错位相减法[优质ppt]
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数学课件 数列求和的方法之错位相减法
(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
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方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
《错位相减法求和》课件
幂级数求和
幂级数求和公式
利用错位相减法，我们可以得到幂级数的求和公式，即$S_n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ldots + a_n x^n$。
实例
以幂级数$frac{1}{2}x + frac{1}{4}x^2 + frac{1}{8}x^3 + ldots$为例，利用错位相减法求和，得到 结果为$frac{2}{3}(x + x^2 + x^3 + ldots)$。
和时间。
对于某些特定问题，可能存在 更高效的算法。
错位相减法的未来发展
随着数学理论和计算机技术的发展， 错位相减法可能会得到进一步优化和 改进。
新的计算技术和算法可能会被引入， 以提高错位相减法的计算效率和适用 范围。
未来研究可能会探索错位相减法的扩 展应用，以解决更多类型的问题。
错位相减法在其他领域的应用
02 错位相减法的基本原理
错位相减法的定义
01
错位相减法是一种数学方法，用 于求解等差数列和等比数列的求 和问题。
02
它通过错位相减的方式，将原数 列拆分成易于处理的数列，从而 简化求和过程。
错位相减法的公式推导
错位相减法的公式推导基于等差数列和等比数列的性质，通过错位相减的方式， 推导出相应的求和公式。
优点 计算过程简单明了，易于理解。
对于某些特定问题，错位相减法可以提供快速且准确的解决方案。
错位相减法的优缺点
• 通过错位相减，可以将复杂问题分解为更简单的子问题， 便于解决。
错位相减法的优缺点
01
缺点
02
03
04
适用范围有限，不是所有问题 都可以通过错位相减法解决。
资料分析,错位相减法
48231 1.31 101525 1.17
54231 101525
14 11 1 1 3
二、方法精讲
23256 1.15 123 .4 1.04
二、方法精讲
三、例题精讲
例题1.某省2013年玉米产量为18623万 吨，小麦为1021万吨。 问：2013年该省玉米是小麦的多少倍？
A.20.7 C 18.2 B.17.6 D.15.8
三、例题精讲
例2.2007年全国共签订技术开发合同 73320项，成交金额876亿元，分别比上年 增长13.5%、22.2%。 问题：与上年同期相比，2007年全国共签 技术开发合同约增长了多少项？
A.8206 C 8721 B.8605 D.8856
资料分析 --错位加减法
错位加减法
一、原理介绍 二、方法精讲
三、例题精讲
错位加减法
103
54321 12345 23
44021 4 . 4021 10045
一、原理介绍
分子、分母同时放大或者缩小相同 的倍数，分数值保持不变。
123 222
?
12312.3 222 22.2
73320 7332 . 0 0 . 135 1 . 35 1 . 135 1 . 14
下面请进入 第二部分
5371 0.137 1.137
537 .1 1.37 648 .1 1.14
23 53 2 5 1
二、方法精讲
2628 0.123 1.123
262 .8 1.23 1.12
二、方法精讲
60 48 1 4 3
123 (110 %) 222 (110 %)
高中数学——错位相减法ppt
Sn 5 21 5 22 5 23 5 2n1 5 2n
①
2Sn 5 22 5 23 5 24 5 2n 5 2n1
②
① ②得： Sn 5 21 5 2n1
Sn 5 2n1 10
英雄难度 你怎么类比？
从特殊到一般
精英荟萃
解：依题意有 an bn 3n 2n
公比的等比数列且b2 4。
（1）求an和bn；（2）求数列an bn的前n项和。
展示 精英荟萃
1. 乘公比 2. 错位 3. 相减 4. 提公差
谢谢
精英荟萃
Sn
3
2 (1 2n ) 1 2
3n 2n1
Sn (3n 3) 2n1 6
释 疑
战利品
错位相减法
精英荟萃
适用对象：差比数列。
规
步骤：①乘公比 ②错位
律
③相减
④提公差
注意事项： ①q≠1； ②书写格式：空前绝后 ③注意项数
独自通关战利品更多噢！
独自通关
已知数列an为等差数列，a1 1, a3 5.数列bn是以2为
Sn 3 21 6 22 9 23
2 Sn 空前 3 22 6 23
3n 2n 绝后
①
( 21 3 22 3 23 3 2n 3n 2n1
Sn 3(21 22 23 2n ) 3n 2n1
空前绝后
现在的努力是为了未来的幸福！
——错位相减法
设 疑
若cn 3n 2n,求数列cn前n项和。
解：Sn c1 c2 c3 cn
Sn 31 21 32 22 33 23 3 n 2n
Sn (31 3 2 3 3 3 n) (21 22 23 2n )
Sn
数列求和之错位相减法ppt课件
①-②得
Sn 1 2 （1 22 1 23 1 2n） n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
数列求和之错位相减法
1
复习回顾： 等比数列前n项和的求和公式
2
问题探究：
数列 {an }的通项公式 an n，数列 {b n }的通项公式 b n 2 n， 求数列 {an bn }的前 n项和。
观察：所求数列的通项公式是由等差数列与等比 数列的积组成。即“等差×等比”型
3
n 2n
乘公比，错位，相减
Sn a1b1 a2b2 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n ①
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1 ②
两式相减得 2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3 2 32 3n 3 (2n 1) 3n1 6 (2 2n) 3n1
4
当堂练习：
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 13 332 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
7
作业：
1、求和：（1）1
4 22
6 23
错位相减法求数列前n项求和精选幻灯片
故Sn 2 (1 n)2 n1
错位相减法：
7 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{a n }的通项公式a n n， 数列{b n }求数列 { }的前n项和 bn
8
课堂练习
a n 1 解：n n n ( ) n bn 2 2
1 1 2 1 3 1 n 1 1 n Tn 1 2 ( ) 3 ( ) + ( n 1) ( ) n ( ) ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn 1 ( ) 2 2 ( )3 3 ( ) 4 + ( n 1) ( ) n n ( ) n 1 ② 2 2 2 2 2 2 ① ②得 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 Tn 1 1 （ ） 1 ( ) + 1 （ ） n ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 ( )3 + ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 2 1 1 n 1 ( ) 2 2 2 n ( 1 ) n 1 1 2 1 2
2Sn 1 22 2 23 2 24 (n-1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
即 Sn 2 2 2 23 2 n n 2 n1
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
10
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
《错位相减大招》课件
步骤详解
通过图文并茂的方式，详细讲解错位相减大招的具体步骤，让学生清晰地了解如何运用该技巧。
实战演练
设计一些实战演练题目，以实例的形式让学生亲身体验错位相减大招的运用， 加深他们对该技巧的理解和掌握。
思考题
提出几个思考题，鼓励学生深入思考和探究错位相减大招的应用，并激发他们的创造力和解决问题的能力。
《错位相减大招》PPT课 件
通过这份PPT课件，我们将深入探究错位相减大招的应用，以图文并茂的方式 让学生更好地理解该技巧，帮助他们更好地掌握和应用。
简介
介绍错位相减大招的概念和演示的主题，引起学生对该技巧的兴趣和好奇心。
基础概念
讲解错位相减大招的前置知识和一些基本概念，为学生理解该技巧的原理和 应用打下基础。Fra bibliotek总结回顾
总结错位相减大招的优点和应用场景，帮助学生加深对该技巧的理解和应用， 并激发他们的兴趣和学习动力。
错位相减法求和ppt
数列求和 —— 错位相减法
-
1
基础检测
-
2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
-
3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
-
5
例题讲解
-
6
基础检测
-
7
-
8
-
9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
-
10
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
-
11
-
12
-
13
爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
-
1
基础检测
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2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
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5
例题讲解
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6
基础检测
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7
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8
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9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
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课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
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11
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12
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13
爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
错位相减法求数列前n项和课件
等差数列的错位相减法求和
01
总结词
02
详细描述
03
实例
等比数列的错位相减法求和
总结词 详细描述 实例
混合数列的错位相减法求和
总结词 详细描述 实例
错位相减法的进阶技巧
错位相减法的变形
错位相减法的常规形式
优化二
通过选择合适的数列进行错位相减法， 使得计算过程更加简便。例如，选择 等差数列或等比数列进行错位相减法， 可以简化计算过程。
错位相减法的定义
它适用于某些特定类型的数列，如等 差数列、等比数列等，通过错位相减 法可以快速准确地求出数列的前n项和。
错位相减法的步骤
第一步
第二步
写出需要求和的数列， 并确定数列的类型和特点。
根据数列的特点，选择 适当的系数进行错位相减。
第三步
进行错位相减操作，将 数列的各项乘以适当的 系数后相减，得到一个
新的数列。
第四步
对新得到的数列进行求 和，得到原数列的前n项
和。
错位相减法的注意事项
注意选择合适的系数进行错位相减， 以保证结果的准确性和计算的简便性。
对于一些特殊的数列，可能需要采用 其他方法进行求和，错位相减法不一 定适用。
在进行错位相减时，要仔细核对每一 项的符号和数值，避免出现计算错误。
错位相减法的实例解析
错位相减法的应用场景
01
02
在金融领域
在统计学中
03 在计算机科学中
错位相减法的重要性
错位相减法是一种重要的数学 方法，在解决实际问题中具有 广泛的应用价值。
通过错位相减法，可以简化复 杂的数学计算过程，提高计算 效率和准确性。
掌握错位相减法对于数学学习 和实际应用都具有重要意义。
数列求和之错位相减法(微课)PPT课件
9
n1
10
19
2019/10/25
1.学会辨别。能够使用错位相减法的通项公式是由 等差数列与等比数列的积组成。 2.能够正确写出解答错位相减法求前n项和的三个步 骤。 3.能够避免使用错位相减法过程中的几个易错点。
20
2019/10/25
1、求数列an
4n 2n
3 .前n项和。
Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n
已知数列
an
(1) n1
2n 1 2n1 .
写出其前n项和的展开等式。
8
2019/10/25
qSn b1c2 b2c3 b3c4 ... bn1cn bncn1
2、已知数列1,3a,5a2 ,,(2n 1)an1(a 0)
求该数列的前n项和。
21
2019/10/25
22
2019/10/25
2n 1 2n1 .
其前n项和的展开等式经过该
步骤得到怎样的等式？
10
2019/10/25
11
2019/10/25
12
2019/10/25
1 qSn b1c1 b2 b1c2 b3 b2 c3 ... bn bn1cn bncn1
设等差数列 bn的公差为d，则上式又可化简为：
项数相同的等差数列和以q为公比的等比
数列。则该数列前n项和的展开式为:
Sn b1c1 b2c2 b3c3 ... bn1cn1 bncn
（为方便起见，最好写出前三项和后两项）
7
2019/10/25
以 an n 2n 为例，依照上述说明写出该数列
【完整】高中数学错位相减法求和资料PPT
在数列求和的问题中①，什书么写样的规结范构选、择计“错算位细相减心法；”？
根据等比数列的通项公式，上式可写成
② 关注字母，弄清②分类关讨论注的字依据母. ，弄清分类讨论的依据.
① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
一根般据地 等，比对数于列等的比通数项3.列公看式，结上构式可，写想成 方法.
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 高中数学错位相减法求和 高中数学错位相减法求和
根据等比数列的通项2.公在式，用上“式可错写位成 相减法”时应注意些什么？
高中数学错位相减法求和 高中数学错位相减法求和
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
高中数学错位相减法求和
基础检测
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
例题讲解
例题讲解求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ①②的右边有很多相同的项. 高中数学错位相减法求和 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 高中数学错位相减法求和 ①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得 高中数学错位相减法求和 ①②的右边有很多相同的项. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心；
根据等比数列的通项公式，上式可写成
② 关注字母，弄清②分类关讨论注的字依据母. ，弄清分类讨论的依据.
① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
一根般据地 等，比对数于列等的比通数项3.列公看式，结上构式可，写想成 方法.
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 高中数学错位相减法求和 高中数学错位相减法求和
根据等比数列的通项2.公在式，用上“式可错写位成 相减法”时应注意些什么？
高中数学错位相减法求和 高中数学错位相减法求和
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
高中数学错位相减法求和
基础检测
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
例题讲解
例题讲解求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ①②的右边有很多相同的项. 高中数学错位相减法求和 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 高中数学错位相减法求和 ①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得 高中数学错位相减法求和 ①②的右边有很多相同的项. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心；
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2 S n 3 2 （ 3 2 3 n ) ( 2 n 1 ) 3 n 1
32321 3n 33(2n1)3n 16(22n)3n1
故 S n3 (1 n ) 3 n 1
课下作业：
1、求和： （1）1 4 6
畅想网络
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感谢观看！
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n
1 2
n1
故
Tn
2
( 1 ) n1 2
n
(1 )n = 22
2+n 2
( 1 ) n1 2
课堂练习
求和： 1 3 3 3 2 (2 n 1 ) 3 n
解：
记 S n 1 3 3 3 2 (2 n 3 ) 3 n 1 (2 n 1 ) 3 n
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
1.写求和展开式时习惯算出每一项。 2.出现某些项的遗漏现象。 3.项数的计算错误。 4.两式相减时，等比数列前面的系数出错。 5.第四步中 S n 前面的系数没有除尽。
2Sn
1 2 2 2 2 3 2 2 4 ( n - 1 ) 2 n n 2 n 1
①-②得
S n 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n n 2 n 1
即 S n 2 2 2 2n 2 2 2 3 n 2n 12 n (1 n n )2 2 n n 1 1 2
相 减
法
其中{ }是由项数相同的等差数列{ }与等比数列 { }的乘积组成的新数列。
3
2019/8/22
如：
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
an 2n n
11,31,51 (2n11)
248
2n
an (1)n1
2n1. 2n1
24 6 2,22 ,23
,,22nn ,
1 ）2 2
1
(1 )3+ 2
1 （ 1 ）n n ( 1 ) n 1
2
2
1 ( 1 )2 ( 1 )3 + ( 1 )n n ( 1 )n1222 Nhomakorabea2
2
1 (1 )n 1 22 2
n ( 1 )n1
1 1
2
2
1
(1 2
)n
(1 )3+ 2
(n 1) ( 1 )n1 n ( 1 )n
2
2
①
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 3 ( 1 )4 + (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1 ②
2
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1 （
方法探究 例 ： 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 a n n ， 数 列 { b n } 的 通 项 公 式 b n 2 n
求 数 列 { a n b n } 的 前 n 项 和
解 ： anbnn2n
Sna1b1a2b2a3b3 an-1bn-1anbn
即 Sn12222323 (n1)2n1n2n
错位相减法求数列前n项和
忆一忆 等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
错
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn 位
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
12
错位相减法：
故 S n2(1n)2n 1 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
数列{b n
求数列 {
}a的n }通的项前公n式 项b和n
2n
bn
课堂练习 解
：a n bn
n 2n
n (1 )n 2
Tn
1
1 2
2
(1 )2 2
3
1 ,3 a ,5 a 2 , ,(2 n 1 )a n 1 (a 0 )
4
2019/8/22
总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如 anbn 的数列的和，其中 an
为等差数列, bn 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
22 23
2n
2n
（2）求数an列 4n2n 3.前n项和。
2、 求 数 列 {2n3n}的 前 n项 和
3、已知数列 1 ,3 a ,5 a2, ,(2 n 1 )an 1(a0 )
求该数列的前n项和。
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
3Sn
1 3 2 3 3 3 ( 2 n 3 ) 3 n ( 2 n 1 ) 3 n 1
两式相减得
2 S n 1 3 2 3 2 2 3 n ( 2 n 1 ) 3 n 1
32321 3n 33(2n1)3n 16(22n)3n1
故 S n3 (1 n ) 3 n 1
课下作业：
1、求和： （1）1 4 6
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n
1 2
n1
故
Tn
2
( 1 ) n1 2
n
(1 )n = 22
2+n 2
( 1 ) n1 2
课堂练习
求和： 1 3 3 3 2 (2 n 1 ) 3 n
解：
记 S n 1 3 3 3 2 (2 n 3 ) 3 n 1 (2 n 1 ) 3 n
2、错位相减法的步骤是什么？
①展开：将Sn展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑤解出Sn
1.写求和展开式时习惯算出每一项。 2.出现某些项的遗漏现象。 3.项数的计算错误。 4.两式相减时，等比数列前面的系数出错。 5.第四步中 S n 前面的系数没有除尽。
2Sn
1 2 2 2 2 3 2 2 4 ( n - 1 ) 2 n n 2 n 1
①-②得
S n 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n n 2 n 1
即 S n 2 2 2 2n 2 2 2 3 n 2n 12 n (1 n n )2 2 n n 1 1 2
相 减
法
其中{ }是由项数相同的等差数列{ }与等比数列 { }的乘积组成的新数列。
3
2019/8/22
如：
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
an 2n n
11,31,51 (2n11)
248
2n
an (1)n1
2n1. 2n1
24 6 2,22 ,23
,,22nn ,
1 ）2 2
1
(1 )3+ 2
1 （ 1 ）n n ( 1 ) n 1
2
2
1 ( 1 )2 ( 1 )3 + ( 1 )n n ( 1 )n1222 Nhomakorabea2
2
1 (1 )n 1 22 2
n ( 1 )n1
1 1
2
2
1
(1 2
)n
(1 )3+ 2
(n 1) ( 1 )n1 n ( 1 )n
2
2
①
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 3 ( 1 )4 + (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1 ②
2
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1 （
方法探究 例 ： 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 a n n ， 数 列 { b n } 的 通 项 公 式 b n 2 n
求 数 列 { a n b n } 的 前 n 项 和
解 ： anbnn2n
Sna1b1a2b2a3b3 an-1bn-1anbn
即 Sn12222323 (n1)2n1n2n
错位相减法求数列前n项和
忆一忆 等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
错
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn 位
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
12
错位相减法：
故 S n2(1n)2n 1 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
数列{b n
求数列 {
}a的n }通的项前公n式 项b和n
2n
bn
课堂练习 解
：a n bn
n 2n
n (1 )n 2
Tn
1
1 2
2
(1 )2 2
3
1 ,3 a ,5 a 2 , ,(2 n 1 )a n 1 (a 0 )
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总结：用“错位相减法”求和的数列特征：
可以求形如 anbn 的数列的和，其中 an
为等差数列, bn 为等比数列.
即如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项乘积构 成的，那么这个数列的前n项和则采 用“错位相减法” 求和.
22 23
2n
2n
（2）求数an列 4n2n 3.前n项和。
2、 求 数 列 {2n3n}的 前 n项 和
3、已知数列 1 ,3 a ,5 a2, ,(2 n 1 )an 1(a0 )
求该数列的前n项和。
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
3Sn
1 3 2 3 3 3 ( 2 n 3 ) 3 n ( 2 n 1 ) 3 n 1
两式相减得
2 S n 1 3 2 3 2 2 3 n ( 2 n 1 ) 3 n 1