椭圆几何性质课件
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
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的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的几何性质 课件(52张)
c 的等量关系．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
《椭圆的几何性质》课件
椭圆的焦点性质
1 焦距定理
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
2 焦点到直线的距离
椭圆上任意一点到直线的距离与其与两个焦点的距离相等。
3 焦点到任一点距离之和
焦点到椭圆上任意一点距离之和等于长轴的长度。
椭圆的切线
1
切点和法线垂直于切线。
2
切线的斜率和方程
总结
1 椭圆的定义及特点
椭圆是由两个焦点和常距 离点的连线构成的几何形 态。
2 椭圆的焦点、切线和
双曲线性质
椭圆具有焦点性质，切线 和双曲线也与椭圆有所关 联。
3 椭圆的应用和意义
椭圆在工程、艺术和日常 生活中扮演着重要的角色， 具有广泛的应用和意义。
切线的斜率可以通过椭圆的参数表示，方程可以通过切点和斜率求得。
3
切线和弦的交点和中垂线
切线和椭圆上任意一条弦的交点在椭圆的中垂线上。
椭圆的双曲线性质
椭圆与双曲线的区别
椭圆的焦点在内部，离心率小 于1；双曲线的焦点在外部，离 心率大于1。
双曲线的基本形态
双曲线具有两个分离的曲线臂， 曲线臂的形状类似于打开的喇 叭。
双曲线的焦点和离心 率
双曲线也有焦点和离心率的概 念，但与椭圆略有不同。
椭圆的应用
椭圆在工程中的应用
椭圆在艺术中的运用
椭圆形状可以应用于桥梁设计， 提供更好的结构支持和负载分散。
椭圆形状在艺术作品中常用于创 造平衡、和谐和美感的效果。
椭圆在日常生活中的例子
行星轨道、椭圆形家具等都是椭 圆在日常生活中的例子。
《椭圆的几何性质》PPT 课件
欢迎来到《椭圆的几何性质》PPT课件！在本课程中，我们将深入研究椭圆的 几何性质，涵盖定义、基本形态、焦点性质、切线、双曲线性质、应用等内 容。让我们一起开始这个精彩的学习之旅吧。
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
a
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
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复习引入
1.椭圆定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a (2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2
y x
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、
(b,0)、(-b,0)、
(0,b)、(0,-b)
(0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
3、椭圆的顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
椭圆与 y轴的交点是什么？令 x=0，得y =±b
椭圆与 x轴的交点是什么？令 y=0，得 x =±a
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2 A1 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 (a,0) F1
它的长轴长： 10
焦距：
6
焦点坐标： (3, 0)
；短轴长： 8 ；
3
；离心率： 5 ；
；顶点坐标：(5, 0) (0, 4) ；
分析：椭圆方程转化为标准方程为： 16x2 25 y2 400 x2 y2 1 25 16 于是a=5，b=4，c=3.
练习
1.已知椭圆方程为6x2+y2=6
x2 a2
( y)2 b2
x2 a2
y2 b2
1
即 P2在椭圆上,则椭圆关于x轴对称
（3）椭圆(a上x2)任2 意(一by2点)2 P(xax,22y)关by22于原1点的对称点是P3 (x, y)
即 P3在椭圆上,则椭圆关于原点对称
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
P3（-x，-y）
P（x，y） X
P2 x, y
从方程上看：
（1）椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是P1(x, y)
x 2
a2
y2 b2
x2 a2
y2 b2
1
即 P1 在椭圆上,则椭圆关于y轴对称
（2）椭圆上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点是P2 (x, y)
它的长轴长： 2 6 。短轴： 2 。
30
焦距：
25
。离心率： 6 。
焦点坐标： (0, 5) 。顶点坐标：(0, 6) (1, 0)。
外切矩形的面积： 4 6 。
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上，c = 3 ,e= 1 ；
3
(2)长轴长等于20，离心率等于
3 5
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
16 12
6 10
e1
2
2 3
, e2
1 2
e1 e2 ,前者更圆
e1
22 3
, e2
2 10 10
e1 e2 ,前者更圆
标准方程 图象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
范围 对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
1和
y2 b2
1
即a x a , b y b
说明：椭圆落在x =±a,y =±b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2 x
B1
2.椭圆的对称性
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
Y
从图形上看：
P1（-x，y）
椭圆关于x轴、y轴、
原点对称，既是轴
O
对称图形，又是中 心对称图形。
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2
椭圆的简单几何性质
观察椭圆的图像，以焦点在x轴上为例
y
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
O
x
你能从它的图像上看出它的范围吗？
它具有怎样的对称性？
椭圆上哪些点比较特殊？
1.范围
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
a、b、c分别叫做椭圆的长半 轴长、短半轴长、半焦距。
y
B2 (0,b)
b
oc
a
A2
F2 (a,0) x
B1 (0,b)
四个顶点坐标分别为(-a, 0) (a, 0) (0, -b) (0, b)
4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比：e
c a 叫做椭圆的离心率。
(1)离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e <1
e c a
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线）
y B2 x
B2(0,-b)
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
谢谢！
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 25 16
1
(2)离心率对椭圆形状的影响：
①e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
②e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭
圆就越圆
③特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，
椭圆变为圆，方程变为 x2 y2 a2
典例分析
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
（2）
x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
总结：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图， 只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.
（1）经过点P(3, 0) 、Q(0, 2) ； 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ．
(1) x2 y2 1； 94
x2 y2 (2) 1
或
y2 x2 1
100 64
100 64
4.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，
哪一个更扁？
（1）9x2 y2 36与 x2 y2 1；(2)x2 9 y2 36与 x2 y2 1
1.椭圆定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a (2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2
y x
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、
(b,0)、(-b,0)、
(0,b)、(0,-b)
(0,a)、(0,-a)
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
3、椭圆的顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
椭圆与 y轴的交点是什么？令 x=0，得y =±b
椭圆与 x轴的交点是什么？令 y=0，得 x =±a
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2 A1 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 (a,0) F1
它的长轴长： 10
焦距：
6
焦点坐标： (3, 0)
；短轴长： 8 ；
3
；离心率： 5 ；
；顶点坐标：(5, 0) (0, 4) ；
分析：椭圆方程转化为标准方程为： 16x2 25 y2 400 x2 y2 1 25 16 于是a=5，b=4，c=3.
练习
1.已知椭圆方程为6x2+y2=6
x2 a2
( y)2 b2
x2 a2
y2 b2
1
即 P2在椭圆上,则椭圆关于x轴对称
（3）椭圆(a上x2)任2 意(一by2点)2 P(xax,22y)关by22于原1点的对称点是P3 (x, y)
即 P3在椭圆上,则椭圆关于原点对称
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
P3（-x，-y）
P（x，y） X
P2 x, y
从方程上看：
（1）椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是P1(x, y)
x 2
a2
y2 b2
x2 a2
y2 b2
1
即 P1 在椭圆上,则椭圆关于y轴对称
（2）椭圆上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点是P2 (x, y)
它的长轴长： 2 6 。短轴： 2 。
30
焦距：
25
。离心率： 6 。
焦点坐标： (0, 5) 。顶点坐标：(0, 6) (1, 0)。
外切矩形的面积： 4 6 。
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上，c = 3 ,e= 1 ；
3
(2)长轴长等于20，离心率等于
3 5
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
16 12
6 10
e1
2
2 3
, e2
1 2
e1 e2 ,前者更圆
e1
22 3
, e2
2 10 10
e1 e2 ,前者更圆
标准方程 图象
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
范围 对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
1和
y2 b2
1
即a x a , b y b
说明：椭圆落在x =±a,y =±b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2 x
B1
2.椭圆的对称性
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
Y
从图形上看：
P1（-x，y）
椭圆关于x轴、y轴、
原点对称，既是轴
O
对称图形，又是中 心对称图形。
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系: a2=b2+c2
椭圆的简单几何性质
观察椭圆的图像，以焦点在x轴上为例
y
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
O
x
你能从它的图像上看出它的范围吗？
它具有怎样的对称性？
椭圆上哪些点比较特殊？
1.范围
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
a、b、c分别叫做椭圆的长半 轴长、短半轴长、半焦距。
y
B2 (0,b)
b
oc
a
A2
F2 (a,0) x
B1 (0,b)
四个顶点坐标分别为(-a, 0) (a, 0) (0, -b) (0, b)
4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比：e
c a 叫做椭圆的离心率。
(1)离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e <1
e c a
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线）
y B2 x
B2(0,-b)
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
谢谢！
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 25 16
1
(2)离心率对椭圆形状的影响：
①e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
②e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭
圆就越圆
③特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，
椭圆变为圆，方程变为 x2 y2 a2
典例分析
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
（2）
x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
总结：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图， 只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.
（1）经过点P(3, 0) 、Q(0, 2) ； 3 （2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ．
(1) x2 y2 1； 94
x2 y2 (2) 1
或
y2 x2 1
100 64
100 64
4.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，
哪一个更扁？
（1）9x2 y2 36与 x2 y2 1；(2)x2 9 y2 36与 x2 y2 1