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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
【精品】方差分析(Analysis of variance)PPT课件-文档资料
因素效应 试验误差
相差不大，说明试验处理对指标影 响不大。
相差较大，即因素效应比试验误差 大得多，说明试验处理影响是很大 的，不可忽视。
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
第一节 方差分析的基本问题
一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
εij －随机误差
（3.1）
要求εij 是相互独立的，且服从正态分布
N(0,σ2 )
29
令n
a i 1
ni，总平均：
1 n
a i 1
nii ,
第i个水平的影响： i i
3.1可以改写成
yiijj
~
N
i ij，( j 1,2,...,ni (0, 2),且相互独立
方差分析的直观思想
1.如果 1, 2 , 3之间没有差异，则三个样本 之间的差异（以组间方差衡量）由抽样 误差带来，实质上由各组内个体之间的 差异造成，组内个体之间的差异的大小， 以组内方差来衡量。这时，组间方差ＭＳ间 与组内方差ＭＳ内相近。
方差分析的直观思想
２．如果 1, 2 , 3有差异，则组间差异不仅有 个体差异的影响还要受到总体差异的影
为纪念Fisher，以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F-test）
方差分析的 基本功能
第讲方差分析ppt-精品.ppt
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
方差分析1实验报告
.. . . . .实验报告课程名称生物医学统计分析实验名称方差分析1专业班级姓名学号实验日期实验地点2015—2016学年度第 2 学期组内38.842 20 1.942总数85.340 24分析：表2是方差分析的统计结果，由此可知，F=5.986，P=0.002〈0.01，可认为5个品种猪存在极显著差异，故须进行多重比较。
表3 5个品种猪增重的多重比较（LSD法）(I) 品种(J) 品种均值差 (I-J) 标准误显著性95% 置信区间下限上限LSD 1 2 3.0000*.8046 .001 1.322 4.6783 1.8667*.8439 .039 .106 3.6274 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4185 3.5417*.8996 .001 1.665 5.4182 1 -3.0000*.8046 .001 -4.678 -1.3223 -1.1333 .8439 .194 -2.894 .6274 -2.4583*.8996 .013 -4.335 -.5825 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4183 1 -1.8667*.8439 .039 -3.627 -.1062 1.1333 .8439 .194 -.627 2.8944 -1.3250 .9348 .172 -3.275 .6255 1.6750 .9348 .088 -.275 3.6254 1 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3352 2.4583*.8996 .013 .582 4.3353 1.3250 .9348 .172 -.625 3.2755 3.0000*.9854 .006 .944 5.0565 1 -3.5417*.8996 .001 -5.418 -1.6652 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3353 -1.6750 .9348 .088 -3.625 .2754 -3.0000*.9854 .006 -5.056 -.944*. 均值差的显著性水平为 0.05。
第六节 方差分析(1)-核心部分
3.弃真错误概率增大 弃真错误概率增大 当k=5时 时 (i≠j: 若 H0: μi=μj (i≠j:1,2,3,4,5)正确 α=0.05 在一次比较中，接受H0 的概率 在一次比较中，接受 P=(1 P=(1-0.05)=0.95 05)=0 )= 次比较中，同时接受H 在10 次比较中，同时接受 0: μi=μj的概率 P=(1 P=(1-0.05)10=0.9510=0.5987 05) 10 次比较中，至少有 次犯弃真错误（否定 0)的概率 次比较中，至少有1次犯弃真错误 否定H 的概率 次犯弃真错误（ P=1 5987= P=1-(1-0.05)10=1-0.5987=0.4013 05)
• 由于方差是离均差平方和除以自由度所得 的商，为求得S 的商，为求得 2处理与S2误差，首先应计算它 们各自的平方和 自由度。 平方和与 们各自的平方和与自由度。 • 统计学已经证明，单向分组资料n=Σ ni个 统计学已经证明，单向分组资料 Σ 观测值的总平方和SS 观测值的总平方和 T可分解为处理平方和 SSt与误差平方和 e即 与误差平方和SS
SST=SSt+SSe
平方和分解：
SST = ∑∑ (yij − y..) 2
i =1 j=1 k ni k 2 2 SSt = ∑∑ (y i. − y..) = n∑ (y i. − y..) i =1 j=1 i =1 k ni SS = (yij − y i .) 2 e ∑∑ i =1 j=1 k ni
单向分组资料方差分析表
变异来源 组间（处理间） 组内（误差） 总和 离均差平方和 SS SSt SSe SST 自由度 df dft dfe dfT 方差（均方）s2 s2t=SSt/dft s2e=SSe/dfe F=s2t/s2e F值
方差分析——精选推荐
方差分析方差分析是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用3、分析因素间的交互作用4、方差齐性检验。
1.单因素方差分析单因素方差分析也称作一维方差分析。
它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量的各因素水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。
它检验由单一因素影响的几个(两个以上)彼此独立的组是否来自均值相同的总体。
还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。
One-Way ANOVA 过程要求因变量属于正态分布总体。
如果因变量的分布明显的是非正态不能使用该过程而应该使用非参分析过程。
如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measures 命令调用GLM 过程。
1.1 单因素方差分析的示例下表为某职业病防治院对31 名石棉矿工中的石棉肺患者、可疑患者和非患者进行了用力肺活量(L)测定的数据，问三组石棉矿工的用力肺活量有无差别？新建变量g 标识三种患者，数值1 标识石棉肺患者，2 标识可疑患者，3标识非患者，用变量X 存放测量值由上表建立数据文件如图所示从Analyze —〉Compare Means —〉One-Way ANOVA 激活One-Way ANOVA 单因素方差分析对话框。
将变量肺活量[x] 移入Dependent List 独立列表栏将变量组别[g] 移入Factor 栏如图所示由上表可知方差来源于两部分，即组间Between Groups 和组内Within Groups 。
方差分析1
Ho: 1 2 3 4 Ha: At least one k is different
为决定是否接受零假设, 我们将利用方差分析表计算检验统计量F
SOURCE BETWEEN WITHIN
TOTAL
SS
df
MS (=SS/df)
SS(Factor) g - 1
g
SS(Error) (nj 1 )
与控制图 比较
子组内部 波动
Total = between + within
9
Response
ANOVA基础----平方和
70
65
60
55
1
2
3
4
Factor
yj - 组 均 值
y- 总 均 值
yij - 单 值
i = 第j组的第i 个观察值 j = 第j组 g = 总组 数
g nj
g
g nj
( yij y)2 n j ( y j y)2
检 验2个或2个以上因素在不同水平时的效应(双因素或 多因素方差分析---two-way or higher ANOVA)
用方差分析法来分析总波动中各个因素的波动组成,从而 得出方差分量(variance components)的估计值.
2
单因素方差分析与双样本t 检验
双 样 本T 检 验
Old Method 16.3 15.2 14.9 19.2 20.1 13.2 15.8
5
单因素方差分析
单因素方差分析是一种比较2组以上数据均值的统计方 法
检验假设:
Ho : 1 2 3 4 ... k Ha : At least one k is different
方差分析1ppt课件
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随机区组设计的方差分析SPSS操作
▪ Analyze General Linear Model
Univariate
Dependent Variable: x
要分析的应变量为x
Fixed Factor框: t，w
固定效应变量为t、w
Model :
要求自定义方差分析模型
Build Terms下拉列表:Main effects 模型中准备纳入主效应
第三，下结论时用语要准确，不能绝对化
➢ P ≤α ，按α水准，拒绝H0 ，接受H1，差别有统计学意义(统计结论) ， 可认为……不同或不等。
➢ P >α ，按α水准，不拒绝H0，差别无统计学意义，尚不能认为……不
同或不等。
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3
方差分析的应用条件
▪ 独立
nomal
只有各样本为相互独立的随机样本，才能不保证变异的可分解性（最严格）
▪ 定义：亦称配伍组设计或双因素无重复试验设计。分为两 种情况：对同一受试对象在同一处理不同水平的比较；或 将几个受试对象按一定条件配成区组，再将每一区组的各 受试对象随机分配到各个处理组中去。每个区组的例数等 于处理组个数。
▪ 注意：用于区组的因素应该是影响试验效应的非处理因素。 ▪ 当只有两个区组时，该设计变成了配对设计
组别变量g
▪ 录入数据
▪ Analyze Compare Means one way ANOVA
Dependent List框：x 要分析的结果变量为x
Factor框: g
分组变量为g
Options :
要求进行方差齐性检验
Post Hoc :
两两比较方法采用SNK法
方差分析1审计学审计学
课程名称：统计学
1.方差分析的定义
2.方差分析解决什么问题（举例）
3.方差分析的思路
4.方差分析在实践中有什么用处
1.检验多个总体均值是否相等
⏹通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响
⏹一个或多个分类型自变量
⏹一个数值型因变量
某饮料生产企业研制出一种新型饮料.饮料的颜色共有四种: 例
橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超市上收集了该种饮料的销售情况。
超市饮料销售额（单位：万元）
•传统方法：两两均值相等的检验
•从方差分析的目的看，是要检验四种颜色的饮料的销售均值是否相等，我们可用方差比较的方法来判断。
饮料的颜色是否对销售量产生影响？
在其他条件相同的情况下，上述问题就归结为一个检验问题，即：检验饮料颜色对销售量是否有影响？
单因素的方差分析
分析一个变量时One-Way ANOVA
多因素的方差分析
Univariate
分析多个变量时，称为多元方差分析
Multivariate
☐分析一个定性变量对定量变量的影响
☐两个定量变量间，也可数据转化应用方差分析☐数据分析中最常用的分析工具
☐应用注意数据的要求
谢谢观看。
实验一.方差分析
1 0908010101 范雨菲1.某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为桔黄色，粉色，绿色和无色透明。
随机从五家超级市场收集了前一期该种饮料的销售量，如下表所示，试问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
用Excel中的方差分析工具进行方差分析。
（α=0.05）超市桔黄色粉色绿色无色1 26.5 31.2 27.9 30.82 28.7 28.3 25.1 29.63 25.1 30.8 28.5 32.44 29.1 27.9 24.2 31.75 27.2 29.6 26.5 32.82.对平炉炼钢实验进行工艺改革，先用原方法炼一炉，然后用改革工艺后的方法炼一炉，以后这样交替进行，各炼10炉，考察指标如下表。
原方法78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.32 0908010102 林琳1. .某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为桔黄色，粉色，绿色和无色透明。
随机从五家超级市场收集了前一期该种饮料的销售量，如下表所示，试问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
用Excel中的方差分析工具进行方差分析。
（α=0.1）超市桔黄色粉色绿色无色1 25.5 30.8 28.5 31.22 28.8 29.6 27.0 28.33 26.0 32.4 28.4 30.54 29.0 31.7 25.2 27.05 27.0 32.8 26.5 27.62. 对某国产汽车和某进口汽车进行抽样，并测定启动速度，结果如下表，在显著性水平α=0.05下，检验该国产汽车的启动速度是否已达到了进口汽车的水平。
国产车（s）8.19.18.99.49.67.28.99.28.899.49.5进口车（s）9.57.698.97.89.289.49.17.48.37.13 0908010103 李婷婷1.某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
方差分析(1)
例：黑龙江某地淋溶土上玉米氮肥品种肥效试 验，每亩施N6斤，小区面积54m2 ，随机区组设计， 重复四次，玉米产量见下表.请对不同品种氮肥的 肥效进行分析.
重复 1 2 3 4 Ts
CK 126.8 148.7 121.9 83.1 480.2
碳铵 233.8 231.1 226.0 221.3 911.9
(Fisher’s protected D, 或FPLSD)
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L.S.D法是t检验法，其只适用于二个相 互独立的平均数间的比较。而复因素试验的 互比时，由于交互作用的存在，平均数间失 去了独立性，从而增大了二个平均数间的差 值，用t检验时易产生a错误。
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（二）最小显著极差法：LSＲ法，采用不 同平均数间用不同的显著差数标准进行比 较。又根据标准的严格，分为新复极差法 和q法
2
二．平方和与自由度的可加性与分解性
方差分析就是将总平方和以及总自由度划分成若 干个分量，而每一个分量与试验设计中的一个因素相 关联，所以方差分析的第一步就是从总变异中分解平 方和与自由度开始。
全部资料的总平方和可以分解成组内平方和与组 间平方和两部分）——平方和的分解性。 平方和与 自由度的分解性与可加性就是方差分析的数学基础。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是将一个试验的总变异分解为各变因的相应部 分，以误差作为统计假设检验的依据，对其它可控变因进 行显著性检验，并判断各变因的重要性。
将总变异剖分为各个变异来源的相应部分，从而发现 各变异原因中相对重要程度的一种统计分析方法。
1
一．变异因素的划分 处理间变异：组间变异——试验效应 处理内变异：组内变异——试验误差
氯铵 264.6 252.9 267.5 150.3 935.2
方差分析1
3、方差分析的原理 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著 影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体 的均值是否相等的问题。
如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均 值也会很接近。 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相 等的证据也就越充分。 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就 越充分。
首先，提出如下假设： H0: 1 = 2 = 3 = 4 如果原假设成立（四种颜色饮料销售的均值都 相等、没有系统误差）这意味着每个样本都来自均 值为、方差为2的同一正态总体，有充分证据表明 颜色因素对分店的日营业额没有实质性影响
f(X)
1 2 3 4
X
备择假设：H1: i (i=1，2，3，4)不全相等 如果备择假设成立（即至少有一个总体的均值是不同 的、有系统误差）这意味着四个样本分别来自均值不 同的四个正态总体，有充分证据说明颜色因素对日营 业额有显著影响。
（2）水平(level) ——又称处理(treatment) 因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为 水平。如例中橘黄色、粉色、绿色和无色四种颜色就是因 素的水平。 水平有质的不同和量的差异两种情况。
例1，所要研究的因素为性别，这个因素就可以分为男和 女两个不同的水平。 例2，要研究不同教材所产生的学习效果是否有显著性差 异，可以从四所学校同一个年级中各抽取一组学生，每组学生 用一种教材进行教学，然后比较各组学生学习成绩的高低。 例3，按IQ分数的高低把被试分成高智商、智商中等和低 智商三个水平。 例4，按考试成绩高低把学生分为高成就、成绩中等和低 成就三个水平。
应用统计
方差分析
方差分析简称ANOV， ANOVA 由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪 念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检 验 （F test）。用于 推断多个总体均数有无 差异
方差分析_精品文档
2021/5/27
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
2021/5/27
45
例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
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其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
2021/5/27
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
2021/5/27
10
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
2021/5/27
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• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
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2019/8/20
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3
不能用t检验分析两组以上多个均数的比较
• 1、与资料最初的设计要求不符 • 2、增加犯第一类错误的概率
2019/8/20
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5
实例演示
从已知正态总体N(10,52)随机抽取10个样本（ni=10）的结果
样本
编号 1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
X 12.61 10.85 9.23 9.11 10.9 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
S 4.29 5.44 3.93 6.55 4.83 4.86 3.88 3.89 5.38 4.08
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6
比较组 t P
45次比较中5次有统计学意义的结果
2019/8/20
i
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1.总变异
– 24只大鼠的全肺湿重大小各不相等，它们之间 的变异称为总变异。
• 用每个观察值与总均数的离均差平方和来表示， 称为总离均差平方和SS总
SS总
(xij x)2
ij
总 N 1
2019/8/20
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2. 组间变异
SS组间反映了各组均数 X i
1
组间
，
2
组内
F 值接近于 l，就没有理由拒绝 H0；反之，F 值越大，拒绝 H0 的理由越充分。
方差分析的检验假设：
H0：为各样本来自均数相等的总体 H1：为各总体均数不等或不全相等
如果组间变异与组内变异相等，两者的比值
即统计量F为1；由于存在抽样误差，两者往往不 恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于1。 因此不拒绝H0，可认为各样本均数间的差异，是由
章第 十
黄志刚
公共卫生学院
流行病与统计教研室
2019/8/20
1
例: 某医生为研究一种降糖新药的疗效，以统一的 纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患者， 按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临 床试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量 组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药 物，治疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值 (mmol/L)，结果如表9-1所示。
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
均方之比＝F 值
如果各组样本的总体均数相等（H0： m1 m2 … mk ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组 间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间 均方与组内均方的比值称为 F 统计量
F MS组间 MS组内
于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所 致。
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如果各样本均数间的差异，不仅是由抽样误差所 致，还有处理因素的作用。此时的组间变异远大
于组内变异，两者的比值即统计量F 明显大于1。 因此就要拒绝H0，接受H1，可认为各样本均数间
的差异，并不是由于抽样误差所致，而是处理因 素的作用。
念Fisher，以F命名，故方 差分析又称F 检验 （F
test）。用于推断多个总 体均数有无差异.
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第一节 方差分析的基本思想和应用条件
• 方差分析的含义
– 方差是描述研究对象变异程度的一种指标 – 方差分析是一种假设检验的方法，就是对变异
的分析 – 用于两组或两组以上多个均数之间的比较
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F
组间变异 组内变异
MS组间 MS组内
• F值要大到何种程度才有统计学意义呢？ • 即，F值要大到何种程度才能认为各组均数间的
1与3 1与6 1与7 1与9 2.061 2.329 2.372 2.272 0.013 0.025 0.023 0.029
1与10 2.918 0.006
实际犯第一类错误的概率：5/45=0.11
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Analysis of Variance （ ANOVA）由英国统计学 家R.A.Fisher首创，为纪
间的变异程度 组间变异＝①随机误差+ ②处理因素效应
mi mj
SS组间 ni (xi x )2
i
组间 k 1
3. 组内变异
在同一处理组内，虽然 每个受试对象接受的处 理相同，但测量值仍各 不相同，这种变异称为 组内变异。
SS组内仅仅反映了随机误 差的影响。也称SS误差
SS组内
(xij xi )2
ij
mi
组内 (ni 1) N k
i
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内，
且 ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS ： 组内
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
–2、可能是由于各组所接受的处理不同，不同 的处理引起不同的作用和效果，导致各处理组 之间均数不同。
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• 方差分析的基本思想:
– 将所有观察值之间的变异（称总变异）根据离 均差平方和划分的原理，按设计和需要分解成 两个或多个部分。每一部分变异都反映了研究 工作中某种特定的内容（如某种处理因素的作 用、随机误差的影响等），通过对平均变异的 比较，做出相应的统计判断。
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例:某研究者为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将24只 Wistar 大鼠随机分到甲、乙、丙三个组，每组8只， 分别在地面 办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重,三组 大鼠的全肺湿重有无差别？
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• 样本均数的差异，可能有两种原因所致:
–1、可能由随机误差所致，随机误差包括两种 成分－个体间的变异和测量误差两部分；
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X ij X
• 总变异（Total variation）：全部测量值与总均数X
间的差别
• 组间变异（ between group variation ） 各组的均数X i
与总均数 X 间的差异
• 组内变异（within group variation )每组的8个测量值
X （观察值）与该组均数 的差异