【拔高教育】K12年高考数学一轮复习第九节函数与方程课下作业新人教版

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配套K12年青海省高考数学二轮复习函数与方程新人教版

函数与方程一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

高考数学一轮强化训练 2.9函数与方程文新人教A版

高考数学一轮强化训练 2.9函数与方程文新人教A 版强化训练1.函数f (x )=e 2xx +-的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案:C解析:因为f (0)=-1<0,f (1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.2.若0x 是方程lg x +x =2的解,则0x 属于区间( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2) 答案:D 解析:构造函数f (x )=lg x +x -2,由f (1.75)=7()4f =lg 71044-<及f (2)=lg2>0知0x 属于区间(1.75,2). 3.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:那么方程22x x =的一个根位于下列区间的( )A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案:C解析:由f (0.6)=1.516-0.36>0,f (1.0)=2.0-1.0>0,故排除A;由f (1.4)=2.639-1.96>0,f (1.8)=3.482-3.24>0,故排除B;由f (1.8)=3.482-3.24>0,f (2.2)=4.595-4.84<0,故可确定方程22x x =的一个根位于区间(1.8,2.2).4.若方程ln x +2x -10=0的解为0x ,则不小于0x 的最小整数是 .答案:5 解析:令f (x )=ln x +2x -10,则f (5)=ln5>0,f (4)=ln4-2<0.∴045x <<.∴不小于0x 的最小整数是5.5.若函数()(x f x a x a a =-->0且1)a ≠有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案:a >1解析:设函数(0x y a a =>且1)a ≠和函数y =x +a ,则函数()(x f x a x a a =-->0且1)a ≠有两个零点,就是函数(0x y a a =>且1)a ≠与函数y =x +a 有两个交点,由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点,不符合,当a >1时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y =x +a 所过的点(0,a )一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是a >1.6.已知关于x 的二次函数2()(21)f x x t x =+-+1-2t .(1)求证:对于任意t ∈R ,方程f (x )=1必有实数根; (2)若3124t <<,求证:方程f (x )=0在区间(-1,0)及1(0)2,内各有一个实数根. 证明:(1)由f (1)=1知f (x )=1必有实数根.(2)当3124t <<时, 因为f (-1)3344()04t t =-=->,f (0)1122()02t t =-=-<, 3111()(21)1202424f t t t =+-+-=->, 所以方程f (x )=0在区间(-1,0)及1(0)2,内各有一个实数根.见课后作业B题组一函数的零点的判断1.方程22x x +=的解所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案:A解析:令()22x f x x =+-,则0(0)202f =+-=-1<01(1)2121f ,=+-=>0,所以方程22x x +=的解所在区间是(0,1).2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2) 答案:B解析:由f 1(1)30(2f -=-<,0)=1>0及零点存在性定理知f (x )的零点在区间(-1,0)上. 3.已知函数1()()3x f x =-log 2x ,若实数0x 是方程f (x )=0的解,且100x x <<,则1()f x 的值 ( )A.恒为正值B.等于零C.恒为负值D.不大于零答案:A解析:在同一坐标系中作出函数1()3x y =和y =log 2x 的图象,发现01x >,并且当100x x <<时,1()f x =11()3x -log 210x >. 题组二函数零点的求法4.用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]上的近似解,取区间中点02x =.5,那么下一个有解区间为 .答案:[2,2.5]解析:令3()25f x x x =--,则3(2)222f =-⨯-5=-1<0,f (2.5)=2.3522-⨯.5-5=5.625>0,故下一个有解区间为[2,2.5].5.若函数f (x )的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是( )A.f (x )=4x -1B.2()(1)f x x =-C.f (x )=e 1x -D.f (x )=ln 1()2x - 答案:A解析:f (x )=4x -1的零点为21()(1)4x f x x =,=-的零点为x =1,f (x )=e 1x-的零点为x =0,f (x )=ln 1()2x -的零点为32x =.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点,因为g (0)=-1,1()2g =1,所以g (x )的零点1(0)2x ∈,.又函数f (x )的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f (x )=4x -1的零点适合. 6.设函数f (x )= 222[1)2(1)x x x x x -,∈,+∞,⎧⎨-,∈-∞,,⎩ 求函数F (x )=1()4f x -的零点. 解:当1x ≥时911()2220444f x x x ,-=--=-=, ∴98x =. 当x <1时21204x x ,--=, ∵410∆=+>, ∴25241x ±±+==. 又∵x <1,∴25x -=. ∴函数1()()4F x f x =-有两个零点98和25-. 题组三函数零点的应用7.若二次函数2y ax bx c =++中a c<0,则函数的零点个数是( )A.1B.2C.0 D .不确定答案:B解析:令20ax bx c ++=, 0a ≠,判别式240b ac ∆=->,故函数必有两个零点.8.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若1x ∈020(1)()x x x ,,∈,+∞,则( ) A.12()0()0f x f x <,<B.12()0()0f x f x <,>C.12()0()0f x f x >,<D.12()0()0f x f x >,>答案:B解析:设12121xy y x =,=,-在同一坐标系中作出其图象,如图,在0(1)x ,内211y x =-的图象在12x y =图象的上方,即11121x x >,-所以111201x x +<,-即1()0f x <,同理2()0f x>.9.已知函数f(x)=x|x-4|-5,则当方程f(x)=a有三个根时,实数a的取值范围是( )A.-5<a<-1B.51a-≤≤-C.a<-5D.a>-1答案:A解析:f(x)=x|x-4|-5=22454454x x xx x x⎧--,≥,⎨-+-,<,⎩在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略),可得当直线y=a与该函数的图象有三个交点时,a的取值范围是-5<a<-1.10.已知关于x的二次方程2221x mx m+++=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.解:(1)条件说明抛物线2()221f x x mx m=+++与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得(0)210(1)20(1)420(2)650f mff mf m=+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩⇒121256mmmm⎧<-,⎪⎪∈,⎪⎨<-,⎪⎪>-,⎪⎩R∴5162m-<<-.(2)由题意知抛物线与x轴的交点落在区间(0,1)内,列不等式组(0)0(1)001ffm>⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩⇒1212121210mmm mm⎧>-,⎪⎪⎪>-,⎨⎪≥+≤-,⎪⎪-<<.⎩或∴1122m-<≤。

【名师一号】2021版高考数学一轮总温习 2-9 函数与方程练习新人教A版(1)

第九节函数与方程时刻：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析 ∵f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，∴f (1)·f (2)<0.应选B.答案 B2．函数y ＝f (x )在区间(－1,1)上的图象是持续的，且方程f (x )＝0在(－1,1)上仅有一个实根0，那么f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确信解析由题意知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .答案 D3．(2021·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 f (x )＝2x |log0.5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝12x ，即|log 0.5x |＝(12)x ，因此问题转化为y ＝|log 0.5x |与y ＝(12)x 图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝(12)x 的图象，易知交点个数为2. 答案 B4．(2021·厦门市质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ， x ≥0，log 12－x ，x <0.那么函数y ＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 y ＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数等于y ＝f (x )与y ＝x 2＋1的交点个数，由图可知，选B.答案 B5．(2021·河北质监)假设f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，那么－x 0必然是以下哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x －1B ．y ＝f (x )e －x ＋1C ．y ＝e x f (x )－1D ．y ＝e x f (x )＋1解析答案 C 6．(2021·乌鲁木齐第一次诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，那么使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞) 解析函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点确实是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)，观看它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，选D.答案 D二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．若是函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax (x ＋12)，则g (x )的零点是0，－12答案 0，－128．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，那么n ＝________.解析求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，能够大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln2，由于ln2<lne ＝1，因此f (2)<0，f (3)＝2＋ln3，由于ln3>1，因此f (3)>0，因此函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案 29．(2021·长春调研)概念在R 上的函数f (x )知足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，那么函数f (x )在[0,2 013]上的零点个数是________．解析由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，那么f (x ＋5)－f (x －5)＝0，因此f (x )是以10为周期的周期函数，在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在(－1，4]区间内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2 013]中包括201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0，2 013]上的零点个数为3×201＋1＝604.答案 604三、解答题(本大题共3小题，每题10分，共30分)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上持续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．假设函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，那么－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，而且仅有一个零点，那么一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．那么Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 12．(2021·江西七校联考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)假设方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12. (2)依题意有log 4(4x ＋1)－12x＝log 4(a ·2x －a )，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝a ·2x －a ·2x ，a ·2x －a >0，令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0(*)，只需其有一正根即可知足题意．①当a ＝1，t ＝－1时，不合题意．②(*)式有一正一负根t 1，t 2，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，得a >1，体会证正根知足at －a >0，∴a >1.③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，现在t＝a2a－1，若a＝2(2－1)，那么有t＝a2a－1<0，现在方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(2－1)舍去；若a＝－2(2＋1)，那么有t＝a2a－1>0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a[a2a－1－1]＝a2－a2a－1>0，因此a＝－2(2＋1)．综上所述，a>1或a＝－2－2 2.。

南方新高考高考数学大一轮总复习 2.9函数与方程课时作

第9讲函数与方程A级训练(完成时间：10分钟)1.已知定义在R那么函数f(x)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)2.函数y＝2x2－4x－3的零点个数是( )A．0个 B．1个C．2个 D．不能确定3.已知函数f(x)在区间[5,6]上是连续的且有f(5)·f(6)＜0，则f(x)在区间(5,6)内( )A．恰好有一个零点 B．有两个零点C．至少有一个零点 D．不一定存在零点4.函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A．4 B．2C．1 D．05.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若ac＜0，则函数的零点个数是 2 个．6.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0，在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是[2,2.5] .7.某同学在研究函数f(x)＝x1＋|x|(x∈R)时，分别给出下面几个结论：①f(－x)＋f(x)＝0在x∈R时恒成立；②函数f(x)的值域为(－1,1)；③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有①②③.8.已知函数f(x)＝ax2－2x＋3，x∈(0,3]．(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；(2)如果函数f(x)在定义域内有零点，求实数a的取值范围．B级训练(完成时间：20分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]偶函数f (x )在[0，a ](a ＞0)上是连续的单调函数，且f (0)f (a )＜0，则f (x )＝0在[－a ，a ]内根的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.[限时3分钟，达标是( )否( )](2013·天津)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0 4.[限时3分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝(x －1)cos x 2在区间[0,4]上的零点个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.[限时3分钟，达标是( )否( )]若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 (1，＋∞) .6.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________________．7.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．C级训练(完成时间：15分钟)1.[限时4分钟，达标是( )否( )]函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6C．4 D．22.[限时4分钟，达标是( )否( )]函数f(x)＝e x＋x2－2在区间(－2,1)内零点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．43.[限时7分钟，达标是( )否( )]已知函数f(x)＝e x－x，g(x)＝x2－a ln x(a＞0)．(1)写出f(x)的单调递增区间，并证明e a＞a；(2)讨论函数y＝g(x)在区间(1，e a)上零点的个数．第9讲函数与方程【A级训练】1．B 解析：由所给的表格可得f(1)＝0.1＞0，f(2)＝－0.9＜0，故函数f(x)一定存在零点的区间是(1,2)．2．C 解析：因为函数y＝2x2－4x－3的零点个数就是方程2x2－4x－3＝0的根的个数．而方程2x2－4x－3＝0的Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，所以方程2x2－4x－3＝0的根有两个，即函数y＝2x2－4x－3的零点个数为2.3．C 解析：由根的存在存在定理可知若f(x)在[5,6]上连续，且f(5)·f(6)＜0，所以函数f(x)在[5,6]内至少有一个零点，故选C.4．D 解析：因为函数f(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称．又其图象与x轴有四个交点，所以四个交点关于y轴对称，不妨设四个交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，则根据对称性可知x1＋x2＋x3＋x4＝0.5．2 解析：因为ac＜0，所以Δ＝b2－4ac＞0，所以对应方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，故所求二次函数与x 轴有两个交点．6．[2,2.5] 解析：设f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (2.5)＝1258－10＝458＞0，f (x )零点所在的区间为[2,2.5]，方程x 3－2x －5＝0有根的区间是[2,2.5]．7．①②③ 解析：①f (－x )＝－x1＋|x |＝－f (x )，所以正确；②当x ＞0时，f (x )＝11＋1x∈(0,1)，由①知当x ＜0时，f (x )∈(－1,0)，x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )∈(－1,1)正确；③当x ＞0时，f (x )＝11＋1x反比例函数的单调性可知，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，再由①知f (x )在(－∞，0)上也是增函数，正确；④由x1＋|x |＝x ，得x ＝0，只有一个零点，不正确．8．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x ∈(0,3]．所以f (x )的最小值是f (1)＝2，最大值为f (3)＝6，所以函数f (x )的值域为[2,6]．(2)函数f (x )在定义域内有零点即方程ax 2－2x ＋3＝0在x ∈(0,3]上有实根．等价于求函数a ＝2x －3x2在x ∈(0,3]上的值域，令h (x )＝2x －3x 2，则h (x )＝2x －3x 2＝－3(1x )2＋2(1x)，x ∈(0,3]．令1x ＝t ∈[13，＋∞)，则g (t )＝－3t 2＋2t ＝－3(t －13)2＋13，当t ＝13时，g (t )有最大值13，所以a ≤13.【B 级训练】1．B 解析：由二分法和函数的单调性可知：函数在区间[0，a ]上有且只有一个零点，设为x ＝x 0，因为函数是偶函数，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0.故其在对称区间[－a,0]上也有唯一零点，即函数在区间[－a ，a ]上存在两个零点．2．C 解析：由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)；由函数零点的定义，f (x )在(0，＋∞)内的零点即是方程|x －2|－ln x ＝0的根．令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x ＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．3．A 解析：由f (a )＝e a ＋a －2＝0得0＜a ＜1.由g (b )＝ln b ＋b 2－3＝0得1＜b ＜2.因为g (a )＝ln a ＋a 2－3＜0，f (b )＝e b＋b －2＞0，所以f (b )＞0＞g (a )，故选A.4．C 解析：令f (x )＝0，可得x ＝1或cos x 2＝0，所以x ＝1或x 2＝k π＋π2，k ∈Z ，因为x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，所以k 可取的值有0,1,2,3,4.所以方程共有6个解．所以函数f (x )＝(x －1)cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6个．5．(1，＋∞) 解析：令g (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)，h (x )＝x ＋a ，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f (x )＝a x－x －a 有两个不同的零点，则函数g (x )，h (x )的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a ＞1时符合题目要求．6．0，12解析：作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.7．解析：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为(13，0)，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，因为f (0)＝1，所以抛物线过点(0,1)．若m ＜0时，f (x )的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，f (x )的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当Δ＝9－4m ≥0即可，解得0＜m ≤94.综上所述，m 的取值范围为(－∞，94)．【C 级训练】1．B 解析：由图象变化的法则可知：y ＝ln x 的图象作关于y 轴的对称后和原来的一起构成y ＝ln|x |的图象，向右平移1个单位得到y ＝ln|x －1|的图象；又f (x )＝－2cosπx 的周期为T ＝2，如图所示：两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A ＋x B ＝－2，x D ＋x C ＝2，x E ＋x F ＝6，故所有交点的横坐标之和为6.2．B 解析：因为f (x )＝e x ＋x 2－2，得f ′(x )＝e x ＋2x ，f ″(x )＝e x＋2＞0，从而f ′(x )是增函数，f ′(－2)＝1e2－4＜0，f ′(0)＝1＞0，从而f ′(x )在(－2,1)内有唯一零点x 0，满足在区间(－2，x 0)上，有f ′(x )＜0，f (x )是减函数，在区间(x 0,1)上，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．因为f (－2)＝1e2＋2＞0，f (x 0)＜f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，从而f (x )在(－2,1)上有两个零点．故选B.3．解析：(1)因为f (x )＝e x－x ，所以f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝0，得到x ＝0.当x ＞0时，f ′(x )＝e x－1＞1－1＝0，所以f (x )的单调递增区间是[0，＋∞)．因为a ＞0，所以f (a )＞f (0)＝1＞0.所以，e a －a ＞0，即e a＞a .(2)因为g (x )＝x 2－a ln x (a ＞0)，所以g ′(x )＝2x －ax ＝2x －2a 2x ＋2a2x.当0＜x ＜2a2时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数；当x ＞2a2时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数．所以g (x )min ＝g (2a 2)＝a 2(1－ln a 2)． ①当a 2(1－ln a 2)＞0，即0＜a ＜2e 时，函数f (x )在(1，e a)上无零点；②当a2(1－ln a2)＝0，即a ＝2e 时，2a 2＝e ，则1＜2a 2＜e a，而f (1)＝1＞0，f (2a 2)＝0，f (e a)＞0，所以f (x )在(1，e a)上有一个零点； ③当a 2(1－ln a2)＜0，即a ＞2e 时，e a＞2a 2＞e ＞1，有1＜2a 2＜e a.而g(1)＝1＞0，g(e a)＝e2a－a2＝(e a－a)(e a＋a)＞0，当a＞2e时，g(x)min＝g(2a2)＝a2(1－lna2)＜0，所以，当a＞2e时，函数g(x)在(1，e a)上有两个零点．综上所述：当0＜a＜2e时，函数f(x)在区间(1，e a)上无零点；当a＝2e时，函数f(x)在区间(1，e a)上有一个零点；当a＞2e时，函数f(x)在区间(1，e a)上有两个零点．。

教育最新K122019高考数学一轮复习课时规范练9指数与指数函数理新人教B版

课时规范练9 指数与指数函数基础巩固组1.化简(x>0,y>0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y2.(2017湖南长沙模拟)下列函数的值域为(0,+∞)的是()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=3.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为()A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)4.(2017河南南阳一模)已知x>0,且1<b x<a x,则()A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是()A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>07.下列说法中,正确的是()①任取x∈R,都有3x>2x;②当a>1时,任取x∈R都有a x>a-x;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.A.①②④B.④⑤C.②③④D.①⑤8.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)>0}=()A.{x|x<-3或x>5}B.{x|x<1或x>5}C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3} 〚导学号21500513〛9.(2017四川资阳调研)已知f(x)=,若f(x)的图象关于直线x=1对称的图象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为.10.函数y=+1在[-3,2]上的值域是.11.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)内单调递增,则实数m的最小值等于.12.(2017江西南昌模拟)已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为.综合提升组13.(2017河北衡水中学调研,理4)已知f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数14.(2017辽宁大连一模,理12)已知定义在R上的函数f(x)=e x+mx2-m(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是()A.(-∞,0)B.C. D.(1,+∞) 〚导学号21500514〛15.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2017广东佛山模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2 〚导学号21500515〛17.(2017河北邯郸一模)已知f(x)=e x,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0成立,则m的最小值为.参考答案课时规范练9指数与指数函数1.A原式=(26x12y6=2x2|y|=2x2y.2.B∵1-x∈R,y=的值域是(0,+∞),∴y=的值域是(0,+∞).3.C由f(x)的图象过定点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故选C.4.C∵x>0,1<b x<a x,∴b>1,a>1.∵b x<a x,∴>1,∴>1,即a>b,故选C.5.A由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40.6,即b>c.又因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.6.D因为2x+3y>2-y+3-x,所以2x-3-x>2-y-3y.令f(x)=2x-3-x,因为f(x)=2x-3-x=2x-为增函数,f(x)>f(-y),所以x>-y,即x+y>0.7.B①中令x=-1,则3-1<2-1,故①错;②中当x<0时,a x<a-x,故②错;③中y=()-x=,由0<<1,知y=为减函数,故③错;④中当x=0时,y取最小值1,故④正确;⑤由函数图象变换,可知y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,故⑤正确.8.B∵f(2)=0,∴f(x-3)>0等价于f(|x-3|)>0=f(2).∵f(x)=2x-4在[0,+∞)内为增函数,∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.9.g(x)=3x-2设g(x)上任意一点P(x,y),则点P(x,y)关于x=1的对称点P'(2-x,y)在f(x)=的图象上,∴f(2-x)==3x-2=g(x).10.令t=,由x∈[-3,2],得t∈.则y=t2-t+1=.当t=时,y min=;当t=8时,y max=57.故所求函数的值域为.11.1因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1.函数f(x)=2|x-1|的图象如图所示.因为函数f(x)在[m,+∞)内单调递增,所以m≥1.故实数m的最小值为1.12.m≤-18设t=3x,则y=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈.又因为y=9x+m·3x-3在[-2,2]上递减,t=3x在[-2,2]上递增,所以y=t2+mt-3在上递减.得-≥9,解得m≤-18.13.A∵h(x)=f(x)+g(x)=,h(-x)==h(x),∴h(x)=f(x)+g(x)是偶函数,易知h(x)=f(x)g(x)无奇偶性,故选A.14.D由题意,得f(x1)-f(x2)>f(1)-f(0)恒成立.∵x1+x2=1,∴f(x1)-f(1-x1)>f(1)-f(1-1)恒成立.设g(x)=f(x)-f(1-x),∵f(x)=e x+mx2-m(m>0),∴g(x)=e x-e1-x+m(2x-1),则g'(x)=e x+e1-x+2m>0,∴g(x)在R上单调递增.∵不等式g(x1)>g(1),∴x1>1,故选D.15.(1,+∞)令a x-x-a=0,即a x=x+a.当0<a<1时,显然y=a x与y=x+a的图象只有一个公共点;当a>1时,y=a x与y=x+a的图象有如图所示的两个公共点.16.D作出函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示.∵a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2a<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)<1,∴0<c<1.∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1.∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.17.1由f(x)=g(x)-h(x),即e x=g(x)-h(x),①∴e-x=g(-x)-h(-x).∵g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,∴e-x=g(x)+h(x),②联立①②,解得g(x)=(e x+e-x),h(x)=(e-x-e x).∵mg(x)+h(x)≥0,∴m(e x+e-x)+(e-x-e x)≥0,也即m≥=1-.∵1-<1,∴m≥1.故m的最小值为1.。

高考数学一轮复习 2.9函数与方程讲解与练习理新人教A版

第九节函数与方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面：(1)结合函数与方程的关系，求函数的零点；(2)结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点及零点个数(方程是否存在实数根及方程根的个数)进行判断，如2012年北京T5，湖北T3，湖南T9等．(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围.[归纳·知识整合]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．3．函数零点具有哪些性质？提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：选C 由题意可知，函数f (x )的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在[2,16)内．3．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212345A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 令f (x )＝e x－x －2，则f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0， f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0， f (3)＝20.09－5>0，所以方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点为2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6.∴g (x )＝bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1，令g (x )＝0，得x ＝－12或－13.答案：－12，－135．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上有零点，且f (x )为一次函数，∴f (－1)·f (1)<0，即(1－5a )(1＋a )<0. ∴a >15或a <－1.答案：a >15或a <－1确定函数零点所在的区间[例1] (1)(2013·唐山模拟)设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)(2)(2013·朝阳模拟)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)[自主解答] (1)∵f (x )＝e x＋x －4，∴f ′(x )＝e x＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确，同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.(2)由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. [答案] (1)C (2)C若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )内，则k 为何值？解：由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.——————————————————— 判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．(2013·武汉模拟)在下列区间中，函数f (x )＝e －x－4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：选B 易知函数f (x )在R 上是单调减函数．对于A ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝e 34－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－3＝e 34>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3＝e 12－1>0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12上；对于B ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e 14－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－3＝e 14－2<414－2<0，因此在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14上函数f (x )＝e －x－4x －3一定存在零点；对于C ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<0，f (0)＝－2<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0上；对于D ，注意到f (0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14-－4×14－3＝e 14-－4<0，因此函数f (x )＝e －x －4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上．2．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于________．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴g (x 0)＝[x 0]＝2. 答案：2判断函数零点个数[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2xx >0，4x ＋1x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[自主解答] (1)因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域内有唯一零点．(2)当x ≤0时，函数有零点x ＝－14；当x >0时，作出函数y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x >0时函数f (x )有2个零点．故函数f (x )的零点的个数为3.[答案] (1)B (2)D ———————————————————判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．(2013·深圳模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.根据函数零点的存在情况求参数[例3] 定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 [自主解答] 在方程f (x ＋2)＝f (x )－f (1)中，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)－f (1)，再根据函数f (x )是偶函数可得f (1)＝0，由此得f (x ＋2)＝f (x )＝f (－x )，由此可得函数f (x )是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x ＝1对称，又当x ∈[0,1]时，x ＋2∈[2,3]，所以当x ∈[0,1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝－2(x ＋2)2＋12(x ＋2)－18＝－2x 2＋4x －2＝－2(x －1)2，根据对称性可知函数f (x )在[1,2]上的解析式也是f (x )＝－2(x －1)2，故函数f (x )在[0,2]上的解析式是f (x )＝－2(x －1)2，根据其周期性画出函数f (x )在[0，＋∞)上的部分图象(如图)，结合函数图象，只要实数a 满足0<a <1且－2<log a (2＋1)<0即可满足题意，故0<a <1且log 3a <－12＝log 333，即0<a <33.[答案] A———————————————————已知函数有零点方程有根求参数值常用的方法和思路1直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 3数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.4．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， ∴g (x )的值域是[2e ，＋∞)．因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．3种方法——判断函数零点所在区间的方法判断函数y ＝f (x )在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 4个结论——有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.数学思想——利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决．[典例] (2012·福建高考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．[解析]由定义可知，f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12－2x －1x －1，x ≤0，x －12－2x －1x －1，x >0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， ∴x 2＋x 3＝1， ∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0<x 2x 3<14；当x <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x <0，得x ＝1－34，∴1－34<x 1<0. ∴0<－x 1<3－14. ∴0<－x 1x 2x 3<3－116. ∴1－316<x 1x 2x 3<0. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟道]1．解决本题的关键有以下三点(1)根据新定义正确求出函数f (x )的解析式，并准确画出其图象． (2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x 2x 3的范围． (3)正确确定x 1的取值范围．2．函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化．[变式训练]1．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]内的解的个数是8.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的图象如图所示，根据图象可知当k ∈(0,1)时，方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案：(0,1)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]．∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2，都是f (x )的零点，此时x 有6个值．∴f (x )的零点个数为6.3．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e －2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．4．(2013·济宁模拟)函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18，由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知f (x )有5个零点．5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A 注意到函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当0<x 1<x 0时，有f (x 1)>f (x 0)，又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)>0，即此时f (x 1)的值恒为正值，选A.6．(2013·洛阳模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：选B 由f (x ＋2)＝f (x )可知，函数f (x )是周期为2的周期函数．在同一直角坐标系中画出函数f (x )与函数g (x )的图象，如图所示．结合图象可知，函数h (x )在[－5,5]上有9个零点．(注意函数g (x )在x ＝0处无定义)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．解析：函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 012x＋log 2 012x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 012内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3.答案：38．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析：令x ＋2x＝0，得2x ＝－x ，令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x . 在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1.所以x 1<x 2<x 3.答案：x 1<x 2<x 39．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析：依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，直线与曲线y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解：因为Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，所以若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可，即f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 11．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解：若F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，即|4x －x 2|＋a ＝0有四个根，即|4x －x 2|＝－a 有四个根．令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 则作出g (x )的图象，由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根，则需g (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，∴0<－a <4，即－4<a <0，a 的取值范围为(－4,0)． 12．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解：(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和 (1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0，f－1＝2>0，f1＝4m ＋2<0，f2＝6m ＋5>0－56<m <－12，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1>0，Δ≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12.m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，即－12<m ≤1－2，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－2.1．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意可知，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，在同一直角坐标中作出函数y ＝f (x )和y ＝log 3|x |的图象，如图所示，结合图象可以知函数的零点有4个．2．判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f (x )＝1x－x ，x ∈(0,1)．(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．解：(1)法一：令f (x )＝1x－x ＝0，解得x ＝±1，又∵±1∉(0,1)，∴f (x )＝1x－x ，x ∈(0,1)不存在零点．法二：画出函数f ＝1x与y ＝x 的图象，如右图所示，由图象观察可知此函数在(0,1)不存在零点．(2)函数f (x )＝log 2(x ＋2)－x 的图象在[1,3]上连续．又f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0.f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0.∴f (1)·f (3)<0.故函数f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．3．设函数f (x )＝log 2(2x＋1)，g (x )＝log 2(2x－1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1,2]上有零点，求m 的取值范围．解：法一：令F (x )＝0，即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以有m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x－1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.∵1≤x ≤2，∴3≤2x＋1≤5. ∴25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35. ∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 235.m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.法二：log 2(2x －1)＝m ＋log 2(2x＋1)． ∴log 2(2x－1)＝log 2[2m·(2x＋1)]． ∴2x－1＝2m·(2x＋1)．∴2x(1－2m)＝2m＋1,2x＝2m＋11－2m ，即x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m . ∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2. ∴2≤2m＋11－2m ≤4，解得13≤2m ≤35，即log 213≤m ≤log 235.m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.。

高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第2章第9节函数与方程

课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.]2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根C [由f (x )在[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1，1]上有唯一实数根．] 3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：( )A ．区间[1，2]和[2，3]B ．区间[2，3]和[3，4]C ．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]D ．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]C [因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．]4．(2014·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10C [依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，5]内的零点个数是8.]5．(2014·广东韶兴一模)已知函数满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈[1，3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，函数g (x )＝f (x )－ax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e A [当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，则1＜1x ≤3，∴f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln 1x ＝－2ln x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，ln x ，x ∈[1，3].g (x )＝f (x )－ax 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内有三个不同零点，即函数 y ＝f （x ）x 与y ＝a 的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上有三个不同的交点．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，y ＝－2ln x x ，y ′＝2（ln x －1）x 2＜0，∴y ＝－2ln x x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1上递减，∴y ∈(0，6ln 3]．当x ∈[1，3]时，y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2， y ＝ln xx 在[1，e]上递增，在[e ，3]上递减．结合图象，所以y ＝f （x ）x 与y ＝a 的图象有三个交点时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e .]二、填空题6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0，0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案(0，0.5)f(0.25)7．(2014·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2<k<3.答案(2，3)8．(2014·太原模拟)若函数f(x)＝|x|＋a－x2－2(a>0)没有零点，则实数a的取值范围为__________．解析在平面直角坐标系中画出函数y＝a－x2(a＞0)的图象(其图象是以原点为圆心、a为半径的圆，且不在x轴下方的部分)与y＝2－|x|的图象．观察图形可知，要使这两个函数的图象没有公共点，则原点到直线y＝2－x的距离大于a，或a> 2.又原点到直线y＝2－x的距离等于1，所以有0<a<1，或a＞2，由此解得0<a<1或a>2.所以，实数a的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．答案(0，1)∪(2，＋∞)三、解答题9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－1 4.综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解析设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32. ②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f （2）≥0，∴⎩⎨⎧（m －1）2－4≥0，－3<m <1，4＋（m －1）×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x (x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解析 (1)g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，所以m ≥2e. (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，则g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，其图象对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，又由(1)知g (x )在x ＝e 处取得最小值2e ，故当m－1＋e2>2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。

2022版高考数学一轮复习练案(12理+12文)第二章函数、导数及其应用第九讲函数与方程练

第九讲函数与方程A组基础巩固一、选择题1．若函数f（x）的唯一零点同时在区间(0，4），（0,2),（1,2），错误!内，则与f(0）符号相同的是（C)A．f(4)B．f(2）C．f(1）D．f错误!［解析］本题实质考查二分法．由题意知f（x）的零点在错误!内,可知f（0）与f（1）符号相同．2．已知函数f(x）＝错误!－log2x，则f（x）的零点所在的区间是（C）A．（0,1）B．（2,3)C．（3，4) D．（4，＋∞）［解析］易知f(x)是单调函数，f(3）＝2－log23>0，f(4）＝错误!－log24＝错误!－2＝－错误!〈0，故f（x)的零点所在的区间是（3,4)．3．下列函数中，在（－1，1)内有零点且单调递减的是(A）A．y＝log错误!（x＋1)B．y＝2x－1C．y＝x2－错误!D．y＝x3［解析]函数y＝log错误!(x＋1）在定义域上单调递减,且x＝0时y＝0，y＝x2－错误!在(－1，1）上不是单调函数，y＝x3在定义域上单调递增，且x＝0时y＝0。

对于y＝2x－1，当x＝0∈（－1，1）时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选A、D。

4．若函数f（x）＝ax＋b的零点是2，则函数g（x）＝bx2－ax的零点可以是（C) A．0B．错误!C．－错误!或0 D．2［解析］2a＋b＝0，∴g（x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－错误!，故选C。

5．函数f（x）＝x·cos 2x在区间［0，2π］上的零点的个数为(D）A．2B．3C．4 D．5[解析］借助余弦函数的图象求解，f（x）＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π］上有错误!，错误!，错误!，错误!,共4个根,故原函数有5个零点．6．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f（1）〉0，f（2)<0，则f（x）在(1，2）上零点的个数为（C）A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．-个也没有［解析］因为f（1）〉0，f（2）〈0，所以f（x)在（1，2）上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.7．(2021·山东青岛模拟)已知a是函数f(x）＝2x－log错误!x的零点，若0<x0〈a，则f （x0)的值满足(C）A．f(x0）＝0B．f（x0）〉0C．f（x0）〈0 D．f（x0）≤0［解析］在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝log错误!x的图象，由图象可知，当0<x0〈a时，有2x0〈log错误!x0，即f（x0）〈0。

高考一轮复习第二章第九节函数与方程

f(1.375)＝－
0.260
f(1.437 5)＝
0.162
f(1.406 25)＝－
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为
________．返回
[自主解答]
通过参考数据可以得到：
f(1.375)＝－0.260<0，f(1.437 5)＝0.162>0，且1.437 5－ 1.375＝0.062 5<0.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. [答案] 1.4
返回
[巧妙运用] 当x<2时，f ′ (x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域
是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调
递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．答案：(0,1)
1＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
解析：方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0⇒m＝cos2x－cos x－2. 12 9 2 令y＝cos x－cos x－2得，y＝(cos x－ ) － . 2 4 9 因此，ymin＝－，ymax＝0. 4 因此，方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0有实数解时，实数m的 9 取值范围是[－，0]． 4 9 答案：[－，0] 4
不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2，所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．答案： A

高考数学一轮复习第2章函数第9节函数与方程课件理新人教版

(－∞，4) [由题意知 Δ＝16－4a＞0，解得 a＜4.]
1234
02
细研考点·突破题型
考点一判定函数零点所在区间考点二确定函数零点的个数考点三求与零点有关的参数问题
考点一判定函数零点所在区间判断函数零点所在区间的方法
1．设函数 f (x)＝13x－ln x，则函数 y＝f (x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)上均有零点 B．在区间1e，1，(1，e)上均无零点 C．在区间1e，1上有零点，在区间(1，e)上无零点 D．在区间1e，1上无零点，在区间(1，e)上有零点
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(2)三个等价关系方程 f (x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f (x)的图象与 x轴有交点⇔函数 y＝f (x)有零点．
1234
提醒：函数的零点不是函数 y＝f (x)的图象与 x 轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2．函数的零点存在性定理如果函数 y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)·f (b)＜0，那么，函数 y＝f (x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f (c)＝0 ，这个 c 也就是方程 f (x)＝0 的根．
1234
D [当 x∈1e，e时，函数图象是连续的，且 f ′(x)＝13－1x＝x－3x3＜ 0，所以 f (x)在区间1e，e上单调递减，又 f 1e＝31e＋1＞0，
f (1)＝31＞0，f (e)＝3e－1＜0，所以函数 f (x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选 D．]
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2．若 x0 是方程12x＝x13的解，则 x0 属于区间(
)
A．23，1

高考数学一轮复习全套课时作业2-9-1函数与方程

题组层级快练2.9.1函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝x －4x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个2．设f(x)＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1]D ．[－1，0]3．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是( ) A ．f(x)＝e x －1 B ．f(x)＝x ＋1xC ．f(x)＝2x－xD ．f(x)＝2x－x 24．函数f(x)＝log 8x －13x 的一个零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5．(2021·山东济宁市模拟)已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)6．(2019·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝2sinx －sin2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设方程10x ＝|lg(－x)|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<18．(2021·长春市第二次质量监测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lnx|，x>0，－2x （x ＋2），x ≤0，则函数y ＝f(x)－3的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知函数f(x)＝e x ＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ．c<a<bD ．b<a<c10．(2021·重庆一中摸底)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)．若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x ，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4二、多项选择题11．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2＋2xD ．y ＝－x 312．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x－1，x ≤0，x 12，x>0，则下列判断中错误的是( )A ．f(x)的值域为(0，＋∞)B ．f(x)的图象与直线y ＝2有两个交点C ．f(x)是单调函数D ．f(x)是偶函数三、填空题与解答题13．(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xlnx ，x>0，x 2－x －2，x ≤0，则f(x)的零点为________．14．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x －12x ＋a ，则函数f(x)有________个零点．15．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，lnx ，x>0，有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．16．(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x<λ，当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．17．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2f （x －2），x ∈（0，＋∞）.(1)求函数f(x)在[－2，4]上的解析式；(2)若方程f(x)＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a 的取值范围．2.9.1函数与方程参考答案1．答案 C解析方法一：画出y ＝x 与y ＝4x 的图象，知有两个交点．方法二：令f(x)＝0，即x －4x ＝0，即x 2－4＝0，且x ≠0，则x ＝±2.2．答案 D解析 (定理法)函数f(x)在区间[a ，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选项中的各端点值代入验证可得答案D. 3．答案 C解析由于函数f(x)＝e x －1，f(－x)＝e －x －1≠－f(x)，故函数不是奇函数，A 不满足条件；由于函数f(x)＝x ＋1x 满足f(－x)＝－x ＋1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝－f(x)，且定义域关于原点对称，故f(x)＝x ＋1x 是奇函数，但方程f(x)＝0无解，故不存在零点，B 不满足条件；由于函数f(x)＝2x －x 满足f(－x)＝2－x －(－x)＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f(x)，且定义域关于原点对称，故f(x)＝2x －x 是奇函数，又f(1)·f(2)＝1×(－1)<0，故在区间(1，2)上存在零点，C 满足条件；由于函数f(x)＝2x －x 2，f(－x)＝2－x －(－x)2≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，D 不满足条件．故选C. 4．答案 B解析因为函数f(x)＝log 8x －13x 是连续的增函数，f(1)＝0－13＝－13<0，f(2)＝log 82－16＝13－16>0，可得f(1)f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 5．答案 B解析 (定理法)因为a>1，0<b<1，所以f(x)＝a x ＋x －b 在R 上是增函数，又f(－1)＝1a －1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 6．答案 B解析函数f(x)＝2sinx －sin2x 在[0，2π]的零点个数，即2sinx－sin2x＝0在区间[0，2π]的根的个数，令h(x)＝2sinx，g(x)＝sin2x，画出两函数在区间[0，2π]的图象(图略)，可知h(x)＝2sinx和g(x)＝sin2x在区间[0，2π]的图象的交点个数为3.故选B.7．答案 D解析作出函数y＝10x与y＝|lg(－x)|的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1.故选D.8．答案 B解析方法一：由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x>0时，得lnx＝3或lnx＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.方法二：作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.故选B.9．答案 A解析∵e a＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴0<b<1.∵lnc＝1，∴c＝e>1.故选A.10．答案 B解析y＝f(x)－g(x)的零点个数即为方程f(x)＝g(x)的根的个数，即函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点个数，作出两函数图象，如图所示，由图象可知共有3个交点．故选B.11．答案 BC解析函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1，1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．对于y ＝x 2＋2x ，当x ＝0∈(－1，1)时，y ＝0，且在(－1，1)上单调递增． 12．答案 ACD解析函数f(x)的图象如图所示：由图可知，f(x)的值域为[0，＋∞)，A 错误，C 、D 显然错误，f(x)的图象与直线y ＝2有两个交点，B 正确．故选ACD.13．答案 1，－1解析当x>0时，由f(x)＝0，即xlnx ＝0得lnx ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f(x)＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f(x)的零点为1，－1. 14．答案 3解析由题意知f(0)＝1＋a ＝0，所以a ＝－1.当x<0时，令f(x)＝2x －12x －1＝0，即2x ＝12x ＋1，令g(x)＝2x (x<0)，h(x)＝12x ＋1(x<0)，因为g ′(0)＝ln2>12，所以当x<0时，g(x)与h(x)的图象有1个交点，即x<0时，f(x)有1个零点，又函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以函数f(x)有3个零点． 15．答案 (0，1]解析当x>0时，由f(x)＝lnx ＝0，得x ＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f(x)＝2x －a 有一个零点．令f(x)＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1]．16．答案 {x|1<x<4} (1，3]∪(4，＋∞)解析当λ＝2时，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x<2，显然当x ≥2时，不等式x －4<0的解集为{x|2≤x<4}；当x<2时，不等式f(x)<0化为x 2－4x ＋3<0，解得1<x<2，综上，不等式的解集为{x|1<x<4}．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x<λ的草图如图：函数f(x)恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4. 17．答案 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]2－2|x －1|，x ∈（0，2）4－4|x －3|，x ∈[2，4](2)(－2，0)∪{1}解析 (1)当－2≤x ≤4时，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2－2|x －1|，x ∈（0，2），4－4|x －3|，x ∈[2，4].(2)作出函数f(x)在区间[－2，4]上的图象如图．设y ＝x ＋a ，方程f(x)＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝x ＋a 在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a 的取值范围是－2<a<0或a ＝1，即(－2，0)∪{1}．。

高考数学一轮复习第九章解析几何 9.7 抛物线学案(文,含解析)新人教A版

学习资料9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。

2。

抛物线的几何性质Fp2,0 F —p2,0 F 0，p 2F 0,-p 2e=1。

设AB 是过抛物线y 2=2px （p>0)焦点F 的弦，若A (x 1,y 1),B (x 2，y 2),如图所示，则（1）x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角）；（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切;（4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）; (5）∠CFD=90°。

2.抛物线y 2=2px (p 〉0）的通径长为2p 。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2）若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. （ ) (3)若一抛物线过点P （—2，3),则其标准方程可写为y 2=2px (p 〉0）. ( ）（4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形。

（ )（5)方程y=ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a，0.4(）2.（2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0）的焦点间的距离为2，则p的值为()A。

2√3B。

4 C.6 D.123。

（2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l。

P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线（）A。

经过点O B。

经过点PC。

平行于直线OP D.垂直于直线OP4。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数与方程

必刷小题4函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝e x＋2x－5的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析函数f(x)＝e x＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是()答案DAB走时，与O点的直线距离保持不变，解析小明沿沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝lg|x－1|的图象大致是()x－1答案D 解析因为y ＝lg|－x |－x＝－lg|x |x ，x ≠0，故y ＝lg|x |x 为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y ＝lg|x －1|x －1的图象，所以y ＝lg|x －1|x －1的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A ，B ；又当y ＝lg|x －1|x －1＝0时，x ＝0或x ＝2，故y ＝lg|x －1|x －1的图象与x 轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f (x )＝lg x ＋x －2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C 解析因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的12，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝18>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为12＝116<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P (s )＝P 0e －Ks 描述声压P (s )(单位：帕斯卡)随传播距离s (单位：米)的变化规律，其中P 0为声压的初始值，常数K 为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K 的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．0.162B ．0.164C ．0.166D ．0.168答案B 解析由题意知，400＝900e －5K ，两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K ，所以K ＝ln 9－ln 45＝2(ln 3－ln 2)5≈2×0.415＝0.164.6．已知f (x )(－x )，x <0，－x ，x ≥0，则函数y ＝3f 2(x )－2f (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C 解析由题设，当x <0时，f (x )∈R 且单调递减，当x ≥0时，f (x )∈(0,1)且单调递减，令t ＝f (x )，则y ＝3t 2－2t ＝0，可得t ＝0或t ＝23，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图知，当t ＝0时有一个零点，当t ＝23时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f (x )＝2x ＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c 答案D 解析由函数的单调性可得，函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，由f (a )f (b )f (c )<0,则f (a )，f (b )，f (c )为负数的个数为奇数，选项A ，B ，C 可能成立；对于选项D ，当x 0<c 时，由函数的单调性可得f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，即不满足f (a )f (b )f (c )<0，故选项D 不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f (x )x －2)，x >1，|－1，－1≤x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)恰有3个零点，则实数a 的取值范围为()A.15，D.16，答案B解析令g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)＝0，可得f (x )＝log a (x ＋1)，所以曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，当a >1时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a <1时，若使得曲线y ＝f (x )与曲线y ＝log a (x ＋1)有三个交点，a 3>－1，a 5<－1，a <1，解得15<a <13.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数不可能为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A ．5B ．6C ．7D ．8答案ABC解析由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为＝50，n ∈N +，则50≤2.5得，20≤1，所以lg 20＋≤0，lg 10＋lg 2＋n (lg 2－lg 3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n ≤0,1.3≤0.18n ，得n ≥659，因为n 为正整数，所以n 的最小值为8.10．设函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，则g (x )＝f (x )－m 的零点个数可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由函数f (x )2＋2x ，x ≤0，x －x ，x >0，得f (－1)＝f (1)＝－1，则函数g (x )＝f (x )－m 的零点个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝m 的交点个数，画出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，如图所示，由图可知，当m >0时，两个函数的图象有1个交点，当m ≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g (x )＝f (x )－m 的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析由函数图象可知y 0≤t <1，－a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即－a ＝4，解得a ＝3，∴y 0≤t <1，3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 错误．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，并且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，则下列说法中正确的是()A ．实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ＋1C ．x 1x 2x 3x 4＝1D ．x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4的取值范围是[23，＋∞)答案BC 解析因为f (x )为偶函数且有4个零点，则当x >0时f (x )有2个零点，＝a 2－4>0，－－a 2>0，解得a >2，A 不正确；当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋ax ＋1，B 正确；偶函数f (x )的4个零点满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3，x 4是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，则有x 3>0，x 3x 4＝1且x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，于是得x 1x 2x 3x 4＝(x 3x 4)2＝1，C 正确；由C 选项知，x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝x 3＋3x 4＝x 3＋3x 3，且0<x 3<1，而函数y ＝x ＋3x在(0,1)上单调递减，从而得x 3＋3x 3∈(4，＋∞)，D 不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是________．答案12解析由题可知，加密密钥为y ＝kx 3，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ×43，解得k ＝243＝132，故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，即1256＝132x 3，解得x 3＝18，即x ＝12.14．若函数f (x )＝e －x －ln(x ＋a )在(0，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，e)解析由题意可得，函数y ＝e －x 与g (x )＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g (0)＝ln a <1，即0<a <e ；当a ≤0时，g (x )＝ln(x ＋a )的图象是由函数y ＝ln x 的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a <e.15．已知函数y ＝f (x )的表达式为f (x )，x ≤0，2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案3解析∵f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，∴f (f (x ))＝0⇒f (x )＝0或f (x )＝1，由f (x )＝0⇒x ＝0或x ＝1，由f (x )＝1⇒x ＝2，∴0,1,2为函数y ＝f (f (x ))的零点，∴函数y ＝f (f (x ))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t (分钟)满足的函数关系式为h ＝m ·a t .若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数)答案43解析·a10＝0.1，·a20＝0.2，m＝120，＝110，所以h＝120×102t，令h＝120×102t＝1，可得102t＝20，所以t＝10log220＝10lg20lg2＝10(lg10＋lg2)lg2＝10(1＋lg2)lg2≈10×1.30.3≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．。

2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第九讲函数与方程学案(含解析)新人教版

学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第九讲函数与方程学案（含解析）新人教版班级：科目：第九讲函数与方程知识梳理·双基自测知错误!错误!错误!知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f（x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f（x）(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x）与x轴交点的横坐标，而不是y＝f（x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x）有__零点__.3．函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f(x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f（a）f （b）＜0__，那么函数y＝f(x）在区间（a，b）内有零点,即存在c∈（a，b),使得__f(c）＝0__，这个c也就是方程f（x）＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b］上连续不断且__f(a)f（b)〈0__的函数y＝f(x),通过不断地把函数f （x）的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f（x)零点近似值的步骤如下：（1)确定区间[a，b］,验证f（a)·f（b)<0，给定精确度ε；（2）求区间(a，b)的中点c；（3）计算f（c）；①若f（c）＝0，则c就是函数的零点；②若f（a)·f(c)〈0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c)）；③若f（c)·f（b）〈0,则令a＝c(此时零点x0∈（c,b))．（4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b）；否则重复（2）（3)（4)．错误!错误!错误!错误!1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．(2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b］上有零点不一定能推出f(a)·f（b）<0，如图所示．所以f(a)·f（b）〈0是y＝f(x）在闭区间[a,b］上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号．（5)若函数f(x)在[a,b]上单调，且f(x）的图象是连续不断的一条曲线，则f（a）·f（b）<0⇒函数f（x）在［a,b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点（x1，0），（x2,0)（x1,0）无交点零点个数两个零点一个零点无零点题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×)（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）在当b2－4ac〈0时没有零点．（√)(3)函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点(函数图象连续不断)，则f（a)·f（b）<0。

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