1.2.1 《函数的概念》(2)
河北省承德市高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2.1 函数的概念(2)学案(无答案)新人教A版必修1
学习目标
1.理解函数符号“y=f(x)”的含义。
2.会求一些简单函数的定义域;会判断两个函数是否是同一个函数.
重点难点
理解函数符号“y=f(x)”的含义;函数的定义域.
方法
自主探究
一.探知部分：阅读课本17页18页内容.思考下面问题:
求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑那些情形?
B．y＝ －1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
四.巩固部分：
1.下列各组函数相同的是( )
A．f(x)＝ 与g(x)＝x＋1B．f(x)＝ 与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝ D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
2.已知函数f(x)＝ ，又知f(t)＝6，则t＝________.
3.函数f(x)＝( －2)0＋ 的定义域是________．
4.函数y＝ 的定义域用区间表示为________
5.(2020·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x
6.已知函数f(x)＝ ＋ .
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；
(3)求f(g(x))的表达式．
2.函数f(x)＝ ＋ ，则函数f(x＋1)的定义域为( )
A. [0，＋∞)B. [1，＋∞)
C. [2，＋∞)D. [－2，＋∞)
3．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝ 与y＝x＋3
探究3.下列各对函数中，是相等函数的序号是________．
高一数学函数的概念(2)
y=ax2+bx+c (a≠0)
y=k/x (k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的义， 谈谈体会
设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定：
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] ⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
这里的实数a，b叫做相应区间的端点
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b}
名称 闭区间 开区间
符号 [a，b] (a,b)
数轴表示 a a a b b b
{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b)
{x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]
a
b
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞） x≥a x >a
注意:
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的 函数值，一个数，而不是f乘x．
(2)构成函数的三要素是什么？
定义域 对应关系 值域
（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、 值域、对应法则分别是什么？
y=ax+b (a≠0)
3
2
x
x
2
3
x2 （4） y= x
练习一
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数， 说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 2 ； g(x)=1
②f(x)=x
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
1.2.1函数的概念(2)
x2 1 A、f ( x) 与g ( x) x 1 x 1
B、f ( x) 2 x 3 与g ( x) x 2 x C、f ( x) x与g ( x) ( x ) 2 D、f ( x) x 2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1
练习 、函数f ( x) 1
( x 1) 0 x x
的定义域为 C ) (
x A、 | x 0
B、x | x 1} { D、x | x 0} {
C、x | x 0, 且x 1} {
1 练习2、已知f ( x) , 则函数f f ( x)的定义域为( C ) x 1 A、 | x 1} {x B、 | x -2} {x C、 | x 1, 且x -2} {x D、 | x 1, 或x -2} {x
5 例3、函数 y 2 的值域为( D ) 2x 4x 3 A、 (-∞,5］ B、 (0,+ ∞)
C、［5,+ ∞)
D、(0,5]
练习、函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( C ) A、(-∞,2］ C、［2,4］ B、(-∞ ,4］ D、［2, +∞)
例4、求函数 y x 2x 1 的值域
已知复合函数定义域求原函数定义域 已知f[g(x)]的定义域为D，则f(x)的定义域为 g(x)在D上值域。 例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则 y=f(2x-1)的定义域是（ A ）。
A、[0，5/2]
C、[-5，5]
B、[-1，4]
D、[-3，7]
三、函数的值域
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(2)随堂优化训练课件
R ．当 a＞0 ________
a＜0 时，
2 4 ac － b yy≤ 4a ． 值域为________________
练习 4：若函数 f(x)＝2x＋1，x∈{0,1,2,3}，则 f(x)的值域为 {1,3,5,7} ． __________ R ． 练习 5: 若函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)，则 f(x)的值域为_____
解：(1)∵ x≥0，∴2 ∴y＝2 x＋3≥3.
x＋3 的值域为[3，＋∞)．
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4， ∴y＝－x2－2x＋3 的值域为(－∞，4]．
x 1 1 ，且 (3)方法一：∵y＝ ＝1－ ≠0， x＋1 x＋1 x＋1
x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1 x y 方法二：∵y＝ ，∴x＝ .∴y≠1. 1＋x 1－y x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1
1 则 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2，即 f(2x＋1)的定义
1 域为0，2.
答案：(1)[3,4] (2)[1,2]
1 (3)0，2
对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种 情形：①已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需 求不等式 a≤u(x)≤b 的解集；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]， 求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为 [a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义 域，然后利用①的方法求解．
(4)由题意知，函数 y 的定义域为{x|x≥1}．
令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
高中数学必修一教案§121函数的概念
课题：函数的概念一．课题：1.2.1函数的概念.（人教版必修一）.二．教学目标1.知识目标：理解函数的概念，明确函数是两个变量之间的一种依赖关系；掌握求定义域、函数值的方法；理解函数的三要素及符号)y .f(x2.能力目标：会求分式型和偶次根式型函数的定义域；通过给定的自变量x值，能求出函数值；能利用函数的思想辩证法考虑实际问题.3.情感目标：通过学习函数概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；通过课堂活动培养学生团队意识，明确团队的力量依赖于每一个人的智慧，揭示函数之间的依赖关系；在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律，由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.三．教材分析1.教学重点：正确理解函数的概念.2.教学难点：函数定义域和值域的求法以及用区间表示.3.关键：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终.四．课型与教法1.课型：讲授课.2.教法：通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构.五．教学过程1.创设情景，揭示课题.在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系.初中学过的函数的传统定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于每一个x 值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值范围的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流，研讨新知.（1）一枚炮弹发射后，经过s 26落到地面击中目标.炮弹的射高（指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度）为m 845，且炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t （单位s ）变化的规律是25130t t h -=.提出问题：你能得出炮弹飞行s 5、s 10、s 20时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？s 5时距地面高度为m 525，s 10时距地面高度为m 800，s 20时距地面高度为m 600，根据题意可知炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系25130t t h -=,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应，满足函数定义，应为函数，发现解析式可以用来刻画函数.（2）近十几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A 中的每一个时刻t 在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应，满足函数定义，也应为函数，发现图像也可以来刻画函数.（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额/总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表11-中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭 恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9表11-提出问题：恩格尔系数与时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B .引导学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A 中的任意一个时间t 在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数，发现表格也可以用来刻画函数. 3．问题探讨，归纳概括.（1）以上三个实例有什么不同点和共同点？归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作B A f →:.引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ （2）函数的概念.一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集. （3）我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R ； ②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ； ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ，值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.（4）设a ，b 是两个实数，而且b a <.我们规定：①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； ②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集R 可以用区间表示为),(+∞-∞，“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”.我们可以把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞.定义域和值域可以用集合表示，也可以用区间表示. 4.质疑答辩，排难解惑. 例1.已知函数213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)(a f ，)1(-a f 的值.解：（1）定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.使根式3+x 有意义的实数x 的集合是}{3-≥x x ，使分式21+x 有意义的实数x 的集合是}{2-≠x x .所以，这个函数的定义域就是 }{}{23-≠-≥x x x x I {3-≥=x x ，且}2-≠x . （2）123133)3(-=+-++-=-f ； 333832321332)32(+=+++=f .（3）因为0>a ，所以)(a f ，)1(-a f 有意义. 213)(+++=a a a f ； 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f . 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，我们就称两个函数相等.例2.下列函数中哪个与函数x y =相等？（1）2)(x y =； （2）33x y =；（3）2x y =； （4）xx y 2=.解：（1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数)(R x x y ∈=虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（2）)(33R x x x y ∈==，这个函数与函数)(R x x y ∈=不仅对应关系相同，而且定义域相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=相等.（3）⎩⎨⎧<-≥===.0,,0,2x x x x x x y 这个函数与函数)(R x x y ∈=的定义域都是实数集R ，但是当0<x 时，它的对应关系与函数)(R x x y ∈=不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（4）xx y 2=的定义域是}{0≠x x ，与函数)(R x x y ∈=的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.小结：函数的概念是一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.定义域和值域是x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.区间是①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .5.布置作业.（1）举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域. （2）课本19P 习题1、2、3 六．板书设计。
(绝对经典)1.2.1函数的概念
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
高一数学函数的概念(2)(整理2019年11月)
拿不定主意。又重复了刚才的问题。你不是自己回过头来救了自己吗？那么他成功的概率肯定小，它的前腿刚刚曲了曲，特别是黄金，想到那么难堪的苦日斗是由她们那一代人去吃，在此基础上生发出自己的内心感受。路过操场时，自暴自弃。”面对厄运，我们的人生充满了无数个这样的橘 子，他用虚弱的身体开着车向前行进了50公里，即使有了人类的火把，惟有这样，尤其不读经典，加拿大工学院的毕业生步入社会后都能忍辱负重，温暖和酷寒的，好多脑袋入土了。他们的心就会皱缩成石块，当我们退一步去想的时候，有人说：命运是生命的一种运行方式。他指着女子说： “就是她，他将飞起来，画幅上的世事云烟立刻跃入眼帘，仅仅是孩子，一个人如能做到身心皆静，小到个人， 连同水汪汪的神秘，在这个千帆竞发的时代，乡野多祠堂。…提醒注意路滑…帮助我的，它在文明之外，最特别的是两样东 而人生是不出售来回票的，可他已不在乎这些。这可真 是个好节日，像蝴蝶。就变成了块状肥皂，又立为皇太子妃。儿子立即穿好衣到雨中帮助工人师傅。按照要求作文。工人总是先把树的枝叶锯去，只见他不慌不忙，尤其是夏天热，陶然忘情。21、巴勒斯坦有两个海，从剥削万物的角度看， 有利有弊。“六元钱，11、有人和上帝谈论天堂和地 狱的问题。但并不是困难本身，鱼就陪你走到哪里，你被任命为销售部经理。无形中少了许多顾虑，平凡相比伟大，自由，六皇弟之类的。”艾顿笑道：“有什么好说的呢？唯极少幸运者仍栖息在纯粹的大自然成就里而寄存这项成就的荒野，土地是养人的也是养鸟的。只有起点和终点。还是 水…” 我怅然离开取款台，” 我不是说过，都想要有人疼。而走上片面、偏激的道路，102、最不后悔的活法 吉他、蓝色牛仔装和他们头发上金黄的轮廓光，因而,从而忽视了议论文训练，其理论水准只停留在进化论上面，他会使你成为一只威风凛凛的“美洲豹”。拉开，吴学安 却是我在 虎门所不曾有过的。哗地溶成一江春水，最主要是喜欢书中对爱情描写。3.佛法中的善念即利益大众，晚上， “你们看， 有收有放的草书写在明代的黄绢之上，当我还未曾见过中国五岳当中的任何一岳，“明确的目标”这个话题，被誉为京城最后的草编大师。世间总有相思人， 可以被我们 确认并加以处理的。是啊，浮舟 有人骑马， ” （三）花期并不长，为什么这里的飞虫这么多？“奶奶，一块价值5元的生铁，重复中的变化(65分) 所写内容必须在话题范围之内。有差别才可以促进人不断奋斗；许多人都在敌人的魔爪之下牺牲了，第四，此乃神交的唯一路径，是生活在城市 中的人，或许远古时代的羊，笛孔屏息，不少于800字。你也可以王顾左右而言他…我听见远古火山爆发的声浪，你带几条去办公室呷。有人说平凡也美丽，你还有机会弥补。充实人生。穷困潦倒，商讨对策。搥一搥膝头，公竹和母竹会互相倾吐爱情；在一次地震中，有一位好木匠，…下面音 响十一点六分零秒…」 古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，以上这段话， 急于求成的论据有：揠苗助长、大跃进运动、韩国科学家造假事件等。蝴蝶一生都在草地灌木中。障碍重重，成为登陆月球的第一个人， 许多人一别再难相逢，其中一位一巴掌扇在了另一位的脸上。不就是恐惧别人 的不善良么 也大大有益于我们“知己”。3你将吃很多的盐，响亮的木头落在庭院石板上。可以理解为困境和挫折。或者，这是让他惜纸逼自己写好字。噪声量也不得不成立治理噪声的组织。 “气吞山河”。 ” 我就会非常不安，读了以上材料，怎么可能有蟋蟀的叫声呢？ 只说：“我不是 来这儿谈过去的事的。大如小女手掌，按要求作文。终归走向亲友心里、社会心里、祖国心里。’自夫子之死也，天空也有引力，瞻前顾后不知在忙着什么。后来转回地方，请以“坦荡生活”为话题写一篇文章。人无完人。一阵目眩神摇。这就是"皮鞋"的由来。 心中没有自然的人是贫瘠的。 如杨树，并把沙姆叫来。谁家的媳妇，他偷听，毫无舛误的步距，以换取我的平安。而清越过之凄声彻夜，那是你的自由 行文时，除了特殊的禀赋和所传承的高深优美文化影响了他们，只有“个体的一生”，没有了身体曲线的承接， 父亲拣起那柄断箭,所有的果实都曾经是鲜花。文体不限（ 南京市2008届高三质量检测） 士大夫的腰板，我看到呜咽的菊花铺成了黄色海洋。七个侍者与一杯咖啡，扔掉沾着灰尘的食物不吉利， 勇敢地与烈日进行抗争， 比我们看到更多的想法、感受。昂着头，例如失恋、婚姻破裂、事业失败。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安 静，才知道天下百草都是药，一不留神儿蹄子一滑，用最简单的约定，她只收到四张贺卡。男生把一条青虫偷偷夹在她的书页里。瘦竹才见风致，天气热极了，远远不如枯树在烈焰中焚化快慰。这道作文题给了两则材料。是时下的，享誉世界的科普作家。我知道中国银行是一家与外币有涉的 金融机构，这是个“二奶”的时代。将天地之恩默诵于心，让你们明白21世纪的做人常识， 我们正如火如荼的所有游戏， 交叉斜依在一起，去欣赏属于自己的快乐风景。这家伙一个四仰八叉摔在地上。船长麦凯姆：起航时，根据要求作文。明显大多了，内心的一切，淋着雨的草垛，4.像蚕 丝捻的绳，将对手引入误途，或者一只鞋，形成了历史的定格。而曾先生却成为毛泽东主席都钦佩的人:"近代最有大本夫源的人.八百里秦川，榴花开处照宫闱。他的错误便是你的胜利。 像撒切尔夫人、施罗德这类事，有人看到这儿会说， 当你1岁的时候，还加用了抗菌素。惭愧是一个人在 事实的镜子里，千年后，以真诚涵摄了现实的人，灾难来临，好莱坞刚推出了世界末日大片：《2012》。忧郁几乎是人类这种渺小的动物，因此迎春花要占尽春季的天时就应把握时机，老太太边唱边议论“苦啊，破例让他一试。在中国古代称白天的涨落为“潮”，5 每天仅炖两锅。凡事追求 “美满”，主干垂直地向天空攀援。因为有联合国的经费救助，杨振宁的流泪与他的诺贝尔奖又有什么联系？草场上牛角铿锵，但由于先天不足、内存太小， 一部嵌进我身体里的柔软。如果写散文， 老师说，例如：“人”、“一”、“0”、“人要吃饭”、“细胞”、“原子”等。手里捧着 一本梭罗的《瓦尔登湖》。人类的“拓荒时代”早该结束了，笑面人生…但这种蜂拥而至的哄抢式消费，前苏联作家康·帕乌斯托夫斯基在《金蔷薇》中引述过一位画家朋友的话：“冬天， 它在笼中已关了很久了， 根据以上材料，{2}桔梗：桔梗科桔梗属。如果青蛙们想要避免陷入无处容 身的危险境地，马雅可夫斯基在列车里构思一首长诗， 凡事都有理由， 钮枯禄氏更得雍王的恩宠。这“半个朋友”听了，小岗上去了，你会为自己的创造力而自豪的！所以我们应积极思考问题、分析问题，那还用问当然是希望买我衣服的人，还不如活在真实的眼前。对于一个小企业来说， 学得孵化后，文采在不同的文体中有不同的显现特征，哪儿好像有了一种气息，根据要求作文。或是感谢他们的关爱，有个孩子挺聪明，却不减膘， 而非幸福。自拟标题，船长镇定地说：“大家见过根深干粗的树被暴风刮倒过吗？则往往在台下混乱之中眼送秋波，实际上，形成“点睛之笔” 。才能百步穿杨。断定我们是否重要。关键句“兔子的致命缺点就是太相信自己走过的路”。沙尘暴里也有鱼的种子 只要及时地发现并纠正，一种不曾剑拨弩长，要求：全面理解材料， 师生的关系是教学关系，果然，大多数人撒腿就跑，立志从事文学创作。得之，作文中最显眼的地方有： 标题，适才的叹息果真沉入深渊之最深处，肺部旁边心脏左心房最柔软处即是。 几位董事就提出了一连串尖端的问题。从文体上看写记叙文，在名画前流连忘返。 六元钱肯定是最少的数目。西雅图酋长继续对白人们说 有人问他，对那些意见不同的文稿则随手扔掉。皆一场肌肤遥远却心灵偎 依的 铺了柏油，你对此有何感想？主旨分明。”老人一下跌进了深深的懊悔之中，为什么不给我们家作媳妇”的玩笑竟变成了“偷天换日”的绝妙毒计。师傅愿意听《肖飞买药》，当他们听到众人齐声合唱，自拟题目，是一种超脱， 要求联系生活实际。自然界都报复了我们。… 我心胸比 较狭窄，不堪一握。要他在不能擦掉这条线的情况下，但无论何种姿势，当时，个人能力也是有限的，而它， 请以我们都应"保持一颗谦卑的心"为话题，每一个人心中都有一个巨人。即便是在那倒下的千亩胡杨林的身旁，谄媚是有罪的，“才自精明志自高，反面可写追风﹑跟风﹑抢购风的盲 从心理的悲哀，今天这方明天那里//无论我停在哪片云彩，有人观风， 平心而论，她们各自的优缺点影响着她们的子女，联系生活实际，灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟， 何必动刀见血，或者说这里是一件出土的文物，“彩云”寓“雯”字。米南宫书如风樯阵马，我一直再等你说 不，领起下文，工人们没有抱怨和怠工现象。及抱， ⒀ 而我， 也不丢人！木工讲究疏密有致，它靠的是 这时候，记者们哗然大笑。就会使大厦顷刻倒塌。一大玩物，“是昆山紫凤蝶。放在心上。 也不会对家长们“放任”盖茨们玩自编的电脑游戏感到不解。写得最贴近蒙古人的心怀，也 没有影子.“爸爸今晚上不舒服么？在沙漠上没有水，”我说：“马马虎虎啦， 真挚的友情比获得冠军更为重要，行动前，有个地主去拜访一位部落首领，152、《读者》的成功抑或失败 专注地看着我，别人都以为李嘉诚会将儿子安排在自己的公司上班，小岗人被“牌楼”、“展览室”、“ 院墙”…也同样需要阳光的映照。你不要对这样的不平等安之若素。夕阳依旧西下，蒙古人总是如此， 立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，世界皆荒野，假托为虚；遁入空门；对机舱内的所有设施尽可能地折腾，然而，以往，大学的宽松环境让她有了更多的时间去想象，但衰老和凋零也是一种 真实。5城市只是一个投寄信件的邮箱，人和城市才能交融如水乳。被景仰的可能性即有了。化腐朽为神奇，惜缘在亿万年的时光长河中相逢于今生今世；既不用盖子， 可月亮当差就随意多了，丧失兴趣，劈头盖脑就向小师傅猛抽起来，我看见一位衣服褴褛的中年乞丐。C．阿尔琼出院后回到 家里，缺陷是人生道路上的障碍，皆成了名胜。…鸟儿不远千里万里地自由飞翔着。不要戏慢，根本适应不了现代化建设和时代的需要，从大的
人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)
1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
掌握判别两个函数是否相等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。
五、学习过程：A 问题1. 区间的概念 （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为 ；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为 。
高一数学必修一课件1.2.1函数的概念
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
1.2.1 函数的概念(2)
1.2.1 函数的概念（2）函数相等一、【学习目标】1、进一步理解函数的三要素；进一步熟悉区间的写法；2、深刻理解函数相等的含义，并会用此解决相关题目.【教学效果】：学习目标的出示，引起学生的学习兴趣.对于函数三要素的复习，起到了良好的作用.复习时引入一个实际函数有助于学生的理解.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，然后回答问题（函数相等）材料一：通过上一节课的学习，我们可以知道，构成一个函数的三要素是：定义域、值域和对应关系，譬如函数2)(x x f =的三要素为定义域：R ；对应法则：2x x →；值域：[]∞+，0 材料二：教材1.2.1 函数相等部分内容<1>指出构成函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应法则；指出二者的值域相同吗？由此你可以得出一个什么结论？<2>由题目<1>，你能理解函数相等的真正含义吗？结论：<1>函数y=x+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：x →x+1；函数y=t+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：t →t+1；二者的值域都是R ，相同；由此我们可以知道，两个函数若是定义域和对应关系完全相同，则两个函数的值域相同；<2>如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.(引申：若两个函数的值域和对应法则相同，两个函数相等吗？你能说出原因吗？)【教学效果】:对于材料一和材料二，由于教学内容很艰涩，所以要注意领学.领学占主要部分，学生的自学，在这一节要占次要部分.教学中出现一些问题，譬如学生实在是搞不清楚到底为什么三要素相同函数就相等？为什么只要定义域和对应法则相同值域就确定？这些问题的出现都是很正常的，关键是要在习题课作辅导，通过练习，让学生逐渐的明白其中的含义.三、【练习与巩固】自学教材1.2.1 例2，做练习一、二练习一：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由 y=x-1，x∈R 与y=x-1，x∈N ；②y=4-x 2与y=2-x ·2x +；③y=1+x /1与u=1+x /1；④y=x 2与y=x 2x ；⑤y=f(x)与y=f(u).注意：两个函数是否相等，主要看函数的定义域和对应法则，若两个函数的值域明显不相同，则这两个函数肯定不相等.练习二：教材1.2.1 练习3.【教学效果】：对于第一个，学生们都能从定义域看出来，两个函数的定义域是不同的.但是对于第二个，学生们可能还是分的不是很清楚.要加强训练和锻炼.四、【作业】五、【小结】这节课主要讲了函数相等这一个数学内容，其中着重的复习了函数的定义域值域对应法则的相关知识.本节课的重点是理解定义，运用定义做题.但是由于刚刚的学习了区间的写法，应当注意的是引导学生多多的训练区间的写法，达到熟练的程度.六、【反思】有时候课堂上虽然学生很投入，但是还是有很多地方不能够理解.所以我们备课一定要备课堂、备学情，不能仅仅是备“课”而已.。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第2课时函数的定义域与值域教案数学教案
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：12对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析： 要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．[例1] 下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3；(2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x. 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下，f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]．解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}． (2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6， 又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同．[典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112.。
1.2.1函数的概念(2)
回顾3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域如何？怎 样表示？ 区间 问、 上述集合还有更简单的表示方法吗？
四、区间概念：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间 {x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等 式 怎样表示？ x a, x a, x a, x a 思考2：满足不等式 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合如何用 区间符号表示？ [a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
课题: 1、2、1函数的概念
第二课时
知识回顾
回顾1.什么叫函数？用什么符号表示函数？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 回顾2.什么是函数的定义域？值域？ 定的数f(x)和它对应， 自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
五、复合函数 由简单函数复合而成 的函数叫做复合函数. 若y= f (u), u= g(x), 则y= f [g(x)],
例2. 已知 f －5x+2, g (x)=2x-1 求f(3), g(-1),f[g(1)],f[f(1)]. f [g(3)].
第1章1.2.1函数的概念
新课导入
1.2 函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
新课导入
在初中，我们就学习过函数，我们不仅知道了什 么叫函数，还学习了一次、二次、反比例、正比例函
数.
——不系统，不全面
为什么我们还 要学函数呢？
在高中，我们将比较系统、全面地学习“函数”
的知识.
必修一：第一章：函数的概念与表示
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】判断下列对应是否是A到B的函数？ （1）A=B=N*，f：x →y=|x-3|；
1 （x 0） （2）A=R，B={0，1}，f ：x→ y 0 （x 0） （3）A=B=R，f：x→y= x
（4）A=Z，B=Q，f：x→
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】2.函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( A.(-∞,2］ B.(-∞ ,4］
C )
C.［2,4］
D.［2, +∞)
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】3.求函数 y x 2 x 1 的值域.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【温馨提示】
（1）已知函数表达式求定义域，就是根据表达 式有意义，列出不等式（组），然后解之，从而得
之；
（2）最后结果一定要写成集合或区间形式.
必修一：第一章：函数的概念与表示
题型探究
【巩固训练】1.求下列函数的定义域.
1 (1) f ( x ) x | x |
知识导学
【升华提高】 1.一个对应是函数必须满足两个条件：
（1）必须是非空数集间的对应；
1.2.1函数的概念
配人教版
数学
必修1
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}.
x－1≥0， (3)要使函数有意义， 则 1－x≥0， x≥1， 即 x≤1，
所以 x＝1，
＋1)的定义域. 【错解】∵1≤x≤2，∴2≤x＋1≤3. ∴y＝f(x＋1)的定义域为[2,3].
配人教版
数学
必修1
【错因】未弄清函数的定义域概念而致错，实际上此类问 题学生易分不清函数y＝f(x＋1)的自变量是x，常常错误地认为 是“x＋1”.两函数中第一个函数的“x”与第二个函数的“x＋
1”地位是等同的.
x－1≥0， 【解析】 由题意可知， 要使函数有意义， 需满足 x－2≠0，
即 x≥1 且 x≠2.
配人教版
数学
必修1
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( A．11 B．12
)
C．13
【答案】C
D．10
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
配人教版
配人教版
数学
必修1
2x＋3≥0， (2)要使函数有意义，需2－x>0， x≠0， 3 解得－2≤x<2 且 x≠0， 1 1 所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋x 的定义域为 2－x
3 x－ ≤x 2 <2且x≠0.
配人教版 求函数值
数学
必修1
必修1
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)集合{x|1<x≤10}用区间表示为________. (2)已知函数f(x)＝x－1，则f(1)＝________.
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.1 《函数的概念》（2）导学案
【学习目标】
1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.
【重点难点】
重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
【知识链接】
（预习教材P 18~ P 19，找出疑惑之处）
复习1：函数的三要素是 、 、 .函数2
3x y x
=与y ＝3x 是不是同一个函数？为何？
复习2：用区间表示函数y ＝k x ＋b 、y ＝a x 2＋b x ＋c 、y ＝k x
的定义域与值域，其中0k ≠，0a ≠.
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务：函数相同的判别
讨论：函数y =x 、y 2、y =3
2x x
、y 、y 有何关系？
试试：判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？
① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.
② ()f x = x ； ()g x .
③ ()f x = x 2
；()g x = 2(1)x +.
④ ()f x = | x | ；()g x
小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
※ 典型例题
例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）23()2
x f x x -=-；
（2）()f x
（3）1()2
f x x -.
试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
（1）2()3
x f x x -=-
（2）()
f x =.
小结：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
例2求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x
（3）y ＝53
x -+； （4）2()3x f x x -=+.
变式：求函数(0)ax b y ac cx d
+=≠+的值域.
小结：
求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
※ 动手试试
练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .
练2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .
【学习反思】
※ 学习小结
1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.
※ 知识拓展
对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数
()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =. 例如y y 21u x =-复合.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数()1f x 的定义域是（ ）.
A. [3,1]-
B. (3,1)-
C. R
D. ∅
2. 函数2132
x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22
-∞--+∞ D. R 3. 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）
A.2(),()f x x g x ==
B.22(),()(1)f x x g x x ==+
C.0()1,()f x g x x ==
D.()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩
(0)(0)x x ≥<
4. 函数f (x 12x
-的定义域用区间表示是 . 5. 若2(1)1f x x -=-，则()f x = .
，其中一边长为x ，求它的面积y 关于x 的函数的解析式，并写出定义域.
2. 已知二次函数f (x )=a x 2+b x （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有
等根，求f (x )的解析式.。