4 高斯
第四节 高斯定理
S h r p ·
E
设单位长度的圆通带电量为η
E 2 rh h / 0 E er 2 0 r
2 1
R2 R1
2
1
2 E dl Edr
1
dr 2 0 r
R2 ln 2 0 R1
求无限大均匀带点平板的电场
r' 3 0
E E (r ) E (r ) r r ' a 3 0 3 0
作业：1－39，1－41
下次课继续
S
E
q 4 0 r 2
o
R
r
求均匀带电球的电场 外部
E Q 4 0 r 2 4 R3 er 4 0 r 2 3 1
内部
E qr 4 3 r er 4 0 r 2 3 1
4 0 r 2
r 3 0
两个同轴圆筒半径为R1， R2， 带有相等异号电荷，球场强分布
S
E dS
E 2S S / 0
E 2 0
求均匀带电球中挖出一个 球形空腔后，空腔的电场
E (r )
E (r ')
4 0 r 2
qr
4 3 r er 2 4 0 r 3 1
r 3 0
qr ' 1 4 r '3 er ' 4 0 r '2 4 0 r '2 3
§3 高斯定理
1. 电通量
通过某一曲面的电力线条数叫通过该曲面上的电通量 对匀强电场 ES E S ES cos n
4年级高斯数学
4年级高斯数学
四年级高斯数学是针对四年级学生的一门数学课程，以高斯数学为基础，通过有趣的故事和生动的例子，引导学生学习数学的基本概念和原理。
该课程共70节课，通过讲解、演示和实践等多种方式，帮
助学生掌握数学的基本技能和思维方式，培养他们的逻辑思维、空间想象和解决问题的能力。
此外，该课程还注重培养学生的数学兴趣和自信心，让他们在轻松愉快的氛围中享受数学的乐趣。
同时，该课程也强调数学在日常生活中的应用，引导学生发现身边的数学问题，并用所学知识解决这些问题。
总的来说，四年级高斯数学是一门既有趣又有用的数学课程，对于提高学生的数学素养和思维能力有很大的帮助。
四年级高斯数学导引第三讲超越篇
四年级高斯数学导引第三讲超越篇（原创实用版）目录1.导引简介2.高斯数学导引的内容3.四年级高斯数学导引第三讲的主要内容4.超越篇的含义和作用5.超越篇的主要知识点6.总结正文一、导引简介《四年级高斯数学导引》是一本针对小学四年级学生的数学辅导教材，以德国数学家高斯的教学理念为基础，结合我国的教育实际，为学生提供系统、全面的数学知识。
本书的内容涵盖了四年级数学课程的全部知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高学生的数学素养和解题能力。
二、高斯数学导引的内容《四年级高斯数学导引》共分为十讲，内容包括：算术、代数、几何、测量、组合、概率、逻辑、方法、策略、竞赛等。
每讲都按照知识点的难易程度和学生的接受能力进行编排，既有基本概念的讲解，也有综合运用的训练，让学生在掌握知识的同时，也能学会解题的方法和技巧。
三、四年级高斯数学导引第三讲的主要内容第三讲为超越篇，主要介绍了一些基本的超越数及其性质。
超越数是指不能表示为两个整数的比值的实数，例如圆周率π和自然对数的底数 e等。
本讲的主要内容包括：超越数的概念、性质、分类和一些著名的超越数等。
四、超越篇的含义和作用超越篇的含义是指那些不能用有理数表示的实数，它们在数学中有着广泛的应用。
学习超越数，有助于学生更好地理解实数的概念，丰富学生的数学知识，提高学生的数学素养。
同时，超越数的学习也为以后学习更高级的数学知识打下基础。
五、超越篇的主要知识点1.超越数的概念：不能表示为两个整数的比值的实数。
2.超越数的性质：无理数、无限不循环小数、不能表示为整系数方程的根等。
3.超越数的分类：代数无理数、无理代数数、超越代数数等。
4.著名的超越数：圆周率π、自然对数的底数 e、黄金分割比例φ等。
六、总结《四年级高斯数学导引》第三讲超越篇为学生介绍了一些基本的超越数及其性质，让学生了解到超越数的概念、性质、分类和一些著名的超越数等知识。
4高斯最小拘束原理
n
3
证：将拘束改写为 1 n 1 Z = ( Fi − m i a i ) ⋅ ( Fi − m i a i ) 2 i =1 m i
∑
设真实运动的加速度为 && ，约束允许的可能加速度 r 为 && + δ&& ，则拘束Z的变化： r r
1 n 1 ∆ Z = ∑ {[ Fi − m i ( && + δ &&)] ⋅ [ Fi − m i ( && + δ &&)] − r r r r 2 i =1 m i ( Fi − m i &&) ⋅ ( Fi − m i &&)} r r 1 n 1 = ∑ [ m i2δ && ⋅ δ && − 2 m i ( Fi − m i &&)δ &&] r r r r 2 i =1 m i n 1 n = ∑ m i δ && ⋅ δ && − ∑ ( Fi − m i &&)δ && r r r r 2 i =1 i =1
16
根据高斯原理： ∂Z ∂Z ∂Z & && + && + δZ = δx δy δϕ& = 0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
∂Z ∂Z ∂Z = 0， = 0， =0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
即：
∂&&1 x ∂&&2 x m1 ( &&1 − g sin α ) x + m2 ( &&2 − g sin α ) x = 0 (6) ∂&& x ∂&& x ∂&&1 y ∂&&2 y m1 &&1 y y + m2 &&2 = 0 (7) y y ∂&& ∂&& ∂&&1 x ∂&&1 y ∂&&2 x ∂&&2 y m1 ( &&1 − g sin α ) x + m1 &&1 y + m2 ( &&2 − g sin α ) x + m2 &&2 y =0 && && && && ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
10下4高斯函数
x∈ Z, x∉ Z, x∈ Z, x ∉ Z;
探索： 探索： [ x-y]与[ x]-[ y]之间的关系 与 之间的关系 (1)证：∵[ x] ≤ x ≤ y < [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y].
严格不等式 !
( 4 ) [x] + [y] ≤ [x+y] ≤[x] + [y] ＋1,其中等号有 且仅有一个成立 ; 0≤{x + y}≤{x}+{y }.
n − 1 1 2 [ x] + x + + x + + L + x + = [ nx ]. n n n 这里 x ∈ R + , n ∈ Z + .
( 3)
证明思路1: 凑整： 证明思路 凑整： 等式左边可以分成两部分： 等式左边可以分成两部分：一是 x 的整数部分相 加．二是由 x 的小数部分加上 i / n ( i =1, 2, …, n－ － 1), 然后取整得到的．再与右边比较。 然后取整得到的．再与右边比较。 证明思路2： 证明思路 ：函数思想 ( 构造函数 f(x) 为等式右侧减
末尾连续地有24位全是数字 位全是数字0． 故100! 末尾连续地有 位全是数字 ．
100!=9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859 29638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582 ∞ n 51185210916864000000000000000000000000 m m=1 p
第七节 高斯函数[x] 高斯函数[
4点高斯数值积分公式
4点高斯数值积分公式概述：高斯数值积分是一种常用的数值积分方法，通过将被积函数在积分区间内进行适当的插值，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
其中，4点高斯数值积分公式是高斯数值积分的一种常见形式。
本文将介绍4点高斯数值积分公式的原理、计算方法以及应用。
1. 原理：高斯数值积分公式是基于插值多项式的思想，通过在积分区间内选取一组特定的插值节点，构造一个与被积函数近似的插值函数，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
2. 4点高斯数值积分公式的计算方法：4点高斯数值积分公式是通过选取4个特定的插值节点来进行数值积分的方法。
选取节点的方法是通过对区间[-1, 1]上的Legendre 多项式进行求解，得到多项式的根，并将这些根映射到积分区间[a, b]上。
具体计算方法如下：步骤1：确定积分区间[a, b]和被积函数f(x)。
步骤2：通过求解Legendre多项式的根，得到4个插值节点x1, x2, x3, x4。
步骤3：将插值节点映射到积分区间[a, b]上，得到实际的插值节点a1, a2, a3, a4。
步骤4：计算插值节点处的权重系数w1, w2, w3, w4。
步骤5：计算数值积分的近似值I ≈ w1f(a1) + w2f(a2) + w3f(a3) + w4f(a4)。
3. 4点高斯数值积分公式的应用：4点高斯数值积分公式在实际问题中有广泛的应用，特别是对于无法直接求解的复杂函数定积分而言，可以通过高斯数值积分来近似计算。
例如，在物理学中，许多物理量的计算需要进行积分。
通过使用高斯数值积分公式，可以将积分转化为对被积函数在特定插值节点上取值的加权求和，从而得到近似的积分结果。
在金融学中，对于期权定价等问题，也可以利用高斯数值积分公式来进行近似计算。
通过将期权的支付函数表示为被积函数，然后使用高斯数值积分公式来计算期权的价值。
4. 总结：4点高斯数值积分公式是一种常用的数值积分方法，通过选取4个特定的插值节点和权重系数，在积分区间内对被积函数进行插值和积分，从而近似计算定积分的值。
数值分析4。4高斯型求积公式
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
4高斯定理
2）作垂直于带电面的高斯圆柱面 + +
+
S2
S3
S1 S2
S3
E dS E1 dS1 E2 dS
S S1 S2
x ˆ i 2 x 依高斯定理：SE dS 0 qi
S3
O+ + + S1 + 1 E +
2）作半径为 r 的球面 ( R r ) S dS 由高斯定理： + 1 + ++ + + E dS R+ r S q++ ++ 0 ++ + 1 +q + + E cos 0 dS + + S + E (r )
q
i
0 S内
q
q
S内
i
E 4r
一、电场线（Electric line of force） 用矢量一点一点表示场强的缺点： 1）只能表示有限个点场强； 2）场中箭头零乱。
曰
规定： 1）线上每一点切向方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场线单位面积的电场线数（电 场线密度）应等于该点的电场强度值。
规定：1）线上每一点切向方向表示该点电场 强度的方向； 2）通过垂直于电场线单位面积的电场 线数（电场线密度）应等于该点的 电场强度值。
e ES cos ES 注意： E是S上的E
B）非均匀场
dS E
E
因各点场强不一样。 分割成许多小面元，任 取一面元
d e E dS e E dS
4。4高斯型求积公式
华长生制作
19
例 计算积分
1
1
2 x dx 2 1 x
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x 于是有
2 x 2 3 dx 1 x2 3 2 3 4.368939556 2 2
1
1
2
15
华长生制作
Ak 4-4。 Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 k
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
x
必须作变量替换
1 1 x a b b a t 2 2
，并有
使 x
[a , b ] 时，t [ 1,1]
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
华长生制作 22
4. 高斯-埃尔米特求积公式
x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
华长生制作
0
e x f x dx Ak f xk
k 0
21
n
其中
[(n 1)!]2 Ak 1 ( xk )]2 xk [ Ln (k 0,1, , n)
截断误差为
[(n 1)!]2 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (0, ) (2n 2)!
14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 x0
1 1 , x1 3 3
P 2 x
1 (3 x 2 1), 2
, Ak 为1（k=0,1) ;
第四章 高斯定律
一般来说，曲面
S
可能是弯曲的，电场
r E
可能在曲面的不同地方有不同的大小和方向。我们这
里感兴趣的是闭合曲面。所谓闭r 合曲面，是指完全封闭一定体积的曲面。为了计算电通量，我们将 曲面分成众多的无限小面元 ∆Ai = ∆Ainˆ i ，如图 4.1.3 所示。注意，对闭合曲面来说，其面元的法线 方向 nˆ i 以指向外为正法向。
3
图 4.2.2 半径为 r 的球面上的小面元 因此，穿过该面元的净电通量为 穿过整个曲面的总通量为
从半径为 r 的球面面积为 A = 4πr2 考虑，并且点电荷的电场为 E = Q 4πε0r 2 ，我们同样可得到这
个结果，即穿过球面的电通量为 上面我们取球面作为高斯面。但我们可以证明，实际上闭合曲面的形状可以是任意的。对如图 4.2.3
反之，当电场
r E
与
nˆ
有一夹角θ
时（图
4.1.2），电通量为
r
r
这里 En = E ⋅ nˆ 是 E 在垂直于曲面方向上的分量。
图 4.1.2 穿过面积为 A 的曲面的电场线，这里电场方向与曲面法线方向有一个θ 的夹角。
根据法线 nˆ 的定义，若电场线离开曲面，则电通量是正的；若电场线进入曲面，则电通量是负的。
的曲面，我们可以得到同样的结果（Φ E = Q ε0 ），不论是取 S1 、 S2 还是 S3 。
图 4.2.3 不同的高斯面给出相同的向外的电通量 所谓高斯定律就是， 通过任意闭曲面的净通量正比于该曲面包围的净电荷。数学上，高斯定 律可以表达为
4
这里 qenc 是闭曲面内的净电荷。解释高斯定律之所以成立的一个办法是，我们注意到，离开电荷的
rr E ⋅ dA 求和。
数学家高斯的小故事简短4个
数学家高斯的小故事简短4个
1. 高斯的童年奇才：高斯出生在一个贫穷的家庭，但他的数学天赋却早已显露。
有一次，他的老师给学生们做了一个难题，要他们把1到100相加，高斯却很快就算出了答案。
原来，他发现了一种快速求和的方法，即将1到100分成50对，每对相加得到101，然后再乘以50，得到5050，这个答案让老师和同学们都惊叹不已。
2. 高斯的发现之旅：高斯在数学领域有许多重要的发现，其中最著名的是高斯曲线。
有一次，高斯在研究质数的分布时，发现了一种特殊的曲线，这个曲线后来被称为高斯曲线，对数论和统计学都有重要意义。
高斯的这一发现使他成为了当时最杰出的数学家之一。
3. 高斯的数学竞赛：有一次，高斯参加了一场数学竞赛，竞赛的题目很难，但高斯却很快就解出了答案。
据说，高斯在比赛中写下了答案，并在旁边写上了“很显然”，这让其他选手都感到无比惊讶。
高斯的这一举动展现了他对数学的深刻理解和自信。
4. 高斯的谦逊和慷慨：尽管高斯是一位数学天才，但他却非常谦逊和慷慨。
有一次，一个年轻的数学家向高斯请教一个难题，高斯很快就给出了解答，并且还给了这位年轻人一笔钱作为奖励。
高斯的慷慨和乐于助人让他备受尊敬和爱戴。
高斯定理1
E
0
R
r
如果是均匀带电球面
0 <r ≤ R
E dS
S
S1
q
i
Q r
R
S1
0i
S1
E1 dS E1dS E1 dS E1 4π r 2
S1
ε0
q
i
0i
ε0
0
E1 0
E2 Q r 2 0 4π ε 0r
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致；
F
ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
3、电场线密度：
dN E dS
dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
E
二、电场强度通量的计算：
s
根据高斯定理
E ds
s
q
i
i
0
h E 2rh 0 E 2r 0
(II)柱体内部(r<R)
在柱体内过p点,半径r,做 与带电圆柱同轴高为h的 柱面为高斯面
o
o o
R
p
h
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
E ds
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
四点高斯勒让德积分公式的节点与系数
一、概述高斯勒让德积分（Gauss-Legendre integration）是数值分析中常用的一种数值积分方法，其基本思想是利用插值多项式近似被积函数，通过求解多项式的根和系数来计算积分值。
在本文中，我们将重点讨论四点高斯勒让德积分公式中的节点与系数。
二、四点高斯勒让德积分公式四点高斯勒让德积分公式是指利用4个节点来进行数值积分的方法，在区间[-1, 1]上的积分公式可以表示为：\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{4} w_if(x_i) \]其中，\(h\)为步长，\(w_i\)为各节点处的权重，\(x_i\)为各节点的值。
三、节点的选择在四点高斯勒让德积分公式中，节点的选择需要满足Legendre多项式的根的要求，通常可以通过求解Legendre多项式的根来确定节点的值。
Legendre多项式的根可以通过高斯求积公式来确定，根据高斯求积的性质，可知取得高斯求积最高准确度的3次多项式的根为：\[ x_1 = -0.xxx \]\[ x_2 = -0.xxx \]\[ x_3 = 0.xxx \]\[ x_4 = 0.xxx \]四、系数的计算系数的计算是通过数值积分公式中的权重来确定的。
在四点高斯勒让德积分公式中，系数的计算可以通过一定的数值方法来求解，通常可以利用数值积分的加权残差来确定。
在四点高斯勒让德积分中，对于权重的计算有一定的推导方法，最终可以得到四个权重的值为：\[ w_1 = 0.xxx \]\[ w_2 = 0.xxx \]\[ w_3 = 0.xxx \]\[ w_4 = 0.xxx \]五、总结四点高斯勒让德积分公式的节点与系数的选择对于数值积分的精度和稳定性具有重要影响。
通过合适的节点选择和权重计算，可以有效地提高数值积分的准确性，适用于更广泛的数值计算领域。
希望本文对于四点高斯勒让德积分公式的节点与系数有一定的参考价值。
第2章 静电场(4) 高斯通量定理
27
3、高斯定理的意义 1 e E dS
S
0
q
i
i
(1) 说明静电场是有源场，源即电荷。
q 0, e 0 , 电场线从+q 出发，+q 是源头； q 0, e 0 , 电场线止于 - q ， - q 是尾闾。
(2) 高斯定理不仅适用于静电场， 亦适用于运动电荷的电场和随时间变 化的电场，是电磁场基本定理之一。
其中， E ：电场强度， P ：电极化强度
18
其中， 0 —— 真空中的介电常数 12 ( 8.854 10 F / m)(电容率) —— 介质的介电常数 ( 0 r ) (电容率) r —— 介质的相对介电常数 ( 1 e )(相对电容率)
e
利用高斯定理求场强 E 比较方便。
(2) 常见的具有对称性分布的电荷系统：
1） 球对称（球体，球面）；
2） 柱对称（无限长柱体，无限长柱面）； 3） 面对称（无限大平板，无限大平面）。
30
(3) 求电场分布的步骤：
1) 分析带电系统的对称性； 2) 选合适的高斯面：使面上场强的大小处处 相等(或部分 相等，部分为零），场强的方 向与曲面正交或平行。 3) 利用高斯定理求场强。
—— 介质的电极化率
0
SI单位： r 、e ：(纯数)
、 0 ：C2/Nm2
(F/m)
19
介 真空 空气
质
r
1 1.00059
变压器油
瓷
2.24
68
玻璃
钛酸钡
510
103104
20
性质
(1) D是辅助物理量, E 才是真实物理量。 (2) D是一个包含了场与介质极化两种性质的量。 (3) D 线只由自由电荷决定。
4维函数的高斯分布
4维函数的高斯分布
四维函数的高斯分布是指一个四维向量的概率分布，它在数学上可以表示为多变量高斯分布。
多变量高斯分布是一种常见的概率分布，适用于描述具有多个随机变量的系统。
一个四维高斯分布可以由一个四维均值向量和一个四维协方差矩阵来完全描述。
均值向量表示了分布在每个维度上的中心位置，协方差矩阵则描述了各个维度之间的关联性和变化程度。
四维高斯分布的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1 / (2 * π)^(n/2) * det(Σ)^(1/2)) * exp(-1/2 * (x - μ)^T *Σ^(-1) * (x - μ))
其中，x 是一个四维向量，μ 是一个四维均值向量，Σ 是一个四维协方差矩阵，n 是向量的维度，det(Σ) 表示协方差矩阵的行列式。
通过这个概率密度函数，我们可以计算出给定一个四维向量 x 的情况下，它属于该高斯分布的概率值。
高斯分布在统计学和机器学习领域有广泛的应用，例如用于模式识别、数据建模和异常检测等任务。
高斯定律
dq
R
o
r x
V
P
q
0
dq V 4π 0 r 2
o
q 4 π 0 ( x 2 R2 )1 2
上页 下页
x
x
例5 均匀带电薄圆盘轴线上的电势(电量Q，半径R) dq 2 πrdr dr r x2 r 2 dq dV p o P 4π 0 r r x R 2 πrdr 1 R VP 4 π 0 0 x 2 r 2
rB
rA
q0qdr q0q 1 1 ( ) 2 4π 0 r 4π 0 rA rB
可见，单个静止点电荷的电场力做功与路径无关，是 保守力。
上页 下页
2 场源电荷：点电荷系
q1 i W q0 E dr L qn q0 ( E1 E2 ... En ) dr L q0 E1 dr q0 E2 dr ... q0 En dr
电势能零点就是电势零点。 2 电势差： U AB VA VB
势能零点
势能零点 E dr E dr A B 势能零点 B E dr E dr A 势能零点 B E dr 电势差与零势点选取无关。
A
A、B两点电势差等于将单位正电荷由A移至B静电力做的功。 B 将电荷q0 由A移至B静电力做的功: WAB q0 E dr q0U AB
r
有限大小带电体附近电场较强、电势变化剧烈，而远处电场较弱、 电势变化缓慢，无穷远处场强几乎为零，电势几乎恒定，规定其 电势为零，便于近处各点电势大小比较。当带电体扩展到无穷远， 无穷远处场强也较强，电势和带电体附近无差别，故不能选无穷 远电势为零。
高斯积分法及其应用
§4-4 高斯积分法及其应用由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--1111),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。
因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。
数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。
一、高斯积分法1．一维积分的高斯公式一维积分的高斯公式∑⎰=-=ni i i f H d f 111)()(ξξξ (4-47)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。
可以证明，对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。
例如，n=1时)()(1111ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。
因为ξξ10)(C C f += (b)101()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)其精确积分为2011322)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为)()()()()(323222102313212101221121ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有221=+H H ， 02211=+ξξH H32222211=+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.03121-=-=-=ξξ0,000,000,000.121==H H同样，对于不超过五次的多项式，只要取n=3130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ6,555,555,555.09521===H H 9,888,888,888.0983==H 即可保证得到精确的积分值。
4高斯求积公式
截断误差为 R
2 (2 n ) f ( ), (1,1). 2n 2 (2n)!
高斯积分的优点：少节点，高精度。
高斯型求积公式, 使用较少的节点, 可得到高精度的结果. 1 例如，计算积分 I dx . 1 x 0
它的精确值(八位有效数字)为 I = 0.693 147 18。 使用节点数为129的复化辛普生公式计算，得 I 0.693 146 70。
适当的选取n+1个节点和插值系数，插值型求积公式的代数精度 可以达到2n+1.
定义 如果求积结点x0, x1,· · · · · · ,xn,使插值型求积公式
1
1
f ( x )dx Ak f ( xk ), 其中Ak lk ( x )dx 1
1
n
k 0
的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积 公式. 称这些求积结点为Gauss点.
a
b
是Gauss型求积公式，则它的求积系数 Ai 满足
(1) (2) Ai 0,
n i 0 i
i 0， 1, 2,
b a
,n ;
A
( x)dx .
证明略。
例2 试构造形如
1
1
x f ( x)dx Ai f ( xi )
2 i 1
n
的Gauss型求积公式。 解 利用正交化方法已求出在区间[-1，1]上带权
求插值型求积公式
1
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
使其代数精度为3,取 f(x)=1, x, x2, x3
A0 A1 2 A x A x 0 0 0 1 1 2 2 2 A0 x 0 A1 x1 3 3 3 A x A x 1 1 0 0 0
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高斯一、简介高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。
他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
高斯幼时家境贫困，但聪敏异常，1792年，在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。
在那里，高斯开始对高等数学作研究。
独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、“质数分布定理”(prime n umer theorem)、及“算术几何平均”(arithmetic-geometric mean)。
1795年高斯进入哥廷根大学。
1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。
1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。
1801年，高斯又证明了形如"Fermat素数"边数的正多边形可以由尺规作出。
从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。
1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。
高斯有数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。
高斯二、生平高斯是一对普通夫妇的儿子。
他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。
在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，从事女佣工作。
他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。
高斯3岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。
他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。
能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
当高斯9岁时候，高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。
他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。
但是据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。
当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。
当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。
他导出了二项式定理的一般形式，将其成功地运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
高斯的老师Bruettner与他助手Martin Bartels 很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也对这个天才儿童留下了深刻印象。
于是他们从高斯14岁起，便资助其学习与生活。
这也使高斯能够在公元1792－1795年在Carolinum学院（今天Braunschweig学院的前身）学习。
18岁时，高斯转入哥廷根大学学习。
在他19岁时，第一个成功地用尺规构造出了规则的17角形。
高斯于1805年10月5日与来自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)结婚。
在公元1806年8月21日迎来了他生命中的第一个孩子约瑟。
此后，他又有两个孩子。
Wilhelmine（1809－1840）和Louis（1809－1810）。
1807年高斯成为哥廷根大学的教授和当地天文台的台长。
虽然高斯作为一个数学家而闻名于世，但这并不意味着他热爱教书。
尽管如此，他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的Richard Dedekind和黎曼，黎曼创立了黎曼几何学。
19世纪40年代初期开始，高斯几乎完全退出了物理学的创新研究，只从事例行的天文观测，计算汉诺威测地工作中遗留下的问题，对老的研究课题、发表过的评论或报告作些修饰，解决一些小的数学问题．此后的出版物正反映了他的这种状态．他对E．E．库默尔(Kummer)新创立的理想论(1845)没有强烈的反应，对海王星的发现(1846)亦很漠然．C．G．雅可比(Jacobi)在参加纪念高斯获博士学位50周年大会后说，跟高斯谈数学问题时，他总是把话题叉开而谈些无聊的事．在40年代，高斯对格丁根大学的事务有了较多关注，担任过教授会的负责人；花了几年时间，将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可靠的统计规律之上；他对教学的兴趣也比以前浓厚了．（高斯在大学开的课，大部分是天文学方面的，唯有在当教授的第一年讲过一次数论，他最常讲的课是最小二乘法及其在科学中的应用）。
晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人，而高斯本人却极端热衷于从报纸、书本和日常生活中收集各种统计资料．在1848年革命时期，他几乎每天到学校守旧派成立的文学会大有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年薪的200倍，说明他是个理财的好手．高斯生命的最后几年仍保持学者风度，没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动。
1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去．《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版历时67年(1863—1929)，由众多著名数学家参与，最后在F．克莱因(Klein)指导下完成．全集共分12卷．前7卷基本按学科编辑：第1，2卷，数论；第3卷，分析；第4卷，概率论和几何；第5卷，数学物理；第6，7卷，天文．其他各卷的内容如下：第8卷，算术、分析、概率、天文方面的补遗；第9卷是第6卷的续篇，包括测地学；第10卷分两部分：Ⅰ，算术、代数、分析、几何方面的文章及日记，Ⅱ，其他作家对高斯的数学和力学工作的评论；第11卷也分两部分：Ⅰ，若干物理学、天文学文章，Ⅱ，其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论；第12卷，杂录及《地磁图》．三、主要成就3.1 高斯分布18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。
通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。
在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。
其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
在高斯19岁时，仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形（阿基米德与牛顿均未画出）。
并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
3.2 天体运动论高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，计算出天体的运行轨迹。
并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。
谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。
皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。
当时，24岁的高斯得悉后，只花了几个星期，通过以前的三次观测数据，用他的最小二乘法得到了谷神星的椭圆轨道，计算出了谷神星的运行轨迹。
尽管两年前高斯就因证明了代数基本定理获得博士学位，同年出版了他的经典著作《算术研究》，但还是谷神星的轨道使他一举名震科坛。
奥地利天文学家Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星，从此高斯名扬天下。
高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
3.3 数学1801年发表的《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代。
在这本书中，高斯不仅把19世纪以前数论中的一系列孤立的结果予以系统的整理,给出了标准记号的和完整的体系,而且详细地阐述了他自己的成果，其中主要是同余理论、剩余理论以及型的理论。
同余概念最早是由L.欧拉提出的，高斯则首次引进了同余的记号并系统而又深入地阐述了同余式的理论，包括定义相同模的同余式运算、多项式同余式的基本定理的证明、对幂以及多项式的同余式的处理。
19世纪20年代，他再次发展同余式理论，着重研究了可应用于高次同余式的互反律，继二次剩余之后，得出了三次和双二次剩余理论。
此后，为了使这一理论更趋简单，他将复数引入数论，从而开创了复整数理论。
高斯系统化并扩展了型的理论。
他给出型的等价定义和一系列关于型的等价定理，研究了型的复合（乘积）以及关于二次和三次型的处理。
1830年，高斯对型和型类所给出的几何表示，标志着数的几何理论发展的开端。
在《算术研究》中他还进一步发展了分圆理论，把分圆问题归结为解二项方程的问题，并建立起二项方程的理论。
后来N.H.阿贝尔按高斯对二项方程的处理，着手探讨了高次方程的可解性问题。
高斯在代数方面的代表性成就是他对代数基本定理的证明。
高斯的方法不是去计算一个根，而是证明它的存在。
这个方式开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径。
他曾先后四次给出这个定理的证明，在这些证明中应用了复数，并且合理地给出了复数及其代数运算的几何表示，这不仅有效地巩固了复数的地位，而且使单复变函数理论的建立更为直观、合理。
在复分析方面，高斯提出了不少单复变函数的基本概念，著名的柯西积分定理(复变函数沿不包括奇点的闭曲线上的积分为零)，也是高斯在1811年首先提出并加以应用的。
复函数在数论中的深入应用,又使高斯发现椭圆函数的双周期性,开创椭圆函数论这一重大的领域；但与非欧几何一样，关于椭圆函数他生前未发表任何文章。
1812年，高斯发表了在分析方面的重要论文《无穷级数的一般研究》，其中引入了高斯级数的概念。
他除了证明这些级数的性质外，还通过对它们敛散性的讨论，开创了关于级数敛散性的研究。
非欧几里得几何是高斯的又一重大发现。
有关的思想最早可以追溯到1792年，即高斯15岁那年。
那时他已经意识到除欧氏几何外还存在着一个无逻辑矛盾的几何，其中欧氏几何的平行公设不成立。
1799年他开始重视开发新几何学的内容，并在1813年左右形成较完整的思想。
高斯深信非欧几何在逻辑上相容并确认其具有可应用性。