高中数学课时作业7正切函数的定义正切函数的图像与性质北师大版必修4
【基础练习】《正切函数的图像与性质》(数学北师大高中必修4).doc
《正切函数的图像与性质》基础练习本课时编写：双辽一中张敏7C1 •函数tan(x —4)的定义域是()A.kwZ\7TB. {x|xWR, x^kn+2^ kwZ\a — +—a5. 设tan （57r+a ）=加，则 二^~— 兀 的值为（ ）m — 1 B •加+17TC. {xlxGR, x^2Z ：7c+4t kwZ\2.下列函数屮，既是以兀为周期的奇函数, A. y=taiu* ）3兀k^Z] C. y=tan23. tan480°的值为（） A.逅 c. 3D. j=|sinx|B. 一萌4.已知P(2, —3)是a 终边上一点，贝ijtan(27t+a)等于() 3-2A2-3B .3-2-2-3D7.若 tan x>0,贝Q( )7TA • 2kn —兀 < 2k 兀伙 U Z)71C. kit —^<x<kit 伙WZ)D. kn<x<kn+^k Z)，0丿，贝衍可以是（71 A. —671c. -nB. 6 itD . n8.函数｝?=tan的定义域是（）TiCqx 梆兀+亍k^Z3兀Dqx 才，kWZ >A- 1 C. 3A. 2 9.在区间（一夢,,函数j=tanx 与函数y=sinx 的图像交点个数为（B. 210.若函数 j=tan a )x(co ,则①的最小值为（）B. 3C. 6D ・ 911.函数y=tan （号一x ）（xW —务扌］且好0）的值域为（） A. c.12. [-1J]( — 00, 1]函数 y=cos x|tanx|l 0<v<B. x<(2k+i)n 伙GZ)10兀13. tan(-~)= ___________14. 函数y=A/sinx+Vtanx 的定义域为 _______ .7115. 求函数心) = (an(2x —习的定义域、最小正周期和单调区间.y37T(!2"7r ~2T答案和解析7C 7C1.【解析】Tx—4就兀+2伙WZ),3兀・••时"+ 4 («WZ),3兀・••定义域为{xeR|^H+y, Z：ez}.答案D2.【解析】y=taor为 F 的奇函数，且在(0,另上是增函数.答案A3.【解析】tan480° = tan(360° +120°) = tan 120°=tan(l 80°—60°) = — tan60° =—书.答案B_3 34.【解析】1811(2兀+00 = 3叱=3-=—3答案C5.【解析】•.•tan(57c+a) = M,tana=m,—sina—cosa —tana — 1 ―血―1 加 +1原式=—sina+cosa= — lana+1 =—加+1 =m~\-答案Ai 71 A jr jr jr6.【解析】0=伽(2＞＜巨+0戶&+卩=刼=0 = £兀一石，kWZ,当E=0时，(p = —百.故选A.答案A7.【解析】结合正切函数的图像知，刼Sr＜刼+号伙WZ)・答案D8.【解析】由题意得》一対火兀+钦WZ),所以好一％—中伙WZ),即申兀+才伙GZ).答案D9.【解析】在同一坐标系中分别作出函数y=tanx与函数y=sinx的图像，可知它们交于点(一兀,0), (0,0), (it, 0).答案C10.【解析】由于正切函数fix) = tanx的对称中心坐标为伴，0)伙WZ),且函数y=tanex((w eN+)的一个对称中心是(务0),所以护=^(£uz),因此3=3^4,因为所以当k= \时，co取得最小值3.—疋乎且号一用.由函数y=tan x 的单调性，可得y12.【解析】 函数y=cosx|tanx|可化简为y=<答案C=—tan(27r+ 3 )=—tan 3 7C 7T=—tan (7i+3) = — tan3 = —yjS.答案—萌14.【解析】 欲使函数歹=｛融+妬茨有意义，则需满足 siar>0, tanx >0将正弦函数与正切函数的图像画在同一坐标系内，如图,由图可得函数的定义域为7T{x\2kn<x<2kTi +2， kWZ} U {x\x=2kii+Ti, kW2 \ •答案 {x\2k7t<x<2kTt+^, RWZ} U {x*=2hi+兀，k^Z]jrjr15.【解析】 由题意，知：2x —予做兀+㊁伙WZ),kit 5标系中作出该函数的图像，只有C 符合.13.【解析】tan (—晋5 =—tai 丿半答案B —1] U f 1, +oc).好0，--^<2-sinx, xeg,兀・ c 兀sin Xt xG 0, 2+巧兀伙G Z),kit 5即函数的定义域为｛x|xGR且#y+莎，XZ｝.7T 7T H由于7U)=tan(2x—3)=tan[2(x+2)—317[ n=几丫+刁，•：最小正周期7=2K n KT k 兀一2<力一兀+2 伙U Z),兀兀兀5 刼兀刼5兀••-2-T2<v<^2+I27C伙UZ),即函数的单调递增区间为(T—?2^ T+TIX^^Z).。
北师大版数学必修4课时作业7正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Word版含解析
课时作业正切函数的定义正切函数的图像与性质基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．函数()＝的最小正周期为( )．π ．π解析：函数()＝(ω＋φ)的周期是＝，直接利用公式，可得＝＝.答案：．函数＝(－<<)的值域是( )．(－) ．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，) ．(－，＋∞)解析：∵－<<，∴－<<，∴∈(－∞，－)∪(，＋∞)，故选.答案：．下列各式中正确的是( )．°>°．<．<．<解析：＝＝<，故选.答案：．函数＝的定义域是( )解析：要使函数有意义，只需≥，即<≤.由正切函数的图象知，π<≤π＋，∈.答案：．下列关于函数＝的说法正确的是( )．在区间上单调递增．最小正周期是π．图象关于点成中心对称．图象关于直线＝成轴对称解析：令π－<＋<π＋，解得π－<<π＋，∈，显然不满足上述关系式，故错误；易知该函数的最小正周期为π，故正确；令＋＝，解得＝－，∈，任取值不能得到＝，故错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数＝的图象也没有对称轴，故错误．故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．函数＝(－)的定义域是．解析：因为－≠＋π(∈)⇒≠＋(∈)，所以定义域为.答案：．不等式≥－的解集是．解析：由正切函数图像知－＋π≤－<＋π，∈，所以≤<π＋，∈.答案：，∈．(·苏州五市四区联考)函数＝的值域是．解析：因为∈，所以∈[－，]．答案：[－，]三、解答题(每小题分，共分)．求函数＝的定义域、周期及单调区间．解析：由－≠＋π，∈，得≠＋π，∈，所以函数＝的定义域为＝＝π，所以函数＝的周期为π.由－＋π<－<＋π，∈，得－＋π<<＋π，∈，所以函数＝的单调递增区间为(∈)．．求函数＝－＋＋，∈的值域．解析：∵－≤≤，∴－≤≤.令＝，则∈[－]．∴＝－＋＋＝－(－)＋.∴当＝－，即＝－时，＝－，当＝，即＝时，＝.故所求函数的值域为[－]．能力提升(分钟，分)．如果函数＝(＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )．－．－解析：∵＝(＋φ)的图象经过点，∴＝，即＋φ＝π，∈，则φ＝π－，∈，当＝时，φ＝－，故选.答案：．已知函数＝ω在内是单调减函数，则ω的取值范围是．解析：函数＝ω在内是单调减函数，则有ω<，且周期≥－＝π，即≥π，故ω≤，∴－≤ω<.答案：[－)．作出函数＝＋的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解析：＝＋＝(\\(，≥，<.))其图象如图所示，由图像可知，其定义域是(∈)；值域是[，＋∞)；单调递增区间是(∈)；最小正周期＝π.．已知函数()＝.()求()的定义域、值域；()讨论()的周期性，奇偶性和单调性．。
高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像【知识梳理】1．正切函数的性质函数 y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞)周期 T ＝π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x >a 的不等式的步骤：【对点训练】 求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 【类题通法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π，所以－π2<3－π<0.显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】 (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．【对点训练】关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图像关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图像，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．答案：①【练习反馈】1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数 解析：选C 由正切函数的图像可知选项C 正确． 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝5tan ⎝⎛⎭⎫－x2的最小正周期是________． 解析：T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.答案：2π4．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3， 3 ]5．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．。
北师大版高中数学必修4课后练习-正切函数的定义正切函数的图像与性质
§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.已知角α的终边落在直线y=2x 上,则tan α的值是( ) A.2B.±2C.2√55D.±2√55P (a ,2a )(a ≠0),则tan α=2aa=2.2.函数y=3tan (2x +π4)的定义域是( ) A .{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z}B .{x |x ≠kπ+3π,k ∈Z} C .{x |x ≠kπ+π,k ∈Z}D .{x |x≠kπ2,k ∈Z},则2x+π4≠k π+π2(k ∈Z ),则x ≠kπ2+π8(k ∈Z ). cos 3·tan 4的值为( ) B.正数C.0D.不存在∵π<2<π,∴sin 2>0.∵π2<3<π,∴cos 3<0.∵π<4<3π2,∴tan 4>0.∴sin 2·cos 3·tan 4<0.4.函数y=tan x+1tanx 是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z}∩{x|x ≠k π,k ∈Z }={x |x ≠kπ2,k ∈Z},关于原点对称.又∵f (-x )=tan(-x )+1tan (-x )=-(tanx +1tanx )=-f (x ),∴函数y=tan x+1tanx 是奇函数.5.函数f (x )=2x-tan x 在(-π2,π2)上的图像大致为( )f (x )=2x-tan x 为奇函数,所以图像关于原点对称,故排除A,B .当x →π2时,f (x )→-∞,所以排除D,6.若tan (2x -π6)≤1,则x 的取值范围是 .z=2x-π6,满足tan z ≤1的z 值是-π2+k π<z ≤π4+k π,k ∈Z ,即-π2+k π<2x-π6≤π4+k π,k ∈Z . 解得-π6+12k π<x ≤5π24+12k π,k ∈Z .-π6+12kπ,5π24+12kπ],k ∈Zy=a 与y=tan x 的图像的相邻两个交点的距离是 .,相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度,故为π.:①sin -π18>sin -π10;②cos -25π4>cos -17π4;③tan 5π9>tan 17π18;④tan π5>sin π5.其中正确结论的序号是 .解析函数y=sin x 是-π2,0上的增函数,0>-π18>-π10>-π2,所以sin -π18>sin -π10,①正确;cos -25π4=cos -6π-π4=cos π4,cos -17π4=cos -4π-π4=cos π4,所以cos -25π4=cos -17π4,②不正确;函数y=tanx 是π2,π上的增函数,π2<5π9<17π18<π,所以tan 5π9<tan 17π18,③不正确;易知在0,π2上,tan x>x>sin x ,所以tan π5>sin π5,④正确. 答案①④ 9.已知角α的终边上一点P 的坐标为(-√3,y )(y ≠0),且sin α=√24y.求tan α.r 2=x 2+y 2=3+y 2,由三角函数定义sin α=yr =√3+y =√24y , ∴y=±√5,∴tan α=-3,即tan α=±√153.10.利用函数图像解不等式-1≤tan x ≤√33.y=tan x ,x ∈(-π2,π2)的图像,如图所示.观察图像可得:在区间(-π,π)上,自变量x 应满足-π≤x ≤π.由正切函数的周期性可知,不等式的解集为{x |-π4+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z}.y=tan 2x 的定义域、值域、单调区间,并作出它在区间[-π,π]内的图像.要使函数y=tan 2x 有意义,只需2x ≠π2+k π(k ∈Z ),即x ≠π4+kπ2(k ∈Z ), ∴函数y=tan 2x 的定义域为{x |x ≠π4+kπ2,k ∈Z}.(2)设t=2x ,由x ≠π4+kπ2(k ∈Z ),知t ≠π2+k π(k ∈Z ).∴y=tan t 的值域为(-∞,+∞),即y=tan 2x的值域为(-∞,+∞).(3)由-π2+kπ<2x<π2+kπ(k∈Z),得-π4+kπ2<x<π4+kπ2(k∈Z),∴y=tan 2x的单调递增区间为(-π4+kπ2,π4+kπ2) (k∈Z),无单调递减区间.(4)函数y=tan 2x在区间[-π,π]内的图像如图所示.B组能力提升1.函数t=tan(3x+π3)的图像的对称中心不可能是()A.(-π9,0)B.(π18,0)C.(-π18,0)D.(-5π18,0)y=tan x图像的对称中心是(kπ2,0),k∈Z.令3x+π3=kπ2(k∈Z),解得x=kπ6−π9(k∈Z),所以函数y=tan(3x+π3)的图像的对称中心为(kπ6-π9,0),k∈Z.当k=0,1,-1时,得kπ6−π9=-π9,π18,-5π18.A,B,D选项是函数图像的对称中心.故选C.答案C导学号93774024下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-3π2,3π2)内的大致图像,则由a到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②D.①②④③tan(-x)=-tan x在(-π2,π2)上是减少的,只有图像d符合,即d对应③.3.已知函数y=tan ωx在区间(-π2,π2)上是减少的,则ω的取值可能是()A.1B.-1D.-2ω的值在给定区间上取特殊值来进行验证.选B.4.若不等式tan x>a在x∈(-π4,π2)上恒成立,则a的取值范围为()A.a>1B.a ≤1D.a ≤-1y=tan x 在x ∈(-π4,π2)上是增加的,所以tan x>tan (-π4)=-1,所以a ≤-1.答案D 5.导学号93774025若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为(π3,0),且-π2<θ<π2,则θ的值是 .kπk ∈Z ),由对称中心为(π3,0),得θ=2−3(k ∈Z ).又θ∈(-π2,π2),故θ=-π6或π3. -π6或π3y=|tan x|的图像,并讨论其定义域、值域、奇偶性和单调性.tan x|={tanx ,x ∈[kπ,kπ+π)(k ∈Z ),-tanx ,x ∈(kπ-π,kπ](k ∈Z ).其图像如图所示,由图像可得y=|tan x|的性质如下: (1)定义域为(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z );(2)值域为[0,+∞);(3)由|tan(-x )|=|-tan x|=|tan x|,知函数为偶函数;(4)单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z ),单调递减区间为(kπ-π2,kπ](k ∈Z ). 7.是否存在实数a ,且a ∈Z ,使得函数y=tan π4-ax 在区间π8,5π8上单调递增?若存在,求出a 的一个,请说明理由. 解y=tan π4-ax =tan -ax+π4,∵y=tan x 在区间k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上为增函数,∴a<0,又x ∈π8,5π8,∴-ax ∈-aπ8,-5aπ8,∴π4-ax ∈π4−aπ8,π4−5aπ8, ∴{kπ-π2≤π4-aπ8(k ∈Z ),kπ+π2≥π4-5aπ8(k ∈Z ). 解得-25−8k5≤a ≤6-8k (k ∈Z ). 由-25−8k5=6-8k 得k=1,此时-2≤a ≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z ,满足题意.。
高中数学同步教学 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 (1)若角α的终边上有一点P(2x,x+4),且tan α=1,则
sin α=
.
(2)已知角α的终边落在直线2x+3y=0上,求tan α的值.
(1)答案:
2
2
(2)解:若角α为第二象限角,在角α的终边上任取一点(3t,-2t)(t<0),
则 x=3t,y=-2t,故 tan α= =
积.
sin
(2)与正弦函数、余弦函数的关系:tan α= cos .
π
(3)定义域: ≠ π + 2 ,∈Z .
(4)任意角的正切值的符号可用如下表格表示:
α 的终边 x 轴非 第一 y 轴非 第二 x 轴非 第三 y 轴非 第四
所在位置 负半轴 象限 负半轴 象限 正半轴 象限 正半轴 象限
函数则是无界函数;正弦、余弦函数是连续函数,反映在图像上是
连续无间断点,而正切函数在R上不连续,它有无数条渐近线
π
x=kπ+ (∈Z),图像被这些渐近线分隔开来;
2
正弦、余弦函数既有递增区间又有递减区间,而正切函数在每一个
π
π
2
2
区间 π- ,π +
(∈Z)上都是增加的.它们也存在大量的共性,
§7
正切函数
7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的图像与性质
1.理解正切函数的定义,掌握正切函数的符号规律.
2.了解正切线的作法.
3.会用正切函数的定义求正切值.
4.掌握正切函数的图像与性质,并能运用图像与性质求解一些简
单问题.
1.正切函数
北师大版 数学必修四：正切函数的图像与性质
tan1670 tan1730
(2)tan(11 ) tan( 3 )
tan(134 ) tan(43 )
5
5
又 3 3 , 且 y tan x, x ( , ) 是增函数
2 4 52
22
tan( 3 ) tan( 3 )
4
5
即
tan(11 ) tan(13 )
4
5
例3 求下列的单调区间：
x
|
x
2
k
,
k
Z
全体实数R
tan(x ) tan(x)
正切函数是周期函
数，T=
tan(x) tan(x)
zxxk
例1 求函数 y tan(x )的定义域。
解：令 z x ,
4
4
那么函数 y tan z 的定义域是：
所以由
z
z |
x
z ,
4
2
k
,
k
Z
可得：x
4
2
k
24
变题(2) y 3tan( x )
24
解 :因为原函数可化为: y 3tan( );
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
(1) y 3tan(1 x );
24
解 : (1)令u 1 x ,则y 3tan u
24
u 1 x 为增函数;且y tan u的单调区间为:
2
4
k
u
k
数学北师大版高中必修4正切函数的性质与图像
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
讲授新课
例1. 比 较tan 13 与tan 17
4 5 的 大 小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
3
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课Biblioteka y 4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
o
6
4
2
x
讲授新课
y
4
6
2
课时作业9：7.3.4 正切函数的图像与性质
7.3.4 正切函数的图像与性质一、选择题1．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，（k ＋1）π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4，则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．83．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( ) A ．(0，0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 4．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( ) A ．14 B ．－34C ．14或－34D ．－14或345．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 二、填空题6． f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．7．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________． 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性．9．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，f (x )＝tan 2 x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．参考答案一、选择题1．【答案】C【解析】令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . 2．【答案】C【解析】由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4.3．【答案】D【解析】由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z )，∴y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z .故选D ．4．【答案】C【解析】由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z .k ＝14＋m ，m ∈Z .由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.故选C ．5．【答案】C【解析】由函数周期为π可排除A ．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D ．二、填空题6．【答案】－5【解析】∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，∴a sin 5＋b tan 5＝6，∴f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.7．【答案】－1≤ω<0【解析】由题意可知ω<0，又π|ω|≥π，故－1≤ω<0.三、解答题8．解：由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数． 9．解：f (x )＝tan 2 x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]， ∴当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 有最小值，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 有最大值，y max ＝5.。
北师大版数学高一 1.6正切函数的定义、图像及性质 (必修4)
1.7.1 正切函数的定义、图像及性质一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法：类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的性质。
3、情感态度与价值观：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、图像与性质 难点: 熟练运用性质分析问题、解决问题三、学法与教法：我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教法：自主合作探究式 四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
（二）、探究新知 1、正切函数的定义：在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
北师大版高中数学高一必修4学案第一章7.1-7.2正切函数的定义正切函数的图像
正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？[新知初探]1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．[点睛] (1)若α＝π2＋k π(k ∈Z)，则角α的终边落在y 轴上，此时P (0，b )，比值b a 无意义，因此正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z . (2)正切函数tan α＝ba 是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质 函数y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是增加的[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ( ) (2)正切函数在其定义域内为增函数( ) (3)若角α的终边在y ＝x 上则tan α＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π. 3．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1]4．函数f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 答案：偶利用定义求正切值[典例] 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AO Q ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝⎛⎭⎫35，45，试求tan α.[解] (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝⎛⎭⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝⎛⎭⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AO Q ＝α且Q ⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P 的纵坐标与横坐标的比值；若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P 的纵坐标与横坐标的比值．[活学活用] 已知P ⎝⎛⎭⎫x ，－32是角α终边上一点，且tan α＝－3，求x 的值． 解：由题意得tan α＝－32x ＝－3，解得x ＝12，故x 的值是12.正切函数的定义域、值域[典例] (1)求函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4；②y ＝tan 2x ＋4tan x －1.[解] (1)由题意知，2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，∴x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，(2)①∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4，∴－π4≤x －π4＜π2， y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎭⎫0，34π上为增函数，且y ≥－1， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，34π的值域为[)－1，＋∞. ②令t ＝tan x ，则t ∈R ，y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， ∴函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[)－5，＋∞.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x ，需x ≠k π＋π2，k ∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．[活学活用]1．函数y ＝3x －x 2tan x的定义域是A ．(0,3]B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3 D.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 解析：选C根据函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠k π，x ≠k π＋π2，故0＜x ＜π2或π2＜x ≤3，即函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3， 故选C.2．已知π4≤x ≤π3，函数f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1，求函数f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 解：设tan x ＝t ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， ∴t ∈[1，3]，∴f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，f (x )min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，f (x )max ＝103－4.正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像大致是( )解析：选D 法一：由题意，得y ＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x 从右边无限接近π2时，tan x 趋向于－∞，故|tan x －sin x |趋向于＋∞，∴y 趋向于－∞.故选D. 题点二：利用正切函数图像求解不等式 2．解不等式：tan x ≥－1.解：作出函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的大致图像，如图． ∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1， ∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内满足tan x ≥－1的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－π4，π2. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .题点三：求单调区间3．写出下列函数的单调区间．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6； (2)y ＝|tan x |.解：(1)当k π－π2＜x 2－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3(k ∈Z)． (2)y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y ＝|tan x |的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x 的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．正切函数的奇偶性与周期性[典例] 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )． 又定义域⎣⎡⎦⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减， 当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π. [活学活用]1．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( )A ．πaB ．π|a | C.π aD.π |a |解析：选B T ＝π⎪⎪⎪⎪1a ＝π|a |. 2．下列函数中，同时满足条件①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析：选A 验证知A 符合①②③.层级一 学业水平达标1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z)B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)．2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( )A ．2B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2k k＝2. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为__________． 解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 解析：由T ＝x |ω|＝π2，∴ω＝±2. 答案：±29．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.因为y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)． 即原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x |cos x |＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．层级二 应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3解析：选D 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3. 2．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎨⎧ sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________. 解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2， ∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2.答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的范围是________． 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π，∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x 的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的． ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的． 故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43， 当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。
北师大版高中数学必修四§7 正切函数 .docx
§7正切函数课时目标1．了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．2．能利用正切函数的图像及性质解决有关问题．1．函数y2(1)tan(2π＋α)＝__________； (2)tan(－α)＝__________； (3)tan(2π－α)＝__________； (4)tan(π－α)＝__________； (5)tan(π＋α)＝__________；一、选择题1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z } 2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图像是( )4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x | D ．y ＝cos 2x 5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．π4二、填空题7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____________________________．9．已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________．10．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是( )14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． 2．正切函数是奇函数，图像关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0) (k ∈Z )．正切函数的图像无对称轴，但图像以直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )为渐近线． §7 正切函数 答案知识梳理1．{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )2．(1)tan α (2)－tan α (3)－tan α (4)－tan α (5)tan α作业设计1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4．∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0．] 7．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z ．8．±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2．9．b <c <a解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1．∴b <c <a ．10．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1．∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0． ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z ．∴函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z ．②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π．③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z ．∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z ． ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z ．∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z ． 13．D [当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D ．]14．B [∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π．∴|ω|≤1，即－1≤ω<0．]。
高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.3. 理解正切函数的性质. 【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质. 难点：正切函数性质的应用. 【使用说明】类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用 正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质. 【自主学习】 1. 正切函数的定义（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2Z k k ∈+≠ππα，那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比 值a b ，根据函数的定义，比值ab是角α的函数，我们 把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2,ππαα.（比值ba叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα） （2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负. （3）由x x xk x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ）可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期. 2. 正切函数图像的画法（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于T 点，线段AT 成为角α的正切线.（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数x y tan =，)2,2(ππ-∈x 的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.3. 正切函数的性质函数 x y tan =（Z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ）定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】1. 若角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在直线x y 4-=上， 求αααtan ,cos ,sin 的值.靖边三中2015届数学必修4导学案2. 解下列不等式：（1）0tan <x ； （2）1tan -≥x .3. 设α是锐角，利用单位圆证明：（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.【课堂检测】1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且53tan -=θ，求x 的值. 【课堂小结】。
(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
k
x
4
2
k，k
Z
解得 3 k x k，k Z
4
4
所以函数在区间
k
3
4
,
k
4
,
k
Z 上是增加的.
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则( C )
a
角α的正切值不存在.
这里的角是指的角的弧度数.
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自 变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数，我们统称它们为三角函数.
根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一 和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和 第四象限时，其正切函数值为负.
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
最小正周期是π
例1． 若 tanα ＝ 2 ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
北师大版必修4高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质
合作探究 提素养
正切函数的概念
【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sin α、cos α、tan α 的值．
[解] r＝ －4a2＋3a2＝5|a|， 若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝yr＝35aa＝35，cos α＝xr＝－54aa＝－45.
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用 图像中的对称变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关 于 y 轴对称便可以得到 y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x) 的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到 y＝|f(x)|的图像．
等性质．(重点)
2．通过学习正切函数的性质解决
3．注重数形结合思想的应用以及 正切函数与正、余弦函数的综合
正切函数与正、余弦函数的综合 问题提升数学运算素养.
应用(难点).
自主预习 探新知
1．正切函数的定义 (1)正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角 α 满足：α∈R，α≠_π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)_，且 角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，那么比值ba叫作角 α 的正切函数， 记作__y＝__t_a_n_α___，其中 α∈R，_α_≠__π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)__．
的点都是对称中心．]
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
ห้องสมุดไป่ตู้
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
高中数学 课时跟踪检测(九)正切函数的定义正切函数的图像与性质 北师大版必修4-北师大版高一必修4数
课时跟踪检测（九） 正切函数的定义 正切函数的图像与性质一、基本能力达标 1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z) B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)． 2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( ) A ．2 B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2kk＝2.4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4，x ∈RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)． 5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π3的单调递减区间为__________．解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.解析：由T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.答案：±29．已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性．解：(1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ，值域为R.(2)f (x )为周期函数，由于f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋π＝3tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋2π)－π3＝f (x ＋2π)，所以最小正周期T ＝2π.易知f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.10．已知函数f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图像； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．二、综合能力提升1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－3D. 3 解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3.2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________.解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2，∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2. 答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，则ω的X 围是________．解析：∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π， ∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x (a >0，且a ≠1)的单调性． 解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的．②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的，∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值X 围． 解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]， ∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43， 当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
高中数学北师大版必修4课时分层作业汇编：正切函数的定义、图像与性质、诱导公式含解析
课时分层作业(一) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、填空题1．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. －12 [由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12.] 2．比较大小：tan 211°________tan 392°. ＜ [tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°. tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°， 因为tan 31°＜tan 32°， 所以tan 211°＜tan 392°.]3．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 [要使函数f (x )有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1.故π4≤x ≤1.] 二、选择题4．已知sin θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角B [若sin θ>0，tan θ<0，则θ在第二象限；若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]5．若已知角α满足sin α＝35，cos α＝45，则tan α＝( )A.43B.34C.13D.23B [由三角函数定义可知tan α＝34.]6．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数D [f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.]7．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．π|ω|D ．与a 值有关C [两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为π|ω|.] 8．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2B [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，所以x ＝0，π2，π，3π2.故选B.]三、解答题9．根据正切函数的图像，写出tan x ≥－1的解集． [解] 作出y ＝tan x 及y ＝－1的图像，如下图．∴满足此不等式的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z. 10．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．[解] 由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 所以所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z. 值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数．[等级过关练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >bC [b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°， 且y ＝sin x 在[0°，90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°， 即b >a .tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >a .]2．函数f (x )＝2x －tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图像大致为( )C [∵f (－x )＝2(－x )－tan(－x )＝－2x ＋tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A 、B.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2×π6－tan π6＝π3－33>0， ∴排除D ，选C.]3．已知tan α＝3，则3sin α＋cos αsin α－2cos α＝________.10 [原式＝3tan α＋1tan α－2＝3×3＋13－2＝10.]4．函数y ＝－tan 2x ＋2tan x 的最大值是________．1 [定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.设tan x ＝t ，则t ∈R ，则y ＝－t 2＋2t ＝－(t－1)2＋1，∴当t ＝1，即tan x ＝1，x ＝π4＋k π(k ∈Z )时，y 取得最大值1.]5．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．[解] 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )． 即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(二)正切函数的诱导公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、填空题1．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．－1 [∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5. ∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3. ∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.] 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝________.－33 [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33.]3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.－ 3 [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，所以sin φ＝－32. 因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－tan π3＝－ 3.]二、选择题4．tan 31π3的值为( )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3C [tan 31π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A ．－45B ．－35C ．±35D ．±45A [∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.]6．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是( ) A ．－kB ．kC.k1－k2D.－k 1－k2B [tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k . tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .]7．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32B [由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin αcos α·cos αsin α－cos α＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.]8．已知tan(π＋α)＋1tan (3π＋α)＝2，则tan(π－α)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [tan(π＋α)＋1tan (3π＋α)＝tan α＋1tan α＝2，即tan 2α－2tan α＋1tan α＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.]三、解答题9．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.[解] (1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4 ＝22cos 7π6tan π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎪⎫9π＋π4 ＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22. 10．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，试求sin (2π－α)tan (π＋α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π－α)tan (3π－α)的值．[解] 原式＝(－sin α)·tan α·(－cot α)·(－tan α)cot α·(－cos α)·(－tan α)＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13. [等级过关练]1．已知tan(π－α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是( )A.15B.13C.35D ．1B [由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.]2．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝1tan (63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·(－1)tan (49°－β)＝－1.]3．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.－13 [由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13， 故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.]4．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________. －2 [由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.] 5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．[解] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α ＝－916.。
北师大版高中数学必修4教案备课正切函数的定义正切函数的图像与性质
§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用．(难点)1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像，体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题，提升数学运算素养．1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值ba叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么ba 何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示] 当a ≠0时，ba 有意义． tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．正切函数的图像与性质 图像性质定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 奇偶性奇函数周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π单调性 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 上是增加的 对称性该图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z[提示] 不能．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．1．若角α的终边上有一点P (2x －1，3)，且tan α＝15，则x 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．45 B [由正切函数的定义知tan α＝32x －1＝15，解得x ＝8.]2．函数y ＝tan x 的对称中心坐标为( ) A ．(k π，0)(k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )D ．(2k π，0)(k ∈Z )C [y ＝tan x 的图像与x 轴的交点以及x 轴上使y ＝tan x 无意义的点都是对称中心．]3．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z[由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z ).解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z ).]4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．[0，1] [函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.]正切函数的概念【例1】 已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[解] r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |， 若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45. tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba .2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值． [解] 由题意知cos α＝－b b 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0， ∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.正切函数的图像【例2】 作出函数y ＝tan |x |的图像，判断函数的奇偶性及周期性． [思路探究] 去掉绝对值号，先作出x ≥0时的图像，再利用图像变换作出x <0时的图像．[解] ∵y ＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0，k ∈Z ，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0，k ∈Z .∴当x ≥0时，函数y ＝tan |x |在y 轴右侧的图像即为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像．当x <0时，y ＝tan |x |在y 轴左侧的图像为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像关于y 轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y ＝tan |x |是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2为渐近线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．2．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是图中的________．(填序号)① ② ③ ④(1)A (2)④ [(1)如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.]正切函数的性质 [探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．2．函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ [提示] y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 【例3】 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0). (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期．[思路探究] (1)通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan (－x )＝a tan x ＝－f (x ). 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.1．(变条件)若将例3中的函数变为“f (x )＝－a |tan x |”则它的最小正周期是多少？[解] f (x )的最小正周期不变还是π.2．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )的单调区间． [解] ∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增，∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增． 3．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．[解] 当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ].当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，当x ＝π4时，f (x )min ＝－a .无最大值． ∴f (x )的值域为[－a ，＋∞).对于形如y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2，x ＝π2，然后描出三个点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1，1]，正切函数是无界函数，值域为R .(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R ，正切函数的图像是不连续的，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增加的．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数．( ) (2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增函数． ( ) (3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数． ( ) (4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－3π4<x <k π＋π4，故选C.]3．若角θ的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，m ，且tan θ＝34，则m ＝________．－35 [由tan θ＝y x ＝m －45＝34.∴m ＝－35.]4．函数y ＝tan (2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．[解] 因为函数y ＝tan (2x ＋θ)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴2·π3＋θ＝k π2，k ∈Z .∴θ＝k π2－23π，k ∈Z . 又∵－π2<θ<π2， ∴当k ＝2时，θ＝π3； 当k ＝1时，θ＝－π6. ∴满足题意的θ为π3或－π6.。
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高中数学课时作业7正切函数的定义正切函数的图像与性质北师大版必修4
______年______月______日
____________________部门
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为()
A.B.
C．π D．2π
解析：函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
C．tan<tan D．tan<tan
解析：tan＝tan＝tan<tan，故选D.
答案：D
4．函数y＝的定义域是()
A.
B.
C.
D.
解析：要使函数有意义，只需logtanx≥0，即0<tanx≤1.由正切函数的图象知，kπ<x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是()
A．在区间上单调递增
答案：A
12．已知函数y＝tanωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tanωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
13．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－<x＋<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选B.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
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11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是()
A．－B．－
C. D.
解析：∵y＝tan(x＋φ)的图象经过点，
∴tan＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan(2x－)的定义域是________．
解析：因为2x－≠＋kπ(k∈Z)⇒x≠＋(k∈Z)，所以定义域为.
答案：
7．不等式tan≥－1的解集是________．
解析：由正切函数图像知－＋kπ≤2x－<＋kπ，k∈Z，
所以≤x<π＋，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．(20xx·苏州五市四区联考)函数y＝tanx的值域是________．
解析：因为x∈，
所以tanx∈[－1，]．
答案：[－1，]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为.T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．
解析：∵－≤x≤，
∴－1≤tanx≤1.
令tanx＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
解析：y＝tanx＋|tanx|＝
其图象如图所示，
由图像可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
解析：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z，
答案：A
2．函数y＝(－<x<)的值域是()
A．(－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
解析：∵－<x<，∴－1<tanx<1，∴∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
答案：B
3．下列各式中正确的是()
A．tan735°>tan800° B．tan1<tan2
∴f(x)的定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，由于f(x)
＝3tan＝3tan
＝3tan＝f(x＋2π)，所以最小正周期T＝2π.易知f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为，k∈Z.