初中数学 18.1.1 勾股定理(1)学案

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第十七章勾股定理学案

- 1 -18.1 勾股定理（一）（一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

（二）、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵爽弦图证明呢？1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=勾股定理的内容是：。

（三）学以致用在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值；练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。

注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边；（四）当堂检测：1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．2．在Rt△ABC，∠C=90°；⑴ 已知a =b =5，求c ；⑵已知c =17，b =8，求a ；⑶ 已知a ∶b =1∶2，c=5，求a ； ⑷已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，求斜边的长？4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长？5.已知，如图在正ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ．求ΔABC 的面积．BDbaD C C A- 2 -EFDCBA18.1 勾股定理（二）（一）回顾复习：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

18.1 .1勾股定理(1)

CA b a八年级（下）数学教学案系列编号班级：姓名：课题：18.1.1勾股定理（第1课时）主备：张荣审核：yz 时间：2012 年 3 月第 5 周尊敬的家长：孩子成绩的提高需要家长的配合，为了孩子的进步，请督促您的孩子在家认真预习，并完成课堂前置和反馈练习。

家长签字：【教学目标】1、了解利用拼图验证勾股定理的方法2、掌握勾股定理的简单应用3、理解勾股定理的一般探究方法【课堂前置】1、任意三角形的三边关系2、三角形中，较小两边的平方和与第三边的平方大小有什么关系？3、观察图1、图2，图中的等腰Rt△ABC的三边，数量上有什么关系？4、图4，你认为在其他Rt△中，图3中的结论还成立吗？5、归纳：如果Rt△ABC的两直角边长为a、b,斜边为c,那么_________________6、你能将上面的结论，用右下图加以证明吗？证明过程：二次备课图1 图2图3B C a b cAD 【学习探究】1、下面图形都是由三个正方形拼成的图形，试求出第三个正方形面积：S 1，S 22、依据题意，填空①在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=________②在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，则c=③在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，则AC ：BC ：AB=________________④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则AC ：BC ：AB=________________⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为_____________3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高 ①若a=6，b=8,求CD 的长；②a=40，c=41,求b ；③若a ：b=3 ：4， c=15，求b【课堂检测】1、如图，在等腰△ABC 中，AB=10,BC 边上的高AD=8，求BC 的长；S △ABCS 181144400625S 22、已知直角三角形的两边长为4和3，求第三边的长？3、在Rt △ABC 中，周长为12cm ，一直角边为4cm,求斜边的长？【能力提升】1、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=25cm ，求AC 、BC 的长。

18.1.1 《勾股定理》第一课时导学案

118.1.1 《勾股定理》第一课时导学案班别_______________姓名_______________学号__________学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。

2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。

学习过程：活动一动手做一做1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°，直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ，（1）用刻度尺量出斜边A B = ________ （2）计算：__________,_____,222===AB BC AC2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系：活动二毕达哥拉斯的发现1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为则三个正方形面积之间的关系：2、斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度之间的关系：_____________________活动三探索与猜想观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)2A B是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。

（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________活动四认识赵爽弦图活动五证明猜想已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形，求证：（提示：大正小正＝S S S Rt +∆4）证明：勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________归纳直角三角形的主要性质：222a b c += AB C3在Rt △A B C 中，∠C = 90°，（1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____°（2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六活学活用1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。

初中数学 18.1 勾股定理教案1(1)

第十八章勾股定理单元规划直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半．本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是非常重要的性质．勾股定理揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产实践中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

本单元的知识结构和特点如下：一、让学生亲身体验勾股定理的探索和运用过程勾股定理的发现从传说说起，从故事中，让学生通过观察计算以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质．因而猜想所有的直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2。

用勾股定理探索三个问题，又一次让学生体验到了它的运用过程．探索1木板进门问题；按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试，这个问题可以用勾股定理解决；探究2是梯子滑动问题；梯子顶端滑动一段距离，梯子底端是否也滑动相同的距离．这个问题可以转化为已知斜边和一条直角边长，求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决；探究3是在数轴上画出表示13 的点．在数轴上画表示的点可以转化为画长为13 的线段的问题，而长为 2 的线段是直角边都是1的直角三角形的斜边，联想到长为13 的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边，从而可以画出长为13 的线段，并在数轴上画出表示的点．二、结合具体例子介绍抽象的概念在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题，逆定理的内容．在勾股定理一节中，先让学生观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1．由此说明，经过证明被确认的正确的命题叫做定理．在勾股定理逆定理一节中，从古埃人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形(已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方)，可以发现画出的三角形是直角三角形．因而猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2．把命题2的条件和结论与上节的命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路．同三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立．教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．三、注重介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它．尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这都是我国人民对人类的重要贡献，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感，树立热爱科学，献身科学的远大理想．教学过程中要让学生获得更多的与勾股定理有关的背景知识，还可以安排一些数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与学生交流．同时，要适当总结与定理、逆定理有关的内容．例如对第七章“三角形”，第十三章“全等三角形”中的一些结论进行更进一步认识和总结．本单元的教学时间需8个课时，具体安排如下：18．1 勾股定理4课时18．2 勾股定理的逆定理3课时数学活动小结l课时18.1 勾股定理课时安排四课时从容说课勾股定理是反映自然畀基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．本节让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现勾股定理；勾股定理的证明方法很多，而教材中主要介绍的是一种面积证法，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系．由勾股定理可知，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一直角边的长，就可以求出另一直角边的长．教材中的三个探究栏目让学生学会用勾股定理解决问题．因此，本节的重点是体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题．难点是勾股定理的证明．在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与这些活动，通过观察实践、推理、交流等获得结论，并证明结论，发展空间观念和推理能力．同时，勾股定理的应用较为广泛，教师可补充一下其他现实情境，鼓励学生自己寻找解答方法，勾股定理的探索．发现及验证的过程中，数形结合的思想有较多的体现，教师在教学中应注意渗透．18.1 勾股定理(一)教学时间第一课时三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

八年级数学下册 18.1.1 勾股定理导学案新人教版

八年级数学下册 18.1.1 勾股定理导学案新人教版一、课题18、1、1 勾股定理编写备课组二、本课学习目标与任务：1、经历探索发现并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；2、理解并掌握勾股定理，学会勾股定理的简单应用三、知识链接：人类一直在思考：在浩瀚无边的宇宙中，难道只有地球上才有人吗？如果在别的星球上也有“人”，那么该怎样与外星人互相沟通呢？我国著名数学家华罗庚建议，可以用一幅勾股定理的数形关系图作为与“外星人”的交流语言、毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客、在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来、原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方、主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他、谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了、你知道毕达哥拉斯在地板砖中发现什么了吗？四、自学任务（分层）与方法指导：1、我们也来观察下面左图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢? （1）以等腰直角三角形三边长为边长的三个正方形的面积之间有怎样的关系？若把三个正方形的面积分别记为SA、SB、SC，那么SA、SB、SC之间的关系为、（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？你有新的结论吗？观察右图，若小方格的边长为1、①正方形A、B的面积SA＝，SB＝、②如何求正方形C的面积呢？你求得的正方形C的面积为SC＝、③SA、SB、SC之间的关系为、CABaccbabcaabcBCA（3）由此你可归纳出什么结论？你的结论是：、2、观察上图中的正方形C的面积的求法、方法⑴补：SC＝－＝、方法⑵割：SC＝＋＝、3、归纳结论：⑴以Rt△ABC 的三边为边长向外作正方形①、②、③则总有：＋＝⑵若Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则a、b、c的关系为：、⑶勾股定理：如果，那么、用文字可叙述为：、五、小组合作探究问题与拓展：1、探索勾股定理的证明由求正方形C的面积的补或割的方法可得如下方法：图1图2图3⑴c2＝⑵c2＝（这就是著名的赵爽弦图）⑶即c2＝a2＋b2（方法１的变式）2、勾股定理的用途：在直角三角形中，已知两边，可求出第三边、求出右图中x的值：3、常用的勾股数有：4、若已知直角三角形的两边长为6和8，求第三边、六、自学与合作学习中产生的问题及记录当堂检测题1、Rt△ABC中，∠C＝90、①如果BC＝9，AC＝12，那么AB＝；②如果BC＝8，AB ＝10，那么AC＝；③如果AC＝20，BC＝25，那么AB＝；④如果AB＝13，AC＝12，那么BC＝、2、判断：⑴如果直角三角形的三边的长分别a、b、c，则a2＋b2＝c2( )⑵直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5、( )、3、已知甲和乙在同一地点，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 km、4、在Rt△ABC中，∠C＝90（1）若a＝5，b＝12，则c＝、（2）若b＝8，c＝17，则S△ABC＝、5、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？。

18.1勾股定理(第1课时)教学设计

课题：18.1.1 勾股定理教学设计：一、内容分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是前面所学“三角形三边关系”的知识延伸，又为九年级学习“解直角三角形”奠定基础.同时，勾股定理也是学生认识无理数的基础，将数与形密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.教科书的设计重在让学生“探索”，以在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，同时又安排了拼图的方法验证勾股定理，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展学生的探究能力和合情推理能力.二、教学目标1.掌握勾股定理，能运用勾股定理由已知直角三角形中两边长求出第三边长;2.经历利用拼图验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.三、教学重难点1.教学重点：用面积法探索勾股定理，能运用勾股定理由已知直角三角形中的两边长,求出第三边长.2.教学难点：利用拼图验证勾股定理.四、教学准备教学媒体：多媒体课件.学具准备：4个全等的直角三角形剪纸.五、教学过程（一）引入新课展示2002年世界数学家大会的会标.【设计意图：由会标中的赵爽弦图引出，激发学生学习的兴趣和探究欲望，为后面得到勾股定理的结论埋下伏笔.】（二）师生共究1.分析会标的结构；2.请两位同学一组，利用手中的四个全等直角三角形拼出“赵爽弦图”.3.设直角三角形中两直角边分别为a、b,斜边为c，你能用代数式表示整个会标的面积吗？4.从两个不同角度表示会标面积得到等式，通过计算，可以得到关于直角三角形的三边长度的数量关系：，从而得出结论：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．国外称之为“毕达哥拉斯定理”【设计意图：本环节引导学生经历“析图、拼图、算图、定论”四个过程，发现并得到勾股定理，一环套一环，自然流畅.设计教学时舍弃了教材中前面安排的内容，即探索方格中以直角三角形三边长为边的三个正方形面积之间的关系.主要基于以下思考：（1）教材设计意在试图让学生经历观察、归纳、猜想的数学发现过程，发展学生的合情推理能力，但由于问题的提出（探究三个正方形面积关系）对于学生来说困难较大，整个探究活动只能由教者全盘设计，学生完成计算，这种结论的发现对于学生来说含金量不高，并且可能耗时较长.因此，教者未采取教材中安排的探究活动；（2）教材设计的探究活动能帮助学生体会割补法计算图形面积，其实这方面内容在初中教学的很多方面都有机会体现，本节课设计中会标的面积计算也能体现出这一点.】（三）数学史话西周初的数学家商高在公元前1000年就发现勾股定理的一个特例.早在公元3世纪，我国数学家赵爽就已经利用“弦图”证明了这个关系.勾股定理是数与形的第一定理，数学由计算转变为证明，算得上是千古第一定理.【设计意图：通过数学史话，介绍与勾股定理有关的相关知识，渗透数学文化，增强文化自信，了解勾股定理在数学中的地位.】（四）自主探究1.对于勾股定理还有其他证明方法吗？教师呈现历史上关于证明勾股定理的不同方法，考虑学生的知识基础，给出两种能证明勾股定理的模型图.2.让学生组内合作，自主分析图形结构，完成证明过程.3.安排两个小组汇报证明过程.4.分析三个图形之间的联系【设计意图：本环节前3个活动意在进一步巩固学生对勾股定理这一结论的认识，强化用面积法证明勾股定理的技能.第4个活动让学生分析三个能证明勾股定理的图形之间的联系，加深对这三个图形的认识，培养几何直观.对于勾股定理的证明并未采取严密的演绎推理，比如：4个直角三角形为什么就能拼成一个正方形，为什么是正方形等，主要原因是学生还未系统学习正方形的判定，因此在教学设计中故意避开了这一点.】（五）巩固新知1.已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=2，BC=3，你能确定第三边AB的长吗？教师示范计算过程.2.练一练：在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c，BC=a，AC=b.⑴已知：a=4，b=6，求c;⑵已知：a=5，c=13，求b；⑶已知：b=24，c=25，求a；学生独立完成计算.3.教师总结：运用勾股定理由已知直角三角形中的两边长,可以求出第三边长.即：c a b===（c为斜边时）4.想一想：在Rt△ABC中，已知两边边长a=3、b=4，第三边c是多少?（分情况讨论思想的渗透）5.展示1955年希腊曾经发行的纪念数学家毕达哥拉斯的邮票；解决问题：在如图所示，以直角三角形ABC各边为边，向三角形外作正方形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形(1)(2)的面积的和是____cm2，正方形(3)(4)(5)(6)的面积的和是_____cm2.6.几何画板动态演示“勾股树”，让学生感受数学之美.【设计意图：熟练运用勾股定理解决简单的数学问题，加深对勾股定理的理解.通过几何画板动态演示“勾股树”，让学生深刻体会到数学之美，并萌发在数学的道路上继续深入探索的欲望.】（五）课堂小结：从知识、技能、思想方法等方面总结本节课收获.（六）课后作业1.习题18.1题1、题22.阅读教材第62页《数学史话》，了解更多勾股定理的证明方法，小组合作制作一份手抄报．。

十八章勾股定理全章教案

第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。

教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

八年级数学下册《18.1勾股定理》(第1课时)学案新人教版

八年级数学下册《18.1勾股定理》（第1课时）学案新人教版18、1勾股定理》学案（第1课时）学习目标1、探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展几何思维。

2、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

3、培养学生严谨的数学学习的态度，体会勾股定理的应用价值。

重难点：1、了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用。

2、理解勾股定理的推导过程。

学习过程一、自学导读1、如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。

2、填空：⑴在Rt△ABC，∠C=90，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90，a=3，b=4，则c= 。

3、直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形斜边上的中线等于；（3）直角三角形中30的角所对的直角边等于。

4、分别求出下式中的x的值：①x2=5 ②(x-2)2=5 ③2(2x-1)2=9二、合作探究相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系。

我们也来观察下图中的地面，看看能发现什么。

思考：你能分析上图中的等腰直角三角形有什么性质吗？探究：网格中的直角三角形是否也具有这种性质？（网格中每个小方格的面积都是1）通过观察，你得到直角三角形三边有什么关系？为什么？。

证明：勾股定理1、已知：如上图，在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

2、①、如图，用4个大小完全相同的直角三角形，拼成如图所示的正方形，利用整体思想表示该正方形的面积：，用部分之和思想表示该正方形的面积是，因此可以得到一个等式，整理得：②、上面的a、b、c分别表示直角三角形的三边，因此直角三角形的三边关系是，用符号表示为：，这个关系就是著名的定理。

三、课堂反馈1、分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法）2、在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？3、4、在Rt△ABC中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高线的长度。

18.1勾股定理(1)导学案

∵∠AED +∠ADE = 90º,
∴∠AED +∠BEC = 90º.
∴∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于 c2.
又∵∠DAE = 90º,∠EBC = 90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________
导学案设计
题目
18.1勾股定理（1）
总课时
1
学校
星火一中
教者
杨玉杰
年级
八年
学科
数学
设计来源
自我设计
教学时间
学
习
目
标
知识技能
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程方法
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感态度价值观
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习
归纳：勾股定理的具体内容是。
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即
化简可得。
方法三：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE =∠BEC.
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形其面积。
(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)对于更一般的情形将如何验证呢？

18.1勾股定理(1)教学案

18.1勾股定理教、学案
一、教、学目标:
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

教、学重点：勾股定理的内容及证明。

教、学难点：勾股定理的证明。

二、学前准备
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察观察看看能发现什么。

三、交流探讨、讲解新知
2．观察右边两个图并填写下表：
3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
4．你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关
系吗？与同伴交流．
勾股定理：___________________________________________________________________
四、升华、训练、巩固
证法一、赵爽弦图验证勾股定理
证法二:
证法3.美国第20任总统伽菲尔德证法：五、拓展延伸
求图中字母所代表的正方形的面积。

课堂小结
六、反馈检测：
求图中字母所代表的正方形的面积。

七、布置作业：
目标检测
八、教师课后小记。

数学：18.1《勾股定理》学案1(人教版八年级下)

2题图 3
五、达标检测1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，
∠B=60°，则江面的宽度为。
2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。
勾股定理
探究1 探究2 探究3 规律
教学过程
导学过程
学习过程
一、情境导入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
二、自主学习（见《同步》
三、目标展示
四、合作研讨展示交流
例1（教材P74页探究1）
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
学生10分钟完成做题。
此题需要借助画图分析
学生根据规范方法重做练习，生生间相互检查纠错。生把错题积累在积累本上。
4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，
∠B=60°，则江面的宽度为。
六、反思积累由老师总结规范做题方法。
：全班同学齐答。板书应用格式。

八年级数学下册《18.1 勾股定理》教学设计人教新课标版

2、你听说过勾股定理吗？
师：出示24届大会会徽图片，引出勾股定理。
生：观察图片，发表见解
师：补充说明：这个图形是“赵爽弦图”。
从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生学习创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料。
二、自主合作探究新知
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
【活动1】：自主探究，小组交流
“地砖里的秘密？”
问题1：以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？
问题2：等腰直角三角形三边有怎样的数量关系？
【活动2】：合作交流：观察“勾三，股四，弦几何？”
1、以直角边为边长的两个正方形的面积为什么易求？
2、以斜边为边长的正方形面积为什么不易求？
3、怎样求大正方形的面积？
4、直角边长为3和4的直角三角形的三边具有怎样的关系？
【活动3】自主探究：测量
分别以5、12为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，探究直角三角形三边具有怎样的关系？
【活动4】猜想验证，小组实验：
猜想：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
验证：以直角三角形ABC的两条直角边a,b为边做两个正方形。
通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情;在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教学重点
探索并验证勾股定理。
教学难点
用拼图的方法验证勾股定理。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
一、创设情境，引入新知
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这就是本届大会会徽的图案．1、你见过这个图案吗？

18.1.1勾股定理(平行班) 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思人教版

方法三：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE =∠BEC.
∵∠AED +∠ADE = 90º,
∴∠AED +∠BEC = 90º.
∴∠DEC = 180º―90º= 90º.
S正方形＝C
S正方形＝4ab＋（a－b）
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4× ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相化简可得。
情感态度与价值观
培养学生严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值。
重点
勾股定理的内容及证明。
难点
勾股定理的证明。
学情分析
八年级学生对几何图形的观察，几何证明的思维能力已初步形成。勾股定理是在学生已经熟知的直角三角形的特点后引入的边的关系，学生从认知和思维习惯都比较容易接受。但用面积法探索一个定理的发现过程，以前学生没有见过，感到陌生。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC= cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

18.1勾股定理(1)

学
时间：课年题月日
案
第（）份学案
18. 1
勾股定理（第一课时）
学习目标
1.经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的简单应用； 2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程，体会形数结合、化归的思想单应用．勾股定理的证明
一展示勾股树、介绍赵爽弦图

.如图 1，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草.
. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，AC=

. ）. D．不能确定
3.若直角三角形的两边长分别为 3cm、4cm，则第三边长为（
4
反思升华
收获和疑问：
二 1.【探究一】：观察图 1，（1）你能找出图中正方形 A、B、C 面积之间的关系吗？
（2）图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
2.【探究二】：如图 2，每个小方格的边长均为 1，（1）计算图中正方形 A、B、C 面积．
图1
学习过程设计
【讨论】如何求正方形 C 的面积？
（2）图中正方形 A、B、C 面积之间有何关系？
（3）图中正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三边之间有什么特殊关系？
【猜想】：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b，斜边长为 c，那么 3．【探究三】：如图 3，如何证明上述猜想？【温馨提示】：用两种方法表示出大正方形的面积．
．
图3
4．【探究四】：如图 4，如何证明上述猜想？
图4 5. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c ，那么文述：．字．叙