含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解

本文的目的是在没有(AR)条件的情况下得到问题(1)的无穷多解的存在性。
首先，给出函数 φ : (0, +∞) → 满足下列假设：
(φ1 ) 当 t → 0 时， tφ (t ) → 0 ，当 t → ∞ 时， tφ (t ) → ∞ ；
(φ2 ) tφ (t ) 在 (0, +∞) 上严格增的；
<
0 时， Φ∗ (t )
=Φ∗ (−t ) 。如果对于所有的ν
>
ϒ (ν t )
0
，都有
lim
t →∞
Φ∗
(t
)
=
0，
则称函数 ϒ 在无穷远处比 Φ∗ 增长得更慢，记 ϒ Φ∗ 。如果 ϒ Φ∗ ，则 W01,Φ (Ω)
Lϒ (Ω) 。进一步，
有 W01,Φ (Ω)
LΦ∗ (Ω) 。在条件 (φ1 ) -(φ3 ) 下，有连续嵌入：Lm (Ω)
Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(10), 1123-1131 Published Online December 2019 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2019.910138
王明旻，贾高
关键词
拟线性椭圆型方程，凹凸非线性项，喷泉定理
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Infinitely Many Solutions for Quasilinear Elliptic Equations with Φ-Laplacian Operator
Mingmin Wang*, Gao Jia College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai
进一步，假设 f : Ω × → 是连续函数且满足下面条件：
( f1 ) f 满足次临界增长条件，即对任意的 ( x,t ) ∈ Ω × ，有
( ) f ( x,t ) ≤ c0 1+ t q−1 ，
其中 m
<
q
<
∗

，
c0
>
0；
( f2 )
F ( x,t)
lim
t →∞
tm
= +∞ 对几乎所有 x ∈ Ω 一致成立；
摘要
本文利用喷泉定理讨论了一类具有Φ-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程Dirichlet问题，在非线性项不 满足(AR)条件的情况下，得到无穷多解的存在性。
*通讯作者。
文章引用: 王明旻, 贾高. 含 Φ-Laplace 算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解[J]. 理论数学, 2019, 9(10): 1123-1131. DOI: 10.12677/pm.2019.910138
=
1, 0,
i i
= ≠
j, j.
{} k
∞
记 X j = span ej
，对任意的 k ∈ ，定义 Yk =
⊕
j =1
X
j
，
Zk
=
⊕
j=k
X
j
。
引理 2.5：(喷泉定理)设 X 是可分的自反实 Banach 空间，I ∈ C1 ( X , ) 是偶泛函，如果对任意的 k ∈ ，
存在 ρk > rk > 0 ，使得
−
mF
( x,t)
，
F
( x,t )
=
t
∫0
f
(
x,
s) ds
；
( f4 ) f ( x, −t ) =− f ( x,t ) ， ∀( x,t ) ∈ Ω × 。
假设 f 在无穷远处 m 次超线性增长，即 ( f2 ) ，但不满足(AR)条件(见文献[6])，这对我们解决问题造 成了困难。为了克服这一困难，我们需要证明 (C )c 条件，从而利用喷泉定理，得到问题(1)的无穷多解的
DOI: 10.12677/pm.2019.910138
1124
理论数学
王明旻，贾高
( f3 ) 存在常数 µ2 > 0 ，使得对任意的 a ∈[0,1] ，有
F ( x, at ) ≤ F ( x,t ) + µ2 ， ∀( x,t ) ∈ Ω × ，
其中 F= ( x,t )
tf
(
x,t )
定义 2.3： 设 ( X , ⋅ ) 是实 Banach 空间， I ∈ C1 ( X , ) ，我们说泛函在水平 c ∈ 处满足 Cerami 条件
(简称 (C )c 条件)是指：如果对任意序列 {un} ⊂ X ，当 n → ∞ 时，有 I (un ) → c ，且 I ′(un ) ∗ (1+ un ) → 0 ，
那么 {un} 在 X 中存在收敛的子序列。
引理 2.4 [8]：设 (φ1 ) -(φ3 ) 成立，则 −∆Φ 是 (S+ ) 型算子，即对任意给定序列 {un} ⊂ W01,Φ (Ω) ，若 un u ， 且 lim sup −∆Φun , un − u ≤ 0 ，则在W01,Φ (Ω) 中有 un → u 。
1,
,
n}

，在
W
1,Φ
(
Ω
)
上定义范数：
u = u + ∇u 。
1,Φ
Φ
Φ
记W01,Φ (Ω) 是 C0∞ (Ω) 在W 1,Φ (Ω) 中的闭包。设 Φ 满足 ∆2 -条件，即 Φ (2t ) ≤ KΦ (t ) ，∀t ≥ 0 ，则 LΦ (Ω) 和W 1,Φ (Ω) 是可分、自反的 Banach 空间(见文献[7])。
Iλ (u) =
∫Ω Φ (
∇u
) dx
−
λ τ
∫Ω
u
τ
dx
−
∫Ω
F
( x,u) dx
。
(3)
在基本假设 (φ1 ) -(φ4 ) 和 ( f1 ) -( f4 ) 成立前提下，容易验证(3)是有意义的，且
Iλ′ (u= ) v ∫Ωφ ( ∇u )∇u∇vdx − λ ∫Ω u τ −2 uvdx − ∫Ω f ( x,u ) vdx ， ∀v ∈W01,Φ (Ω) 。
Open Access
1. 引言
本文考虑如下带有 Dirichlet 边界的拟线性椭圆型方程存在无穷多解：
−= ∆Φu λuτ −1 + f ( x,u ), x ∈ Ω,
(1)
= u 0,
x ∈ ∂Ω,
( ) 其中
Ω
⊂
N

是一个具有光滑边界的有界区域，∆= Φu
div φ ( ∇u )∇u
n→∞
为了证明主要结果需要使用下列的喷泉定理(见文献[9])。
{ } { } 设 X 为可分自反的 Banach 空间，存在 ej ⊂ X ， e∗j ⊂ X ∗ ，使得
{ } { } = X
s= pan ej : j
1, 2,= ， X ∗
s= pan e∗j : j
1, 2, ，
且
e j , e∗j
( ) 设= dΩ
diam (Ω) ，则对任意 u ∈W01,Φ (Ω) ，有 ∫Ω Φ (u ) dx ≤ ∫Ω Φ 2dΩ ∇u
dx ，那么
u
Φ
≤ 2dΩ
∇u
。
Φ
因此，定义在W01,Φ (Ω) 上的范数 u :=
∇u
与
Φ
⋅ 1,Φ
等价。
设
Φ
−1 *
t Φ−1 ( s)
∫= 0
N +1 ds
sN
，且当 t
{ ( ) } 记 LΦ= (Ω) u | u : Ω → 是可测的, ∫Ω Φ u ( x) dx < ∞ ，在 LΦ (Ω) 上定义 Luxemburg 范数：
u= Φ
inf k
k
>
0

∫Ω Φ
u(x)
k
dx
≤ 1
。
记W 1,Φ (Ω) =
{u u ∈ LΦ (Ω), Diu ∈ LΦ (Ω),i =
{ } { } η1 (t ) = min t ,tm ，η2 (t ) = max t ,tm 。
DOI: 10.12677/pm.2019.910138
1125
理论数学
王明旻，贾高
则对于任意 ρ,t > 0 ， u ∈ LΦ (Ω) ，成立
η1 (t )φ ( ρ ) ≤ φ ( ρt ) ≤ η2 (t )φ ( ρ ) ，η1 ( u Φ ) ≤ ∫Ω Φ (u) dx ≤ η2 ( u Φ ) 。
因此，寻找问题(1)的弱解等价于求 Iλ 的临界点。
3. 主要结果的证明
引理
3.1：设
(φ1
)
-
(φ4
)
和
(
f1
)
-
(
f3
)
成立，则对任意的
c
>
0
，泛函
Iλ
满足
(C
) c
条件。
证明：设 (C )c 序列 {un} ⊂ W01,Φ (Ω) ，满足
Iλ (un ) → c ， n → ∞ ，
(4)
Iλ′ (un )