内角和为( C )
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
2 ． 已知一个正多边形的内角和为 1440° ， 则这个正多边形的每一个 外角为( B )
八年级数学 第 三角形 专题训练(二)有关三角形、多边形的角度计算与数学思想应用
7．(中考改编题)如图①，线段AB，CD相交(xiāngjiāo)于点O，连接AC，DB. (1)求证：∠A＋∠C＝∠D＋∠B； (2)如图②，已知∠A＝50°，∠D＝40°，若BE平分∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD 交AB于点G，求∠E的度数； (3)如图③，若直线BM平分∠ABD交CD于点F，CM平分∠DCH交直线BF于点M，直接 写出∠M与∠A，∠D之间相等的数量关系．
内容(nèiróng)总结
No 第十一章 三角形。类型一 与平行线相结合求角的度数或探究(tànjiū)角与角之间的关
系。A．70° B．80°。C．90° D．100°。5．将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′ 处．
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12/9/2021
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9．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求： (1)这个多边形的边数； (2)除去的那个(nàge)内角的度数．
解：(1)设这个多边形的边数为 n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得 2 570°<(n－2)·180°<2 570°＋180°，解这个不等式组，得 16158 <n<17158 ，因 为 n≥3，且 n 是整数，所以 n＝17，即这个多边形的边数为 17
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(3)设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝∠B＋x，∠DAE＝∠BAC －∠BAD＝180°－2∠C－x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C＋12 x，∴∠CDE＝ ∠B＋x－(∠C＋12 x)＝12 x，∴∠BAD＝2∠CDE
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类型五 利用方程、不等式求解多边形中的边角问题
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类型四 利用方程思想探究角与角之间的关系 8．【探究与发现】如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边 上，且∠ADE＝∠AED，连接DE. (1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数(dùshu)； (2)当点D在BC(点B，C除外)边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明 理由； (3)【深入探究】如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE的数量关系．
专题7.8有关三角形的角的计算与证明2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)
专题7.8有关三角形的角的计算与证明专题培优姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共20小题）1．（2020春•仪征市期末）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点P在△ABC内时，①若y＝70，s＝10，t＝20，则x＝；②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点P在△ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．2．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．3．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于度时，CE∥AB？4．（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．6．（2019春•德惠市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．7．（2019春•东台市月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝50°，∠BDC ＝70°，求∠BED的度数．8．（2019春•大名县期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？9．（2019春•雁江区期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD=12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．10．（2018秋•安仁县期末）如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD＝BD，∠ADC＝80°．（1）求∠B的度数；（2）若∠BAC＝70°，判断△ABC的形状，并说明理由．11．（2019春•南昌期末）如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．12．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝°；（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝．13．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①图中有个“8字形”；②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．14．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：．15．（2020春•徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P 是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．初探：（1）如图1，若点P在线段AB上运动，①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝°；②∠α、∠1、∠2之间的关系为：．再探：（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．拓展：（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系：．16．（2020春•淮安区期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A 作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．17．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．18．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．①∠BAC＝°，∠DAE＝°；②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．19．（2020春•泰兴市校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．20．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．。
2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形(教师版)
2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD 中， AD =4 ， BC =1 ， ∠B =90°∠A =30° ，∠ADC =120° ，则 CD 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．3D ．2.5【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，∵⊥A=30°，∴DE=12AD=2，⊥ADE=90°-⊥A=60°，∴⊥CDF=⊥ADC -⊥ADE=60°， ∴⊥FCD=30°，∴CD=2FD=2. 故答案为：A.【分析】过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ，根据角的和差关系求出⊥CDF ，再根据含30°角直角三角形的性质求CD 即可.2．（2021八上·绍兴期中）如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB=90°，⊥A=30°，BC=3，点D 在AB 上且AB=3AD ，那么CD 的长是（ ）A ．2 √3B ．√13C ．2 √6D ．4【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB 于E ，∵⊥A=30°，⊥ACB=90°， ∴AB=2BC=6， ∵⊥BEC=90°， ∴⊥BCE=90°-⊥B=30°，∴BE=12BC=1.5，CE=√BC 2−BE 2=3√32，∵AB=3AD ，∴BD=23AB=4，∴DE=BD -BE=4-1.5=2.5，∴CD=√CE 2+DE 2=√(3√32)2+(52)2=√13.故答案为：B.【分析】作CE⊥AB 于E ，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB ，BE 和CE ，然后根据AB=3AD 求出BD ， 再根据线段间的和差关系求出DE ，最后在Rt⊥CED 中，根据勾股定理求CD 长即可.3．（2021八上·萧山期中）在Rt⊥ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，则以下判断正确的是（ ）A ．BC ＝2CDB ．CD ＝2ABC ．AC ＝2CD D ．CD ＝BD【答案】D【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD 是斜边AB 的中线，∴AB=2CD ，故A 、B 、C 不符合题意； ∴CD=BD ，故D 符合题意； 故答案为：D.【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AB=2CD ，CD=BD=AD ，由此可得到正确结论的选项.4．（2021八上·萧山期中）如图：BD⊥AC 于点B ，G 是线段BD 上一点(不与点B ，点D 重合)，且AB=BG ，BD=BC ，E ，F 分别为AD ，CG 的中点，AD=6，连结EF ，DF ，若⊥DEF 为直角三角形，则DF 的长度为( )A ．3B ．√27C ．3或 √27D ．3或 √27 或 √18【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS ）；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接BE ，BF ，∵BD⊥AC ，∴⊥ABD=⊥GBC=90°， 在⊥ABD 和⊥GBC 中{AB =GB∠ABD =∠GBC BD =BC∴⊥ABD⊥⊥GBC （SAS ） ∴⊥A=⊥BGC ，AD=CG=6； ∵E ，F 分别为AD ，CG 的中点，∴AE=DE=BE=12AD=3，GF=FC=BF=12GC=3，∴⊥ADB=⊥EBD ，⊥BGF=⊥FBG ， ∵⊥A+⊥ADB=90° ∴⊥A+⊥EBD=90°， ∴⊥BGF+⊥EBD=90°，∴⊥EBD+⊥FBG=90°即⊥EBF=90°， ∴BE=BF=3∴EF =√32+32=3√2，∵⊥DEF 是直角三角形，DE ＜EF ， 当⊥EDF=90°时DF =√EF 2−ED 2=√(3√2)2−32=3； 当⊥DEF=90°时，DF =√EF 2+ED 2=√(3√2)2+32=3√3，故答案为：C.【分析】连接BE，BF，利用垂直的定义可证得⊥ABD=⊥GBC，利用SAS证明⊥ABD⊥⊥GBC，利用全等三角形的性质可得到⊥A=⊥NGC，AD=CG=6；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BE，BF，ED的长，利用等边对等角可推出⊥ADB=⊥EBD，⊥BGF=⊥FBG，利用三角形的内角和定理去证明⊥EBF=90°，利用勾股定理求出EF的长；根据⊥DEF是直角三角形，DE＜EF，分情况讨论：当⊥EDF=90°时；当⊥DEF=90°时；分别利用勾股定理求出DF的长.5．（2021八上·下城期中）如图，在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD＝DB.若⊥B＝20°，则⊥DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，E是AB的中点，∴BE＝CE，又∵⊥B＝20°∴⊥ECB＝⊥B＝20°，∵AD＝BD，⊥B＝20°，∴⊥DAB＝⊥B＝20°，∴⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝20°+20°＝40°，∴⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB＝40°+20°＝60°.故答案为：D.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝CE，由等腰三角形的性质可得⊥ECB＝⊥B＝20°，⊥DAB＝⊥B＝20°，由外角的性质可得⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝40°，⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB，据此进行计算.6．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【答案】B【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，取⊥2，∵⊥2=90°-45°=45°，∴⊥1=60°+45°=105°.故答案为：B.【分析】取⊥2，根据角的和差关系求出⊥2，再利用三角形外角的性质求⊥1即可.7．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C 也是格点，且使得⊥ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：①AB 为直角⊥ABC 斜边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为直角⊥ABC 其中的一条直角边时，符合条件的格点C 点有1个. 故共有3个点. 故答案为：C.【分析】分AB 为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C 的位置，据此解答.8．（2020八上·温州期中）如果直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么斜边上的中线等于（ ） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．10cm【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，∴斜边长为：√62+82=10（cm ），∴斜边上的中线长为：12×10=5（cm ）.故答案为：C.【分析】根据勾股定理求得斜边长，再由直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出答案.9．（2021八上·温州期中）如图，在 △ABC 中， AB =4，BC =3，∠B =60∘，M 是 BC 延长线上一点， CM =2，P 是边 AB 上一动点， 连结 PM ，作 △DPM 与 △BPM 关于 PM 对称 (点 D 与点 B 对应)，连结 AD ，则 AD 长的最小值是（ ）A ．0.5B ．0.6C ．5−√21D ．√13−3【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，如图，∵CM=2，BC=3，∴BM=BC+CM=5，由折叠得：DM=BM=5，∵⊥B=60°，∴⊥ BAE=90°−60°=30°，又AB=4，BC=3，∴BE=12AB=2，在中RtΔABE中，∵AE2+BE2=AB2，∴AE=√AB2−BE2=√42−22=2√3，∴EM=BM−BE=5−2=3，在RtΔAEM中，∵AE2+EM2=AM2，∴AM=√AE2+EM2=√(2√3)2+32=√21，∴AD=DM−AM=5−√21.故答案为：C.【分析】过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得⊥BAE=30°，则BE=12AB=2，在Rt⊥ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt⊥AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.10．（2021八上·下城期末）在⊥ABC中，⊥BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ()A．若AC=2AB，则⊥C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CDC．若⊥B=2⊥C，则AC=2AB D．若⊥B=2⊥C，则S⊥ABD=2⊥ACD【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：由题，⊥BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，A、若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，若⊥C=30°，BC=2AB，故A选项错误；B、如图：若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，作AE⊥BC，则S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE，可得AE=AB⋅ACBC=√5AB=2√55AB，∵AD=AB，∴BE=DE=√AB2−AE2=√55AB，∴BD=2√55AB,DC=BC−AB=3√55AB，∴3BD=2CD，故B选项正确；C、若⊥B=2⊥C，∵⊥BAC=90°，∴⊥B+⊥C=90°，∴⊥C=30°，⊥B=60°，∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，∵AD=AB，∴⊥ABD为等边三角形，∴⊥ADB=60°，∴⊥DAC=⊥ADB-⊥C=30°=⊥C，∴AD=DC=BD，即AD为⊥ABC的中线，∴S⊥ABD=S⊥ACD，故D选项错误.故答案为：B.【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；B、作AE⊥BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD 的关系，然后判断即可；C、若∠B=2∠C，可求出⊥C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，可证⊥ABD为等边三角形，继而求出AD为⊥ABC 的中线，可得S⊥ABD=S⊥ACD，据此判断即可.二、填空题（每题4分，共24分）11．（2020八上·湖州期中）在Rt△ABC中，锐角⊥A＝25°，则另一个锐角⊥B＝°.【答案】65【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=25°，∴另一个锐角∠B=90°−∠A=65°，故答案为：65.【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得.12．（2021八上·鹿城期中）如图，⊥ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为.【答案】√10【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵⊥ADE是等腰直角三角形，∴⊥ADE＝⊥EDF＝90°，∵AD＝DE＝1，∴EF＝√DE2+DF2＝√12+DF2，∴当DF的值最小时，EF的值最小，∵AF⊥BC时，AF的值最小，∴DF的值最小，∵⊥B＝30°，∴此时AF＝12AB＝4，DF＝3，EF＝√10.故答案为：√10.【分析】由等腰直角三角形的性质可得⊥ADE＝⊥EDF＝90°，AD＝DE＝1，由勾股定理表示出EF，推出AF⊥BC时，AF的值最小，则DF的值最小，据此求解.13．（2021八上·绍兴期中）如图⊥MAN＝60°，若⊥ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，⊥ABC是直角三角形．【答案】3或12【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图：当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ABC＝30°，∴AC= 12AB=3，∴运动时间t= AC1=31=3秒，当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ACB＝30°，∴AC= 2AB=12，∴运动时间t= AC1=121=12秒，当运动时间t是3或12秒时，⊥ABC是直角三角形.故答案为：3或12.【分析】当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，⊥ABC＝30°，由30°所对的直角边为斜边的一半可得AC的值，然后除以速度可得时间；当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，⊥ACB＝30°，同理可得t的值.14．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，⊥ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为.【答案】3.5【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接CQ 、CD ，∵FG 是线段CP 的垂直平分线，Q 是FG 上的一个动点， ∴CQ ＝PQ ，∴PQ+QD ＝CQ+QD ，∴当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ， ∵⊥ACB ＝90°，AB ＝7，点D 是AB 的中点，∴CD ＝ 12AB ＝3.5.故答案为：3.5.【分析】连接CQ 、CD ，由垂直平分线的性质可得CQ ＝PQ ，推出当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.15．（2021八上·诸暨期中）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 ． 【答案】5【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8，∴斜边长为√62+82=10，∴斜边上的中线长为12×10=5.故答案为：5.【分析】首先由勾股定理求出斜边长，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.16．在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2，则⊥B= . 【答案】60°【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2设⊥A=x ，则⊥B=2x ， ∴⊥A+⊥B=90°即x+2x=90° 解之：x=30°，∴⊥B=2×30°=60°.故答案为：60°.【分析】由已知设⊥A=x，则⊥B=2x，利用直角三角形的两锐角互余，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出⊥B的度数。
专题4.8三角形有关角的计算与证明问题-七年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.8三角形有关角的计算与证明问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共25题，解答25道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共25小题）1．（2019春•雁江区期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD=12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DAC，再求出∠BAD，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解析】∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝100°﹣80°＝20°，∵∠BAD=12∠DAC，∴∠BAD=12×20°＝10°，在△ABD中，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=12×70°＝35°，∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝10°+35°＝45°．2．（2020秋•绥棱县期末）问题引入：（1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90°+12α（用α表示）：不用说明理由，直接填空．如图②所示，∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，若∠A＝α，则∠BOC＝120°+13α（用α表示），不用说明理由，直接填空．（2）如图③所示，∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，若∠A＝α，则∠BOC＝120°−13α（用α表示），填空并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，如图①，由角平分线的定义可得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，在△OBC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数；如图②，由∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，在△OBC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数；（2）由∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，∠A＝α，利用三角形内角和定理及三角形外角的性质可用含α的代数式表示出∠BOC的度数．【解析】（1）在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．如图①所示，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣α）＝180°﹣90°+12α＝90°+12α；如图②所示，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−13（∠ABC+∠ACB）＝180°−13（180°﹣α）＝180°﹣60°+13α＝120°+13α．故答案为：90°+12α；120°+13α．（2）∠BOC＝120°−13α，理由如下：∵∠OBC=13∠DBC，∠OCB=13∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），＝180°−13（∠DBC+∠ECB），＝180°−13（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），＝180°−13（180°+∠A），＝180°﹣60°−13α，＝120°−13α．故答案为：120°−13α．3．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，在△ABM中，利用三角形内角和定理可求出∠BAM，由AN平分∠BAC可求出∠BAN的度数，再结合∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM即可求出∠MAN的度数．【解析】在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．在△ABM中，∠B＝50°，AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，∴∠BAM＝90°﹣∠B＝40°．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=12∠BAC＝50°，∴∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM＝50°﹣40°＝10°．4．（2020秋•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理可得到结论．【解析】∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．5．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD 于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．6．（2020秋•淮南期末）如图，在△ABC中，∠B＝31°，∠C＝55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得∠AED，再根据等角的余角相等，即∠ADF的度数等于∠AED 的度数．【解析】∵∠B＝31°，∠C＝55°，∴∠BAC＝94°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝47°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°，∵AD⊥BC，DF⊥AE，∴∠EFD＝∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF，∴∠ADF＝∠AED＝78°．7．（2020秋•马鞍山期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．【分析】求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，∵∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．8．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解析】（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．9．（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°−12∠A．【解析】（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°−12∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12（∠A+∠ABC）、∠DBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°−12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°−12（∠A+180°），＝90°−12∠A；10．（2020秋•朝阳区期末）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．（1）比较a，b，c的大小；（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可求解；（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解．【解析】（1）∵a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0，∴m2+n2＞m2＞mn，∴a＞b＞c；（2）∵m＞n＞0，∴mn＞n2，∴m2+mn＞m2+n2，∴a，b，c为边长的三角形一定存在．11．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．【分析】（1）如图1中，根据三角形的外角的性质即可证明．（2）如图2中，首先证明∠PCE＝90°，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．（3）如图3中，延长PE交BC于H，设P A交AC于K．只要证明∠EKC＝∠EHC，即可解决问题．【解析】（1）证明：如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠F AC+∠ACE，又∵∠B＝∠F AC，∠ECB＝∠ACE，∴∠AEF＝∠AFE．（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：如图2中，∵∠ACE=12∠ACB，∠ACP=12∠ACQ，∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP=12（∠ACB+∠ACQ）＝90°，∴∠P+∠AEC＝90°，∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，∴∠P+∠CFD＝90°．（3）证明：如图3中，延长PE交BC于H，设P A交AC于K．∵∠EKC＝∠KPF+∠PF A，∠EHC＝∠B+∠BPK，又∵∠B＝∠CFD＝∠PF A，∠KPF＝∠BPH，∴∠EKC＝∠EHC，∵CE⊥KH，∴∠CEK＝∠CEH＝90°，∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，∴∠ECK＝∠ECH，∴CE平分∠ACB．12．（2019春•大名县期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．13．（2019春•南昌期末）如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．（1）求证EF∥BC；（2）求∠1与∠2的度数．【分析】（1）由垂直于同一条直线的两直线平行，可证EF∥BC．（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠1与∠2的度数．【解析】（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴BC∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）．（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，又∵∠APE＝∠OPF，∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．14．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝60°；（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝90°−12∠A．【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠BPC＝90°+12∠A，然后根据此结论解决各小题．【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12∠ABC−12∠ACB＝180°−12（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BPC＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A，（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案为60．（2）∵∠A＝80°，∴∠BPC＝90°+12×80°＝130°；（3）∵∠BPC＝90°+12∠A，∴∠DPC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A．故答案为：90°−12∠A．15．（2020秋•薛城区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A 作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为30°，△AOB是．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC是（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【解析】（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3：①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．16．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．【分析】（1）首先说明PC平分∠ACB，推出∠CDE＝45°，利用三角形内角和定理求解即可．（2）证明∠APB＝135°，∠ADP＝135°即可．【解析】（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE=12∠ACB=12×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA=12∠ABC＝25°，∠P AB=12∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，P A分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA=12∠ABC，∠P AB=12∠BAC，∴∠APB＝180°−12（∠ABC+∠BAC）＝180°−12（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．17．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．①∠BAC＝80°，∠DAE＝20°；②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出∠BAC，再求出∠CAD，∠CAE即可解决问题．②想办法求出∠ADC即可解决问题．（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可．【解析】（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，∵AD平分∠ABC，∴∠CAD=12∠BAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．故答案为80，20．②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠FDE＝∠ADC＝70°，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．（3）∵AD平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AE平分∠BEC，∴∠AEB＝∠AEC，∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，∴∠DAE＝20°．18．（2020秋•嘉鱼县期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；（2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解．【解析】（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝60°，∴∠A+∠C＝120°，设最小的角为x，①当60°＝3x时，x＝20°，②当x+3x＝120°时，x＝30°，答：△ABC中最小内角为20°或30°．19．（2020秋•肇州县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．【分析】设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可得∠CAP＝∠P AD ＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解析】（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：∠CAP＝∠P AD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（2）∠P=12（∠C+∠D），理由如下：由（1）同理可知：2∠P＝∠C+∠D，解得∠P=12（∠C+∠D）．20．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．（1）填空：∠BIC＝114°．（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝66°．（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于84度时，CE∥AB？【分析】（1）想办法求出∠IBC+∠ICB即可解决问题．（2）根据四边形内角和等于360°解决问题即可．（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题．（4）利用平行线的性质即可解决问题．【解析】（1）∵∠A＝48°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）＝66°，∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．故答案为114．（2）由题意：∠IBD＝∠ICD＝90°，∴∠BDC+∠BIC＝180°，∴∠BDC＝66°．故答案为66．（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，∴2x＝2y+∠A①，x＝y+∠E②，①÷2﹣②可得∠E=12∠A．（4）∵CE∥AB，∴∠ECA＝∠A＝48°，∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°故答案为84．21．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①图中有6个“8字形”；②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论．（2）①根据“8字形”的定义判断即可．②根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）①图中，有6个“8字形”．故答案为6．②∵AP平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵PC平分∠BCD，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，∴∠P＝25°．（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP平分∠BCE，∴∠3＝∠4，∵AG平分∠DAF，∴∠1＝∠2，∵∠P AB＝∠1，∴∠2＝∠P AB，∵∠P+∠P AB＝∠B+∠4，∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，∵∠P+∠P AD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，③+④得，2∠P＝∠B+∠D．22．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝120°；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即可．（2）同（1）方法即可．（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【解析】（1）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，故答案为：120．（2）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，∴∠CDF＝180°﹣∠1，∵∠CFD＝∠2+α，根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，∴∠PGD＝∠2﹣90°，∵∠PDG＝180°﹣∠1，根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，∴∠2﹣∠1+∠α＝90°．故答案为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．23．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D 之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【解析】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，∴∠ECP＝∠PCB，∠F AG＝∠GAD，∵∠P AB＝∠F AG，∴∠GAD＝∠P AB，∵∠P+∠P AB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∵∠P+∠P AD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），∴2∠P＝∠B+∠D．24．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；（3）由∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．【解析】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴∠A+∠C＝2∠E，∵∠A＝28°，∠C＝32°，∴∠E＝30°；（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．理由：∵∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，即∠A+2∠C＝3∠E．25．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q ＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）=12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF ＝2∠ECF ， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABC ＝2∠EBC ， ∵∠ECF ＝∠EBC +∠E ， ∴2∠ECF ＝2∠EBC +2∠E ， 即∠ACF ＝∠ABC +2∠E ， 又∵∠ACF ＝∠ABC +∠A ， ∴∠A ＝2∠E ，即∠E =12∠A ； ∵∠EBQ ＝∠EBC +∠CBQ =12∠ABC +12∠MBC=12（∠ABC +∠A +∠ACB ）＝90°．如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ ＝2∠E ＝90°，则∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°；②∠EBQ ＝2∠Q ＝90°，则∠Q ＝45°，∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°； ③∠Q ＝2∠E ，则90°−12∠A ＝∠A ，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12∠A ＝2（90°−12∠A ），解得∠A ＝120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．。
2023-2024年小学数学五年级上册期末真题三年汇编 专题08 计算题39题(北师大版含详解)
专题08 计算题39题（八）（2021-2022）五年级数学上册广东地区期末真题汇编一、口算题1．（2022·广东梅州·五年级期末）直接写出得数。
6×0.25＝ 7.2÷0.8＝ 0.2＋1.5＝ 0.3×0.4＝0.5÷2＝ 8×0.6＝ 2－1.25＝ 2.4÷0.6＝2．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心五年级期末）直接写出得数。
0.644÷= 0.328÷= 12.790.01÷= 07.4÷=100.1÷= 1.50.43+= 4.80.8÷= 0.40.25⨯=3．（2022·广东·新丰县教育局教研室五年级期末）直接写出得数。
0.644÷= 0.328÷= 2.790.01÷= 07.4÷=100.1÷= 1.50.43+= 4.80.8÷= 0.40.25⨯=4．（2021·广东韶关·五年级期末）直接写出得数。
9.33÷= 9.60.01÷= 1.258⨯= 7.80.2÷=08.9÷= 4.80.48÷= 0.57 4.3+= 1.23 1.23⨯÷⨯=5．（2022·广东河源·五年级期末）直接写出得数。
1.23÷0.3＝ 7.2÷8＝ 8＋3.05＝ 4.9－0.7＝0.64＋3＝ 5×0.4＝ 3.6÷0.9＝ 5.1×0.3＝6．（2022·广东茂名·五年级期末）直接写出得数。
4.80.6÷= 40.2÷= 3.57÷= 4.040.4-=24 1.2÷= 0.1250.8⨯= 4.5 1.5-= 80.18.01÷=7．（2021·广东韶关·五年级期末）直接写得数。
专题18三角形有关角的计算与证明大题专练-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【浙教版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.8三角形有关角的计算与证明大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020秋•沙县期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．2．（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．3．（2021春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝（含α的代数式表示）．4．（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB ＝∠DBE．（1）DE与BC平行吗？请说明理由；（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．5．（2020秋•兰州期末）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．（1）求证：∠DAC＝∠ABC；（2）如图②，△ABC的角平分线CF交AD于点E，求证：∠AFE＝∠AEF．6．（2021春•黄陂区期中）如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠B＝60°，∠BDE ＝120°，∠AED＝45°．（1）求证：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于点F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度数．7．（2021春•海陵区校级月考）直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．8．（2021春•海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF ∥AD．（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝；（用α、β表示）（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．9．（2021春•吴中区月考）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB．在△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°．先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝25°时，则∠AOE＝°．（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．10．（2020秋•前郭县期末）如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）11．（2021春•高新区校级月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：（①）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（②）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（③）如图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．12．（2021春•增城区期中）如图①，直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠P AC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠P AD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）若线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠P AC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．13．（2021春•吴江区期中）在△ABC中，∠A＝70°，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3．（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠2＝；（用含有∠1、∠3的代数式表示）（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠1、∠2、∠3之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．（3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠1、∠2、∠3之间的关系式．（不需要证明）14．（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：（1）一个角为60°的直角三角形（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．15．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠F AD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D 之间的数量关系．并说明理由．16．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE=13∠ADC，∠CBE=13∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．17．（2021春•玄武区校级月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝42°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC ＝°；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝α°，∠B＝β°，直接写出∠BPC的度数．（用含α、β的代数式表示）18．（2021春•深圳期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．19．（2020春•江阴市月考）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝°；若∠MON＝90°，则∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C作直线与AB交F．若CF∥OA时，求∠BGO﹣∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）20．（2021春•招远市期中）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．（1）求证：∠ADE＝∠EFC；（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．21．（2021春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B＝28°，∠C＝72°时，求∠DAE的度数；（3）∠DAE与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．22．（2020秋•盐田区期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．23．（2021春•九龙坡区校级月考）如图，在三角形ABC中，∠B＝60°，∠C＝α，点D是AB上一点，E 是AC上一点，∠ADE＝60°，点F为线段BC上一点，连接EF，过D作DG∥AC交EF于点G，（1）若α＝40°，求∠EDG的度数；（2）若∠FEC＝2∠DEF，∠DGF=34∠BFG，求α．24．（2020秋•肇州县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．25．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）26．（2020秋•章丘区期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．27．已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D．①用α的代数式表示∠BPC的度数；②用β的代数式表示∠PBD的度数；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D．①请补全图形；②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论．28．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．29．（2020春•邕宁区校级期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．30．（2020秋•成都期末）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线相交于点E．（1）设∠A＝α，用含α的代数式表示∠E的度数；（2）若EC∥AB，AC＝4，求线段CE的长；（3）在（2）的条件下，过点C作∠ACB的角平分线交BE于点F，若CF＝3，求边AB的长．。
专题 线段和角度计算章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
专题线段和角度计算章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 几何图形】【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.【例1】（秋峄城区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（秋涞水县期末）如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【变式1-2】（章贡区期末）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（秋广丰区期末）下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A．B．C．D．【考点2 基本概念】【方法点拨】知识点1：线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．知识点2：射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．知识点3：直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.【例2】（秋宜城市期末）下列说法中正确的个数是（）①线段AB和射线AB都是直线的一部分；②直线AB和直线BA是同一条直线；③射线AB和射线BA是同一条射线；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A．1B．2C．3D．4【变式2-1】（秋岑溪市期末）下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2-2】（秋李沧区期末）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式2-3】（春广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点3 余角与补角定义】【方法点拨】余角和补角：（1）若α＋β＝90°，则α与β互余．（2）若α＋β＝180°，则α与β互补．（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等．【例3】（春东阿县期末）一个角的余角是它的，则这个角的补角等于°．【变式3-1】（秋宜宾期末）如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这个角等于度．【变式3-2】（秋化德县校级期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5°，则这个角等于．【变式3-3】（秋凉山州期末）一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是．【考点4 钟面上的角度问题】【例4】（秋宛城区期末）上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是度．【变式4-1】（秋莲湖区校级月考）时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是度．【变式4-2】（秋大冶市期末）中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是度．【变式4-3】（春单县期末）上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为．【考点5 尺规作图】【例5】（春沙坪坝区校级期末）已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不写作法，保留作图痕迹）【变式5-1】（秋翁牛特旗期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB＝2b﹣a．【变式5-2】（秋涡阳县期末）作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作线段A′C′＝AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC 一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【变式5-3】（秋安庆期末）如图，在同一平面内有四个点A ，B ，C ，D ． （1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）： ①作射线AC②作直线BD ，交射线AC 于点O ③分别连接AB ，AD ．（2）观察所作图形，我们能得到：AO +OC ＝ ；DB ﹣OB ＝ （空格处填写图中线段）【考点6 与中点有关的长度计算】 【方法点拨】线段的中点如图，点C 在线段AB 上且使线段AC ，CB 相等，这样的点C 叫做线段AB 的中点．中点定义的推理步骤： (1)∵AC ＝CB (已知)，∴点C 是线段AB 的中点(中点的定义)． (2)∵点C 是线段AB 的中点(已知)，∴AC ＝BC 或AC ＝12AB 或BC ＝12AB 或AB ＝2AC 或AB ＝2BC (中点的定义)．【例6】（秋洛宁县期末）已知：点C 在直线AB 上，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长．【变式6-1】（秋郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．【变式6-2】（秋永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【变式6-3】（秋榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．【考点7 与角平分线有关的角度计算】 【方法点拨】角平分线：（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线． （2）若OC 平分∠AOB ，则有①∠AOC ＝∠BOC ．②∠AOC ＝21∠AOB ．③∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠BOC ． 【例7】（秋化德县校级期末）如图，已知OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°． 求：（1）∠AOC 的度数； （2）∠MON 的度数．【变式7-1】（秋浏阳市校级期末）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ＝72°，OF ⊥CD ，垂足为O ，求： （1）求∠BOE 的度数． （2）求∠EOF 的度数．【变式7-2】（秋襄阳期末）如图所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【变式7-3】（秋沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【考点8 与旋转有关的角度计算】【例8】（秋启东市校级月考）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为，∠COF和∠DOE的数量关系为_；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．【变式8-1】（秋武昌区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝．【变式8-2】（秋南江县期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【变式8-3】（秋安庆期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【考点9 与几何有关的规律问题】【例9】（秋禹会区校级月考）阅读表：图例线段总条数N线段AB上的点数n（包括A，B两点）33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1解答下列问题：（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有种不同的票价？②要准备种车票？（直接写答案）【变式9-1】（秋滦县期中）（1）试验探索：如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．（2）归纳结论：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需件礼物．【变式9-2】（秋江山市期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为10条时，把平面最多分成部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成部分．（不必说明理由）【变式9-3】（秋桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？【考点10 线段上的动点问题】【例10】（秋麒麟区期末）如图，线段AB＝12cm，延长AB到点C，使BC＝AB，点D是BC中点，点E 是AD中点．（1）根据题意，补全图形；（2）求DE的长；（3）若动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，到达点C停止运动，点Q从点C出发，以2cm/s 的速度向点A运动，到达点A停止运动，若运动时间为ts，当t为何值时，PQ＝3cm？【变式10-1】（秋孝南区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足（a﹣6）2+|b+4|＝0．（1）写出a、b及AB的距离：a＝b＝AB＝（2）若动点P从点A出发，以每秒6个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度向左匀速运动．①若P、Q同时出发，问点P运动多少秒追上点Q？②若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【变式10-2】（春金牛区校级月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．【变式10-3】（秋峄城区期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2．（1）A、B对应的数分别为、；（2）点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？（3）点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP+3OB﹣mOP为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【考点11 多边形的对角线】【例11】（春嘉兴期末）一个多边形从一个顶点出发，最多可以作2条对角线，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【变式11-1】（春忻城县期中）从n边形的一个顶点出发作对角线，这些对角线把这个n边形分成的三角形个数为（）A．（n+1）个B．n个C．（n﹣1）个D．（n﹣2）个【变式11-2】（秋历城区期末）我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（）A．9B．54C．60D．108【变式11-3】（秋太原期末）从某多边形的一个顶点引出的所有对角线把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形的形状是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形。
专题9.6 角度计算中的经典模型【八大题型】(华东师大版)(解析版)
专题9.6角度计算中的经典模型【八大题型】【华东师大版】【题型1双垂直模型】 (1)【题型2A字模型】 (6)【题型38字模型】 (10)【题型4飞镖模型】 (16)【题型5风筝模型】 (23)【题型6两内角角平分线模型】 (29)【题型7两外角角平分线模型】 (35)【题型8内外角角平分线模型】 (39)【知识点1双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE=90°，且∠CED+∠DCE=90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型1双垂直模型】【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）求证：CD⊥AB证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）∴∠ADC ＝90°（三角形内角和定理）∴CD ⊥AB ．（2）如图②，若∠BAC 的平分线分别交BC ，CD 于点E ，F ，求证：∠AEC ＝∠CFE ；（3）如图③，若E 为BC 上一点，AE 交CD 于点F ，BC ＝3CE ，AB ＝4AD ，S △ABC ＝36．①求S △CEF ﹣S △ADF 的值；②四边形BDFE 的面积是21．【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；（2）根据角平分线的定义得到∠CAE ＝∠BAE ，根据三角形的外角性质计算，证明结论；（3）①根据三角形的面积公式分别求出S △ACD 、S △ACE ，结合图形计算即可；②连接BF ，设S △ADF ＝x ，根据三角形的面积公式列出方程，求出x ，把x 代入计算得到答案．【解答】（1）证明：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°（已知）∴∠A +∠B ＝90°（直角三角形两锐角互余）又∵∠ACD ＝∠B （已知）∴∠A +∠ACD ＝90°（等量代换）∴∠ADC ＝90°（三角形内角和定理），∴CD ⊥AB ．故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；（2）证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAE ，∵∠AEC ＝∠BAE +∠B ，∠CFE ＝∠ACD +∠CAE ，∴∠AEC ＝∠CFE ；（3）解：①∵BC ＝3CE ，AB ＝4AD ，S △ABC ＝36，∴S △ACD =14S △ABC ＝9，S △ACE =13S △ABC ＝12，∴S △CEF ﹣S △ADF ＝S △ACE ﹣S △ACD ＝12﹣9＝3；②连接BF ，设S △ADF ＝x ，则S △CFE ＝3+x ，∵AB＝4AD，＝3x，∴S△BDF∵BC＝3CE，＝2（x+3）＝2x+6，∴S△BEF∴x+3+2x+6+3x=34×36，解得，x＝3，∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，故答案为：21．【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，∴∠BEF＝∠AFD，∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），∴∠BEF＝∠BFE【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；（2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案．【解答】解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得∠BHC＝∠EHD．由高BD、CE相交于点H，得∠ADH＝∠AEH＝90°．由四边形内角和定理，得∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠BHC+∠A＝180°；（2）如图，由∠BHC与∠EHD是对顶角，得∠BHC＝∠EHD．由高BD、CE相交于点H，得∠ADH＝∠AEH＝90°．由四边形内角和定理，得∠H+∠AEH+∠EAD+∠HDA＝360°，∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠BHC+∠BAC＝180°．【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG＝90°即可解决问题；②利用∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB＝90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB，∵EH平分∠CED，∴∠HED=12∠CED，∵∠EAB＝∠CED，∴∠HED＝∠EAG，∴∠HED+∠AEG＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∴∠EGA＝90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD．∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM＝∠CDF=12∠CDE，∠AFM＝∠FAB=12∠EAB，∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠CDE+∠EAB＝90°，∴∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）＝45°．【知识点2A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型2A字模型】【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为60°．【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：如图∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠2+∠4，∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，故答案为60°．【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A．180°B．230°C．290°D．295°【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠C＝65°，再根据四边形的内角和可求出∠1+∠2．【解答】解：∵∠A＝115°，∴∠B+∠C＝65°，∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．故选：D．【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．故答案为：240°．【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°−12∠A．拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°+∠A），在△PBC中，∠P＝180°−12（180°+∠A）＝90°−12∠A；即∠P＝90°−12∠A；故答案为：50°，∠P＝90°−12∠A；（4）延长BA、CD于Q，则∠P＝90°−12∠Q，∴∠Q＝180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，＝180°+180°﹣2∠P，＝360°﹣2∠P．【知识点38字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型38字模型】【例3】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A ＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题．【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B．【变式3-1】（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB 和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【分析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得结论．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【变式3-2】（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）的结论即可求解．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【变式3-3】（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．特例感悟：（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．解决问题：①∠ABC＝60°；②求证：AC⊥AB；深入探究；（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝45°−12；拓展延伸：（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；②根据平行线的性质得∠DGC＝∠CBM ＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．【解答】解：（1）①∵BM∥DG，∴∠ABM＝∠F＝30°，∵BM为△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，故答案为：60°；②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，∵BM∥DG，∴∠DGC＝∠CBM＝30°，∵DE⊥BC，∴∠EDG＝60°，∵DG平分∠ADE，∴∠ADF＝60°，∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AC⊥AB；（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG=12∠ADE+90°﹣（180°−12∠ABC）=12（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°−12．故答案为：45°−12；（3）①如图，由八字模型可得，△ABM和△NMD中，∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN=12∠ABC+α−12（90°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+12；②如图，由四边形的内角和得，∠BND＝360°﹣90°−12∠ABC−12∠ADE＝270°−12（270°﹣α）＝135°+12；③如图，由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，∴∠BND=12∠ADE+（180°﹣α）−12∠ABC=12（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）−12∠ABC＝135°−12；综上，∠BND＝45°+12或135°±12．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】【例4】（2022春•三明期末）探究与思考：（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．【分析】（1）连接AP并延长至F，将“飞镖”图形转化为两个三角形，再根据三角形的外角的性质进行解答；（2）两次运用三角形外角的性质得到∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）根据三角形外角的性质可知，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝180°．【解答】解：（1）如图②，∠BPC＝∠A+∠B+∠C，连接AP并延长至F，则有∠B+∠BAP＝∠BPF，∠C+∠CAP＝∠CPF，所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP＝∠BPF+∠CPF＝∠BPC，即∠B+∠C+∠A＝∠BPC，（2）如图③，∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．（3）如图④，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝∠AGE+∠DFE+∠E＝180°．【变式4-1】（2022春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝150°；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为90°+α；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【分析】（1）由平角的定义得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2．（2）同（1）的方法．（3）利用三角形的外角的性质即可得出结论．（4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论．【解答】解：（1）由平角的定义知，∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，在四边形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α．当α＝60°时，∠1+∠2＝150°．故答案为：150°．（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．故答案为：90°+α．（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：由三角形的外角的性质知，∠DMC＝∠2+∠α，∠1＝∠C+∠DMC，∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），即∠1＝90°+∠2+∠α．（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：由三角形的外角的性质知，∠2＝∠CFE+∠C，∠1＝∠PFD+∠α，∵∠CFE＝∠PFD，∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，即∠2＝90°+∠1﹣∠α．【变式4-2】（2022春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠B＝∠COP，∵∠COP＝∠BPD+∠D，∴∠B＝∠BPD+∠D，即：∠BPD＝∠B﹣∠D，②不成立，结论：∠BPD＝∠B+∠D，理由：如图b，过点P作PG∥AB，∴∠B＝∠BPG，∵PG∥AB，CD∥AB，∴PG∥CD，∴∠DPG＝∠D，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；（2）结论：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，理由：如图c，连接QP并延长，∵∠BP∠G是△BPQ的外角，∴∠BPG＝∠B+∠BQP，同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；（3）如图d，∵∠DHM是△BFH的外角，∴∠DHM＝∠B+∠F，同理：∠CMH＝∠A+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝50°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．③根据∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴12（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴110（133﹣x）+x＝70，∴13.3−110x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】【例5】（2022春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．【变式5-1】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系：∠1+∠2＝2∠A．（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝70°（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是A．A．∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+12（∠1+∠2）D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A=12（∠1+∠2），即可得出答案；（4）根据三角形角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝90°−12∠A，得出∠BIC的度数即可；【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由如下：由折叠的性质得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，由①②得：∠1+∠2＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；（2）由（1）可得，∠A=12（∠1+∠2），∠B=12（∠3+∠4），∴∠A+∠B=12（∠1+∠2+∠3+∠4）=12×220＝110，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，故答案为：70°；（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．∴∠A=12（∠1+∠2）．∴∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）．故选A；（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°，∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12∠A＝90°+12×50°＝115°．【变式5-2】（2022春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？【分析】（1）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；（2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠A＝∠DA′E，根据三角形外角性质，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，即∠1＝2∠DA′E；（2）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2），在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠A+12（180°﹣∠1）+12（180°﹣∠2）＝180°，整理得，2∠A＝∠1+∠2；（3）如图③，∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠A＝∠A′，根据三角形的外角性质，∠3＝∠2+∠A′，∠1＝∠A+∠3，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，即∠1＝∠2+2∠A．【变式5-3】（2022春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据图①中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论2∠A＝∠1+∠2；（2）与（1）的证明过程完全相同；（3）根据图③中由于折叠∠A与∠A′是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠A＝∠1﹣∠2．【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：如图①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（2）2∠A＝∠1+∠2．理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：如图③，设DA′交AC于点F．∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1﹣∠2．【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I.【结论】A I ∠+︒=∠2190【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知：∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190.【题型6两内角角平分线模型】【例6】（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC 中，∠BAC ＝50°，∠ABC 的角平分线与∠ACB 的角平分线交于点O ．则∠BOC ＝115°．【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC +∠ACB 的度数，再利用角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC 的角平分线与∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ABO ＝∠OBC =12∠ABC ，∠ACO ＝∠OCB =12∠ACB ，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．【变式6-1】（2022春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．【分析】根据角平分线定义得∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，再根据三角形外角性质得∠1＝∠ABO+∠BAO，则∠1=12（∠ABC+∠BAC），然后根据三角形内角和定理得∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，所以∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB；再由OH⊥BC得∠OHC＝90°，利用三角形内角和定理得∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，于是可得到∠1＝∠2．【解答】解：∠1＝∠2．理由如下：∵BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，∴∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，∵∠1＝∠ABO+∠BAO，∴∠1=12（∠ABC+∠BAC），∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB，又∵OH⊥BC，∴∠OHC＝90°，∴∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，∴∠1＝∠2．【变式6-2】（2022春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（2）求证：∠BOC＝90°+12∠A．【分析】（1）利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC；（2）方法同（1）．【解答】（1）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣60°）＝60°，故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12∠A．【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝90°；（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为②③．（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点P n，是否存在某一正整数n，使得∠EP n F＝90°？说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理来完成．（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断．（3）按题意添加辅助线，画出相应的EM、FN、点P n，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分类别讨论推测出n是否存在，存在的值．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，∴∠FEG+∠EFG=12×180°＝90°，∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90°．（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，∴∠FEG+∠EFG=13×180°或者∠FEG+∠EFG=23×180°，∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，∴①错误，②正确，当∠EGF为直角，只有13∠BEF+23∠DFE＝90°或23∠BEF+13∠DFE＝90°，不妨假设13∠BEF+23∠DFE＝90°，∴23∠BEF+13∠DFE＝90°，∴13（∠BEF﹣∠DFE）+23（∠DFE﹣∠BEF）＝0，∴∠BEF＝∠DFE，∵∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠BEF＝∠DFE＝90°，∴EF⊥CD，故③正确．故答案为：②③．（3）不存在某一整数n，使得∠EP n F＝90°，理由如下：∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），∴∠AEM=K1α，∠CFM=1β．①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，P n必在EF的左侧，如图2所示，过点P n作P n Q∥AB，∵AB∥CD，∴P n Q∥CD，∴∠EP n F＝∠EPnQ+∠FP n Q＝∠AEM+∠CFN=K1α+1β＜K1×90°+1×90°＜90°，②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．若K1α＜90°，则P n在EF的左侧，如图3中，同理可得∠EP n F=K1α+1β＞90°．若K1α＝90°，则P n 与F 重合，不存在∠EP n F ，舍弃．若K1α＞90°，则P n 在EF 的右侧，如图4中，过点P n 作P n Q ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴P n Q ∥CD ，∴∠EP n F ＝∠EP n Q ﹣∠FP n Q ＝∠BEM +∠CFN ＝（180°−K1α）−1β，∵K1α＞90°，1β＞0，∴（180°−K1α）−1β＜90°，即∠EP n F ＜90°，综上所述，不存在某一整数n ，使得∠EP n F ＝90°．【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△【结论】A O ∠-︒=∠2190.【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴由△BCO 中内角和定理可【题型7两外角角平分线模型】【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝53度．【分析】根据三角形的内角和定理，得∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°﹣106°＝254°；再根据角平分线的定义，得∠OCB+∠OBC＝127°；最后根据三角形的内角和定理，得∠O＝53°．【解答】解：∵∠A＝74°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°，∴∠BOC＝180°−12（360°﹣106°）＝180°﹣127°＝53°．【变式7-1】（2022春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC 与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？【分析】（1）（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义解答；（3）由前两问提供的思路，进一步推理．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）=12×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2=12×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+U2，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°−U2，∴∠A+∠A′＝90°+U2+90°−U2=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，所以当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．【变式7-2】（2022春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数是（）A．80°B．75°C．70°D．60°【分析】由角平分线的定义可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形的内角和定理，可得：∠E+∠1＝∠P+∠3，进而∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，同理∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，从而求出∠D的度数．【解答】解：由题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠E＝60°，∠P＝70°，在△AME和△PMC中，由三角形的内角和定理得：∠E+∠1＝∠P+∠3，∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，同理：∠P+∠2＝∠D+∠4，∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，∴∠D＝80°．故选：A．【变式7-3】（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD的内角和为360°，∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），＝α+β＝105°；（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）．理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°．（3）BE∥DF．理由：如图2，过点C作CP∥BE，则∠EBC ＝∠BCP ，∴∠DCP ＝∠BCD ﹣∠BCP ＝β﹣∠EBC ，由（1）知∠MBC +∠NDC ＝α+β，∵α＝β，∴∠MBC +∠NDC ＝2β，又∵BE 、DF 分别平分∠MBC 和∠NDC ，∴∠EBC +∠FDC =12（∠MBC +∠NDC ）＝β，∴∠FDC ＝β﹣∠EBC ，又∵∠DCP ＝β﹣∠EBC ，∴∠FDC ＝∠DCP ，∴CP ∥DF ，又CP ∥BE ，∴BE ∥DF ．【条件】△ABC 中，BP 、CP 分别是△【结论】A P ∠=∠21【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴由△ABC 外角定理可知：∠ACE 【题型8内外角角平分线模型】【例8】（2022春•榕城区期末）如图，∠AOB ＝60°，点M 、N 分别在OA 、OB 上运动（不与点O 重合），ME 平分∠AMN ，ME 的反向延长线与∠MNO 的平分线交于点F ，在M 、N 的运动过程中，∠F 的度数（）A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F=12∠O．【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故选：D．【变式8-1】（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．（1）如图1，求∠BOD的度数；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．（2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决【解答】解：（1）∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°﹣∠ABC），∵∠OBC=12∠ABC，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠OBC，∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，∴∠BOD＝90°；（2）①∵三个内角的平分线交于点O，∴∠EBF=12∠ABE=12（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵三个内角的平分线交于点O，∴∠EBF=12∠ABE=12（∠BAC+∠ABC），∴∠FCB=12∠ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF=12（∠BAC+∠ACB）−12∠ACB=12∠BAC，∵∠F＝50°，∴∠BAC＝2∠F＝100°；③∠F＝∠ABC＝50°，由②可知，∠BAC＝100°，∠BDO＝65°，∠ACB＝30°，∠OCD＝15°，∠COD＝50°，易知△BOD绕点O顺时针旋转15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行．【变式8-2】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1＝2；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分线与∠A2010CD的平分线交于点A2011，得∠A2011，则∠A2011＝22011．【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A＝α，∴∠A1=2；同理可得∠A2=12∠A1=12•12α=22，∴∠A n=2，∴∠A2011=22011．故答案为：2，22011．【变式8-3】（2022春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数。
专题01 三角形(解析版)-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练(人教版)
专题01 三角形思维导图核心考点聚焦1、三角形的三边关系的计算问题2、有关三角形高、角平分线的计算3、根据三角形的中线求长度问题（分类讨论）4、利用三角形的中线求面积5、三角形内角和的证明问题6、与平行线有关的三角形内角和问题7、三角形折叠角度问题8、有关三角形外角的计算问题9、多边形的内角与外角10、复杂图形的内角和问题11、三角形中的内角、外角平分线问题12、三角形中的几何模型一、三角形的分类1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.2．三角形的分类（1）按角分类：ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形从角的方面判断一个三角形的形状的方法：①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；③若最大内角为钝角，则该三角形是钝角三角形．（2）按边分类：ìïìííïîî不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形二、三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为a ，()b a b ³，则第三边长c 的取值范围是a b c a b -<<+．三、三角形的高、中线和角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．注意：①三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；②中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；四、三角形的稳定性1．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在实际生活中有很多用处．例如，桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构，就是这个道理．2．四边形没有稳定性.五、三角形的内角和定理1．三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180°的方法：添加平行线：3．三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．六、直角三角形直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形．常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形．七、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．八、多边形的对角线多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线能使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形．①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n -条对角线．九、多边形的内角和1．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．221122112．n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．3．正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n -×°．十、多边形的外角和1．多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．2．正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于．三角形中内角、外角平分线的夹角问题（2）如图所示，△ABC （3）如图所示，△ABC 考点剖析考点一、三角形的三边关系的计算问题例1．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．360n°例2．在△ABC 中，C B Ð>Ð，AE 平分BAC Ð，F 为射线AE 上一点（不与点E 重合），且FD BC ^于点D ．(1)如图1，若点F 与点A 重合，且50C Ð=°，30B Ð=°，求EFD Ð的度数；(2)如图2，若点F 在线段AE 上（不与点A 重合），求证：()12EFD C B Ð=Ð-Ð；(3)如图3，若点F 在△ABC 外部，探究此时EFD Ð，C Ð，B Ð之间的数量关系，并说明理由．【解析】（1）解：∵50C Ð=°，30B Ð=°，∴1805030100BAC Ð=°-°-°=°．∵AE 平分BAC Ð，例3．如图，在△ABC 中，AB BC =，中线AD 将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．【解析】解：AD Q 为中线，BD DC \=，AB BC =Q ，22AB BD DC \==，设BD x =，AC y =，当15AB BD +=，即315x =时，则12AC CD +=，即12x y +=，5x \=时，7y =；当12AB BD +=，即312x =时，则15AC CD +=，即15x y +=．4x \=时，11y =．10AB \=，10BC =，7AC =；或8AB =，8BC =，11AC =．1071710+=>，107310-=<，则能构成三角形；881611+=>，11838-=<，则能构成三角形；所以这个三角形的三边的长分别为：10、10、7或8、8、11．考点四、利用三角形的中线求面积例4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，DE 是ADC △的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线．(1)ABD △与ADC △的面积有何关系？请说明理由；例5．探究三角形的内角和(1)下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．已知：如图，△ABC ．求证：180A B C Ð+Ð+Ð=°．证明：在BC 上任取一点D ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ．(2)请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理．【解析】（1）证明：在BC 上任取一点D ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ．DE Q ∥AB ，,B EDC A CED \Ð=ÐÐ=Ð，DF Q ∥AC ，,C BDF CED EDF \Ð=ÐÐ=Ð，A EDF \Ð=Ð，180BDF EDF EDC Ð+Ð+Ð=°Q ，180A B C \Ð+Ð+Ð=°.（2）证明：如图，过点A 作DE BC ∥，则B BAD Ð=Ð，C EAC Ð=Ð．(两直线平行，内错角相等）∵点D ，A ，E 在同一条直线上，∴180DAB BAC EAC Ð+Ð+Ð=°．（平角的定义）180B BAC C \Ð+Ð+Ð=°，即三角形的内角和为180°．考点六、与平行线有关的三角形内角和问题例6．如图，AB CD P ，BE 平分ABF Ð，DE 平分CDF Ð，120BFD Ð=°，求BED Ð的度数．【解析】解：如图，连接BD ，∵120BFD Ð=°，(1)如图（1），如果沿直线DE 折叠，且DE AC ⊥，则BDA ¢Ð与A Ð的关系是(2)如图（2），如果沿直线DE 折叠后点A 落在四边形BCED 内部，探究BDA Ð并说明理由．(3)如果折成图（3）的形状，探究BDA ¢Ð，CEA ¢Ð和A Ð的关系，并说明理由．【解析】（1）解：2BDA A ¢Ð=Ð.∵12BDA ¢Ð=Ð+Ð，34CEA ¢Ð=Ð+Ð，∴1324BDA CEA DAE EA D ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð，又∵DAE EA D ¢Ð=Ð，∴2BDA CEA DAE ¢¢Ð+Ð=Ð；（3）解：2BDA CEA A ¢¢Ð-Ð=Ð．理由：如图（3），由翻折可得：A A Т=Ð，DEA DEA ¢Ð=Ð，A DE ADE ¢Ð=Ð，∵()()180180A A DE A ED A ADE AED ¢¢¢Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°+°，()()()360A A DEA DEA A DE ADE ¢¢¢Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴()()2180180360A CEA BDA ¢¢Ð+°+Ð+°-Ð=°，∴20A CEA BDA ¢¢Ð+Ð-Ð=，∴2BDA CEA A ¢¢Ð-Ð=Ð．考点八、有关三角形外角的计算问题(1)如图1，如果6090A ACB ÐÐ=°=°，，则(2)如图2，如果60A Ð=°，ACB Ð不是直角，求【解析】（1）∵6090A ACB ÐÐ=°=°，，∴1801806090ABC A ACB Ð=°-Ð-Ð=°-°-∵BD CE ，分别是ABC ACB ÐÐ，的平分线，∴()180********BPC PCB PBC Ð=°-Ð+Ð=°-°=°．考点九、多边形的内角与外角例10．（1）如图1，这是一个五角星，则A B C D E Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=_________．（2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求A B C D E G Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð的度数．（3）如图3，将五角星的每个角都截去，求A B C D E F G H I J Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð的度数．【解析】解：（1）如图，由三角形的外角性质，得1A C Ð+Ð=Ð，2B D Ð+Ð=Ð，∵21180E Ð+Ð+Ð=°，∴180A B C D E Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，故答案为：180°；（2）如图，延长CA 与DG 相交于点H ，CAG Ð和AGD Ð是HAG △的两个外角，则CAG H AGH Ð=Ð+Ð，AGD H HAG Ð=Ð+Ð，180CAG AGD H HGA H HAG H \Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+°，180180360GAC B C D E AGD \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°+°=°，故A B C D E G Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð的度数为360°．（3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数和会增加180°，图1中，180A B C D E Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，在题图3中，去掉五个角后，A B C D E F G H I JÐ+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð180********=°+´°=°．考点十一、三角形中的内角、外角平分线问题例11．阅读下面的材料，并解决问题．(1)已知在△ABC 中，60A Ð=°，图13﹣的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，请直接求出下列角度的度数．如图1，O Ð=_________；如图2，O Ð=_________；如图3，O Ð=_________；如图4，ABC Ð，ACB Ð的三等分线交于点1O ，2O ，连接12O O ，则21BO O Ð=_________．(2)如图5，△ABC 中，ABC Ð的三等分线分别与ACB Ð的平分线交于点1O ，2O ，若1115Ð=°，2135Ð=°，求A Ð的度数．【解析】（1）解：如图1，∵BO 平分ABC Ð∴12OBC ABC Ð=Ð∴OBC OCB ÐÐ＋∴(180O Ð=°-∵BO 平分ABC Ð，∴12OBC ABC Ð=Ð，∵ACD ABC Ð=Ð+Ð∴(1OCD ABC Ð=Ð∵BO 平分EBC Ð，∴12OBC EBC Ð=Ð∵ABC Ð，ACB Ð的三等分线交于点∴223O BC ABC Ð=Ð，Ð∵1O B 平分2O BC Ð，1O ∴(2223O BC O CB Ð+Ð=∵1115Ð=°，2135Ð=°∴212120O BO Ð=Ð-Ð=∵ABC Ð的三等分线分别与∴21360ABC O BO Ð=Ð=∴218020135BCO Ð=--°°(1)在图1中，A Ð，B Ð，C Ð，D Ð之间有何数量关系？直接写出结论．(2)如图2，在（1）的结论下，DAB Ð与BCD Ð的平分线于点M ，N ．P Ð与D Ð，B Ð之间有何数量关系？并说明理由．【解析】（1）解：A D B C Ð+Ð=Ð+Ð，求解过程如下：由对顶角相等得：AOD BOC Ð=Ð，过关检测一、选择题A ．160°B ．170°C ．180°D ．190°【答案】C 【解析】由题意知，1801108ABC Ð=°-Ð=°，180272ADC Ð=°-Ð=°，∴360180A C ABC ADC Ð+Ð=°-Ð-Ð=°，故选C ．3.如图所示，在△ABC 中，40C Ð=°，将△ABC 沿着直线l 折叠，点C 落在点D 的位置．则12Ð-Ð的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．110°D ．140°【答案】A【解析】如图所示，由题意得：C D Ð=Ð，13C Ð=Ð+ÐQ ，32D Ð=Ð+Ð，1222C D C \Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð，12280C \Ð-Ð=Ð=°．故选A ．4.如图，CD 和CE 分别是△ABC 的角平分线和高线．若A a Ð=，B b Ð=，B A Ð>Ð，则用a 和b 表示DCE Ð的度数为（ ）A ．1122b a -B ．b a -【答案】A 【解析】∵A a Ð=，B b Ð=，180A CB a b Ð=°--A ．①②③B ．①③④【答案】C【解析】解：如图，∵BO CO ，分别平分,ABC ACB ÐÐ∴12ABO CBO ABC Ð=Ð=Ð，∵(12ACD ABC DCE Ð=Ð-Ð=Ð，则【答案】105°/105度Q∥【解析】如图，a bQ，3AÐ=Ð+Ð=°A30\Ð=Ð-Ð=°A43105Ð+Ð+8.如图所示，12【答案】360【解析】如图，根据三角形外角的性质可得12345Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+故答案为360．9.如图，点M 是ABC △:4:2CMB CNB ÐÐ=，那么【答案】60【解析】Q 点M 是ABC V 1,2MBC ABC MCB \Ð=ÐÐ【答案】①②③【解析】∵BE是中线，=，AE CE11.一个多边形的内角和比它的外角和的4 倍少180°，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对【解析】解：∵AD BC ⊥∴90ADC Ð=°，∵70C Ð=°，∴1809070DAC °°=-Ð-∵AE 平分BAC Ð，(1)如图1，若B C Ð=Ð，求出B Ð的度数；(2)如图2，若BCD Ð的平分线CE 交【解析】（1）解：在四边形ABCD 中，(1)如图①，若40A Ð=°时，点D 在△ABC 内，则ABC ACB Ð+Ð=____度，DBC ÐABD ACD +=∠∠_____度；(2)如图②，改变直角三角板DEF 的位置，使点D 在△ABC 内，请探究ABD Ð、Ð怎样的数量关系，并验证你的结论．(3)如图③，改变直角三角板DEF 的位置，使点D 在△ABC 外，且在AB 边的左侧，判断∵ACD A AMC Ð+Ð+Ð=∴90ACD A ABD Ð+Ð=°+Ð∴90ACD ABD Ð-Ð=°-15.如图，在△ABC 中，(1)当点E 在线段BD 上时．①若40ABC Ð=°，60C Ð=°，FED Ð的度数为______；FGD Ð的度数为②求证：1902FGD A Ð=°-Ð；(2)当点E 在线段BD 的延长线上时，直接写出FGD Ð与A Ð之间的数量关系．∵BD平分ABCÐ，∴12CBD ABC Ð=Ð．∵EF BC∥，1。
2019届浙教版数学中考复习之专题八：三角形(含答案)
一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。
（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。
（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力 二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。
难点是综合应用这些知识解决问题的能力。
三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
知识点3 等腰三角形 等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质： ①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4 直角三角形 直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。