数学物理方程复习

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数学物理方程知识点

数学物理方程知识点
Chapter 1：绪论
1.偏微分方程的基本概念名词
2.三大类方程的典型物理模型：弦振动、热传导、
3.二阶方程的标准简化:用坐标变换化简二阶项、用v=ue!"!!"化简一次项
Chapter 2：波动方程
1.D’Alembert公式——Cauchy 初值问题：
半区域用延拓法或特征线法、非齐次方程右端用叠加原理、
2.分离变量法——矩形区域混合初边值问题：
方程分离、特征值与特征函数求解、初值用特征函数展开确定系数
非齐次方程右端用叠加原理、叠加原理一般公式
非齐次边界先化成齐次边界、边界条件最先考虑
3.三维波动方程球平均法——Cauchy 初值问题
三维积分公式的一般表达、极坐标表达
4.二维波动方程降维法——Cauchy 初值问题
二维积分公式的一般表达、极坐标表达
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.解的无穷远渐进形态
Chapter 3：热传导方程
1.Fourier 变换法——Cauchy 初值问题：1 维或n 维公式
2.分离变量法——矩形混合初边值问题：
place 变换法
4.圆域上的热传导方程、极坐标、Bessel 函数
5.能量积分——解的唯一性和稳定性
6.极值原理——解的唯一性和稳定性
Chapter 4：调和方程
1.分离变量法——Drichlet 问题
圆域内外（内外Poisson 公式）、扇形区域、环形区域、矩形区域、球形区域
非齐次问题先齐次化，或用特征函数法
2.Green 公式、能量积分、变分原理、基本解、基本积分公式、平均值公式、极值原理、唯
一性和稳定性。

3.Green 函数：上班平面、球形区域。

数学物理方程的重点

一．无界问题的特征线法求解求解1.一维无界弦振动方程的达朗贝尔公式（特征线法在弦振动方程的应用）求解法 1.1齐次方程两端无界弦振动方程的求解齐次弦振动方程及初始条件：⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ其方程为+∞<<-∞>=-x t u a u xx tt ,0,02，其特征方程为022=-⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξu u u x +=，ηξu a u a u t ⨯-⨯=，ηηξηξξu u u u xx ++=2，ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x u u u u a u xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x u x x G x F x u t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰ )(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x u -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ（1）此公式为达朗贝尔公式 1.2单侧无界弦振动齐次方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧>=>==>>=-0,0),0(),()0,(),()0,(0,0,02t t u t t x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ先求出对应双侧无界弦振动方程⎩⎨⎧ψ=Φ=+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt 其中要求)(),(x x ψΦ为奇函数又已知其右侧函数表达式可以求出求出左侧表达式⎩⎨⎧<--≥=Φ0),(0),()(x x x x x ϕϕ，⎩⎨⎧<--≥=ψ0),(0),()(x x x x x ψψ 将其带入达朗贝尔公式可求出对应双侧无界弦振动方程的解⎰+-ψ+-Φ++Φ=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),( 只要令0)(21)]()([210),(,0=Φ+Φ-Φ⇒==⎰-db b a at at t x u x atat又令0>x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+---+>+-++=⎰⎰+--+-atx at x atx at x at x db b a at x at a a at x db b a at x at x t x u )(,)(21))](()([21,)(21)]()([21),(ϕϕϕϕϕϕ 此),(t x u 即为单侧无界弦振动齐次方程的解 1.3零初始条件的非齐次弦振动方程的求解⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x u x u t t x f u a u t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x u x u t u a u t xx tt 则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x u 0)()(0),(21),(),(τττττ 1.4有初始条件的非齐次无界弦波动方程的求解⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0),,(2x x u x x u x t t x f u a u t xx tt ψϕ 此方程要使用叠加原理进行求解设),(),(),(t x z t x v t x u +=其中分别满足以下方程⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x v x x v x t v a v t xx tt ψϕ（1）和⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-0)0,(,0)0,(,0),,(2x y x y x t t x f y a y t xx tt （2）对于方程（1），使用达朗贝尔公式可以求得：其特征方程为022=+⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξv v v x +=，ηξv a v a v t ⨯-⨯=，ηηξηξξv v v v xx ++=2，ηηξηξξv a v a v a v tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x v v v v a v xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x v x x G x F x v t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰)(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x v -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x v )(21)]()([21),(ψϕϕ对于方程2，使用齐次化原理可以求得⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x y x y t t x f y a y t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x y x y t y a y t xx tt 则⎰=td t x w t x y 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x y 0)()(0),(21),(),(τττττ最后，根据叠加原理求得⎰⎰⎰++--+-++-++=+=t t a x t a x at x at x d db b f a db b a at x at x t x y t x v t x u 0)()(),(21)(21)]()([21),(),(),(ττψϕϕττ1.5.无界弦振动方程的决定区域与影响区域决定区域：对于特定u(x,t)依赖的(x,t)的取值范围对于（x,t ）的取值能影响u(x,t)的取值范围为影响区域2.只含二阶导的2阶偏微分方程的特征线法求解 2.1只含二阶导的二阶偏微分方程的初步化简⎩⎨⎧===++)(),0(),(),0(0y y u y y u Cu Bu Au x yy xy xx ψϕ其特征方程为00,0222=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒-=⇒=+==++C dx dy B dx dy A dx dy dy dx d C B A y x y x y y x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ根据特征方程解的三种不同情况将其进行进一步的化简 2.2特征方程存在两个不同实根时的化简先用公式法求出特征方程两个不同的实根A ACB B dx dy 242-±=，g A AC B B dx dy =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2421，e A AC B B dx dy =--=⎪⎭⎫⎝⎛24221c gx y +=2c ex y +=可以用换元法对此偏微分方程进行化简x A AC B B y 242-+-=ξxAACB B y 242---=η将其带入=++yy xy xx Cu Bu Au=ξηu例1.化简下列方程并求解⎩⎨⎧===-+σφ)0,(,)0,(032t u t u u u u x xx tx tt3/2)/(032032222=-+⇒=-+⇒=-+x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ03/2)/(03)/(2)/(22=--⇒=--+dt dx dt dx dt dx dt dx,0,0,3,10,0,0,1,13)2(,)2(22121242===-=======-=+-=+=--=+±=⇒±=+±=tt xt xx t x tt tx xx t x tx t t x t x t t x c t t x dt dx ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηξηξηξξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u xt xt x x tx xx xx x x xx tt tt tt tt x x x t t t 32)3()3(2)()(96)3(3)3(1,3--=++-+-=++=+++++=+-=++---=+=+=-=+=)()(),(00)369()646()321(32ηξξηηηξηξξg f t x u u u u u u u u xx tx tt +==⇒=--+---+-+=-+2.3当特征方程存在2个相等实根A B dx dy 2)(2,1=12c x AB y =-),0(,2≠=-=B y x A By ηξ 0,0·,0,00====⇒=xx yy u C u A B 或如例1化简下列方程44=++xx tx tt u u u4/4)/(044044222=++⇒=++⇒=++x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ2/,04/4)/(04)/(4)/(22==+-⇒=+-+dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx,0,10,2,1,,2========-===-=xt xx tt t x tt xt xx t x x t x ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηξηξξηηξηξξηξηηξηξξξξηξηηξηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηηξξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u tx tx x t t x x t x t tx xx xx x x x x xx tt tt t t t t tt 222)(22422222---=+++++=++=++++==++++=0)480()880()4244(=⇒=+-++-+⨯-+ηηηηξηξξu u u u)2()2()()()(t x g t x xf g f u f u -+-=+=⇒=ξξηξη2.4当特征方程存在一对共轭复根时二．积分变换法求解无界一维波动方程、1维热传导方程和二维Laplace 方程 1.傅立叶变换的定义与性质 1.1傅立叶变换的定义)()())((w F dx e x f x f F iwx ==⎰+∞∞-1.2傅立叶变换的位移性质)()()()]([)(c x d ee c xf dx e c x f c x f F iwcRRc x iw iwx --=-=-----⎰⎰)()]([)()()]([)(w F e x f F e c x d e c x f e c x f F iwc Riwc c x iw iwc -----==--=-⎰1.3.傅立叶变换的相似性质dcx e cx f c dcx c ecx f dx ecx f cx f F Rcx c wi Rcx cw i Riwx⎰⎰⎰---===)(11)()()]([)(1)(1)]([1c wF c du e u f c cx f F u c wR ==-⎰1.3傅立叶变换的微分性质⎰⎰⎰-+∞∞-----===RiwxRiwx iwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )(|)()()('))('( )())(()())((0))('(w iwF x f iwF dx e x f iw dx e iw x f x f F Riwx iwx R===--=⎰⎰--⎰⎰⎰-+∞∞-----===Riwx iwx Riwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )('|)(')(')(''))(''( )()())(()())('())(''(22w F iw x f F iw x f iwF x f F ===dx e x f iw e x f x df e dx e x f x f F iwx Rn iwx n n Riwx Riwx n n -------⎰⎰⎰+===)()()()())(()1()1()1()()()()())(()())(())((1)(w F iw x f F iw x f iwF x f F n n n n ===-1.3.傅立叶变换的乘多项式性质⎰⎰⎰---=-==R Riwx iwx iwx Rdx e x f dw di dx e x f dw d i dx e x xf x xf F ))(())((1)())(( ))(())((())(())((w F dwdi x f F dw d i dx e x f dw d ix xf F R iwx ===⎰- ⎰⎰⎰---===R Riwx iwx Riwxdx e x f dw d i dx e x xf dw d i dx ex xxf x f x F ))(())(()())((2222)())(())(())((2222222222w F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F R iwx iwx R===⎰⎰-- dx e x f x dwd idx e x f xx dx e x f x x f x F iwx n RRiwx n Riwx n n ))(()()())((11-----⎰⎰⎰=== ⎰⎰====--Rn nn n n n R iwx n n n iwx n n nnw F dw d i x f F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F ))(()))((())(())(())((1.4傅立叶变换积分性质由傅立叶变换的微分性质)())((x f dt t f dx dx=⎰∞- ⎰∞-=xdt t f iw x f F )())(()(1))((1))((w F iwx f F iw dt t f F x==⎰∞- 1.5傅立叶变换的卷积性质卷积定义式⎰-=*Rdt t x g t f x g f )()()(卷积公式1)()()(w G w F g f F =*先做卷积再变换系数不变证明：⎰⎰⎰⎰-----=-=*R iwt t x iw Riwx R Rdx e e dt t x g t f dx dte t x g t f x g f F )()()()()())((⎰⎰⎰⎰-----=-=*RRiwu iwt Rt x iw Riwt dt du e u g e t f dt dx e t x g e t f x g f F )()()()())(()()()())(())(())(()()(w G w F t f F u g F dt u g F e t f g f F Riwt ===*⎰-卷积公式2))()((2)()(x g x f F w G w F π=*先傅立叶变换再做卷积系数要乘系数2π 1.6 主要函数的傅立叶变换)(0,00,)(指数信号⎩⎨⎧<>=-x x e x f x β iw e iw dx e dx eex f F iw x iw x iwxx +=+-===∞++-+∞+-+∞--⎰⎰βββββ1|1))((0)(0)(02)(x ex f -=2.傅立叶变换法求解一维波动方程 2.1无界齐次波动方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧==>∈=-)3)(()0,()2)(()0,()1(0,,02x x u x x u t R x u a u txx tt ψϕ 分别对（1）、（2）、（3）式进行傅立叶变换)4(0),()()),((0),()()),((22=+⇒=-t w F aw t w u F t w F iaw t w u F tt tt)5))((())0,((x F w u F ϕ=)6))((())0,((x F w u F t ψ=)7()()()),((21iawt iawt e w C e w C t w u F -+=将(5)、（6）代入（7）式⎩⎨⎧-=+=--iawtawt t iawtiawt e awiC e w awiC t w u F e w C e w C t w u F 2121)()),(()()()),(( ⎩⎨⎧=-=+))(()()())(()()(2121x F w awiC w awiC x F w C w C ψϕ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)))((1))(((21)()))((1))(((21)(21x F iaw x F w C x F iaw x F w C ψϕψϕ iawt iawt e x F iawx F e x F iaw x F t w u F --++=)))((1))(((21)))((1))(((21)),((ψϕψϕ又由傅立叶变换的位移性质))(()())((x f F e dx e c x f c x f F iwc Riwx --=-=-⎰左边的项的位移系数可以求出at c iwat iwc -=⇒=-)8))(((21))((21at x F e x F iawt +=ϕϕ iwaw F w G at x G e w G e w G F e x F iwaiawt iawt iawt 2))(()()()())(())((21ψψ=+===用傅立叶变换的积分性质进一步化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞- ))((21))((1212))(()()(⎰+∞-===+=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x G w G ψψψ右边第一项的系数也可以用位移性质求出at c iwat iwc =⇒-=-))((21))((21at x F e x F iwt -=-ϕϕ iwaw F w H at x H e w H e x F iwaiwat iwat 2))(()()()())((21ψψ=-==--继续用傅立叶变换积分性质来化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞-))((21))((1212))(()()(⎰-∞-===-=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x H w H ψψψ 四项全部求和 )))((21))(((21)))((21))(((21)),((⎰⎰-∞-+∞---+++=atx at x dy y F a at x F dy y F a at x F t w u F ψϕψϕ ))((21))(()(((21)),((⎰+-+-++=atx atx dy y F a at x F at x F t w u F ψϕϕ 对此式施加傅立叶逆变换 ⎰+-+-++=at a at x dy y a at x at x t x u )(21))()((21),(ψϕϕ 2.2非齐次方程的无界波动方程（不用齐次化原理）2.3半无界波动方程的求解3.傅立叶变换法求解一维热传导方程4.傅立叶变换法求解2维Laplace 方程place 变换的定义与性质place 变换求解一维波动方程place 变换求解一维热传导方程place 变换求解2维Laplace 方程二．有限边界的分离变量法求解（正弦初始条件以及二次初始条件）1.第一类边界条件和第二类边界条件第三类边界条件的特征值问题2.齐次化方程（可以用傅里叶级数展开或用齐次化原理）3.齐次化边界条件4.齐次方程，齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子5.齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子6.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子7.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子8.圆域LAPLACE 问题求解9.矩形域Laplace 方程。

数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳

数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。

2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。

3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。

4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。

5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。

使物体的运动状态发生改变。

6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。

7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。

8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。

9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。

10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。

11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。

12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。

13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。

接触面的粗糙程度。

14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。

15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。

17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。

如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。

18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。

二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。

3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。

4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。

5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。

6.密度和比热容是物质本身的属性。

7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。

8.物体温度升高内能一定增加(对)。

9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。

《数学物理方程》复习提纲与复习重点

三．方法 1．决定任意函数法； 2．分离变量法（三种类型方程）； 3．基本公式、基本解方法——Green函数法; 4．积分变换法——Fourier变换法（三种类型方程）； 5．球面平均值法，降维法.
《数学物理方程》复习重点
一、基本概念： 1.线性定解问题的简单叠加原理及Duhamle原理的表述形式,并会灵活的运用. 2.二自变量二阶半线性方程的分类与化标准型:会判别一个方程的类型并会把它化成标准形式.
2.二维Laplace方程的上半平面Dirichlet问题,可分别用： ①Green函数法； ②Fourier变换法； ③降维法：从三维Laplace方程上半空间Dirichlet问题解的表达式入手，利用降维法（与某一变量无关）即可导出二维解的表达式. 3.一维热方程初值问题，,可分别用： ①Fourier变换法： ②降维法（从二维或三维问题解的Poisson积分,利用降维法即可导出一维问题解的Poisson积分）, ③还可用“分离变量法”. 以上仅是三个典型的用多种不同方法求解同一问题的代表.
2.椭圆型方程
一维热传导方程的混合问题是如何求
解的？主要步骤er变换的主要性质,某些性
质并会去证,比如:卷积性质,乘积性质. 会用Fourier变换法求出简单的热方程
2．抛物型方程： ①一维热传导方程第一边值问题、Cauchy问题的解及唯一性与稳定性； ②Fourier变换及其性质.
3.椭圆型方程: ①调和函数及其性质； ②边值问题的唯一性与稳定性； ③Poisson方程与Laplace方程Dirichlet问题的 Green函数法的分析过程.
初值问题解的表达式.
3.抛物型方程
三、一般理论：熟记二自变量二阶线性偏微分方程特征的定义，会完整的表达出来，并会求某些简单方程的特征，比如：弦振动方程、二维Laplace方程、一维热传导方程.

数学物理方程复习

5
2
2
例1 求 [解] 因为
所以
4
1 i.
2 cos i sin , 4 4
1 i
4
1 i
4
2 k 2 k 2 cos 4 i sin 4 4 4 (k 0,1, 2, 3)
,
6
例2 求1 和i 的值. [解] 1
z 2 3 n 3
1 1 1 1 1 1 1 2 1 z z 1 1 z z z z 1 1 1 2 3 , | z | 1 z z z
13
例3 函数在圆环域 i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+;内是处处解析的, 试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.
3 2 2z
2z
8
2 3 v ( x , y ) 3 xy x • 已知，
求以为虚部的解析函数。
解：
v u 2 2 3 y 3x x y
，
v u 6 xy y x
u (3 y 2 3x 2 )dy y 3 3 x 2 y ( x)
因此z=0是zsin z的三级零点, 也就是f(z)的三级极点.
28
应用公式得
1 d 3 z sin z z sin z Re s ,0 lim 2 z 6 6 z 0 z (3 1)! dz z 2 1 d z sin z lim 2 . 3 2! z 0 dz z
1 z
1 1 z 1 1 1 2 z z
1 1 1 2 z 2! z 5 2 1 2 . z 2z

数学物理方程复习

习题课和总复习鉴于数学物理方程课程对大多数同学来讲有一定的学习难度，为帮助同学们较好地掌握本课程的基本内容和定解问题主要的求解方法，下面将这学期的教学内容进行总结，并提出每部分的教学基本要求。

希望同学们能够参考下面总结《一》到《四》的具体要求安排好个人的复习计划，认真看书（结合以往的作业题）和总结；也希望同学们之间能够加强讨论并积极地参加答疑。

祝同学们学习愉快并取得考试好成绩！《一》特征线方法掌握两个自变量一阶线性方程的解法：三步，求出特征线族；在特征线上求解原问题；代入求出原问题的解。

如书上269P 例1.1；276P 第1题。

(新书107P 例6.1；118P 第1题) 《二》格林函数法1. 记住基本解0(,)p p Γ， 0(,),(,)p p x y ξη或0(,,),(,,)p p x y z ξηζ。

2. 记住并会证明格林第三公式：0()()u u p u ds udV n n ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 【在()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 取00\(,),(,)B p v p p εεΩ=Ω=Γ 0(,)()()()B p u uu u dV uds u ds n n n n εεΩ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂⇒∆Γ-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，利用 0, in ε-∆Γ=Ω和当0ε+→时000(,)(,)(),0B p B p uuds u p ds n n εε∂∂∂Γ∂→Γ→∂∂⎰⎰⎰⎰即可】由此可得 0()()u Gu p Gu ds G udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，和如下问题解的表达式 , , u f in u on ϕ-∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩ ⇒0()Gu p ds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰。

在这里要注意，0p ∈Ω固定而动点为p 。

3.掌握利用对称法求格林函数的方法，如半空间，半平面和圆域等。

数理方程总结复习及练习要点报告

➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
4
数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数最高的求导次数－偏微分方程的齐次与非齐次不含有研究函数的非零项－偏微分方程的线性与非线性
12
数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv

数学物理方程知识点总结

数学物理方程知识点总结一、牛顿运动定律牛顿的运动定律是经典物理力学的基础，它描述了物体在力的作用下的运动规律。

牛顿的三大运动定律分别是：1. 第一定律：一个物体如果受力作用，将保持静止或匀速直线运动，直到受到外力的作用而改变其状态。

2. 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。

即F=ma。

3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

这三个定律描述了物体在受力作用下的运动规律，它们被广泛应用于物体的运动研究和工程设计中。

二、电磁场方程电磁场方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用。

其中，麦克斯韦方程组是最基本的电磁场方程，它包括了电荷产生的电场和电流产生的磁场，并描述了它们随时间和空间的变化规律。

麦克斯韦方程组包括了4个方程，分别是：1. 静电场高斯定律：描述电荷产生的静电场。

2. 静磁场高斯定律：描述磁场的产生和分布。

3. 安培定律：描述电流产生的磁场。

4. 法拉第电磁感应定律：描述磁场的变化产生感应电场。

这些方程组成了电磁场的基本描述，它们被广泛应用于电磁场的研究和工程技术中。

三、热传导方程热传导方程描述了物体内部的热传导过程。

热传导方程可以描述物体内部温度分布和热量的传导规律。

通常情况下，热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度场随时间和空间的变化规律。

热传导方程一般形式为：δT/δt = αΔT其中，T表示温度场，t表示时间，α为热传导系数，ΔT为温度梯度。

这个方程被广泛应用于热传导问题的研究和工程设计中。

四、波动方程波动方程描述了机械波和电磁波在空间中的传播规律。

波动方程是一个偏微分方程，它描述了波动场随时间和空间的变化规律。

波动方程的一般形式为：∂^2ψ/∂t^2 = v^2∇^2ψ其中，ψ表示波动场，t表示时间，v为波速，∇^2为拉普拉斯算符。

波动方程描述了波动在空间中的传播和幅度变化规律，它被广泛应用于波动现象的研究和工程设计中。

总之，数学与物理方程是自然科学研究和工程技术发展的基础。

数学物理方程复习

数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）U tt = a2U xx +f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;U t(x,0)=Ψ2（x）。

2.热传导方程（抛物型）U t = a2U xx +f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）U xx +U yy =f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;U t(y,a)=Ψ2（y）。

（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x) 2COSa2△x在小的振动下SINa1≈TANa1=U x(x,t), SINa2≈TANa2=U x(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ U x(x+△x,t)- U x(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t) 即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。

数学物理方程复习题

２．问初始条件)(x ϕ与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件)(x ϕ与)(x ψ决定。

初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对于任何t x ,有 G(x+at)≡常数. 即对任何x, G(x)≡C 0又 G （x ）=⎰-+xx aC d ax 02)(21)(21ααψϕ所以)(),(x x ψϕ应满足 +)(x ϕ⎰=xx C d a1)(1ααψ（常数）或'ϕ(x)+)(1x aψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x ua t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ）令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2atx ++)2(at x -ψ-).0(ϕ即为古尔沙问题的解。

1. 用分离变量法求下列问题的解：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<<-=∂∂=∂∂=∂∂==0),(),0()0()1(,3sin 022222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u ot t π解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=，且 t lan B t lan A t T n n n ππsincos)(+=，)2,1( =n于是 ∑∞=+=1sin)sincos(),(n n n x ln t lan B t lan A t x u πππ今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1s i n3s i nn n x ln A lx ππ∑∞==-1sin)(n n x ln B lan x l x ππ所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ⎰-=ln x d x ln x l x an B 0sin)(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x l n x n l x l n n lx l n x n l l an πππππππcos sincos 22222)}))1(1(4cos2sin24430333222nlan lxln n lx ln n x l --=--πππππ因此所求解为∑∞=--+=1443s i ns i n)1(143s i n 3c o s ),(n nx ln t lan na lx l t l a t x u πππππ(2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂==∂∂-∂∂0)0,(,)0,(0),(0),0(022222x tu x l h x u t l tu t u x ua t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =得：⎩⎨⎧='==+''0)(,0)0(0l X X X X λ (1)及 )2(02=+''X a T λ。

数学物理方程复习

数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。

2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。

(最终合成版)数学物理方程复习共12页文档

一、填空题1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为__普遍性（共性）_。

2、若函数f(x)是周期性的，则可展开为___傅里叶_____级数。

3、周期性函数f(x)为奇函数，则可展为_____正弦____傅里叶级数。

4、在给定条件下求解数学物理方程，叫作_数学物理定解问题__。

5、方程20tt xx u a u -=称为____波动____方程6、方程20t xx u a u -=称为____输运___方程7、静电场的电场强度E r是无旋的，可用数学表示为____P119_______。

8、方程0j ∇⋅=称为___恒定电流____的连续性方程。

9、第二类边界条件，就是_P127_____________________________________。

10、第一类边界条件，就是___P127___________________________________。

11、00(0,)(0,)x x u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的_____衔接条件______。

12、00(0,)(0,)u x t u x t -=+称为所研究物理量u 的____衔接条件________。

13、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、__抛物型___和椭圆型。

14、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和___椭圆型___。

15、分离变数过程中所引入的常数λ不能为：负数或零甚至也不能是任意的的正数。

16、方程中，特定的数值λ叫作本征值，相应的解叫作__本征函数______。

17、傅里叶级数法适用于_____非齐次________方程和齐次边界条件的定解问题。

18、分离变数法的关键是___把分离变数形式的试探解_______代入微分方程。

19、非齐次振动方程可采用__傅里叶级数____和冲量定理法求解。

20、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一___未知函数______的齐次边界条件问题。

数学物理方程复习要点

数学物理方程复习要点Chapter11、能够根据物理问题，写出三类方程及其定解条件（不要求推导）。

2、掌握基本概念，如偏微分方程、解、阶数、线性性、齐次性等。

3、掌握边界条件齐次化方法练习题：1.写出受外力作用的弦振动的方程。

2.写出稳恒状态下圆盘上的温度分布方程，以及第一类边界条件。

3.说明方程1)cos(+=+u u xy u yy x 的阶数、线性性、齐次性。

Chapter2分离变量法1、熟悉常用特征值问题的解。

熟记方程0X Xλ''+=加4种边界条件的解，以及加周期条件的解2、一维弦振动方程和热传导方程定解问题的分离变量法。

2(,), 0, 0 tt xx u a u f x t x l t ⎧=+<<>⎪⎨⎪⎩定解条件2(,), 0, 0 t xx u a u f x t x l t ⎧=+<<>⎪⎨⎪⎩定解条件边界条件齐次否？当方程和边界条件都齐次时，直接用分离变量法；当方程非齐次，而边界条件齐次时用特征函数法；当边界条件非齐次时，首先将边界条件齐次化，然后将定解问题化为上述两种情况。

3、二维泊松方程定解问题（1）在矩形域上，用直角坐标系1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩当其中一组边界条件齐次时，直接用分离变量法；否则将其中一组边界条件齐次化.（2）在扇形域或圆域上，用极坐标系.例扇形区域上泊松方程狄里克莱问题为020011, 0, <(,)0, (,)0, 0 (,), u u u f u u u ρρρθθρραθβρρραρβρρρθϕαθβ⎧++=<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩在此情况下，直边上的边界条件是齐次的，故可用特征函数法求解。

数学物理方程考前知识点及重要例题汇总

z
)

性质 3.
sin z
推论 2： (1
2)
推论 3： (z ) 在全平面无零点
Γ函数又称为阶乘函数
性质 4. 倍乘公式
(2z ) 2
2 z 1

1
2
1
( z ) ( z )
2
Ψ函数的定义：
Ψ函数是Γ函数的对数微商， ( z )
d ln ( z ) ( z )
，则称 u(x,y) 为调和函数，方程也称为调和方程或
者拉普拉斯方程。
关系：如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域 G 内的解析函数
→u 与 v 是区域 G 内的调和函数

→ + = 0 ， +
= 0
8.复变积分值，不仅依赖于被积函数和积分路径的端点，还依赖于积
道用哪个公式，会用就会做）
3.柱函数
若 p(z)、q(z) 中至少有一个在 z0 点不解析，称 z0 点为方程的奇点。
19.定解问题，写定解条件
补充波动方程、热传导方程、泊松方程、拉普拉斯方程
定解问题包括三部分：微分方程、定解条件（边界条件、初始条件）
初始条件
——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时，其内部及边界上任
意一点的状况。是固定时刻 t 关于位置的函数。

dz
( z )
Ψ函数的性质：
性质 1：z
0,1,2, 都是(z )的一阶极点，留数均为-1，
除这些点外 (z )在全平面解析。
Β函数的定义：
1

( p, q ) t p 1 (1 t ) q 1 dt ,

数学物理方法重点

1 Y 1 2Y (sin ) 2 l ( l 1)Y 0 2 sin sin
球1) R 0 2 dr dr
2
再令 Y ( , ) ( )( )
2 sin d d 1 d (sin ) l ( l 1)sin 2 2 d d d
(1)勒让德多项式：
( 2l 2k )! l 2k Pl ( x ) ( 1) x k ! 2l ( l k )!( l 2k )! k 0
[ l / 2] k
[ l / 2： ] 小于、等于
l /2的最大整数。
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
m 0,1, 2,
θ部分是l-阶缔合勒让德方程
x cos
2
x 2 2 sin sin sin (1 x ) x x x
d 2 d (1 x ) [(1 x ) ] [l ( l 1)(1 x 2 ) m 2 ] 0 dx dx
柱坐标系
cos m ( ) sin m
拉普拉斯方程
u 0
rl R( r ) l 1 1 / r
0
z e Z (z) z e
2 0
cos z Z (z) sin z
x
2 0 k 2 2 0
m2
m 0,1, 2,
d 2 R 1 dR m2 (1 2 ) R 0 2 x dx dx x
m阶贝塞耳方程
12
拉普拉斯方程分离变数结果
方程球坐标系
cos m ( ) sin m

数学物理方程总复习

⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u ( x, ∂t 2
t)
dx
T
⎡ ⎢⎣
∂u(x + dx,t) ∂x
−
∂u( x, t ) ∂x
⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u( x, t ) ∂t 2
dx
∂u ( x,t )
由于x产生dx的变化而引起的用微分近似代替，即
∂x
的改变量，可
∂u(x + dx,t) ∂x
现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况
由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
t时刻位移NM记作u u(x,t)
弧段 Mq M ' 两端
所受的张力记作T,T’
根据牛顿第二定律 F = ma
在x轴方向弧段 Mq M ' 受力的总和为
T 'cos a '− T cos a = 0
行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，
显然
T 'cos a '− T cos a = 0
Fds
−
T
sin
a
+
T
'
sin
a
'−
ρ
gds
≈
ρ
ds
∂2u ∂t 2
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x, t )
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
dx

数学物理方程复习资料

l0
l
0,1, 2,3, ).
3. Fourier 变换的微分性质
若函数 f (x) 的傅里叶变换为 f (x) ，且其导函数 f ′(x) 的傅里叶变换存在，则有 f ′(x) = iλ f (x) ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 iλ 。更一般地，若 f (x) 的 n 阶导数 f (n) (x)
x
)(x
∈
C),
其中
∫ = an
1= l f (x) cos nπ xdx (n
l −l
l
1, 2,3, ),
∫ = bn
1= l f (x) sin nπ xdx (n
l −l
l
1, 2,3,).
=C
= x f (x)
1[ 2
f
(x−) +
f
(x+ )]
∑ ∫ 当 f (x) 为奇= 函数时， f (x)
uxx = (iλ)2 u (x, t) = −λ 2U (λ, t)
∫ = [ ∂u ] = ∞ ∂u e−iλxdx ∂ [ u(x, t)]
∂t −∞ ∂t
∂t
同理，[ ∂∂2tu2 ]
=
∂2 ∂t 2
[ u( x, t )]
M3 特征线法写出二阶偏微分方程的特征方程解特征方程得到两族积分曲线作特征变换，求通解代入边界条件求解
二阶线性偏微分方程
A
∂2u ∂x2
+
2B
∂2u ∂x∂y
+
C
∂2u ∂y 2
+D
∂u ∂x
+E
∂u ∂y
+Fu
= 0

数学物理方程复习22页word

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x 在小的振动下SINa1≈TANa1=U x(x,t), SINa2≈TANa2=U x(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ U x(x+△x,t)- U x(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。