南京金陵中学江苏省海安高级中学南京外国语学校2018届高三年级第四次模拟考试英语

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2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷(含答案解析)

2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={x|x＜5，x∈N*}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=______．2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第象限______．3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率是______．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为______．7.已知α∈（0，π），，则=______．8.函数的定义域为______．9.设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，若对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值为______．10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为______．11.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，且直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，过点A（-6，a）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为______．12.已知实数a，b∈（0，2），且满足，则a+b的值为______．13.已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为______．14.在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，则（tan2A-2）•sin2C的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知函数f（x）=2sin（x+）•cos x．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M．点B 与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向东北方向，∠MON=，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在的直线距离为10km．（1）求A，B两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO段上距离市中心O点30km处有一古建筑C（视为一点），现设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？19.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若a1与a t（t为常数，t≥3，t∈N*）均为正整数，且存在正整数q，使得，，求a1的值．20.已知函数f（x）=ax-ln x-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．21.已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x-y=1，求矩阵A．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．23.设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．25.设n∈N*．（1）若，求S2019的值；（2）若，求T2019的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{3}解析：解：U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，因为A={1，2}，B={2，4}，所以A∪B={1，2，4}，所以∁U（A∪B）={3}，故答案为：{3}．U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，求出A∪B，然后求出其补集即可．本题考查了集合的并集和补集的混合运算，属基础题．2.答案：三解析：解：∵=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），在第三象限．故答案为：三．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和大于10包含的基本事件有：（5，6），（6，5），（6，6），共有m=3个，∴出现向上的点数之和大于10的概率p==．故答案为：．先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于10包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4.答案：200解析：解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．其件数为：800×（0.0125+0.0250+0.0125）×5=200故答案为：200结合频数分布直方图确定落在[10，15，）、[15，20）、[35，40]的人数由容量××组距求出．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．5.答案：x=-2解析：解：双曲线的右焦点是（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4∴抛物线的准线方程为：x=-=-2．故答案为：x=-2．根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p和准线方程．本题考查了抛物线的性质，属中档题．6.答案：8解析：解：a=1，b=1，a＞10否，a=2，b=1，a＞10否，a=1+2=3，b=2-1=1，a＞10否，a=3+1=4，b=3-1=2，a＞10否，a=4+2=6，b=4-2=2，a＞10否，a=6+2=8，b=6-2=4，a＞10否，a=8+4=12，b=12-4=8，a＞10是，输出b=8，故答案为：8根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．7.答案：-2解析：解：α∈（0，π），，故：，则：=-．故答案为：-2直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：{x|-1＜x≤2}解析：解：要使函数有意义，则≥0，得≤0，得-1＜x≤2，即函数的定义域为{x|-1＜x≤2}，故答案为：{x|-1＜x≤2}根据函数成立的条件，建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：10解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，∴3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1=29，d=-3，∴a n=29-3（n-1）=32-3n．令a n32-3n≥0，解得n≤=10+．由对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值=10．故答案为：10．设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，可得3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1，d，利用a n≥0，解得n．本题主要考查等差数列的通项公式求和公式及其单调性，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10.答案：解析：解：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为h=r，其侧面积为S1=2πr•r=2πr2；设圆锥的高为H，则母线长为，其侧面积为S2=πr•；又S1=S2，则2πr2=πr•，解得H=r，所以圆锥与圆柱的高之比为=．故答案为：．设圆柱的底面圆半径为r，高为r，求出侧面积S1；设圆锥的高为H，求出母线长和侧面积S2，利用S1=S2求出H，再计算的值．本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，是基础题．11.答案：2解析：解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，∴，得D=-2，E=4，F=-20，即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0，即（x-1）2+（y+2）2=25，圆心C（1，-2），半径R=5，∵直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，∴直线过圆心，则1-2a-1=0，得a=0，则A（-6，0），过点A（-6，0）作圆C的一条切线，切点为B，则|AC|===，则线段AB的长度为==2，故答案为：2利用待定系数法求出圆的一般式方程，求a的值，结合切线长公式进行计算即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用待定系数法求出圆的方程，利用切线长公式是解决本题的关键．12.答案：2解析：解：已知实数a，b∈（0，2），且满足，则：a2-b2-4=22-b-2a-4b，即：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，∵实数a，b∈（0，2），且满足，即满足：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，取b=1代入方程计算方程的根a且在（0，2）即可，即：（a2-2）+（2a-1）=0，a∈（0，2），当a=1时（a2-2）+（2a-1）=0成立，所以a=1是方程（a2-2）+（2a-1）=0的一个根，且符合a，b∈（0，2）范围，所以a，b∈（0，2）时，且满足成立的a、b有a=b=1是符合．故a+b的值为2故答案为：2．利用已知将化简，计算a、b的值在实数a，b∈（0，2），且满足即可得答案．考查观察法．方程为0 时各部分的系数，对数据的分析．13.答案：[]解析：解：设=，（0≤λ≤1）由已知易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，故答案为：[，]．由平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题得：易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题，属中档题．14.答案：2-5解析：解：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以cos2A+cos2C＜1-sin2B=，所以+，所以cos2A+cos2C＜-1，所以2cos（A+C）cos（A-C）＜-1，又sin B=，当B=时，A+C=，-，即2cos（A+C）cos（A-C）＞0，即B=不合题意，即B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t（t＞1），则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，故答案为：2-5．由三角函数求值及重要不等式得：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t，（t＞1）则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，得解．本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．15.答案：解：（1）f（x）=2sin（x+）•cos x=（sin x+cos x）•cos x=sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…（2分）由得，，∴，…（4分）∴，即函数f（x）的值域为；…（6分）（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…（8分）在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A=7，解得；…（10分）由正弦定理，得，…（12分）∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A-B）=cos A cos B+sin A sin B=．…（15分）解析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A-B）的值．本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．16.答案：证明：（1）连接AF交BE于Q，连接QO，因为E，F分别为边PA，PB的中点，所以Q为△PAB的重心，可得：=2，又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，所以=2，于是，所以FG∥QO，因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因为O为边AC的中点，AB=BC，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA，因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，所以EO∥PC，因为PA⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE=O，BO，EO⊂平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因为BE⊂平面EBO，所以PA⊥BE．解析：（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得：x N=，∴N（，0）．由点A，B关于x轴对称，∴A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即t2=|x M x N|，∴t2==4，又t＞0，解得t=2．经过验证：t=2时，∠OQM=∠ONQ．∴在y轴的正半轴上存在点Q（0，2），使得∠OQM=∠ONQ．解析：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a．即可得出椭圆C的标准方程．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得N（，0）．由点A，B关于x轴对称，可得A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．∴AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．∵．∴当，AB取最小值20（）．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．∴，，解得t＜20k或＞60k（舍），∴OA＜20．又∵当AB∥ON时，OA→10，∴．解析：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．利用三角函数知识，可得AB取最小值．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．可得，即可求解本题考查了三角知识的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．19.答案：（1）证明：2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1，即=．又2S2-3S1=2a1，解得：=．综上可得：数列{a n}为等比数列，公比为．（2）解：∵a t=a1•，a1与a t为正整数．∴a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，于是≤，∴≤，即q≤2．∴q=2．由a t=a1•≤3t-1，知a1≤2t-1，又a1≥2t-1，∴a1=2t-1．解析：（1）2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1．又2S2-3S1=2a1，可得：．即可证明结论．（2）a t=a1•，a1与a t为正整数．可得a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，可得≤，即q≤2．解得q，即可得出．本题主要考查等比数列的定义通项公式、不等式的性质，考查学生的转化能力和逻辑推理与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=0即为，x-ln x-1=0，令t（x）=x-ln x-1，所以t′（x）=1-=，当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，（x）单调递增，所以，t（x）min=t（1）=0，故方程f（x）=0的根为：x=1；（2）函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a=x lnx-a（x-1）．所以g′（x）=ln x+1-a，当a≤1时，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，且图象不间断；又g（1）=0，所以：x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即函数g（x）在（1，+∞）上没有零点，不合题意；当a＞1时，由g′（x）=0，解得：x=＞1，当1＜x＜时，g′（x）＜0，故g（x）在（1，）上是减函数；当x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（，+∞）上是增函数；所以1＜x＜时，g（x）＜g（1）=0，因为，g（e a）=ae a-a（e a-1）=a＞0且函数g（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数g（x）在（1，+∞）上有一个零点，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为：a∈（1，+∞）．（3）存在吗，使不等式在（1，+∞）上恒成立；设h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，当x＞1时，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）单调增，又t（1）=0，故t（x）＞0恒成立，所以当x＞1时，h（x）＞0；当a=0时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1），①当m≤0，x＞1时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1）＜0恒成立；所以不等式在（1，+∞）上不恒成立；②当m＞0时，由φ′（x）=-+mx==0，得：x=；当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，J）单调减，当x∈（，+∞时，φ′（x）＞0，φ（x）在（，+∞）单调增，故φ（x）在x=；处取得极小值；（i）当0＜m＜1时，＞1；φ（）＜φ（1）=0，而h（）＞0．故不等式在（1，+∞）上不恒成立；（ii）当m≥1时，构造函数F（x）=φ（x）-h（x）=-ln x+m（x2-1）-，F′（x）=-+mx-+；当m≥1，x＞1时，mx≥x，＜1，-＞-1，F′（x）=-+mx-+＞）=-+x+-1=＞0；所以F（x）在（1，+∞）单调增，又F（1）=0；所以当x∈（1，+∞时，F（x）＞0恒成立，即φ（x）-h（x）＞0恒成立，故存在m≥1，使得在（1，+∞）上恒成立；综上所述，m的最小值为1；故答案为：（1）：x=1；（2）：a∈（1，+∞）；（3）：m的最小值为1．解析：（1）若a=1时求方程f（x）=0的根转换成令t（x）=x-ln x-1求极值可得；（2）利用函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a求导，讨论a利用函数的性质判断增减性讨论零点可得实数a的取值范围；（3）当a=0时，假设存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立，证明假设，转化成新函数h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，讨论单调性集m可判断是否存在m．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），由[]=[][]=[]，得，又点M′（x′，y′）在l′：x-y=1上，∴x′-y′=1，即（mx+ny）-y=1，依题意，解得：，则矩阵A=[]．解析：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．此题考查了几种特殊的矩形变换，找出M在矩阵A的变换作用下点M′两点的坐标关系是解本题的关键．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x-3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）解析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，∴，∴z=3x，y=2x，又，∴x=，y=，z=，∴．解析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=．本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．24.答案：解：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，∴甲三次都取得白球的概率P=（）3=．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，则P（ξ=6）=（）3=，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）=（）3=，∴甲总得分ξ的分布列为：ξ 6 7 8 9P甲总得分ξ的数学期望为：E（ξ）==．解析：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，由此能求出甲三次都取得白球的概率．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列和甲总得分ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．25.答案：解：（1）因为（x-1）2n=+++……+，令x=1，则=0，即++……+=++……+，而=22n，所以=22n-1，故S2019=24037，（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，故T n+1==+T n-+ =2=3×8n+1-T n，所以T n+1-=-（T n-），又T1=2，所以（）是以为首项，以-为公比的等比数列，所以T n=，所以T2019=．解析：（1）根据二项式（x-1）2n=+++……+，令x=1，结合而=22n，即可得到结论．（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，得到T n+1和T n的递推关系，进而构造等比数列，得到T n的表达式，即可求出T2019．本题考查了二项式定理的应用，组合数的运算，构造法求数列的通项公式等，属于难题．。

江苏省海安高级中学

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学2010届高三调研测试（数学）（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。

2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。

选择题答案填涂在答题卡．．．．．．．．．．．对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

考试结束后，上交答题卡和答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．位置上．．．. 1.设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___▲____.2.已知tan 2α=，则sin()cos()sin()cos()παπααα++-=-+-___▲_____.3.抛物线y 2= 8x 的焦点到双曲线x 212 – y 24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End forPrint S End输出的结果是 ▲ ． 5.设集合11{33},{0}3x x A xB x x-=<<=<，则A B =____▲_______. 6.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.7.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为__▲_____. 8.已知向量()3,1-b =，2=a ，则2-a b 的最大值为 ▲ ．9.已知A (2,4)，B (–1,2)，C (1,0)，点P (x ,y )在△ABC 内部及边界上运动，则z = x – y 的最大值与最小值的和为___▲___10.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题： ① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数22,0,()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____.12.函数()()g xy f x =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()g xy f x '=()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．运用此方法可以探求得知()10x y x x =>的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ．14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知1525,3,7PA PB PC ===，设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角. （1）求β；（2）求两条向量,AC PC的数量积AC PC ⋅ 的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即1n =；9点20分作为第二个计数人数的时间，即2n =；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n *∈N ）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩，n *∈NPA CBA B C D E F第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间()n n *∈N 满足以下关系：()()()()012451202572,507390n g n n n n n *≤≤⎧⎪=-≤≤∈⎨⎪≤≤⎩N .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：123 1.1取，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分）设圆221:106320C xy x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *).⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n – 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；⑶设*,,,Nm n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数()()||20,1x xf x a a a a=+>≠，（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E , ∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( + p3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3+ 1abc≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……，如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥；（2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤.B C EDA P BC DA M ab c d n=1abcd n=2ac d a b d a b c参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e 8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠=，所以34cos ,sin 55PB PA αα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分372cos cos()101527PB CPB PC αβ∠=-===，2sin()10αβ-=，所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分 tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD . 因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分ABCDEFP17．解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++ …[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×()1212121233131⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：12(25)(26)(36)T g g g =+++ 12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分所以361216563901266SS T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分（2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时，令32165120n n -+=-时，42n =，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程2222(8)4120 xy ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分⑵b n = 2 + 43n – 1 + p43n – 1 = (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+-，4231n n a =+-，4231pp a =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p ++-，……………12分化简得3(2331)1323n p n p m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mpnp n--+-≥=⨯，13333p m n m n m --+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0np n p n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列.………16分 20．解：(1)令xa t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，………………………………2分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分(2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211xa a≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a--=-+=……8分ⅰ当2112a >即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增，所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合……10分 ⅱ当2112a ≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22，综合a ) b ) ()g x 有最小值为22与a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a +与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA .又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分又EA 2= EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，…………………………………………………5分 =AXB ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B ………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( +3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2– x + 3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2= 1x 2 + y 2– x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32) 所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2= 3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3+ b 3+ c 3+1abc≥2 3.证明因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3+ b 3+ c 3≥33a 3b 3c 3= 3abc >0…………………5分又3abc +1abc≥23abc ·1abc= 2 3.所以a 3+ b 3+ c 3+ 1abc≥23.……………………………………………10分BC ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM → = (12,12,a 2)，BD →=(–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →| = 22·3 = 63.所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明：（ⅰ）当1n =时，因为10a =，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设n k =时，等式正确，即*33(1)(,1)4N k kk a k k +-=∈≥，那么，1n k =+时，因为11133(1)4333(1)33(1)33444k k k k k k k kkk k a a ++++-⋅---+-=-=-==，这说明1n k =+时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥正确. …………………5分（2）易知133(1)13(1)[1]4343n n nn nP +--=⋅=+， ①当n 为奇数（3n ≥）时，13(1)43n P =-，因为327n ≥，所以132(1)4279P ≥-=，又131(1)434n P =-<，所以2194P ≤<；②当n 为偶数（2n ≥）时，13(1)43n P =+，因为39n≥，所以131(1)493P ≤+=，又131(1)434n P =+>，所以1143P <≤.综上所述，2193P ≤≤.……………………10分PB CDAMxyz。

【数学】数学--金陵中学、海安高级中学、南外三校2012届高三下学期联合考试_数学_

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝ ▲ x＋i 是纯虚数，则 x 的值是 ▲ ． 2．已知 x 是实数， 1－i 3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数 n 的值为 5 时，输出的 an 的值是 ▲ ．．开始输入 n Y an← n2 n ≤ 4 N an← 2n
3
0 1 2 3
9 055 8 1
▲ ．
2 2
（第 5 题）
9．已知函数 f(x)＝kx －3(k＋1)x －k ＋1，若 f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线 y＝f(x) 的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ． π 10．若 tan＝3tan，且 0≤＜＜2，则－的最大值为 ▲ ．
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 3 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3．作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率是 ▲ ．输出 an 结束

江苏省金陵中学、海安市高级中学、南京外国语中学高三第四次模拟考试地理试题(word版)

南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试地理试题一、选择题。

（一）单项选择题从 2017 年 4 月 5 日起，全球 8 座射电望远镜连续进行了数天的联合观测，随后又经过 2 年的数据分析才一睹黑洞的真容。

这颗黑洞位于代号为 M87 的星系当中，距离地球 5300 万光年之遥，质量相当于 60 亿颗太阳。

北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 点整，天文学家在布鲁塞尔（比利时）、圣地亚哥（智利）、上海、台北、东京（日本）、华盛顿（美国）六大都市同时召开全球新闻发布会，宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。

完成下列小题。

1. 照片公布时，地球上 4 月 10 日与 4 月 11 日的范围之比约为 ( )A. 5:4B. 1:5C. 23:1D. 5:72. 从 2017 年 4 月 5 日起往后三个月内，下列说法正确的是( )A. 地球公转速度逐渐加快B. 华盛顿昼渐长夜渐短C. 圣地亚哥正午太阳高度逐渐减小D. 日出时上海东方明珠日影朝向西南【答案】1. C 2. D下图为我国某地所测得的等高线地形图。

根据图中信息，完成下列小题。

3. 图中甲、乙、丙、丁四地中，最容易出现泥石流灾害的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. 上图中湖泊附近有一瀑布，瀑布落差32 米，图中湖泊湖面与图示区域最高点之间的相对高度最有可能为( )A. 520 米B. 514 米C. 532 米D. 540 米【答案】3. C 4. A下图为某地锋面气旋示意图。

读图，完成下列小题。

5. 图中( )A. 该天气系统位于北半球B. 低压中心位于锋线西侧C. 锋面自西北向东南移动D. 甲地风向可能为西北风6. 此时( )A. 受地形影响丁地风力大于乙地B. 受纬度影响乙地气温高于甲地C. 甲、丙两地受锋面影响多阴雨天D. 丙、丁两地气流以上升运动为主【答案】5. D 6. A读某地区地质剖面图，完成下列小题。

2020年高考化学真题-离子反应(习题版)

2020年高考真题离子反应1．【2020新课标Ⅲ】对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是A ．用Na 2SO 3溶液吸收少量Cl 2：32-3SO +Cl 2+H 2O = 2-3HSO +2-Cl +2-4SOB ．向CaCl 2溶液中通入CO 2：Ca 2++H 2O+CO 2=CaCO 3↓+2H +C ．向H 2O 2溶液中滴加少量FeCl 3：2Fe 3++H 2O 2=O 2↑+2H ++2Fe 2+D ．同浓度同体积NH 4HSO 4溶液与NaOH 溶液混合：+4NH +OH －=NH 3·H 2O 2．【2020江苏】常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A ．10.1mol L -⋅氨水溶液：Na +、K +、OH -、NO -3B ．10.1mol L -⋅盐酸溶液：Na +、K +、SO 2-4、SiO 2-3C ．10.1mol L -⋅KMnO 4溶液：NH +4、Na +、NO -3、I -D ．10.1mol L -⋅AgNO 3溶液：NH +4、Mg 2+、Cl -、SO 2-43．【2020江苏】下列指定反应的离子方程式正确的是A ．Cl 2通入水中制氯水：22Cl H O 2H Cl ClO +--+++B ．NO 2通入水中制硝酸：2232NO H O 2HNO NO +-+=++ C ．10.1mol L -⋅NaAlO 2溶液中通入过量CO 2：22233AlO CO 2H O Al(OH)HCO --++=↓+D ．10.1mol L -⋅AgNO 3溶液中加入过量浓氨水：324AgNH H O AgOH NH ++++=↓+ 4．【2020天津】下列离子方程式书写正确的是 A ．CaCO 3与稀硝酸反应：2-+322CO +2H =H O+CO ↑B ．FeSO 4溶液与溴水反应：2+3+-22Fe +Br =2Fe +2BrC ．NaOH 溶液与过量H 2C 2O 4溶液反应：-2-224242H C O +2OH =C O +2H OD ．C 6H 5ONa 溶液中通入少量CO 2: -2-65226532C H O +CO +H O=2C H OH+CO5．【2020年7月浙江选考】能正确表示下列反应的离子方程式是( )A ．()()4422NH Fe SO 溶液与少量2Ba(OH)溶液反应：2-244SO BaBaSO ++=↓ B ．电解2MgCl 水溶液：2222Cl 2H O 2OH Cl H --++↑+↑通电C ．乙酸乙酯与NaOH 溶液共热：Δ323332CH COOCH CH OH CH COO CH CH OH --−−→++D ．4CuSO 溶液中滴加稀氨水：22Cu 2OH Cu(OH)+-+=↓ 6．（2020届河南省郑州市高三第二次质检）某兴趣小组探究Ba(OH)2溶液和 H 2SO 4溶液发生的是离子反应，设计的实验装置和实验测定的导电性曲线分别如图所示。

2019届高考化学难点剖析专题24NO、NO2的性质及污染处理讲解

专题24 NO、NO2的性质及污染处理一、高考题再现1．（2018课标Ⅱ）研究表明，氮氧化物和二氧化硫在形成雾霾时与大气中的氨有关（如下图所示）。

下列叙述错误的是A. 雾和霾的分散剂相同B. 雾霾中含有硝酸铵和硫酸铵C. NH3是形成无机颗粒物的催化剂D. 雾霾的形成与过度施用氮肥有关【答案】C氮肥有关，D正确。

2．（2018课标Ⅰ）采用N2O5为硝化剂是一种新型的绿色硝化技术，在含能材料、医药等工业中得到广泛应用。

回答下列问题（1）1840年 Devil用干燥的氯气通过干燥的硝酸银，得到N2O5。

该反应的氧化产物是一种气体，其分子式为___________。

（2）F. Daniels等曾利用测压法在刚性反应器中研究了25℃时N2O5(g)分解反应：其中NO2二聚为N2O4的反应可以迅速达到平衡。

体系的总压强p随时间t的变化如下表所示（t=∞时，N2O4(g)完全分解）：①已知：2N2O5(g)＝2N2O5(g)+O2(g) ΔH1=−4.4 kJ·mol−12NO2(g)＝N2O4(g) ΔH 2=−55.3 kJ·mol−1则反应N2O5(g)＝2NO2(g)+O2(g)的ΔH=_______ kJ·mol−1。

②研究表明，N2O5(g)分解的反应速率。

t=62 min时，测得体系中p O2=2.9 kPa，则此时的=________kPa，v=_______kPa·min−1。

③若提高反应温度至35℃，则N2O5(g)完全分解后体系压强p∞(35℃)____63.1 kPa（填“大于”“等于”或“小于”），原因是________。

④25℃时N2O4(g)2NO2(g)反应的平衡常数K p=_______kPa（K p为以分压表示的平衡常数，计算结果保留1位小数）。

（3）对于反应2N2O5(g)→4NO2(g)+O2(g)，R.A.Ogg提出如下反应历程：第一步 N2O5NO2+NO3快速平衡第二步 NO2+NO3→NO+NO2+O2慢反应第三步 NO+NO3→2NO2快反应其中可近似认为第二步反应不影响第一步的平衡。

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}21,3xM x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A ．](-,3∞B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[]1,32．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列结论中正确是（）A ．若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B ．若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C ．若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D ．若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4．抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）AB ．C ．D ．5．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A ．9400B ．9408C ．9410D ．94146．定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A ．1016000.2mm k k L -=⨯B ．1016000.2mm k k L -=⨯C ．1016000.8mm k k L -=⨯D ．1016000.8mm k k L -=⨯7．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A ．2()e e -=+x x f xB ．e e ()2-+=x xf xC ．2()e e-=-x x f xD ．e e ()2--=x xf x8．已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（） A ．2 B ．1C ．13D ．16二、多选题9．已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u r ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =--u u r ，直线l 的方向向量为()1,0,2a =r ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-r，则（） A ．//l α B ．αβ⊥C ．l 与m 为相交直线或异面直线D ．a r 在b r 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的值不可能是（）A ．5π12B ．7π12C ．34π D ．11π1211．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A ．若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEFB ．若PA =2C ．该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD ．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：83三、填空题12．已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为．13．已知3,,sin cos 4πθπθθ⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭1sin 2cos 2θθ-= ．14．已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g = ．四、解答题15．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，证明：1324nT <≤. 16．佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率． (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．18．若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.19．某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m ，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．(1)写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；(2)如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．。

江苏省三校2020届高兰地理第四次模拟试题【附答案】

南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试地理一、选择题（一）单项选择题：共18小题，每小题2分，共36分。

在各小题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

右图为2019年10月18日9：00（北京时间）拍摄的某校运动会照片。

据此完成l～2题。

1．根据材料，可以推断A．当地的经纬度 B．运动员奔跑方向C．该地的正午太阳高度 D．该地的昼长2．此后的一周A．地球公转速度越来越慢B．南京昼夜长短的差值变小C．伦敦正午太阳高度逐渐增大D。

悉尼昼长夜短，且昼渐长夜渐短断层分水平运动和垂直运动两大类。

左图为某地地质构造示意图。

右圈为美国西海岸被湖泊所占据的圣安地列斯断层。

读图回答3—4题。

3．左图中A．岩层的形成顺序是③②①④C．河流出现在①形成之前B．⑤可能是玄武岩D．Tl、T2的形成是由于地壳抬升4．圣安地列斯断层A．类似于左图中C断层 B．其西侧为断块山C．湖泊可能有泉水出露补给 D. 标志着美洲板块相对于太平洋板块向北运动街谷由街道两侧建筑群和路面构成，研究街谷的空气运动和热力性质对缓解热岛效应和城市污染物扩散具有重要意义。

我国某研究团队在北京选择一街谷开展研究，该街谷为东西向街道，宽26m，南北两侧为长、宽、高40m×14m×20m的均质、长方体建筑，建筑物和街道都是正向排列。

研究人员根据测量结果绘制了该街谷在夏至日13:00沿南北方向垂直剖面上的温度分布。

读图，完成5—6题。

5．图示时刻，街谷中①②③④四地温度由高到低的是A.②①④③B.③③①④ c.⑨①②④ D.②④③①6．只考虑热力条件，关于图中⑧⑤两处相对方位及气流运动方向判断正确的是A．③处偏北，气流上升 B．③处偏南，气流下降C．⑤处偏北，气流下降 D．⑤处偏南，气流上升2019年6月，北京首条“自行车高速”。

上地至回龙观自行车专用路建成通车，该“高速”设置了潮汐车道（0-12时：回龙观一上地；12-24时：上地一回龙观）。

【最后一卷】江苏省金陵中学海安市高级中学南京外国语中学2019届高三第四次模拟考试化学试题

A. BaSO4(s)+4C(s)==BaS(s)+4CO(g)在室温时不能自发进行，说明该反应的ΔH>0
B. 因为合金在潮湿的空气中易形成原电池，所以合金耐腐蚀性都较差
C. Na2CO3溶液中加入少量Ca(OH)2固体，CO32－水解程度减小，溶液的pH减小
D. T ℃时，恒容密闭容器中发生反应：NO2(g)+SO2(g) NO(g)+SO3(g)，通入少量
A. 1 mol X 最多能与含 3 mol Br2 的浓溴水发生反应 B. X、Y 分子中所有碳原子处于同一平面 C. 一定条件下，X 可以发生加成、缩聚、消去、氧化反应 D. Y 与 H2 完全加成，每个产物分子中含有 6 个手性碳原子
12. 根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是
选项
实验操作和现象
A. 达平衡时，容器Ⅱ中 N2O4 转化率大于 50% B. 达平衡时，容器Ⅰ中 N2O4 分压比容器Ⅲ中的大 C. 达平衡时，容器Ⅰ中 N2O4 的体积分数比容器Ⅱ中的小 D. 若起始时向容器Ⅲ中充入 2molN2O4、2molNO2，达到平衡前 v(正)＞v(逆)
4
4
第Ⅱ卷（非选择题共 80 分）
O2，
c(NO) c(SO3) c(NO2 ) c(SO2 )
的值及SO2转化率不变
不定项选择题：本题包括 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分。每小题只有一．个．或．两．个．选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得 0 分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得 2 分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得 0 分。 11. 一种 2−甲基色酮内酯(Y)可通过下列反应合成：

江苏省南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2025届化学高二上期末联考试题含答案

江苏省南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2025届化学高二上期末联考试题含答案考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、已知反应A+3B=2C+D在一分钟内A的物质的量浓度由2mol/L降为1mol/L，C的平均反应速率为A．1mol/(L·s)B．3 mol/(L·min)C．4mol/(L·s)D．2mol/(L·min)2、N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是（）A．1 mol甲醇分子中含有的共价键数为4 N AB．将9.2g甲苯加入足量的酸性高锰酸钾溶液中转移的电子数为0.6N AC．1.0 mol CH4与足量的Cl2在光照下反应生成的CH3Cl分子数为1.0N AD．标准状况下，11.2 L庚烷完全燃烧后生成的CO2分子数为3.5 N A3、将溶液(或气体)X逐渐加入(或通入)到一定量的Y溶液中，产生沉淀的质量与加入X的物质的量关系如图所示，符合图中情况的一组物质是X Y溶液A Ba(HCO3)2溶液NaOH溶液B KOH溶液Mg(HSO4)2溶液C Na2CO3溶液CaCl2溶液D CO2气体石灰水A．A B．B C．C D．D4、向装有M的试管中加入或通入N至过量试管内会有沉淀的是A B C DM Ca(OH)2溶液AlCl3溶液NaAlO2溶液Mg(OH)2悬浊液N CO2氨水盐酸NH4Cl饱和溶液A．A B．B C．C D．D5、下列化学用语表达正确的是A．一氯乙烷的结构式CH3Cl B．丁烷的结构简式CH3(CH2)2CH3C．四氯化碳的电子式D．苯的分子式6、已知K2Cr2O7溶液中存在如下平衡:Cr2O72-(aq,橙色)+H2O(l) 2H+(aq)+2CrO42-(aq,黄色)，现进行如下实验:①向试管中加入4 mL 0.1mol/L K2Cr2O7溶液，再滴加1mol/LNaOH溶液至稍过量;②向①所得溶液中滴加1mol/LHNO3溶液至稍过量。

江苏专版2020届高三数学一轮复习《统计与概率》典型题精选精练附答案详析

江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y期望．4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。

2019高考化学难点剖析专题24NO、NO2的性质及污染处理讲解

专题24 NO、NO2的性质及污染处理一、高考题再现1．（2018课标Ⅱ）研究表明，氮氧化物和二氧化硫在形成雾霾时与大气中的氨有关（如下图所示）。

2．（2018课标Ⅰ）采用N2O5为硝化剂是一种新型的绿色硝化技术，在含能材料、医药等工业中得到广泛应用。

回答下列问题（1）1840年 Devil用干燥的氯气通过干燥的硝酸银，得到N2O5。

该反应的氧化产物是一种气体，其分子式为___________。

（2）F. Daniels等曾利用测压法在刚性反应器中研究了25℃时N2O5(g)分解反应：其中NO2二聚为N2O4的反应可以迅速达到平衡。

②研究表明，N2O5(g)分解的反应速率。

t=62 min时，测得体系中p O2=2.9 kPa，则此时的=________kPa，v=_______kPa·min−1。

③若提高反应温度至35℃，则N2O5(g)完全分解后体系压强p∞(35℃)____63.1 kPa（填“大于”“等于”或“小于”），原因是________。

④25℃时N2O4(g)2NO2(g)反应的平衡常数K p=_______kPa（K p为以分压表示的平衡常数，计算结果保留1位小数）。

金海南三校联考试卷

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学11.已知集合A ={－1，0，2}，B ={x |x ＝2n －1，n ∈Z}，则A ∩B = .2.已知复数z 1=1－2i ，z 2=a ＋2i(其中i 为虚数单位，a ∈R ).若z 1·z 2是纯虚数，则a 的值为 .3.从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a .从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ，则a ≤b 的概率为 .方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 .5.右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 .6.若函数f (x )=sin(ωx )(0ω>)在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递增，则ω的值为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>C的渐近线方程为 .8.已知实数x ，y 满足10,30,330.x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则当2x －y 取得最小值时，x 2＋y 2的值为 .9.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y =e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c =0经过点P ，且与曲线C 在点P 处的切线垂直，则实数c 的值为 .10.设x >0，y >0，向量a =(1－x ，4)，b =(x ，－y )，若a //b ，则x ＋y 的最小值为 .11.已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x <0时，f (x )=x (x －1).则关于m 的不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0的解集为 .12.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =na n －3n (n －1)(n ∈N*)且a 2=11，则S 20= .13.在△ABC 中，已知sin A =13sin B sin C ，cos A =13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 . 14.在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B 为函数f (x )=1－x 2的图象与x 轴的两个交点，C ，D 为函数f (x )的图象上的两个动点，且C ，D 在x 轴上方(不含x 轴)，则AC BD ⋅的取值范围为 .15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.若a cos B=1，b sin A，且A－B＝4．(1)求a的值；(2)求tan A的值.16.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E、F分别为棱AB、AC上的点，点G 为棱AD的中点，且平面EFG//平面BCD.求证：(1)EF=12BC；(2)平面EFD⊥平面ABC.ABCDGEF17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计)，易拉罐的体积为108π mL，设圆柱的高度为h cm，底面半径为r cm，且h≥4r，假设该易拉罐的制造费用仅与前表面积相关.已知易拉罐的侧面制造费为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用为n元/cm2 (m，n 为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式，请求求定义域；(2)求易拉罐制造费最低时r(cm)的值.18.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左准线为l，P为椭圆上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A.(1)若b=1，且b<c，直线l的方程为x=－52．①求椭圆C的方程；②是否存有点P，使得110FPFQ=？若存有，求出点P的坐标；若不存有，说明理由；(2)设直线FP圆O：x2＋y2=a2交于M、N两点，求证：直线AM，AN均与圆O相切.19.设函数f(x)=(x－a)ln x－x＋a，a∈R.(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；(2)若a<0，试判断函数f(x)在区间(e－2，e2)内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a，都存有实数t，满足：对任意的x∈(t,t＋a)，f(x)<a－1.20.定义：从一个数列{a n}中抽取若干项(很多于三项)按其在{a n}中的次序排列的一列数叫做{a n}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n}的等差(比)子列.(1)求数列11111,,,,2345的等比子列；(2)设数列{a n}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1.①试给出一个{a n}，使其存有无穷项的等差子列(不必写出过程)；②若{a n}存有无穷项的等差子列，求q的所有可能值.江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学221B.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A =cos sin (02)sin cos θθθπθθ-⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所的曲线矩阵B =10(01)0k k ⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦所对的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求k ，θ的值.21C.在极坐标系中，已知A (1,)3π，B (9,)3π，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积.22.如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=(λ∈R )，且向量PC 与BD夹角的余弦值为15. (1)求λ的值；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.设数列{a n }的通项公式]n n n a =-，n ∈N*，记S n =11n C a ＋22n C a ＋…＋nn n C a ．(1)求S 1，S 2的值；(2)求所有正整数n ，使得S n 能被8整除.BPDCA数学参考答案及评分标准 2015.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相对应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的水准决定给分，但不得超过该部分准确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生准确做到这个步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{－1} 2．－4 3．89 4．100 5．10116．32 7．y ＝±3x 8．5 9．－4－ln2 10．9 11．[0，1) 12．1240 13．196 14．(－4，332－94]【解析】： 1．答案：{－1}．2．因为z 1·z 2＝(1－2i)(a ＋2i)＝a ＋4＋(2－2a )i ，所以a ＋4＝0，a ＝－4．3．a ＞b 的取法只有一种：a ＝3，b ＝2，所以a ＞b 的概率是19，a ≤b 的概率是1－19＝89．4．根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[(0.0125＋0.025＋0.0125)×5]×400＝100(件)． 5．S ＝0＋11×2＋12×3＋…＋110×11＝(1－12)＋(12－13)6．由已知条件得f (x )＝sin(ωx )的周期T 为4π3，所以7．因为(c a )2＝1＋(b a )2＝10，所以ba ＝38．令z ＝2x －y ，如图，则当直线z ＝2x －y x ＋y －3＝0的交点A 时，z 取得最小值．此时x 2＋y 2＝5．9．由题意y'＝e x ，所求切线的斜率为2，设切点为以x 0＝ln2，y 0＝e ln2＝2．所以直线x ＋2y ＋c ＝010．因为a ∥b ，所以4x ＋(1－x )y ＝0，又x ＞0，y ＞0，所以1x ＋4y ＝1，故x ＋y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥9．当y x ＝4x y ，1x ＋4y＝1同时成立，即x ＝3，y ＝6时，等号成立．(x ＋y )min ＝9． 11．由题意，奇函数f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，即f (1－m )＜f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤1－m 2≤1，1－m ＞m 2－1，解得m ∈[0，1)．12．由S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－3×2(2－1)和a 2＝11，可得a 1＝5．解法1：当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝na n －3n (n －1)－[(n －1)a n －1－3(n －1)(n －2)]，所以(n －1)a n －(n －1)a n －1＝6(n －1)，即a n －a n －1＝6(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是首项a 1＝5，公差为6的等差数列，所以S 20＝20×5＋20×192×6＝1240．解法2：当n ≥2时，由S n ＝na n －3n (n －1)＝n (S n －S n －1)－3n (n －1)，可得(n －1)S n －nS n －1＝3n (n －1)，所以S n n －S n －1n －1＝3，所以数列{S n n }是首项S 11＝5,公差为3的等差数列，所以S 2020＝5＋3×19＝62，即S 20＝1240．13．由题意cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，两式相减得tan A＝tan B tan C ，又由cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin A sin B －cos A cos B ，所以sin A sin B ＝14cos A cos B ，所以tan B tan C ＝14．又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196．14．由题意A (－1，0)，B (1，0)，设C (x 1，1－x 12)，D (x 1，1－x 12)，－1＜x 1，x 2＜1，则AC →·BD →＝(x 1＋1)(x 2－1)＋(1－x 12)(1－x 22)＝(x 2－1)[(x 2＋1)x 12＋x 1－x 2]．记f (x )＝(x 2＋1)x 2＋x －x 2，－1＜x ＜1．（1）当－1＜x 2≤－12时，则0＜2(x 2＋1)≤1，－12(x 2＋1)≤－1，又x 2＋1＞0，所以f (x )在(－1，1)上单调递增，因为f (－1)＝0，f (1)＝2，所以0＜f (x )＜2．又x 2－1＜0，所以2(x 2－1)＜AC →·BD→＜0．根据－1＜x 2≤－12，则－4＜AC →·BD →＜0．（2）当－12＜x 2＜1时，则1＜2(x 2＋1)＜1，－1＜－12(x 2＋1)＜－14．又x 2＋1＞0，所以f (x )在(－1，1)上先减后增，x ＝－12(x 2＋1)时取的最小值f (－12(x 2＋1))＝－[x 2＋14(x 2＋1)]，又f (1)＝2，所以x 2＋14(x 2＋1)＜f (x )＜2．又x 2－1＜0，所以2(x 2－1)＜AC →·BD →≤[x 2＋14(x 2＋1)](1－x 2)．令g (x )＝x (1－x )＋1－x 4(x ＋1)，则g (x )＝－x 2＋x －14＋12(x ＋1)，g'(x )＝1－2x －12 (x ＋1)2＝－4x 3＋6x 2－12(x ＋1)2＝－(2x ＋1)(x －3－12)(x ＋3＋12)2(x ＋1)2，当－12＜x ＜3－12时，g'(x )＞0；3－12＜x ＜1时g'(x )＜0；所以g (x )在(－12，1)上先增后减，所以g (x )max ≤g (3－12)＝332－94．又2(x 2－1)＞－3，所以－3＜AC →·BD →≤332－94．综上，AC →·BD →的取值范围是(－4，332－94]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，① …………………………………………………… 2分又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， ………………………………………… 4分因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以a ＝3（负值已舍）；……………………………………………………… 6分（2）①，②两式相除，得sin Bcos B＝2,即tan B ＝2,…………………………………………………8分因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ………………………………………………………12分A BCDE FG＝1＋21－2＝－3－22．………………………………………………………14分16．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ， ………………………………… 4分又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得，F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC ．……………………………… 7分（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ，又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD ， ……………………………………………………………………… 12分又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ． ……………………………………………………………………14分17．解：（1）由题意，体积V ＝πr 2h ，得h ＝V πr2＝108r 2．y ＝2πrh ×m ＋2πr 2×n ＝2π (108mr ＋nr 2)． ……………………………………………………4分因为h ≥4r ，即108r 2≥4r ，所以r ≤3，即所求函数定义域为(0，3]．…………………6分（2）令f (r )＝108m r ＋nr 2，则f'(r )＝－108mr 2＋2nr ．由f'(r )＝0，解得r ＝332mn．①若32mn ＜1，当n ＞2m 时，332mn∈(0，3]，由得，当r ＝332mn时，f (r )有最小值，此时易拉罐制造费用最低． …………………10分②若32mn≥1，即n ≤2m 时，由f'(r )≤0知f (r )在(0，3]上单调递减，当r ＝3时，f (r )有最小值，此时易拉罐制造费用最低．……………………………14分18．解：（1）（i ）由题意，b ＝1，a 2c ＝52，又a 2＝b 2＋c 2，所以2c 2－5c ＋2＝0，解得c ＝2，或c ＝12(舍去)．故a 2＝5．所求椭圆的方程为x 25＋y 2＝1．…………………………………………………3分（ii ）设P (m ，n )，则m 25＋n 2＝1，即n 2＝1－m 25．当m ＝－2，或n ＝0时，均不符合题意；当m ≠－2，n ≠0时，直线FP 的斜率为nm ＋2，直线FP 的方程为y ＝nm ＋2(x ＋2)．故直线AO 的方程为y ＝－m ＋2n x ，Q 点的纵坐标y Q ＝2n (m ＋2)(m ＋2)2＋n 2．…………………………………………………5分所以FP FQ ＝|ny P |＝|(m ＋2)2＋n 22(m ＋2)|＝|(m ＋2)2＋1－m 252(m ＋2)|＝|4m 2＋20m ＋2510(m ＋2)|．令FP FQ ＝110，得4m 2＋21m ＋27＝0 ①，或4m 2＋19m ＋23＝0 ② ． ………………………7分由4m 2＋21m ＋27＝0，解得m ＝－3，m ＝－94，又－5≤m ≤5，所以方程①无解．由于△＝192－4×4×23＜0，所以方程②无解，故不存在点P 使FP FQ ＝110．………………………………………………………………10分（3）设M (x 0，y 0)，A (－a 2c ，t )，则FM →＝(x 0＋c ，y 0)，OA →＝(－a 2c ，t )．因为OA ⊥FM ，所以FM →·OA →＝0，即(x 0＋c )(－a 2c )＋ty 0＝0，由题意y 0≠0，所以t ＝x 0＋c y 0·a 2c ．所以A (－a 2c ，x 0＋c y 0·a 2c)．……………………………………………………12分因为AM →＝(x 0＋a 2c ，y 0－x 0＋c y 0·a 2c )，OM →＝(x 0，y 0)，所以AM →·OM →＝(x 0＋a 2c )x 0＋(y 0－x 0＋c y 0·a 2c )y＝x 02＋y 02＋a 2c x 0－x 0＋c y 0·a 2c y 0 ＝x 02＋y 02＋a 2c x 0－a 2cx 0－a 2 ＝x 02＋y 02－a 2．因为M (x 0，y 0)在圆O 上，所以AM →·OM →＝0． ………………………………………………15分即AM ⊥OM ，所以直线AM 与圆O 相切．同理可证直线AN 与圆O 相切．……………………………………………………16分19．解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． …………………………3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f ’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e－a ，…………………………5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，f’(e －2)＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有两个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有一个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ………………………10分（3）猜想：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……………………………………………11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． …………………………………………13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1．……………………………………………15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1． ……………………………………………16分20．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2 N *；…… 3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ………………………………………………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………………………7分（ii ）设{a n k}(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q |＞1时，|q |n ＞1，取n k ＞1＋log |q ||d ||a 1|(|q |－1)，从而|q |n k－1＞|d ||a 1|(|q |－1)，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1qn k ＋1－1－a 1qn k －1|＝|a 1||q |n k －1·|qn k ＋1－n k－1|≥|a 1||q |n k －1(|q |－1)＞|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去； ………………………………………………………12分当|q |＜1时，|q |n ＜1，取n k ＞1＋log |q ||d |2|a 1|，从而|q |n k－1＜|d |2|a 1|，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1||q |n k －1|qn k ＋1－n k－1|≤|a 1||q |n k －1||q |n k ＋1－n k＋1|＜2|a 1||q |n k －1＜|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1．……………………………………………………16分数学附加题参考答案及评分标准 2015.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解:延长AO ､AD ，分别交圆O 于点E ､F ，连接EF ､BF ．因为AE 为圆O 的直径，所以∠AFE ＝90°，又AD ⊥BC ，所以EF //BC ，所以∠CBF ＝∠BFE ，又∠CBF ＝∠CAF ，∠BAE ＝∠BFE ，所以∠CAF ＝∠BAE ，∠CAO ＝∠BA D ．在△ABC 中，AB ＝4，AD ＝2，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝60°，所以∠CAO ＝60°．……………………………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：依题意，BA ＝⎣⎡⎦⎤1 00 k ⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， …………………………………… 5分从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0－sin θ＝－1，k sinθ＝12，k cosθ＝0．因为0＜θ＜2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2 ，k ＝12．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π3)，……………………………………………………2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，EF所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……………………………………………………6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)．…………………………………………………… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2) ≤4(|a |＋2)． ……………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz （如图），则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)，……………………………………2分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2，0)，则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0，即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0，所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …………………………………… 8分又易得PB →＝(1，0，－2)，（第22题）故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……………………………………10分23．解：（1）S 1＝C 11f 1＝1，S 2＝C 12f 1＋C 22f 2＝3．……………………………………2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi)＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi )＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n]．……………………………………6分注意到(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n －(3－52)n ]}＝3S n ＋1－S n ．因此，S n ＋2除以8的余数完全由S n ＋1，S n 除以8的余数确定．由（1）可以算出{S n }各项除以8的余数依次是1，3，0，5，7，0，1，3，…，这是一个以6为周期的周期数列．从而S n 能被8整除，当且仅当n 能被3整除． (10)。

江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2017届高三历史第四次模拟考试试题(含解析)

江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2017届高三历史第四次模拟考试试题（含解析）第I卷（选择题共6O分）一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共计60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1. 有学者认为：“政治与血缘的结合，看似牢不可破，其实不然。

既然周天子授土授民给诸侯叫做‘建国’，诸侯授土授民给卿大夫叫做‘立家’，因此对于士、庶民而言，就有‘国’与‘家’的对立，他们把自己的宗族称为‘家’，只知效忠于‘家’，而不知效忠于‘国’。

”该学者揭示了A. 分封制隐含着国家分裂割据的因素B. 宗法制与分封制是互为表里的关系C. 宗法制是古代中国政治制度的核心D. 分封制在历史上的作用是弊大于利【答案】A【解析】试题分析：根据题干信息士、庶民“把自己的宗族称为‘家’，只知效忠于‘家’，而不知效忠于‘国’”，可见分封制隐含着国家分裂割据的因素，故A项正确。

宗法制与分封制是互为表里，但与材料主旨无关，故B项错误；宗法制是古代中国政治制度的核心在题干中没有体现，故C项错误；分封制在历史上的作用有弊有利，但从材料无法推断其利弊大小，故D项错误。

考点：古代中国的政治制度·商周时期的政治制度·分封制。

【名师点睛】在分封制下，受封的诸侯具有很大的独立性。

西周后期，诸侯国势力日益壮大，王权衰弱，分封制遭到破坏。

春秋时期，诸侯争霸，分封制逐渐瓦解；战国时期，各国推行变法，分封制开始被废除；秦朝统一后即全面被郡县制所代替。

2. 唐以前的政治家和都城建筑的设计者，为了确保都城内部的安全，都主张采用封闭式的结构。

到唐宋之际，都城制度发生重大的变化，就是从封闭式变成了开放式。

出现这一变化的原因是A. 中央集权和君权至上思想的弱化B. 领土领域和城市人口的缩减C. 城市经济发展和市民阶层的活跃D. 理学思想和土地兼并的盛行【答案】C【解析】试题分析：据材料提到，在唐宋之际，都城制度发生重大的变化，就是从封闭式变成了开放式。

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届

江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷2016.05数学Ⅰ试题1234567－15b |a －b | 的值为 ▲ ．8．现用一半径为10 2 cm ，面积为1002π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9．已知实数x y ，满足x 23＋y 2＝1，则u ＝|3x ＋3y －7|的取值范围为 ▲ ． 10．已知0＜α＜β＜π，且cos αcos β＝16，sin αsin β＝13，则tan(β－α)的值为 ▲ ．11．在平面直角坐标xOy 中，已知A (1，0)，B (4，0)，直线x －y ＋m ＝0上存在唯一的点P 满足P A PB ＝12，则实数m 的取值集合是 ▲ ．（第5题）12．已知{a n }为等差数列，{a n ＋1}为等比数列，且a 1＝3，则n =1∑9a n的值为 ▲ ．13．已知8a 3＋9a ＋c ＝0，b 3－13b －c ＝0，其中a ，b ，c 均为非零实数，则ab 的值为 ▲ ．14．如图，在凸四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，且AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则当∠ABC 变化时，线段BD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知tan α＝2，cos β＝－ 7210，且α，β∈(0，π)．（1）求cos2α的值；（2）求2α－β的值． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ． 17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P (m ，n )的直线mx a 2＋nyb 2＝1与圆x 2＋y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA ＝2．（1）求PF 1＋PF 2值；（2）若AB →⋅F 1F 2→＝83，求m ，n 的值．18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ；方案二如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；ABCD（第14题）C（第16题）（第17题）（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a (|sin x |＋|cos x |)－sin2x －1，a ∈R（1）写出函数f (x )的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数f (x )的最大值；（3）当a ＝1时，若函数f (x )在区间(0，k π)(k ∈N *)上恰有2015个零点，求k 的值． 20．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝a 3＝k （常数k ＞0），a n ＋1＝k ＋a n a n －1a n －2（n ≥3，n ∈N *）．数列{b n }满足：b n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1（n ∈N *）．（1）求b 1，b 2，b 3，b 4的值；（2）求出数列{b n }的通项公式；（3）问：数列{a n }的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学试卷2016.05数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC ＝2，CD 切半圆O 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE :EB ＝3:1，求DE 的长．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －71-⎣⎢⎡⎦⎥⎤311-C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知点P 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝3sin θ（θ为参数）上，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t （t 为参数），求P 到直线l 距离的最小值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)求函数f (x )＝4x ＋11－4x ，x ∈(0，14)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0＜p ＜1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。

高中数学应用题冲刺提分作业---含答案

⾼中数学应⽤题冲刺提分作业---含答案函数应⽤题1.(2019锡⼭⾼级中学实验学校检测,17)为建设美丽乡村,政府欲将⼀块长12百⽶,宽5百⽶的矩形空地ABCD 建成⽣态休闲园,园区内有⼀景观湖EFG(图中阴影部分),以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建⽴平⾯直⾓坐标系xOy(如图所⽰).景观湖的边界线符合函数y=x+1x (x>0)模型,园区服务中⼼P 在x 轴正半轴上,PO=43 百⽶.(1)若在点O 和景观湖边界曲线上⼀点M 之间修建⼀条休闲长廊OM,求OM 的最短长度; (2)若在线段DE 上设置⼀园区出⼝Q,试确定Q 的位置,使通道PQ 最短.2.(2018江苏丹阳中学等三校⾼三下学期联考(实验班))2017年6⽉以来,某地区多次爆发“流感”疫情,引起某种消毒液热销.该消毒液原来每瓶的成本为8元,售价为10元,⽉销售量为6万瓶. (1)据市场调查,若售价每提⾼0.5元,则⽉销售量相应减少0.4万瓶,要使提价后⽉利润不低于原来的⽉利润,则消毒液每瓶售价最⾼为多少元?(2)为了提⾼⽉利润,⼚家决定下⽉投⼊部分资⾦进⾏⼴告促销,计划每瓶的售价为x(x ≥12)元,并投⼊345(x-12)万元作为⼴告费⽤.据市场调查,售价每瓶每提⾼0.5元,⽉销售量将相应减少1.8(x -10)2万瓶.当售价x 为多少元时,下⽉利润最⼤?并求出最⼤利润.答案精解精析1.解析 (1)设M (x ,x +1x ),则OM 2=x 2+(x+1x )2=2x 2+1x 2+2≥2√2+2,当且仅当2x 2=1x 2,即x 2=√22时取等号,∴OM 的最短长度为√2√2+2百⽶. (2)过P 作函数y=x+1x 图象的切线l, 设切线l 的⽅程为y=k (x -43)(k<0), 联⽴得{y =k (x -43),y =x +1x , 整理得(1-k)x 2+4k3x+1=0,令Δ=169k 2-4(1-k)=0,得k=-3或k=34(舍去), ∴直线l 的⽅程为y=-3(x -43). 令y=5,得x=-13,∴DQ=6-13=173(百⽶). ∴当DQ=173 百⽶时,通道PQ 最短.2.解析 (1)设每瓶售价提⾼a 个0.5元,由题意得,(10+0.5a-8)(6-0.4a)≥(10-8)×6,解得0≤a ≤11,所以a=11时,最⾼售价10+11×0.5=15.5(元),所以最⾼售价为15.5元.(2)由题意,下⽉利润为y=(x-8)[6-x -100.5×1.8(x -10)2]-345(x-12)=(x-8)[6-185(x -10)] -345(x-12). y=-15×4x 2-190x+1 536x -10,y'=-45×x 2-20x+91(x -10)2=-45×(x -7)(x -13)(x -10)2.令y'=0,得x=7(舍)或x=13,则当120,当x>13时,y'<0, 所以x=13时,y 取最⼤值,此时y=17.2.答:当每瓶售价为13元时,下⽉利润最⼤,最⼤利润为17.2万元.三⾓函数应⽤题1.(2018苏州学业阳光指标调研)如图,B,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C 之间的距离为100 km,海岛A 在城市B 的正东⽅50 km 处.从海岛A 到城市C,先乘船按北偏西θ⾓(α<θ≤π2,其中锐⾓α的正切值为12)航⾏到海滨公路P 处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h,车速为75 km/h. (1)试建⽴由A 经P 到C 所⽤时间与θ的函数解析式; (2)试确定使所⽤时间最少的登陆点P 的位置,并说明理由.2.(2018徐州铜⼭⾼三年级第三次模拟)某三甲医院开展⽤直升机接送危重病⼈业务,为了保证直升机降落准确、安全地降落,在门诊楼AB和综合楼CD的楼上安装导航标志,已知两楼的地⾯距离AC=50 m,在A,C之间取⼀导航标志观测点P,当点P在AC中点时,测得两楼顶导航标志的张⾓∠BPD=45°,∠ACB=45°,如图.(1)求两导航标记距离地⾯的⾼度AB,CD;(2)要使在点P处看两楼顶导航标志的张⾓∠BPD最⼤,点P应在何处?答案精解精析1.解析 (1)由题意,船航⾏的⽅位⾓为θ,所以∠BAP=90°-θ,AB=50 km,则AP=50cos (90°-θ)=50sinθkm,BP=50tan(90°-θ)=50sin (90°-θ)cos (90°-θ)=50cosθsinθkm,∴PC=100-BP=(100-50cosθsinθ) km,由A 到P 所⽤的时间为t 1=AP25=2sinθ, 由P 到C 所⽤的时间为t 2=100-50cosθsinθ75=43-2cosθ3sinθ,所以由A 经P 到C 所⽤时间与θ的函数关系式为f(θ)=t 1+t 2=2 sinθ+43-2cosθ3sinθ=6-2cosθ3sinθ+43.函数f(θ)的定义域为(α,π2],其中锐⾓α的正切值为12. (2)由(1), f '(θ)=6-18cosθ9sin 2θ,令f '(θ)=0,解得cos θ=13,设θ0∈(α,π2],其中cos θ0=13,列表如下: θ (α,θ0) θ0 (θ0,π2] f '(θ) -+ f(θ)↘极⼩值↗所以,当θ=θ0时,函数f(θ)取得最⼩值,此时BP=50cos θ0sin θ0 =25√22(km).答:在BC 上选择距离B 点km 处为登陆点,所⽤时间最少.2.解析 (1)因为点P 是AC 中点, AC=50 m,所以AP=PC=25 m.在Rt △ABC 中,AC=50 m,∠ACB=45°,可得AB=AC=50 m, 在Rt △APB 中,tan ∠APB=AB AP =50 25=2, 在Rt △CPD 中,tan ∠DPC=CD PC =CD25. 因为∠BPD=45°,所以∠APB+∠DPC=135°,于是tan(∠APB+∠DPC)=tan ∠APB+tan ∠DPC1-tan ∠APB ·tan ∠DPC=2+CD 251-2·CD 25=-1,解得CD=75 m.(2)设AP=x m,则PC=(50-x) m, 在Rt △APB 中,tan ∠APB=AB AP =50x , 在Rt △CPD 中,tan ∠DPC=CDPC =7550-x ,于是tan ∠BPD=tan(180°-∠APB-∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)=-tan ∠APB+tan ∠DPC 1-tan ∠APB ·tan ∠DPC=-50x +7550-x 1-50x ·7550-x=25(x+100)x -50x+50×75,设100+x=t,则tan ∠BPD=f(t)=25tt 2-250t+252×30,f(t)=25t+252×30t-250≤2√t ·252×30t-250=2√30-10,当且仅当t=时,不等式取等号,于是当t=25√30时,函数f(t)取最⼤值,此时100+x=25√30,x=25√30-100, ⼜因为t 2-250t+252×30>0恒成⽴, 所以tan ∠BPD=f(t)>0,从⽽∠BPD ∈(0,π2),⽽正切函数在(0,π2)上为增函数,所以当f(t)取最⼤值时,∠BPD 也最⼤.与⼏何相关的应⽤题1.(2018南京⾦陵中学、海安⾼级中学、南京外国语学校⾼三模拟)如图,OM,ON 是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中OM 为东西⾛向,Q 为景区内⼀景点,A 为道路OM 上⼀游客休息区.已知tan ∠MON=-3,OA=6百⽶,Q 到直线OM,ON 的距离分别为3百⽶,6√105百⽶.现新修⼀条⾃A 经过Q 的有轨观光直路并延伸与道路ON 交于点B,并在B 处修建⼀游客休息区. (1)求有轨观光直路AB 的长;(2)已知在景点Q 的正北⽅6百⽶的P 处有⼀⼤型⾳乐喷泉组合,喷泉表演⼀次的时长为9分钟.表演时,喷泉喷洒区域以P 为圆⼼,r 为半径且变化,且t 分钟时,r=2√at 百⽶(0≤t ≤9,02.(2018淮海中学⾼三3⽉模拟)如图,某⼩区中央⼴场由两部分组成,⼀部分是边长为80 m的正⽅形ABCD,另⼀部分是以AD为直径的半圆,其圆⼼为O.规划修建的3条直道AD,PB,PC 将⼴场分割为6个区域:I、III、V为绿化区域(图中阴影部分),II、IV、VI为休闲区域,其中点P 在半圆弧上,AD分别与PB,PC相交于点E,F.(道路宽度忽略不计)(1)若PB经过圆⼼,求点P到AD的距离;).(2)设∠POD=θ,θ∈(0,π2①试⽤θ表⽰EF的长度;②当sin θ为何值时,绿化区域⾯积之和最⼤.答案精解精析1.解析(1)以点O为坐标原点,直线OM为x轴,建⽴平⾯直⾓坐标系xOy,如图所⽰.则由题意得A(6,0),直线ON 的⽅程为y=-3x,Q(x 0,3)(x 0>0), 由0√105,解得x 0=3(负值舍去),所以Q(3,3).故直线AQ 的⽅程为y=-(x-6),即x+y-6=0,联⽴{y =-3x ,x +y -6=0,解得x=-3,y=9,即B(-3,9). 所以AB=9√2.(2)将喷泉记为圆P,由题意可得P(3,9), 设t 分钟时,观光车在直路AB 上的点C 处, 则BC=√2t,0≤t ≤9,所以C(-3+t,9-t).若喷泉不会喷洒到观光车上,则PC 2>r 2对t ∈[0,9]恒成⽴, 即PC 2=(6-t)2+t 2=2t 2-12t+36>4at, 当t=0时,上式成⽴; 当t ∈(0,9]时,2at -6,(t +18t-6)min=6√2-6,当且仅当t=3√2时取等号,因为a ∈(0,1),所以r2.解析以AD 所在直线为x 轴,以线段AD 的中垂线为y 轴建⽴平⾯直⾓坐标系. (1)直线PB 的⽅程为y=2x,半圆O 的⽅程为x 2+y 2=402(y ≥0), 由{ y =2x ,x 2+y 2=402(y ≥0),得y=16√5.所以点P 到AD 的距离为16√5 m.(2)①由题意,得P(40cos θ,40sin θ). 直线PB 的⽅程为y+80=sinθ+2cosθ+1(x+40), 令y=0,得x E =80cosθ+80sinθ+2-40=80cosθ-40sinθsinθ+2.直线PC 的⽅程为y+80=sinθ+2cosθ-1(x-40), 令y=0,得x F =80cosθ-80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2.所以EF 的长度为f(θ)=x F -x E =80sinθsinθ+2,θ∈(0,π2).②区域IV 、VI 的⾯积之和为S 1=12×(80-80sinθsinθ+2)×80=6 400sinθ+2, 区域II 的⾯积为S 2=12·EF ·40sin θ=12×(80sinθsinθ+2)×40sin θ=1 600sin 2θsinθ+2,所以S 1+S 2=1 600sin 2θ+6 400sinθ+2(0<θ<π2).设sin θ+2=t,则21 600(t -2)2+6 400t=1 600(t +8t -4)≥1 600(4√2-4)=6 400(√2-1),当且仅当t=2√2,即sin θ=2√2-2时“=”成⽴.此时休闲区域II 、IV 、VI 的⾯积和S 1+S 2最⼩,即绿化区域⾯积之和最⼤.函数应⽤题1.(2018江苏南京多校⾼三段考)已知集合A={-1,2,2m-1},集合B={2,m 2},若B ?A,则实数m= .2.(2019南京、盐城⼆模,6)等差数列{a n }中,a 4=10,前12项的和S 12=90,则a 18的值为 .3.已知向量a=(cos x,sin x),b=(√2,√2),a ·b=85,则cos (x -π4)= .4.若f(x)=x 2-2x-4ln x,则f '(x)>0的解集为 .5.(2019海安第⼀学期期中,12)已知函数f(x)=log 21-kxx -1(k ∈R)为奇函数,则不等式f(x)<1的解集为 .6.(2019苏州期末,9)如图,某种螺帽是由⼀个半径为2的半球体挖去⼀个正三棱锥构成的⼏何体,该正三棱锥的底⾯三⾓形内接于半球底⾯⼤圆,与底⾯相对的顶点在半球⾯上,则被挖去的正三棱锥的体积为 .7.(2019徐州期中,8)已知函数f(x)=2sin (2x -π3),若f(x 1)·f(x 2)=-4,且x 1,x 2∈[-π,π],则x 1-x 2的最⼤值为 .8.(2018江苏南通海安⾼级中学⾼三阶段检测) 在平⾯直⾓坐标系xOy 中,若点(m,n)在圆x 2+y 2=4外,则直线mx+ny=4与椭圆x 25+y 24=1的公共点的个数为 .9.某⼯⼚利⽤辐射对⾷品进⾏灭菌消毒,现准备在该⼚附近建⼀职⼯宿舍,并对宿舍进⾏防辐射处理,防辐射材料的选⽤与宿舍到⼯⼚的距离有关.若建造宿舍的所有费⽤p(万元)和宿舍与⼯(0≤x≤8),当距离为1 km时,测算宿舍建造费⽤为100万元.为⼚的距离x(km)的关系为p=k3x+5了交通⽅便,⼯⼚与宿舍之间还要修⼀条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路⾯每千⽶成本为6万元,设f(x)为建造宿舍与修路费⽤之和.(1)求f(x)的表达式;(2)宿舍应建在离⼯⼚多远处,可使总费⽤f(x)最⼩?并求最⼩值.答案精解精析1.答案 1解析由题意知m2=2m-1,所以m=1.2.答案-4解析依题意,得{a4=a1+3d=10,S12=12a1+66d=90,解得{a 1=13,d =-1,所以a 18=13+17×(-1)=-4.⼀题多解 S 12=a 1+a 122×12=90,∴a 1+a 12=15,∴a 4+a 9=15,⼜a 4=10,∴a 9=5,∴a 9-a 4=5d=-5,∴d=-1, ∴a 18=a 4+14d=10-14=-4. 3.答案45解析因为a ·b=√2cos x+√2sin x=2cos (x -π4)=85,所以cos (x -π4)=45.4.答案 (2,+∞)解析 f(x)定义域为(0,+∞),⼜由f '(x)=2x-2-4x =2(x -2)(x+1)x>0,解得x<-1或x>2,所以f '(x)>0的解集为(2,+∞).5.答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析∵f(x)=log 21-kxx -1, ∴f(-x)=log 21+kx-x -1,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴log 21+kx-x -1=-log 21-kxx -1,即1+kx-x -1=x -11-kx , ∴1-k 2x 2=1-x 2,∴k 2=1,则k=±1.检验:当k=1时, f(x)=log 21-xx -1,不符合题意,舍去,∴k=-1,∴f(x)=log 2x+1x -1. 由f(x)<1得log 2x+1x -1<1=log 22, ∴0x -1<2,①由x+1x -1>0得x>1或x<-1. ②由x+1x -1<2得x+1x -1-2=3-xx -1<0, 解得x>3或x<1,故不等式f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 6.答案 2√3解析底⾯正三⾓形的边长为2×2×cos 30°=2√3,底⾯正三⾓形的⾯积S=12×2√3×2√3sin 60°=3√3,三棱锥的⾼h=2,则正三棱锥的体积V=13×3√3×2=2√3.7.答案 3π2解析 f(x 1)·f(x 2)=2sin (2x 1-π3)·2sin (2x 2-π3)=-4,即sin (2x 1-π3)·sin (2x 2-π3)=-1.不妨令sin (2x 1-π3)=1,sin (2x 2-π3)=-1,则x 1=12(2k π+π2+π3),k ∈Z,x 2=12(2n π-π2+π3),n ∈Z,则x 1-x 2=12(2k π-2n π+π)=12[2π(k-n)+π]=12(2m π+π),m,n,k 都是整数, 因为x 1,x 2∈[-π,π], 所以x 1-x 2∈[-2π,2π],所以x 1-x 2的最⼤值为12(2π+π)=3π2. 8.答案 2解析由点(m,n)在圆x 2+y 2=4外,得m 2+n 2>4,则圆⼼(0,0)到直线mx+ny=4的距离d=√m 2+n 2<2=r,所以直线mx+ny=4与圆x 2+y 2=4相交,⽽该圆在椭圆x 25+y 24=1内,所以直线与椭圆也相交,即直线与椭圆的公共点的个数为2. 9.解析 (1)根据题意得100=k3×1+5, ∴k=800,∴f(x)=8003x+5+5+6x,0≤x ≤8. (2)f(x)=8003x+5+2(3x+5)-5≥80-5,当且仅当8003x+5=2(3x+5),即x=5时, f(x)最⼩,最⼩值为75. 答:宿舍应建在离⼯⼚5 km 处可使总费⽤f(x)最⼩,为75万元.第22讲三⾓函数应⽤题1.在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,则b= .2.(2019南通期末三县联考,8)已知函数f(x)的周期为4,且当x ∈(0,4]时, f(x)={cos πx2,02),2则f [f (-12)]的值为 .3.(2019天⼀中学4⽉检测,6)已知双曲线x 24-y 22=1的⼀条渐近线上的⼀点P 到双曲线中⼼的距离为3,则点P 到y 轴的距离为 .4.(2018江苏南通⾼考冲刺)已知两点A(3, 2)和B(-1,4)到直线x+ay+1=0的距离相等,则实数a= .5.当x ∈(0,π2)时,函数y=sin x+√3cos x 的值域为 .6.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线⽅程为 .7.(2019海安中学检测,10)已知数列{a n }和{b n },其中a n =n 2(n ∈N *),{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n ∈N *,数列{b n }中的第a n 项等于{a n }中的第b n 项,则lg (b 1b 4b 9b 16)lg (b 1b 2b 3b 4)= .8.(2019常州期末,12)平⾯内不共线的三点O,A,B 满⾜|OA |=1,|OB |=2,点C 为线段AB 的中点,∠AOB 的平分线交线段AB 于点D,若|OC |=√32,则|OD|= . 9.(2018南京第⼀学期期中)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底⾯ABCD 是正⽅形,AC 与BD 交于点O,PC ⊥底⾯ABCD,E 为PB 上⼀点,G 为PO 的中点. (1)若PD ∥平⾯ACE,求证:E 为PB 的中点; (2)若AB=√2PC,求证:CG ⊥平⾯PBD.。

金陵中学、海安中学、南京外国语学校2013届高三第四次调研测试参考答案及评分标准

2013届金陵中学、海安中学、南京外国语学校、高三调研测试政治参考答案一、单项选择题(每小题2分，共计66分)BBAAD BCABC AADAA BBCAD BADBA CDCBA ABC二、简析题(每小题12分，共计36分)34. (1)电费计算：基本电费：100X0.3583+350X0.5583＝35.83+195.405＝231.235元加价电费：170X0.05＝8.5元（二档部分）50X0.3＝15元（三档部分）总电费：231.235+23.5＝254.735元（2分）经济意义：①供求关系与价格之间相互制约，实施峰谷分时电价是对价值规律的尊重，有利于运用价格杠杆来调节供求关系。

（2分）②实行阶梯电价，体现了科学发展观，有利于建设资源节约型和环境友好型社会。

（2分）③实行阶梯电价，有利于用户节约用电，树立正确的消费观。

（2分）（2分）（2）①制定该方案，是省政府组织领导社会主义经济建设职能中经济调节的体现。

②召开听证会，听证于民，听证为民，有利于科学民主决策和方案的实施。

③制定过程中坚持从群众中来、到群众中去的工作方法，体现对人民负责原则。

④对弱势群体的照顾，体现了人民政府为人民服务的宗旨，有利于树立政府的权威。

（答出其中3点得6分）35.答案一：赞成。

理由：文化具有多样性，文化既是民族的，也是世界的。

文化遗产，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志。

徽派古建筑捐赠到条件更好的地方去，有利于文化遗产的保护，有利于中华文化的继承和传播；有利于中外文化的交流，扩大中华文化的影响力。

（6分）答案二：反对。

理由：中华文化源远流长、博大精深。

文化遗产，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志。

徽派古建筑捐赠出国门，易造成文化遗产的流失、破坏，不利于文化遗产的保护；不利于维护我国人民对中华文化的认同感，也不利于增强民族凝聚力。

（6分）答案三：要对具体情况进行具体分析。

理由：（略）（6分）(2)这一观点没有坚持两点论，没有坚持具体问题具体分析，没有坚持辩证的否定观，属于形而上学的观点。

江苏省三校2014届高三第四次模拟考试语文试卷

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京金陵中学2014届高三年级第四次模拟考试语文试卷一、语言文字运用(15分)1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（）（3分）A．请帖／碑帖伶俜／娉婷坍圮／杞人忧天B．乘车／乘势树冠／弱冠殉情／徇私枉法C．古刹／刹那押解／解元绯闻／成绩斐然D．纤绳／纤维寥廓／纰缪起哄／哄堂大笑2．下列各句中，没有语病的一句是（）（3分）A．对于乌鲁木齐市部分公共场所接连发生不法分子用针状物刺伤市民的行为，必须依法严厉打击，切实保护人民群众安全和社会正常秩序。

B．由于高级公务员长期在政府中担任要职，形成了一个特殊的超稳定系统，结成了一个盘根错节的人际关系网。

C．约翰·霍普金斯医学院的医学专家戴维·西德朗斯基博士说：“目标明确的新药即将问世，我们得琢磨如何使用它们的途径。

”D．思想不是空想，不是幻想，不是梦想，而是搜集各种事实的根据，加以逻辑的严格审核，而后构成的一种有周密系统的精神结晶。

3．依据语境，在下面的横线上填上适当的句子。

（4分）台湾作家张大春在《大唐李白》首部曲《少年游》中梳理了李白早年的萍踪游历：身为商人之子的李白没有资格参与科考，只能另寻出路，靠干谒、投献求官，并汲汲于经营自己的名望与影响力，“以达天听”；李白留存于世的一千多首诗中，起码有五百首以上是拍达官贵人马屁的“干谒”之作；李白的四海云游，也不是寄情山水这么简单，更多是为了拓展人脉、搞好关系，从而赚名气、谋官职；甚至李白的婚姻，也是为他的求仕之梦服务。

作家就是想告诉读者：李白。

4．阅读下面材料，按要求完成题目。

（5分）一项关于全球读书的调查表明，以色列每年人均阅读图书的数量雄踞榜首，高达64本。

而在这项调查中，中国大陆每年人均阅读的数字远远排在以色列、日本（40本）、法国（20本）和韩国（11本）之后，仅为少得可怜的4.5本，并且在有限的人均购书中，八成都是课本教辅之类。

就在今年，“倡导全民阅读”首次写进我国政府报告，凸显政府对阅读问题的重视。

南京外国语金陵中学海安中学高考四模数学试卷有答案

（第4题）江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试第四次模拟考试有答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线2y x =的焦点到准线的距离为 ▲ ．2．设全集{}1U x x =>，集合A U ⊆．若U A =ð{}9x x >，则集合A = ▲ ． 3．已知复数z 3i a =+（i 为虚数单位，a 0>），若2z 是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ▲ ． 5．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值（第6题）为 ▲ ．6．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (2，1)．若向量3a +b 与21k -a b 共线，则实数k 的值为 ▲ ． 8．有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 ▲ ．9．设数列{ln a n }是公差为1的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 11=55，则a 2的值为 ▲ ．10．在△ABC 中，已知5AB =，3BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ▲ ．11．设一次函数()f x 为函数()F x 的导数．若存在实数0x ∈(1，2)，使得00()()0f x f x -=-<，则不等式F (2x -1)< F (x )的解集为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：(()221x y a +-=(0)a ≥上存在一点P 到直线l ：26y x =-1，则实数a 的值为 ▲ ． 13．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，已知AC =BC =，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且AD =DB =EF =1．若2516DE DF ⋅≤，则EF BA ⋅的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字APDBCOM （第15题）说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，O 为菱形ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA =MC ．（1）求证：PB //平面AMC ；（2）求证：平面PBD ⊥平面AMC ．16．(本小题满分14分)已知函数()()ππ()2s i n s i n 63f x x x =-+，π5πx ≤≤．（1）求函数()f x 的值域；（2）若()f x ，求()πx f +的值．17．(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a 元(常数a *∈N ，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为 40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取4e =55，5e =148)． 18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设A (-1，0)，B (1，0), C (m ，n )，且△ABC的周长为2．（1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线l ：220mx ny +-=．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程．19．(本小题满分16分)设*n ∈N ，函数()n n f x x x a =-()x a ≠，其中常数a 0>．（1）求函数2()f x 的极值；（2）设一直线与函数3()f x 的图象切于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且12x x a <<． ①求2212x x +的值； ②求证：12y y <．20．(本小题满分16分)（1）设n 为不小于3的正整数，公差为1的等差数列1a ，2a ，…，n a 和首项为1的等比数列1b ，2b ，…，n b 满足1122b a b a <<<<…n n b a <<，求正整数n 的最大值；（2）对任意给定的不小于3的正整数n ，证明：存在正整数x ，使得等差数列{}m a ： 11n n x x -+-，121n n x x -+-，…，11n n x nx -+-和等比数列{}m b ：n x ，1(1)n x x -+，…， 1(1)n x x -+满足1122b a b a <<<<…n n b a <<．金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点D ，交其外接圆于点E ．求证：AB ⋅AC =AD ⋅AE ．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a ，b 的值． C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）ABCD E(第21—A 题)在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=> 有且只有一个公共点，求实数a 的值．D ．选修4—4：不等式证明选讲（本小题满分10分）已知a ，b ＞0，且a +b =1【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条，记ξ为这两条棱所成角的大小．（1）求概率()P ξπ=2；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．（第6题）江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．抛物线2y x =的焦点到准线的距离为 ▲ ．【答案】122．设全集{}1U x x =>，集合A U ⊆．若U A =ð{}9x x >，则集合A = ▲ ．【答案】{}19x x <≤3．已知复数z 3i a =+（i 为虚数单位，a 0>），若2z 是纯虚数，则a 的值为 ▲ ．【答案】34．从某校高三年级随机抽取一个班，45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图．校A 专业对视力的要求在0.9以上，生中能报A 专业的人数为 ▲ ．【答案】185．将函数f (x )的图象向右平移π6到函数()π4s i n 23y x =-的图象，则()π4f 【答案】46．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ．【答案】57．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (2，1)．若向量3a +b 与21k -a b共线，则实数k 的值为 ▲ ．【答案】7-8．有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 ▲ ．【答案】3109．设数列{ln a n }是公差为1的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 11=55，则a 2的值为 ▲ ．【答案】e10．在△ABC 中，已知5AB =，3BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ▲ ．【答案】11．设一次函数()f x 为函数()F x 的导数．若存在实数0x ∈(1，2)，使得00()()0f x f x -=-<，则不等式F (2x -1)< F (x )的解集为 ▲ ．【答案】()1 1，12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(()221x y a +-=(0)a ≥上存在一点P 到直线l ：26y x =-1，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】113．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ．114．在等腰三角形ABC 中，已知AC =BC =，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且AD =DB =EF =1．若2516DE DF ⋅≤，则EF BA ⋅的取值范围是 ▲ ．【答案】4 23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．PDCOM （第15题）15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，O 为菱形ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA =MC ．（1）求证：PB //平面AMC ；（2）求证：平面PBD ⊥平面AMC ．证明：（1）连结OM ，因为O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以O 为BD 的中点，又M 为棱PD 的中点，所以//OM PB ， …… 2分又OM ⊂平面AMC ，PB ⊄平面AMC ，所以PB //平面AMC ； …… 6分（2）在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，又MA =MC ，故AC ⊥OM ， …… 8分而OMBD O =，OM ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ， …… 11分又AC ⊂平面AMC ，所以平面PBD ⊥平面AMC ． …… 14分16．(本小题满分14分)已知函数()()ππ()2sin sin 63f x x x =-+，π5π612x ≤≤．（1）求函数()f x 的值域；（2）若()f x ，求()π24x f +的值．解：（1）依题意，()fx)()112cos sin x x x x =-)22sin cos cos sin x x x x =- …… 3分1s i n c o s 22x x = ()πs i n 23x =-， …… 5分因为π5π612x ≤≤，所以ππ0232x -≤≤，从而()π0sin 213x -≤≤，所以函数()f x 的值域为[]0 1，； …… 7分（2）依题意，()πsin 2x -=π5π612x ≤≤，令π23x θ=-，则π26x θ=+，从而sin θ=π02θ≤≤， …… 9分所以1cos 3θ==，又22cos 12sin 2cos 1θθθ=-=-，π0θ≤≤，故sin 2θ=，cos 2θ， …… 11分从而()()()πππ1sin sin sin 24623222x f x θθθ+=+=+=．…… 14分17．(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a 元(常数a *∈N ，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为 40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取4e =55，5e =148)．解：（1）设日销售量ex k p =(k 为比例系数)，因为当x =40时，p =10，所以k 4010e =， …… 2分从而4010e (30)exx a y --=，x []35 41∈，； …… 6分（2）设30x t -=，[]5 11t ∈，，则401010e (30)10e ()=e e x tx a t a y ---=，[]5 11t ∈，由[]1010e (1)0e xt a y --+'==，得t =a +1， …… 9分因为5≤t ≤11，2≤a ≤5，*a ∈N ，所以a+1=3，4，5，6，若a+1=3，4，5，则0y '≤，函数在[5，11]上单调递减，所以当t =5即x =35时，5max 10(5)e 1480(5)y a a =-=-； …… 11分若a+1=6，列表：所以当t =6即x =36时，4max 10e 550y ==，答：若a =2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为510(5)e a -元；若a =5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元．…… 14分 18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设A (-1，0)，B (1，0), C (m ，n )，且△ABC的周长为2．（1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线l ：220mx ny +-=．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程．（1）证明：依题意，CA +CB =AB 2=，根据椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A (-1，0)，B (1，0)为焦点，长轴的椭圆(不含长轴的两个端点)，即证， …… 2分不妨设该椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，依题意知，a =1c =，从而2221b a c =-=，故该椭圆的标准方程为2212x y +=； …… 4分（2）① 解：直线l 与（1）中的椭圆相切，下证之：因为C (m ，n )在椭圆2212x y +=上，所以2212m n +=，由22220 12mx ny x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得，()()222224410m n x mx n +-+-=， …… 6分判别式()()2222161621m m n n ∆=-+-()2222161622m m m m =-+- 0=，所以直线l 与（1）中的椭圆相切； …… 8分 ② 猜想：若点H 在定圆P 上，则当点C (0，1)时，H (-1，1)；当点C (0，-1)时，H (-1，-1)；故圆心P 必在x 轴上；当点C (1时，H (0；当点C (1 ，时，H (0，)；故圆心P 必在y 轴上，综上，圆心P 必为坐标原点O，从而定圆P 的方程为：222x y +=， …… 10分证明：过A (-1，0) 与直线l ：220mx ny +-=的垂直的直线l '方程为： 2(1)n y x m=+，联立直线l 与直线l '的方程解得，222222(2)42(2) 4H Hm n x m n m n y m n ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，， …… 12分从而OH 2()2222222222(2)44m n m n m n m n ⎡⎤-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+，其中2222n m =-， ()()()222222242424m n m n mn-++=+()()()22222224222(2)42m m m m mm+-++-=+-()()()2222224(1)(2)22(2)22m m m m m m -+++-=+-()()()()2222224422m m m m m +-+=+-2=，所以点H 在定圆222x y +=上． …… 16分19．(本小题满分16分)设*n ∈N ，函数()n n f x x x a =-()x a ≠，其中常数a 0>．（1）求函数2()f x 的极值；（2）设一直线与函数3()f x 的图象切于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且12x x a <<． ①求2212x x +的值； ②求证：12y y <．解：（1）依题意，32223() x ax x a f x ax x x a ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩，，，，则()()232 ()23 x x a x a f x x a x x a ⎧->⎪'=⎨-<⎪⎩，，，，由2()0f x '=得，10x =，223x a a =<，当( )x a ∈+∞，时，2()0f x '>，所以2()f x 无极值； …… 3分当( )x a ∈-∞，时，列表：所以函数2()f x 的极小值为2(0)0f =，极大值为()3224327f a a =-； …… 6分（2）①当x a <时，343()f x ax x =-，233()34f x ax x '=-，直线AB 的方程为()34231111134()y ax x ax x x x -+=--，或()34232222234()y ax x ax x x x -+=--，于是23231122343411223434 2323 ax x ax x ax x ax x ⎧-=-⎪⎨-+=-+⎪⎩，，即22121212112222221212121211223()()4()() 3()()()2()() a x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x ⎧+-=-++⎪⎨+-+=-++⎪⎩，，故222122a x x +=(常数)； …… 11分②证明：设12x x s +=，12x x t =，则2222(2) 34() 2a s t a as t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，，解得228a s a t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，或2 4s a a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，(舍去，否则12x x =)，故()()3434212211y y ax x ax x -=---()()33442121a x x x x =---()()22222112121212()()x x a x x x x x x x x ⎡⎤=-++-++⎣⎦()2222128()a a a a x x a -⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦321()08a x x =->，即证12y y <． …… 16分20．(本小题满分16分)（1）设n 为不小于3的正整数，公差为1的等差数列1a ，2a ，…，n a 和首项为1的等比数列1b ，2b ，…，n b 满足1122b a b a <<<<…n n b a <<，求正整数n 的最大值；（2）对任意给定的不小于3的正整数n ，证明：存在正整数x ，使得等差数列{}m a ： 11n n x x -+-，121n n x x -+-，…，11n n x nx -+-和等比数列{}m b ：n x ，1(1)n x x -+，…，1(1)n x x -+满足1122b a b a <<<<…n n b a <<．解：（1）设11n a a n =+-，12n n b b -=，依题意得，234512121212121112345a b a b a b a b a b a <<<+<<+<<+<<+<<+…， …… 2分从而234522222123456b b b b b <<<<<<<<<<<…，即212b <<2b <2b <2b2b <2b <，所以由①②③④⑤得，2b 不存在了，从而正整数n 的最大值为5； …… 6分（2）依题意，111(1)nn n m a x xm x--=+-+-，()111m nm b x x-=+，且1m =，2，…，n ，一方面，当*x ∈N 时，n m a x >，因此，()1111n mm m m m a a a x a a x x-+=+<+=+，结合1221a b b =-<及{}m b 是公比为11x+的等比数列可得，()()21231111a a b b x x <+<+=，()()32341111a a b b x x<+<+=，…，从而对任意的m =1，2，…，1n -，都有1m m a b +<； …… 11分另一方面，因为()111111(1)m nn n n m m b a x x x m x x---<⇔+<+-+-⇔()11111m n m n n x x x mx --+-+<+-(m =1，2，…，n ，其中n 为给定的不小于3的正整数) ⇐()1111n n n x x x nx --+<+-⇔12(1)(1)2n n n n n x n x x ---+-++…11n n x x nx -+<+- ⇔2(1)n n n x --+…11n x x -++<(＊) 显然，(＊)式左边是关于x 的2n -次式，右边是关于x 的1n -次式，只要正整数x 充分大，(＊) 式即可成立,从而m =1，2，…，n 时，都有m m b a <．综上，必存在正整数x ，满足1122b a b a <<<<…n n b a <<． …… 16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点D ，交其外接圆于点E ．求证：AB ⋅AC =AD ⋅AE ．证明：连结EC ，易得∠B =∠E ， …… 2分由题意，∠BAD =∠CAE ，所以△ABD ∽△AEC ， …… 6分从而AB AD AE AC=，所以AB ⋅AC =AD ⋅AE ． …… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）ABCDE(第21—A 题)已知点P(a，b)，先对它作矩阵M1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．解：依题意，NM2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，……4分由逆矩阵公式得， (NM)1-1414⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，……8分所以18514⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=．……10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3B0，，且直线l与曲线C：cos(0)a aρθ=>有且只有一个公共点，求实数a的值．解：依题意，)Aπ6，，()3B0，的直角坐标为(32A，()3B0，，从而直线l的普通方程为30x-=，……4分曲线C：cos(0)a aρθ=>的普通方程为()22224a ax y-+=(0)a>，……8分因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以32aa-=(0)a>，解得2a=(负值已舍)．……10分D．选修4—4：不等式证明选讲（本小题满分10分）已知a，b＞0，且a+b=1证明：因为2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8， …… 8分…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，ξ为这两条棱所成的角．（1）求概率()P ξπ=2；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有28C 种不同方法，其中“ξπ=”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; ②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以()2842314C P ξπ+===2； …… 4分（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，π3，π，“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法；所以()282114C P ξ=0==； …… 6分从而()()()51P P P ξξξππ==-=0-==， …… 8分所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)153290πππ=⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=； …… 3分（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分 B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。