期末总复习2016.12

D(CX ) C 2 D( X )
D( X ) 特别六大分布的相关结论
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 独立
2. 协方差与相关系数 协方差 cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
相关系数
ρ XY
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
10个球中有4个白球，6个黑球，从中任取5个， 其中2个白球，3个黑球的概率为
2 3 C4 C6 P 5 C10
（2）生日问题
一个宿舍有4个学生，A : 只有1人生日在12月份；
B : 4个人的生日在同一个月份；
C:
4个人的生日不在同一个月份；
D : 4人的生日在不同月份； E : 4人中至少有2人生日在同一个月份；
解：
设：B：买到一件次品 A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品
P ( B) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A2 ) P ( A2 ) P ( B | A3 ) P ( A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
解：设X为正常工作的部件数，则 X B(50.0.9)
E( X ) 50 0.9 45, D( X ) 50 0.9 0.1 4.5
由中心极限定理，
X 45 近似 N (0,1) 4.5
X 45 40 45 ) 1 (2.36) (2.36) 0.9909 4.5 4.5
贝叶斯公式
P(Bk )P(A Bk ) P(ABk ) P(B k A ) = = n k 1, 2, n. P(A) P(B） i P(A B i )
i =1
例： 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的 同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1 ％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
则上述事件的概率分别为
1 C4 113 P ( A) 0.2568 ； 4 12
12 P ( B ) 4 0.0006； 12
P(C ) P( B ) 1 P( B) 0.9994 ；
12 11 10 9 P ( D) 0.5729； 4 12
P( E ) P( D ) 1 P( D) 0.4271.
( x, y ) G 其它
4. 二维正态分布
2 2 , 2 , ) ，则 若 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1
2 X ~ N ( 1 , 12 ) , Y ~ N ( 2 , 2 )
X和Y相互独立
0
例：二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为
2. 六大分布及其分布律(概率密度函数)、分布函数 结合期望、方差一起记住！ 例： 1、已知随机变量X的分布律为
X P 1 0.2 0 0.3 4 0.5
，则 F (2) 0.5
D( X ) 4.96 a 2、设随机变量X的分布律为： P{ X k} k , k 1, 2,3 3 则参数 a 2 kx 2 0 x 1 3、设随机变量X的概率密度为： f ( x) 其它 0 3 则参数 k

方差 D( X) E{[ X E( X)]2 } E( X 2 ) [ E( X )]2 注：E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 标准差 ( X ) 性质 E(C)=C E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=E(X)E(Y) 独立 D(C)=0
i 1
X和Y独立 pij pi . p. j
i , j 1,2,
2. 二维连续型随机变量 联合概率密度
f ( x, y)
非负性、规范性

边缘概率密度


f ( x, y)dxdy 1

f X ( x ) f ( x , y )dy
f Y ( y ) f ( x, y )dx
X和Y独立

f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
D
区域上的概率 P{( X , Y ) D} f ( x, y)dxdy
3. 两个常用的二维连续型随机变量
若二维随机变量（X,Y）在区域G 上服从 均匀分布，则
其概率密度为
其中A为G的面积.
1 f ( x, y) A 0
若 g ( x ) 单调，则利用如下公式求 fY ( y )
f X [h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
其中 h(y) 是g(x) 的反函数。
α y β 其它
4. 正态分布 (1)标准正态分布的分布函数 ( x )
Φ( 0 ) 0.5
Φ( x ) 1 Φ( x )
o
2
1 x
x x
f X ( x)

1 x
6(1 y )dy 3 - 6 x 3 x
所以
3 6 x 3 x2 f X ( x) 0

0 x1 其它
y
1 y
fY ( y )
f ( x, y )dx
y 0 or y 1 时
fY ( y) 0

1. 期望、方差的计算与性质
离散型随机变量及函数的数学期望 E ( X ) x k pk
Y g ( X ) 则 E (Y ) E[ g( X )] g( x k ) pk
k 1

k 1
连续型随机变量及函数的数学期望
E ( X ) xf ( x )dx


Y g ( X ) 则 E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx
所求概率
P( X 40) P(
2. 概率的一些重要性质 对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
P(B A) P(B A ) P(B) P(AB)
注：若A⊂B ， P ( B A) P ( B ) P ( A)；
3. 古典概型 （1）拿球模型
y o
0 y 1时
yx
x 1
fY ( y)

y
0
6(1 y )dx 6 y - 6 y
2
y
所以
6 y 6 y 2 fY ( y ) 0
0 y1 其它
因为 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 所以X和Y不相互独立
第四章
随机变量的数字特征
2 2 2 2
第三章
联合分布律
多维随机变量及其分布
1. 二维离散型随机变量
P{ X xi ,Y y j } pij i , j 1,2,
j 1

边缘分布律 P{ X x i } pij pi . (i 1,)
近似
n
~ N (0,1)
2. 二项分布的中心极限定理 设随机变量X 服从参数为n，p (0< p <1)的二项
分布，则
X np 近似 ~ N (0,1) np(1 p)
例. 一个系统是由50个相互独立起作用的部件组成，
每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由80% 的部件正常工作，系统才能正常工作. 试用中心极限 定理计算系统正常工作的概率.
6
2.设随机变量X服从区间 (1, 6)上的均匀分布，则 3.已知随机变量 X ~ N (2, 2 )，则 P{X 2} 则 E( XY ) 7 0.5
4.已知E ( X ) 3, E (Y ) 2, X , Y 的协方差 Cov( X , Y ) 1 28 D( X ) 25, D(Y ) 9, XY 0.2, 则 D( X Y ) ______ 5.设
6(1- y ) 0 x y 1 f ( x, y) 其它 0
试求(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度，并判断独立性 y 1 解： f ( x ) f ( x , y )dy
X


x 0 or x 1 时
f X ( x) 0
x
yx
0 x 1时
P{a X b} F (b) F (a )
注意：若 F1 ( x)，F2 ( x) 分别为随机变量 X 1 , X 2
的分布函数，则
F1 ( x ) F2 ( x )
不是任何随机变量的分布函数。
因为
x
lim [ F1 ( x ) F2 ( x )] 2 1
6.设X与Y相互独立，D( X ) 3, D(Y ) 4 则 D(2 X 3Y 4) ______ 48
第五章
极限定理
1. 独立同分布下的中心极限定理 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且 E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，i=1,2,…，则
X
i 1
n
i
n
第二章
随机变量及其分布
1. 分布律(概率密度函数)、分布函数的概念与性质 离散型随机变量的分布律
P( X xk ) pk (k 1, 2,) 常用表格形式表示
连续型随机变量的概率密度函数
F ( x )＝
x
f ( t )dt 中的被积函数 f(x)
性质：非负性、规范性 分布函数 F ( x ) P{ X x}
3. 条件概率、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式 条件概率